Πώς να απλοποιήσετε τις τριγωνομετρικές εκφράσεις. Μετασχηματισμοί ταυτότητας τριγωνομετρικών παραστάσεων

Ενότητες: Μαθηματικά

Τάξη: 11

Μάθημα 1

Θέμα: 11η τάξη (προετοιμασία για τις εξετάσεις)

Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων.

Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. (2 ώρες)

Στόχοι:

• Συστηματοποίηση, γενίκευση, διεύρυνση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών που σχετίζονται με τη χρήση τύπων τριγωνομετρίας και τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Εξοπλισμός για το μάθημα:

Δομή μαθήματος:

1. όργανο
2. Δοκιμές σε φορητούς υπολογιστές. Η συζήτηση των αποτελεσμάτων.
3. Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων
4. Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων
5. Ανεξάρτητη εργασία.
6. Περίληψη του μαθήματος. Επεξήγηση της εργασίας για το σπίτι.

1. Οργανωτική στιγμή. (2 λεπτά.)

Ο δάσκαλος χαιρετίζει το κοινό, ανακοινώνει το θέμα του μαθήματος, θυμάται ότι είχε δοθεί προηγουμένως η εργασία να επαναλάβουν τους τύπους τριγωνομετρίας και θέτει τους μαθητές για δοκιμή.

2. Δοκιμές. (15 λεπτά + 3 λεπτά συζήτηση)

Στόχος είναι να ελεγχθεί η γνώση των τριγωνομετρικών τύπων και η ικανότητα εφαρμογής τους. Κάθε μαθητής έχει ένα φορητό υπολογιστή στο γραφείο του στο οποίο υπάρχει μια επιλογή δοκιμής.

Μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός επιλογών, θα δώσω ένα παράδειγμα μιας από αυτές:

I επιλογή.

Απλοποίηση εκφράσεων:

α) βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

1. αμαρτία 2 3y + cos 2 3y + 1;

β) τύποι προσθήκης

3. sin5x - sin3x;

γ) μετατροπή ενός προϊόντος σε άθροισμα

6. 2sin8y cos3y;

δ) τύποι διπλής γωνίας

7.2sin5x cos5x;

ε) τύποι μισής γωνίας

στ) τύποι τριπλής γωνίας

ζ) καθολική υποκατάσταση

η) μείωση του πτυχίου

16. cos 2 (3x/7);

Οι μαθητές σε φορητό υπολογιστή μπροστά από κάθε τύπο βλέπουν τις απαντήσεις τους.

Η εργασία ελέγχεται άμεσα από τον υπολογιστή. Τα αποτελέσματα εμφανίζονται σε μια μεγάλη οθόνη για να τα δουν όλοι.

Επίσης, μετά το τέλος της εργασίας εμφανίζονται οι σωστές απαντήσεις στους φορητούς υπολογιστές των μαθητών. Κάθε μαθητής βλέπει πού έγινε το λάθος και ποιες φόρμουλες χρειάζεται να επαναλάβει.

3. Απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων. (25 λεπτά)

Στόχος είναι η επανάληψη, η επεξεργασία και η εμπέδωση της εφαρμογής των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας. Επίλυση προβλημάτων Β7 από την εξέταση.

Σε αυτό το στάδιο, είναι σκόπιμο να χωριστεί η τάξη σε ομάδες ισχυρών (εργασία ανεξάρτητα με επακόλουθη επαλήθευση) και αδύναμων μαθητών που συνεργάζονται με τον δάσκαλο.

Εργασία για δυνατούς μαθητές (προετοιμασμένη για έντυπη βάση). Η κύρια έμφαση δίνεται στους τύπους μείωσης και διπλής γωνίας, σύμφωνα με το USE 2011.

Απλοποιήστε εκφράσεις (για δυνατούς μαθητές):

Παράλληλα, ο δάσκαλος εργάζεται με αδύναμους μαθητές, συζητώντας και λύνοντας εργασίες στην οθόνη υπό την υπαγόρευση των μαθητών.

Υπολογίζω:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Απλοποιώ:

Ήταν η σειρά να συζητήσουμε τα αποτελέσματα της δουλειάς της ισχυρής ομάδας.

Οι απαντήσεις εμφανίζονται στην οθόνη και επίσης, με τη βοήθεια βιντεοκάμερας, εμφανίζεται η εργασία 5 διαφορετικών μαθητών (μία εργασία για τον καθένα).

Η αδύναμη ομάδα βλέπει την κατάσταση και τη μέθοδο λύσης. Υπάρχει συζήτηση και ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τεχνικά μέσαγίνεται γρήγορα.

4. Λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. (30 λεπτά.)

Στόχος είναι η επανάληψη, η συστηματοποίηση και η γενίκευση της λύσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, καταγράφοντας τις ρίζες τους. Λύση του προβλήματος Β3.

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση, όπως και να την λύσουμε, οδηγεί στο απλούστερο.

Κατά την ολοκλήρωση της εργασίας, οι μαθητές θα πρέπει να προσέξουν να γράψουν τις ρίζες των εξισώσεων ειδικών περιπτώσεων και γενική εικόνακαι στην επιλογή των ριζών στην τελευταία εξίσωση.

Επίλυση εξισώσεων:

Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησης.

5. Ανεξάρτητη εργασία (10 λεπτά)

Στόχος είναι να δοκιμαστούν οι αποκτηθείσες δεξιότητες, να εντοπιστούν προβλήματα, λάθη και τρόποι εξάλειψής τους.

Προσφέρεται ποικιλία εργασιών κατ' επιλογή του μαθητή.

Επιλογή για "3"

1) Βρείτε την τιμή της έκφρασης

2) Απλοποιήστε την έκφραση 1 - αμαρτία 2 3α - συν 2 3α

3) Λύστε την εξίσωση

Επιλογή για "4"

1) Βρείτε την τιμή της έκφρασης

2) Λύστε την εξίσωση Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησής σας.

Επιλογή για "5"

1) Να βρείτε tgα αν

2) Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησής σας.

6. Περίληψη του μαθήματος (5 λεπτά)

Ο δάσκαλος συνοψίζει το γεγονός ότι το μάθημα επαναλάμβανε και ενοποίησε τριγωνομετρικούς τύπους, τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η εργασία για το σπίτι ανατίθεται (ετοιμάζεται εκ των προτέρων σε έντυπη βάση) με επιτόπιο έλεγχο στο επόμενο μάθημα.

Επίλυση εξισώσεων:

9)

10) Δώστε την απάντησή σας ως τη μικρότερη θετική ρίζα.

Μάθημα 2

Θέμα: 11η τάξη (προετοιμασία για τις εξετάσεις)

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επιλογή ρίζας. (2 ώρες)

Στόχοι:

• Γενίκευση και συστηματοποίηση γνώσεων για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων διαφόρων τύπων.
• Να προωθήσει την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης των μαθητών, την ικανότητα παρατήρησης, σύγκρισης, γενίκευσης, ταξινόμησης.
• Ενθαρρύνετε τους μαθητές να ξεπεράσουν δυσκολίες στη διαδικασία της νοητικής δραστηριότητας, στον αυτοέλεγχο, στην ενδοσκόπηση των δραστηριοτήτων τους.

Εξοπλισμός για το μάθημα: KRMu, φορητοί υπολογιστές για κάθε μαθητή.

Δομή μαθήματος:

1. όργανο
2. Συζήτηση δ/σ και σαμοτ. το έργο του τελευταίου μαθήματος
3. Επανάληψη μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
4. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων
5. Επιλογή ριζών σε τριγωνομετρικές εξισώσεις.
6. Ανεξάρτητη εργασία.
7. Περίληψη του μαθήματος. Εργασία για το σπίτι.

1. Οργανωτική στιγμή (2 λεπτά)

Ο δάσκαλος χαιρετίζει το κοινό, ανακοινώνει το θέμα του μαθήματος και το σχέδιο εργασίας.

2. α) Ανάλυση εργασία για το σπίτι(5 λεπτά.)

Ο στόχος είναι να ελέγξετε την απόδοση. Ένα έργο με τη βοήθεια βιντεοκάμερας εμφανίζεται στην οθόνη, το υπόλοιπο συλλέγεται επιλεκτικά για να το ελέγξει ο δάσκαλος.

β) Ανάλυση ανεξάρτητη εργασία(3 λεπτά)

Ο στόχος είναι να διευθετήσετε τα λάθη, να υποδείξετε τρόπους για να τα ξεπεράσετε.

Στην οθόνη είναι οι απαντήσεις και οι λύσεις, οι μαθητές έχουν προεκδώσει την εργασία τους. Η ανάλυση προχωρά γρήγορα.

3. Επανάληψη μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων (5 λεπτά)

Ο στόχος είναι να ανακαλέσουμε μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Ρωτήστε τους μαθητές ποιες μεθόδους επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων γνωρίζουν. Τονίστε ότι υπάρχουν οι λεγόμενες βασικές (συχνά χρησιμοποιούμενες) μέθοδοι:

• μεταβλητή αντικατάσταση,
• παραγοντοποίηση,
• ομοιογενείς εξισώσεις,

και υπάρχουν εφαρμοσμένες μέθοδοι:

• σύμφωνα με τους τύπους για τη μετατροπή ενός αθροίσματος σε γινόμενο και ενός γινομένου σε άθροισμα,
• με τους τύπους αναγωγής,
• καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση
• εισαγωγή βοηθητικής γωνίας,
• πολλαπλασιασμός με κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση.

Θα πρέπει επίσης να υπενθυμίσουμε ότι μια εξίσωση μπορεί να λυθεί με διαφορετικούς τρόπους.

4. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων (30 λεπτά)

Στόχος είναι η γενίκευση και η εδραίωση γνώσεων και δεξιοτήτων σε αυτό το θέμα, η προετοιμασία για την επίλυση του C1 από τη ΧΡΗΣΗ.

Θεωρώ σκόπιμο να λύσουμε εξισώσεις για κάθε μέθοδο μαζί με τους μαθητές.

Ο μαθητής υπαγορεύει τη λύση, ο δάσκαλος σημειώνει στο tablet, όλη η διαδικασία εμφανίζεται στην οθόνη. Αυτό θα σας επιτρέψει να επαναφέρετε γρήγορα και αποτελεσματικά υλικό που καλύφθηκε προηγουμένως στη μνήμη σας.

Επίλυση εξισώσεων:

1) αλλαγή μεταβλητής 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) παραγοντοποίηση 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ομοιογενείς εξισώσεις sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) μετατροπή του αθροίσματος στο γινόμενο cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) μετατροπή του γινόμενου στο άθροισμα 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) μείωση του βαθμού sin2x - αμαρτία 2 2x + αμαρτία 2 3x \u003d 0,5

7) καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση sinx + 5cosx + 5 = 0.

Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση αυτής της μεθόδου οδηγεί σε στένωση του πεδίου ορισμού, καθώς το ημίτονο και το συνημίτονο αντικαθίστανται από tg(x/2). Επομένως, πριν γράψετε την απάντηση, είναι απαραίτητο να ελέγξετε αν οι αριθμοί από το σύνολο π + 2πn, n Z είναι άλογα αυτής της εξίσωσης.

8) εισαγωγή βοηθητικής γωνίας √3sinx + cosx - √2 = 0

9) πολλαπλασιασμός με κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Επιλογή ριζών τριγωνομετρικών εξισώσεων (20 λεπτά)

Δεδομένου ότι σε συνθήκες έντονου ανταγωνισμού κατά την εισαγωγή στα πανεπιστήμια, η λύση ενός πρώτου μέρους της εξέτασης δεν αρκεί, οι περισσότεροι μαθητές θα πρέπει να προσέχουν τις εργασίες του δεύτερου μέρους (C1, C2, C3).

Ως εκ τούτου, ο σκοπός αυτού του σταδίου του μαθήματος είναι να ανακαλέσει το υλικό που μελετήθηκε προηγουμένως, να προετοιμαστεί για την επίλυση του προβλήματος C1 από το USE το 2011.

Υπάρχει τριγωνομετρικές εξισώσεις, στο οποίο είναι απαραίτητο να επιλέξετε τις ρίζες κατά την εξαγωγή της απάντησης. Αυτό οφείλεται σε ορισμένους περιορισμούς, για παράδειγμα: ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν είναι ίσος με μηδέν, η έκφραση κάτω από τη ρίζα ενός ζυγού βαθμού είναι μη αρνητική, η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι θετική κ.λπ.

Τέτοιες εξισώσεις θεωρούνται εξισώσεις αυξημένης πολυπλοκότητας και σε έκδοση της εξέτασηςβρίσκονται στο δεύτερο μέρος, δηλαδή το C1.

Λύστε την εξίσωση:

Το κλάσμα είναι μηδέν αν τότε Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, θα επιλέξουμε τις ρίζες (βλ. Εικόνα 1)

Εικόνα 1.

παίρνουμε x = π + 2πn, n Z

Απάντηση: π + 2πn, n Z

Στην οθόνη, η επιλογή των ριζών εμφανίζεται σε κύκλο σε έγχρωμη εικόνα.

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν και το τόξο, ταυτόχρονα, δεν χάνει το νόημά του. Επειτα

Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, επιλέξτε τις ρίζες (βλ. Εικόνα 2)

Σχήμα 2.

5)

Πάμε στο σύστημα:

Στην πρώτη εξίσωση του συστήματος, κάνουμε το log μεταβολών 2 (sinx) = y, λαμβάνουμε την εξίσωση στη συνέχεια , πίσω στο σύστημα

χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, επιλέγουμε τις ρίζες (βλ. Εικόνα 5),

Εικόνα 5

6. Ανεξάρτητη εργασία (15 λεπτά)

Στόχος είναι η παγίωση και ο έλεγχος της αφομοίωσης του υλικού, ο εντοπισμός σφαλμάτων και η περιγραφή τρόπων διόρθωσής τους.

Η εργασία προσφέρεται σε τρεις εκδόσεις, προετοιμασμένες εκ των προτέρων σε έντυπη βάση, κατόπιν επιλογής των μαθητών.

Οι εξισώσεις μπορούν να λυθούν με οποιονδήποτε τρόπο.

Επιλογή για "3"

Επίλυση εξισώσεων:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Επιλογή για "4"

Επίλυση εξισώσεων:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Επιλογή για "5"

Επίλυση εξισώσεων:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Περίληψη του μαθήματος, εργασία (5 λεπτά)

Ο δάσκαλος συνοψίζει το μάθημα, εφιστά για άλλη μια φορά την προσοχή στο γεγονός ότι η τριγωνομετρική εξίσωση μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους. Πλέον Ο καλύτερος τρόποςγια να επιτευχθεί ένα γρήγορο αποτέλεσμα, είναι αυτό που μαθαίνεται καλύτερα από έναν συγκεκριμένο μαθητή.

Κατά την προετοιμασία για την εξέταση, πρέπει να επαναλαμβάνετε συστηματικά τους τύπους και τις μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων.

Διανέμονται εργασίες για το σπίτι (που έχουν προετοιμαστεί εκ των προτέρων σε έντυπη βάση) και σχολιάζονται τρόποι επίλυσης ορισμένων εξισώσεων.

Επίλυση εξισώσεων:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) αμαρτία 2 x + αμαρτία 2 2x - αμαρτία 2 3x - αμαρτία 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Βορόνκοβα Όλγα Ιβάνοβνα

ΜΠΟΥ «Γυμνάσιο

Νο. 18"

Ένγκελς, περιοχή Σαράτοφ.

Δάσκαλος μαθηματικών.

« Τριγωνομετρικές εκφράσειςκαι τις μεταμορφώσεις τους

Εισαγωγή ……………………………………………………………………………………..3

Κεφάλαιο 1 Ταξινόμηση εργασιών για τη χρήση μετασχηματισμών τριγωνομετρικών παραστάσεων …………………………………………………………………

1.1. Εργασίες υπολογισμού τιμές τριγωνομετρικών παραστάσεων……….5

1.2.Εργασίες για την απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων .... 7

1.3. Εργασίες μετατροπής αριθμητικών τριγωνομετρικών παραστάσεων ... ..7

1.4 Μικτές εργασίες…………………………………………………………..9

Κεφάλαιο 2

2.1 Θεματική επανάληψη στη 10η τάξη………………………………………………11

Δοκιμή 1……………………………………………………………………………..12

Δοκιμή 2………………………………………………………………………………..13

Δοκιμή 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Τελική επανάληψη στην τάξη 11…………………………………………………………………………………………………………

Δοκιμή 1………………………………………………………………………………..17

Δοκιμή 2………………………………………………………………………………..17

Δοκιμή 3………………………………………………………………………………..18

Συμπέρασμα…………………………………………………………………………………………….

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας……………………………………………….20

Εισαγωγή.

Στις σημερινές συνθήκες, το πιο σημαντικό ερώτημα είναι: «Πώς μπορούμε να βοηθήσουμε στην εξάλειψη κάποιων κενών στη γνώση των μαθητών και να τους προειδοποιήσουμε για πιθανά λάθη στις εξετάσεις;». Για να λυθεί αυτό το ζήτημα, είναι απαραίτητο να επιτευχθεί από τους μαθητές όχι μια επίσημη αφομοίωση του υλικού του προγράμματος, αλλά η βαθιά και συνειδητή κατανόησή του, η ανάπτυξη της ταχύτητας των προφορικών υπολογισμών και μετασχηματισμών, καθώς και η ανάπτυξη δεξιοτήτων για την επίλυση των απλούστερων προβλήματα «στο μυαλό». Είναι απαραίτητο να πείσουμε τους μαθητές ότι μόνο με την παρουσία μιας ενεργής θέσης, στη μελέτη των μαθηματικών, με την επιφύλαξη της απόκτησης πρακτικών δεξιοτήτων και της χρήσης τους, μπορεί κανείς να υπολογίζει στην πραγματική επιτυχία. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε κάθε ευκαιρία για να προετοιμαστείτε για την εξέταση, συμπεριλαμβανομένων των μαθημάτων επιλογής στις τάξεις 10-11, για να αναλύετε τακτικά σύνθετες εργασίες με τους μαθητές, επιλέγοντας τον πιο ορθολογικό τρόπο επίλυσής τους στην τάξη και στις επιπλέον τάξεις.θετικό αποτέλεσμα σεο τομέας της επίλυσης τυπικών προβλημάτων μπορεί να επιτευχθεί εάν οι καθηγητές μαθηματικών, με τη δημιουργίακαλή βασική εκπαίδευση των μαθητών, αναζητούμε νέους τρόπους επίλυσης των προβλημάτων που έχουν ανοίξει μπροστά μας, πειραματιζόμαστε ενεργά, εφαρμόζουμε σύγχρονα παιδαγωγικές τεχνολογίες, μεθόδους, τεχνικές που δημιουργούν ευνοϊκές συνθήκες για αποτελεσματική αυτοπραγμάτωση και αυτοπροσδιορισμό των μαθητών σε νέες κοινωνικές συνθήκες.

Τριγωνομετρία - συστατικόσχολικό μάθημα μαθηματικών. Η καλή γνώση και οι ισχυρές δεξιότητες στην τριγωνομετρία είναι απόδειξη επαρκές επίπεδομαθηματική κουλτούρα, απαραίτητη προϋπόθεση για την επιτυχή μελέτη των μαθηματικών, της φυσικής, μιας σειράς τεχνικώνπειθαρχίες.

Η συνάφεια της εργασίας. Σημαντικό μέρος των αποφοίτων σχολείων παρουσιάζει από χρόνο σε χρόνο πολύ κακή προετοιμασία σε αυτό το σημαντικό τμήμα των μαθηματικών, όπως αποδεικνύεται από τα αποτελέσματα προηγούμενων ετών (ποσοστό ολοκλήρωσης το 2011-48,41%, 2012-51,05%), αφού η ανάλυση της επιτυχίας Η ενιαία κρατική εξέταση έδειξε ότι οι μαθητές κάνουν πολλά λάθη κατά την ολοκλήρωση των εργασιών του συγκεκριμένου τμήματος ή δεν αναλαμβάνουν καθόλου τέτοιες εργασίες. Σε μια κρατική εξέτασηΟι ερωτήσεις σχετικά με την τριγωνομετρία βρίσκονται σε σχεδόν τρεις τύπους εργασιών. Αυτή είναι η λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων στην εργασία Β5 και εργασία με τριγωνομετρικές εκφράσεις στην εργασία Β7 και η μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην εργασία Β14, καθώς και στις εργασίες Β12, στις οποίες υπάρχουν τύποι που περιγράφουν φυσικά φαινόμενα και περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις . Και αυτό είναι μόνο ένα μέρος των εργασιών Β! Υπάρχουν όμως και αγαπημένες τριγωνομετρικές εξισώσεις με την επιλογή των ριζών C1 και «όχι πολύ αγαπημένες» γεωμετρικές εργασίες C2 και C4.

Σκοπός. Αναλύει ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΤΕ υλικόεργασίες Β7, αφιερωμένες στον μετασχηματισμό τριγωνομετρικών παραστάσεων και ταξινόμηση εργασιών σύμφωνα με τη μορφή υποβολής τους σε τεστ.

Η εργασία αποτελείται από δύο κεφάλαια, την εισαγωγή και το συμπέρασμα. Η εισαγωγή τονίζει τη συνάφεια της εργασίας. Το πρώτο κεφάλαιο παρέχει μια ταξινόμηση εργασιών για τη χρήση μετασχηματισμών τριγωνομετρικών παραστάσεων σε δοκιμαστικές εργασίες USE (2012).

Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζεται η οργάνωση της επανάληψης του θέματος «Μετασχηματισμός τριγωνομετρικών παραστάσεων» στις τάξεις 10, 11 και αναπτύσσονται τεστ για το θέμα αυτό.

Ο κατάλογος των αναφορών περιλαμβάνει 17 πηγές.

Κεφάλαιο 1. Ταξινόμηση εργασιών για τη χρήση μετασχηματισμών τριγωνομετρικών παραστάσεων.

Σύμφωνα με το πρότυπο της δευτεροβάθμιας (πλήρης) εκπαίδευσης και τις απαιτήσεις για το επίπεδο κατάρτισης των μαθητών, οι εργασίες για τη γνώση των βασικών της τριγωνομετρίας περιλαμβάνονται στον κωδικοποιητή απαιτήσεων.

Η εκμάθηση των βασικών της τριγωνομετρίας θα είναι πιο αποτελεσματική όταν:

Οι μαθητές θα έχουν θετικά κίνητρα να επαναλάβουν το υλικό που είχαν μελετήσει προηγουμένως.

σε εκπαιδευτική διαδικασίαθα εφαρμοστεί μια προσωποκεντρική προσέγγιση.

θα εφαρμοστεί ένα σύστημα εργασιών που συμβάλλει στη διεύρυνση, εμβάθυνση, συστηματοποίηση των γνώσεων των μαθητών.

θα χρησιμοποιηθούν προηγμένες παιδαγωγικές τεχνολογίες.

Αφού αναλύσαμε τη βιβλιογραφία και τους πόρους του Διαδικτύου για την προετοιμασία για την εξέταση, προτείναμε μία από τις πιθανές ταξινομήσεις εργασιών B7 (KIM USE 2012-trigonometry): εργασίες για τον υπολογισμόΤιμές τριγωνομετρικών παραστάσεων. εργασίες γιαμετατροπή αριθμητικών τριγωνομετρικών παραστάσεων. εργασίες για τον μετασχηματισμό κυριολεκτικών τριγωνομετρικών παραστάσεων. μικτές εργασίες.

1.1. Εργασίες υπολογισμού τιμές τριγωνομετρικών παραστάσεων.

Ένας από τους πιο συνηθισμένους τύπους απλών τριγωνομετρικών προβλημάτων είναι ο υπολογισμός των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την τιμή μιας από αυτές:

α) Χρήση της βασικής τριγωνομετρικής ταυτότητας και των συνεπειών της.

Παράδειγμα 1 . Βρείτε αν
και
.

Λύση.
,
,

Επειδή , έπειτα
.

Απάντηση.

Παράδειγμα 2 . Εύρημα
, αν
και .

Λύση.
,
,
.

Επειδή , έπειτα
.

Απάντηση. .

β) Χρήση τύπων διπλής γωνίας.

Παράδειγμα 3 . Εύρημα
, αν
.

Λύση. , .

Απάντηση.
.

Παράδειγμα 4 . Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
.

Λύση. .

Απάντηση.
.

1. Εύρημα , αν
και
. Απάντηση. -0,2

2. Εύρημα , αν
και
. Απάντηση. 0.4

3. Εύρημα
, αν . Απάντηση. -12,884. Εύρημα
, αν
. Απάντηση. -0,845. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:
. Απάντηση. 66. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
.Απάντηση. -19

1.2.Εργασίες για την απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων. Οι τύποι μείωσης θα πρέπει να είναι καλά κατακτημένοι από τους μαθητές, καθώς θα χρησιμοποιηθούν περαιτέρω στα μαθήματα γεωμετρίας, φυσικής και άλλων συναφών κλάδων.

Παράδειγμα 5 . Απλοποίηση εκφράσεων
.

Λύση. .

Απάντηση.
.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

1. Απλοποιήστε την έκφραση
. Απάντηση. 0,62. Εύρημα
, αν
και. Απάντηση. 10.563. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
, αν
. Απάντηση. 2

1.3. Εργασίες μετασχηματισμού αριθμητικών τριγωνομετρικών παραστάσεων.

Κατά την ανάπτυξη των δεξιοτήτων και των ικανοτήτων των εργασιών για τη μετατροπή αριθμητικών τριγωνομετρικών παραστάσεων, πρέπει να δοθεί προσοχή στη γνώση του πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, των ιδιοτήτων της ισοτιμίας και της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

α) Χρησιμοποιώντας ακριβείς τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων για ορισμένες γωνίες.

Παράδειγμα 6 . Υπολογίζω
.

Λύση.
.

Απάντηση.
.

β) Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της ισοτιμίας τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα 7 . Υπολογίζω
.

Λύση. .

Απάντηση.

σε) Χρήση ιδιοτήτων περιοδικότηταςτριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα 8 . Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
.

Λύση. .

Απάντηση.
.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

1. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
. Απάντηση. -40,52. Βρείτε την τιμή της έκφρασης
. Απάντηση. 17

3. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
. Απάντηση. 6

. Απάντηση. -24
Απάντηση. -64

1.4 Μικτές εργασίες.

Η δοκιμαστική μορφή πιστοποίησης έχει πολύ σημαντικά χαρακτηριστικά, επομένως είναι σημαντικό να δίνετε προσοχή στις εργασίες που σχετίζονται με τη χρήση πολλών τριγωνομετρικών τύπων ταυτόχρονα.

Παράδειγμα 9 Εύρημα
, αν
.

Λύση.
.

Απάντηση.
.

Παράδειγμα 10 . Εύρημα
, αν
και
.

Λύση. .

Επειδή , έπειτα
.

Απάντηση.
.

Παράδειγμα 11. Εύρημα
, αν .

Λύση. , ,
,
,
,
,
.

Απάντηση.

Παράδειγμα 12. Υπολογίζω
.

Λύση. .

Απάντηση.
.

Παράδειγμα 13 Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
, αν
.

Λύση. .

Απάντηση.
.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

1. Εύρημα
, αν
. Απάντηση. -1,75
2. Εύρημα
, αν
. Απάντηση. 33. Βρείτε
, αν .Απάντηση. 0,254. Βρείτε την τιμή της παράστασης
, αν
. Απάντηση. 0.35. Βρείτε την τιμή της έκφρασης
, αν
. Απάντηση. 5

Κεφάλαιο 2. Μεθοδολογικές όψεις οργάνωση της τελικής επανάληψης του θέματος «Μετασχηματισμός τριγωνομετρικών παραστάσεων».

Ένα από τα σημαντικότερα ζητήματα που συμβάλλει στην περαιτέρω βελτίωση των ακαδημαϊκών επιδόσεων, η απόκτηση βαθιάς και στέρεης γνώσης μεταξύ των μαθητών είναι το ζήτημα της επανάληψης του υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως. Η πρακτική δείχνει ότι στη 10η τάξη είναι πιο σκόπιμο να οργανωθεί μια θεματική επανάληψη. στην 11η τάξη - η τελική επανάληψη.

2.1. Θεματική επανάληψη στη 10η τάξη.

Στη διαδικασία εργασίας πάνω σε μαθηματικό υλικό, ειδικά μεγάλης σημασίαςαποκτά επανάληψη κάθε ολοκληρωμένου θέματος ή ολόκληρης ενότητας του μαθήματος.

Με θεματική επανάληψη συστηματοποιείται η γνώση των μαθητών για το θέμα στο τελικό στάδιο της διέλευσης του ή μετά από ένα διάλειμμα.

Για θεματική επανάληψη, διατίθενται ειδικά μαθήματα, στα οποία συγκεντρώνεται και γενικεύεται η ύλη ενός συγκεκριμένου θέματος.

Η επανάληψη στο μάθημα πραγματοποιείται μέσω συνομιλίας με την ευρεία συμμετοχή των μαθητών σε αυτή τη συνομιλία. Μετά από αυτό, δίνεται στους μαθητές η εργασία να επαναλάβουν ένα συγκεκριμένο θέμα και προειδοποιούνται ότι θα υπάρξει εργασία με πιστώσεις σε τεστ.

Ένα τεστ σε ένα θέμα πρέπει να περιλαμβάνει όλες τις κύριες ερωτήσεις του. Μετά την ολοκλήρωση της εργασίας, αναλύονται τα χαρακτηριστικά λάθη και οργανώνεται επανάληψη για την εξάλειψή τους.

Για μαθήματα θεματικής επανάληψης προσφέρουμε ανεπτυγμένα χαρτιά δοκιμήςμε θέμα «Μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων».

Δοκιμή #1

Δοκιμή #2

Δοκιμή #3

Πίνακας απαντήσεων

Δοκιμή

2.2. Τελική επανάληψη στην 11η τάξη.

Η τελική επανάληψη πραγματοποιείται στο τελικό στάδιο της μελέτης των κύριων θεμάτων του μαθήματος των μαθηματικών και πραγματοποιείται σε λογική σύνδεση με τη μελέτη εκπαιδευτικό υλικόγια αυτήν την ενότητα ή για το μάθημα συνολικά.

Η τελική επανάληψη του εκπαιδευτικού υλικού έχει τους εξής στόχους:

1. Ενεργοποίηση της ύλης ολόκληρου του εκπαιδευτικού σεμιναρίου για την αποσαφήνιση της λογικής δομής του και την οικοδόμηση ενός συστήματος εντός θεματικών και διαθεματικών σχέσεων.

2. Εμβάθυνση και, ει δυνατόν, διεύρυνση των γνώσεων των μαθητών στα κύρια θέματα του μαθήματος στη διαδικασία της επανάληψης.

Στο πλαίσιο της υποχρεωτικής εξέτασης στα μαθηματικά για όλους τους αποφοίτους, η σταδιακή εισαγωγή της USE κάνει τους εκπαιδευτικούς να υιοθετήσουν μια νέα προσέγγιση στην προετοιμασία και τη διεξαγωγή μαθημάτων, λαμβάνοντας υπόψη την ανάγκη να διασφαλιστεί ότι όλοι οι μαθητές κατέχουν το εκπαιδευτικό υλικό για βασικό επίπεδο, καθώς και την ευκαιρία για παρακινημένους φοιτητές, που ενδιαφέρονται να πάρουν υψηλές βαθμολογίες για την εισαγωγή τους σε ένα πανεπιστήμιο, να προχωρήσουν δυναμικά στην κατάκτηση της ύλης σε αυξημένο και υψηλό επίπεδο.

Στα μαθήματα της τελικής επανάληψης, μπορείτε να εξετάσετε τις ακόλουθες εργασίες:

Παράδειγμα 1 . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης.Λύση. =
= =
=
=
=
=0,5. Απάντηση. 0,5. Παράδειγμα 2 Καθορίστε τη μεγαλύτερη ακέραια τιμή που μπορεί να λάβει η παράσταση
.

Λύση. Επειδή
μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή που ανήκει στο τμήμα [–1; 1], λοιπόν
παίρνει οποιαδήποτε τιμή του τμήματος [–0,4; 0,4], επομένως. Η ακέραια τιμή της παράστασης είναι ένας - ο αριθμός 4.

Απάντηση: 4 Παράδειγμα 3 . Απλοποιήστε την έκφραση
.

Λύση: Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την παραγοντοποίηση του αθροίσματος των κύβων: . Εχουμε

Εχουμε:
.

Απάντηση: 1

Παράδειγμα 4 Υπολογίζω
.

Λύση. .

Απάντηση: 0,28

Για τα μαθήματα της τελικής επανάληψης προσφέρουμε ανεπτυγμένα τεστ με θέμα «Μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων».

Καθορίστε τον μεγαλύτερο ακέραιο που δεν υπερβαίνει το 1

συμπέρασμα.

Έχοντας εργαστεί στη σχετική μεθοδολογική βιβλιογραφία για αυτό το θέμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ικανότητα και οι δεξιότητες επίλυσης εργασιών που σχετίζονται με τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών είναι πολύ σημαντικές.

Κατά τη διάρκεια της εργασίας που έγινε, πραγματοποιήθηκε η ταξινόμηση των εργασιών Β7. Λαμβάνονται υπόψη οι τριγωνομετρικοί τύποι που χρησιμοποιούνται συχνότερα σε CMM του 2012. Δίνονται παραδείγματα εργασιών με λύσεις. Έχουν αναπτυχθεί διαφορετικά τεστ για την οργάνωση της επανάληψης και της συστηματοποίησης της γνώσης κατά την προετοιμασία για τις εξετάσεις.

Συνιστάται να συνεχίσετε την εργασία που ξεκίνησε, λαμβάνοντας υπόψη επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων στην εργασία Β5, η μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην εργασία Β14, εργασία Β12, στην οποία υπάρχουν τύποι που περιγράφουν φυσικά φαινόμενα και περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να σημειώσω ότι η αποτελεσματικότητα περνώντας τις εξετάσειςκαθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από το πόσο αποτελεσματικά οργανώνεται η εκπαιδευτική διαδικασία σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης, με όλες τις κατηγορίες μαθητών. Και αν καταφέρουμε να διαμορφώσουμε την ανεξαρτησία, την υπευθυνότητα και την ετοιμότητα των μαθητών να συνεχίσουν τη μάθηση σε όλη τη μετέπειτα ζωή τους, τότε όχι μόνο θα εκπληρώσουμε την τάξη του κράτους και της κοινωνίας, αλλά θα αυξήσουμε και την αυτοεκτίμησή μας.

Η επανάληψη του εκπαιδευτικού υλικού απαιτεί δημιουργική εργασία από τον δάσκαλο. Πρέπει να παρέχει μια σαφή σύνδεση μεταξύ των τύπων επανάληψης, να εφαρμόσει ένα βαθιά μελετημένο σύστημα επανάληψης. Η κυριαρχία στην τέχνη της οργάνωσης της επανάληψης είναι καθήκον του δασκάλου. Η δύναμη της γνώσης των μαθητών εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη λύση της.

Βιβλιογραφία.

Vygodsky Ya.Ya., Εγχειρίδιο στοιχειωδών μαθηματικών. -Μ.: Nauka, 1970.

Εργασίες αυξημένης δυσκολίας στην άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 Λύκειο/ Β.Μ. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. – Μ.: Διαφωτισμός, 1990.

Εφαρμογή βασικών τριγωνομετρικών τύπων στον μετασχηματισμό εκφράσεων (τάξη 10) // Φεστιβάλ Παιδαγωγικών Ιδεών. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofiev A.A. Προετοιμάζουμε καλούς μαθητές και αριστούχους για τις εξετάσεις. - Μ.: Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο «Πρωτο Σεπτέμβρη», 2012.- 103 σελ.

Kuznetsova E.N.Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με διάφορες μεθόδους (προετοιμασία για την εξέταση). 11η τάξη. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 αγωνιστικά προβλήματα στα μαθηματικά. 4ο id., σωστό. και επιπλέον – Μ.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Μεθοδικά προβλήματαμελέτη τριγωνομετρίας σε σχολείο γενικής εκπαίδευσης // Μαθηματικά στο σχολείο. 2002. Αρ. 6.

Pichurin L.F. Περί τριγωνομετρίας και όχι μόνον περί αυτής: -Μ. Διαφωτισμός, 1985

Reshetnikov N.N. Τριγωνομετρία στο σχολείο: -Μ. : Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο «Πρωτο Σεπτέμβρη», 2006, λκ 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Μαθηματικά. Αλγεβρα. Αρχές μαθηματικής ανάλυσης Επίπεδο προφίλ: εγχειρίδιο για την τάξη 10 - Μ .: BINOM. Εργαστήριο Γνώσης, 2007.

Εκπαιδευτική πύλη για την προετοιμασία για τις εξετάσεις.

Προετοιμασία για τις εξετάσεις στα μαθηματικά «Ω, αυτή η τριγωνομετρία! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Εργασία "Μαθηματικά; Εύκολα!!!" http://www.resolventa.ru/

Ενότητες: Μαθηματικά

Τάξη: 11

Μάθημα 1

Θέμα: 11η τάξη (προετοιμασία για τις εξετάσεις)

Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων.

Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. (2 ώρες)

Στόχοι:

• Συστηματοποίηση, γενίκευση, διεύρυνση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών που σχετίζονται με τη χρήση τύπων τριγωνομετρίας και τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Εξοπλισμός για το μάθημα:

Δομή μαθήματος:

1. όργανο
2. Δοκιμές σε φορητούς υπολογιστές. Η συζήτηση των αποτελεσμάτων.
3. Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων
4. Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων
5. Ανεξάρτητη εργασία.
6. Περίληψη του μαθήματος. Επεξήγηση της εργασίας για το σπίτι.

1. Οργανωτική στιγμή. (2 λεπτά.)

Ο δάσκαλος χαιρετίζει το κοινό, ανακοινώνει το θέμα του μαθήματος, θυμάται ότι είχε δοθεί προηγουμένως η εργασία να επαναλάβουν τους τύπους τριγωνομετρίας και θέτει τους μαθητές για δοκιμή.

2. Δοκιμές. (15 λεπτά + 3 λεπτά συζήτηση)

Στόχος είναι να ελεγχθεί η γνώση των τριγωνομετρικών τύπων και η ικανότητα εφαρμογής τους. Κάθε μαθητής έχει ένα φορητό υπολογιστή στο γραφείο του στο οποίο υπάρχει μια επιλογή δοκιμής.

Μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός επιλογών, θα δώσω ένα παράδειγμα μιας από αυτές:

I επιλογή.

Απλοποίηση εκφράσεων:

α) βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

1. αμαρτία 2 3y + cos 2 3y + 1;

β) τύποι προσθήκης

3. sin5x - sin3x;

γ) μετατροπή ενός προϊόντος σε άθροισμα

6. 2sin8y cos3y;

δ) τύποι διπλής γωνίας

7.2sin5x cos5x;

ε) τύποι μισής γωνίας

στ) τύποι τριπλής γωνίας

ζ) καθολική υποκατάσταση

η) μείωση του πτυχίου

16. cos 2 (3x/7);

Οι μαθητές σε φορητό υπολογιστή μπροστά από κάθε τύπο βλέπουν τις απαντήσεις τους.

Η εργασία ελέγχεται άμεσα από τον υπολογιστή. Τα αποτελέσματα εμφανίζονται σε μια μεγάλη οθόνη για να τα δουν όλοι.

Επίσης, μετά το τέλος της εργασίας εμφανίζονται οι σωστές απαντήσεις στους φορητούς υπολογιστές των μαθητών. Κάθε μαθητής βλέπει πού έγινε το λάθος και ποιες φόρμουλες χρειάζεται να επαναλάβει.

3. Απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων. (25 λεπτά)

Στόχος είναι η επανάληψη, η επεξεργασία και η εμπέδωση της εφαρμογής των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας. Επίλυση προβλημάτων Β7 από την εξέταση.

Σε αυτό το στάδιο, είναι σκόπιμο να χωριστεί η τάξη σε ομάδες ισχυρών (εργασία ανεξάρτητα με επακόλουθη επαλήθευση) και αδύναμων μαθητών που συνεργάζονται με τον δάσκαλο.

Εργασία για δυνατούς μαθητές (εκ των προτέρων προετοιμασμένη σε έντυπη βάση). Η κύρια έμφαση δίνεται στους τύπους μείωσης και διπλής γωνίας, σύμφωνα με το USE 2011.

Απλοποιήστε εκφράσεις (για δυνατούς μαθητές):

Παράλληλα, ο δάσκαλος εργάζεται με αδύναμους μαθητές, συζητώντας και λύνοντας εργασίες στην οθόνη υπό την υπαγόρευση των μαθητών.

Υπολογίζω:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Απλοποιώ:

Ήταν η σειρά να συζητήσουμε τα αποτελέσματα της δουλειάς της ισχυρής ομάδας.

Οι απαντήσεις εμφανίζονται στην οθόνη και επίσης, με τη βοήθεια βιντεοκάμερας, εμφανίζεται η εργασία 5 διαφορετικών μαθητών (μία εργασία για τον καθένα).

Η αδύναμη ομάδα βλέπει την κατάσταση και τη μέθοδο λύσης. Υπάρχει συζήτηση και ανάλυση. Με τη χρήση τεχνικών μέσων, αυτό γίνεται γρήγορα.

4. Λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. (30 λεπτά.)

Στόχος είναι η επανάληψη, η συστηματοποίηση και η γενίκευση της λύσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, καταγράφοντας τις ρίζες τους. Λύση του προβλήματος Β3.

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση, όπως και να την λύσουμε, οδηγεί στο απλούστερο.

Κατά την ολοκλήρωση της εργασίας, οι μαθητές θα πρέπει να δώσουν προσοχή στη γραφή των ριζών των εξισώσεων συγκεκριμένων περιπτώσεων και της γενικής μορφής και στην επιλογή των ριζών στην τελευταία εξίσωση.

Επίλυση εξισώσεων:

Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησης.

5. Ανεξάρτητη εργασία (10 λεπτά)

Στόχος είναι να δοκιμαστούν οι αποκτηθείσες δεξιότητες, να εντοπιστούν προβλήματα, λάθη και τρόποι εξάλειψής τους.

Προσφέρεται ποικιλία εργασιών κατ' επιλογή του μαθητή.

Επιλογή για "3"

1) Βρείτε την τιμή της έκφρασης

2) Απλοποιήστε την έκφραση 1 - αμαρτία 2 3α - συν 2 3α

3) Λύστε την εξίσωση

Επιλογή για "4"

1) Βρείτε την τιμή της έκφρασης

2) Λύστε την εξίσωση Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησής σας.

Επιλογή για "5"

1) Να βρείτε tgα αν

2) Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησής σας.

6. Περίληψη του μαθήματος (5 λεπτά)

Ο δάσκαλος συνοψίζει το γεγονός ότι το μάθημα επαναλάμβανε και ενοποίησε τριγωνομετρικούς τύπους, τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η εργασία για το σπίτι ανατίθεται (ετοιμάζεται εκ των προτέρων σε έντυπη βάση) με επιτόπιο έλεγχο στο επόμενο μάθημα.

Επίλυση εξισώσεων:

9)

10) Δώστε την απάντησή σας ως τη μικρότερη θετική ρίζα.

Μάθημα 2

Θέμα: 11η τάξη (προετοιμασία για τις εξετάσεις)

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επιλογή ρίζας. (2 ώρες)

Στόχοι:

• Γενίκευση και συστηματοποίηση γνώσεων για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων διαφόρων τύπων.
• Να προωθήσει την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης των μαθητών, την ικανότητα παρατήρησης, σύγκρισης, γενίκευσης, ταξινόμησης.
• Ενθαρρύνετε τους μαθητές να ξεπεράσουν δυσκολίες στη διαδικασία της νοητικής δραστηριότητας, στον αυτοέλεγχο, στην ενδοσκόπηση των δραστηριοτήτων τους.

Εξοπλισμός για το μάθημα: KRMu, φορητοί υπολογιστές για κάθε μαθητή.

Δομή μαθήματος:

1. όργανο
2. Συζήτηση δ/σ και σαμοτ. το έργο του τελευταίου μαθήματος
3. Επανάληψη μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
4. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων
5. Επιλογή ριζών σε τριγωνομετρικές εξισώσεις.
6. Ανεξάρτητη εργασία.
7. Περίληψη του μαθήματος. Εργασία για το σπίτι.

1. Οργανωτική στιγμή (2 λεπτά)

Ο δάσκαλος χαιρετίζει το κοινό, ανακοινώνει το θέμα του μαθήματος και το σχέδιο εργασίας.

2. α) Ανάλυση εργασιών για το σπίτι (5 λεπτά)

Ο στόχος είναι να ελέγξετε την απόδοση. Ένα έργο με τη βοήθεια βιντεοκάμερας εμφανίζεται στην οθόνη, το υπόλοιπο συλλέγεται επιλεκτικά για να το ελέγξει ο δάσκαλος.

β) Ανάλυση ανεξάρτητης εργασίας (3 λεπτά)

Ο στόχος είναι να διευθετήσετε τα λάθη, να υποδείξετε τρόπους για να τα ξεπεράσετε.

Στην οθόνη είναι οι απαντήσεις και οι λύσεις, οι μαθητές έχουν προεκδώσει την εργασία τους. Η ανάλυση προχωρά γρήγορα.

3. Επανάληψη μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων (5 λεπτά)

Ο στόχος είναι να ανακαλέσουμε μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Ρωτήστε τους μαθητές ποιες μεθόδους επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων γνωρίζουν. Τονίστε ότι υπάρχουν οι λεγόμενες βασικές (συχνά χρησιμοποιούμενες) μέθοδοι:

• μεταβλητή αντικατάσταση,
• παραγοντοποίηση,
• ομοιογενείς εξισώσεις,

και υπάρχουν εφαρμοσμένες μέθοδοι:

• σύμφωνα με τους τύπους για τη μετατροπή ενός αθροίσματος σε γινόμενο και ενός γινομένου σε άθροισμα,
• με τους τύπους αναγωγής,
• καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση
• εισαγωγή βοηθητικής γωνίας,
• πολλαπλασιασμός με κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση.

Θα πρέπει επίσης να υπενθυμίσουμε ότι μια εξίσωση μπορεί να λυθεί με διαφορετικούς τρόπους.

4. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων (30 λεπτά)

Στόχος είναι η γενίκευση και η εδραίωση γνώσεων και δεξιοτήτων σε αυτό το θέμα, η προετοιμασία για την επίλυση του C1 από τη ΧΡΗΣΗ.

Θεωρώ σκόπιμο να λύσουμε εξισώσεις για κάθε μέθοδο μαζί με τους μαθητές.

Ο μαθητής υπαγορεύει τη λύση, ο δάσκαλος σημειώνει στο tablet, όλη η διαδικασία εμφανίζεται στην οθόνη. Αυτό θα σας επιτρέψει να επαναφέρετε γρήγορα και αποτελεσματικά υλικό που καλύφθηκε προηγουμένως στη μνήμη σας.

Επίλυση εξισώσεων:

1) αλλαγή μεταβλητής 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) παραγοντοποίηση 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ομοιογενείς εξισώσεις sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) μετατροπή του αθροίσματος στο γινόμενο cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) μετατροπή του γινόμενου στο άθροισμα 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) μείωση του βαθμού sin2x - αμαρτία 2 2x + αμαρτία 2 3x \u003d 0,5

7) καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση sinx + 5cosx + 5 = 0.

Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση αυτής της μεθόδου οδηγεί σε στένωση του πεδίου ορισμού, καθώς το ημίτονο και το συνημίτονο αντικαθίστανται από tg(x/2). Επομένως, πριν γράψετε την απάντηση, είναι απαραίτητο να ελέγξετε αν οι αριθμοί από το σύνολο π + 2πn, n Z είναι άλογα αυτής της εξίσωσης.

8) εισαγωγή βοηθητικής γωνίας √3sinx + cosx - √2 = 0

9) πολλαπλασιασμός με κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Επιλογή ριζών τριγωνομετρικών εξισώσεων (20 λεπτά)

Δεδομένου ότι σε συνθήκες έντονου ανταγωνισμού κατά την εισαγωγή στα πανεπιστήμια, η λύση ενός πρώτου μέρους της εξέτασης δεν αρκεί, οι περισσότεροι μαθητές θα πρέπει να προσέχουν τις εργασίες του δεύτερου μέρους (C1, C2, C3).

Ως εκ τούτου, ο σκοπός αυτού του σταδίου του μαθήματος είναι να ανακαλέσει το υλικό που μελετήθηκε προηγουμένως, να προετοιμαστεί για την επίλυση του προβλήματος C1 από το USE το 2011.

Υπάρχουν τριγωνομετρικές εξισώσεις στις οποίες πρέπει να επιλέξετε τις ρίζες όταν γράφετε την απάντηση. Αυτό οφείλεται σε ορισμένους περιορισμούς, για παράδειγμα: ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν είναι ίσος με μηδέν, η έκφραση κάτω από τη ρίζα ενός ζυγού βαθμού είναι μη αρνητική, η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι θετική κ.λπ.

Τέτοιες εξισώσεις θεωρούνται εξισώσεις αυξημένης πολυπλοκότητας και στην έκδοση USE βρίσκονται στο δεύτερο μέρος, δηλαδή στο C1.

Λύστε την εξίσωση:

Το κλάσμα είναι μηδέν αν τότε Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, θα επιλέξουμε τις ρίζες (βλ. Εικόνα 1)

Εικόνα 1.

παίρνουμε x = π + 2πn, n Z

Απάντηση: π + 2πn, n Z

Στην οθόνη, η επιλογή των ριζών εμφανίζεται σε κύκλο σε έγχρωμη εικόνα.

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν και το τόξο, ταυτόχρονα, δεν χάνει το νόημά του. Επειτα

Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, επιλέξτε τις ρίζες (βλ. Εικόνα 2)

ΣΤΟ πανομοιότυπες μετατροπές τριγωνομετρικές εκφράσειςμπορούν να χρησιμοποιηθούν τα ακόλουθα αλγεβρικά κόλπα: προσθήκη και αφαίρεση πανομοιότυπων όρων. βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσης. πολλαπλασιασμός και διαίρεση με την ίδια τιμή. εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού. επιλογή πλήρους τετραγώνου. παραγοντοποίηση τετραγωνικού τριωνύμου. εισαγωγή νέων μεταβλητών για την απλοποίηση των μετασχηματισμών.

Κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων που περιέχουν κλάσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες της αναλογίας, της μείωσης των κλασμάτων ή της αναγωγής των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την επιλογή του ακέραιου μέρους του κλάσματος, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με την ίδια τιμή και επίσης, εάν είναι δυνατόν, να λάβετε υπόψη την ομοιομορφία του αριθμητή ή του παρονομαστή. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να αναπαραστήσετε ένα κλάσμα ως άθροισμα ή διαφορά πολλών απλούστερων κλασμάτων.

Επιπλέον, κατά την εφαρμογή όλων των απαραίτητων μεθόδων για τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων, είναι απαραίτητο να λαμβάνεται συνεχώς υπόψη το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μετατρεπόμενων παραστάσεων.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ αμαρτία (3π/2 - x) αμαρτία (2x -5π/2)) 2

Λύση.

Από τους τύπους μείωσης προκύπτει:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; αμαρτία (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Όπου, χάρη στους τύπους για την προσθήκη ορισμάτων και τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, λαμβάνουμε

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= αμαρτία 2 3x + cos 2 3x = 1

Απάντηση: 1.

Παράδειγμα 2

Να μετατρέψετε την έκφραση M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ σε γινόμενο.

Λύση.

Από τους τύπους προσθήκης ορισμάτων και τους τύπους μετατροπής του αθροίσματος τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο, μετά την κατάλληλη ομαδοποίηση, έχουμε

Μ = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) συν ((β – γ)/2) + (συν α + συν (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) συν ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) συν ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) συν ((α + β)/2) συν ((α + γ)/2).

Απάντηση: Μ = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Παράδειγμα 3.

Δείξτε ότι η έκφραση A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) παίρνει για όλα τα x από το R ένα και την ίδια αξία. Βρείτε αυτήν την τιμή.

Λύση.

Παρουσιάζουμε δύο μεθόδους για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Εφαρμόζοντας την πρώτη μέθοδο, απομονώνοντας το πλήρες τετράγωνο και χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, παίρνουμε

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Λύνοντας το πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο, θεωρήστε το Α ως συνάρτηση του x από το R και υπολογίστε την παράγωγό του. Μετά από μετασχηματισμούς, παίρνουμε

Α´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Επομένως, δυνάμει του κριτηρίου της σταθερότητας μιας συνάρτησης διαφοροποιήσιμης σε ένα διάστημα, συμπεραίνουμε ότι

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Απάντηση: A = 3/4 για x € R.

Οι κύριες μέθοδοι απόδειξης τριγωνομετρικών ταυτοτήτων είναι:

ένα)μείωση της αριστερής πλευράς της ταυτότητας στη δεξιά πλευρά με κατάλληλους μετασχηματισμούς.
σι)μείωση της δεξιάς πλευράς της ταυτότητας προς τα αριστερά.
σε)μείωση του δεξιού και του αριστερού μέρους της ταυτότητας στην ίδια μορφή.
ΣΟΛ)μείωση στο μηδέν της διαφοράς μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους της ταυτότητας που αποδεικνύεται.

Παράδειγμα 4

Ελέγξτε ότι cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Λύση.

Μετασχηματίζοντας τη δεξιά πλευρά αυτής της ταυτότητας σύμφωνα με τους αντίστοιχους τριγωνομετρικούς τύπους, έχουμε

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Η δεξιά πλευρά της ταυτότητας μειώνεται στην αριστερή πλευρά.

Παράδειγμα 5

Να αποδείξετε ότι sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 αν α, β, γ είναι εσωτερικές γωνίες κάποιου τριγώνου.

Λύση.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι α, β, γ είναι εσωτερικές γωνίες κάποιου τριγώνου, το παίρνουμε

α + β + γ = π και εξ ου και γ = π – α – β.

αμαρτία 2 α + αμαρτία 2 β + αμαρτία 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - συν 2α) + ½ (1 - συν 2β) + 1 + 1/2 (συν 2α + συν 2β) = 2.

Η αρχική ισότητα αποδεικνύεται.

Παράδειγμα 6

Να αποδείξετε ότι για να είναι μία από τις γωνίες α, β, γ του τριγώνου ίση με 60°, είναι απαραίτητο και αρκετό αμαρτία 3α + αμαρτία 3β + αμαρτία 3γ = 0.

Λύση.

Η συνθήκη αυτού του προβλήματος προϋποθέτει την απόδειξη και της αναγκαιότητας και της επάρκειας.

Πρώτα αποδεικνύουμε χρειάζομαι.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι

αμαρτία 3α + αμαρτία 3β + αμαρτία 3γ = -4cos (3α/2) συν (3β/2) συν (3γ/2).

Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη ότι cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, προκύπτει ότι εάν μία από τις γωνίες α, β ή γ είναι ίση με 60°, τότε

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 και ως εκ τούτου sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Ας αποδείξουμε τώρα επάρκειατην καθορισμένη συνθήκη.

Αν sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, τότε cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, και επομένως

είτε cos (3α/2) = 0, είτε συν (3β/2) = 0, είτε συν (3γ/2) = 0.

Συνεπώς,

ή 3α/2 = π/2 + πk, δηλ. α = π/3 + 2πk/3,

ή 3β/2 = π/2 + πk, δηλ. β = π/3 + 2πk/3,

ή 3γ/2 = π/2 + πk,

εκείνοι. γ = π/3 + 2πk/3, όπου k ϵ Z.

Από το ότι α, β, γ είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, έχουμε

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Επομένως, για α = π/3 + 2πk/3 ή β = π/3 + 2πk/3 ή

γ = π/3 + 2πk/3 από όλα τα kϵZ ταιριάζει μόνο k = 0.

Όπου προκύπτει ότι είτε α = π/3 = 60°, είτε β = π/3 = 60°, είτε γ = π/3 = 60°.

Ο ισχυρισμός έχει αποδειχθεί.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να απλοποιήσετε τις τριγωνομετρικές εκφράσεις;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.