Η επιφάνεια και ο όγκος ενός πρίσματος είναι παραδείγματα. Όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε για το πρίσμα για την επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις στα μαθηματικά (2019). Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου

Στοιχεία πρίσματος

Ονομα	Ορισμός	Ονομασίες στο σχέδιο	Σχέδιο
Θεμέλια	Δύο όψεις που είναι ομοιόμορφα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα.	ΕΝΑσιντορεμι , κμεγάλοΜΝΠ
Πλαϊνά πρόσωπα	Όλα τα πρόσωπα εκτός από τις βάσεις. Κάθε πλευρική όψη είναι αναγκαστικά ένα παραλληλόγραμμο.	ΕΝΑσιμεγάλοκ , σιντοΜμεγάλο , ντορεΝΜ , ρεμιΠΝ , μιΕΝΑκΠ
Πλαϊνή επιφάνεια	Συγχώνευση πλευρικών όψεων.
Πλήρης επιφάνεια	Ένωση βάσεων και πλευρικής επιφάνειας.
Πλαϊνά πλευρά	Κοινές πλευρές των πλαϊνών όψεων.	ΕΝΑκ , σιμεγάλο , ντοΜ , ρεΝ , μιΠ
Υψος	Ένα τμήμα που συνδέει τις βάσεις ενός πρίσματος και είναι κάθετο σε αυτές.	κR
Διαγώνιος	Ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές ενός πρίσματος που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.	σιΠ
Διαγώνιο επίπεδο	Το επίπεδο που διέρχεται από την πλευρική άκρη του πρίσματος και τη διαγώνιο της βάσης.
Διαγώνιο τμήμα	Η τομή ενός πρίσματος και ενός διαγώνιου επιπέδου. Ένα παραλληλόγραμμο σχηματίζεται στην τομή, συμπεριλαμβανομένων των ειδικών περιπτώσεων του - ενός ρόμβου, ενός ορθογωνίου, ενός τετραγώνου.	μισιμεγάλοΠ
Κάθετη τομή	Η τομή ενός πρίσματος και ενός επιπέδου κάθετου στο πλευρικό του άκρο.

Ιδιότητες πρίσματος

• 1. Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσα πολύγωνα.
• 2. Οι πλευρικές όψεις του πρίσματος είναι παραλληλόγραμμες.
• 3. Οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι παράλληλες και ίσες.
• 4. Όγκος πρίσματος είναι ίσο με το γινόμενοτο ύψος του ως την περιοχή βάσης:

• 5. Τετράγωνο πλήρη επιφάνειατο πρίσμα είναι ίσο με το άθροισμα της επιφάνειας της πλευρικής του επιφάνειας και το διπλάσιο της επιφάνειας της βάσης.

Τύποι πρισμάτων

Τα πρίσματα είναι ευθείακαι λοξός.

ευθύ πρίσμα- ένα πρίσμα στο οποίο όλες οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στη βάση.

Πλάγια επιφάνειαένα ευθύ πρίσμα ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους.

κεκλιμένο πρίσμα- ένα πρίσμα στο οποίο τουλάχιστον ένα πλευρικό άκρο δεν είναι κάθετο στη βάση.

Πλάγια επιφάνειαενός κεκλιμένου πρίσματος ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της κάθετης τομής και του μήκους της πλευρικής νευρώσεως. Όγκος κεκλιμένου πρίσματοςείναι ίσο με το γινόμενο του εμβαδού της κάθετης τομής και της πλευρικής ακμής.

Σωστό πρίσμαείναι ένα ορθό πρίσμα του οποίου η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο.

Ιδιότητες κανονικού πρίσματος

• 1. Οι βάσεις ενός κανονικού πρίσματος είναι κανονικά πολύγωνα.
• 2. Οι πλευρικές όψεις ενός κανονικού πρίσματος είναι ίσα ορθογώνια.
• 3. Οι πλευρικές ακμές ενός κανονικού πρίσματος είναι ίσες.

δείτε επίσης

Συνδέσεις

Πολύεδρα
Σωστός (Πλατωνικά Στερεά)
Κανονικό μη κυρτό	Αστρικό πολύεδρο (Αστρικό οκτάεδρο, Αστρικό δωδεκάεδρο, Αστρικό εικοσάεδρο, Αστρικό εικοσιδωδεκάεδρο)
κυρτός
Τύποι, θεωρήματα, θεωρίες
Αλλα

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι το "Prism (mathematics)" σε άλλα λεξικά:

- (αρχή) "Μαθηματικά σε εννέα βιβλία" (Κινεζική παραδοσιακή 九章算術 ... Wikipedia

Ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες διαφόρων σχημάτων (σημεία, γραμμές, γωνίες, δισδιάστατα και τρισδιάστατα αντικείμενα), τα μεγέθη τους και σχετική θέση. Για τη διευκόλυνση της διδασκαλίας, η γεωμετρία χωρίζεται σε επιπεδομετρία και συμπαγή γεωμετρία. ΣΤΟ…… Εγκυκλοπαίδεια Collier

Zemlyakov, Alexander Nikolaevich Αρχείο: Zemlyakov.jpg Alexander Nikolaevich Zemlyakov (17 Απριλίου 1950 (19500417), Bologoe 1 Ιανουαρίου 2005, Chernogolovka) μαθηματικός, εξαιρετικός σοβιετικός και ρώσος δάσκαλος, συγγραφέας της εκπαιδευτικής παιδαγωγικής ... ...

Alexander Nikolaevich Zemlyakov (17 Απριλίου 1950 (19500417), Bologoe 1 Ιανουαρίου 2005, Chernogolovka) μαθηματικός, εξαιρετικός σοβιετικός και ρώσος δάσκαλος, συγγραφέας εκπαιδευτικής και παιδαγωγικής λογοτεχνίας. Βιογραφία Αποφοίτησε το 1967 με χρυσό μετάλλιο ... ... Wikipedia

Δωδεκάεδρο Ένα κανονικό πολύεδρο ή πλατωνικό στερεό είναι ένα κυρτό πολύεδρο που αποτελείται από πανομοιότυπα κανονικά πολύγωνα και έχει χωρική συμμετρία ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Pyramidatsu (έννοιες). Η αξιοπιστία αυτής της ενότητας του άρθρου έχει αμφισβητηθεί. Είναι απαραίτητο να επαληθευτεί η ακρίβεια των γεγονότων που αναφέρονται σε αυτήν την ενότητα. Μπορεί να υπάρχουν εξηγήσεις στη σελίδα συζήτησης ... Wikipedia

Ορισμός.

Αυτό είναι ένα εξάγωνο, οι βάσεις του οποίου είναι δύο ίσα τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ορθογώνια.

Πλαϊνή πλευράείναι η κοινή πλευρά δύο γειτονικών πλευρικών όψεων

Ύψος πρίσματοςείναι ένα ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του πρίσματος

Πρίσμα Διαγώνιος- ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές των βάσεων που δεν ανήκουν στην ίδια όψη

Διαγώνιο επίπεδο- ένα επίπεδο που διέρχεται από τη διαγώνιο του πρίσματος και τις πλευρικές ακμές του

Διαγώνιο τμήμα- τα όρια της τομής του πρίσματος και του διαγώνιου επιπέδου. Το διαγώνιο τμήμα ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο

Κάθετη τομή (ορθογώνια τομή)- αυτή είναι η τομή ενός πρίσματος και ενός επιπέδου που σχεδιάζονται κάθετα στα πλευρικά άκρα του

Στοιχεία κανονικού τετραγωνικού πρίσματος

Το σχήμα δείχνει δύο κανονικά τετράγωνα πρίσματα, τα οποία σημειώνονται με τα αντίστοιχα γράμματα:

• Οι βάσεις ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ίσες και παράλληλες μεταξύ τους
• Πλαϊνές όψεις AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C και CC 1 D 1 D, καθεμία από τις οποίες είναι ένα ορθογώνιο
• Πλευρική επιφάνεια - το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων του πρίσματος
• Συνολική επιφάνεια - το άθροισμα των εμβαδών όλων των βάσεων και των πλευρικών όψεων (το άθροισμα της επιφάνειας της πλευρικής επιφάνειας και των βάσεων)
• Πλαϊνές νευρώσεις AA 1 , BB 1 , CC 1 και DD 1 .
• Διαγώνιος Β 1 Δ
• Διαγώνιος βάσης BD
• Διαγώνιο τμήμα BB 1 D 1 D
• Κάθετο τμήμα A 2 B 2 C 2 D 2 .

Ιδιότητες κανονικού τετραγωνικού πρίσματος

• Οι βάσεις είναι δύο ίσα τετράγωνα
• Οι βάσεις είναι παράλληλες μεταξύ τους
• Οι πλευρές είναι ορθογώνιες.
• Οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους
• Οι πλευρικές όψεις είναι κάθετες στις βάσεις
• Οι πλευρικές νευρώσεις είναι παράλληλες μεταξύ τους και ίσες
• Κάθετη τομή κάθετη σε όλες τις πλευρικές νευρώσεις και παράλληλη στις βάσεις
• Κάθετες γωνίες τομής - Δεξιά
• Το διαγώνιο τμήμα ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο
• Κάθετη (ορθογώνια τομή) παράλληλη στις βάσεις

Τύποι για κανονικό τετράπλευρο πρίσμα

Οδηγίες για την επίλυση προβλημάτων

Κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με το θέμα " κανονικό τετράγωνο πρίσμα" υπονοεί πως:

Σωστό πρίσμα- ένα πρίσμα στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στα επίπεδα της βάσης. Δηλαδή, ένα κανονικό τετράπλευρο πρίσμα περιέχει στη βάση του τετράγωνο. (δείτε παραπάνω τις ιδιότητες ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος) Σημείωση. Αυτό είναι μέρος του μαθήματος με εργασίες στη γεωμετρία (τμήμα στερεά γεωμετρία - πρίσμα). Εδώ είναι οι εργασίες που προκαλούν δυσκολίες στην επίλυση. Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα στη γεωμετρία, το οποίο δεν είναι εδώ - γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Για να υποδείξετε τη δράση εξαγωγής τετραγωνική ρίζαΤο σύμβολο χρησιμοποιείται στην επίλυση προβλημάτων√ .

Μια εργασία.

Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της βάσης είναι 144 cm 2 και το ύψος είναι 14 cm. Βρείτε τη διαγώνιο του πρίσματος και τη συνολική επιφάνεια.

Λύση.
Ένα κανονικό τετράπλευρο είναι ένα τετράγωνο.
Αντίστοιχα, η πλευρά της βάσης θα είναι ίση με

√144 = 12 cm.
Οπότε η διαγώνιος της βάσης ενός κανονικού ορθογώνιου πρίσματος θα είναι ίση με
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Η διαγώνιος ενός κανονικού πρίσματος σχηματίζεται με τη διαγώνιο της βάσης και το ύψος του πρίσματος ορθογώνιο τρίγωνο. Συνεπώς, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος ενός δεδομένου κανονικού τετραγωνικού πρίσματος θα είναι ίση με:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Απάντηση: 22 εκ

Μια εργασία

Βρείτε τη συνολική επιφάνεια ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος εάν η διαγώνιος του είναι 5 cm και η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 4 cm.

Λύση.
Εφόσον η βάση ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, τότε η πλευρά της βάσης (που συμβολίζεται ως α) βρίσκεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

A 2 + a 2 = 5 2
2α 2 = 25
a = √12,5

Το ύψος της πλευρικής όψης (που συμβολίζεται ως h) θα είναι τότε ίσο με:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας θα είναι ίσο με το άθροισμα της πλευρικής επιφάνειας και το διπλάσιο του εμβαδού της βάσης

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Απάντηση: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

πρίσμαονομάζεται πολύεδρο του οποίου οι δύο όψεις είναι ίσες με n-γόνια (λόγοι) , που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα, και οι υπόλοιπες n όψεις είναι παραλληλόγραμμα (πλευρικές άκρες) . Πλαϊνή πλευρά πρίσμα είναι η πλευρά της πλευρικής όψης που δεν ανήκει στη βάση.

Ένα πρίσμα του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στα επίπεδα των βάσεων ονομάζεται ευθεία πρίσμα (Εικ. 1). Αν οι πλευρικές ακμές δεν είναι κάθετες στα επίπεδα των βάσεων, τότε το πρίσμα ονομάζεται λοξός . Σωστός Πρίσμα είναι ένα ευθύ πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι κανονικά πολύγωνα.

Υψοςπρίσμα ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων. Διαγώνιος Πρίσμα είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη. διαγώνιο τμήμα Το τμήμα ενός πρίσματος από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη ονομάζεται. Κάθετη τομή ονομάζεται τομή του πρίσματος με ένα επίπεδο κάθετο στο πλάγιο άκρο του πρίσματος.

Πλαϊνή επιφάνεια πρίσμα είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων. Πλήρης επιφάνεια το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεων του πρίσματος ονομάζεται (δηλαδή το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών όψεων και των περιοχών των βάσεων).

Για ένα αυθαίρετο πρίσμα, οι τύποι είναι αληθινοί:

όπου μεγάλοείναι το μήκος της πλευρικής πλευράς.

H- ύψος;

Π

Q

S πλευρά

S γεμάτο

S κύριαείναι το εμβαδόν των βάσεων·

Vείναι ο όγκος του πρίσματος.

Για ένα ευθύ πρίσμα, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

όπου Π- η περίμετρος της βάσης.

μεγάλοείναι το μήκος της πλευρικής πλευράς.

H- ύψος.

ΠαραλληλεπίπεδοΈνα πρίσμα του οποίου η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο ονομάζεται. Ονομάζεται παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στις βάσεις απευθείας (Εικ. 2). Αν οι πλευρικές ακμές δεν είναι κάθετες στις βάσεις, τότε ονομάζεται παραλληλεπίπεδο λοξός . Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο ορθογώνιος. Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στο οποίο όλες οι ακμές είναι ίσες κύβος.

Οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου που δεν έχουν κοινές κορυφές ονομάζονται απεναντι απο . Τα μήκη των ακμών που προέρχονται από μια κορυφή ονομάζονται Μετρήσεις παραλληλεπίπεδο. Δεδομένου ότι το κουτί είναι ένα πρίσμα, τα κύρια στοιχεία του ορίζονται με τον ίδιο τρόπο που ορίζονται για τα πρίσματα.

Θεωρήματα.

1. Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και το διχοτομούν.

2. Σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το τετράγωνο του μήκους της διαγωνίου ισούται με το άθροισματετράγωνα των τριών διαστάσεων του:

3. Και οι τέσσερις διαγώνιοι κυβοειδέςείναι ίσα μεταξύ τους.

Για ένα αυθαίρετο παραλληλεπίπεδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

όπου μεγάλοείναι το μήκος της πλευρικής πλευράς.

H- ύψος;

Πείναι η περίμετρος της κάθετης τομής.

Q– Εμβαδόν κάθετου τμήματος.

S πλευράείναι η πλευρική επιφάνεια.

S γεμάτοείναι η συνολική επιφάνεια·

S κύριαείναι το εμβαδόν των βάσεων·

Vείναι ο όγκος του πρίσματος.

Για ένα δεξιό παραλληλεπίπεδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

όπου Π- η περίμετρος της βάσης.

μεγάλοείναι το μήκος της πλευρικής πλευράς.

Hείναι το ύψος του δεξιού παραλληλεπίπεδου.

Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

(3)

όπου Π- η περίμετρος της βάσης.

H- ύψος;

ρε- διαγώνιος

αλφάβητο– μετρήσεις παραλληλεπίπεδου.

Οι σωστοί τύποι για έναν κύβο είναι:

όπου έναείναι το μήκος της πλευράς?

ρεείναι η διαγώνιος του κύβου.

Παράδειγμα 1Η διαγώνιος ενός ορθογώνιου κυβοειδούς είναι 33 dm και οι μετρήσεις του σχετίζονται με 2:6:9. Βρείτε τις μετρήσεις του κυβοειδούς.

Λύση.Για να βρούμε τις διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου, χρησιμοποιούμε τον τύπο (3), δηλ. το γεγονός ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός κυβοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαστάσεων του. Σημειώστε με κσυντελεστή αναλογικότητας. Τότε οι διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου θα είναι ίσες με 2 κ, 6κκαι 9 κ. Γράφουμε τον τύπο (3) για τα δεδομένα του προβλήματος:

Επίλυση αυτής της εξίσωσης για κ, παίρνουμε:

Ως εκ τούτου, οι διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου είναι 6 dm, 18 dm και 27 dm.

Απάντηση: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Παράδειγμα 2Βρείτε τον όγκο του λοξού τριγωνικό πρίσμα, του οποίου η βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 8 cm, εάν το πλάγιο άκρο είναι ίσο με την πλευρά της βάσης και είναι κεκλιμένο υπό γωνία 60º ως προς τη βάση.

Λύση . Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 3).

Για να βρείτε τον όγκο ενός κεκλιμένου πρίσματος, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του. Το εμβαδόν της βάσης αυτού του πρίσματος είναι το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 8 εκ. Υπολογίστε το:

Το ύψος ενός πρίσματος είναι η απόσταση μεταξύ των βάσεων του. Απο πάνω ΑΛΛΑ 1 της πάνω βάσης κατεβάζουμε την κάθετη στο επίπεδο της κάτω βάσης ΑΛΛΑ 1 ρε. Το μήκος του θα είναι το ύψος του πρίσματος. Σκεφτείτε το Δ ΑΛΛΑ 1 ΕΝΑ Δ: αφού αυτή είναι η γωνία κλίσης της πλευρικής πλευράς ΑΛΛΑ 1 ΑΛΛΑστο επίπεδο βάσης ΑΛΛΑ 1 ΑΛΛΑ= 8 εκ. Από αυτό το τρίγωνο βρίσκουμε ΑΛΛΑ 1 ρε:

Τώρα υπολογίζουμε τον όγκο χρησιμοποιώντας τον τύπο (1):

Απάντηση: 192 cm3.

Παράδειγμα 3Το πλευρικό άκρο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος είναι 14 εκ. Το εμβαδόν του μεγαλύτερου διαγώνιου τμήματος είναι 168 cm 2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 4)

Το μεγαλύτερο διαγώνιο τμήμα είναι ένα ορθογώνιο AA 1 DD 1 , αφού η διαγώνιος ΕΝΑ Δ κανονικό εξάγωνο ABCDEFείναι το μεγαλύτερο. Για να υπολογιστεί η πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την πλευρά της βάσης και το μήκος της πλευρικής πλευράς.

Γνωρίζοντας το εμβαδόν της διαγώνιας τομής (ορθογώνιο), βρίσκουμε τη διαγώνιο της βάσης.

Γιατί, λοιπόν

Από τότε ΑΒ= 6 cm.

Τότε η περίμετρος της βάσης είναι:

Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος:

Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρά 6 cm είναι:

Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4Η βάση ενός δεξιού παραλληλεπίπεδου είναι ένας ρόμβος. Τα εμβαδά των διαγώνιων τομών είναι 300 cm 2 και 875 cm 2. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του παραλληλεπιπέδου.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 5).

Να συμβολίσετε την πλευρά του ρόμβου με ένα, οι διαγώνιοι του ρόμβου ρε 1 και ρε 2 , το ύψος του κουτιού η. Για να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου παραλληλεπίπεδου, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε την περίμετρο της βάσης με το ύψος: (τύπος (2)). Περίμετρος βάσης p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, επειδή Α Β Γ Δ- ρόμβος. Η = ΑΑ 1 = η. Οτι. Πρέπει να βρεθεί ένακαι η.

Εξετάστε τις διαγώνιες τομές. AA 1 SS 1 - ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι η διαγώνιος ενός ρόμβου ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ = ρε 1 , δεύτερη πλευρική άκρη AA 1 = η, έπειτα

Ομοίως για το τμήμα ΒΒ 1 DD 1 παίρνουμε:

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου έτσι ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του, παίρνουμε την ισότητα Παίρνουμε το εξής.

ΣΤΟ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνστην πορεία της στερεάς γεωμετρίας, η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών ξεκινά συνήθως με ένα απλό γεωμετρικό σώμα - ένα πολύεδρο πρίσματος. Ο ρόλος των βάσεων του εκτελείται από 2 ίσα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Μια ειδική περίπτωση είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Οι βάσεις του είναι 2 όμοια κανονικά τετράγωνα, στα οποία οι πλευρές είναι κάθετες, που έχουν σχήμα παραλληλογράμμων (ή ορθογώνια αν το πρίσμα δεν είναι κεκλιμένο).

Πώς μοιάζει ένα πρίσμα

Ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα είναι ένα εξάεδρο, στις βάσεις του οποίου υπάρχουν 2 τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις αντιπροσωπεύονται από ορθογώνια. Άλλο όνομα για αυτό γεωμετρικό σχήμα- ευθύ παραλληλεπίπεδο.

Το σχήμα, που απεικονίζει ένα τετράγωνο πρίσμα, φαίνεται παρακάτω.

Μπορείτε να δείτε και στην εικόνα τα πιο σημαντικά στοιχεία που απαρτίζουν γεωμετρικό σώμα . Συνήθως αναφέρονται ως:

Μερικές φορές σε προβλήματα στη γεωμετρία μπορείτε να βρείτε την έννοια μιας ενότητας. Ο ορισμός θα ακούγεται ως εξής: ένα τμήμα είναι όλα τα σημεία ενός ογκομετρικού σώματος που ανήκουν στο επίπεδο κοπής. Η τομή είναι κάθετη (διασχίζει τις άκρες του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών). Για ένα ορθογώνιο πρίσμα, θεωρείται επίσης μια διαγώνια τομή ( μέγιστο ποσότμήματα που μπορούν να κατασκευαστούν - 2) περνώντας από 2 άκρες και διαγώνιες της βάσης.

Εάν η τομή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε το επίπεδο κοπής να μην είναι παράλληλο ούτε με τις βάσεις ούτε με τις πλευρικές όψεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κολοβωμένο πρίσμα.

Διάφοροι λόγοι και τύποι χρησιμοποιούνται για την εύρεση των μειωμένων πρισματικών στοιχείων. Μερικά από αυτά είναι γνωστά από την πορεία της επιπεδομετρίας (για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, αρκεί να θυμηθούμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου).

Επιφάνεια και όγκος

Για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του:

V = Sprim h

Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραεδρικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ένα,Μπορείτε να γράψετε τον τύπο σε πιο λεπτομερή μορφή:

V = a² h

Εάν μιλάμε για έναν κύβο - ένα κανονικό πρίσμα με ίσο μήκος, πλάτος και ύψος, ο όγκος υπολογίζεται ως εξής:

Για να καταλάβετε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, πρέπει να φανταστείτε την σάρωση του.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι πλευρική επιφάνειααποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια. Το εμβαδόν του υπολογίζεται ως το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του σχήματος:

Πλευρά = Θέση h

Αφού η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι P = 4a,ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Πλευρά = 4a h

Για τον κύβο:

Πλευρά = 4a²

Για να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια ενός πρίσματος, προσθέστε 2 εμβαδά βάσης στην πλευρική επιφάνεια:

Sfull = Πλαϊνό + 2Sbase

Όπως εφαρμόζεται σε ένα τετράγωνο κανονικό πρίσμα, ο τύπος έχει τη μορφή:

Πλήρης = 4a h + 2a²

Για την επιφάνεια ενός κύβου:

Πλήρης = 6a²

Γνωρίζοντας τον όγκο ή την επιφάνεια, μπορείτε να υπολογίσετε τα μεμονωμένα στοιχεία ενός γεωμετρικού σώματος.

Εύρεση στοιχείων πρίσματος

Συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία δίνεται ο όγκος ή είναι γνωστή η τιμή της πλευρικής επιφάνειας, όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της πλευράς της βάσης ή το ύψος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορούν να προκύψουν τύποι:

• μήκος πλευράς βάσης: a = Πλευρά / 4h = √(V / h);
• ύψος ή μήκος πλευράς: h = Πλευρά / 4a = V / a²;
• περιοχή βάσης: Sprim = V / h;
• περιοχή του πλευρικού προσώπου: Πλευρά gr = Πλευρά / 4.

Για να προσδιορίσετε πόση περιοχή έχει ένα διαγώνιο τμήμα, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της διαγώνιας και το ύψος του σχήματος. Για ένα τετράγωνο d = a√2.Επομένως:

Sdiag = ah√2

Για να υπολογιστεί η διαγώνιος του πρίσματος, χρησιμοποιείται ο τύπος:

dprize = √(2a² + h²)

Για να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε τις παραπάνω αναλογίες, μπορείτε να εξασκηθείτε και να λύσετε μερικές απλές εργασίες.

Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις

Εδώ είναι μερικές από τις εργασίες που εμφανίζονται στις κρατικές τελικές εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ασκηση 1.

Η άμμος χύνεται σε ένα κουτί σε σχήμα κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Το ύψος του επιπέδου του είναι 10 εκ. Ποια θα είναι η στάθμη της άμμου αν τη μεταφέρετε σε ένα δοχείο του ίδιου σχήματος, αλλά με μήκος βάσης 2 φορές μεγαλύτερο;

Θα πρέπει να υποστηριχθεί ως εξής. Η ποσότητα της άμμου στο πρώτο και το δεύτερο δοχείο δεν άλλαξε, δηλαδή ο όγκος της σε αυτά είναι ο ίδιος. Μπορείτε να ορίσετε το μήκος της βάσης ως ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, για το πρώτο πλαίσιο, ο όγκος της ουσίας θα είναι:

V1 = ha² = 10a²

Για το δεύτερο κουτί, το μήκος της βάσης είναι 2α, αλλά το ύψος της στάθμης της άμμου είναι άγνωστο:

V2 = h(2a)² = 4ha²

Επειδή η V1 = V2, οι εκφράσεις μπορούν να εξισωθούν:

10a² = 4ha²

Αφού μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά a², έχουμε:

Ως αποτέλεσμα, το νέο επίπεδο άμμου θα είναι h = 10 / 4 = 2,5εκ.

Εργασία 2.

Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα κανονικό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι BD = AB1 = 6√2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του σώματος.

Για να καταλάβετε πιο εύκολα ποια στοιχεία είναι γνωστά, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εικόνα.

Εφόσον μιλάμε για κανονικό πρίσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η βάση είναι ένα τετράγωνο με διαγώνιο 6√2. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης έχει την ίδια τιμή, επομένως, η πλευρική όψη έχει επίσης σχήμα τετραγώνου ίσου με τη βάση. Αποδεικνύεται ότι και οι τρεις διαστάσεις - μήκος, πλάτος και ύψος - είναι ίσες. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ABCDA1B1C1D1 είναι ένας κύβος.

Το μήκος οποιασδήποτε ακμής προσδιορίζεται από τη γνωστή διαγώνιο:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας βρίσκεται από τον τύπο για τον κύβο:

Πλήρης = 6a² = 6 6² = 216

Εργασία 3.

Το δωμάτιο ανακαινίζεται. Είναι γνωστό ότι το δάπεδό του έχει σχήμα τετράγωνου εμβαδού 9 m². Το ύψος του δωματίου είναι 2,5 μ. Ποιο είναι το χαμηλότερο κόστος για την ταπετσαρία ενός δωματίου εάν το 1 m² κοστίζει 50 ρούβλια;

Δεδομένου ότι το δάπεδο και η οροφή είναι τετράγωνα, δηλαδή κανονικά τετράγωνα, και οι τοίχοι του είναι κάθετοι οριζόντιες επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι κανονικό πρίσμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή της πλευρικής του επιφάνειας.

Το μήκος του δωματίου είναι a = √9 = 3Μ.

Το τετράγωνο θα καλυφθεί με ταπετσαρία Πλευρά = 4 3 2,5 = 30 m².

Το χαμηλότερο κόστος ταπετσαρίας για αυτό το δωμάτιο θα είναι 50 30 = 1500ρούβλια.

Έτσι, για να λύσουμε προβλήματα για ένα ορθογώνιο πρίσμα, αρκεί να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου, καθώς και να γνωρίζουμε τους τύπους για την εύρεση του όγκου και του εμβαδού επιφάνειας.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου

Το βίντεο μάθημα "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για μια επιτυχημένη περνώντας τις εξετάσειςστα μαθηματικά για 60-65 μονάδες. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 εξετάσεις προφίλμαθηματικά. Κατάλληλο και για να περάσει η Βασική ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μαθήματα προετοιμασίας για τις εξετάσεις για τις τάξεις 10-11, καθώς και για καθηγητές. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το μέρος 1 της εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και στο πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής εκατό βαθμών ούτε ένας ανθρωπιστής δεν μπορούν να τα κάνουν χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγοροι τρόποιλύσεις, παγίδες και μυστικά της εξέτασης. Όλες οι σχετικές εργασίες του μέρους 1 από τις εργασίες της Τράπεζας FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις του USE-2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες εξετάσεων. Προβλήματα κειμένου και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι επίλυσης προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών USE. Στερεομετρία. Πονηρά κόλπα για επίλυση, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν - στην εργασία 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνουμε. Οπτική εξήγηση σύνθετων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Βάση επίλυσης σύνθετων προβλημάτων του 2ου μέρους της εξέτασης.