Εύρεση του μέσου ενός διανύσματος. Διανύσματα για ανδρείκελα. Δράσεις με διανύσματα. Διανυσματικές συντεταγμένες. Τα πιο απλά προβλήματα με διανύσματα. Προσδιορισμός των συντεταγμένων του μέσου ενός τμήματος μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων ακτίνας των άκρων του

Το παρακάτω άρθρο θα καλύψει τα θέματα εύρεσης των συντεταγμένων του μέσου του τμήματος παρουσία των συντεταγμένων των ακραίων σημείων του ως αρχικά δεδομένα. Όμως, πριν προχωρήσουμε στη μελέτη του ζητήματος, εισάγουμε μια σειρά από ορισμούς.

Ορισμός 1

Ενότητα- μια ευθεία γραμμή που συνδέει δύο αυθαίρετα σημεία, που ονομάζονται τα άκρα του τμήματος. Για παράδειγμα, έστω αυτά τα σημεία A και B και, αντίστοιχα, το τμήμα A B .

Εάν το τμήμα Α Β συνεχιστεί και προς τις δύο κατευθύνσεις από τα σημεία Α και Β, θα πάρουμε μια ευθεία γραμμή Α Β. Τότε το τμήμα Α Β είναι τμήμα της λαμβανόμενης ευθείας που οριοθετείται από τα σημεία Α και Β . Το τμήμα Α Β ενώνει τα σημεία Α και Β, που είναι τα άκρα του, καθώς και το σύνολο των σημείων που βρίσκονται μεταξύ τους. Αν, για παράδειγμα, πάρουμε οποιοδήποτε αυθαίρετο σημείο K που βρίσκεται μεταξύ των σημείων A και B, μπορούμε να πούμε ότι το σημείο K βρίσκεται στο τμήμα A B.

Ορισμός 2

Μήκος κοπήςείναι η απόσταση μεταξύ των άκρων του τμήματος σε μια δεδομένη κλίμακα (τμήμα μοναδιαίου μήκους). Το μήκος του τμήματος Α Β το συμβολίζουμε ως εξής: Α Β .

Ορισμός 3

μεσαίο σημείοΣημείο σε ευθύγραμμο τμήμα που απέχει από τα άκρα του. Εάν το μέσο του τμήματος A B συμβολίζεται με το σημείο C, τότε η ισότητα θα είναι αληθής: A C \u003d C B

Αρχικά δεδομένα: γραμμή συντεταγμένων O x και αταίριαστα σημεία σε αυτήν: A και B . Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε πραγματικούς αριθμούς x Α και x B . Το σημείο C είναι το μέσο του τμήματος A B: πρέπει να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη x C .

Εφόσον το σημείο Γ είναι το μέσο του τμήματος Α Β, η ισότητα θα είναι αληθής: | A C | = | Γ Β | . Η απόσταση μεταξύ των σημείων καθορίζεται από το μέτρο της διαφοράς μεταξύ των συντεταγμένων τους, δηλ.

| A C | = | Γ Β | ⇔ x C - x A = x B - x C

Τότε είναι δυνατές δύο ισότητες: x C - x A = x B - x C και x C - x A = - (x B - x C)

Από την πρώτη ισότητα, εξάγουμε έναν τύπο για τη συντεταγμένη του σημείου C: x C \u003d x A + x B 2 (το μισό άθροισμα των συντεταγμένων των άκρων του τμήματος).

Από τη δεύτερη ισότητα παίρνουμε: x A = x B , που είναι αδύνατο, γιατί στα αρχικά δεδομένα - αταίριαστα σημεία. Ετσι, τύπος για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του μέσου του τμήματος A B με άκρα A (x A) και B(xB):

Ο προκύπτων τύπος θα είναι η βάση για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του μέσου του τμήματος σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα.

Αρχικά δεδομένα: ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο O x y , δύο αυθαίρετα μη συμπίπτοντα σημεία με δεδομένες συντεταγμένες A x A , y A και B x B , y B . Το σημείο Γ είναι το μέσο του τμήματος Α Β. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες x C και y C για το σημείο C .

Ας πάρουμε για ανάλυση την περίπτωση που τα σημεία Α και Β δεν συμπίπτουν και δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία συντεταγμένων ή σε μια ευθεία κάθετη σε έναν από τους άξονες. A x , A y ; B x , B y και C x , C y - προβολές των σημείων A , B και C στους άξονες συντεταγμένων (ευθείες γραμμές O x και O y).

Από κατασκευή, οι ευθείες A A x , B B x , C C x είναι παράλληλες. οι γραμμές είναι επίσης παράλληλες μεταξύ τους. Μαζί με αυτό, σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή, από την ισότητα A C \u003d C B, ακολουθούν οι ισότητες: A x C x \u003d C x B x και A y C y \u003d C y B y, και αυτές με τη σειρά τους, υποδηλώστε ότι το σημείο C x - το μέσο του τμήματος A x B x, και το C y είναι το μέσο του τμήματος A y B y. Και στη συνέχεια, με βάση τον τύπο που λήφθηκε νωρίτερα, παίρνουμε:

x C = x A + x B 2 και y C = y A + y B 2

Οι ίδιοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην περίπτωση που τα σημεία Α και Β βρίσκονται στην ίδια ευθεία συντεταγμένων ή σε μια ευθεία κάθετη σε έναν από τους άξονες. Δεν θα κάνουμε λεπτομερή ανάλυση αυτής της υπόθεσης, θα την εξετάσουμε μόνο γραφικά:

Συνοψίζοντας όλα τα παραπάνω, συντεταγμένες του μέσου του τμήματος Α Β στο επίπεδο με τις συντεταγμένες των άκρων A (x A , y A) και B(x B, y B) οριζεται ως:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Αρχικά δεδομένα: σύστημα συντεταγμένων О x y z και δύο αυθαίρετα σημεία με δεδομένες συντεταγμένες A (x A , y A , z A) και B (x B , y B , z B) . Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου C , που είναι το μέσο του τμήματος A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z και C x , C y , C z - προβολές όλων των δεδομένων σημείων στους άξονες του συστήματος συντεταγμένων.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή, οι ισότητες είναι αληθείς: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Επομένως, τα σημεία C x , C y , C z είναι τα μέσα των τμημάτων A x B x , A y B y , A z B z αντίστοιχα. Επειτα, για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του μέσου του τμήματος στο χώρο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Οι τύποι που προκύπτουν ισχύουν επίσης σε περιπτώσεις όπου τα σημεία Α και Β βρίσκονται σε μία από τις γραμμές συντεταγμένων. σε ευθεία γραμμή κάθετη σε έναν από τους άξονες. σε ένα επίπεδο συντεταγμένων ή σε επίπεδο κάθετο σε ένα από τα επίπεδα συντεταγμένων.

Προσδιορισμός των συντεταγμένων του μέσου ενός τμήματος μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων ακτίνας των άκρων του

Ο τύπος για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου του τμήματος μπορεί επίσης να εξαχθεί σύμφωνα με την αλγεβρική ερμηνεία των διανυσμάτων.

Αρχικά δεδομένα: ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x y , σημεία με δεδομένες συντεταγμένες A (x A , y A) και B (x B , x B) . Το σημείο Γ είναι το μέσο του τμήματος Α Β.

Σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό των ενεργειών στα διανύσματα, θα ισχύει η ακόλουθη ισότητα: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Το σημείο Γ σε αυτή την περίπτωση είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με βάση τα διανύσματα O A → και O B → , δηλ. το σημείο του μέσου των διαγωνίων Οι συντεταγμένες του διανύσματος ακτίνας του σημείου είναι ίσες με τις συντεταγμένες του σημείου, τότε αληθεύουν οι ισότητες: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y Β) . Ας εκτελέσουμε μερικές πράξεις σε διανύσματα σε συντεταγμένες και πάρουμε:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Επομένως, το σημείο Γ έχει συντεταγμένες:

x A + x B 2, y A + y B 2

Κατ' αναλογία, ορίζεται ένας τύπος για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου ενός τμήματος στο διάστημα:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου τμήματος

Μεταξύ των εργασιών που περιλαμβάνουν τη χρήση των τύπων που λήφθηκαν παραπάνω, υπάρχουν και εκείνες στις οποίες η ερώτηση είναι ο απευθείας υπολογισμός των συντεταγμένων του μέσου του τμήματος, και εκείνες που περιλαμβάνουν την εισαγωγή των δεδομένων συνθηκών σε αυτήν την ερώτηση: ο όρος "διάμεσος" χρησιμοποιείται συχνά, ο στόχος είναι να βρεθούν οι συντεταγμένες ενός από τα άκρα του τμήματος, καθώς και προβλήματα συμμετρίας, η επίλυση των οποίων γενικά δεν θα πρέπει επίσης να προκαλεί δυσκολίες μετά τη μελέτη αυτού του θέματος. Ας εξετάσουμε χαρακτηριστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Αρχικά δεδομένα:στο επίπεδο - σημεία με δεδομένες συντεταγμένες A (- 7, 3) και B (2, 4) . Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος Α Β.

Απόφαση

Ας συμβολίσουμε το μέσο του τμήματος A B με το σημείο C . Οι συντεταγμένες του θα καθοριστούν ως το ήμισυ του αθροίσματος των συντεταγμένων των άκρων του τμήματος, δηλ. σημεία Α και Β.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Απάντηση: συντεταγμένες του μέσου τμήματος A B - 5 2 , 7 2 .

Παράδειγμα 2

Αρχικά δεδομένα:είναι γνωστές οι συντεταγμένες του τριγώνου A B C: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Είναι απαραίτητο να βρεθεί το μήκος της διάμεσης τιμής A M.

Απόφαση

1. Με την προϋπόθεση του προβλήματος, το A M είναι η διάμεσος, που σημαίνει ότι το M είναι το μέσο του τμήματος B C . Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος B C , δηλ. Μ πόντοι:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Δεδομένου ότι τώρα γνωρίζουμε τις συντεταγμένες και των δύο άκρων της διάμεσης τιμής (σημεία A και M), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων και να υπολογίσουμε το μήκος της διάμεσης A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Απάντηση: 58

Παράδειγμα 3

Αρχικά δεδομένα:ένα παραλληλεπίπεδο A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 δίνεται στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του τρισδιάστατου χώρου. Δίνονται οι συντεταγμένες του σημείου C 1 (1 , 1 , 0) και ορίζεται και το σημείο Μ που είναι το μέσο της διαγωνίου B D 1 και έχει τις συντεταγμένες M (4 , 2 , - 4) . Είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου Α.

Απόφαση

Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο, που είναι το μέσο όλων των διαγωνίων. Με βάση αυτή τη δήλωση, μπορούμε να έχουμε κατά νου ότι το σημείο M που είναι γνωστό από τις συνθήκες του προβλήματος είναι το μέσο του τμήματος А С 1 . Με βάση τον τύπο για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου του τμήματος στο διάστημα, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Απάντηση:συντεταγμένες του σημείου Α (7, 3, - 8) .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Σε αυτό το άρθρο, εσείς και εγώ θα ξεκινήσουμε μια συζήτηση για ένα «μαγικό ραβδί» που θα σας επιτρέψει να μειώσετε πολλά προβλήματα στη γεωμετρία σε απλή αριθμητική. Αυτό το «ραβδί» μπορεί να κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη, ειδικά όταν αισθάνεστε ανασφάλεια στην κατασκευή χωρικών μορφών, τμημάτων κ.λπ. Όλα αυτά απαιτούν μια συγκεκριμένη φαντασία και πρακτικές δεξιότητες. Η μέθοδος, την οποία θα αρχίσουμε να εξετάζουμε εδώ, θα σας επιτρέψει να αφαιρέσετε σχεδόν πλήρως από όλα τα είδη γεωμετρικών κατασκευών και συλλογισμών. Η μέθοδος ονομάζεται "μέθοδος συντονισμού". Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τις ακόλουθες ερωτήσεις:

1. Συντεταγμένο επίπεδο
2. Σημεία και διανύσματα στο επίπεδο
3. Κατασκευάζοντας ένα διάνυσμα από δύο σημεία
4. Μήκος διανύσματος (απόσταση μεταξύ δύο σημείων).
5. Συντεταγμένες μεσαίου σημείου
6. Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων
7. Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Νομίζω ότι έχετε ήδη μαντέψει γιατί ονομάζεται έτσι η μέθοδος συντεταγμένων; Είναι αλήθεια ότι πήρε τέτοιο όνομα, αφού δεν λειτουργεί με γεωμετρικά αντικείμενα, αλλά με τα αριθμητικά τους χαρακτηριστικά (συντεταγμένες). Και ο ίδιος ο μετασχηματισμός, που καθιστά δυνατή τη μετάβαση από τη γεωμετρία στην άλγεβρα, συνίσταται στην εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων. Αν το αρχικό σχήμα ήταν επίπεδο, τότε οι συντεταγμένες είναι δισδιάστατες και αν το σχήμα είναι τρισδιάστατο, τότε οι συντεταγμένες είναι τρισδιάστατες. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε μόνο τη δισδιάστατη περίπτωση. Και ο κύριος σκοπός του άρθρου είναι να σας διδάξει πώς να χρησιμοποιείτε ορισμένες βασικές τεχνικές της μεθόδου συντεταγμένων (μερικές φορές αποδεικνύονται χρήσιμες κατά την επίλυση προβλημάτων στην επιπεδομετρία στο μέρος Β της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης). Οι ακόλουθες δύο ενότητες για αυτό το θέμα είναι αφιερωμένες στη συζήτηση των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων C2 (το πρόβλημα της στερεομετρίας).

Πού θα ήταν λογικό να αρχίσουμε να συζητάμε για τη μέθοδο συντεταγμένων; Πιθανώς με την έννοια του συστήματος συντεταγμένων. Θυμήσου πότε την πρωτογνώρισες. Μου φαίνεται ότι στην 7η δημοτικού, όταν έμαθες για την ύπαρξη μιας γραμμικής συνάρτησης, για παράδειγμα. Να σου θυμίσω ότι το έφτιαξες σημείο προς σημείο. Θυμάσαι? Διαλέξατε έναν αυθαίρετο αριθμό, τον αντικαταστήσατε στον τύπο και υπολογίσατε με αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, αν, τότε, αν, τότε, κλπ. Τι πήρατε ως αποτέλεσμα; Και λάβατε πόντους με συντεταγμένες: και. Έπειτα, σχεδίασες έναν «σταυρό» (σύστημα συντεταγμένων), διάλεξες μια κλίμακα πάνω του (πόσα κελιά θα έχεις ως ενιαίο τμήμα) και σημείωσες πάνω του τα σημεία που έλαβες, τα οποία μετά συνέδεσες με μια ευθεία γραμμή, το αποτέλεσμα γραμμή είναι το γράφημα της συνάρτησης.

Υπάρχουν μερικά πράγματα που πρέπει να σας εξηγήσουμε λίγο πιο αναλυτικά:

1. Επιλέγετε ένα μόνο τμήμα για λόγους ευκολίας, ώστε όλα να ταιριάζουν όμορφα και συμπαγή στην εικόνα

2. Υποτίθεται ότι ο άξονας πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά και ο άξονας πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω

3. Τέμνονται σε ορθή γωνία, και το σημείο τομής τους ονομάζεται αρχή. Σημειώνεται με ένα γράμμα.

4. Στην εγγραφή της συντεταγμένης ενός σημείου, για παράδειγμα, στα αριστερά σε αγκύλες είναι η συντεταγμένη του σημείου κατά μήκος του άξονα και στα δεξιά, κατά μήκος του άξονα. Συγκεκριμένα, σημαίνει απλώς ότι το σημείο

5. Για να ορίσετε οποιοδήποτε σημείο στον άξονα συντεταγμένων, πρέπει να καθορίσετε τις συντεταγμένες του (2 αριθμοί)

6. Για οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα,

7. Για οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα,

8. Ο άξονας ονομάζεται άξονας x

9. Ο άξονας ονομάζεται άξονας y

Τώρα ας κάνουμε το επόμενο βήμα μαζί σας: σημειώστε δύο σημεία. Συνδέστε αυτά τα δύο σημεία με μια γραμμή. Και ας βάλουμε το βέλος σαν να σχεδιάζουμε ένα τμήμα από σημείο σε σημείο: δηλαδή θα κάνουμε το τμήμα μας κατευθυνόμενο!

Θυμάστε ποιο είναι το άλλο όνομα για ένα κατευθυνόμενο τμήμα; Σωστά, λέγεται διάνυσμα!

Έτσι, αν συνδέσουμε μια τελεία με μια τελεία, και η αρχή θα είναι το σημείο Α και το τέλος το σημείο Β,τότε παίρνουμε ένα διάνυσμα. Αυτή την κατασκευή έκανες και στην 8η δημοτικού, θυμάσαι;

Αποδεικνύεται ότι τα διανύσματα, όπως και τα σημεία, μπορούν να συμβολίζονται με δύο αριθμούς: αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται συντεταγμένες του διανύσματος. Ερώτηση: πιστεύετε ότι αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του διανύσματος για να βρούμε τις συντεταγμένες του; Αποδεικνύεται ότι ναι! Και είναι πολύ εύκολο να γίνει:

Έτσι, αφού στο διάνυσμα το σημείο είναι η αρχή και το τέλος, το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Για παράδειγμα, εάν, τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος

Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο, βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος. Τι πρέπει να αλλάξουμε για αυτό; Ναι, πρέπει να ανταλλάξετε την αρχή και το τέλος: τώρα η αρχή του διανύσματος θα είναι σε ένα σημείο και το τέλος σε ένα σημείο. Επειτα:

Κοιτάξτε προσεκτικά, ποια είναι η διαφορά μεταξύ διανυσμάτων και; Η μόνη διαφορά τους είναι τα σημάδια στις συντεταγμένες. Είναι απέναντι. Το γεγονός αυτό γράφεται ως εξής:

Μερικές φορές, αν δεν δηλώνεται συγκεκριμένα ποιο σημείο είναι η αρχή του διανύσματος και ποιο το τέλος, τότε τα διανύσματα συμβολίζονται όχι με δύο κεφαλαία γράμματα, αλλά με ένα πεζό, για παράδειγμα:, κ.λπ.

Τώρα λίγο πρακτικήκαι βρείτε τις συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων:

Εξέταση:

Τώρα λύστε το πρόβλημα λίγο πιο δύσκολο:

Ένα διανυσματικό torus με on-cha-scrap σε ένα σημείο έχει co-or-di-on-you. Βρείτε-δι-τε abs-cis-su σημεία.

Όλα τα ίδια είναι αρκετά πεζά: Έστω οι συντεταγμένες του σημείου. Επειτα

Μεταγλωττίζω το σύστημα προσδιορίζοντας ποιες είναι οι συντεταγμένες ενός διανύσματος. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες. Μας ενδιαφέρει η τετμημένη. Επειτα

Απάντηση:

Τι άλλο μπορείτε να κάνετε με τα διανύσματα; Ναι, σχεδόν όλα είναι ίδια με τους συνηθισμένους αριθμούς (εκτός από το ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε, αλλά μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με δύο τρόπους, έναν από τους οποίους θα συζητήσουμε εδώ λίγο αργότερα)

1. Τα διανύσματα μπορούν να στοιβάζονται μεταξύ τους
2. Τα διανύσματα μπορούν να αφαιρεθούν το ένα από το άλλο
3. Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν (ή να διαιρεθούν) με έναν αυθαίρετο μη μηδενικό αριθμό
4. Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους

Όλες αυτές οι πράξεις έχουν μια αρκετά οπτική γεωμετρική αναπαράσταση. Για παράδειγμα, ο κανόνας του τριγώνου (ή παραλληλόγραμμου) για πρόσθεση και αφαίρεση:

Ένα διάνυσμα τεντώνεται ή συρρικνώνεται ή αλλάζει κατεύθυνση όταν πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με έναν αριθμό:

Ωστόσο, εδώ θα μας ενδιαφέρει το ερώτημα τι συμβαίνει με τις συντεταγμένες.

1. Όταν προσθέτουμε (αφαιρούμε) δύο διανύσματα, προσθέτουμε (αφαιρούμε) τις συντεταγμένες τους στοιχείο προς στοιχείο. Αυτό είναι:

2. Κατά τον πολλαπλασιασμό (διαίρεση) ενός διανύσματος με έναν αριθμό, όλες οι συντεταγμένες του πολλαπλασιάζονται (διαιρούνται) με αυτόν τον αριθμό:

Για παράδειγμα:

· Βρείτε-δι-το άθροισμα του κο-ορ-ντι-νατ αιώνα-το-ρα.

Ας βρούμε πρώτα τις συντεταγμένες καθενός από τα διανύσματα. Και οι δύο έχουν την ίδια προέλευση - το σημείο προέλευσης. Τα άκρα τους είναι διαφορετικά. Επειτα, . Τώρα υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος Τότε το άθροισμα των συντεταγμένων του διανύσματος που προκύπτει είναι ίσο με.

Απάντηση:

Τώρα λύστε μόνοι σας το εξής πρόβλημα:

· Να βρείτε το άθροισμα των συντεταγμένων του διανύσματος

Ελέγχουμε:

Ας εξετάσουμε τώρα το εξής πρόβλημα: έχουμε δύο σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ τους; Ας είναι το πρώτο σημείο και το δεύτερο. Ας υποδηλώσουμε την μεταξύ τους απόσταση ως . Ας κάνουμε το ακόλουθο σχέδιο για λόγους σαφήνειας:

Τι έκανα? Πρώτα συνδέθηκα σημεία και, ασχεδίασε επίσης μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα από το σημείο, και τράβηξε μια γραμμή παράλληλη προς τον άξονα από το σημείο. Τέμνονται σε ένα σημείο, σχηματίζοντας μια υπέροχη φιγούρα; Γιατί είναι υπέροχη; Ναι, εσύ κι εγώ ξέρουμε σχεδόν τα πάντα ορθογώνιο τρίγωνο. Λοιπόν, το Πυθαγόρειο θεώρημα, σίγουρα. Το επιθυμητό τμήμα είναι η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου και τα τμήματα είναι τα σκέλη. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου; Ναι, είναι εύκολο να βρεθούν από την εικόνα: Δεδομένου ότι τα τμήματα είναι παράλληλα με τους άξονες και, αντίστοιχα, τα μήκη τους είναι εύκολο να βρεθούν: αν υποδηλώσουμε τα μήκη των τμημάτων, αντίστοιχα, μέσω, τότε

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Γνωρίζουμε τα μήκη των ποδιών, θα βρούμε την υποτείνουσα:

Έτσι, η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών από τις συντεταγμένες. Ή - η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το μήκος του τμήματος που τα συνδέει. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η απόσταση μεταξύ των σημείων δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση. Επειτα:

Από αυτό βγάζουμε τρία συμπεράσματα:

Ας εξασκηθούμε λίγο στον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων:

Για παράδειγμα, εάν, τότε η απόσταση μεταξύ και είναι

Ή ας πάμε διαφορετικά: βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

Και βρείτε το μήκος του διανύσματος:

Όπως μπορείτε να δείτε, είναι το ίδιο!

Τώρα εξασκηθείτε λίγο μόνοι σας:

Εργασία: βρείτε την απόσταση μεταξύ των δεδομένων σημείων:

Ελέγχουμε:

Ακολουθούν μερικά ακόμη προβλήματα για τον ίδιο τύπο, αν και ακούγονται λίγο διαφορετικά:

1. Βρείτε-δι-τε το τετράγωνο του μήκους του βλεφάρου-το-ρα.

2. Nai-di-te τετράγωνο βλεφάρου μήκους έως ρα

Υποθέτω ότι μπορείς να τα χειριστείς εύκολα; Ελέγχουμε:

1. Και αυτό για προσοχή) Έχουμε ήδη βρει τις συντεταγμένες των διανυσμάτων πριν: . Τότε το διάνυσμα έχει συντεταγμένες. Το τετράγωνο του μήκους του θα είναι:

2. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

Τότε το τετράγωνο του μήκους του είναι

Τίποτα περίπλοκο, σωστά; Απλή αριθμητική, τίποτα παραπάνω.

Τα παρακάτω παζλ δεν μπορούν να ταξινομηθούν με σαφήνεια, είναι μάλλον για τη γενική ευρυμάθεια και την ικανότητα να σχεδιάζουν απλές εικόνες.

1. Βρείτε-δι-εκείνα το ημίτονο της γωνίας επί-κλίσιμο-από-κόψιμο, συνδέστε-ένα-η-ο-ο σημείο, με τον άξονα της τετμημένης.

και

Πώς θα το κάνουμε εδώ; Πρέπει να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ και του άξονα. Και πού μπορούμε να αναζητήσουμε το ημίτονο; Σωστά, σε ορθογώνιο τρίγωνο. Τι πρέπει να κάνουμε λοιπόν; Φτιάξτε αυτό το τρίγωνο!

Δεδομένου ότι οι συντεταγμένες του σημείου και, τότε το τμήμα είναι ίσο, και το τμήμα. Πρέπει να βρούμε το ημίτονο της γωνίας. Να σας θυμίσω ότι το ημίτονο είναι η αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, λοιπόν

Τι μας μένει να κάνουμε; Βρείτε την υποτείνουσα. Μπορείτε να το κάνετε με δύο τρόπους: χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα (τα σκέλη είναι γνωστά!) ή χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων (στην πραγματικότητα ίδια με την πρώτη μέθοδο!). Θα πάω στον δεύτερο δρόμο:

Απάντηση:

Η επόμενη εργασία θα σας φανεί ακόμα πιο εύκολη. Αυτή - στις συντεταγμένες του σημείου.

Εργασία 2.Από το σημείο, το per-pen-di-ku-lar χαμηλώνει στον άξονα abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Η βάση της κάθετης είναι το σημείο στο οποίο τέμνει τον άξονα x (άξονας) για μένα αυτό είναι ένα σημείο. Το σχήμα δείχνει ότι έχει συντεταγμένες: . Μας ενδιαφέρει η τετμημένη - δηλαδή η συνιστώσα "Χ". Είναι ίση.

Απάντηση: .

Εργασία 3.Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, βρείτε το άθροισμα των αποστάσεων από το σημείο στους άξονες συντεταγμένων.

Η εργασία είναι γενικά στοιχειώδης εάν γνωρίζετε ποια είναι η απόσταση από ένα σημείο στους άξονες. Ξέρεις? Ελπίζω, αλλά και πάλι σας θυμίζω:

Λοιπόν, στο σχέδιό μου, που βρίσκεται λίγο ψηλότερα, έχω ήδη απεικονίσει μια τέτοια κάθετη; Τι άξονας είναι; προς τον άξονα. Και ποιο είναι το μήκος του τότε; Είναι ίση. Τώρα σχεδιάστε μόνοι σας μια κάθετη στον άξονα και βρείτε το μήκος της. Θα είναι ίσο, σωστά; Τότε το άθροισμά τους είναι ίσο.

Απάντηση: .

Εργασία 4.Στις συνθήκες του προβλήματος 2, να βρείτε τη τεταγμένη του σημείου που είναι συμμετρικό στο σημείο γύρω από τον άξονα x.

Νομίζω ότι καταλαβαίνεις διαισθητικά τι είναι η συμμετρία; Το έχουν πολλά αντικείμενα: πολλά κτίρια, τραπέζια, αεροπλάνα, πολλά γεωμετρικά σχήματα: μπάλα, κύλινδρος, τετράγωνο, ρόμβος κ.λπ. Σε γενικές γραμμές, η συμμετρία μπορεί να γίνει κατανοητή ως εξής: ένα σχήμα αποτελείται από δύο (ή περισσότερα) ίδια μισά. Αυτή η συμμετρία ονομάζεται αξονική. Τι είναι λοιπόν ένας άξονας; Αυτή είναι ακριβώς η γραμμή κατά μήκος της οποίας το σχήμα μπορεί, σχετικά, να «κοπεί» σε πανομοιότυπα μισά (σε αυτήν την εικόνα, ο άξονας συμμετρίας είναι ευθύς):

Τώρα ας επιστρέψουμε στο έργο μας. Γνωρίζουμε ότι αναζητούμε ένα σημείο που να είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα. Τότε αυτός ο άξονας είναι ο άξονας συμμετρίας. Άρα, πρέπει να σημειώσουμε ένα σημείο έτσι ώστε ο άξονας να κόβει το τμήμα σε δύο ίσα μέρη. Προσπαθήστε να σημειώσετε μόνοι σας ένα τέτοιο σημείο. Συγκρίνετε τώρα με τη λύση μου:

Έκανες το ίδιο; ΕΝΤΑΞΕΙ! Στο σημείο που βρέθηκε, μας ενδιαφέρει η τεταγμένη. Είναι ίση

Απάντηση:

Τώρα πείτε μου, αφού σκεφτώ για ένα δευτερόλεπτο, ποια θα είναι η τετμημένη του σημείου που είναι συμμετρικό με το σημείο Α ως προς τον άξονα y; Ποιά είναι η απάντηση σου? Σωστή απάντηση: .

Γενικά, ο κανόνας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Ένα σημείο συμμετρικό προς ένα σημείο γύρω από τον άξονα x έχει τις συντεταγμένες:

Ένα σημείο συμμετρικό προς ένα σημείο γύρω από τον άξονα y έχει συντεταγμένες:

Λοιπόν, τώρα είναι πραγματικά τρομακτικό. μια εργασία: Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου που είναι συμμετρικό σε ένα σημείο, σε σχέση με την αρχή. Πρώτα σκέφτεσαι μόνος σου και μετά κοιτάς το σχέδιό μου!

Απάντηση:

Τώρα πρόβλημα παραλληλογράμμου:

Εργασία 5: Τα σημεία είναι ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Βρείτε σημεία-dee-te ή-dee-on-tu.

Μπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα με δύο τρόπους: τη λογική και τη μέθοδο συντεταγμένων. Θα εφαρμόσω πρώτα τη μέθοδο συντεταγμένων και μετά θα σας πω πώς μπορείτε να αποφασίσετε διαφορετικά.

Είναι απολύτως σαφές ότι η τετμημένη του σημείου είναι ίση. (βρίσκεται στην κάθετο που σύρεται από το σημείο προς τον άξονα x). Πρέπει να βρούμε τη τεταγμένη. Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το σχήμα μας είναι παραλληλόγραμμο, που σημαίνει ότι. Βρείτε το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων:

Χαμηλώνουμε την κάθετη που συνδέει το σημείο με τον άξονα. Το σημείο τομής σημειώνεται με ένα γράμμα.

Το μήκος του τμήματος είναι ίσο. (βρείτε το πρόβλημα μόνοι σας, όπου συζητήσαμε αυτή τη στιγμή), τότε θα βρούμε το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το μήκος του τμήματος είναι ακριβώς το ίδιο με την τεταγμένη του.

Απάντηση: .

Μια άλλη λύση (θα δώσω απλώς μια εικόνα που το απεικονίζει)

Πρόοδος λύσης:

1. Ξοδέψτε

2. Βρείτε τις συντεταγμένες και το μήκος σημείου

3. Αποδείξτε ότι.

Αλλο ένα πρόβλημα μήκους κοπής:

Τα σημεία είναι-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Βρείτε το μήκος της μέσης γραμμής του, par-ral-lel-noy.

Θυμάστε τι είναι ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτρίγωνο? Τότε για εσάς αυτό το έργο είναι στοιχειώδες. Αν δεν θυμάστε, τότε θα σας υπενθυμίσω: η μεσαία γραμμή ενός τριγώνου είναι μια γραμμή που συνδέει τα μέσα των απέναντι πλευρών. Είναι παράλληλη με τη βάση και ίση με το μισό της.

Η βάση είναι ένα τμήμα. Έπρεπε να ψάξουμε νωρίτερα το μήκος του, είναι ίσο. Τότε το μήκος της μέσης γραμμής είναι το μισό και ίσο.

Απάντηση: .

Σχόλιο: Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο, στον οποίο θα αναφερθούμε λίγο αργότερα.

Εν τω μεταξύ, εδώ είναι μερικές εργασίες για εσάς, εξασκηθείτε σε αυτές, είναι αρκετά απλές, αλλά βοηθούν να «γεμίσετε το χέρι σας» χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των συντεταγμένων!

1. Τα σημεία εμφανίζονται-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Βρείτε το μήκος της μέσης γραμμής του.

2. Σημεία και yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Βρείτε σημεία-dee-te ή-dee-on-tu.

3. Βρείτε το μήκος από το κόψιμο, συνδέστε το δεύτερο σημείο και

4. Βρείτε-di-te την περιοχή για-the-red-shen-noy fi-gu-ry στο επίπεδο ko-or-di-nat-noy.

5. Ένας κύκλος με κέντρο το na-cha-le ko-or-di-nat διέρχεται από ένα σημείο. Βρε-ντε-τε το ρα-ντι-μουστάκι της.

6. Nai-di-te ra-di-us κύκλος-no-sti, describe-san-noy κοντά στη δεξιά γωνία-no-ka, οι κορυφές-shi-ny του κάτι-ro-go έχουν συν-ή - di-na-you συν-από-απάντηση-αλλά

Λύσεις:

1. Είναι γνωστό ότι η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς είναι ίση με το μισό του αθροίσματος των βάσεων του. Η βάση είναι ίση, αλλά η βάση. Επειτα

Απάντηση:

2. Ο ευκολότερος τρόπος για να λύσετε αυτό το πρόβλημα είναι να παρατηρήσετε ότι (κανόνας παραλληλογράμμου). Υπολογίστε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και δεν είναι δύσκολο: . Κατά την προσθήκη διανυσμάτων, προστίθενται οι συντεταγμένες. Μετά έχει συντεταγμένες. Το σημείο έχει τις ίδιες συντεταγμένες, αφού η αρχή του διανύσματος είναι ένα σημείο με συντεταγμένες. Μας ενδιαφέρει η τεταγμένη. Είναι ίση.

Απάντηση:

3. Ενεργούμε αμέσως σύμφωνα με τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων:

Απάντηση:

4. Κοιτάξτε την εικόνα και πείτε, ανάμεσα σε ποιες δύο φιγούρες «συμπιέζεται» η σκιασμένη περιοχή; Είναι στριμωγμένο ανάμεσα σε δύο τετράγωνα. Τότε το εμβαδόν του επιθυμητού σχήματος είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου μείον το εμβαδόν του μικρού. Η πλευρά του μικρού τετραγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει τα σημεία και το μήκος του είναι

Τότε η περιοχή της μικρής πλατείας είναι

Κάνουμε το ίδιο με ένα μεγάλο τετράγωνο: η πλευρά του είναι ένα τμήμα που συνδέει τα σημεία και το μήκος του είναι ίσο με

Τότε το εμβαδόν της μεγάλης πλατείας είναι

Η περιοχή του επιθυμητού σχήματος βρίσκεται με τον τύπο:

Απάντηση:

5. Αν ο κύκλος έχει ως κέντρο την αρχή και διέρχεται από ένα σημείο, τότε η ακτίνα του θα είναι ακριβώς ίση με το μήκος του τμήματος (κάντε ένα σχέδιο και θα καταλάβετε γιατί αυτό είναι προφανές). Βρείτε το μήκος αυτού του τμήματος:

Απάντηση:

6. Είναι γνωστό ότι η ακτίνα ενός κύκλου που περικλείεται γύρω από ένα ορθογώνιο είναι ίση με το ήμισυ της διαγώνιας του. Ας βρούμε το μήκος οποιασδήποτε από τις δύο διαγωνίους (άλλωστε σε ένα ορθογώνιο είναι ίσες!)

Απάντηση:

Λοιπόν, τα κατάφερες όλα; Δεν ήταν τόσο δύσκολο να το καταλάβω, σωστά; Υπάρχει μόνο ένας κανόνας εδώ - να μπορείτε να κάνετε μια οπτική εικόνα και απλά να "διαβάσετε" όλα τα δεδομένα από αυτήν.

Μας μένουν πολύ λίγα. Υπάρχουν κυριολεκτικά δύο ακόμη σημεία που θα ήθελα να συζητήσω.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτό το απλό πρόβλημα. Αφήστε δύο βαθμούς και δίνονται. Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι η εξής: αφήστε το σημείο να είναι το επιθυμητό μέσο, ​​τότε έχει συντεταγμένες:

Αυτό είναι: συντεταγμένες του μέσου του τμήματος = αριθμητικός μέσος όρος των αντίστοιχων συντεταγμένων των άκρων του τμήματος.

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ απλός και συνήθως δεν προκαλεί δυσκολίες στους μαθητές. Ας δούμε σε ποια προβλήματα και πώς χρησιμοποιείται:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point και

2. Τα σημεία είναι yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Βρείτε-di-te or-di-na-tu σημεία του re-re-se-che-niya του dia-go-on-lei του.

3. Βρείτε-di-te abs-cis-su του κέντρου του κύκλου, περιγράψτε-san-noy κοντά στο ορθογώνιο-no-ka, οι κορυφές-shi-έχουμε κάτι-ro-go co-or-di- na-you συν-από-vet-stvenno-αλλά.

Λύσεις:

1. Η πρώτη εργασία είναι απλώς ένα κλασικό. Ενεργούμε αμέσως προσδιορίζοντας το μέσο του τμήματος. Έχει συντεταγμένες. Η τεταγμένη είναι ίση.

Απάντηση:

2. Είναι εύκολο να δούμε ότι το τετράπλευρο που δίνεται είναι παραλληλόγραμμο (ακόμα και ρόμβος!). Μπορείτε να το αποδείξετε μόνοι σας υπολογίζοντας τα μήκη των πλευρών και συγκρίνοντάς τα μεταξύ τους. Τι ξέρω για ένα παραλληλόγραμμο; Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται από το σημείο τομής! Αχα! Ποιο είναι λοιπόν το σημείο τομής των διαγωνίων; Αυτή είναι η μέση οποιασδήποτε από τις διαγωνίους! Θα επιλέξω, συγκεκριμένα, τη διαγώνιο. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες Η τεταγμένη του σημείου ισούται με.

Απάντηση:

3. Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το ορθογώνιο; Συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων του. Τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου; Είναι ίσα και το σημείο τομής διαιρείται στο μισό. Η εργασία περιορίστηκε στην προηγούμενη. Πάρτε, για παράδειγμα, τη διαγώνιο. Τότε αν είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε είναι η μέση. Ψάχνω για συντεταγμένες: Το τετμημένο είναι ίσο.

Απάντηση:

Τώρα εξασκηθείτε λίγο μόνοι σας, θα δώσω μόνο τις απαντήσεις σε κάθε πρόβλημα για να ελέγξετε τον εαυτό σας.

1. Nai-di-te ra-di-us κύκλος-no-sti, describe-san-noy κοντά στο τρίγωνο-no-ka, οι κορυφές κάποιου-ro-go έχουν ko-or-di -no mister

2. Βρείτε-di-te or-di-na-tu το κέντρο του κύκλου, περιγράψτε το san-noy κοντά στο τρίγωνο-no-ka, τα tops-shi-έχουμε συντεταγμένες κάτι-ro-go

3. Τι είδους ρα-δι-υ-σα πρέπει να υπάρχει ένας κύκλος με κέντρο σε σημείο ώστε να εφάπτεται στον άξονα του κοιλιακού κιβωτίου;

4. Βρείτε-di-te ή-di-on-εκείνο το σημείο εκ νέου-ε-σε-τσε-ινγκ του άξονα και από-κοπή, σύνδεση-νυά-γιου-ο-ο σημείο και

Απαντήσεις:

Όλα πήγαν καλά; Το ελπίζω πραγματικά! Τώρα - η τελευταία ώθηση. Τώρα να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Το υλικό που θα εξηγήσω τώρα σχετίζεται άμεσα όχι μόνο με απλές εργασίεςστη μέθοδο συντεταγμένων από το μέρος Β, αλλά εμφανίζεται επίσης παντού στο πρόβλημα C2.

Ποια από τις υποσχέσεις μου δεν έχω τηρήσει ακόμη; Θυμάστε ποιες πράξεις σε διανύσματα υποσχέθηκα να εισαγάγω και ποιες τελικά εισήγαγα; Είμαι σίγουρος ότι δεν ξέχασα τίποτα; Ξεχάσατε! Ξέχασα να εξηγήσω τι σημαίνει πολλαπλασιασμός διανυσμάτων.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με ένα διάνυσμα. Ανάλογα με την επιλεγμένη μέθοδο, θα λάβουμε αντικείμενα διαφορετικής φύσης:

Το διανυσματικό προϊόν είναι αρκετά δύσκολο. Πώς να το κάνετε και γιατί χρειάζεται, θα συζητήσουμε μαζί σας στο επόμενο άρθρο. Και σε αυτό θα επικεντρωθούμε στο βαθμωτό προϊόν.

Υπάρχουν ήδη δύο τρόποι που μας επιτρέπουν να το υπολογίσουμε:

Όπως μαντέψατε, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι το ίδιο! Ας δούμε λοιπόν πρώτα τον πρώτο τρόπο:

Το γινόμενο με τελείες μέσω συντεταγμένων

Βρείτε: - κοινή σημειογραφία για το προϊόν με κουκκίδες

Ο τύπος για τον υπολογισμό έχει ως εξής:

Αυτό είναι κλιμακωτό προϊόν= άθροισμα γινομένων διανυσματικών συντεταγμένων!

Παράδειγμα:

Βρε-ντε-τε

Απόφαση:

Βρείτε τις συντεταγμένες καθενός από τα διανύσματα:

Υπολογίζουμε το βαθμωτό γινόμενο με τον τύπο:

Απάντηση:

Βλέπετε, απολύτως τίποτα περίπλοκο!

Λοιπόν, τώρα δοκιμάστε το μόνοι σας:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie αιώνα-σε-χαντάκι και

Κατάφερες? Ίσως παρατήρησε ένα μικρό κόλπο; Ας ελέγξουμε:

Διανυσματικές συντεταγμένες, όπως και στην προηγούμενη εργασία! Απάντηση: .

Εκτός από τη συντεταγμένη, υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να υπολογιστεί το βαθμωτό γινόμενο, δηλαδή μέσω των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Δηλώνει τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και.

Δηλαδή, το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.

Γιατί χρειαζόμαστε αυτόν τον δεύτερο τύπο, αν έχουμε τον πρώτο, ο οποίος είναι πολύ πιο απλός, τουλάχιστον δεν υπάρχουν συνημίτονα σε αυτόν. Και το χρειαζόμαστε έτσι ώστε από τον πρώτο και τον δεύτερο τύπο να μπορούμε να συμπεράνουμε πώς να βρούμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων!

Αφήστε Τότε θυμηθείτε τον τύπο για το μήκος ενός διανύσματος!

Στη συνέχεια, αν συνδέσω αυτά τα δεδομένα στον τύπο προϊόντος με κουκκίδες, λαμβάνω:

Αλλά με άλλο τρόπο:

Τι έχουμε λοιπόν; Τώρα έχουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων! Μερικές φορές, για συντομία, γράφεται επίσης ως εξής:

Δηλαδή, ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι ο εξής:

1. Υπολογίζουμε το βαθμωτό γινόμενο μέσω των συντεταγμένων
2. Βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων και πολλαπλασιάστε τα
3. Διαιρέστε το αποτέλεσμα του σημείου 1 με το αποτέλεσμα του σημείου 2

Ας εξασκηθούμε με παραδείγματα:

1. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των βλεφάρων-προς-ρα-μι και. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

2. Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, βρείτε το συνημίτονο μεταξύ των διανυσμάτων

Ας κάνουμε αυτό: Θα σας βοηθήσω να λύσετε το πρώτο πρόβλημα και προσπαθήστε να κάνετε μόνοι σας το δεύτερο! Συμφωνώ? Τότε ας ξεκινήσουμε!

1. Αυτοί οι φορείς είναι οι παλιοί μας φίλοι. Έχουμε ήδη εξετάσει το βαθμωτό γινόμενο τους και ήταν ίσο. Οι συντεταγμένες τους είναι: , . Στη συνέχεια βρίσκουμε τα μήκη τους:

Τότε αναζητούμε το συνημίτονο μεταξύ των διανυσμάτων:

Ποιο είναι το συνημίτονο της γωνίας; Αυτή είναι η γωνία.

Απάντηση:

Λοιπόν, τώρα λύστε μόνοι σας το δεύτερο πρόβλημα και μετά συγκρίνετε! Θα δώσω μια πολύ σύντομη λύση:

2. έχει συντεταγμένες, έχει συντεταγμένες.

Έστω η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, τότε

Απάντηση:

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι εργασίες απευθείας στα διανύσματα και η μέθοδος των συντεταγμένων στο μέρος Β εξεταστική εργασίααρκετά σπάνιο. Ωστόσο, η συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων C2 μπορούν εύκολα να λυθούν με την εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων. Μπορείτε λοιπόν να θεωρήσετε αυτό το άρθρο ως θεμέλιο, βάσει του οποίου θα φτιάξουμε αρκετά δύσκολες κατασκευές που θα χρειαστούμε για να λύσουμε πολύπλοκα προβλήματα.

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Εσύ και εγώ συνεχίζουμε να μελετάμε τη μέθοδο των συντεταγμένων. Στο τελευταίο μέρος, αντλήσαμε μια σειρά σημαντικών τύπων που επιτρέπουν:

1. Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες
2. Βρείτε το μήκος ενός διανύσματος (εναλλακτικά: την απόσταση μεταξύ δύο σημείων)
3. Προσθήκη, αφαίρεση διανυσμάτων. Πολλαπλασιάστε τα με έναν πραγματικό αριθμό
4. Βρείτε το μέσο ενός τμήματος
5. Υπολογίστε το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων
6. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Φυσικά, ολόκληρη η μέθοδος συντεταγμένων δεν χωράει σε αυτά τα 6 σημεία. Βρίσκεται στη βάση μιας τέτοιας επιστήμης όπως η αναλυτική γεωμετρία, με την οποία θα εξοικειωθείτε στο πανεπιστήμιο. Θέλω απλώς να χτίσω ένα θεμέλιο που θα σας επιτρέψει να λύσετε προβλήματα σε ένα μόνο κράτος. εξέταση. Καταλάβαμε τις εργασίες του μέρους Β στο Τώρα ήρθε η ώρα να περάσουμε σε ένα ποιοτικά νέο επίπεδο! Αυτό το άρθρο θα αφιερωθεί σε μια μέθοδο για την επίλυση των προβλημάτων C2 στα οποία θα ήταν λογικό να μεταβείτε στη μέθοδο συντεταγμένων. Αυτός ο λογισμός καθορίζεται από το τι πρέπει να βρεθεί στο πρόβλημα και από το ποσό που δίνεται. Έτσι, θα χρησιμοποιούσα τη μέθοδο συντεταγμένων εάν οι ερωτήσεις είναι:

1. Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο επιπέδων
2. Βρείτε τη γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου
3. Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών
4. Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο
5. Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία
6. Βρείτε την απόσταση από μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο
7. Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο γραμμών

Εάν το σχήμα που δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος είναι ένα σώμα περιστροφής (μπάλα, κύλινδρος, κώνος ...)

Τα κατάλληλα στοιχεία για τη μέθοδο συντεταγμένων είναι:

1. κυβοειδές
2. Πυραμίδα (τριγωνική, τετράγωνη, εξαγωνική)

Επίσης από την εμπειρία μου είναι ακατάλληλη η χρήση της μεθόδου συντεταγμένων για:

1. Εύρεση των περιοχών των τομών
2. Υπολογισμοί όγκων σωμάτων

Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί αμέσως ότι τρεις «μη ευνοϊκές» καταστάσεις για τη μέθοδο συντεταγμένων είναι αρκετά σπάνιες στην πράξη. Στις περισσότερες εργασίες, μπορεί να γίνει ο σωτήρας σας, ειδικά αν δεν είστε πολύ δυνατοί σε τρισδιάστατες κατασκευές (που μερικές φορές είναι αρκετά περίπλοκες).

Ποια είναι όλα τα στοιχεία που απαριθμώ παραπάνω; Δεν είναι πια επίπεδα, όπως τετράγωνο, τρίγωνο, κύκλος, αλλά ογκώδεις! Συνεπώς, πρέπει να εξετάσουμε όχι ένα δισδιάστατο, αλλά ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων. Κατασκευάζεται αρκετά εύκολα: απλώς εκτός από την τετμημένη και τις τεταγμένες, θα εισαγάγουμε έναν άλλο άξονα, τον άξονα εφαρμογής. Το σχήμα δείχνει σχηματικά τη σχετική τους θέση:

Όλα είναι κάθετα μεταξύ τους, τέμνονται σε ένα σημείο που θα ονομάσουμε αρχή. Ο άξονας της τετμημένης, όπως και πριν, θα συμβολίζεται, ο άξονας τεταγμένων - , και ο εισαγόμενος εφαρμοστικός άξονας - .

Εάν νωρίτερα κάθε σημείο στο επίπεδο χαρακτηριζόταν από δύο αριθμούς - την τετμημένη και την τεταγμένη, τότε κάθε σημείο στο διάστημα περιγράφεται ήδη από τρεις αριθμούς - την τετμημένη, την τεταγμένη, την εφαρμογή. Για παράδειγμα:

Κατά συνέπεια, η τετμημένη του σημείου είναι ίση, η τεταγμένη είναι , και η εφαρμογή είναι .

Μερικές φορές η τετμημένη ενός σημείου ονομάζεται επίσης προβολή του σημείου στον άξονα της τετμημένης, η τεταγμένη είναι η προβολή του σημείου στον άξονα τεταγμένης και η εφαρμογή είναι η προβολή του σημείου στον άξονα εφαρμογής. Αντίστοιχα, αν δοθεί ένα σημείο τότε, ένα σημείο με συντεταγμένες:

ονομάζεται η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο

ονομάζεται η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο

Τίθεται ένα φυσικό ερώτημα: ισχύουν στο χώρο όλοι οι τύποι που προκύπτουν για τη δισδιάστατη περίπτωση; Η απάντηση είναι ναι, είναι απλά και έχουν την ίδια εμφάνιση. Για μια μικρή λεπτομέρεια. Νομίζω ότι έχετε ήδη μαντέψει ποιο. Σε όλους τους τύπους, θα πρέπει να προσθέσουμε έναν ακόμη όρο υπεύθυνο για τον άξονα εφαρμογής. Και συγκεκριμένα.

1. Αν δίνονται δύο βαθμοί: , τότε:

• Διανυσματικές συντεταγμένες:
• Απόσταση μεταξύ δύο σημείων (ή διανυσματικό μήκος)
• Το μέσο του τμήματος έχει συντεταγμένες

2. Αν δίνονται δύο διανύσματα: και, τότε:

• Το προϊόν τους με τελείες είναι:
• Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι:

Ωστόσο, ο χώρος δεν είναι τόσο απλός. Όπως καταλαβαίνετε, η προσθήκη μιας ακόμη συντεταγμένης εισάγει μια σημαντική ποικιλία στο φάσμα των μορφών που «ζουν» σε αυτόν τον χώρο. Και για περαιτέρω αφήγηση χρειάζεται να εισαγάγω κάποια, χονδρικά μιλώντας, «γενίκευση» της ευθείας. Αυτή η «γενίκευση» θα είναι ένα επίπεδο. Τι γνωρίζετε για το αεροπλάνο; Προσπαθήστε να απαντήσετε στην ερώτηση, τι είναι ένα αεροπλάνο; Είναι πολύ δύσκολο να το πω. Ωστόσο, όλοι φανταζόμαστε διαισθητικά πώς μοιάζει:

Σε γενικές γραμμές, αυτό είναι ένα είδος ατελείωτου «φύλλου» ώθησης στο διάστημα. Το "άπειρο" θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι το επίπεδο εκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις, δηλαδή το εμβαδόν του είναι ίσο με το άπειρο. Ωστόσο, αυτή η εξήγηση «στα δάχτυλα» δεν δίνει την παραμικρή ιδέα για τη δομή του αεροπλάνου. Και θα μας ενδιαφέρει.

Ας θυμηθούμε ένα από τα βασικά αξιώματα της γεωμετρίας:

• Μια ευθεία διέρχεται από δύο διαφορετικά σημεία σε ένα επίπεδο, επιπλέον, μόνο ένα:

Ή το ανάλογό του στο διάστημα:

Φυσικά, θυμάστε πώς να εξάγετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής από δύο δεδομένα σημεία, αυτό δεν είναι καθόλου δύσκολο: εάν το πρώτο σημείο έχει συντεταγμένες: και το δεύτερο, τότε η εξίσωση της ευθείας γραμμής θα είναι η εξής:

Το πέρασες αυτό στην 7η δημοτικού. Στο διάστημα, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μοιάζει με αυτό: ας έχουμε δύο σημεία με συντεταγμένες: , τότε η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από αυτά έχει τη μορφή:

Για παράδειγμα, μια γραμμή διέρχεται από σημεία:

Πώς πρέπει να γίνει κατανοητό αυτό; Αυτό θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: ένα σημείο βρίσκεται σε μια ευθεία εάν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα:

Δεν θα μας ενδιαφέρει πολύ η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αλλά πρέπει να δώσουμε προσοχή στην πολύ σημαντική έννοια του κατευθυντικού διανύσματος μιας ευθείας. - κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία ή παράλληλη σε αυτήν.

Για παράδειγμα, και τα δύο διανύσματα είναι διανύσματα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής. Έστω ένα σημείο που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή και είναι το κατευθυντικό του διάνυσμα. Τότε η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Για άλλη μια φορά, δεν θα με ενδιαφέρει πολύ η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αλλά χρειάζομαι πραγματικά να θυμάστε τι είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης! Πάλι: είναι ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια ευθεία ή παράλληλη σε αυτήν.

Αποσύρω εξίσωση τριών σημείων ενός επιπέδουδεν είναι πλέον τόσο ασήμαντο, και συνήθως αυτό το θέμα δεν εξετάζεται στην πορεία Λύκειο. Αλλά μάταια! Αυτή η τεχνική είναι ζωτικής σημασίας όταν καταφεύγουμε στη μέθοδο συντεταγμένων για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων. Ωστόσο, υποθέτω ότι είστε γεμάτοι επιθυμία να μάθετε κάτι νέο; Επιπλέον, θα μπορείτε να εντυπωσιάσετε τον καθηγητή σας στο πανεπιστήμιο όταν αποδειχθεί ότι γνωρίζετε ήδη πώς να χρησιμοποιείτε την τεχνική που συνήθως μελετάται στο μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Η εξίσωση ενός επιπέδου δεν είναι πολύ διαφορετική από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο, δηλαδή, έχει τη μορφή:

ορισμένοι αριθμοί (όχι όλοι ίσοι με μηδέν), αλλά μεταβλητές, για παράδειγμα: κ.λπ. Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση ενός επιπέδου δεν διαφέρει πολύ από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής (γραμμική συνάρτηση). Ωστόσο, θυμάστε τι μαλώσαμε μαζί σας; Είπαμε ότι αν έχουμε τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή, τότε η εξίσωση του επιπέδου αποκαθίσταται μοναδικά από αυτά. Αλλά πως? Θα προσπαθήσω να σας εξηγήσω.

Επειδή η εξίσωση του επιπέδου είναι:

Και τα σημεία ανήκουν σε αυτό το επίπεδο, τότε όταν αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου στην εξίσωση του επιπέδου, θα πρέπει να πάρουμε τη σωστή ταυτότητα:

Έτσι, υπάρχει ανάγκη να λυθούν τρεις εξισώσεις ήδη με αγνώστους! Δίλημμα! Ωστόσο, μπορούμε πάντα να υποθέσουμε ότι (για αυτό πρέπει να διαιρέσουμε με). Έτσι, παίρνουμε τρεις εξισώσεις με τρεις άγνωστους:

Ωστόσο, δεν θα λύσουμε ένα τέτοιο σύστημα, αλλά θα γράψουμε την κρυπτική έκφραση που προκύπτει από αυτό:

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία

\[\αριστερά| (\αρχή(πίνακας)(*(20)(γ))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(πίνακας)) \right| = 0\]

Να σταματήσει! Τι άλλο είναι αυτό; Κάποια πολύ ασυνήθιστη ενότητα! Ωστόσο, το αντικείμενο που βλέπετε μπροστά σας δεν έχει καμία σχέση με τη μονάδα. Αυτό το αντικείμενο ονομάζεται ορίζουσα τρίτης τάξης. Από εδώ και πέρα, όταν ασχολείστε με τη μέθοδο των συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, θα συναντάτε συχνά αυτούς ακριβώς τους καθοριστικούς παράγοντες. Τι είναι ο προσδιοριστής τρίτης τάξης; Παραδόξως, είναι απλώς ένας αριθμός. Μένει να καταλάβουμε ποιο συγκεκριμένο αριθμό θα συγκρίνουμε με την ορίζουσα.

Ας γράψουμε πρώτα την ορίζουσα τρίτης τάξης σε περισσότερα γενική εικόνα:

Πού είναι κάποιοι αριθμοί. Επιπλέον, με τον πρώτο δείκτη εννοούμε τον αριθμό της γραμμής και με τον δείκτη - τον αριθμό της στήλης. Για παράδειγμα, σημαίνει ότι ο δεδομένος αριθμός βρίσκεται στη διασταύρωση της δεύτερης σειράς και της τρίτης στήλης. Ας θέσουμε το εξής ερώτημα: πώς ακριβώς θα υπολογίσουμε μια τέτοια ορίζουσα; Δηλαδή με ποιο συγκεκριμένο νούμερο θα το συγκρίνουμε; Για τον προσδιοριστή ακριβώς της τρίτης τάξης, υπάρχει ένας ευρετικός (οπτικός) κανόνας τριγώνου, μοιάζει με αυτό:

1. Το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου (από πάνω αριστερά προς τα κάτω δεξιά) το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το πρώτο τρίγωνο "κάθετο" στην κύρια διαγώνιο το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το δεύτερο τρίγωνο "κάθετο" προς το κύριο διαγώνιος
2. Το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου (από την επάνω δεξιά γωνία προς την κάτω αριστερή) το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το πρώτο τρίγωνο "κάθετο" της δευτερεύουσας διαγώνιου το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το δεύτερο τρίγωνο "κάθετο" της δευτερεύουσας διαγωνίου
3. Τότε η ορίζουσα είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών που λαμβάνονται στο βήμα και

Αν τα γράψουμε όλα αυτά με αριθμούς, τότε έχουμε την ακόλουθη έκφραση:

Ωστόσο, δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τη μέθοδο υπολογισμού σε αυτή τη φόρμα, αρκεί απλώς να κρατήσετε τα τρίγωνα στο κεφάλι σας και την ίδια την ιδέα του τι προστίθεται σε τι και τι αφαιρείται στη συνέχεια από τι).

Ας επεξηγήσουμε τη μέθοδο του τριγώνου με ένα παράδειγμα:

1. Υπολογίστε την ορίζουσα:

Ας δούμε τι προσθέτουμε και τι αφαιρούμε:

Όροι που συνοδεύονται από ένα "συν":

Αυτή είναι η κύρια διαγώνιος: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Το πρώτο τρίγωνο, «κάθετο στην κύρια διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Το δεύτερο τρίγωνο, «κάθετο στην κύρια διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Προσθέτουμε τρεις αριθμούς:

Όροι που συνοδεύονται από ένα "μείον"

Αυτή είναι μια πλευρική διαγώνιος: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Το πρώτο τρίγωνο, «κάθετο στη δευτερεύουσα διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Το δεύτερο τρίγωνο, «κάθετο στη δευτερεύουσα διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Προσθέτουμε τρεις αριθμούς:

Το μόνο που μένει να γίνει είναι να αφαιρέσουμε από το άθροισμα των συν όρων το άθροισμα των μείον όρων:

Ετσι,

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο και υπερφυσικό στον υπολογισμό των οριζόντων τρίτης τάξης. Είναι απλά σημαντικό να θυμάστε τα τρίγωνα και να μην κάνετε αριθμητικά λάθη. Τώρα προσπαθήστε να υπολογίσετε μόνοι σας:

Ελέγχουμε:

1. Το πρώτο τρίγωνο κάθετο στην κύρια διαγώνιο:
2. Το δεύτερο τρίγωνο κάθετο στην κύρια διαγώνιο:
3. Το άθροισμα των συν όρων:
4. Πρώτο τρίγωνο κάθετο στη διαγώνιο πλευρά:
5. Το δεύτερο τρίγωνο, κάθετο στη διαγώνιο της πλευράς:
6. Το άθροισμα των όρων με μείον:
7. Άθροισμα συν όρων μείον άθροισμα μείον όρων:

Ακολουθούν δύο ακόμη καθοριστικοί παράγοντες για εσάς, υπολογίστε μόνοι σας τις τιμές τους και συγκρίνετε με τις απαντήσεις:

Απαντήσεις:

Λοιπόν, ταίριαξαν όλα; Τέλεια, τότε μπορείς να προχωρήσεις! Εάν υπάρχουν δυσκολίες, τότε η συμβουλή μου είναι η εξής: στο Διαδίκτυο υπάρχουν πολλά προγράμματα για τον υπολογισμό της ορίζουσας στο διαδίκτυο. Το μόνο που χρειάζεστε είναι να βρείτε τον δικό σας προσδιορισμό, να τον υπολογίσετε μόνοι σας και μετά να τον συγκρίνετε με αυτόν που υπολογίζει το πρόγραμμα. Και ούτω καθεξής μέχρι να αρχίσουν να ταιριάζουν τα αποτελέσματα. Είμαι σίγουρος ότι αυτή η στιγμή δεν θα αργήσει να έρθει!

Τώρα ας επιστρέψουμε στην ορίζουσα που έγραψα όταν μίλησα για την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία:

Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να υπολογίσετε απευθείας την τιμή του (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγώνου) και να ορίσετε το αποτέλεσμα ίσο με το μηδέν. Φυσικά, δεδομένου ότι είναι μεταβλητές, θα λάβετε κάποια έκφραση που εξαρτάται από αυτές. Είναι αυτή η έκφραση που θα είναι η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή!

Ας το επεξηγήσουμε αυτό με ένα απλό παράδειγμα:

1. Κατασκευάστε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία

Συνθέτουμε μια ορίζουσα για αυτά τα τρία σημεία:

Απλοποίηση:

Τώρα το υπολογίζουμε απευθείας σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων:

\[(\αριστερά| (\αρχή(πίνακας)(*(20)(γ))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(πίνακας)) \ δεξιά| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία είναι:

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας ένα πρόβλημα και στη συνέχεια θα το συζητήσουμε:

2. Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία

Λοιπόν, ας συζητήσουμε τη λύση τώρα:

Κάνουμε έναν καθοριστικό παράγοντα:

Και υπολογίστε την αξία του:

Τότε η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:

Ή, μειώνοντας κατά, παίρνουμε:

Τώρα δύο εργασίες για αυτοέλεγχο:

1. Κατασκευάστε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία:

Απαντήσεις:

Ταίριαξαν όλα; Και πάλι, εάν υπάρχουν ορισμένες δυσκολίες, τότε η συμβουλή μου είναι η εξής: πάρτε τρεις πόντους από το κεφάλι σας (με μεγάλο βαθμό πιθανότητας να μην ξαπλώσουν σε μια ευθεία γραμμή), φτιάξτε ένα αεροπλάνο πάνω τους. Και μετά ελέγξτε τον εαυτό σας στο διαδίκτυο. Για παράδειγμα, στον ιστότοπο:

Ωστόσο, με τη βοήθεια οριζόντων, δεν θα κατασκευάσουμε μόνο την εξίσωση του επιπέδου. Θυμηθείτε, σας είπα ότι για τα διανύσματα δεν ορίζεται μόνο το γινόμενο της τελείας. Υπάρχει επίσης ένας φορέας, καθώς και ένα μικτό προϊόν. Και αν το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων θα είναι ένας αριθμός, τότε το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων θα είναι ένα διάνυσμα και αυτό το διάνυσμα θα είναι κάθετο στα δεδομένα:

Και η ενότητα του θα είναι ίσο με εμβαδόνπαραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα και. Θα χρειαστούμε αυτό το διάνυσμα για να υπολογίσουμε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων και αν δίνονται οι συντεταγμένες τους; Ο καθοριστικός παράγοντας της τρίτης τάξης έρχεται και πάλι σε βοήθεια. Ωστόσο, πριν προχωρήσω στον αλγόριθμο για τον υπολογισμό του διασταυρούμενου γινομένου, πρέπει να κάνω μια μικρή λυρική παρέκβαση.

Αυτή η απόκλιση αφορά τα διανύσματα βάσης.

Σχηματικά φαίνονται στο σχήμα:

Γιατί πιστεύετε ότι ονομάζονται βασικά; Το γεγονός είναι ότι:

Ή στην εικόνα:

Η εγκυρότητα αυτού του τύπου είναι προφανής, επειδή:

διανυσματικό προϊόν

Τώρα μπορώ να αρχίσω να παρουσιάζω το cross product:

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα που υπολογίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Ας δώσουμε τώρα μερικά παραδείγματα υπολογισμού του διασταυρούμενου γινομένου:

Παράδειγμα 1: Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων:

Λύση: Κάνω μια ορίζουσα:

Και το υπολογίζω:

Τώρα, από τη γραφή μέσω διανυσμάτων βάσης, θα επιστρέψω στη συνηθισμένη διανυσματική σημείωση:

Ετσι:

Τώρα δοκιμάστε.

Ετοιμος? Ελέγχουμε:

Και παραδοσιακά δύο εργασίες προς έλεγχο:

1. Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των παρακάτω διανυσμάτων:
2. Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των παρακάτω διανυσμάτων:

Απαντήσεις:

Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων

Η τελευταία κατασκευή που χρειάζομαι είναι το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. Είναι, σαν βαθμωτός, αριθμός. Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισμού. - μέσω της ορίζουσας, - μέσω του μικτού προϊόντος.

Δηλαδή, ας πούμε ότι έχουμε τρία διανύσματα:

Τότε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων, που συμβολίζεται με μπορεί να υπολογιστεί ως:

1. - δηλαδή το μικτό γινόμενο είναι το βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος και το διανυσματικό γινόμενο δύο άλλων διανυσμάτων

Για παράδειγμα, το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι:

Προσπαθήστε να το υπολογίσετε μόνοι σας χρησιμοποιώντας το διανυσματικό γινόμενο και βεβαιωθείτε ότι τα αποτελέσματα ταιριάζουν!

Και πάλι δύο παραδείγματα ανεξάρτητη λύση:

Απαντήσεις:

Επιλογή συστήματος συντεταγμένων

Λοιπόν, τώρα έχουμε όλα τα απαραίτητα θεμέλια γνώσης για την επίλυση σύνθετων στερεομετρικών προβλημάτων στη γεωμετρία. Ωστόσο, πριν προχωρήσουμε απευθείας στα παραδείγματα και τους αλγόριθμους για την επίλυσή τους, πιστεύω ότι θα είναι χρήσιμο να σταθώ στο εξής ερώτημα: πώς ακριβώς επιλέξτε ένα σύστημα συντεταγμένων για ένα συγκεκριμένο σχήμα.Άλλωστε είναι η επιλογή σχετική θέσηΤα συστήματα συντεταγμένων και οι αριθμοί στο διάστημα θα καθορίσουν τελικά πόσο περίπλοκοι θα είναι οι υπολογισμοί.

Σας υπενθυμίζω ότι σε αυτήν την ενότητα εξετάζουμε τα ακόλουθα σχήματα:

1. κυβοειδές
2. Ευθύ πρίσμα (τριγωνικό, εξαγωνικό…)
3. Πυραμίδα (τριγωνική, τετραγωνική)
4. Τετράεδρο (ίδιο με την τριγωνική πυραμίδα)

Για κυβοειδές ή κύβο, προτείνω την ακόλουθη κατασκευή:

Δηλαδή, θα τοποθετήσω το σχήμα "στη γωνία". Ο κύβος και το κουτί είναι πολύ καλές φιγούρες. Για αυτούς, μπορείτε πάντα να βρείτε εύκολα τις συντεταγμένες των κορυφών του. Για παράδειγμα, εάν (όπως φαίνεται στην εικόνα)

τότε οι συντεταγμένες κορυφής είναι:

Φυσικά, δεν χρειάζεται να το θυμάστε αυτό, αλλά θυμηθείτε πώς να τοποθετήσετε καλύτερα τον κύβο ή κυβοειδές- επιθυμητό.

ευθύ πρίσμα

Το πρίσμα είναι μια πιο επιβλαβής φιγούρα. Μπορείτε να το τακτοποιήσετε στο χώρο με διάφορους τρόπους. Ωστόσο, νομίζω ότι η παρακάτω είναι η καλύτερη επιλογή:

Τριγωνικό πρίσμα:

Δηλαδή, βάζουμε μια από τις πλευρές του τριγώνου εξ ολοκλήρου στον άξονα, και μια από τις κορυφές συμπίπτει με την αρχή.

Εξαγωνικό πρίσμα:

Δηλαδή, μία από τις κορυφές συμπίπτει με την αρχή και μία από τις πλευρές βρίσκεται στον άξονα.

Τετραγωνική και εξαγωνική πυραμίδα:

Μια κατάσταση παρόμοια με έναν κύβο: συνδυάζουμε δύο πλευρές της βάσης με τους άξονες συντεταγμένων, συνδυάζουμε μια από τις κορυφές με την αρχή. Η μόνη μικρή δυσκολία θα είναι ο υπολογισμός των συντεταγμένων του σημείου.

Για μια εξαγωνική πυραμίδα - το ίδιο όπως για ένα εξαγωνικό πρίσμα. Το κύριο καθήκον θα είναι και πάλι η εύρεση των συντεταγμένων της κορυφής.

Τετράεδρο (τριγωνική πυραμίδα)

Η κατάσταση είναι πολύ παρόμοια με αυτή που έδωσα για το τριγωνικό πρίσμα: η μία κορυφή συμπίπτει με την αρχή, η μία πλευρά βρίσκεται στον άξονα των συντεταγμένων.

Λοιπόν, τώρα εσύ κι εγώ είμαστε επιτέλους κοντά στο να αρχίσουμε να λύνουμε προβλήματα. Από αυτά που είπα στην αρχή του άρθρου, θα μπορούσατε να βγάλετε το εξής συμπέρασμα: τα περισσότερα προβλήματα C2 εμπίπτουν σε 2 κατηγορίες: προβλήματα για τη γωνία και προβλήματα για την απόσταση. Αρχικά, θα εξετάσουμε προβλήματα εύρεσης γωνίας. Αυτοί, με τη σειρά τους, χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες (καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητα):

Προβλήματα για την εύρεση γωνιών

1. Εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο γραμμών
2. Εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο επιπέδων

Ας εξετάσουμε αυτά τα προβλήματα διαδοχικά: ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Έλα, θυμήσου, εσύ κι εγώ έχουμε λύσει παρόμοια παραδείγματα στο παρελθόν; Θυμάστε, γιατί είχαμε ήδη κάτι παρόμοιο ... Ψάχναμε για μια γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων. Σας υπενθυμίζω, αν δίνονται δύο διανύσματα: και, τότε η μεταξύ τους γωνία βρίσκεται από τη σχέση:

Τώρα έχουμε έναν στόχο - να βρούμε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Ας πάμε στην «επίπεδη εικόνα»:

Πόσες γωνίες έχουμε όταν τέμνονται δύο ευθείες; Ήδη πράγματα. Είναι αλήθεια ότι μόνο δύο από αυτά δεν είναι ίσα, ενώ άλλα είναι κάθετα σε αυτά (και επομένως συμπίπτουν με αυτά). Ποια γωνία λοιπόν πρέπει να εξετάσουμε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών: ή; Εδώ ο κανόνας είναι: η γωνία μεταξύ δύο ευθειών δεν είναι πάντα μεγαλύτερη από μοίρες. Δηλαδή από δύο γωνίες θα επιλέγουμε πάντα τη γωνία με το μικρότερο μέτρο μοιρών. Δηλαδή, σε αυτή την εικόνα, η γωνία μεταξύ των δύο γραμμών είναι ίση. Για να μην ασχολούμαστε με την εύρεση της μικρότερης από τις δύο γωνίες κάθε φορά, πονηροί μαθηματικοί πρότειναν τη χρήση της ενότητας. Έτσι, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών προσδιορίζεται από τον τύπο:

Εσείς, ως προσεκτικός αναγνώστης, θα έπρεπε να είχατε μια ερώτηση: από πού παίρνουμε, στην πραγματικότητα, αυτούς ακριβώς τους αριθμούς που χρειαζόμαστε για να υπολογίσουμε το συνημίτονο μιας γωνίας; Απάντηση: θα τα πάρουμε από τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών! Έτσι, ο αλγόριθμος για την εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο γραμμών είναι ο εξής:

1. Εφαρμόζουμε τον τύπο 1.

Ή πιο αναλυτικά:

1. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης ευθείας
2. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της δεύτερης γραμμής
3. Υπολογίστε το μέτρο του βαθμωτό γινόμενο τους
4. Αναζητούμε το μήκος του πρώτου διανύσματος
5. Αναζητούμε το μήκος του δεύτερου διανύσματος
6. Πολλαπλασιάστε τα αποτελέσματα του σημείου 4 με τα αποτελέσματα του σημείου 5
7. Διαιρούμε το αποτέλεσμα του σημείου 3 με το αποτέλεσμα του σημείου 6. Παίρνουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών
8. Αν δεδομένο αποτέλεσμασας επιτρέπει να υπολογίσετε με ακρίβεια τη γωνία, την αναζητούμε
9. Διαφορετικά, γράφουμε μέσω της αρκοσίνης

Λοιπόν, τώρα είναι η ώρα να προχωρήσουμε στις εργασίες: θα δείξω τη λύση των δύο πρώτων λεπτομερώς, θα παρουσιάσω τη λύση μιας άλλης εν συντομία και θα δώσω απαντήσεις μόνο στις δύο τελευταίες εργασίες, πρέπει κάντε όλους τους υπολογισμούς για αυτούς μόνοι σας.

Καθήκοντα:

1. Στο δεξί tet-ra-ed-re, βρείτε-di-te τη γωνία ανάμεσα σε εσάς-έτσι-αυτό το tet-ra-ed-ra και την πλευρά me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Στο δεξί εμπρός έξι-κάρβουνο-πι-ρα-μι-ντε, τα εκατό-ρο-να-ος-νο-βα-νίγια είναι κατά κάποιο τρόπο ίσα, και οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες, βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμές και.

3. Τα μήκη όλων των άκρων του δεξιόστροφου τετράγωνου άνθρακος πι-ρα-μι-ντι είναι ίσα μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών και αν από-ρε-ζοκ - εσείς-έτσι που δίνεται το πι-ρα-μι-ντι, το σημείο είναι σε-ρε-ντι-στην μπο-κο- θ πλευρά της

4. Στην άκρη του κύβου από-με-τσε-σε σημείο ώστε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών και

5. Σημείο - se-re-di-στις άκρες του κύβου Nai-di-te τη γωνία μεταξύ των ευθειών και.

Δεν είναι τυχαίο που τοποθέτησα τις εργασίες με αυτή τη σειρά. Ενώ δεν είχατε ακόμη χρόνο να ξεκινήσετε την πλοήγηση στη μέθοδο συντεταγμένων, εγώ ο ίδιος θα αναλύσω τα πιο «προβληματικά» σχήματα και θα σας αφήσω να ασχοληθείτε με τον απλούστερο κύβο! Σταδιακά πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με όλες τις φιγούρες, θα αυξήσω την πολυπλοκότητα των εργασιών από θέμα σε θέμα.

Ας αρχίσουμε να λύνουμε προβλήματα:

1. Σχεδιάστε ένα τετράεδρο, τοποθετήστε το στο σύστημα συντεταγμένων όπως πρότεινα νωρίτερα. Δεδομένου ότι το τετράεδρο είναι κανονικό, τότε όλες οι όψεις του (συμπεριλαμβανομένης της βάσης) είναι κανονικά τρίγωνα. Εφόσον δεν μας δίνεται το μήκος της πλευράς, μπορώ να το πάρω ίσο. Νομίζω ότι καταλαβαίνετε ότι η γωνία δεν θα εξαρτηθεί πραγματικά από το πόσο θα "τεντωθεί" το τετράεδρό μας;. Θα σχεδιάσω επίσης το ύψος και τη διάμεσο στο τετράεδρο. Στην πορεία θα σχεδιάσω τη βάση του (θα μας φανεί και χρήσιμο).

Πρέπει να βρω τη γωνία μεταξύ και. Τι ξέρουμε; Γνωρίζουμε μόνο τη συντεταγμένη του σημείου. Άρα, πρέπει να βρούμε περισσότερες συντεταγμένες των σημείων. Τώρα σκεφτόμαστε: ένα σημείο είναι ένα σημείο τομής υψών (ή διχοτόμων ή διαμέσου) ενός τριγώνου. Μια τελεία είναι ένα υπερυψωμένο σημείο. Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Τότε τελικά πρέπει να βρούμε: τις συντεταγμένες των σημείων: .

Ας ξεκινήσουμε με το απλούστερο: σημειακές συντεταγμένες. Κοιτάξτε το σχήμα: Είναι σαφές ότι η εφαρμογή ενός σημείου είναι ίση με μηδέν (το σημείο βρίσκεται σε ένα επίπεδο). Η τεταγμένη του είναι ίση (γιατί είναι η διάμεσος). Είναι πιο δύσκολο να βρεις το τετμημένο του. Ωστόσο, αυτό γίνεται εύκολα με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα: Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Η υποτείνυσή του είναι ίση και το ένα πόδι είναι ίσο Τότε:

Τέλος έχουμε:

Τώρα ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου. Είναι σαφές ότι η εφαρμογή του είναι πάλι ίση με μηδέν και η τεταγμένη του είναι ίδια με αυτή ενός σημείου, δηλαδή. Ας βρούμε το τετμημένο του. Αυτό γίνεται μάλλον επιπόλαια αν το θυμάται κανείς τα ύψη ενός ισόπλευρου τριγώνου διαιρούνται με το σημείο τομής στην αναλογίαμετρώντας από την κορυφή. Αφού:, τότε η επιθυμητή τετμημένη του σημείου, ίση με το μήκος του τμήματος, ισούται με:. Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου είναι:

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου. Είναι σαφές ότι η τετμημένη και η τεταγμένη της συμπίπτουν με την τετμημένη και τη τεταγμένη του σημείου. Και η απλικέ ισούται με το μήκος του τμήματος. - αυτό είναι ένα από τα σκέλη του τριγώνου. Η υποτείνουσα ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα - ένα σκέλος. Γίνεται αναζήτηση για τους λόγους που τόνισα με έντονους χαρακτήρες:

Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Στη συνέχεια, πρέπει να θυμόμαστε τον τύπο για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος:

Αυτό είναι όλο, τώρα μπορούμε να αναζητήσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Λοιπόν, όλα είναι έτοιμα: αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα στον τύπο:

Ετσι,

Απάντηση:

Δεν πρέπει να φοβάστε τέτοιες «τρομερές» απαντήσεις: για προβλήματα C2 αυτή είναι μια κοινή πρακτική. Θα προτιμούσα να με εκπλήξει η «όμορφη» απάντηση σε αυτό το κομμάτι. Επίσης, όπως σημείωσες, πρακτικά δεν κατέφυγα σε τίποτα άλλο εκτός από το Πυθαγόρειο θεώρημα και την ιδιότητα των υψών ενός ισόπλευρου τριγώνου. Δηλαδή, για να λύσω το στερεομετρικό πρόβλημα, χρησιμοποίησα το ελάχιστο της στερεομετρίας. Το κέρδος σε αυτό «σβήνει» εν μέρει από μάλλον δυσκίνητους υπολογισμούς. Αλλά είναι αρκετά αλγοριθμικά!

2. Σχεδιάστε μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα μαζί με το σύστημα συντεταγμένων, καθώς και τη βάση της:

Πρέπει να βρούμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών και. Έτσι, το καθήκον μας περιορίζεται στην εύρεση των συντεταγμένων των σημείων: . Θα βρούμε τις συντεταγμένες των τριών τελευταίων από το μικρό σχέδιο και θα βρούμε τη συντεταγμένη της κορυφής μέσω της συντεταγμένης του σημείου. Πολύ δουλειά, αλλά πρέπει να ξεκινήσετε!

α) Συντεταγμένη: είναι σαφές ότι η εφαρμογή και η τεταγμένη του είναι μηδέν. Ας βρούμε την τετμημένη. Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αλίμονο, σε αυτό γνωρίζουμε μόνο την υποτείνουσα, που ισούται με. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε το πόδι (γιατί είναι σαφές ότι το διπλάσιο μήκος του ποδιού θα μας δώσει την τετμημένη του σημείου). Πώς μπορούμε να το αναζητήσουμε; Ας θυμηθούμε τι είδους φιγούρα έχουμε στη βάση της πυραμίδας; Αυτό είναι ένα κανονικό εξάγωνο. Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες. Πρέπει να βρούμε μια τέτοια γωνιά. Καμιά ιδέα? Υπάρχουν πολλές ιδέες, αλλά υπάρχει μια φόρμουλα:

Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού n-γώνου είναι .

Άρα το άθροισμα των γωνιών κανονικό εξάγωνοισούται με βαθμούς. Τότε κάθε μία από τις γωνίες είναι ίση με:

Ας δούμε ξανά την εικόνα. Είναι σαφές ότι το τμήμα είναι η διχοτόμος της γωνίας. Τότε η γωνία είναι μοίρες. Επειτα:

Τότε πού.

Άρα έχει συντεταγμένες

β) Τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε τη συντεταγμένη του σημείου: .

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου. Εφόσον η τετμημένη του συμπίπτει με το μήκος του τμήματος, είναι ίσο. Η εύρεση της τεταγμένης δεν είναι επίσης πολύ δύσκολη: αν συνδέσουμε τα σημεία και υποδηλώσουμε το σημείο τομής της ευθείας, ας πούμε για. (κάντο μόνος σου απλή κατασκευή). Τότε λοιπόν, η τεταγμένη του σημείου Β είναι ίση με το άθροισμα των μηκών των τμημάτων. Ας δούμε ξανά το τρίγωνο. Επειτα

Τότε από Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες

δ) Τώρα βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο και αποδείξτε ότι, λοιπόν, οι συντεταγμένες του σημείου είναι:

ε) Μένει να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής. Είναι σαφές ότι η τετμημένη και η τεταγμένη της συμπίπτουν με την τετμημένη και τη τεταγμένη του σημείου. Ας βρούμε μια εφαρμογή. Από τότε. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Με την προϋπόθεση του προβλήματος, το πλευρικό άκρο. Αυτή είναι η υποτείνουσα του τριγώνου μου. Τότε το ύψος της πυραμίδας είναι το πόδι.

Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες:

Αυτό είναι όλο, έχω τις συντεταγμένες όλων των σημείων που με ενδιαφέρουν. Αναζητώ τις συντεταγμένες των κατευθυντικών διανυσμάτων των ευθειών:

Αναζητούμε τη γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων:

Απάντηση:

Και πάλι, κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος, δεν χρησιμοποίησα κανένα περίπλοκο κόλπο, εκτός από τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού n-gon, καθώς και τον ορισμό του συνημιτόνου και του ημιτόνου ενός ορθογωνίου τριγώνου.

3. Επειδή πάλι δεν μας δίνονται τα μήκη των άκρων στην πυραμίδα, θα τα θεωρήσω ίσα με ένα. Έτσι, εφόσον ΟΛΕΣ οι άκρες, και όχι μόνο οι πλευρικές, είναι ίσες μεταξύ τους, τότε στη βάση της πυραμίδας και εγώ βρίσκεται ένα τετράγωνο και οι πλευρικές όψεις είναι κανονικά τρίγωνα. Ας απεικονίσουμε μια τέτοια πυραμίδα, καθώς και τη βάση της σε ένα επίπεδο, σημειώνοντας όλα τα δεδομένα που δίνονται στο κείμενο του προβλήματος:

Αναζητούμε τη γωνία μεταξύ και. Θα κάνω πολύ σύντομους υπολογισμούς όταν ψάχνω τις συντεταγμένες των σημείων. Θα χρειαστεί να τα «αποκρυπτογραφήσετε»:

β) - το μέσο του τμήματος. Οι συντεταγμένες της:

γ) Θα βρω το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο. Θα βρω με το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο.

Συντεταγμένες:

δ) - το μέσο του τμήματος. Οι συντεταγμένες του είναι

ε) Συντεταγμένες του διανύσματος

στ) Συντεταγμένες του διανύσματος

ζ) Αναζήτηση γωνίας:

Ο κύβος είναι το πιο απλό σχήμα. Είμαι σίγουρος ότι μπορείς να το καταλάβεις μόνος σου. Οι απαντήσεις στα προβλήματα 4 και 5 είναι οι εξής:

Εύρεση της γωνίας μεταξύ ευθείας και επιπέδου

Λοιπόν, η ώρα για απλούς γρίφους τελείωσε! Τώρα τα παραδείγματα θα είναι ακόμα πιο δύσκολα. Για να βρούμε τη γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου, θα προχωρήσουμε ως εξής:

1. Χρησιμοποιώντας τρία σημεία, κατασκευάζουμε την εξίσωση του επιπέδου
   ,
   χρησιμοποιώντας μια ορίζουσα τρίτης τάξης.
2. Σε δύο σημεία αναζητούμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας:
3. Εφαρμόζουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο τύπος μοιάζει πολύ με αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να βρούμε τις γωνίες μεταξύ δύο γραμμών. Η δομή της δεξιάς πλευράς είναι ακριβώς η ίδια, και στα αριστερά τώρα αναζητούμε ένα ημίτονο, και όχι ένα συνημίτονο, όπως πριν. Λοιπόν, προστέθηκε μια δυσάρεστη ενέργεια - η αναζήτηση για την εξίσωση του αεροπλάνου.

Ας μην μείνουμε στα ράφια επίλυση παραδειγμάτων:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia ίσο-αλλά-φτωχό-ren-ny τρίγωνο-nick you-με-αυτό το έπαθλο-είμαστε ίσοι. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου

2. Σε ορθογώνιο pa-ral-le-le-pi-pe-de από το δυτικό Nai-di-te η γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου

3. Στο δεξιόστροφο εξαανθρακικό πρίσμα, όλες οι ακμές είναι ίσες. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου.

4. Στο ορθό τριγωνικό pi-ra-mi-de με το os-but-va-ni-em από τα δυτικά της πλευράς Nai-di-te γωνία, ob-ra-zo-van -ny επίπεδο του os. -no-va-niya και straight-my, περνώντας από το σε-ρε-ντι-να των πλευρών και

5. Τα μήκη όλων των άκρων του δεξιού τετραγωνικού pi-ra-mi-dy με την κορυφή είναι ίσα μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου, αν το σημείο είναι se-re-di-στο bo-ko-in-th άκρο του pi-ra-mi-dy.

Και πάλι, θα λύσω τα δύο πρώτα προβλήματα αναλυτικά, το τρίτο - εν συντομία, και αφήνω τα δύο τελευταία να τα λύσετε μόνοι σας. Επιπλέον, έπρεπε ήδη να αντιμετωπίσετε τριγωνικές και τετράγωνες πυραμίδες, αλλά όχι ακόμα με πρίσματα.

Λύσεις:

1. Σχεδιάστε ένα πρίσμα, καθώς και τη βάση του. Ας το συνδυάσουμε με το σύστημα συντεταγμένων και ας επισημάνουμε όλα τα δεδομένα που δίνονται στη δήλωση προβλήματος:

Ζητώ συγγνώμη για κάποια μη τήρηση των αναλογιών, αλλά για την επίλυση του προβλήματος αυτό, στην πραγματικότητα, δεν είναι τόσο σημαντικό. Το αεροπλάνο είναι απλώς ο «οπίσθιος τοίχος» του πρίσματος μου. Αρκεί απλώς να μαντέψουμε ότι η εξίσωση ενός τέτοιου επιπέδου έχει τη μορφή:

Ωστόσο, αυτό μπορεί επίσης να εμφανιστεί απευθείας:

Επιλέγουμε αυθαίρετα τρία σημεία σε αυτό το επίπεδο: για παράδειγμα, .

Ας κάνουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Άσκηση για εσάς: υπολογίστε μόνοι σας αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα. Τα κατάφερες; Τότε η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:

Ή απλά

Ετσι,

Για να λύσω το παράδειγμα, πρέπει να βρω τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας. Εφόσον το σημείο συνέπεσε με την αρχή, οι συντεταγμένες του διανύσματος θα συμπίπτουν απλώς με τις συντεταγμένες του σημείου.Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου.

Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε ένα τρίγωνο. Ας τραβήξουμε ένα ύψος (είναι και διάμεσος και διχοτόμος) από την κορυφή. Αφού, τότε η τεταγμένη του σημείου είναι ίση. Για να βρούμε την τετμημένη αυτού του σημείου, πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του τμήματος. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες:

Μια κουκκίδα είναι ένα "ανυψωμένο" σε μια κουκκίδα:

Τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος:

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα ουσιαστικά δύσκολο στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Στην πραγματικότητα, η «ευθύτητα» μιας φιγούρας όπως ένα πρίσμα απλοποιεί τη διαδικασία λίγο περισσότερο. Τώρα ας προχωρήσουμε στο επόμενο παράδειγμα:

2. Σχεδιάζουμε ένα παραλληλεπίπεδο, σχεδιάζουμε ένα επίπεδο και μια ευθεία γραμμή σε αυτό και επίσης σχεδιάζουμε ξεχωριστά την κάτω βάση του:

Αρχικά, βρίσκουμε την εξίσωση του επιπέδου: Οι συντεταγμένες των τριών σημείων που βρίσκονται σε αυτό:

(οι δύο πρώτες συντεταγμένες λαμβάνονται με προφανή τρόπο και μπορείτε εύκολα να βρείτε την τελευταία συντεταγμένη από την εικόνα από το σημείο). Στη συνέχεια συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Υπολογίζουμε:

Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης: Είναι σαφές ότι οι συντεταγμένες του συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του σημείου, έτσι δεν είναι; Πώς να βρείτε συντεταγμένες; Αυτές είναι οι συντεταγμένες του σημείου, υψωμένες κατά μία κατά μήκος του άξονα εφαρμογής! . Τότε αναζητούμε την επιθυμητή γωνία:

Απάντηση:

3. Σχεδιάστε μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα και στη συνέχεια σχεδιάστε ένα επίπεδο και μια ευθεία γραμμή σε αυτήν.

Εδώ είναι ακόμη και προβληματικό να σχεδιάσουμε ένα επίπεδο, για να μην αναφέρουμε τη λύση αυτού του προβλήματος, αλλά η μέθοδος συντεταγμένων δεν ενδιαφέρεται! Είναι στην ευελιξία του που βρίσκεται το κύριο πλεονέκτημά του!

Το αεροπλάνο διέρχεται από τρία σημεία: . Αναζητούμε τις συντεταγμένες τους:

ένας) . Εμφανίστε μόνοι σας τις συντεταγμένες για τα δύο τελευταία σημεία. Θα χρειαστεί να λύσετε το πρόβλημα με μια εξαγωνική πυραμίδα για αυτό!

2) Κατασκευάζουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος: . (Δείτε ξανά πρόβλημα τριγωνικής πυραμίδας!)

3) Ψάχνουμε για μια γωνία:

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα υπερφυσικά δύσκολο σε αυτές τις εργασίες. Απλά πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί με τις ρίζες. Στα δύο τελευταία προβλήματα, θα δώσω μόνο απαντήσεις:

Όπως μπορείτε να δείτε, η τεχνική για την επίλυση προβλημάτων είναι η ίδια παντού: το κύριο καθήκον είναι να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών και να τις αντικαταστήσετε σε ορισμένους τύπους. Απομένει να εξετάσουμε μια ακόμη κατηγορία προβλημάτων για τον υπολογισμό των γωνιών, και συγκεκριμένα:

Υπολογισμός γωνιών μεταξύ δύο επιπέδων

Ο αλγόριθμος λύσης θα είναι ο εξής:

1. Για τρία σημεία αναζητούμε την εξίσωση του πρώτου επιπέδου:
2. Για τα άλλα τρία σημεία, αναζητούμε την εξίσωση του δεύτερου επιπέδου:
3. Εφαρμόζουμε τον τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, η φόρμουλα μοιάζει πολύ με τις δύο προηγούμενες, με τη βοήθεια της οποίας αναζητούσαμε γωνίες μεταξύ ευθειών και μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου. Επομένως, το να θυμάστε αυτό δεν θα είναι δύσκολο για εσάς. Ας μπούμε κατευθείαν στο πρόβλημα:

1. Ένα εκατό-ρο-με βάση το ορθό τριγωνικό πρίσμα είναι ίσο και η διαγώνια της πλευρικής όψης είναι ίση. Βρείτε τη γωνία μεταξύ του επιπέδου και του επιπέδου της βάσης του βραβείου.

2. Στο δεξιό μπροστινό τετραγωνικό πή-ρα-μι-ντε, όλες οι άκρες κάποιου είναι ίσες, βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου και του επιπέδου Ko-Stu, που διέρχεται το σημείο του per-pen-di-ku-lyar-αλλά ευθύ-μου.

3. Σε ένα κανονικό πρίσμα τεσσάρων άνθρακα, οι πλευρές του os-no-va-nia είναι ίσες και οι πλευρικές ακμές είναι ίσες. Στην άκρη από-με-τσε-στο σημείο έτσι ώστε. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων και

4. Στο δεξιό τετράγωνο πρίσμα, οι πλευρές των βάσεων είναι ίσες, και οι πλευρικές ακμές ίσες. Στην άκρη από-με-τσε-σε σημείο ώστε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων και.

5. Στον κύβο, βρείτε το co-si-nus της γωνίας μεταξύ των επιπέδων και

Λύσεις προβλημάτων:

1. Σχεδιάζω το σωστό (στη βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο) τριγωνικό πρίσμακαι σημειώνω πάνω του τα επίπεδα που εμφανίζονται στην κατάσταση του προβλήματος:

Πρέπει να βρούμε τις εξισώσεις δύο επιπέδων: Η εξίσωση βάσης προκύπτει ασήμαντα: μπορείτε να κάνετε την αντίστοιχη ορίζουσα για τρία σημεία, αλλά θα κάνω την εξίσωση αμέσως:

Ας βρούμε τώρα την εξίσωση Το σημείο έχει συντεταγμένες Το σημείο - Αφού - η διάμεσος και το ύψος του τριγώνου, είναι εύκολο να βρεθεί από το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες: Βρείτε την εφαρμογή του σημείου Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Τότε παίρνουμε τις παρακάτω συντεταγμένες: Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου.

Υπολογίζουμε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων:

Απάντηση:

2. Κάνοντας ένα σχέδιο:

Το πιο δύσκολο είναι να καταλάβουμε τι είδους μυστηριώδες επίπεδο είναι, που διέρχεται από ένα σημείο κάθετα. Λοιπόν, το κύριο πράγμα είναι τι είναι αυτό; Το κύριο πράγμα είναι η προσοχή! Πράγματι, η γραμμή είναι κάθετη. Η γραμμή είναι επίσης κάθετη. Τότε το επίπεδο που διέρχεται από αυτές τις δύο ευθείες θα είναι κάθετο στη γραμμή και, παρεμπιπτόντως, θα διέρχεται από το σημείο. Αυτό το αεροπλάνο περνά επίσης από την κορυφή της πυραμίδας. Τότε το επιθυμητό αεροπλάνο - Και το αεροπλάνο μας έχει ήδη δοθεί. Αναζητούμε συντεταγμένες σημείων.

Βρίσκουμε τη συντεταγμένη του σημείου μέσα από το σημείο. Από μικρό σχέδιοείναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι οι εξής: Τι μένει τώρα να βρούμε για να βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής της πυραμίδας; Πρέπει ακόμα να υπολογίσετε το ύψος του. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας το ίδιο Πυθαγόρειο θεώρημα: πρώτα, να αποδείξετε ότι (τετριμμένα από μικρά τρίγωνα που σχηματίζουν ένα τετράγωνο στη βάση). Εφόσον κατά συνθήκη, έχουμε:

Τώρα όλα είναι έτοιμα: συντεταγμένες κορυφής:

Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Είστε ήδη ειδικός στον υπολογισμό των καθοριστικών παραγόντων. Εύκολα θα λάβετε:

Ή αλλιώς (αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη με τη ρίζα του δύο)

Τώρα ας βρούμε την εξίσωση του επιπέδου:

(Δεν ξεχάσατε πώς παίρνουμε την εξίσωση του αεροπλάνου, σωστά; Αν δεν καταλαβαίνετε από πού προήλθε αυτό το μείον ένα, τότε επιστρέψτε στον ορισμό της εξίσωσης του επιπέδου! Απλώς πάντα αποδεικνυόταν ότι το αεροπλάνο ανήκε στην προέλευση!)

Υπολογίζουμε την ορίζουσα:

(Μπορεί να παρατηρήσετε ότι η εξίσωση του επιπέδου συνέπεσε με την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και! Σκεφτείτε γιατί!)

Τώρα υπολογίζουμε τη γωνία:

Πρέπει να βρούμε το ημίτονο:

Απάντηση:

3. Μια δύσκολη ερώτηση: τι είναι ένα ορθογώνιο πρίσμα, τι πιστεύετε; Είναι απλά ένα γνωστό παραλληλεπίπεδο σε εσάς! Ζωγραφίζοντας αμέσως! Δεν μπορείτε ακόμη και να απεικονίσετε ξεχωριστά τη βάση, υπάρχει λίγη χρήση από αυτό εδώ:

Το επίπεδο, όπως σημειώσαμε νωρίτερα, γράφεται ως εξίσωση:

Τώρα φτιάχνουμε ένα αεροπλάνο

Συνθέτουμε αμέσως την εξίσωση του επιπέδου:

Ψάχνοντας για μια γωνία

Τώρα οι απαντήσεις στα δύο τελευταία προβλήματα:

Λοιπόν, τώρα είναι η ώρα να κάνετε ένα διάλειμμα, γιατί εσείς και εγώ είμαστε υπέροχοι και έχουμε κάνει εξαιρετική δουλειά!

Συντεταγμένες και διανύσματα. Προχωρημένο επίπεδο

Σε αυτό το άρθρο, θα συζητήσουμε μαζί σας μια άλλη κατηγορία προβλημάτων που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων: προβλήματα απόστασης. Συγκεκριμένα, θα εξετάσουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

1. Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ λοξών γραμμών.

Έχω παραγγείλει τις συγκεκριμένες εργασίες καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητά τους. Το πιο εύκολο είναι να το βρεις απόσταση από σημείο σε επίπεδοκαι το πιο δύσκολο είναι να βρεις απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Αν και, φυσικά, τίποτα δεν είναι ακατόρθωτο! Ας μην χρονοτριβούμε και ας προχωρήσουμε αμέσως στην εξέταση της πρώτης κατηγορίας προβλημάτων:

Υπολογισμός της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο

Τι χρειαζόμαστε για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα;

1. Συντεταγμένες σημείων

Έτσι, μόλις λάβουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα, εφαρμόζουμε τον τύπο:

Θα πρέπει να γνωρίζετε ήδη πώς κατασκευάζουμε την εξίσωση του επιπέδου από τα προηγούμενα προβλήματα που ανέλυσα στο τελευταίο μέρος. Ας ασχοληθούμε αμέσως. Το σχήμα έχει ως εξής: 1, 2 - Σας βοηθάω να αποφασίσετε, και με κάποιες λεπτομέρειες, 3, 4 - μόνο η απάντηση, παίρνετε την απόφαση μόνοι σας και συγκρίνετε. Ξεκίνησε!

Καθήκοντα:

1. Δίνεται ένας κύβος. Το μήκος της άκρης του κύβου είναι Βρείτε-δι-τε απόσταση από σε-ρε-ντι-νυ από κομμένο σε επίπεδο

2. Δεδομένου του δεξιού-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe άκρη εκατοντάδα-ro-on το os-no-va-nia είναι ίσο. Βρείτε-δι-αυτές τις αποστάσεις από ένα σημείο σε ένα επίπεδο όπου - se-re-di-στις ακμές.

3. Στο δεξιό τριγωνικό pi-ra-mi-de με os-but-va-ni-em, το άλλο άκρο είναι ίσο, και εκατό-ro-on os-no-va-niya είναι ίσο. Βρείτε-δι-αυτές τις αποστάσεις από την κορυφή στο επίπεδο.

4. Στο δεξιόστροφο εξαανθρακικό πρίσμα, όλες οι ακμές είναι ίσες. Βρείτε-δι-αυτές τις αποστάσεις από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.

Λύσεις:

1. Σχεδιάστε έναν κύβο με μονές άκρες, φτιάξτε ένα τμήμα και ένα επίπεδο, συμβολίστε το μέσο του τμήματος με το γράμμα

.

Αρχικά, ας ξεκινήσουμε με ένα εύκολο: βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου. Από τότε (θυμηθείτε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος!)

Τώρα συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου σε τρία σημεία

\[\αριστερά| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Τώρα μπορώ να αρχίσω να βρίσκω την απόσταση:

2. Ξεκινάμε ξανά με ένα σχέδιο, στο οποίο σημειώνουμε όλα τα δεδομένα!

Για μια πυραμίδα, θα ήταν χρήσιμο να σχεδιάσετε τη βάση της ξεχωριστά.

Ακόμα και το γεγονός ότι ζωγραφίζω σαν πόδι κοτόπουλου δεν θα μας εμποδίσει να λύσουμε εύκολα αυτό το πρόβλημα!

Τώρα είναι εύκολο να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου

Αφού οι συντεταγμένες του σημείου

2. Αφού οι συντεταγμένες του σημείου α είναι το μέσο του τμήματος, τότε

Μπορούμε εύκολα να βρούμε τις συντεταγμένες δύο ακόμη σημείων στο επίπεδο.Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου και την απλοποιούμε:

\[\αριστερά| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(πίνακας)) \right|) \right| = 0\]

Εφόσον το σημείο έχει συντεταγμένες: , τότε υπολογίζουμε την απόσταση:

Απάντηση (πολύ σπάνια!):

Λοιπόν, κατάλαβες; Μου φαίνεται ότι όλα εδώ είναι εξίσου τεχνικά όπως στα παραδείγματα που εξετάσαμε μαζί σας στο προηγούμενο μέρος. Είμαι λοιπόν βέβαιος ότι αν έχετε κατακτήσει αυτό το υλικό, τότε δεν θα σας είναι δύσκολο να λύσετε τα υπόλοιπα δύο προβλήματα. Θα σου δώσω μόνο τις απαντήσεις:

Υπολογισμός της απόστασης από γραμμή σε επίπεδο

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα νέο εδώ. Πώς μπορούν να εντοπιστούν μια γραμμή και ένα επίπεδο το ένα σε σχέση με το άλλο; Έχουν όλες τις δυνατότητες: να τέμνονται, ή μια ευθεία είναι παράλληλη με το επίπεδο. Ποια πιστεύετε ότι είναι η απόσταση από την ευθεία μέχρι το επίπεδο με το οποίο τέμνεται η δεδομένη ευθεία; Μου φαίνεται ότι είναι σαφές ότι μια τέτοια απόσταση είναι ίση με μηδέν. Μη ενδιαφέρουσα υπόθεση.

Η δεύτερη περίπτωση είναι πιο δύσκολη: εδώ η απόσταση είναι ήδη μη μηδενική. Ωστόσο, εφόσον η ευθεία είναι παράλληλη προς το επίπεδο, τότε κάθε σημείο της ευθείας απέχει από αυτό το επίπεδο:

Ετσι:

Και αυτό σημαίνει ότι το καθήκον μου έχει μειωθεί στο προηγούμενο: ψάχνουμε για τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στη γραμμή, ψάχνουμε την εξίσωση του επιπέδου, υπολογίζουμε την απόσταση από το σημείο στο επίπεδο. Στην πραγματικότητα, τέτοιες εργασίες στις εξετάσεις είναι εξαιρετικά σπάνιες. Κατάφερα να βρω μόνο ένα πρόβλημα και τα δεδομένα σε αυτό ήταν τέτοια που η μέθοδος συντεταγμένων δεν ήταν πολύ εφαρμόσιμη σε αυτό!

Τώρα ας προχωρήσουμε σε μια άλλη, πολύ πιο σημαντική κατηγορία προβλημάτων:

Υπολογισμός της απόστασης ενός σημείου σε μια γραμμή

Τι θα χρειαστούμε;

1. Οι συντεταγμένες του σημείου από το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

2. Συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή

3. Συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας

Τι φόρμουλα χρησιμοποιούμε;

Τι σημαίνει για εσάς ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος και έτσι θα πρέπει να είναι σαφές: αυτό είναι το μήκος του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας. Εδώ είναι ένας πολύ δύσκολος αριθμητής! Η έκφραση σημαίνει τη μονάδα (μήκος) του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων και Πώς να υπολογίσετε το διανυσματικό γινόμενο, μελετήσαμε στο προηγούμενο μέρος της εργασίας. Ανανεώστε τις γνώσεις σας, θα μας είναι πολύ χρήσιμο τώρα!

Έτσι, ο αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων θα είναι ο εξής:

1. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του σημείου από το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

2. Αναζητούμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας προς το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

3. Κατασκευή ενός φορέα

4. Κατασκευάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας

5. Υπολογίστε το διασταυρούμενο γινόμενο

6. Αναζητούμε το μήκος του διανύσματος που προκύπτει:

7. Υπολογίστε την απόσταση:

Έχουμε πολλή δουλειά, και τα παραδείγματα θα είναι αρκετά σύνθετα! Εστιάστε λοιπόν τώρα όλη σας την προσοχή!

1. Το Dana είναι ένα δεξιόστροφο τριγωνικό pi-ra-mi-da με κορυφή. Εκατό-ρο-ον το os-no-va-niya pi-ra-mi-dy είναι ίσο, το you-so-ta είναι ίσο. Βρείτε-δι-εκείνες τις αποστάσεις από το σε-ρε-ντι-νυ του μπο-κο-ου άκρου στην ευθεία γραμμή, όπου τα σημεία και είναι τα σε-ρε-ντι-νυ των νευρώσεων και συν-από- βετ. -στβεν-αλλά.

2. Τα μήκη των πλευρών και της ορθής γωνίας-no-para-ral-le-le-pi-pe-da είναι ίσα, αντίστοιχα, και η απόσταση Find-di-te από top-shi-ny έως straight-my

3. Στο δεξιό πρίσμα έξι άνθρακα, όλες οι άκρες ενός σμήνους είναι ίσες, βρείτε-δι-αυτές τις αποστάσεις από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή

Λύσεις:

1. Κάνουμε ένα προσεγμένο σχέδιο, στο οποίο σημειώνουμε όλα τα δεδομένα:

Έχουμε πολλή δουλειά για εσάς! Θα ήθελα πρώτα να περιγράψω με λόγια τι θα αναζητήσουμε και με ποια σειρά:

1. Συντεταγμένες σημείων και

2. Συντεταγμένες σημείων

3. Συντεταγμένες σημείων και

4. Συντεταγμένες διανυσμάτων και

5. Το σταυρωτό γινόμενο τους

6. Διάνυσμα μήκος

7. Το μήκος του γινομένου του διανύσματος

8. Απόσταση από έως

Λοιπόν, έχουμε πολλή δουλειά να κάνουμε! Ας σηκώσουμε τα μανίκια!

1. Για να βρούμε τις συντεταγμένες του ύψους της πυραμίδας, πρέπει να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου, η εφαρμογή της είναι μηδέν και η τεταγμένη ίση με την τετμημένη της. Τελικά, πήραμε τις συντεταγμένες:

Συντεταγμένες σημείων

2. - μέση του τμήματος

3. - η μέση του τμήματος

μεσαίο σημείο

4.Συντεταγμένες

Διανυσματικές συντεταγμένες

5. Υπολογίστε το διανυσματικό γινόμενο:

6. Το μήκος του διανύσματος: ο ευκολότερος τρόπος είναι να αντικαταστήσετε ότι το τμήμα είναι η μέση γραμμή του τριγώνου, που σημαίνει ότι είναι ίσο με το μισό της βάσης. Ετσι.

7. Θεωρούμε το μήκος του γινομένου του διανύσματος:

8. Τέλος, βρείτε την απόσταση:

Φεφ, αυτό είναι όλο! Ειλικρινά, θα σας πω: η επίλυση αυτού του προβλήματος με παραδοσιακές μεθόδους (μέσω κατασκευών) θα ήταν πολύ πιο γρήγορη. Εδώ όμως μείωσα τα πάντα σε έναν έτοιμο αλγόριθμο! Νομίζω ότι σας είναι ξεκάθαρος ο αλγόριθμος λύσης; Ως εκ τούτου, θα σας ζητήσω να λύσετε μόνοι σας τα υπόλοιπα δύο προβλήματα. Συγκρίνετε τις απαντήσεις;

Και πάλι, επαναλαμβάνω: είναι πιο εύκολο (γρηγορότερο) να λυθούν αυτά τα προβλήματα μέσω κατασκευών, παρά να καταφύγουμε στη μέθοδο των συντεταγμένων. Έχω δείξει αυτή τη λύση μόνο για να σας δείξω γενική μέθοδος, που επιτρέπει «να μην ολοκληρωθεί τίποτα».

Τέλος, εξετάστε την τελευταία κατηγορία προβλημάτων:

Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ λοξών γραμμών

Εδώ ο αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων θα είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Τι έχουμε:

3. Κάθε διάνυσμα που συνδέει τα σημεία της πρώτης και της δεύτερης γραμμής:

Πώς βρίσκουμε την απόσταση μεταξύ των γραμμών;

Ο τύπος είναι:

Ο αριθμητής είναι το δομοστοιχείο του μικτού γινόμενου (το εισαγάγαμε στο προηγούμενο μέρος) και ο παρονομαστής είναι ο ίδιος όπως στον προηγούμενο τύπο (η ενότητα του διανυσματικού γινόμενου των κατευθυνόμενων διανυσμάτων των γραμμών, η απόσταση μεταξύ των οποίων αναζητούν).

Θα σας το υπενθυμίσω

έπειτα ο τύπος απόστασης μπορεί να ξαναγραφτεί ως:

Διαιρέστε αυτήν την ορίζουσα με την ορίζουσα! Αν και, για να είμαι ειλικρινής, εδώ δεν έχω διάθεση για αστεία! Αυτός ο τύπος, στην πραγματικότητα, είναι πολύ δυσκίνητος και οδηγεί σε μάλλον περίπλοκους υπολογισμούς. Αν ήμουν στη θέση σου, θα το χρησιμοποιούσα μόνο ως έσχατη λύση!

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά προβλήματα χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο:

1. Στο δεξιό τριγωνικό πρίσμα, όλες οι ακμές είναι κατά κάποιο τρόπο ίσες, βρείτε την απόσταση μεταξύ των ευθειών και.

2. Δεδομένου ενός δεξιού μπροστινού τριγωνικού πρίσματος, όλες οι άκρες του os-no-va-niya κάποιου είναι ίσες με το Se-che-tion, περνώντας από την άλλη πλευρά και οι νευρώσεις se-re-di-nu είναι yav-la-et-sya τετράγωνο-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie μεταξύ straight-we-mi και

Εγώ αποφασίζω το πρώτο και με βάση αυτό αποφασίζεις εσύ το δεύτερο!

1. Σχεδιάζω ένα πρίσμα και σημειώνω τις γραμμές και

Συντεταγμένες του σημείου Γ: τότε

Συντεταγμένες σημείων

Διανυσματικές συντεταγμένες

Συντεταγμένες σημείων

Διανυσματικές συντεταγμένες

Διανυσματικές συντεταγμένες

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \δεξιά) = \αριστερά| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (γ))0&0&1\end(πίνακας))\\(\αρχή(πίνακας)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Θεωρούμε το διασταυρούμενο γινόμενο μεταξύ των διανυσμάτων και

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \αριστερά| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Τώρα εξετάζουμε το μήκος του:

Απάντηση:

Τώρα προσπαθήστε να ολοκληρώσετε προσεκτικά τη δεύτερη εργασία. Η απάντηση σε αυτό θα είναι:.

Συντεταγμένες και διανύσματα. Σύντομη περιγραφή και βασικοί τύποι

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. - η αρχή του διανύσματος, - το τέλος του διανύσματος.
Το διάνυσμα συμβολίζεται με ή.

Απόλυτη τιμήδιάνυσμα - το μήκος του τμήματος που αντιπροσωπεύει το διάνυσμα. Ορίζεται ως.

Διανυσματικές συντεταγμένες:

,
πού είναι τα άκρα του διανύσματος \displaystyle a .

Άθροισμα διανυσμάτων: .

Το γινόμενο των διανυσμάτων:

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων:

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των απόλυτων τιμών τους και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

ΤΑ ΥΠΟΜΕΝΟΝΤΑ 2/3 ΑΡΘΡΩΝ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΑ ΜΟΝΟ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ YOUCLEVER!

Γίνε μαθητής του YouClever,

Προετοιμαστείτε για το OGE ή τη ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά στην τιμή του "ένα φλιτζάνι καφέ το μήνα",

Επίσης, αποκτήστε απεριόριστη πρόσβαση στο εγχειρίδιο "YouClever", το εκπαιδευτικό πρόγραμμα "100gia" (βιβλίο λύσεων), απεριόριστη δοκιμαστική χρήση και OGE, 6000 εργασίες με ανάλυση λύσεων και άλλων υπηρεσιών YouClever και 100gia.

Ένα διάνυσμα είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζεται από την αριθμητική του τιμή και κατεύθυνση. Με άλλα λόγια, ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Θέση διάνυσμαΤο ΑΒ στο χώρο δίνεται από τις συντεταγμένες του σημείου εκκίνησης διάνυσμαΑ και τελικά σημεία διάνυσμαΒ. Εξετάστε πώς να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες της μέσης διάνυσμα.

Εντολή

Αρχικά, ας ορίσουμε τη σημειογραφία της αρχής και του τέλους διάνυσμα. Εάν το διάνυσμα γράφεται ως ΑΒ, τότε το σημείο Α είναι η αρχή διάνυσμα, και το σημείο Β είναι το τέλος. Αντίθετα, για διάνυσμαΤο σημείο Β Β είναι η αρχή διάνυσμα, και το σημείο Α είναι το τέλος. Ας μας δοθεί ένα διάνυσμα ΑΒ με τις συντεταγμένες της αρχής διάνυσμα A = (a1, a2, a3) και τέλος διάνυσμα B = (b1, b2, b3). Μετά οι συντεταγμένες διάνυσμαΤο ΑΒ θα είναι το εξής: ΑΒ = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), δηλ. από την τελική συντεταγμένη διάνυσμαπρέπει να αφαιρέσετε την αντίστοιχη συντεταγμένη έναρξης διάνυσμα. Μήκος διάνυσμαΤο ΑΒ (ή ο συντελεστής του) υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου που είναι το μέσο διάνυσμα. Να το χαρακτηρίσετε με το γράμμα Ο = (o1, o2, o3). Βρείτε τις συντεταγμένες της μέσης διάνυσμαακριβώς όπως οι συντεταγμένες του μέσου ενός κανονικού τμήματος, σύμφωνα με τους ακόλουθους τύπους: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2. Ας βρούμε τις συντεταγμένες διάνυσμα AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1)/2, (b2 - a2)/2, (b3 - a3)/2).

Εξετάστε ένα παράδειγμα. Έστω το διάνυσμα ΑΒ να δίνεται με τις συντεταγμένες της αρχής διάνυσμα A = (1, 3, 5) και τέλος διάνυσμαΒ = (3, 5, 7). Μετά οι συντεταγμένες διάνυσμαΤο AB μπορεί να γραφτεί ως AB = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2). Ας βρούμε τη μονάδα διάνυσμαΑΒ: |ΑΒ| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Η τιμή μήκους του καθορισμένου διάνυσμαθα μας βοηθήσει να ελέγξουμε περαιτέρω την ορθότητα των συντεταγμένων της μέσης διάνυσμα. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου Ο: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Μετά οι συντεταγμένες διάνυσμαΤο ΑΟ υπολογίζεται ως ΑΟ = (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) = (1, 1, 1).

Ας κάνουμε έναν έλεγχο. Μήκος διάνυσμα AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3. Θυμηθείτε ότι το μήκος του πρωτοτύπου διάνυσμαισούται με 2 * ?3, δηλ. τα μισα διάνυσμαείναι πραγματικά ίσο με το μισό μήκος του πρωτοτύπου διάνυσμα. Τώρα ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες διάνυσμαΟΒ: ΟΒ = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). Ας βρούμε το άθροισμα των διανυσμάτων ΑΟ και ΟΒ: ΑΟ + ΟΒ = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = ΑΒ. Επομένως, οι συντεταγμένες της μέσης διάνυσμαβρέθηκαν σωστά.

Χρήσιμες συμβουλές

Αφού υπολογίσετε τις συντεταγμένες του μέσου του διανύσματος, φροντίστε να εκτελέσετε τουλάχιστον τον απλούστερο έλεγχο - υπολογίστε το μήκος του διανύσματος και συγκρίνετε το με το μήκος αυτού του διανύσματος.

Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου ένα εκτενές και πολυαναμενόμενο θέμα αναλυτική γεωμετρία. Πρώτον, λίγα για αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών…. Σίγουρα θυμηθήκατε τώρα το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο σφραγισμένες μαθηματικές στροφές έρχονται αμέσως στο μυαλό: «γραφική μέθοδος λύσης» και «αναλυτική μέθοδος λύσης». Γραφική μέθοδος, φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων, σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων της αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής, συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε με ακρίβεια τους απαραίτητους τύπους - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα κάνει καθόλου σχέδια χωρίς σχέδια, εξάλλου για την καλύτερη κατανόηση του υλικού θα προσπαθήσω να τα φέρω πέρα ​​από την ανάγκη.

Το ανοιχτό μάθημα των μαθημάτων στη γεωμετρία δεν ισχυρίζεται ότι είναι θεωρητική πληρότητα, επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό από πρακτική άποψη. Εάν χρειάζεστε μια πληρέστερη αναφορά σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσβάσιμη βιβλιογραφία:

1) Κάτι που, χωρίς αστείο, είναι γνωστό σε πολλές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα σχολικών αποδυτηρίων έχει ήδη αντέξει 20 (!) επανεκδόσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.

2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι λογοτεχνία για την τριτοβάθμια εκπαίδευση, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που εμφανίζονται σπάνια μπορεί να πέσουν έξω από το οπτικό μου πεδίο και φροντιστήριοθα προσφέρει πολύτιμη βοήθεια.

Και τα δύο βιβλία είναι δωρεάν για λήψη διαδικτυακά. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, που μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα ανώτερων μαθηματικών.

Από τα εργαλεία, προσφέρω και πάλι τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει σημαντικά τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με βασικές γεωμετρικές έννοιες και σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια σας επαναλήπτες)

Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Περαιτέρω προτείνω να διαβάσετε το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, καθώς Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Η τοπική εργασία δεν θα είναι περιττή - Διαίρεση του τμήματος από αυτή την άποψη. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε εξίσωση ευθείας σε επίπεδομε τα πιο απλά παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν πώς να λύνουν προβλήματα στη γεωμετρία. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα στη γραμμή και στο επίπεδο , άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.

Η έννοια του διανύσματος. ελεύθερο διάνυσμα

Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, εάν αναδιατάξετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Είναι βολικό να προσδιορίσετε την έννοια του διανύσματος με την κίνηση ενός φυσικού σώματος: πρέπει να παραδεχτείτε ότι η είσοδος στις πόρτες ενός ινστιτούτου ή η έξοδος από τις πόρτες ενός ινστιτούτου είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα.

Είναι βολικό να ληφθούν υπόψη μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου, το διάστημα ως το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα. Ένα τέτοιο διάνυσμα έχει το ίδιο τέλος και αρχή.

!!! Σημείωση: Εδώ και παρακάτω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.

Ονομασίες:Πολλοί τράβηξαν αμέσως την προσοχή σε ένα ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν ότι έβαλαν και ένα βέλος στην κορυφή! Αυτό είναι σωστό, μπορείτε να γράψετε με ένα βέλος: , αλλά παραδεκτό και εγγραφή που θα χρησιμοποιήσω αργότερα. Γιατί; Προφανώς, μια τέτοια συνήθεια έχει αναπτυχθεί από πρακτικούς λόγους, οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχθηκαν πολύ διαφορετικοί και δασύτριχοι. ΣΤΟ εκπαιδευτική βιβλιογραφίαΜερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά επισημαίνουν τα γράμματα με έντονη γραφή: , υπονοώντας έτσι ότι πρόκειται για διάνυσμα.

Αυτό ήταν το στυλ, και τώρα για τους τρόπους γραφής των διανυσμάτων:

1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα:
και τα λοιπά. Ενώ το πρώτο γράμμα αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το τελικό σημείο του διανύσματος.

2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, το διάνυσμά μας μπορεί να επανασχεδιαστεί για συντομία με ένα μικρό λατινικό γράμμα .

Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικά.

Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται με το πρόσημο του modulo: ,

Πώς να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος, θα μάθουμε (ή θα επαναλάβουμε, για ποιον πώς) λίγο αργότερα.

Αυτή ήταν στοιχειώδης πληροφορία για το διάνυσμα, γνωστή σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.

Αν είναι πολύ απλό - το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:

Παλαιότερα ονομάζαμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, αυτό είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Διότι κατά την επίλυση προβλημάτων μπορείτε να «προσαρτήσετε» το ένα ή το άλλο «σχολικό» διάνυσμα σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο ακίνητο! Φανταστείτε ένα κατευθυνόμενο τμήμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει μια τέτοια παροιμία μαθητή: Κάθε λέκτορας στο f ** u στο διάνυσμα. Εξάλλου, δεν είναι απλώς μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι σχεδόν σωστά - ένα κατευθυνόμενο τμήμα μπορεί επίσης να επισυναφθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, οι ίδιοι οι μαθητές υποφέρουν πιο συχνά =)

Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- αυτό ένα μάτσο πανομοιότυπα κατευθυντικά τμήματα. ορισμός του σχολείουδιάνυσμα, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα ...», υπονοεί ειδικόςένα κατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από ένα δεδομένο σύνολο, το οποίο είναι προσαρτημένο σε ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου ή του χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος είναι γενικά εσφαλμένη και το σημείο εφαρμογής έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο είναι αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, όχι δωρεάνδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).

Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων

Στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας εξετάζονται διάφορες ενέργειες και κανόνες με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, ο κανόνας της διαφοράς των διανυσμάτων, ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων κ.λπ.Ως σπόρος, επαναλαμβάνουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

Κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων

Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και :

Απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, αναβάλλουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα:

Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα . Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, συνιστάται να βάλετε ένα φυσικό νόημα σε αυτόν: αφήστε κάποιο σώμα να κάνει μια διαδρομή κατά μήκος του διανύσματος και μετά κατά μήκος του διανύσματος. Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει που ξεκινά από το σημείο αναχώρησης και τελειώνει στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να ακολουθήσει τον δρόμο του έντονα ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως με αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος αθροίσματος που προκύπτει.

Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από αρχήδιάνυσμα , τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.

Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, μιλάμε για παράλληλα διανύσματα. Σε σχέση όμως με αυτά χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο «συγγραμμικό».

Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συνκατευθυντική. Εάν τα βέλη κοιτάζουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετα κατευθυνόμενη.

Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο εικονίδιο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).

δουλειάενός μη μηδενικού διανύσματος από έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με μια εικόνα:

Καταλαβαίνουμε αναλυτικότερα:

1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.

2) Μήκος. Εάν ο παράγοντας περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι δύο φορές μικρότερο από το μήκος του διανύσματος. Αν ο πολλαπλασιαστής modulo είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.

3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως ένα άλλο, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Ετσι: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.

4) Τα διανύσματα είναι συμκατευθυντικά. Τα διανύσματα και είναι επίσης συμκατευθυντικά. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας είναι αντίθετο με οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.

Ποια διανύσματα είναι ίσα;

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συν-κατεύθυνση υποδηλώνει ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Ο ορισμός θα είναι ανακριβής (περιττός) αν πείτε: "Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συνκατευθυνόμενα και έχουν το ίδιο μήκος."

Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, το οποίο συζητήθηκε ήδη στην προηγούμενη παράγραφο.

Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα

Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα σε ένα επίπεδο. Σχεδιάστε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και αφήστε το στην άκρη από την αρχή μονόκλινοφορείς και:

Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Συνιστώ σιγά σιγά να συνηθίσουμε τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότητακαι ορθογωνικότητα.

Ονομασία:η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο κάθετο πρόσημο, για παράδειγμα: .

Τα θεωρούμενα διανύσματα ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Ποια είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς, πιο λεπτομερείς πληροφορίες μπορούν να βρεθούν στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση.Με απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίωσης πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.

Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: "ορθό" - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο "κανονικοποιημένο" σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.

Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟανταλλάξουμε θέσεις.

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς:
, που - αριθμοί, που ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Αλλά η ίδια η έκφραση που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάση .

Δείπνο που σερβίρεται:

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση του διανύσματος ως προς τη βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις εξετάστηκαν:
1) ο κανόνας του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .

Τώρα παραμερίστε διανοητικά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο στο επίπεδο. Είναι αρκετά προφανές ότι η διαφθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα «κουβαλάει τα πάντα μαζί σου». Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να παραμερίζονται από την προέλευση, το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει από αυτό! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, γιατί ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας βγάλει ένα "πάσο" σε ένα απροσδόκητο μέρος.

Τα διανύσματα , απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα συν-κατευθύνεται με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν, μπορεί να γραφτεί σχολαστικά ως εξής:


Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).

Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν σας είπα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι που, παρατήρησα ότι η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται ήρεμα ως άθροισμα: . Ακολουθήστε το σχέδιο για να δείτε πόσο καλά λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις περιπτώσεις.

Θεωρείται αποσύνθεση της μορφής μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή στο σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα, η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:

Ή με σύμβολο ίσον:

Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικές εργασίες, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές εγγραφής.

Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά και πάλι θα πω: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα, αυστηρά στη δεύτερη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα . Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.

Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα σκεφτείτε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, όλα είναι σχεδόν ίδια εδώ! Θα προστεθεί μόνο μία ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να εκτελέσω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα αναβάλω από την αρχή:

Οποιοςτρισδιάστατο διάνυσμα χώρου ο μόνος τρόπος επεκτείνεται σε ορθοκανονική βάση:
, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) στη δεδομένη βάση.

Παράδειγμα από την εικόνα: . Ας δούμε πώς λειτουργούν οι κανόνες διανυσματικών ενεργειών εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (ματζέντα βέλος). Δεύτερον, εδώ είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτήν την περίπτωση τριών, διανυσμάτων: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το σημείο εκκίνησης (η αρχή του διανύσματος) και καταλήγει στο τελικό σημείο άφιξης (το τέλος του διανύσματος).

Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα, προσπαθήστε να αναβάλετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η επέκτασή του «μένει μαζί του».

Ομοίως με την θήκη του αεροπλάνου, εκτός από τη γραφή εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .

Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην επέκταση, τότε τοποθετούνται μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε .

Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:

Εδώ, ίσως, βρίσκονται όλες οι ελάχιστες θεωρητικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Ίσως υπάρχουν πάρα πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό προτείνω τα ανδρείκελα να τα ξαναδιαβάσετε και να τα κατανοήσετε αυτή η πληροφορίαπάλι. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη να αναφέρεται στο βασικό μάθημα κατά καιρούς για καλύτερη αφομοίωση της ύλης. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιηθούν συχνά σε όσα ακολουθούν. Σημειώνω ότι τα υλικά του ιστότοπου δεν επαρκούν για να περάσετε ένα θεωρητικό τεστ, ένα συνέδριο για τη γεωμετρία, αφού κωδικοποιώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (εκτός από αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικού στυλ παρουσίασης, αλλά ένα συν για την κατανόησή σας του θέματος. Για λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, σας ζητώ να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.

Τώρα ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος:

Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες

Οι εργασίες που θα εξεταστούν, είναι πολύ επιθυμητό να μάθετε πώς να τις επιλύετε πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, μην το θυμάστε καν επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, αφού άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας βασίζονται στα πιο απλά στοιχειώδη παραδείγματα και θα είναι ενοχλητικό να ξοδεύετε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια. Δεν χρειάζεται να κουμπώσεις τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σου, πολλά πράγματα σου είναι γνωστά από το σχολείο.

Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες ...θα το δείτε μόνοι σας.

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα με δύο σημεία;

Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες διανυσματική έναρξη.

Το έργο:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες

Απόφαση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος συμβολισμός:

Οι αισθητικοί θα αποφασίσουν ως εξής:

Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση του δίσκου.

Απάντηση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν χρειαζόταν να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να εξηγήσω ορισμένα σημεία στα ανδρείκελα, δεν θα είμαι πολύ τεμπέλης:

Πρέπει να γίνει κατανοητό διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:

Συντεταγμένες σημείωνείναι οι συνήθεις συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν πώς να σχεδιάζουν σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων από τον βαθμό 5-6. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.

Οι συντεταγμένες του ίδιου διανύσματοςείναι η επέκτασή του ως προς τη βάση , στην προκειμένη περίπτωση . Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, εάν το επιθυμούμε ή είναι απαραίτητο, μπορούμε εύκολα να το παραμερίσουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου (για να αποφύγουμε τη σύγχυση, μετονομάζοντάς το, για παράδειγμα, μέσω ). Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα, δεν μπορείτε να δημιουργήσετε καθόλου άξονες, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση, μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.

Οι εγγραφές των σημειακών συντεταγμένων και των διανυσματικών συντεταγμένων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και αίσθηση συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το χώρο.

Κυρίες και κύριοι, γεμίζουμε τα χέρια μας:

Παράδειγμα 2

α) Δίνονται σημεία και . Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα .

Ίσως αρκετά. Αυτά είναι παραδείγματα για μια ανεξάρτητη απόφαση, προσπαθήστε να μην τα παραμελήσετε, θα αποδώσει ;-). Δεν απαιτούνται σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Τι είναι σημαντικό για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε το αριστοτεχνικό σφάλμα «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ προκαταβολικά συγγνώμη αν έκανα λάθος =)

Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;

Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.

Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική

Παράδειγμα 3

Απόφαση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο

Ενότητα - δεν είναι διάνυσμα, και δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά, φυσικά. Επιπλέον, εάν ολοκληρώσετε το σχέδιο σε κλίμακα: 1 μονάδα. \u003d 1 cm (δύο τετραδικά κελιά), τότε η απάντηση μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.

Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά υπάρχουν μερικά σημαντικά σημεία σε αυτήν που θα ήθελα να διευκρινίσω:

Αρχικά, στην απάντηση ορίσαμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, η γενική διατύπωση θα είναι μια μαθηματικά ικανή λύση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".

Δεύτερον, ας επαναλάβουμε σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για το εξεταζόμενο πρόβλημα:

δώσε προσοχή στο σημαντικό τεχνικό κόλπο – βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή από κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, πήραμε το αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Η διαδικασία φαίνεται πιο αναλυτικά ως εξής: . Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση στη φόρμα δεν θα είναι λάθος - αλλά είναι σίγουρα ένα ελάττωμα και ένα βαρύ επιχείρημα για τσιμπήματα από την πλευρά του δασκάλου.

Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις:

Συχνά ένας αρκετά μεγάλος αριθμός λαμβάνεται κάτω από τη ρίζα, για παράδειγμα. Πώς να είσαι σε τέτοιες περιπτώσεις; Στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4:. Ναι, χωρίστε εντελώς, έτσι: . Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Ετσι: . Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά είναι σαφώς αδύνατη. Προσπαθώντας να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.

Παραγωγή:αν κάτω από τη ρίζα λάβουμε έναν εντελώς μη εξαγόμενο αριθμό, τότε προσπαθούμε να βγάλουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49, και τα λοιπά.

Κατά την επίλυση διάφορων προβλημάτων, συχνά βρίσκονται ρίζες, προσπαθήστε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερη βαθμολογία και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας σύμφωνα με την παρατήρηση του δασκάλου.

Ας επαναλάβουμε τον τετραγωνισμό των ριζών και άλλων δυνάμεων ταυτόχρονα:

Οι κανόνες για ενέργειες με πτυχία σε γενική μορφή μπορούν να βρεθούν σε ένα σχολικό εγχειρίδιο για την άλγεβρα, αλλά νομίζω ότι όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα από τα παραδείγματα που δίνονται.

Εργασία για μια ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:

Παράδειγμα 4

Δεδομένα σημεία και . Βρείτε το μήκος του τμήματος.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;

Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.

Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο .

Αυτοί οι τύποι (καθώς και οι τύποι για το μήκος ενός τμήματος) προκύπτουν εύκολα χρησιμοποιώντας το περιβόητο Πυθαγόρειο θεώρημα.