Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων ege task 13 larin. Τριγωνομετρικές εξισώσεις - τύποι, λύσεις, παραδείγματα. Συλλογές βίντεο και διαδικτυακά μαθήματα

Προετοιμασία για το επίπεδο προφίλ του ενιαίου κρατική εξέτασημαθηματικά. Χρήσιμα υλικά για την τριγωνομετρία, μεγάλες θεωρητικές βιντεοδιαλέξεις, βίντεο ανάλυση προβλημάτων και επιλογή εργασιών από προηγούμενα χρόνια.

Χρήσιμα υλικά

Συλλογές βίντεο και διαδικτυακά μαθήματα

Τριγωνομετρικοί τύποι

Γεωμετρική απεικόνιση τριγωνομετρικών τύπων

Λειτουργίες τόξου. Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

1. Απαραίτητη θεωρία για την επίλυση προβλημάτων.
2. α) Λύστε την εξίσωση $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2)\right]$.
3. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -3\pi; -\pi\right]$.
4. Λύστε την εξίσωση $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$.
5. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
6. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$.
   
7. Λύστε την εξίσωση $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$.
8. Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$.
9. 
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\δεξιά)$.
10. α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
11. α) Λύστε την εξίσωση $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$.

Ανάλυση εργασιών βίντεο

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20)\right]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30)\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\δεξιά)$.

α) Λύστε την εξίσωση $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi\right]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$.

Επιλογή εργασιών προηγούμενων ετών

1. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Πρώιμο κύμα)
2. α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Πρώιμο κύμα, ημέρα κράτησης)
3. α) Λύστε την εξίσωση $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
4. α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 3\pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
5. α) Λύστε την εξίσωση $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
6. α) Λύστε την εξίσωση $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
7. α) Λύστε την εξίσωση $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
   
8. α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2\pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
9. α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
10. α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
11. α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
12. α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
13. 
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
14. 
    
15. α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
16. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
17. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
18. α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
19. α) Λύστε την εξίσωση $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
20. α) Λύστε την εξίσωση $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
21. α) Λύστε την εξίσωση $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
22. α) Λύστε την εξίσωση $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
23. α) Λύστε την εξίσωση $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
24. α) Λύστε την εξίσωση $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
25. α) Λύστε την εξίσωση $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
26. α) Λύστε την εξίσωση $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
27. α) Λύστε την εξίσωση $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
28. α) Λύστε την εξίσωση $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, πρώιμο κύμα)
29. α) Λύστε την εξίσωση $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
30. α) Λύστε την εξίσωση $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
31. α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
32. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα)
33. α) Λύστε την εξίσωση $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα)
34. α) Λύστε την εξίσωση $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, πρώιμο κύμα)
35. α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, πρώιμο κύμα)
36. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, πρώιμο κύμα)
37. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
38. α) Λύστε την εξίσωση $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
39. α) Λύστε την εξίσωση $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
40. α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
41. α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, πρώιμο κύμα)
42. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
    β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, πρώιμο κύμα)
43. α) Λύστε την εξίσωση $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \4\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
44. α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \3\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
45. α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
46. α) Λύστε την εξίσωση $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \6\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, πρώιμο κύμα)
47. α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2013, κύριο κύμα)
48. α) Λύστε την εξίσωση $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2012, δεύτερο κύμα)

ένα)Λύστε την εξίσωση 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

σι) \αριστερά[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \δεξιά].

Λύση

ένα)Ανοίγοντας τις αγκύλες και μετακινώντας όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε την εξίσωση 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Λαμβάνοντας υπόψη ότι \cos x \neq 0, ο όρος 2 \sin x μπορεί να αντικατασταθεί από 2 tg x \cos x, λαμβάνουμε την εξίσωση 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0,που ομαδοποιώντας μπορεί να αναχθεί στη μορφή (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tgx=0, tanx=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

σι)Με τη βοήθεια ενός αριθμητικού κύκλου επιλέγουμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \αριστερά[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \δεξιά].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Απάντηση

ένα) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

σι) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Κατάσταση

ένα)Λύστε την Εξίσωση (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

σι)Να αναφέρετε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Λύση

ένα) ODZ: \begin(περιπτώσεις) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(περιπτώσεις)

Η αρχική εξίσωση στο ODZ είναι ισοδύναμη με το σύνολο των εξισώσεων

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(πίνακας)\δεξιά.

Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση. Για να γίνει αυτό, θα αντικαταστήσουμε \cos 4x=t, t \σε [-1; ένας].Τότε \sin^24x=1-t^2. Παίρνουμε:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; ένας].

\cos4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, βρίσκουμε λύσεις που ικανοποιούν το ODZ.

Το πρόσημο «+» σηματοδοτεί το 1ο και 3ο τέταρτο, στα οποία tg x>0.

Παίρνουμε: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

σι)Ας βρούμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \αριστερά(0;\,\frac(3\pi )2\δεξιά].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Απάντηση

ένα) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

σι) \πι; \frac\pi(12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. Επίπεδο προφίλ". Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ένα)Λύστε την εξίσωση: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

σι)Καθορίστε όλες τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Λύση

ένα)Επειδή \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,έπειτα \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,Επομένως, η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \cos^2x=\cos ^22x, η οποία, με τη σειρά της, είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Αλλά \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)και

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, οπότε η εξίσωση γίνεται

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Τότε είτε 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0 είτε 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Επίλυση της πρώτης εξίσωσης ως τετραγωνική εξίσωσησε σχέση με το \cos x, παίρνουμε:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Επομένως, είτε \cos x=1 είτε \cosx=-\frac12.Αν \cos x=1, τότε x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Αν \cosx=-\frac12,έπειτα x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi, s \in \mathbb Z.

Ομοίως, λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε είτε \cos x=-1, είτε \cosx=\frac12.Αν \cos x=-1, τότε οι ρίζες x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Αν ένα \cosx=\frac12,έπειτα x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Ας συνδυάσουμε τις λύσεις που προέκυψαν:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

σι)Επιλέγουμε τις ρίζες που εμπίπτουν στο δεδομένο διάστημα χρησιμοποιώντας έναν αριθμητικό κύκλο.

Παίρνουμε: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi )3.

Απάντηση

ένα) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

σι) \frac(11\pi )3, 4\pi, \frac(13\pi )3.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ένα)Λύστε την Εξίσωση 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

σι)Να αναφέρετε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\δεξιά).

Λύση

ένα) 1. Σύμφωνα με τον τύπο μείωσης, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης θα είναι x τιμές τέτοιες ώστε \cos x \neq 0 και tg x \neq -1. Μετασχηματίζουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.Παίρνουμε την εξίσωση: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

σημειώσε ότι \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),οπότε η εξίσωση γίνεται: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).Από εδώ \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.

2. Μετασχηματίστε το \sin x+\cos x χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής και τον τύπο για το άθροισμα των συνημιτόνων: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Από εδώ \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.Που σημαίνει, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

ή x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Να γιατί x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

ή x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Οι τιμές του x που βρέθηκαν ανήκουν στον τομέα ορισμού.

σι)Ας μάθουμε πρώτα πού πέφτουν οι ρίζες της εξίσωσης σε k=0 και t=0. Αυτοί θα είναι αντίστοιχα οι αριθμοί a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5και b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Ας αποδείξουμε μια βοηθητική ανισότητα:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Πραγματικά, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Σημειώστε επίσης ότι \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, που σημαίνει \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Από τις ανισότητες (1) από την ιδιότητα της αρκοσίνης παίρνουμε:

τόξο 1

0

Από εδώ \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

Επίσης, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

Με k=-1 και t=-1 παίρνουμε τις ρίζες της εξίσωσης a-2\pi και b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).Εν -2\pi

2\pi Άρα αυτές οι ρίζες ανήκουν στο δεδομένο διάστημα \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Για άλλες τιμές των k και t, οι ρίζες της εξίσωσης δεν ανήκουν στο δεδομένο διάστημα.

Πράγματι, αν k\geqslant 1 και t\geqslant 1, τότε οι ρίζες είναι μεγαλύτερες από 2\pi. Αν k\leqslant -2 και t\leqslant -2, τότε οι ρίζες είναι λιγότερες -\frac(7\pi )2.

Απάντηση

ένα) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

σι) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ένα)Λύστε την Εξίσωση \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

σι)Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα ;

Λύση

ένα)Ας μετατρέψουμε την εξίσωση:

\cosx=-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2\sin x)=0,

\cosx=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2\sinx=0,

\sinx=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

σι)Βρίσκουμε τις ρίζες που ανήκουν στο τμήμα χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο.

Το καθορισμένο διάστημα περιέχει έναν μόνο αριθμό \frac\pi 2.

Απάντηση

ένα) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

σι) \frac\pi 2.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

Που σημαίνει, \sin x \neq 1.

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον παράγοντα (\sinx-1),διαφορετικό από το μηδέν. Παίρνουμε την εξίσωση \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),ή εξίσωση 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).Εφαρμόζοντας τον τύπο αναγωγής στην αριστερή πλευρά και τον τύπο αναγωγής στη δεξιά πλευρά, λαμβάνουμε την εξίσωση 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Αυτή είναι η εξίσωση που χρησιμοποιεί την αντικατάσταση \cosx=t,όπου -1 \leqslant t \leqslant 1μείωση στο τετράγωνο: 2t^2+t-1=0,των οποίων οι ρίζες t_1=-1και t_2=\frac12.Επιστρέφοντας στη μεταβλητή x, παίρνουμε \cos x = \frac12ή \cosx=-1,όπου x=\frac \pi 3+2\pi m, m\in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

σι)Λύστε ανισότητες

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, Μ, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\αριστερά [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Δεν υπάρχουν ακέραιοι που να ανήκουν στο διάστημα \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Αυτή η ανισότητα ικανοποιείται από k=-1 και μετά x=-\pi.

Απάντηση

ένα) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, Μ, n, k \in \mathbb Z;

σι) -\πι .

Μπορείτε να παραγγείλετε μια λεπτομερή λύση στο πρόβλημά σας !!!

Μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης («sin x, cos x, tg x» ή «ctg x») ονομάζεται τριγωνομετρική εξίσωση και θα εξετάσουμε περαιτέρω τους τύπους τους.

Οι απλούστερες εξισώσεις είναι «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», όπου «x» είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί, «a» είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ας γράψουμε τους τύπους ρίζας για καθένα από αυτά.

1. Εξίσωση `sin x=a`.

Για το `|a|>1` δεν έχει λύσεις.

Με `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Εξίσωση `cos x=a`

Για `|a|>1` - όπως στην περίπτωση του ημιτόνου, δεν υπάρχουν λύσεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών.

Με `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Ειδικές περιπτώσεις για ημίτονο και συνημίτονο σε γραφήματα.

3. Εξίσωση `tg x=a`

Έχει άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Εξίσωση `ctg x=a`

Έχει επίσης έναν άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Τύποι για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων στον πίνακα

Για τα ιγμόρεια:
Για το συνημίτονο:
Για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:
Τύποι επίλυσης εξισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Η λύση οποιασδήποτε τριγωνομετρικής εξίσωσης αποτελείται από δύο στάδια:

• χρησιμοποιώντας για να το μετατρέψετε στο απλούστερο?
• λύστε την απλή εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους για τις ρίζες και τους πίνακες.

Ας εξετάσουμε τις κύριες μεθόδους λύσης χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

αλγεβρική μέθοδος.

Στη μέθοδο αυτή γίνεται η αντικατάσταση μιας μεταβλητής και η αντικατάστασή της σε ισότητα.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

κάντε μια αντικατάσταση: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, μετά `2y^2-3y+1=0`,

βρίσκουμε τις ρίζες: `y_1=1, y_2=1/2`, από τις οποίες ακολουθούν δύο περιπτώσεις:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Παραγοντοποίηση.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `sin x+cos x=1`.

Λύση. Μετακινήστε προς τα αριστερά όλους τους όρους ισότητας: `sin x+cos x-1=0`. Χρησιμοποιώντας , μετασχηματίζουμε και παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Αρχικά, πρέπει να φέρετε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση σε μία από τις δύο μορφές:

`a sin x+b cos x=0` (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού) ή `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Στη συνέχεια, διαχωρίστε και τα δύο μέρη κατά «cos x \ne 0» για την πρώτη περίπτωση και κατά «cos^2 x \ne 0» για τη δεύτερη. Λαμβάνουμε εξισώσεις για `tg x`: `a tg x+b=0` και `a tg^2 x + b tg x +c =0`, οι οποίες πρέπει να λυθούν χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Λύση. Ας γράψουμε τη δεξιά πλευρά ως `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Αυτή είναι μια ομοιογενής τριγωνομετρική εξίσωση του δεύτερου βαθμού, διαιρώντας το αριστερό και το δεξί μέρος της με το «cos^2 x \ne 0», παίρνουμε:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Ας εισάγουμε την αντικατάσταση `tg x=t`, ως αποτέλεσμα `t^2 + t - 2=0`. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι «t_1=-2» και «t_2=1». Επειτα:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Μεταβείτε στο Half Corner

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Λύση. Εφαρμόζοντας τους τύπους διπλής γωνίας, το αποτέλεσμα είναι: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 συν^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Εφαρμόζοντας την αλγεβρική μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, λαμβάνουμε:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Στην τριγωνομετρική εξίσωση «a sin x + b cos x =c», όπου a,b,c είναι συντελεστές και x είναι μια μεταβλητή, διαιρούμε και τα δύο μέρη με το «sqrt (a^2+b^2)»:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))».

Οι συντελεστές στην αριστερή πλευρά έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή, το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 1 και ο συντελεστής τους δεν είναι μεγαλύτερος από 1. Να τους χαρακτηρίσετε ως εξής: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= Γ», τότε:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο ακόλουθο παράδειγμα:

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `3 sin x+4 cos x=2`.

Λύση. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με «sqrt (3^2+4^2)», παίρνουμε:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))».

`3/5 αμαρτία x+4/5 cos x=2/5`.

Σημειώστε `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Δεδομένου ότι `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, λαμβάνουμε το `\varphi=arcsin 4/5` ως βοηθητική γωνία. Στη συνέχεια γράφουμε την ισότητά μας με τη μορφή:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών για το ημίτονο, γράφουμε την ισότητα μας με την ακόλουθη μορφή:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Κλασματικές-ορθολογικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Πρόκειται για ισότητες με κλάσματα, στους αριθμητές και στους παρονομαστές των οποίων υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Λύση. Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το «(1+cos x)». Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Δεδομένου ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι μηδέν, παίρνουμε `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Εξισώστε τον αριθμητή του κλάσματος με μηδέν: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Στη συνέχεια `sin x=0` ή `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Δεδομένου ότι ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, οι λύσεις είναι `x=2\pi n, n \in Z` και `x=\pi /2+2\pi n` , `n \σε Z`.

Απάντηση. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Η τριγωνομετρία, και ειδικότερα οι τριγωνομετρικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται σχεδόν σε όλους τους τομείς της γεωμετρίας, της φυσικής και της μηχανικής. Η μελέτη ξεκινάει στην 10η τάξη, υπάρχουν πάντα εργασίες για τις εξετάσεις, οπότε προσπαθήστε να θυμάστε όλους τους τύπους των τριγωνομετρικών εξισώσεων - σίγουρα θα σας φανούν χρήσιμοι!

Ωστόσο, δεν χρειάζεται καν να τα απομνημονεύσετε, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε την ουσία και να είστε σε θέση να συμπεράνετε. Δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται. Δείτε μόνοι σας βλέποντας το βίντεο.

Εργασία #1

Η λογική είναι απλή: θα κάνουμε όπως κάναμε πριν, παρά το γεγονός ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν πλέον ένα πιο σύνθετο όρισμα!

Αν λύναμε μια εξίσωση της μορφής:

Τότε θα γράψουμε την εξής απάντηση:

Ή (γιατί)

Τώρα όμως παίζουμε την εξής έκφραση:

Τότε μπορείτε να γράψετε:

Στόχος μας μαζί σας είναι να το κάνουμε έτσι ώστε να στέκεστε αριστερά απλά, χωρίς «ακαθαρσίες»!

Ας τους ξεφορτωθούμε!

Αρχικά, αφαιρέστε τον παρονομαστή στο: για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ισότητά μας με:

Τώρα ξεφορτωθούμε διαιρώντας και τα δύο μέρη με αυτό:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τα οκτώ:

Η παράσταση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως 2 σειρές λύσεων (κατ' αναλογία με μια τετραγωνική εξίσωση, όπου είτε προσθέτουμε είτε αφαιρούμε τη διάκριση)

Πρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη αρνητική ρίζα! Είναι σαφές ότι είναι απαραίτητο να διευθετηθεί.

Ας δούμε πρώτα την πρώτη σειρά:

Είναι σαφές ότι αν πάρουμε, τότε ως αποτέλεσμα θα έχουμε θετικούς αριθμούς, αλλά δεν μας ενδιαφέρουν.

Άρα πρέπει να ληφθεί αρνητικό. Αφήνω.

Όταν η ρίζα θα είναι ήδη:

Και πρέπει να βρούμε το μεγαλύτερο αρνητικό!! Επομένως, το να πηγαίνουμε προς την αρνητική κατεύθυνση εδώ δεν έχει πλέον νόημα. Και η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα για αυτή τη σειρά θα είναι ίση.

Τώρα σκεφτείτε τη δεύτερη σειρά:

Και πάλι αντικαθιστούμε: , τότε:

Δεν ενδιαφέρομαι!

Τότε δεν έχει νόημα να το αυξήσεις άλλο! Ας μειώσουμε! Αφήστε τότε:

Ταιριάζει!

Αφήνω. Επειτα

Τότε - η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα!

Απάντηση:

Εργασία #2

Και πάλι, λύνουμε, ανεξάρτητα από το σύνθετο συνημιτονικό επιχείρημα:

Τώρα εκφράζουμε ξανά στα αριστερά:

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές

Χωρίστε και τις δύο πλευρές

Το μόνο που μένει είναι να το μετακινήσετε προς τα δεξιά, αλλάζοντας το πρόσημά του από μείον σε συν.

Παίρνουμε πάλι 2 σειρές ρίζες, η μία με και η άλλη με.

Πρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη αρνητική ρίζα. Σκεφτείτε την πρώτη σειρά:

Είναι σαφές ότι θα πάρουμε την πρώτη αρνητική ρίζα στο, θα είναι ίση και θα είναι η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα στη σειρά 1.

Για τη δεύτερη σειρά

Η πρώτη αρνητική ρίζα θα ληφθεί επίσης στο και θα είναι ίση με. Αφού, τότε είναι η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.

Απάντηση: .

Εργασία #3

Αποφασίζουμε, ανεξάρτητα από το σύνθετο επιχείρημα της εφαπτομένης.

Αυτό δεν φαίνεται να είναι τίποτα περίπλοκο, σωστά;

Όπως και πριν, εκφράζουμε στην αριστερή πλευρά:

Λοιπόν, αυτό είναι υπέροχο, υπάρχει γενικά μόνο μία σειρά από ρίζες! Και πάλι, βρείτε το μεγαλύτερο αρνητικό.

Είναι σαφές ότι αποδεικνύεται αν βάλουμε . Και αυτή η ρίζα είναι ίση.

Απάντηση:

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα.

Εργασίες για το σπίτι ή 3 εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

1. Εξίσωση Re-shi-te.
   
2. Εξίσωση Re-shi-te.
   Στο from-ve-te on-pi-shi-te η μικρότερη ρίζα in-lo-zhi-tel-ny.
3. Εξίσωση Re-shi-te.
   Στο from-ve-te on-pi-shi-te η μικρότερη ρίζα in-lo-zhi-tel-ny.

Ετοιμος? Ελέγχουμε. Δεν θα περιγράψω λεπτομερώς ολόκληρο τον αλγόριθμο λύσης, μου φαίνεται ότι έχει ήδη δοθεί αρκετή προσοχή σε αυτόν παραπάνω.

Λοιπόν, είναι όλα σωστά; Ω, αυτά τα άσχημα ιγμόρεια, υπάρχουν πάντα κάποια προβλήματα μαζί τους!

Λοιπόν, τώρα μπορείτε να λύσετε τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις!

Δείτε τις λύσεις και τις απαντήσεις:

Εργασία #1

Εξπρές

Η μικρότερη θετική ρίζα προκύπτει αν βάλουμε, από τότε

Απάντηση:

Εργασία #2

Η μικρότερη θετική ρίζα θα ληφθεί στο.

Θα είναι ίσος.

Απάντηση: .

Εργασία #3

Πότε πάρουμε, πότε έχουμε.

Απάντηση: .

Αυτή η γνώση θα σας βοηθήσει να λύσετε πολλά από τα προβλήματα που θα αντιμετωπίσετε στις εξετάσεις.

Εάν κάνετε αίτηση για βαθμολογία "5", τότε απλά πρέπει να προχωρήσετε στην ανάγνωση του άρθρου για Μεσαίο επίπεδο,που θα αφιερωθεί στην επίλυση πιο σύνθετων τριγωνομετρικών εξισώσεων (εργασία Γ1).

ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Σε αυτό το άρθρο θα περιγράψω επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων πιο σύνθετου τύπουκαι πώς να επιλέξετε τις ρίζες τους. Εδώ θα επικεντρωθώ στα ακόλουθα θέματα:

1. Τριγωνομετρικές εξισώσεις για εισαγωγικό επίπεδο (βλ. παραπάνω).

Πιο πολύπλοκες τριγωνομετρικές εξισώσεις αποτελούν τη βάση προβλημάτων αυξημένης πολυπλοκότητας. Απαιτούν τόσο την επίλυση της ίδιας της εξίσωσης σε γενική μορφή όσο και την εύρεση των ριζών αυτής της εξίσωσης που ανήκουν σε κάποιο δεδομένο διάστημα.

Η λύση των τριγωνομετρικών εξισώσεων ανάγεται σε δύο υποεργασίες:

1. Λύση εξίσωσης
2. Επιλογή ρίζας

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το δεύτερο δεν απαιτείται πάντα, αλλά και πάλι στα περισσότερα παραδείγματα απαιτείται να γίνει μια επιλογή. Και αν δεν απαιτείται, τότε μπορείτε μάλλον να συμπάσχετε - αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αρκετά περίπλοκη από μόνη της.

Η εμπειρία μου με την ανάλυση των εργασιών C1 δείχνει ότι συνήθως χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες.

Τέσσερις κατηγορίες εργασιών αυξημένης πολυπλοκότητας (πρώην C1)

1. Εξισώσεις που ανάγονται σε παραγοντοποίηση.
2. Εξισώσεις που ανάγονται στη μορφή.
3. Εξισώσεις που λύνονται με αλλαγή μεταβλητής.
4. Εξισώσεις που απαιτούν πρόσθετη επιλογή ριζών λόγω παραλογισμού ή παρονομαστή.

Για να το θέσω απλά: αν πάρεις ένας από τους τρεις πρώτους τύπους εξισώσεωντότε θεωρήστε τον εαυτό σας τυχερό. Για αυτούς, κατά κανόνα, είναι επιπλέον απαραίτητο να επιλέξετε τις ρίζες που ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο διάστημα.

Εάν συναντήσετε μια εξίσωση του τύπου 4, τότε είστε λιγότερο τυχεροί: πρέπει να το δουλέψετε περισσότερο και πιο προσεκτικά, αλλά πολύ συχνά δεν απαιτεί πρόσθετη επιλογή ριζών. Ωστόσο, θα αναλύσω αυτό το είδος εξισώσεων στο επόμενο άρθρο και θα το αφιερώσω στην επίλυση εξισώσεων των τριών πρώτων τύπων.

Εξισώσεις Αναγωγής σε Factoring

Το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να θυμάστε για να λύσετε εξισώσεις αυτού του τύπου είναι

Όπως δείχνει η πρακτική, κατά κανόνα, αυτή η γνώση είναι αρκετή. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1. Μια εξίσωση που ανάγεται σε παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τους τύπους της αναγωγής και το ημίτονο διπλής γωνίας

• Εξίσωση Re-shi-te
• Βρείτε-δι-αυτές όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης

Εδώ, όπως υποσχέθηκα, οι φόρμουλες casting λειτουργούν:

Τότε η εξίσωσή μου θα μοιάζει με αυτό:

Τότε η εξίσωσή μου θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Ένας κοντόφθαλμος μαθητής θα μπορούσε να πει: και τώρα θα μειώσω και τα δύο μέρη, θα πάρω την πιο απλή εξίσωση και θα απολαύσω τη ζωή! Και θα κάνει οικτρά λάθος!

Τι να κάνουμε λοιπόν; Ναι, όλα είναι απλά, μεταφέρετε τα πάντα προς μια κατεύθυνση και αφαιρέστε τον κοινό παράγοντα:

Λοιπόν, το λάβαμε υπόψη, οκ! Τώρα αποφασίζουμε:

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες:

Και το δεύτερο:

Αυτό ολοκληρώνει το πρώτο μέρος του προβλήματος. Τώρα πρέπει να επιλέξουμε τις ρίζες:

Το κενό έχει ως εξής:

Ή μπορεί επίσης να γραφτεί ως εξής:

Λοιπόν, ας πάρουμε τις ρίζες:

Αρχικά, ας δουλέψουμε με την πρώτη σειρά (και είναι πιο εύκολο, το λιγότερο!)

Δεδομένου ότι το μεσοδιάστημά μας είναι εντελώς αρνητικό, δεν χρειάζεται να παίρνουμε μη αρνητικές, θα εξακολουθούν να δίνουν μη αρνητικές ρίζες.

Ας το πάρουμε, λοιπόν - λίγο πάρα πολύ, δεν χωράει.

Αφήστε, τότε - και πάλι δεν χτύπησε.

Μια ακόμη προσπάθεια - τότε - εκεί, χτυπήστε! Βρέθηκε η πρώτη ρίζα!

Πυροβολώ ξανά: μετά - ξαναχτύπησε!

Λοιπόν, άλλη μια φορά: - αυτή είναι ήδη μια πτήση.

Άρα από την πρώτη σειρά, 2 ρίζες ανήκουν στο διάστημα: .

Δουλεύουμε με τη δεύτερη σειρά (χτίζουμε σε μια εξουσία σύμφωνα με τον κανόνα):

Υπερβολές!

Λείπει πάλι!

Και πάλι έλλειμμα!

Το έπιασα!

Πτήση!

Έτσι, οι ακόλουθες ρίζες ανήκουν στο εύρος μου:

Θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον αλγόριθμο για να λύσουμε όλα τα άλλα παραδείγματα. Ας εξασκήσουμε ένα ακόμη παράδειγμα μαζί.

Παράδειγμα 2. Μια εξίσωση που ανάγεται σε παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής

• Λύστε την Εξίσωση

Λύση:

Και πάλι οι διαβόητες φόρμουλες καστ:

Και πάλι, μην προσπαθήσετε να κόψετε!

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες:

Και το δεύτερο:

Τώρα πάλι η αναζήτηση για ρίζες.

Θα ξεκινήσω με τη δεύτερη σειρά, ξέρω ήδη τα πάντα για αυτήν από το προηγούμενο παράδειγμα! Κοιτάξτε και βεβαιωθείτε ότι οι ρίζες που ανήκουν στο κενό είναι οι εξής:

Τώρα η πρώτη σειρά και είναι πιο απλό:

Εάν - κατάλληλο

Αν - επίσης καλό

Εάν - ήδη πτήση.

Τότε οι ρίζες θα είναι:

Ανεξάρτητη εργασία. 3 εξισώσεις.

Λοιπόν, καταλαβαίνεις την τεχνική; Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων δεν φαίνεται πλέον τόσο δύσκολη; Στη συνέχεια, λύστε γρήγορα μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα και, στη συνέχεια, εσείς και εγώ θα λύσουμε άλλα παραδείγματα:

1. Λύστε την Εξίσωση
   Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που συνδέονται με το κενό.
2. Εξίσωση Re-shi-te
   Υποδείξτε τις ρίζες της εξίσωσης, οι οποίες είναι προσαρτημένες στην τομή
3. Εξίσωση Re-shi-te
   Βρείτε-δι-αυτές όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, στο-πάνω-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Εξίσωση 1

Και πάλι η φόρμουλα casting:

Πρώτη σειρά ριζών:

Δεύτερη σειρά ριζών:

Ξεκινάμε την επιλογή για το διάστημα

Απάντηση: , .

Εξίσωση 2 Έλεγχος ανεξάρτητης εργασίας.

Αρκετά δύσκολη ομαδοποίηση σε παράγοντες (θα χρησιμοποιήσω τον τύπο για το ημίτονο διπλής γωνίας):

τότε ή

Αυτή είναι μια γενική λύση. Τώρα πρέπει να βάλουμε τις ρίζες. Το πρόβλημα είναι ότι δεν μπορούμε να πούμε την ακριβή τιμή μιας γωνίας της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με το ένα τέταρτο. Επομένως, δεν μπορώ απλώς να απαλλαγώ από την αρκοσίνη - μια τέτοια ενόχληση!

Αυτό που μπορώ να κάνω είναι να το καταλάβω από τότε.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα: interval:

Λοιπόν, μέσα από επίπονες αναζητήσεις, καταλήξαμε στο απογοητευτικό συμπέρασμα ότι η εξίσωσή μας έχει μία ρίζα στο υποδεικνυόμενο διάστημα: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Εξίσωση 3. Επαλήθευση ανεξάρτητης εργασίας.

Μια τρομακτική εξίσωση. Ωστόσο, λύνεται πολύ απλά εφαρμόζοντας τον τύπο για το ημίτονο διπλής γωνίας:

Ας το μειώσουμε κατά 2:

Ομαδοποιούμε τον πρώτο όρο με τον δεύτερο και τον τρίτο με τον τέταρτο και βγάζουμε τους κοινούς παράγοντες:

Είναι σαφές ότι η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες και τώρα σκεφτείτε τη δεύτερη:

Σε γενικές γραμμές, επρόκειτο να επιμείνω στην επίλυση τέτοιων εξισώσεων λίγο αργότερα, αλλά αφού προέκυψε, δεν υπήρχε τίποτα να κάνουμε, έπρεπε να αποφασίσουμε ...

Εξισώσεις της μορφής:

Αυτή η εξίσωση λύνεται διαιρώντας και τις δύο πλευρές με:

Έτσι, η εξίσωσή μας έχει μια μοναδική σειρά ριζών:

Πρέπει να βρείτε εκείνα από αυτά που ανήκουν στο διάστημα: .

Ας φτιάξουμε ξανά τον πίνακα, όπως έκανα πριν:

Απάντηση: .

Εξισώσεις που ανάγονται στη μορφή:

Λοιπόν, τώρα ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο δεύτερο μέρος των εξισώσεων, ειδικά αφού έχω ήδη ξεκαθαρίσει τι αποτελείται η λύση του νέου τύπου τριγωνομετρικών εξισώσεων. Αλλά δεν θα είναι περιττό να επαναλάβουμε ότι η εξίσωση της μορφής

Λύνεται διαιρώντας και τα δύο μέρη με το συνημίτονο:

1. Εξίσωση Re-shi-te
   Υποδείξτε τις ρίζες της εξίσωσης που συνδέονται με την αποκοπή.
2. Εξίσωση Re-shi-te
   Υποδείξτε τις ρίζες της εξίσωσης, στο-πάνω-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Παράδειγμα 1

Το πρώτο είναι αρκετά απλό. Μετακινηθείτε προς τα δεξιά και εφαρμόστε τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας:

Αχα! Εξίσωση τύπου: . Χωρίζω και τα δύο μέρη σε

Κάνουμε εξάλειψη ρίζας:

Χάσμα:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2

Όλα είναι επίσης αρκετά ασήμαντα: ας ανοίξουμε τις αγκύλες στα δεξιά:

Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:

Ημίτονο διπλής γωνίας:

Τελικά παίρνουμε:

Έλεγχος ριζών: κενό.

Απάντηση: .

Λοιπόν, πώς σας αρέσει η τεχνική, δεν είναι πολύ περίπλοκη; Ελπίζω όχι. Μπορούμε να κάνουμε αμέσως μια επιφύλαξη: στην καθαρή τους μορφή, οι εξισώσεις που μειώνονται αμέσως σε εξίσωση για την εφαπτομένη είναι αρκετά σπάνιες. Τυπικά, αυτή η μετάβαση (διαίρεση με συνημίτονο) είναι μόνο μέρος ενός μεγαλύτερου προβλήματος. Εδώ είναι ένα παράδειγμα για να εξασκηθείτε:

• Εξίσωση Re-shi-te
• Βρείτε-δι-αυτές όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, στο-πάνω-le-zha-schie από-κόψτε.

Ας ελέγξουμε:

Η εξίσωση λύνεται αμέσως, αρκεί να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη με:

Κοσκίνισμα ριζών:

Απάντηση: .

Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, δεν έχουμε ακόμη συναντήσει εξισώσεις του είδους που μόλις συζητήσαμε. Ωστόσο, είναι ακόμη πολύ νωρίς για να ολοκληρώσουμε: υπάρχει ένα ακόμη «στρώμα» εξισώσεων που δεν έχουμε αναλύσει. Ετσι:

Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με αλλαγή μεταβλητής

Όλα είναι διαφανή εδώ: κοιτάμε προσεκτικά την εξίσωση, την απλοποιούμε όσο μπορούμε, κάνουμε αντικατάσταση, λύνουμε, κάνουμε αντίστροφη αντικατάσταση! Με λόγια όλα είναι πολύ εύκολα. Ας το δούμε στην πράξη:

Παράδειγμα.

• Λύστε την εξίσωση: .
• Βρείτε-δι-αυτές όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, στο-πάνω-le-zha-schie από-κόψτε.

Λοιπόν, εδώ η ίδια η αντικατάσταση προτείνεται στα χέρια μας!

Τότε η εξίσωσή μας γίνεται αυτή:

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες:

Και το δεύτερο έχει ως εξής:

Τώρα ας βρούμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα

Απάντηση: .

Ας δούμε μαζί ένα ελαφρώς πιο περίπλοκο παράδειγμα:

• Εξίσωση Re-shi-te
• Υποδείξτε τις ρίζες της δεδομένης εξίσωσης, at-bove-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Εδώ η αντικατάσταση δεν είναι άμεσα ορατή, επιπλέον, δεν είναι πολύ εμφανής. Ας σκεφτούμε πρώτα: τι μπορούμε να κάνουμε;

Μπορούμε, για παράδειγμα, να φανταστούμε

Και ταυτόχρονα

Τότε η εξίσωσή μου γίνεται:

Και τώρα προσοχή, εστίαση:

Ας χωρίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε:

Ξαφνικά, εσύ και εγώ πήραμε μια τετραγωνική εξίσωση για! Ας κάνουμε μια αντικατάσταση και μετά παίρνουμε:

Η εξίσωση έχει τις εξής ρίζες:

Μια δυσάρεστη δεύτερη σειρά ριζών, αλλά δεν υπάρχει τίποτα να γίνει! Κάνουμε μια επιλογή ριζών στο διάστημα.

Πρέπει επίσης να το λάβουμε υπόψη

Από και τότε

Απάντηση:

Για να ενοποιήσετε, προτού λύσετε μόνοι σας τα προβλήματα, ακολουθεί μια άλλη άσκηση για εσάς:

• Εξίσωση Re-shi-te
• Βρείτε-δι-αυτές όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, στο-πάνω-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Εδώ πρέπει να έχετε τα μάτια σας ανοιχτά: έχουμε παρονομαστές που μπορεί να είναι μηδέν! Επομένως, πρέπει να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί στις ρίζες!

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψω την εξίσωση ώστε να μπορώ να κάνω μια κατάλληλη αντικατάσταση. Δεν μπορώ να σκεφτώ τίποτα καλύτερο αυτή τη στιγμή από το να ξαναγράψω την εφαπτομένη ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο:

Τώρα θα πάω από συνημίτονο σε ημίτονο σύμφωνα με τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:

Και τέλος, θα φέρω τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή:

Τώρα μπορώ να πάω στην εξίσωση:

Αλλά στο (δηλαδή στο).

Τώρα όλα είναι έτοιμα για αντικατάσταση:

Τότε είτε

Ωστόσο, σημειώστε ότι εάν, τότε ταυτόχρονα!

Ποιος υποφέρει από αυτό; Το πρόβλημα είναι με την εφαπτομένη, δεν ορίζεται όταν το συνημίτονο είναι μηδέν (συμβαίνει διαίρεση με το μηδέν).

Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

Τώρα εξετάζουμε τις ρίζες στο διάστημα:

Έτσι, η εξίσωσή μας έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα, και είναι ίση.

Βλέπετε: η εμφάνιση του παρονομαστή (όπως και η εφαπτομένη, οδηγεί σε ορισμένες δυσκολίες με τις ρίζες! Εδώ πρέπει να είστε πιο προσεκτικοί!).

Λοιπόν, εσείς και εγώ έχουμε σχεδόν τελειώσει την ανάλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων, απομένουν πολύ λίγα - να λύσουμε δύο προβλήματα μόνοι μας. Εδώ είναι.

1. Λύστε την Εξίσωση
   Βρείτε-δι-αυτές όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, στο-πάνω-le-zha-schie από-κόψτε.
2. Εξίσωση Re-shi-te
   Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, οι οποίες είναι προσαρτημένες στην τομή.

Αποφάσισα? Δεν είναι πολύ δύσκολο; Ας ελέγξουμε:

1. Εργαζόμαστε σύμφωνα με τους τύπους μείωσης:

   Αντικαθιστούμε στην εξίσωση:

   Ας ξαναγράψουμε τα πάντα με συνημίτονο, ώστε να είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση:

   Τώρα είναι εύκολο να γίνει η αντικατάσταση:

   Είναι σαφές ότι είναι μια ξένη ρίζα, αφού η εξίσωση δεν έχει λύσεις. Επειτα:

   Ψάχνουμε για τις ρίζες που χρειαζόμαστε στο διάστημα

   Απάντηση: .

2. 
   Εδώ η αντικατάσταση είναι άμεσα ορατή:

   Τότε είτε

   	- ταιριάζει!	- ταιριάζει!
   	- ταιριάζει!	- ταιριάζει!
   	- πολλά απο!	- επίσης πολύ!

   Απάντηση:

Λοιπόν, τώρα όλα! Αλλά η λύση των τριγωνομετρικών εξισώσεων δεν τελειώνει εκεί, αφήσαμε πίσω τις πιο δύσκολες περιπτώσεις: όταν υπάρχει παραλογισμός ή διάφορα είδη «σύνθετων παρονομαστών» στις εξισώσεις. Πώς να λύσουμε τέτοιες εργασίες, θα εξετάσουμε σε ένα άρθρο για προχωρημένο επίπεδο.

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Εκτός από τις τριγωνομετρικές εξισώσεις που εξετάστηκαν στα δύο προηγούμενα άρθρα, εξετάζουμε μια άλλη κατηγορία εξισώσεων που απαιτούν ακόμη πιο προσεκτική ανάλυση. Αυτά τα τριγωνομετρικά παραδείγματα περιέχουν είτε έναν παραλογισμό είτε έναν παρονομαστή, γεγονός που καθιστά την ανάλυσή τους πιο δύσκολη.. Ωστόσο, μπορεί κάλλιστα να συναντήσετε αυτές τις εξισώσεις στο Μέρος Γ του εξεταστικού χαρτιού. Ωστόσο, υπάρχει μια ασημένια επένδυση: για τέτοιες εξισώσεις, κατά κανόνα, δεν τίθεται πλέον το ερώτημα ποιες από τις ρίζες του ανήκουν σε ένα δεδομένο διάστημα. Ας μην χτυπάμε γύρω από τον θάμνο, αλλά μόνο τριγωνομετρικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Λύστε την εξίσωση και βρείτε τις ρίζες που ανήκουν στο τμήμα.

Λύση:

Έχουμε έναν παρονομαστή που δεν πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν! Τότε η επίλυση αυτής της εξίσωσης είναι ίδια με την επίλυση του συστήματος

Ας λύσουμε καθεμία από τις εξισώσεις:

Και τώρα το δεύτερο:

Ας δούμε τώρα τη σειρά:

Είναι σαφές ότι η επιλογή δεν μας ταιριάζει, αφού σε αυτήν την περίπτωση ο παρονομαστής είναι μηδενικός (δείτε τον τύπο για τις ρίζες της δεύτερης εξίσωσης)

Αν - τότε όλα είναι εντάξει, και ο παρονομαστής δεν είναι ίσος με το μηδέν! Τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι: , .

Τώρα επιλέγουμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα.

Τότε οι ρίζες είναι:

Βλέπετε, ακόμη και η εμφάνιση μιας μικρής παρεμβολής με τη μορφή παρονομαστή επηρέασε σημαντικά τη λύση της εξίσωσης: απορρίψαμε μια σειρά από ρίζες που ακυρώνουν τον παρονομαστή. Τα πράγματα μπορεί να γίνουν ακόμα πιο περίπλοκα αν συναντήσετε τριγωνομετρικά παραδείγματα που έχουν παραλογισμό.

Παράδειγμα 2

Λύστε την εξίσωση:

Λύση:

Λοιπόν, τουλάχιστον δεν χρειάζεται να επιλέξετε τις ρίζες, και αυτό είναι καλό! Ας λύσουμε πρώτα την εξίσωση, ανεξάρτητα από τον παραλογισμό:

Και τι, αυτό είναι όλο; Όχι, δυστυχώς, θα ήταν πολύ εύκολο! Πρέπει να θυμόμαστε ότι μόνο οι μη αρνητικοί αριθμοί μπορούν να σταθούν κάτω από τη ρίζα. Επειτα:

Λύση σε αυτήν την ανισότητα:

Τώρα μένει να μάθουμε αν ένα μέρος των ριζών της πρώτης εξίσωσης δεν έπεσε κατά λάθος σε ένα μέρος όπου δεν ισχύει η ανισότητα.

Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ξανά τον πίνακα:

Έτσι, μια από τις ρίζες μου «έπεσε έξω»! Αποδεικνύεται αν βάλεις . Τότε η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Βλέπετε, η ρίζα θέλει ακόμη μεγαλύτερη προσοχή! Ας περιπλέκουμε: ας έχω τώρα μια τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από τη ρίζα.

Παράδειγμα 3

Όπως και πριν: πρώτα θα λύσουμε το καθένα ξεχωριστά, και μετά θα σκεφτούμε τι κάναμε.

Τώρα η δεύτερη εξίσωση:

Τώρα το πιο δύσκολο πράγμα είναι να μάθουμε αν λαμβάνονται αρνητικές τιμές κάτω από την αριθμητική ρίζα, αν αντικαταστήσουμε τις ρίζες από την πρώτη εξίσωση εκεί:

Ο αριθμός πρέπει να γίνει κατανοητός ως ακτίνια. Δεδομένου ότι ένα ακτίνιο είναι περίπου μοίρες, τα ακτίνια είναι περίπου μοίρες. Αυτή είναι η γωνία του δεύτερου δεκαλέπτου. Ποιο είναι το πρόσημο του συνημιτόνου του δεύτερου τετάρτου; Μείον. Τι γίνεται με το sine; Ενα θετικό. Τι γίνεται λοιπόν με την έκφραση:

Είναι λιγότερο από το μηδέν!

Έτσι - δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Τώρα γυρίστε.

Ας συγκρίνουμε αυτόν τον αριθμό με το μηδέν.

Η συνεφαπτομένη είναι μια συνάρτηση που μειώνεται σε 1 τέταρτο (όσο μικρότερο είναι το όρισμα, τόσο μεγαλύτερη είναι η συνεφαπτομένη). τα ακτίνια είναι περίπου μοίρες. Ταυτοχρονα

αφού, τότε, και επομένως
,

Απάντηση: .

Θα μπορούσε να είναι ακόμα πιο δύσκολο; Σας παρακαλούμε! Θα είναι πιο δύσκολο εάν η ρίζα εξακολουθεί να είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση και το δεύτερο μέρος της εξίσωσης είναι και πάλι μια τριγωνομετρική συνάρτηση.

Όσο περισσότερα τριγωνομετρικά παραδείγματα τόσο το καλύτερο, κοιτάξτε παρακάτω:

Παράδειγμα 4

Η ρίζα δεν είναι κατάλληλη, λόγω του περιορισμένου συνημιτόνου

Τώρα το δεύτερο:

Ταυτόχρονα, εξ ορισμού της ρίζας:

Πρέπει να θυμόμαστε τον μοναδιαίο κύκλο: δηλαδή, εκείνα τα τέταρτα όπου το ημίτονο είναι μικρότερο από το μηδέν. Τι είναι αυτά τα τρίμηνα; Τρίτη και τέταρτη. Τότε θα μας ενδιαφέρουν εκείνες οι λύσεις της πρώτης εξίσωσης που βρίσκονται στο τρίτο ή τέταρτο τεταρτημόριο.

Η πρώτη σειρά δίνει ρίζες που βρίσκονται στη διασταύρωση του τρίτου και του τέταρτου τετάρτου. Η δεύτερη σειρά είναι εκ διαμέτρου αντίθετη με αυτήν και γεννά ρίζες που βρίσκονται στα όρια του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου. Επομένως, αυτή η σειρά δεν μας ταιριάζει.

Απάντηση:,

Και ξανα τριγωνομετρικά παραδείγματα με "δύσκολο παραλογισμό". Όχι μόνο έχουμε πάλι τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από τη ρίζα, αλλά τώρα είναι και στον παρονομαστή!

Παράδειγμα 5

Λοιπόν, δεν υπάρχει τίποτα να γίνει - ενεργούμε όπως πριν.

Τώρα εργαζόμαστε με τον παρονομαστή:

Δεν θέλω να λύσω την τριγωνομετρική ανισότητα, και ως εκ τούτου θα το κάνω δύσκολο: Θα πάρω και θα αντικαταστήσω τη σειρά των ριζών μου στην ανισότητα:

Αν είναι ζυγός, τότε έχουμε:

αφού, τότε όλες οι γωνίες θέασης βρίσκονται στο τέταρτο τέταρτο. Και πάλι το ιερό ερώτημα: ποιο είναι το σημάδι του ημιτονοειδούς στο τέταρτο τέταρτο; Αρνητικός. Μετά η ανισότητα

Αν είναι περίεργο, τότε:

Σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία; Αυτή είναι η γωνία του δεύτερου δεκαλέπτου. Τότε όλες οι γωνίες είναι και πάλι οι γωνίες του δεύτερου δεκαλέπτου. Το ημίτονο είναι θετικό. Ακριβώς αυτό που χρειάζεστε! Η σειρά λοιπόν είναι:

Ταιριάζει!

Αντιμετωπίζουμε τη δεύτερη σειρά ριζών με τον ίδιο τρόπο:

Αντικαταστήστε την ανισότητά μας:

Αν είναι άρτιο, τότε

Κόρνερ του πρώτου δεκαλέπτου. Το ημίτονο είναι θετικό εκεί, οπότε η σειρά είναι κατάλληλη. Τώρα αν είναι περίεργο, τότε:

ταιριάζει επίσης!

Λοιπόν, τώρα γράφουμε την απάντηση!

Απάντηση:

Λοιπόν, αυτή ήταν ίσως η πιο επίπονη περίπτωση. Τώρα σας προσφέρω εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

Προπόνηση

1. Λύστε και βρείτε όλες τις ρίζες της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα.

Λύσεις:

1. 
   Πρώτη εξίσωση:
   ή
   Root ODZ:

   Δεύτερη εξίσωση:

   Επιλογή ριζών που ανήκουν στο διάστημα

   Απάντηση:

Ή
ή
Αλλά

Σκεφτείτε: . Αν είναι άρτιο, τότε
- δεν ταιριαζει!
Αν - περίεργο, : - ταιριάζει!
Άρα η εξίσωσή μας έχει την ακόλουθη σειρά ριζών:
ή
Επιλογή ριζών στο διάστημα:

	- δεν είναι κατάλληλο	- ταιριάζει
	- ταιριάζει	- πολλά απο
	- ταιριάζει	πολλά απο

Απάντηση: , .

Ή
Αφού, τότε όταν η εφαπτομένη δεν ορίζεται. Απορρίψτε αμέσως αυτή τη σειρά ριζών!

Το δεύτερο μέρος:

Την ίδια στιγμή, η ODZ το απαιτεί

Ελέγχουμε τις ρίζες που βρέθηκαν στην πρώτη εξίσωση:

Εάν υπογράψετε:

Γωνίες πρώτου τετάρτου, όπου η εφαπτομένη είναι θετική. Δεν είναι κατάλληλο!
Εάν υπογράψετε:

Κόρνερ τέταρτου δεκαλέπτου. Εκεί η εφαπτομένη είναι αρνητική. Ταιριάζει. Γράψε την απάντηση:

Απάντηση: , .

Αναλύσαμε μαζί σύνθετα τριγωνομετρικά παραδείγματα σε αυτό το άρθρο, αλλά θα πρέπει να μπορείτε να λύσετε τις εξισώσεις μόνοι σας.

ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο βρίσκεται αυστηρά κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων:

Ο πρώτος τρόπος είναι η χρήση τύπων.

Ο δεύτερος τρόπος είναι μέσω ενός τριγωνομετρικού κύκλου.

Σας επιτρέπει να μετράτε γωνίες, να βρίσκετε τα ημιτόνια, τα συνημίτονά τους και πολλά άλλα.