Θεώρημα εμβαδού τριγώνου, θεωρήματα ημιτόνου και συνημιτόνου. Θεώρημα εμβαδού τριγώνου, θεωρήματα ημιτόνου και συνημιτόνου Ποιο είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου διαμέσου του ημιτόνου

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο των πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

Απόδειξη:

Θεωρήστε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC. Έστω πλευρά BC = a σε αυτό, πλευρά CA = b και S το εμβαδόν αυτού του τριγώνου. Είναι απαραίτητο να το αποδείξουμε S = (1/2)*a*b*sin(C).

Αρχικά, εισάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και τοποθετούμε την αρχή στο σημείο C. Ας τοποθετήσουμε το σύστημα συντεταγμένων μας έτσι ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στη θετική κατεύθυνση του άξονα Cx και το σημείο Α να έχει θετική τεταγμένη.

Εάν όλα γίνονται σωστά, θα πρέπει να λάβετε το παρακάτω σχήμα.

Το εμβαδόν ενός δεδομένου τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: S = (1/2)*a*h, όπου h το ύψος του τριγώνου. Στην περίπτωσή μας, το ύψος του τριγώνου h είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου Α, δηλαδή h \u003d b * sin (C).

Δεδομένων των αποτελεσμάτων που προέκυψαν, ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Επίλυση προβλήματος

Εργασία 1. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC αν α) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, γωνία A = 60 μοίρες β) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, γωνία B= 45 μοίρες γ ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, γωνία C = 48 μοίρες.

Σύμφωνα με το θεώρημα που αποδείχθηκε παραπάνω, το εμβαδόν S του τριγώνου ABC ισούται με:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Ας κάνουμε τους υπολογισμούς:

α) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

β) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

γ) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Υπολογίζουμε την τιμή του ημιτόνου της γωνίας σε μια αριθμομηχανή ή χρησιμοποιούμε τις τιμές από τον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών γωνιών. Απάντηση:

α) 12*√6 cm^2.

γ) περίπου 36,41 cm^2.

Πρόβλημα 2. Το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι 60 cm^2. Βρείτε την πλευρά AB εάν AC = 15 cm, γωνία A = 30˚.

Έστω S το εμβαδόν του τριγώνου ABC. Με το θεώρημα του εμβαδού του τριγώνου, έχουμε:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Αντικαταστήστε τις τιμές που έχουμε σε αυτό:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Από εδώ εκφράζουμε το μήκος της πλευράς ΑΒ: AB = (60*4)/15 = 16.

Περιοχή τριγώνου - τύποι και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παρακάτω είναι τύποι για την εύρεση του εμβαδού ενός αυθαίρετου τριγώνουπου είναι κατάλληλα για την εύρεση του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου, ανεξάρτητα από τις ιδιότητες, τις γωνίες ή τις διαστάσεις του. Οι τύποι παρουσιάζονται με τη μορφή εικόνας, εδώ υπάρχουν εξηγήσεις για την εφαρμογή ή αιτιολόγηση της ορθότητάς τους. Επίσης, ένα ξεχωριστό σχήμα δείχνει την αντιστοιχία των συμβόλων γραμμάτων στους τύπους και των γραφικών συμβόλων στο σχέδιο.

Σημείωση . Αν το τρίγωνο έχει ειδικές ιδιότητες(ισοσκελές, ορθογώνιο, ισόπλευρο), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους παρακάτω τύπους, καθώς και επιπλέον ειδικούς τύπους που ισχύουν μόνο για τρίγωνα με αυτές τις ιδιότητες:

• "Τύποι για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου"

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

Επεξηγήσεις για τύπους:
α, β, γ- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου του οποίου το εμβαδόν θέλουμε να βρούμε
r- την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο
R- την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από το τρίγωνο
η- το ύψος του τριγώνου, χαμηλωμένο στο πλάι
Π- ημιπερίμετρος τριγώνου, 1/2 του αθροίσματος των πλευρών του (περίμετρος)
α - η γωνία απέναντι από την πλευρά α του τριγώνου
β - η γωνία απέναντι από την πλευρά b του τριγώνου
γ - η γωνία απέναντι από την πλευρά c του τριγώνου
η ένα, η σι , η ντο- το ύψος του τριγώνου, χαμηλωμένο στην πλευρά a, b, c

Λάβετε υπόψη ότι η συγκεκριμένη σημείωση αντιστοιχεί στο παραπάνω σχήμα, έτσι ώστε κατά την επίλυση ενός πραγματικού προβλήματος στη γεωμετρία, θα είναι ευκολότερο για εσάς να αντικαταστήσετε οπτικά τις σωστές τιμές στις σωστές θέσεις στον τύπο.

• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό γινόμενο του ύψους ενός τριγώνου και του μήκους της πλευράς στην οποία το ύψος αυτό χαμηλώνει(Φόρμουλα 1). Η ορθότητα αυτού του τύπου μπορεί να γίνει κατανοητή λογικά. Το ύψος που χαμηλώνει στη βάση θα χωρίσει ένα αυθαίρετο τρίγωνο σε δύο ορθογώνια. Αν συμπληρώσουμε καθένα από αυτά σε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις b και h, τότε, προφανώς, το εμβαδόν αυτών των τριγώνων θα είναι ίσο με ακριβώς το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου (Spr = bh)
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό γινόμενο των δύο πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας(Τύπος 2) (δείτε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο παρακάτω). Παρά το γεγονός ότι φαίνεται διαφορετικό από το προηγούμενο, μπορεί εύκολα να μεταμορφωθεί σε αυτό. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία Β στην πλευρά b, προκύπτει ότι το γινόμενο της πλευράς α και του ημιτόνου της γωνίας γ από τις ιδιότητες του ημιτόνου σε ορθογώνιο τρίγωνοίσο με το ύψος του τριγώνου που σχεδιάσαμε, το οποίο θα μας δώσει τον προηγούμενο τύπο
• Μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου διά μέσου δουλειάτο ήμισυ της ακτίνας ενός κύκλου που εγγράφεται σε αυτό από το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του(Τύπος 3), με άλλα λόγια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη μισή περίμετρο του τριγώνου με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (είναι πιο εύκολο να θυμάστε με αυτόν τον τρόπο)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο όλων των πλευρών του με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περικλείεται γύρω του (Τύπος 4)
• Η Formula 5 βρίσκει το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς τα μήκη των πλευρών του και την ημιπερίμετρό του (το μισό άθροισμα όλων των πλευρών του)
• Η φόρμουλα του HeronΤο (6) είναι μια αναπαράσταση του ίδιου τύπου χωρίς τη χρήση της έννοιας ημιπεριμέτρου, μόνο μέσω των μήκων των πλευρών
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς του τριγώνου και των ημιτόνων των γωνιών που γειτνιάζουν με αυτήν την πλευρά διαιρούμενα με το διπλό ημίτονο της γωνίας απέναντι από αυτήν την πλευρά (Τύπος 7)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το γινόμενο δύο τετραγώνων ενός κύκλου που περικλείονται γύρω από αυτό και των ημιτόνων κάθε γωνίας του. (Φόρμουλα 8)
• Εάν το μήκος μιας πλευράς και το μέγεθος των δύο γωνιών που γειτνιάζουν με αυτήν είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το τετράγωνο αυτής της πλευράς, διαιρούμενο με το διπλό άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών γωνίες (Formula 9)
• Εάν είναι γνωστό μόνο το μήκος καθενός από τα ύψη ενός τριγώνου (Formula 10), τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου είναι αντιστρόφως ανάλογο με τα μήκη αυτών των υψών, όπως με τον τύπο του Heron
• Η Formula 11 σας επιτρέπει να υπολογίζετε εμβαδόν ενός τριγώνου σύμφωνα με τις συντεταγμένες των κορυφών του, οι οποίες δίνονται ως τιμές (x;y) για κάθε μια από τις κορυφές. Λάβετε υπόψη ότι η προκύπτουσα τιμή πρέπει να ληφθεί modulo, καθώς οι συντεταγμένες των μεμονωμένων (ή ακόμα και όλων) κορυφών μπορεί να βρίσκονται στην περιοχή των αρνητικών τιμών

Σημείωση. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στη γεωμετρία για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου. Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα στη γεωμετρία, παρόμοιο με το οποίο δεν υπάρχει εδώ - γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Σε λύσεις, αντί για το σύμβολο " Τετραγωνική ρίζα" μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση sqrt(), στην οποία sqrt είναι το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας και η ριζική έκφραση υποδεικνύεται σε αγκύλες.Μερικές φορές το σύμβολο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για απλές ριζικές εκφράσεις √

Μια εργασία. Βρείτε το εμβαδόν των δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους

Οι πλευρές του τριγώνου είναι 5 και 6 εκ. Η γωνία μεταξύ τους είναι 60 μοίρες. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Λύση.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τον τύπο δύο από το θεωρητικό μέρος του μαθήματος.
Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από τα μήκη δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους και θα είναι ίσο με
S=1/2 ab sin γ

Δεδομένου ότι έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για τη λύση (σύμφωνα με τον τύπο), μπορούμε μόνο να αντικαταστήσουμε τις τιμές από την κατάσταση του προβλήματος στον τύπο:
S=1/2*5*6*sin60

Στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, βρίσκουμε και αντικαθιστούμε στην έκφραση την τιμή του ημιτόνου 60 μοίρες. Θα είναι ίσο με τη ρίζα του τρία επί δύο.
S = 15 √3 / 2

Απάντηση: 7,5 √3 (ανάλογα με τις απαιτήσεις του δασκάλου, είναι πιθανό να αφήσετε 15 √3/2)

Μια εργασία. Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου

Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 3 cm.

Λύση .

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Από ένα \u003d b \u003d c, ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου θα έχει τη μορφή:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Απάντηση: 9 √3 / 4.

Μια εργασία. Αλλαγή στην περιοχή κατά την αλλαγή του μήκους των πλευρών

Πόσες φορές θα αυξηθεί το εμβαδόν ενός τριγώνου αν τετραπλασιαστούν οι πλευρές;

Λύση.

Εφόσον δεν γνωρίζουμε τις διαστάσεις των πλευρών του τριγώνου, για να λύσουμε το πρόβλημα θα υποθέσουμε ότι τα μήκη των πλευρών είναι αντίστοιχα ίσα με αυθαίρετους αριθμούς a, b, c. Στη συνέχεια, για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, βρίσκουμε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου και μετά βρίσκουμε το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερες. Η αναλογία των εμβαδών αυτών των τριγώνων θα μας δώσει την απάντηση στο πρόβλημα.

Στη συνέχεια, δίνουμε μια επεξήγηση κειμένου της λύσης του προβλήματος σε βήματα. Ωστόσο, στο τέλος, η ίδια λύση παρουσιάζεται σε μια γραφική μορφή που είναι πιο βολική για την αντίληψη. Όσοι επιθυμούν μπορούν να ρίξουν αμέσως τη λύση.

Για να λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο Heron (βλ. παραπάνω στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος). Μοιάζει με αυτό:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πρώτη γραμμή της εικόνας παρακάτω)

Τα μήκη των πλευρών ενός αυθαίρετου τριγώνου δίνονται από τις μεταβλητές a, b, c.
Εάν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές, τότε το εμβαδόν του νέου τριγώνου c θα είναι:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(δείτε τη δεύτερη γραμμή στην παρακάτω εικόνα)

Όπως μπορείτε να δείτε, το 4 είναι ένας κοινός παράγοντας που μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες και από τις τέσσερις εκφράσεις σύμφωνα με γενικοί κανόνεςμαθηματικά.
Επειτα

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - στην τρίτη γραμμή της εικόνας
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - τέταρτη γραμμή

Από τον αριθμό 256 εξάγεται τέλεια η τετραγωνική ρίζα, οπότε θα την βγάλουμε κάτω από τη ρίζα
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πέμπτη γραμμή του παρακάτω σχήματος)

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση που τίθεται στο πρόβλημα, αρκεί να διαιρέσουμε την περιοχή του τριγώνου που προκύπτει με την περιοχή του αρχικού.
Καθορίζουμε τους λόγους εμβαδών διαιρώντας τις εκφράσεις μεταξύ τους και μειώνοντας το κλάσμα που προκύπτει.

Θεώρημα εμβαδού τριγώνου

Θεώρημα 1

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου δύο πλευρών επί του ημιτόνου της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα αυθαίρετο τρίγωνο $ABC$. Ας υποδηλώσουμε τα μήκη των πλευρών αυτού του τριγώνου ως $BC=a$, $AC=b$. Ας εισαγάγουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, έτσι ώστε το σημείο $C=(0,0)$, το σημείο $B$ να βρίσκεται στον δεξιό ημιάξονα $Ox$ και το σημείο $A$ να βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο συντεταγμένων. Σχεδιάστε ύψος $h$ από το σημείο $A$ (Εικ. 1).

Εικόνα 1. Απεικόνιση του Θεωρήματος 1

Επομένως, το ύψος $h$ είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου $A$

Θεώρημα ημιτόνου

Θεώρημα 2

Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες με τα ημίτονο των απέναντι γωνιών.

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα αυθαίρετο τρίγωνο $ABC$. Ας υποδηλώσουμε τα μήκη των πλευρών αυτού του τριγώνου ως $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (Εικ. 2).

Σχήμα 2.

Ας το αποδείξουμε

Με το Θεώρημα 1, έχουμε

Εξισώνοντάς τα σε ζευγάρια, το καταλαβαίνουμε

Θεώρημα συνημιτονίου

Θεώρημα 3

Τριγωνική πλευρά τετράγωνο ισούται με το άθροισματετράγωνα των άλλων δύο πλευρών του τριγώνου χωρίς να διπλασιαστεί το γινόμενο αυτών των πλευρών με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα αυθαίρετο τρίγωνο $ABC$. Να χαρακτηρίσετε τα μήκη των πλευρών του ως $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Ας εισαγάγουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε το σημείο $A=(0,0)$, το σημείο $B$ να βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα $Ox$ και το σημείο $C$ να βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο συντεταγμένων (Εικ. 3).

Εικόνα 3

Ας το αποδείξουμε

Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων, το παίρνουμε αυτό

Βρείτε το μήκος της πλευράς $BC$ χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ των σημείων

Ένα παράδειγμα προβλήματος που χρησιμοποιεί αυτά τα θεωρήματα

Παράδειγμα 1

Να αποδείξετε ότι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι ίση με τον λόγο οποιασδήποτε πλευράς του τριγώνου προς το ημίτονο της γωνίας απέναντι από αυτήν την πλευρά.

Λύση.

Ας μας δοθεί ένα αυθαίρετο τρίγωνο $ABC$. $R$ - ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Σχεδιάστε τη διάμετρο $BD$ (Εικ. 4).

Εάν στο πρόβλημα δίνονται τα μήκη των δύο πλευρών ενός τριγώνου και η γωνία μεταξύ τους, τότε μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο για την περιοχή του τριγώνου μέσω του ημιτονοειδούς.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το ημίτονο. Δίνονται πλευρές a = 3, b = 4, και γωνία γ= 30°. Το ημίτονο γωνίας 30° είναι 0,5

Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι 3 τετρ. εκ.

Το εμβαδόν θα είναι ίσο με το μισό του τετραγώνου της πλευράς πολλαπλασιαζόμενο με το κλάσμα. Στον αριθμητή του είναι το γινόμενο των ημιτόνων των διπλανών γωνιών και στον παρονομαστή το ημίτονο της αντίθετης γωνίας. Τώρα υπολογίζουμε το εμβαδόν χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους:

Για παράδειγμα, δίνεται ένα τρίγωνο με πλευρά a=3 και γωνίες γ=60°, β=60°. Υπολογίστε την τρίτη γωνία:
Αντικατάσταση των δεδομένων στον τύπο
Παίρνουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι 3,87 τετραγωνικά μέτρα. εκ.

II. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς το συνημίτονο

Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε τα μήκη όλων των πλευρών. Με το θεώρημα του συνημιτόνου, μπορείτε να βρείτε άγνωστες πλευρές και μόνο τότε να χρησιμοποιήσετε .
Σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων, το τετράγωνο της άγνωστης πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των υπόλοιπων πλευρών μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

Από το θεώρημα εξάγουμε τύπους για την εύρεση του μήκους της άγνωστης πλευράς:

Γνωρίζοντας πώς να βρείτε την πλευρά που λείπει, έχοντας δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την περιοχή. Η φόρμουλα για το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς το συνημίτονο σας βοηθά να βρείτε γρήγορα και εύκολα μια λύση σε διάφορα προβλήματα.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού του τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου μέσω συνημιτόνου
Δίνεται τρίγωνο με γνωστά κόμματα a = 3, b = 4, και γωνία γ= 45°. Ας βρούμε πρώτα το μέρος που λείπει. Με. Κατά συνημίτονο 45°=0,7. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τα δεδομένα στην εξίσωση που προκύπτει από το θεώρημα του συνημιτόνου.
Τώρα χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρίσκουμε