Σπίτι

Το Y sin x αυξάνεται παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή. Συναρτήσεις y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x. Ημιτονοειδή προβλήματα για ανεξάρτητη λύση

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε λεπτομερώς τη συνάρτηση y \u003d sin x, τις κύριες ιδιότητες και το γράφημά της. Στην αρχή του μαθήματος, θα δώσουμε τον ορισμό της τριγωνομετρικής συνάρτησης y \u003d sin t στον κύκλο συντεταγμένων και θα εξετάσουμε το γράφημα της συνάρτησης στον κύκλο και τη γραμμή. Ας δείξουμε την περιοδικότητα αυτής της συνάρτησης στο γράφημα και ας εξετάσουμε τις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης. Στο τέλος του μαθήματος, θα λύσουμε μερικά απλά προβλήματα χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και τις ιδιότητες της.

Θέμα: Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Μάθημα: Η συνάρτηση y=sinx, οι κύριες ιδιότητες και η γραφική παράσταση της

Όταν εξετάζετε μια συνάρτηση, είναι σημαντικό να συσχετίσετε μια μεμονωμένη τιμή της συνάρτησης με κάθε τιμή του ορίσματος. Αυτό νόμος της αλληλογραφίαςκαι ονομάζεται συνάρτηση.

Ας ορίσουμε τον νόμο αντιστοιχίας για .

Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του μοναδιαίου κύκλου Το σημείο έχει μια μοναδική τεταγμένη, η οποία ονομάζεται ημίτονο του αριθμού (Εικ. 1).

Σε κάθε τιμή ορίσματος εκχωρείται μία τιμή συνάρτησης.

Προφανείς ιδιότητες προκύπτουν από τον ορισμό του ημιτονοειδούς.

Το σχήμα δείχνει ότι επειδή είναι η τεταγμένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο.

Εξετάστε το γράφημα της συνάρτησης. Ας θυμηθούμε τη γεωμετρική ερμηνεία του επιχειρήματος. Το όρισμα είναι η κεντρική γωνία που μετράται σε ακτίνια. Στον άξονα, θα σχεδιάσουμε πραγματικούς αριθμούς ή γωνίες σε ακτίνια, κατά μήκος του άξονα, τις αντίστοιχες τιμές συνάρτησης.

Για παράδειγμα, η γωνία στον μοναδιαίο κύκλο αντιστοιχεί σε ένα σημείο του γραφήματος (Εικ. 2)

Πήραμε το γράφημα της συνάρτησης στην τοποθεσία, αλλά γνωρίζοντας την περίοδο του ημιτονοειδούς, μπορούμε να απεικονίσουμε το γράφημα της συνάρτησης σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού (Εικ. 3).

Η κύρια περίοδος της συνάρτησης είναι Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα μπορεί να ληφθεί σε ένα τμήμα και στη συνέχεια να συνεχιστεί σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Εξετάστε τις ιδιότητες της συνάρτησης:

1) Τομέας ορισμού:

2) Εύρος τιμών:

3) Συνάρτηση περιττή:

4) Η μικρότερη θετική περίοδος:

5) Συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα x:

6) Συντεταγμένες του σημείου τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα y:

7) Διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές:

8) Διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές:

9) Αύξηση διαστημάτων:

10) Φθίνοντα διαστήματα:

11) Χαμηλά σημεία:

12) Ελάχιστα χαρακτηριστικά:

13) Υψηλά σημεία:

14) Μέγιστα χαρακτηριστικά:

Έχουμε εξετάσει τις ιδιότητες μιας συνάρτησης και τη γραφική παράσταση της. Οι ιδιότητες θα χρησιμοποιηθούν επανειλημμένα για την επίλυση προβλημάτων.

Βιβλιογραφία

1. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Φροντιστήριο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ) εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2009.

2. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Άλγεβρα και μαθηματική ανάλυση για την τάξη 10 ( φροντιστήριογια μαθητές σχολείων και τάξεων με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών).-Μ .: Εκπαίδευση, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Μια εις βάθος μελέτη της άλγεβρας και της μαθηματικής ανάλυσης.-M .: Εκπαίδευση, 1997.

5. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους ΤΕΙ (με επιμέλεια Μ.Ι.Σκανάβη).-Μ.: Ανώτερη Σχολή, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Αλγεβρικός εκπαιδευτής.-Κ.: Α.Σ.Κ., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tasks in Algebra and the Beginnings of Analysis (εγχειρίδιο για μαθητές των τάξεων 10-11 των γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων).-M .: Εκπαίδευση, 2003.

8. Karp A.P. Συλλογή προβλημάτων στην άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης: σχολικό βιβλίο. επίδομα για 10-11 κύτταρα. με ένα βαθύ μελέτη μαθηματικά.-Μ.: Εκπαίδευση, 2006.

Εργασία για το σπίτι

Algebra and the Beginnings of Analysis, Βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ.

A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Πρόσθετοι πόροι ιστού

3. Εκπαιδευτική πύληγια προετοιμασία για εξετάσεις ().

Ανακαλύψαμε ότι η συμπεριφορά των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, και οι συναρτήσεις y = αμαρτία x συγκεκριμένα, σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή (ή για όλες τις τιμές του ορίσματος Χ) καθορίζεται πλήρως από τη συμπεριφορά του στο διάστημα 0 < Χ < π / 2 .

Επομένως, πρώτα απ 'όλα, θα σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = αμαρτία x ακριβώς σε αυτό το διάστημα.

Ας φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησής μας.

Σημειώνοντας τα αντίστοιχα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων και συνδέοντάς τα με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε την καμπύλη που φαίνεται στο σχήμα

Η προκύπτουσα καμπύλη θα μπορούσε επίσης να κατασκευαστεί γεωμετρικά χωρίς τη σύνταξη πίνακα τιμών συναρτήσεων y = αμαρτία x .

1. Το πρώτο τέταρτο ενός κύκλου ακτίνας 1 χωρίζεται σε 8 ίσα μέρη.Οι τεταγμένες των σημείων διαίρεσης του κύκλου είναι τα ημίτονο των αντίστοιχων γωνιών.

2. Το πρώτο τέταρτο του κύκλου αντιστοιχεί σε γωνίες από 0 έως π / 2 . Επομένως, στον άξονα ΧΠάρτε ένα τμήμα και χωρίστε το σε 8 ίσα μέρη.

3.Ας σχεδιάσουμε ευθείες γραμμές παράλληλες στον άξονα Χ, και από τα σημεία διαίρεσης επαναφέρουμε τις κάθετες στην τομή με τις οριζόντιες γραμμές.

4. Συνδέστε τα σημεία τομής με μια ομαλή γραμμή.

Τώρα ας δούμε το διάστημα π / 2 < Χ < π .
Κάθε τιμή ορίσματος Χαπό αυτό το διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Χ = π / 2 + φ

όπου 0 < φ < π / 2 . Σύμφωνα με τους τύπους μείωσης

αμαρτία( π / 2 + φ ) = κοσ φ = αμαρτία ( π / 2 - φ ).

Σημεία άξονα Χμε τετμημένη π / 2 + φ και π / 2 - φ συμμετρικά μεταξύ τους ως προς το σημείο του άξονα Χμε τετμημένη π / 2 , και τα ημιτόνια σε αυτά τα σημεία είναι τα ίδια. Αυτό σας επιτρέπει να λάβετε ένα γράφημα της συνάρτησης y = αμαρτία x στο διάστημα [ π / 2 , π ] απλά εμφανίζοντας συμμετρικά το γράφημα αυτής της συνάρτησης στο διάστημα σε σχέση με την ευθεία Χ = π / 2 .

Τώρα χρησιμοποιώντας το ακίνητο περιττή συνάρτηση y \u003d sin x,

αμαρτία(- Χ) = -αμαρτία Χ,

είναι εύκολο να γραφτεί αυτή η συνάρτηση στο διάστημα [- π , 0].

Η συνάρτηση y \u003d sin x είναι περιοδική με περίοδο 2π ;. Επομένως, για να δημιουργήσετε ολόκληρο το γράφημα αυτής της συνάρτησης, αρκεί να συνεχίσετε την καμπύλη που φαίνεται στο σχήμα αριστερά και δεξιά περιοδικά με μια τελεία 2π .

Η καμπύλη που προκύπτει ονομάζεται ημιτονοειδής . Είναι το γράφημα της συνάρτησης y = αμαρτία x.

Το σχήμα απεικονίζει καλά όλες αυτές τις ιδιότητες της συνάρτησης y = αμαρτία x , που είχαν αποδειχτεί προηγουμένως από εμάς. Θυμηθείτε αυτές τις ιδιότητες.

1) Λειτουργία y = αμαρτία x ορίζεται για όλες τις τιμές Χ , ώστε το πεδίο ορισμού του να είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

2) Λειτουργία y = αμαρτία x περιορισμένος. Όλες οι τιμές που απαιτούνται είναι μεταξύ -1 και 1, συμπεριλαμβανομένων αυτών των δύο αριθμών. Επομένως, το εύρος αυτής της συνάρτησης καθορίζεται από την ανισότητα -1 < στο < 1. Πότε Χ = π / 2 + 2 χιλ π η συνάρτηση παίρνει τις μεγαλύτερες τιμές ίσες με 1, και για x = - π / 2 + 2 χιλ π - οι μικρότερες τιμές ίσες με - 1.

3) Λειτουργία y = αμαρτία x είναι περιττό (το ημιτονοειδές είναι συμμετρικό ως προς την αρχή).

4) Λειτουργία y = αμαρτία x περιοδική με περίοδο 2 π .

5) Σε διαστήματα 2n π < Χ < π + 2n π (n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός) είναι θετικός και κατά διαστήματα π + 2 χιλ π < Χ < 2π + 2 χιλ π (k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός) είναι αρνητικός. Για x = k π η συνάρτηση πηγαίνει στο μηδέν. Επομένως, αυτές οι τιμές του ορίσματος x (0; ± π ; ±2 π ; ...) ονομάζονται μηδενικά της συνάρτησης y = sinx

6) Κατά διαστήματα - π / 2 + 2n π < Χ < π / 2 + 2n π λειτουργία y = αμαρτία Χ αυξάνεται μονότονα και κατά διαστήματα π / 2 + 2 χιλ π < Χ < 3π / 2 + 2 χιλ π μειώνεται μονοτονικά.

Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στη συμπεριφορά της συνάρτησης y = sinx κοντά στο σημείο Χ = 0 .

Για παράδειγμα, sin 0.012 ≈ 0,012; αμαρτία (-0,05) ≈ -0,05;

αμαρτία2° = αμαρτία π 2 / 180=αμαρτία π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι για οποιεσδήποτε τιμές του x

| αμαρτία Χ| < | x | . (1)

Πράγματι, έστω η ακτίνα του κύκλου που φαίνεται στο σχήμα να είναι ίση με 1,
ένα / AOB = Χ.

Τότε αμαρτία Χ= AC. Αλλά η Α.Ε< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол Χ. Το μήκος αυτού του τόξου είναι προφανώς ίσο με Χ, αφού η ακτίνα του κύκλου είναι 1. Άρα, για 0< Χ < π / 2

αμαρτία x< х.

Ως εκ τούτου, λόγω της παραδοξότητας της συνάρτησης y = sinx είναι εύκολο να δείξουμε ότι όταν - π / 2 < Χ < 0

| αμαρτία Χ| < | x | .

Τέλος, στο Χ = 0

| αμαρτία x | = | x |.

Έτσι, για | Χ | < π / 2 αποδεικνύεται η ανισότητα (1). Στην πραγματικότητα, αυτή η ανισότητα ισχύει και για το | Χ | > π / 2 λόγω του γεγονότος ότι | | αμαρτία Χ | < 1, α π / 2 > 1

Γυμνάσια

1.Σύμφωνα με το πρόγραμμα λειτουργίας y = sinx προσδιορίστε: α) αμαρτία 2; β) αμαρτία 4; γ) αμαρτία (-3).

2. Λειτουργία χρονοδιαγράμματος y = sinx προσδιορίστε ποιος αριθμός από το διάστημα
[ - π / 2 , π / 2 ] έχει ημίτονο ίσο με: α) 0,6; β) -0,8.

3. Προγραμματισμένη λειτουργία y = sinx προσδιορίστε ποιοι αριθμοί έχουν ημίτονο,
ίσο με 1/2.

4. Βρείτε περίπου (χωρίς τη χρήση πινάκων): α) αμαρτία 1°; β) αμαρτία 0,03;
γ) αμαρτία (-0,015); δ) αμαρτία (-2°30").

Πώς να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y=sin x; Αρχικά, εξετάστε τη γραφική παράσταση του ημιτόνου στο διάστημα.

Παίρνουμε ένα ενιαίο τμήμα με μήκος 2 κελιά ενός σημειωματάριου. Σημειώνουμε τη μονάδα στον άξονα Oy.

Για ευκολία, στρογγυλοποιούμε τον αριθμό π/2 στο 1,5 (και όχι στο 1,6, όπως απαιτείται από τους κανόνες στρογγυλοποίησης). Σε αυτή την περίπτωση, ένα τμήμα μήκους π/2 αντιστοιχεί σε 3 κελιά.

Στον άξονα Ox, σημειώνουμε όχι μεμονωμένα τμήματα, αλλά τμήματα μήκους π / 2 (κάθε 3 κελιά). Αντίστοιχα, ένα τμήμα μήκους π αντιστοιχεί σε 6 κελιά, ένα τμήμα μήκους π/6 αντιστοιχεί σε 1 κελί.

Με αυτήν την επιλογή ενός μεμονωμένου τμήματος, το γράφημα που απεικονίζεται σε ένα φύλλο σημειωματάριου σε ένα πλαίσιο αντιστοιχεί στο γράφημα της συνάρτησης y=sin x όσο το δυνατόν περισσότερο.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα με τιμές ημιτονοειδούς στο διάστημα:

Τα σημεία που προκύπτουν σημειώνονται στο επίπεδο συντεταγμένων:

Εφόσον το y=sin x είναι περιττή συνάρτηση, το ημιτονικό γράφημα είναι συμμετρικό ως προς την αρχή - σημείο O(0;0). Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός, συνεχίζουμε να σχεδιάζουμε το γράφημα προς τα αριστερά και μετά τα σημεία -π:

Η συνάρτηση y=sin x είναι περιοδική με περίοδο T=2π. Επομένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης, που λαμβάνεται στο διάστημα [-π; π], επαναλαμβάνεται άπειρος αριθμόςφορές δεξιά και αριστερά.

Το εκπαιδευτικό βίντεο «Συνάρτηση y = sinx, οι ιδιότητές του και το γράφημα» παρουσιάζει οπτικό υλικό για αυτό το θέμα, καθώς και σχόλια για αυτό. Κατά την επίδειξη, εξετάζεται ο τύπος της συνάρτησης, οι ιδιότητές της, η συμπεριφορά σε διάφορα τμήματα του επιπέδου συντεταγμένων, τα χαρακτηριστικά του γραφήματος περιγράφονται λεπτομερώς, περιγράφεται ένα παράδειγμα γραφικής λύσης τριγωνομετρικές εξισώσειςπου περιέχει ένα ημίτονο. Με τη βοήθεια ενός μαθήματος βίντεο, είναι πιο εύκολο για τον δάσκαλο να σχηματίσει την ιδέα ενός μαθητή για αυτήν τη λειτουργία, να διδάξει πώς να λύνει προβλήματα γραφικά.

Το εκπαιδευτικό βίντεο χρησιμοποιεί εργαλεία που διευκολύνουν την απομνημόνευση και την κατανόηση εκπαιδευτικές πληροφορίες. Στην παρουσίαση γραφημάτων και στην περιγραφή της λύσης προβλημάτων χρησιμοποιούνται εφέ κινούμενων εικόνων που βοηθούν στην κατανόηση της συμπεριφοράς της συνάρτησης, στην παρουσίαση της προόδου της λύσης διαδοχικά. Επίσης, η εκφώνηση του υλικού το συμπληρώνει με σημαντικά σχόλια που αντικαθιστούν την εξήγηση του δασκάλου. Έτσι, αυτό το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως οπτικό βοήθημα. Και ως ανεξάρτητο μέρος του μαθήματος αντί της εξήγησης του δασκάλου σε ένα νέο θέμα.

Η επίδειξη ξεκινά με την εισαγωγή του θέματος του μαθήματος. Παρουσιάζεται η συνάρτηση ημιτόνου, η περιγραφή της οποίας επισημαίνεται σε ένα πλαίσιο μνήμης - s=sint, στο οποίο το όρισμα t μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Η περιγραφή των ιδιοτήτων αυτής της συνάρτησης ξεκινά με το πεδίο. Σημειώνεται ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας των πραγματικών αριθμών, δηλαδή D(f)=(- ∞;+∞). Η δεύτερη ιδιότητα είναι η περιττότητα της ημιτονοειδούς συνάρτησης. Υπενθυμίζεται στους μαθητές ότι αυτή η ιδιότητα μελετήθηκε στην 9η τάξη, όταν σημειώθηκε ότι για μια περιττή συνάρτηση ισχύει η ισότητα f(-x)=-f(x). Για το ημίτονο, η επιβεβαίωση της περιττότητας της συνάρτησης αποδεικνύεται σε έναν μοναδιαίο κύκλο χωρισμένο σε τέταρτα. Γνωρίζοντας τι πρόσημο παίρνει η συνάρτηση σε διαφορετικά τέταρτα του επιπέδου συντεταγμένων, σημειώνεται ότι για ορίσματα με αντίθετα πρόσημα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των σημείων L(t) και N(-t) για το ημίτονο, η περιττή συνθήκη ικανοποιείται. Επομένως η s=sint είναι περιττή συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.

Η τρίτη ιδιότητα του ημιτονοειδούς δείχνει τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης. Σημειώνει ότι αυτή η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα και μειώνεται στο διάστημα [π/2;π]. Η ιδιότητα φαίνεται στο σχήμα, που δείχνει έναν κύκλο μονάδας και όταν μετακινείται από το σημείο Α αριστερόστροφα, η τεταγμένη αυξάνεται, δηλαδή η τιμή της συνάρτησης αυξάνεται σε π/2. Όταν μετακινούμαστε από το σημείο Β στο Γ, δηλαδή όταν η γωνία αλλάζει από π / 2 σε π, η τιμή της τεταγμένης μειώνεται. Στο τρίτο τέταρτο του κύκλου, όταν μετακινείται από το σημείο C στο σημείο D, η τεταγμένη μειώνεται από 0 σε -1, δηλαδή μειώνεται η τιμή του ημιτόνου. Στο τελευταίο τρίμηνο, όταν μετακινείστε από το σημείο D στο σημείο Α, η τιμή της τεταγμένης αυξάνεται από -1 σε 0. Έτσι, μπορείτε να κάνετε γενικό συμπέρασμασχετικά με τη συμπεριφορά της συνάρτησης. Η οθόνη εμφανίζει την έξοδο που αυξάνεται το sint στο τμήμα [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], μειώνεται στο διάστημα [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] για οποιονδήποτε ακέραιο k.

Η τέταρτη ιδιότητα του ημιτονοειδούς θεωρεί το όριο της συνάρτησης. Σημειώνεται ότι η συνάρτηση sint οριοθετείται τόσο πάνω όσο και κάτω. Υπενθυμίζονται στους μαθητές πληροφορίες από την άλγεβρα της 9ης τάξης όταν εξοικειώθηκαν με την έννοια της οριοθέτησης μιας συνάρτησης. Η οθόνη εμφανίζει την κατάσταση μιας συνάρτησης που οριοθετείται από πάνω, για την οποία υπάρχει κάποιος αριθμός για τον οποίο η ανισότητα f(x)>=M ικανοποιείται σε οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Υπενθυμίζουμε επίσης την συνθήκη μιας συνάρτησης που οριοθετείται παρακάτω, για την οποία υπάρχει αριθμός m μικρότερος από κάθε σημείο της συνάρτησης. Για το sint, η συνθήκη είναι -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Η πέμπτη ιδιότητα εξετάζει τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης. Σημειώνεται η επίτευξη της μικρότερης τιμής -1 σε κάθε σημείο t=-(π/2)+2πk, και της μεγαλύτερης - στα σημεία t=(π/2)+2πk.

Με βάση τις εξεταζόμενες ιδιότητες, η γραφική παράσταση της συνάρτησης sint απεικονίζεται στο διάστημα . Για την κατασκευή της συνάρτησης χρησιμοποιούνται οι πινακικές τιμές του ημιτόνου των αντίστοιχων σημείων. Οι συντεταγμένες των σημείων π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π σημειώνονται στο επίπεδο συντεταγμένων. Έχοντας σημειώσει τις πινακοποιημένες τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία και συνδέοντάς τις με μια ομαλή γραμμή, κατασκευάζουμε ένα γράφημα.

Για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση sint στο τμήμα [-π; π], χρησιμοποιείται η ιδιότητα συμμετρίας της συνάρτησης ως προς την αρχή. Το σχήμα δείχνει πώς η γραμμή που προκύπτει ως αποτέλεσμα της κατασκευής μεταφέρεται ομαλά συμμετρικά σε σχέση με την αρχή στο τμήμα [-π; 0].

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνάρτησης sint, που εκφράζεται στον αναγωγικό τύπο sin (x + 2π) \u003d sin x, σημειώνεται ότι κάθε 2π το ημιτονικό γράφημα επαναλαμβάνεται. Έτσι, στο διάστημα [π; Το γράφημα 3π] θα είναι το ίδιο όπως στο [-π;π]. Έτσι, το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι ένα επαναλαμβανόμενο τμήμα [-π; π] σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. Ξεχωριστά, σημειώνεται ότι ένα τέτοιο γράφημα συνάρτησης ονομάζεται ημιτονοειδές. Εισάγεται επίσης η έννοια του ημιτονοειδούς κύματος - ένα θραύσμα ενός γραφήματος που είναι χτισμένο στο τμήμα [-π; π] και ένα ημιτονοειδές τόξο χτισμένο στο τμήμα . Αυτά τα θραύσματα εμφανίζονται ξανά για απομνημόνευση.

Σημειώνεται ότι η συνάρτηση sint είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού και επίσης ότι το εύρος της συνάρτησης βρίσκεται στο σύνολο τιμών του τμήματος [-1;1].

Στο τέλος του εκπαιδευτικού βίντεο, εξετάζεται μια γραφική λύση της εξίσωσης sin x \u003d x + π. Προφανώς, η γραφική λύση της εξίσωσης θα είναι η τομή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που δίνεται από την έκφραση στην αριστερή πλευρά και της συνάρτησης που δίνεται από την έκφραση στη δεξιά πλευρά. Για την επίλυση του προβλήματος, κατασκευάζεται ένα επίπεδο συντεταγμένων, στο οποίο σκιαγραφείται το αντίστοιχο ημιτονοειδές y \u003d sin x και κατασκευάζεται μια ευθεία γραμμή που αντιστοιχεί στο γράφημα της συνάρτησης y \u003d x + π. Τα κατασκευασμένα γραφήματα τέμνονται σε ένα μόνο σημείο В(-π;0). Επομένως, x \u003d - π θα είναι η λύση της εξίσωσης.

Το βίντεο μάθημα "Συνάρτηση y = sinx, οι ιδιότητες και η γραφική παράσταση της" θα βοηθήσει στην αύξηση της αποτελεσματικότητας του μαθήματος του παραδοσιακού μαθήματος των μαθηματικών στο σχολείο. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε οπτικό υλικό όταν εκτελείτε εκπαίδευση εξ αποστάσεως. Το εγχειρίδιο μπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση του θέματος για μαθητές που χρειάζονται επιπλέον μαθήματα για βαθύτερη κατανόηση του υλικού.

ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:

Το θέμα του μαθήματός μας είναι "Συνάρτηση y \u003d sin x, οι ιδιότητες και το γράφημά της".

Νωρίτερα είχαμε ήδη εξοικειωθεί με τη συνάρτηση s = sin t, όπου το tϵR (es είναι ίσο με το ημίτονο του te, όπου το te ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών). Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης:

ΑΤΟΜΙΚΟ 1. Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R (er), δηλαδή D (f) = (-; +) (το de από το ef αντιπροσωπεύει το διάστημα από μείον άπειρο έως συν άπειρο).

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 2. Η συνάρτηση s = sin t είναι περιττή.

Στα μαθήματα της τάξης 9, μάθαμε ότι η συνάρτηση y \u003d f (x), x ϵX (y ισούται με eff από το x, όπου το x ανήκει στο σύνολο x είναι μεγάλο) ονομάζεται περιττή αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο Χ την ισότητα

f (- x) \u003d - f (x) (ef από μείον x ισούται με μείον ef από x).

Και εφόσον οι τεταγμένες των σημείων L και N, που είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα της τετμημένης, είναι αντίθετες, τότε sin (- t) = -sint.

Δηλαδή, η s \u003d sin t είναι μια περιττή συνάρτηση και η γραφική παράσταση της συνάρτησης s \u003d sin t είναι συμμετρική ως προς την αρχή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τος(τε ο ες).

Θεωρήστε την ΙΔΙΟΤΗΤΑ 3. Στο τμήμα [ 0; ] (από μηδέν στο pi κατά δύο) η συνάρτηση s = sin t αυξάνεται και μειώνεται στο τμήμα [; ](από pi κατά δύο σε pi).

Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από τα σχήματα: όταν ένα σημείο κινείται κατά μήκος του κύκλου του αριθμού από το μηδέν στο pi κατά δύο (από το σημείο Α στο Β), η τεταγμένη αυξάνεται σταδιακά από το 0 στο 1 και όταν μετακινείται από το pi κατά δύο στο pi (από σημείο Β έως Γ), η τεταγμένη μειώνεται σταδιακά από 1 σε 0.

Όταν το σημείο κινείται κατά μήκος του τρίτου τετάρτου (από το σημείο Γ στο σημείο Δ), η τεταγμένη του κινούμενου σημείου μειώνεται από το μηδέν στο μείον ένα και όταν κινείται κατά μήκος του τέταρτου τετάρτου, η τεταγμένη αυξάνεται από μείον ένα σε μηδέν. Επομένως, μπορούμε να βγάλουμε ένα γενικό συμπέρασμα: η συνάρτηση s = sin t αυξάνεται στο τμήμα

(από μείον pi κατά δύο συν δύο κορυφές σε pi κατά δύο συν δύο κορυφές), και μειώνεται στο τμήμα [; (από πι δύο συν δύο πι κα σε τρία πι δύο συν δύο πι κα), όπου

(το ka ανήκει στο σύνολο των ακεραίων).

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 4. Η συνάρτηση s = sin t οριοθετείται από πάνω και κάτω.

Από το μάθημα της 9ης τάξης, θυμηθείτε τον ορισμό της οριοθέτησης: μια συνάρτηση y \u003d f (x) ονομάζεται περιορισμένη από κάτω εάν όλες οι τιμές της συνάρτησης δεν είναι μικρότερες από κάποιο αριθμό Μ Μέτσι ώστε για οποιαδήποτε τιμή x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, η ανίσωση f (x) ≥ Μ(Το ef από το x είναι μεγαλύτερο ή ίσο του em). Η συνάρτηση y \u003d f (x) ονομάζεται περιορισμένη από πάνω εάν όλες οι τιμές της συνάρτησης δεν είναι μεγαλύτερες από κάποιο αριθμό Μ, που σημαίνει ότι υπάρχει ένας αριθμός Μτέτοια ώστε για οποιαδήποτε τιμή x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, η ανίσωση f (x) ≤ Μ(Το ef από το x είναι μικρότερο ή ίσο του em) Μια συνάρτηση ονομάζεται δεσμευμένη αν είναι οριοθετημένη και από κάτω και από πάνω.

Ας επιστρέψουμε στη συνάρτησή μας: το όριο προκύπτει από το γεγονός ότι για κάθε te η ανισότητα είναι αληθής - 1 ≤ sint ≤ 1. (το ημίτονο του te είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μείον ένα, αλλά μικρότερο ή ίσο με ένα).

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 5. Η μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μείον ένα και η συνάρτηση φτάνει σε αυτήν την τιμή σε οποιοδήποτε σημείο της μορφής t = (te ισούται με μείον pi κατά δύο συν δύο κορυφές και η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης είναι ίση σε ένα και επιτυγχάνεται από τη συνάρτηση σε οποιοδήποτε σημείο της μορφής t = (το te ισούται με pi με δύο συν δύο pi ka).

Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης s = sin t δηλώνουν s min. και s μέγ. .

Χρησιμοποιώντας τις λαμβανόμενες ιδιότητες, θα σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y \u003d sin x (y είναι ίσο με το sine x), επειδή είμαστε πιο εξοικειωμένοι με τον συμβολισμό y \u003d f (x) και όχι s \u003d f (t).

Αρχικά, ας επιλέξουμε μια κλίμακα: κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, παίρνουμε ένα ενιαίο τμήμα, δύο κελιά και κατά μήκος του άξονα της τετμημένης, δύο κελιά - αυτό είναι pi επί τρία (επειδή ≈ 1). Αρχικά, ας δημιουργήσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d sin x στο τμήμα. Χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών συναρτήσεων σε αυτό το τμήμα, για να το δημιουργήσουμε θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα τιμών για τις αντίστοιχες γωνίες συνημιτόνου και ημιτόνου:

Έτσι, για να δημιουργηθεί ένας πίνακας τιμών ορισμάτων και συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να το θυμάστε αυτό Χ(x) είναι ο αριθμός αντίστοιχα ίσος με τη γωνία στο διάστημα από το μηδέν στο pi, και στο(Ελληνικά) Η τιμή του ημιτόνου αυτής της γωνίας.

Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Σύμφωνα με την ΙΔΙΟΤΗΤΑ 3 στο τμήμα

[0; ] (από το μηδέν στο pi κατά δύο) η συνάρτηση y \u003d sin x αυξάνεται, αλλά μειώνεται στο τμήμα [; ] (από το pi κατά δύο στο pi) και συνδέοντας τα ληφθέντα σημεία με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε μέρος του γραφήματος. (Εικ. 1)

Χρησιμοποιώντας τη συμμετρία της γραφικής παράστασης μιας περιττής συνάρτησης ως προς την αρχή, λαμβάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d sin x ήδη στο τμήμα

[-π; π ] (από μείον pi στο pi). (Εικ. 2)

Θυμηθείτε ότι sin(x + 2π)= sinx

(το ημίτονο του x συν δύο pi ισούται με το ημίτονο του x). Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο x + 2π η συνάρτηση y = sin x παίρνει την ίδια τιμή με το σημείο x. Και αφού (x + 2π)ε [π; 3π ](x συν δύο pi ανήκει στο τμήμα από pi έως τρία pi), αν xϵ[-π; π ], στη συνέχεια στο διάστημα [π; 3π ] η γραφική παράσταση της συνάρτησης μοιάζει ακριβώς όπως στο διάστημα [-π; π]. Ομοίως, στα τμήματα , , [-3π; -π] και ούτω καθεξής, το γράφημα της συνάρτησης y \u003d sin x φαίνεται το ίδιο με το τμήμα

[-π; π]. (Εικ. 3)

Η γραμμή που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d sin x ονομάζεται ημιτονοειδές. Το τμήμα του ημιτονοειδούς κύματος που φαίνεται στο σχήμα 2 ονομάζεται ημιτονοειδές κύμα και στο σχήμα 1 ονομάζεται τόξο του ημιτονοειδούς κύματος ή μισό κύμα.

Χρησιμοποιώντας το κατασκευασμένο γράφημα, θα γράψουμε μερικές ακόμη ιδιότητες αυτής της συνάρτησης.

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 6. Η συνάρτηση y \u003d sin x είναι μια συνεχής συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συνεχής, δηλαδή δεν έχει άλματα και τρυπήματα.

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 7. Το εύρος της συνάρτησης y \u003d sin x είναι το τμήμα [-1; 1] (από μείον ένα σε ένα) ή μπορεί να γραφτεί ως εξής: (e από eff ισούται με το τμήμα από μείον ένα έως ένα).

Σκεφτείτε ένα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Λύστε γραφικά την εξίσωση sin x \u003d x + π (sine x είναι ίσο με x συν pi).

Λύση. Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων y=αμαρτία Χκαι y = x + π.

Το γράφημα της συνάρτησης y \u003d sin x είναι ένα ημιτονοειδές.

y \u003d x + π είναι μια γραμμική συνάρτηση, η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες (0; π) και (- π; 0).

Τα κατασκευασμένα γραφήματα έχουν ένα σημείο τομής - σημείο B (- π; 0) (να είναι με συντεταγμένες μείον pi, μηδέν). Αυτό σημαίνει ότι αυτή η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα - την τετμημένη του σημείου Β - -π. Απάντηση: Χ = - π.