Παραγωγή του γενικού τύπου για τις ρίζες της εξίσωσης tgx α. Μάθημα "Επταπτομένη τόξο και εφαπτομένη τόξο. Λύση εξισώσεων tgx = a, ctgx = a". Λύση της εξίσωσης tgx=a σε γενική μορφή

Νωρίτερα στο πρόγραμμα, οι μαθητές πήραν μια ιδέα για τη λύση τριγωνομετρικές εξισώσεις, εξοικειώθηκε με τις έννοιες αρκοσίνη και τόξο, παραδείγματα λύσεων των εξισώσεων cos t = a και sin t = a. Σε αυτό το σεμινάριο βίντεο, θα εξετάσουμε τη λύση των εξισώσεων tg x = a και ctg x = a.

Στην αρχή της μελέτης αυτού του θέματος, θεωρήστε τις εξισώσεις tg x = 3 και tg x = - 3. Αν λύσουμε την εξίσωση tg x = 3 χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, θα δούμε ότι η τομή των γραφημάτων των συναρτήσεων y = tg x και y = 3 έχει άπειρο αριθμό λύσεων, όπου x = x 1 + πk. Η τιμή x 1 είναι η συντεταγμένη x του σημείου τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = tg x και y = 3. Ο συγγραφέας εισάγει την έννοια της εφαπτομένης: arctg 3 είναι ένας αριθμός του οποίου το tg είναι 3, και αυτός ο αριθμός ανήκει το διάστημα από -π/2 έως π/2. Χρησιμοποιώντας την έννοια της εφαπτομένης, η λύση της εξίσωσης tan x = 3 μπορεί να γραφεί ως x = arctan 3 + πk.

Κατ' αναλογία, λύνεται η εξίσωση tg x \u003d - 3. Σύμφωνα με τα κατασκευασμένα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d tg x και y \u003d - 3, μπορεί να φανεί ότι τα σημεία τομής των γραφημάτων και επομένως οι λύσεις των εξισώσεων, θα είναι x \u003d x 2 + πk. Χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη του τόξου, η λύση μπορεί να γραφεί ως x = arctan (- 3) + πk. Στο παρακάτω σχήμα, θα δούμε ότι arctg (- 3) = - arctg 3.

Ο γενικός ορισμός της εφαπτομένης τόξου έχει ως εξής: η εφαπτομένη του τόξου του a είναι ένας αριθμός από το διάστημα από -π / 2 έως π / 2, η εφαπτομένη του οποίου είναι α. Τότε η λύση της εξίσωσης tg x = a είναι x = arctg a + πk.

Ο συγγραφέας δίνει ένα παράδειγμα 1. Βρείτε μια λύση στην έκφραση arctg Ας εισάγουμε τον συμβολισμό: η εφαπτομένη του αριθμού είναι ίση με x, τότε η tg x θα είναι ίση με τον δεδομένο αριθμό, όπου x ανήκει στο τμήμα από -π /2 έως π/2. Όπως και στα παραδείγματα στα προηγούμενα θέματα, θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα τιμών. Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα, η εφαπτομένη αυτού του αριθμού αντιστοιχεί στην τιμή x = π/3. Γράφουμε τη λύση στην εξίσωση της εφαπτομένης του τόξου ενός δεδομένου αριθμού ίσου με π / 3, το π / 3 ανήκει επίσης στο διάστημα από -π / 2 έως π / 2.

Παράδειγμα 2 - Υπολογίστε την εφαπτομένη του τόξου ενός αρνητικού αριθμού. Χρησιμοποιώντας την ισότητα arctg (- a) = - arctg a, εισαγάγετε την τιμή x. Ομοίως με το παράδειγμα 2, γράφουμε την τιμή του x, η οποία ανήκει στο διάστημα από -π/2 έως π/2. Σύμφωνα με τον πίνακα τιμών, βρίσκουμε ότι x = π/3, επομένως, -- tg x = - π/3. Η απάντηση στην εξίσωση είναι - π/3.

Εξετάστε το Παράδειγμα 3. Ας λύσουμε την εξίσωση tan x = 1. Ας γράψουμε ότι x = αρκτάν 1 + πk. Στον πίνακα, η τιμή του tg 1 αντιστοιχεί στην τιμή x \u003d π / 4, επομένως, arctg 1 \u003d π / 4. Αντικαταστήστε αυτή την τιμή στον αρχικό τύπο x και σημειώστε την απάντηση x = π/4 + πk.

Παράδειγμα 4: υπολογισμός tg x = - 4.1. Σε αυτή την περίπτωση, x = arctg (- 4.1) + πk. Επειδή δεν είναι δυνατό να βρεθεί η τιμή του arctg σε αυτήν την περίπτωση, η απάντηση θα μοιάζει με x = arctg (- 4.1) + πk.

Το Παράδειγμα 5 εξετάζει τη λύση της ανίσωσης tg x > 1. Για να τη λύσουμε, σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = tg x και y = 1. Όπως φαίνεται στο σχήμα, αυτές οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται στα σημεία x = π /4 + πk. Επειδή Σε αυτή την περίπτωση, tg x > 1, στο γράφημα επιλέγουμε το εμβαδόν της εφαπτομένης, που βρίσκεται πάνω από το γράφημα y = 1, όπου το x ανήκει στο διάστημα από π/4 έως π/2. Γράφουμε την απάντηση ως π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Στη συνέχεια, θεωρήστε την εξίσωση ctg x = a. Το σχήμα δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων y = ctg x, y = a, y = - a, που έχουν πολλά σημεία τομής. Οι λύσεις μπορούν να γραφτούν ως x = x 1 + πk, όπου x 1 = arcctg a και x = x 2 + πk, όπου x 2 = arcctg (- a). Σημειώνεται ότι x 2 \u003d π - x 1. Αυτό συνεπάγεται την ισότητα arcctg (- a) = π - arcctg a. Περαιτέρω, δίνεται ο ορισμός της συνεφαπτομένης τόξου: η συνεφαπτομένη τόξου του a είναι ένας τέτοιος αριθμός από το διάστημα από το 0 έως το π, του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με a. Η λύση της εξίσωσης σtg x = a γράφεται ως: x = arcctg a + πk.

Στο τέλος του μαθήματος βίντεο, βγαίνει ένα άλλο σημαντικό συμπέρασμα - η έκφραση ctg x = a μπορεί να γραφτεί ως tg x = 1/a, με την προϋπόθεση ότι το a δεν είναι ίσο με μηδέν.

ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:

Εξετάστε τη λύση των εξισώσεων tg x \u003d 3 και tg x \u003d - 3. Λύνοντας γραφικά την πρώτη εξίσωση, βλέπουμε ότι τα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d tg x και y \u003d 3 έχουν άπειρα σημεία τομής, τα τετμημένα των οποίων γράφουμε στη μορφή

x \u003d x 1 + πk, όπου x 1 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d 3 με τον κύριο κλάδο της εφαπτομενικής (Εικ. 1), για την οποία επινοήθηκε η ονομασία

αρκτάν 3 (εφαπτομένη τόξου τριών).

Πώς να κατανοήσετε το arctg 3;

Αυτός είναι ένας αριθμός του οποίου η εφαπτομένη είναι 3 και ο αριθμός αυτός ανήκει στο διάστημα (-;). Στη συνέχεια, όλες οι ρίζες της εξίσωσης tg x \u003d 3 μπορούν να γραφτούν με τον τύπο x \u003d arctan 3 + πk.

Ομοίως, η λύση της εξίσωσης tg x \u003d - 3 μπορεί να γραφτεί ως x \u003d x 2 + πk, όπου x 2 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d - 3 με τον κύριο κλάδο της εφαπτομενική (Εικ. 1), για την οποία ο προσδιορισμός arctg (- 3) (εφαπτομένη μείον τρία). Τότε όλες οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν να γραφτούν με τον τύπο: x \u003d arctg (-3) + πk. Το σχήμα δείχνει ότι arctg(- 3)= - arctg 3.

Ας διατυπώσουμε τον ορισμό της εφαπτομένης του τόξου. Η εφαπτομένη του τόξου a είναι ένας τέτοιος αριθμός από το διάστημα (-;), του οποίου η εφαπτομένη είναι ίση με a.

Η ισότητα χρησιμοποιείται συχνά: arctg(-a) = -arctg a, η οποία ισχύει για οποιοδήποτε α.

Γνωρίζοντας τον ορισμό της εφαπτομένης του τόξου, βγάζουμε ένα γενικό συμπέρασμα για τη λύση της εξίσωσης

tg x \u003d a: η εξίσωση tg x \u003d a έχει λύση x \u003d arctg a + πk.

Εξετάστε παραδείγματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Υπολογίστε το arctg.

Λύση. Έστω arctg = x, μετά tgx = και xϵ (-;). Εμφάνιση πίνακα τιμών Επομένως, x =, αφού tg = και ϵ (- ;).

Άρα arctg =.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Υπολογίστε το αρκτάν (-).

Λύση. Χρησιμοποιώντας την ισότητα arctg (- a) \u003d - arctg a, γράφουμε:

arctg(-) = - arctg . Έστω - arctg = x, μετά - tgx = και xϵ (-;). Επομένως, x =, αφού tg = και ϵ (- ;). Εμφάνιση πίνακα τιμών

Άρα - arctg=- tgх= - .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Λύστε την εξίσωση tgх = 1.

1. Ας γράψουμε τον τύπο λύσης: x = arctg 1 + πk.

2. Ας βρούμε την τιμήεφαπτομένη τόξου

αφού tg = . Εμφάνιση πίνακα τιμών

Άρα arctg1= .

3. Βάλτε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο λύσης:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Λύστε την εξίσωση tgx \u003d - 4,1 (η εφαπτομένη x είναι ίση με μείον τέσσερις βαθμούς ένα δέκατο).

Λύση. Ας γράψουμε τον τύπο λύσης: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της εφαπτομένης του τόξου, οπότε θα αφήσουμε τη λύση της εξίσωσης ως έχει.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Λύστε την ανισότητα tgх 1.

Λύση. Ας το κάνουμε γραφικά.

1. Ας φτιάξουμε μια εφαπτομένη

y \u003d tgx και μια ευθεία γραμμή y \u003d 1 (Εικ. 2). Τέμνονται σε σημεία της μορφής x = + πk.

2. Επιλέξτε το διάστημα του άξονα x, στο οποίο ο κύριος κλάδος της εφαπτομενικής βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή y \u003d 1, αφού σύμφωνα με τη συνθήκη tgх 1. Αυτό είναι το διάστημα (;).

3. Χρησιμοποιούμε την περιοδικότητα της συνάρτησης.

Ιδιότητα 2. y \u003d tg x - μια περιοδική συνάρτηση με μια βασική περίοδο π.

Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης y \u003d tgx, γράφουμε την απάντηση:

(;). Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως διπλή ανισότητα:

Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση ctg x \u003d a. Ας παρουσιάσουμε μια γραφική απεικόνιση της λύσης της εξίσωσης για θετικό και αρνητικό α (Εικ. 3).

Γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d ctg x και y \u003d a και

y=ctg x και y=-a

έχουν άπειρα πολλά κοινά σημεία, τα τετμημένα των οποίων έχουν τη μορφή:

x \u003d x 1 +, όπου x 1 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d a με τον κύριο κλάδο της εφαπτομένης και

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, όπου x 2 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας

y \u003d - αλλά με τον κύριο κλάδο της εφαπτοειδούς και x 2 \u003d arcсtg (- a).

Σημειώστε ότι x 2 \u003d π - x 1. Καταγράφουμε λοιπόν τη σημαντική εξίσωση:

arcctg (-a) = π - arcctg α.

Ας διατυπώσουμε τον ορισμό: η συνεφαπτομένη του a είναι ένας τέτοιος αριθμός από το διάστημα (0; π) του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με a.

Η λύση της εξίσωσης ctg x \u003d a γράφεται ως: x \u003d arcсtg a +.

Σημειώστε ότι η εξίσωση ctg x = a μπορεί να μετατραπεί στη μορφή

tg x = , εκτός εάν a = 0.

Μπορείτε να παραγγείλετε μια λεπτομερή λύση στο πρόβλημά σας !!!

Μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης («sin x, cos x, tg x» ή «ctg x») ονομάζεται τριγωνομετρική εξίσωση και θα εξετάσουμε περαιτέρω τους τύπους τους.

Οι απλούστερες εξισώσεις είναι «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», όπου «x» είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί, «a» είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ας γράψουμε τους τύπους ρίζας για καθένα από αυτά.

1. Εξίσωση `sin x=a`.

Για το `|a|>1` δεν έχει λύσεις.

Με `|α| \leq 1` έχει άπειρος αριθμόςλύσεις.

Τύπος ρίζας: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Εξίσωση `cos x=a`

Για `|a|>1` - όπως στην περίπτωση του ημιτόνου, δεν υπάρχουν λύσεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών.

Με `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Ειδικές περιπτώσεις για ημίτονο και συνημίτονο σε γραφήματα.

3. Εξίσωση `tg x=a`

Έχει άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Εξίσωση `ctg x=a`

Έχει επίσης έναν άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Τύποι για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων στον πίνακα

Για τα ιγμόρεια:
Για το συνημίτονο:
Για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:
Τύποι επίλυσης εξισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Η λύση οποιασδήποτε τριγωνομετρικής εξίσωσης αποτελείται από δύο στάδια:

• χρησιμοποιώντας για να το μετατρέψετε στο απλούστερο?
• λύστε την απλή εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους για τις ρίζες και τους πίνακες.

Ας εξετάσουμε τις κύριες μεθόδους λύσης χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

αλγεβρική μέθοδος.

Στη μέθοδο αυτή γίνεται η αντικατάσταση μιας μεταβλητής και η αντικατάστασή της σε ισότητα.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

κάντε μια αντικατάσταση: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, μετά `2y^2-3y+1=0`,

βρίσκουμε τις ρίζες: `y_1=1, y_2=1/2`, από τις οποίες ακολουθούν δύο περιπτώσεις:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Παραγοντοποίηση.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `sin x+cos x=1`.

Λύση. Μετακινήστε προς τα αριστερά όλους τους όρους ισότητας: `sin x+cos x-1=0`. Χρησιμοποιώντας , μετασχηματίζουμε και παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Αρχικά, πρέπει να φέρετε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση σε μία από τις δύο μορφές:

`a sin x+b cos x=0` (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού) ή `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Στη συνέχεια, διαχωρίστε και τα δύο μέρη κατά «cos x \ne 0» για την πρώτη περίπτωση και κατά «cos^2 x \ne 0» για τη δεύτερη. Λαμβάνουμε εξισώσεις για `tg x`: `a tg x+b=0` και `a tg^2 x + b tg x +c =0`, οι οποίες πρέπει να λυθούν χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Λύση. Ας γράψουμε τη δεξιά πλευρά ως `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Αυτή είναι μια ομοιογενής τριγωνομετρική εξίσωση του δεύτερου βαθμού, διαιρώντας το αριστερό και το δεξί μέρος της με το «cos^2 x \ne 0», παίρνουμε:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Ας εισάγουμε την αντικατάσταση `tg x=t`, ως αποτέλεσμα `t^2 + t - 2=0`. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι «t_1=-2» και «t_2=1». Επειτα:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Μεταβείτε στο Half Corner

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Λύση. Εφαρμόζοντας τους τύπους διπλής γωνίας, το αποτέλεσμα είναι: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 συν^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Εφαρμόζοντας την αλγεβρική μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, λαμβάνουμε:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Στην τριγωνομετρική εξίσωση «a sin x + b cos x =c», όπου a,b,c είναι συντελεστές και x είναι μια μεταβλητή, διαιρούμε και τα δύο μέρη με το «sqrt (a^2+b^2)»:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))».

Οι συντελεστές στην αριστερή πλευρά έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή, το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 1 και το μέτρο τους είναι το πολύ 1. Ας τους συμβολίσουμε ως εξής: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , έπειτα:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο ακόλουθο παράδειγμα:

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `3 sin x+4 cos x=2`.

Λύση. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με «sqrt (3^2+4^2)», παίρνουμε:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))».

`3/5 αμαρτία x+4/5 cos x=2/5`.

Σημειώστε `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Δεδομένου ότι `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, λαμβάνουμε το `\varphi=arcsin 4/5` ως βοηθητική γωνία. Στη συνέχεια γράφουμε την ισότητά μας με τη μορφή:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών για το ημίτονο, γράφουμε την ισότητα μας με την ακόλουθη μορφή:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Κλασματικές-ορθολογικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Πρόκειται για ισότητες με κλάσματα, στους αριθμητές και στους παρονομαστές των οποίων υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Λύση. Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το «(1+cos x)». Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Δεδομένου ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι μηδέν, παίρνουμε `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Εξισώστε τον αριθμητή του κλάσματος με μηδέν: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Στη συνέχεια `sin x=0` ή `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Δεδομένου ότι ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, οι λύσεις είναι `x=2\pi n, n \in Z` και `x=\pi /2+2\pi n` , `n \σε Z`.

Απάντηση. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Η τριγωνομετρία, και ειδικότερα οι τριγωνομετρικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται σχεδόν σε όλους τους τομείς της γεωμετρίας, της φυσικής και της μηχανικής. Η μελέτη ξεκινάει στην 10η τάξη, υπάρχουν πάντα εργασίες για τις εξετάσεις, οπότε προσπαθήστε να θυμάστε όλους τους τύπους των τριγωνομετρικών εξισώσεων - σίγουρα θα σας φανούν χρήσιμοι!

Ωστόσο, δεν χρειάζεται καν να τα απομνημονεύσετε, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε την ουσία και να είστε σε θέση να συμπεράνετε. Δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται. Δείτε μόνοι σας βλέποντας το βίντεο.

Για την επιτυχή επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσειςβολικό στη χρήση μέθοδος μείωσηςσε προβλήματα που είχαν λυθεί προηγουμένως. Ας δούμε ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου;

Σε οποιοδήποτε προτεινόμενο πρόβλημα, πρέπει να δείτε το πρόβλημα που λύθηκε προηγουμένως και, στη συνέχεια, με τη βοήθεια διαδοχικών ισοδύναμων μετασχηματισμών, προσπαθήστε να περιορίσετε το πρόβλημα που σας δόθηκε σε ένα απλούστερο.

Έτσι, κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, συνήθως συνθέτουν κάποια πεπερασμένη ακολουθία ισοδύναμων εξισώσεων, ο τελευταίος σύνδεσμος των οποίων είναι μια εξίσωση με προφανή λύση. Είναι σημαντικό μόνο να θυμόμαστε ότι εάν δεν διαμορφωθούν οι δεξιότητες για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, τότε η λύση πιο σύνθετων εξισώσεων θα είναι δύσκολη και αναποτελεσματική.

Επιπλέον, όταν λύνετε τριγωνομετρικές εξισώσεις, δεν πρέπει ποτέ να ξεχνάτε την πιθανότητα ύπαρξης πολλών λύσεων.

Παράδειγμα 1. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης cos x = -1/2 στο διάστημα.

Λύση:

με τρόπο.Ας σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = cos x και y = -1/2 και ας βρούμε τον αριθμό των κοινών σημείων τους στο διάστημα (Εικ. 1).

Δεδομένου ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν δύο κοινά σημεία στο διάστημα, η εξίσωση περιέχει δύο ρίζες σε αυτό το διάστημα.

II τρόπος.Χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο (Εικ. 2), βρίσκουμε τον αριθμό των σημείων που ανήκουν στο διάστημα στο οποίο cos x = -1/2. Το σχήμα δείχνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

III τρόπος.Χρησιμοποιώντας τον τύπο των ριζών της τριγωνομετρικής εξίσωσης λύνουμε την εξίσωση cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, το k είναι ακέραιος (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, το k είναι ακέραιος (k ∈ Z).

Οι ρίζες 2π/3 και -2π/3 + 2π ανήκουν στο διάστημα, το k είναι ακέραιος. Έτσι, η εξίσωση έχει δύο ρίζες σε ένα δεδομένο διάστημα.

Απάντηση: 2.

Στο μέλλον, οι τριγωνομετρικές εξισώσεις θα επιλύονται με μία από τις προτεινόμενες μεθόδους, η οποία σε πολλές περιπτώσεις δεν αποκλείει τη χρήση άλλων μεθόδων.

Παράδειγμα 2. Βρείτε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης tg (x + π/4) = 1 στο διάστημα [-2π; 2π].

Λύση:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο των ριζών της τριγωνομετρικής εξίσωσης, παίρνουμε:

x + π/4 = arctan 1 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);

x = πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);

Το διάστημα [-2π; 2π] ανήκουν στους αριθμούς -2π; -π; 0; π; 2π. Άρα, η εξίσωση έχει πέντε ρίζες σε ένα δεδομένο διάστημα.

Απάντηση: 5.

Παράδειγμα 3. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης cos 2 x + sin x cos x = 1 στο διάστημα [-π; π].

Λύση:

Εφόσον 1 = sin 2 x + cos 2 x (βασική τριγωνομετρική ταυτότητα), η αρχική εξίσωση γίνεται:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, επομένως:

sin x \u003d 0 ή sin x - cos x \u003d 0.

Εφόσον η τιμή της μεταβλητής, στην οποία cos x = 0, δεν είναι οι ρίζες της δεύτερης εξίσωσης (το ημίτονο και το συνημίτονο του ίδιου αριθμού δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα), τότε διαιρούμε και τα δύο μέρη της δεύτερης εξίσωση με cos x:

sin x = 0 ή sin x / cos x - 1 = 0.

Στη δεύτερη εξίσωση, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι tg x = sin x / cos x, τότε:

sin x = 0 ή tg x = 1. Χρησιμοποιώντας τύπους, έχουμε:

x = πk ή x = π/4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k ∈ Z).

Από την πρώτη σειρά ριζών μέχρι το διάστημα [-π; π] ανήκουν στους αριθμούς -π; 0; π. Από τη δεύτερη σειρά: (π/4 – π) και π/4.

Έτσι, οι πέντε ρίζες της αρχικής εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα [-π; π].

Απάντηση: 5.

Παράδειγμα 4. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 στο διάστημα [-π; 1,1π].

Λύση:

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με την ακόλουθη μορφή:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 και κάντε μια αλλαγή.

Έστω tg x + сtgx = a. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Αφού tg x сtgx \u003d 1, τότε tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, που σημαίνει

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Τώρα η αρχική εξίσωση μοιάζει με:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, παίρνουμε ότι a = -1 ή a = -2.

Κάνοντας την αντίστροφη αντικατάσταση, έχουμε:

tg x + сtgx = -1 ή tg x + сtgx = -2. Ας λύσουμε τις εξισώσεις που προέκυψαν.

tgx + 1/tgx = -1 ή tgx + 1/tgx = -2.

Με την ιδιότητα δύο αμοιβαίων αμοιβαίων αριθμών, προσδιορίζουμε ότι η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες και από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε:

tg x = -1, δηλ. x = -π/4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).

Το διάστημα [-π; 1,1π] οι ρίζες ανήκουν: -π/4; -π/4 + π. Το άθροισμά τους:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Απάντηση: π/2.

Παράδειγμα 5. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των ριζών της εξίσωσης sin 3x + sin x = sin 2x στο διάστημα [-π; 0,5π].

Λύση:

Χρησιμοποιούμε τον τύπο sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), τότε

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x και η εξίσωση γίνεται

2sin 2x cos x = αμαρτία 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα sin 2x από παρενθέσεις

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:

sin 2x \u003d 0 ή 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 ή cos x = 1/2;

2x = πk ή x = ±π/3 + 2πk, το k είναι ακέραιος (k € Z).

Έτσι έχουμε ρίζες

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).

Το διάστημα [-π; 0,5π] ανήκουν στις ρίζες -π; -π/2; 0; π/2 (από την πρώτη σειρά ριζών). π/3 (από τη δεύτερη σειρά). -π/3 (από την τρίτη σειρά). Ο αριθμητικός τους μέσος όρος είναι:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Απάντηση: -π/6.

Παράδειγμα 6. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης sin x + cos x = 0 στο διάστημα [-1,25π; 2π].

Λύση:

Αυτή η εξίσωση είναι μια ομοιογενής εξίσωση πρώτου βαθμού. Διαιρέστε και τα δύο μέρη της με το cosx (η τιμή της μεταβλητής, στην οποία cos x = 0, δεν είναι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, αφού το ημίτονο και το συνημίτονο του ίδιου αριθμού δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα). Η αρχική εξίσωση μοιάζει με:

x = -π/4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).

Κενό [-1,25π; 2π] έχουν ρίζες -π/4; (-π/4 + π); και (-π/4 + 2π).

Έτσι, τρεις ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο δεδομένο διάστημα.

Απάντηση: 3.

Μάθετε να κάνετε το πιο σημαντικό πράγμα - να παρουσιάσετε ξεκάθαρα ένα σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος και τότε οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση θα είναι στον ώμο σας.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Σε αυτό το μάθημα, θα συνεχίσουμε τη μελέτη της εφαπτομένης του τόξου και τη λύση των εξισώσεων της μορφής tg x = a για οποιαδήποτε α. Στην αρχή του μαθήματος, θα λύσουμε την εξίσωση με μια τιμή πίνακα και θα απεικονίσουμε τη λύση στο γράφημα και μετά στον κύκλο. Στη συνέχεια, λύνουμε την εξίσωση tgx = a σε γενική μορφή και εξάγουμε τον γενικό τύπο για την απάντηση. Παρουσιάζουμε τους υπολογισμούς στο γράφημα και στον κύκλο και εξετάζουμε διάφορες μορφέςαπάντηση. Στο τέλος του μαθήματος, θα λύσουμε πολλά προβλήματα με μια απεικόνιση των λύσεων στο διάγραμμα και στον κύκλο.

Θέμα: Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Μάθημα: Arctangent και επίλυση της εξίσωσης tgx=a (συνέχεια)

1. Θέμα μαθήματος, εισαγωγή

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε τη λύση της εξίσωσης για οποιοδήποτε πραγματικό

2. Λύση της εξίσωσης tgx=√3

Εργασία 1. Λύστε την εξίσωση

Ας βρούμε μια λύση χρησιμοποιώντας γραφήματα συναρτήσεων (Εικ. 1).

Θεωρήστε το διάστημα Σε αυτό το διάστημα, η συνάρτηση είναι μονότονη, πράγμα που σημαίνει ότι επιτυγχάνεται μόνο σε μία τιμή της συνάρτησης.

Απάντηση:

Ας λύσουμε την ίδια εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν κύκλο αριθμών (Εικ. 2).

Απάντηση:

3. Λύση της εξίσωσης tgx=a σε γενική μορφή

Ας λύσουμε την εξίσωση σε γενική μορφή (Εικ. 3).

Στο διάστημα, η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση

Η μικρότερη θετική περίοδος

Ας δείξουμε σε έναν αριθμητικό κύκλο (Εικ. 4).

4. Επίλυση προβλημάτων

Εργασία 2. Λύστε την εξίσωση

Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή

Εργασία 3. Λύστε το σύστημα:

Λύση (Εικ. 5):

Στο σημείο, η τιμή είναι επομένως η λύση του συστήματος είναι μόνο το σημείο

Απάντηση:

Εργασία 4. Λύστε την εξίσωση

Ας λύσουμε με τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητής:

Πρόβλημα 5. Να βρείτε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης στο διάστημα

Ας λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 6).

Η εξίσωση έχει τρεις λύσεις σε ένα δεδομένο διάστημα.

Θα δείξουμε σε έναν αριθμητικό κύκλο (Εικ. 7), αν και αυτό δεν είναι τόσο ξεκάθαρο όσο στο γράφημα.

Απάντηση: Τρεις λύσεις.

5. Συμπέρασμα, συμπέρασμα

Λύσαμε την εξίσωση για οποιοδήποτε πραγματικό χρησιμοποιώντας την έννοια της εφαπτομένης τόξου. Στο επόμενο μάθημα, θα εξοικειωθούμε με την έννοια της εφαπτομένης τόξου.

Βιβλιογραφία

1. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Φροντιστήριο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ) εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2009.

2. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Άλγεβρα και μαθηματική ανάλυση για την τάξη 10 ( φροντιστήριογια μαθητές σχολείων και τάξεων με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών).-Μ .: Εκπαίδευση, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Βαθιά μελέτη της άλγεβρας και της μαθηματικής ανάλυσης.-Μ.: Εκπαίδευση, 1997.

5. Συλλογή εργασιών στα μαθηματικά για υποψήφιους στα ΤΕΙ (υπό την επιμέλεια του Μ.Ι.Σκανάβη).-Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Tasks in algebra and the starts of analysis (εγχειρίδιο για μαθητές των τάξεων 10-11 των γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων). - M .: Εκπαίδευση, 2003.

8. A. P. Karp, Collection of Problems in Algebra and Principles of Analysis: Proc. επίδομα για 10-11 κύτταρα. με ένα βαθύ μελέτη μαθηματικά.-Μ.: Εκπαίδευση, 2006.

Εργασία για το σπίτι

Algebra and the Beginnings of Analysis, Βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Πρόσθετοι πόροι ιστού

1. Μαθηματικά.

2. Προβλήματα διαδικτυακής πύλης. ru.

3. Εκπαιδευτική πύληνα προετοιμαστούν για εξετάσεις.