Ένα παραλληλόγραμμο είναι το μισό του γινόμενου των διαγωνίων του. Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

Θεώρημα 1.Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων του και του ύψους:

Θεώρημα 2.Οι διαγώνιοι ενός τραπεζίου το χωρίζουν σε τέσσερα τρίγωνα, δύο από τα οποία είναι παρόμοια και τα άλλα δύο έχουν το ίδιο εμβαδόν:

Θεώρημα 3.Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο της βάσης και το ύψος που έχει χαμηλώσει στη δεδομένη βάση ή το γινόμενο των δύο πλευρών και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας:

Θεώρημα 4.Σε ένα παραλληλόγραμμο, το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του:

Θεώρημα 5.Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου κυρτού τετράπλευρου είναι ίσο με το μισό γινόμενο των διαγωνίων του και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους:

Θεώρημα 6.Το εμβαδόν ενός τετράπλευρου που περικλείεται γύρω από έναν κύκλο είναι ίσο με το γινόμενο της ημιπεριμέτρου αυτού του τετράπλευρου και την ακτίνα του δεδομένου κύκλου:

Θεώρημα 7.Ένα τετράπλευρο του οποίου οι κορυφές είναι τα μέσα των πλευρών ενός αυθαίρετου κυρτού τετράπλευρου είναι ένα παραλληλόγραμμο του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του αρχικού τετράπλευρου:

Θεώρημα 8.Εάν οι διαγώνιοι ενός κυρτού τετράπλευρου είναι αμοιβαία κάθετες, τότε τα άθροισμα των τετραγώνων των απέναντι πλευρών αυτού του τετράπλευρου είναι:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Το άρθρο δημοσιεύτηκε με την υποστήριξη της εταιρείας «DKROST». Διαφάνειες για παιδιά, σπίτια, κουτιά άμμου και πολλά άλλα - κατασκευή και πώληση παιδικών χαρών χονδρικής και λιανικής. Οι χαμηλότερες τιμές, εκπτώσεις, σύντομοι χρόνοι παραγωγής, αναχώρηση και συνεννόηση ειδικού, διασφάλιση ποιότητας. Μπορείτε να μάθετε περισσότερα για την εταιρεία, να δείτε τον κατάλογο προϊόντων, τις τιμές και τις επαφές στον ιστότοπο, ο οποίος βρίσκεται στη διεύθυνση: http://dkrost.ru/.

Αποδείξεις ορισμένων θεωρημάτων

Απόδειξη του Θεωρήματος 2. Έστω ABCD ένα δεδομένο τραπεζοειδές, AD και BC οι βάσεις του, O το σημείο τομής των διαγωνίων AC και BD αυτού του τραπεζοειδούς. Ας αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα AOB και COD έχουν το ίδιο εμβαδόν. Για να γίνει αυτό, ας ρίξουμε τις κάθετες BP και CQ από τα σημεία B και C στην ευθεία AD. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου ABD είναι

Και το εμβαδόν του τριγώνου ACD είναι

Αφού BP = CQ, τότε S∆ABD = S∆ACD . Αλλά η περιοχή του τριγώνου AOB είναι η διαφορά μεταξύ των περιοχών των τριγώνων ABD και AOD και η περιοχή του τριγώνου COD είναι η διαφορά μεταξύ των περιοχών των τριγώνων ACD και AOD. Επομένως, τα εμβαδά των τριγώνων AOB και COD είναι ίσα, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Απόδειξη του Θεωρήματος 4. Έστω ABCD παραλληλόγραμμο, AB = CD = ένα, μ.Χ. = π.Χ. = β,
AC = d1 , BD = d2 , ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα συνημιτόνου στο τρίγωνο ABD:

Εφαρμόζοντας τώρα το θεώρημα συνημιτόνου στο τρίγωνο ACD, έχουμε:

Προσθέτοντας ισότητες όρων προς όρο, παίρνουμε αυτό Q.E.D.

Απόδειξη του Θεωρήματος 5. Έστω ABCD ένα αυθαίρετο κυρτό τετράγωνο, E το σημείο τομής των διαγωνίων του, AE = ένα, BE = β,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Εχουμε:

Q.E.D.

Απόδειξη του Θεωρήματος 6. Έστω ABCD ένα αυθαίρετο τετράπλευρο περιγεγραμμένο γύρω από έναν κύκλο, O είναι το κέντρο αυτού του κύκλου, OK, OL, OM και ON είναι οι κάθετοι που έπεσαν από το σημείο O στις ευθείες AB, BC, CD και AD, αντίστοιχα. Εχουμε:

όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου και p η ημιπερίμετρος του τετράπλευρου ABCD.

Απόδειξη του Θεωρήματος 7. Έστω ABCD ένα αυθαίρετο κυρτό τετράπλευρο, K, L, M και N είναι τα μέσα των πλευρών AB, BC, CD και AD, αντίστοιχα. Εφόσον η KL είναι η μέση του τριγώνου ABC, η ευθεία KL είναι παράλληλη με την ευθεία AC και Ομοίως, η ευθεία MN είναι παράλληλη με την ευθεία AC και επομένως, η KLMN είναι παραλληλόγραμμο. Θεωρήστε το τρίγωνο KBL. Το εμβαδόν του είναι ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ABC. Το εμβαδόν του τριγώνου MDN είναι επίσης ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ACD. Συνεπώς,

Επίσης,

Αυτό σημαίνει ότι

απ' όπου προκύπτει ότι

Απόδειξη του Θεωρήματος 8. Έστω ABCD ένα αυθαίρετο κυρτό τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοι είναι αμοιβαία κάθετες, έστω E το σημείο τομής των διαγωνίων του,
ΑΕ= ένα, BE = b, CE = c, DE = d. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ABE και CDE:
AB2=AE2+BE2= ένα 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
Συνεπώς,
AB2+CD2= ένα 2 + b2 + c2 + d2 .
Εφαρμόζοντας τώρα το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ADE και BCE, παίρνουμε:
AD2=AE2+DE2= ένα 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
απ' όπου προκύπτει ότι
AD2+BC2= ένα 2 + b2 + c2 + d2 .
Ως εκ τούτου, AB2 + CD2 = AD2 + BC2, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Επίλυση προβλήματος

Εργασία 1. Ένα τραπεζοειδές περιγράφεται κοντά στον κύκλο με γωνίες βάσης α και β. Βρείτε την αναλογία του εμβαδού του τραπεζοειδούς προς την περιοχή του κύκλου.

Λύση. Έστω ABCD ένα δεδομένο τραπέζιο, AB και CD οι βάσεις του, DK και CM οι κάθετοι έπεσαν από τα σημεία C και D στην ευθεία AB. Η επιθυμητή αναλογία δεν εξαρτάται από την ακτίνα του κύκλου. Επομένως, υποθέτουμε ότι η ακτίνα είναι 1. Τότε η περιοχή του κύκλου είναι π, βρίσκουμε την περιοχή του τραπεζοειδούς. Εφόσον το τρίγωνο ADK είναι ορθογώνιο,

Παρομοίως, από ένα ορθογώνιο τρίγωνο BCM βρίσκουμε ότι εφόσον ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα δεδομένο τραπέζιο, τότε τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα:
AB + CD = AD + BC,
που βρίσκουμε

Άρα η περιοχή του τραπεζοειδούς είναι

και η επιθυμητή αναλογία είναι
Απάντηση:

Εργασία 2. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD, η γωνία Α είναι 90° και η γωνία Γ δεν υπερβαίνει τις 90°. Οι κάθετες BE και DF απορρίπτονται από τις κορυφές B και D στη διαγώνιο AC. Είναι γνωστό ότι AE = CF. Να αποδείξετε ότι η γωνία C είναι ορθή.

Απόδειξη. Επειδή η γωνία Α είναι 90°,
και η γωνία C δεν υπερβαίνει τις 90°, τότε τα σημεία E και F βρίσκονται στη διαγώνιο AC. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η Α.Ε< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι α + β + γ + δ = π. Επειδή

απ' όπου παίρνουμε αυτό που έπρεπε να αποδειχτεί.

Εργασία 3. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς περιγεγραμμένου σε κύκλο είναι p. Να βρείτε την ακτίνα αυτού του κύκλου αν είναι γνωστό ότι η οξεία γωνία στη βάση του τραπεζοειδούς είναι α.
Λύση. Έστω ABCD ένα δεδομένο ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις AD και BC, έστω BH το ύψος αυτού του τραπεζοειδούς από την κορυφή Β.
Εφόσον ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα δεδομένο τραπεζοειδές, τότε

Συνεπώς,

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABH βρίσκουμε,

Απάντηση:

Εργασία 4. Δίνεται τραπεζοειδές ΑΒΓΔ με βάσεις AD και BC. Οι διαγώνιες AC και BD τέμνονται στο σημείο O και οι ευθείες AB και CD τέμνονται στο σημείο K. Η ευθεία KO τέμνει τις πλευρές BC και AD στα σημεία M και N, αντίστοιχα, και η γωνία BAD είναι 30°. Είναι γνωστό ότι ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στα τραπεζοειδή ABMN και NMCD. Βρείτε τον λόγο εμβαδών τριγώνου BKC και τραπεζοειδούς ABCD.

Λύση. Όπως γνωρίζετε, για ένα αυθαίρετο τραπέζιο, η γραμμή που συνδέει το σημείο τομής των διαγωνίων και το σημείο τομής των επεκτάσεων των πλευρικών πλευρών χωρίζει κάθε μία από τις βάσεις στο μισό. Άρα BM = MC και AN = ND. Επιπλέον, δεδομένου ότι ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στα τραπεζοειδή ABMN και NMCD, τότε
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Από αυτό προκύπτει ότι ΑΒ = ΓΔ, δηλαδή το τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές. Η επιθυμητή αναλογία επιφάνειας δεν εξαρτάται από την κλίμακα, επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι KN = x, KM = 1. Από ορθογώνια τρίγωνα AKN και BKM παίρνουμε ότι γράφοντας ξανά τη σχέση που χρησιμοποιήθηκε ήδη παραπάνω
BM + AN = AB + MN ⇔

Πρέπει να υπολογίσουμε την αναλογία:

Εδώ χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι τα εμβαδά των τριγώνων AKD και BKC συσχετίζονται ως τα τετράγωνα των πλευρών KN και KM, δηλαδή ως x2.

Απάντηση:

Εργασία 5.Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD, τα σημεία E, F, H, G είναι τα μέσα των πλευρών AB, BC, CD, DA, αντίστοιχα, και O είναι το σημείο τομής των τμημάτων EH και FG. Είναι γνωστό ότι EH = ένα, FG = b, Να βρείτε τα μήκη των διαγωνίων του τετράπλευρου.

Λύση. Είναι γνωστό ότι αν συνδέσετε σε σειρά τα μέσα των πλευρών ενός αυθαίρετου τετράπλευρου, θα έχετε ένα παραλληλόγραμμο. Στην περίπτωσή μας το EFHG είναι παραλληλόγραμμο και το Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Επειτα

Εφαρμόστε το θεώρημα συνημιτόνου στο τρίγωνο FOH:

Αφού το FH είναι η μέση γραμμή του τριγώνου BCD, τότε

Ομοίως, εφαρμόζοντας το θεώρημα του συνημιτόνου στο τρίγωνο EFO, παίρνουμε αυτό

Απάντηση:

Εργασία 6.Οι πλευρές ενός τραπεζοειδούς είναι 3 και 5. Είναι γνωστό ότι ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπεζοειδές. ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτραπεζοειδές το χωρίζει σε δύο μέρη, ο λόγος των εμβαδών των οποίων είναι ίσος με Βρείτε τις βάσεις του τραπεζοειδούς.

Λύση. Έστω ABCD ένα δεδομένο τραπέζιο, AB = 3 και CD = 5 - οι πλευρές του, τα σημεία K και M - τα μέσα των πλευρών AB και CD, αντίστοιχα. Έστω, για βεβαιότητα, AD > BC, τότε η περιοχή του τραπεζοειδούς AKMD θα είναι μεγαλύτερη από την περιοχή του τραπεζοειδούς KBCM. Δεδομένου ότι το KM είναι η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς ABCD, τα τραπεζοειδή AKMD και KBCM έχουν ίσα ύψη. Εφόσον το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

Περαιτέρω, εφόσον ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στο τραπέζιο ABCD, τότε AD + BC = AB + CD = 8. Στη συνέχεια, KM = 4 ως η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς ABCD. Έστω BC = x, τότε AD = 8 - x. Εχουμε:
Άρα π.Χ. = 1 και μ.Χ. = 7.

Απάντηση: 1 και 7.

Εργασία 7. Η βάση ΑΒ του τραπεζοειδούς ABCD είναι διπλάσια από τη βάση CD και διπλάσια από την πλευρική πλευρά AD. Το μήκος της διαγώνιας AC είναι ένα, και το μήκος της πλευρικής πλευράς BC είναι ίσο με b. Βρείτε την περιοχή του τραπεζοειδούς.

Λύση. Έστω E το σημείο τομής των προεκτάσεων των πλευρών του τραπεζοειδούς και CD = x, τότε AD = x, AB = 2x. Το τμήμα CD είναι παράλληλο στο τμήμα AB και δύο φορές μικρότερο, επομένως το CD είναι η μέση γραμμή του τριγώνου ABE. Επομένως, CE = BC = b και DE = AD = x, από όπου AE = 2x. Άρα το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές (AB = AE) και το AC είναι η διάμεσος του. Επομένως, AC είναι επίσης το ύψος αυτού του τριγώνου, και ως εκ τούτου

Αφού το τρίγωνο DEC είναι παρόμοιο με το τρίγωνο AEB με συντελεστή ομοιότητας, τότε

Απάντηση:

Εργασία 8. Οι διαγώνιοι του τραπεζοειδούς ABCD τέμνονται στο σημείο Ε. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου BCE εάν τα μήκη των βάσεων του τραπεζοειδούς είναι AB = 30, DC = 24, τα μήκη πλευρών AD = 3 και η γωνία DAB είναι 60 °.

Λύση. Έστω DH το ύψος του τραπεζοειδούς. Από το τρίγωνο ADH βρίσκουμε ότι

Δεδομένου ότι το ύψος του τριγώνου ABC, που έπεσε από την κορυφή C, είναι ίσο με το ύψος DH του τραπεζοειδούς, έχουμε:

Απάντηση:

Εργασία 9. Σε ένα τραπεζοειδές, η μέση γραμμή είναι 4 και οι γωνίες σε μία από τις βάσεις είναι 40° και 50°. Βρείτε τις βάσεις του τραπεζοειδούς αν το τμήμα που συνδέει τα μέσα των βάσεων είναι 1.

Λύση. Έστω ABCD ένα δεδομένο τραπέζιο, AB και CD οι βάσεις του (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Ας επεκτείνουμε τις πλευρές DA και CB στη τομή στο σημείο E. Θεωρούμε το τρίγωνο ABE, όπου ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
επομένως ∠AEB = 90°. Διάμεσος EM αυτού του τριγώνου που προέρχεται από την κορυφή ορθή γωνία, ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας: ΕΜ = ΑΜ. Έστω EM = x, μετά AM = x, DN = 4 – x. Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος MN = 1, επομένως,
ΕΝ = x + 1. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΕΜ και ΔΕΝ έχουμε:

Αυτό σημαίνει ότι AB = 3 και CD = 5.

Απάντηση: 3 και 5.

Εργασία 10. Ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ περιγράφεται γύρω από κύκλο με κέντρο στο σημείο Ο, ενώ ΑΟ = OC = 1, ΒΟ = ΟΔ = 2. Βρείτε την περίμετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

Λύση. Έστω K, L, M, N τα σημεία εφαπτομένης του κύκλου με τις πλευρές AB, BC, CD, DA, αντίστοιχα, r - η ακτίνα του κύκλου. Εφόσον η εφαπτομένη στον κύκλο είναι κάθετη στην ακτίνα που σύρεται στο σημείο επαφής, τα τρίγωνα AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO είναι ορθογώνια. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε αυτά τα τρίγωνα, παίρνουμε ότι

Επομένως, AB = BC = CD = DA, δηλαδή το ABCD είναι ρόμβος. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες μεταξύ τους και το σημείο τομής τους είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Από εδώ βρίσκουμε εύκολα ότι η πλευρά του ρόμβου είναι ίση και, επομένως, η περίμετρος του ρόμβου είναι ίση με

Απάντηση:

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

Γ-1.Ένα ισοσκελές τραπέζιο ABCD περιβάλλεται γύρω από έναν κύκλο ακτίνας r. Έστω Ε και Κ τα σημεία εφαπτομένης αυτού του κύκλου με τις πλευρές του τραπεζίου. Η γωνία μεταξύ της βάσης ΑΒ και της πλευράς ΑΔ του τραπεζοειδούς είναι 60°. Να αποδείξετε ότι το ΕΚ είναι παράλληλο με το ΑΒ και να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς ΑΒΕΚ.
Γ-2.Σε ένα τραπεζοειδές, οι διαγώνιοι είναι 3 και 5 και το τμήμα που συνδέει τα μεσαία σημεία των βάσεων είναι 2. Βρείτε την περιοχή του τραπεζοειδούς.
Γ-3. Είναι δυνατόν να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από το τετράπλευρο ABCD εάν ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6;
Γ-4.Στο τραπεζοειδές ABCD (το AB είναι η βάση), οι τιμές των γωνιών DAB, BCD, ADC, ABD και ADB σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο (με τη σειρά με την οποία γράφονται). Να βρείτε την απόσταση από την κορυφή C έως τη διαγώνιο BD αν το ύψος του τραπεζοειδούς είναι h.
Γ-5.Δίνεται ένα ισοσκελές τραπεζοειδές στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος και γύρω από τον οποίο περιγράφεται ένας κύκλος. Ο λόγος του ύψους του τραπεζοειδούς προς την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι Βρείτε τις γωνίες του τραπεζοειδούς.
Γ-6.Το εμβαδόν του ορθογωνίου ABCD είναι 48 και το μήκος της διαγωνίου είναι 10. Στο επίπεδο στο οποίο βρίσκεται το ορθογώνιο, επιλέγεται ένα σημείο Ο έτσι ώστε OB = OD = 13. Βρείτε την απόσταση από το σημείο Ο στην κορυφή του ορθογωνίου που βρίσκεται πιο μακριά από αυτό.
Γ-7. Η περίμετρος του παραλληλογράμμου ABCD είναι 26. Η γωνία ABC είναι 120°. Η ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου στο τρίγωνο BCD είναι Βρείτε τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου αν είναι γνωστό ότι ΑΔ > ΑΒ.
Γ-8.Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο στο σημείο Ο. Η ακτίνα ΟΑ είναι κάθετη στην ακτίνα OB και η ακτίνα OC είναι κάθετη στην ακτίνα OD. Το μήκος της καθέτου που έπεσε από το σημείο C στην ευθεία AD είναι 9. Το μήκος του τμήματος BC είναι το μισό του μήκους του τμήματος AD. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου AOB.
Γ-9.Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD, οι κορυφές A και C είναι απέναντι και το μήκος της πλευράς AB είναι 3. Γωνία ABC ισούται με τη γωνίαΤο BCD είναι Βρείτε το μήκος της πλευράς AD εάν είναι γνωστό ότι είναι το εμβαδόν του τετράπλευρου

Γ-10.Το κυρτό τετράπλευρο ABCD έχει διαγώνιες AC και BD. Είναι γνωστό ότι
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, και η απόσταση μεταξύ του σημείου τομής των διχοτόμων του τριγώνου ABD και του σημείου τομής των διχοτόμων του τριγώνου ACD είναι Βρείτε το μήκος της πλευράς BC.
Γ-11.Έστω M το σημείο τομής των διαγωνίων ενός κυρτού τετράπλευρου ABCD, στο οποίο οι πλευρές AB, AD και BC είναι ίσες. Βρείτε τη γωνία CMD αν είναι γνωστό ότι DM = MC,
και ∠CAB ≠ ∠DBA.
Γ-12.Στο τετράπλευρο ABCD, γνωρίζουμε ότι ∠A = 74°, ∠D = 120°. Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διχοτόμων των γωνιών Β και Γ.
Γ-13.Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε τετράπλευρο ABCD. Έστω Κ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Είναι γνωστό ότι AB > BC > KC και η περίμετρος και το εμβαδόν του τριγώνου BKC είναι 14 και 7, αντίστοιχα. Βρείτε DC.
Γ-14.Σε ένα τραπεζοειδές περιγεγραμμένο γύρω από έναν κύκλο, είναι γνωστό ότι π.Χ. μ.Χ., ΑΒ = ΓΔ, ∠ΒΑΔ =
= 45°. Βρείτε το AB εάν το εμβαδόν του τραπεζοειδούς ABCD είναι 10.
Γ-15.Στο τραπεζοειδές ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ είναι γνωστό ότι ∠CAB = 2∠DBA. Βρείτε την περιοχή του τραπεζοειδούς.
Γ-16.Στο παραλληλόγραμμο ABCD γνωρίζουμε ότι AC = ένα, ∠CAB = 60°. Βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.
S-17. Στο τετράπλευρο ABCD, οι διαγώνιοι AC και BD τέμνονται στο σημείο K. Τα σημεία L και M είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών BC και AD. Το τμήμα LM περιέχει το σημείο Κ. Το τετράπλευρο ABCD είναι τέτοιο ώστε να μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος σε αυτό. Να βρείτε την ακτίνα αυτού του κύκλου αν AB=3 και LK:KM=1:3.
Γ-18.Το κυρτό τετράπλευρο ABCD έχει διαγώνιες AC και BD. Σε αυτή την περίπτωση, ∠BAC =
= ∠BDC, και το εμβαδόν του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο BDC είναι ίσο με
α) Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται στο τρίγωνο ΑΒΓ.
β) Γνωρίζοντας ότι BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου ABCD.

Κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα, επιπλέον βασικές ιδιότητες παραλληλόγραμμοκαι τους αντίστοιχους τύπους, μπορείτε να θυμάστε και να εφαρμόσετε τα ακόλουθα:

1. Η διχοτόμος της εσωτερικής γωνίας ενός παραλληλογράμμου αποκόπτει ένα ισοσκελές τρίγωνο από αυτό
2. Οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών που γειτνιάζουν με μία από τις πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι αμοιβαία κάθετες
3. Διχοτόμοι που προέρχονται από αντίθετες εσωτερικές γωνίες παραλληλογράμμου, παράλληλες μεταξύ τους ή βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή
4. Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του
5. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι το μισό του γινόμενου των διαγωνίων επί το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

Ας εξετάσουμε τις εργασίες στη λύση των οποίων χρησιμοποιούνται αυτές οι ιδιότητες.

Εργασία 1.

Η διχοτόμος της γωνίας C του παραλληλογράμμου ABCD τέμνει την πλευρά AD στο σημείο M και τη συνέχεια της πλευράς AB πέρα ​​από το σημείο Α στο σημείο E. Βρείτε την περίμετρο του παραλληλογράμμου εάν AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Λύση.

1. Τρίγωνο CMD ισοσκελές. (Ακίνητο 1). Επομένως, CD = MD = 3 cm.

2. Το τρίγωνο ΕΑΜ είναι ισοσκελές.
Επομένως, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Περίμετρος ΑΒΓΔ = 20 cm.

Απάντηση. 20 εκ

Εργασία 2.

Οι διαγώνιοι σχεδιάζονται σε ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD. Είναι γνωστό ότι τα εμβαδά των τριγώνων ABD, ACD, BCD είναι ίσα. Να αποδείξετε ότι το δοσμένο τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Λύση.

1. Έστω BE το ύψος του τριγώνου ABD, CF το ύψος του τριγώνου ACD. Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, τα εμβαδά των τριγώνων είναι ίσα και έχουν κοινή βάση ΑΔ, τότε τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα. BE = CF.

2. ΒΕ, ΚΦ είναι κάθετα στην ΑΔ. Τα σημεία Β και Γ βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας ΑΔ. BE = CF. Επομένως, η γραμμή BC || ΕΝΑ Δ. (*)

3. Έστω AL το υψόμετρο τριγώνου ACD, BK το υψόμετρο τριγώνου BCD. Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, τα εμβαδά των τριγώνων είναι ίσα και έχουν κοινή βάση CD, τότε τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα. AL = ΒΚ.

4. Το AL και το BK είναι κάθετα στο CD. Τα σημεία Β και Α βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας γραμμής CD. AL = ΒΚ. Επομένως, η γραμμή AB || CD (**)

5. Οι συνθήκες (*), (**) υποδηλώνουν ότι το ABCD είναι παραλληλόγραμμο.

Απάντηση. Αποδεδειγμένος. Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο.

Εργασία 3.

Στις πλευρές BC και CD του παραλληλογράμμου ABCD σημειώνονται τα σημεία M και H, αντίστοιχα, έτσι ώστε τα τμήματα BM και HD να τέμνονται στο σημείο O.<ВМD = 95 о,

Λύση.

1. Στο τρίγωνο DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο DHC
(

Επειτα<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Δεδομένου ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το σκέλος που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30 o είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας).

Αλλά CD = AB. Τότε AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Απάντηση: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Εργασία 4.

Μία από τις διαγώνιους ενός παραλληλογράμμου μήκους 4√6 σχηματίζει γωνία 60° με τη βάση και η δεύτερη διαγώνιος σχηματίζει γωνία 45° με την ίδια βάση. Βρείτε τη δεύτερη διαγώνιο.

Λύση.

1. AO = 2√6.

2. Εφαρμόστε το ημιτονικό θεώρημα στο τρίγωνο AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Απάντηση: 12.

Εργασία 5.

Για παραλληλόγραμμο με πλευρές 5√2 και 7√2, η μικρότερη γωνία μεταξύ των διαγωνίων είναι ίση με τη μικρότερη γωνία του παραλληλογράμμου. Να βρείτε το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων.

Λύση.

Έστω d 1, d 2 οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου και η γωνία μεταξύ των διαγωνίων και της μικρότερης γωνίας του παραλληλογράμμου είναι φ.

1. Ας μετρήσουμε δύο διαφορετικά
τρόπους της περιοχής του.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Λαμβάνουμε την ισότητα 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Χρησιμοποιώντας τον λόγο μεταξύ των πλευρών και των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, γράφουμε την ισότητα

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Ας φτιάξουμε ένα σύστημα:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος επί 2 και προσθέστε την στην πρώτη.

Παίρνουμε (d 1 + d 2) 2 = 576. Επομένως Id 1 + d 2 I = 24.

Επειδή τα d 1, d 2 είναι τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, τότε d 1 + d 2 = 24.

Απάντηση: 24.

Εργασία 6.

Οι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι 4 και 6. Η οξεία γωνία μεταξύ των διαγωνίων είναι 45 ο. Βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.

Λύση.

1. Από το τρίγωνο ΑΟΒ, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, γράφουμε τη σχέση μεταξύ της πλευράς του παραλληλογράμμου και των διαγωνίων.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Ομοίως γράφουμε τη σχέση για το τρίγωνο ΑΟΔ.

Το λαμβάνουμε υπόψη<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Παίρνουμε την εξίσωση d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Έχουμε σύστημα
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Αφαιρώντας την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε 2d 1 d 2 √2 = 80 ή

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Σημείωση:Σε αυτό και στο προηγούμενο πρόβλημα, δεν χρειάζεται να λυθεί πλήρως το σύστημα, προβλέποντας ότι σε αυτό το πρόβλημα χρειαζόμαστε το γινόμενο των διαγωνίων για να υπολογίσουμε το εμβαδόν.

Απάντηση: 10.

Εργασία 7.

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι 96 και οι πλευρές του είναι 8 και 15. Βρείτε το τετράγωνο της μικρότερης διαγωνίου.

Λύση.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στον τύπο.

Παίρνουμε 96 = 8 15 sin VAD. Ως εκ τούτου αμαρτία VAD = 4/5.

2. Βρείτε cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, βρίσκουμε το μήκος της μικρότερης διαγωνίου. Η διαγώνιος BD θα είναι μικρότερη εάν η γωνία BAD είναι οξεία. Τότε cos BAD = 3 / 5.

3. Από το τρίγωνο ΑΒΔ, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, βρίσκουμε το τετράγωνο της διαγωνίου ΒΔ.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Απάντηση: 145.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο της πλευράς του και το ύψος που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά.

Απόδειξη

Αν το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο, τότε η ισότητα ικανοποιείται από το θεώρημα του εμβαδού του ορθογωνίου. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι οι γωνίες του παραλληλογράμμου δεν είναι σωστές.

Έστω $\γωνία BAD$ οξεία γωνία σε παραλληλόγραμμο $ABCD$ και $AD > AB$. Διαφορετικά, θα μετονομάσουμε τις κορυφές. Τότε το ύψος $BH$ από την κορυφή $B$ στη γραμμή $AD$ πέφτει στην πλευρά $AD$, αφού το πόδι $AH$ είναι πιο κοντό από την υποτείνουσα $AB$ και $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Ας συγκρίνουμε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου $ABCD$ και το εμβαδόν του ορθογωνίου $HBCK$. Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν $\τρίγωνο ABH$, αλλά μικρότερο από το εμβαδόν $\τρίγωνο DCK$. Εφόσον αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα, οι περιοχές τους είναι επίσης ίσες. Έτσι, το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με πλευρές μακριές προς την πλευρά και το ύψος του παραλληλογράμμου.

Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ως προς τις πλευρές και το ημίτονο

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους.

Απόδειξη

Το ύψος του παραλληλογράμμου $ABCD$ που έπεσε στην πλευρά $AB$ είναι ίσο με το γινόμενο του τμήματος $BC$ και το ημίτονο της γωνίας $\γωνίας ABC$. Μένει να εφαρμοστεί ο προηγούμενος ισχυρισμός.

Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ως προς τις διαγώνιες

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το μισό γινόμενο των διαγωνίων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.

Απόδειξη

Έστω οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου $ABCD$ τέμνονται στο σημείο $O$ υπό γωνία $\alpha$. Στη συνέχεια $AO=OC$ και $BO=OD$ από την ιδιότητα παραλληλόγραμμου. Τα ημίτονο των γωνιών που αθροίζονται σε $180^\circ$ είναι $\γωνία AOB = \γωνία COD = 180^\circ - \γωνία BOC = 180^\circ - \γωνία AOD$. Επομένως, τα ημίτονο των γωνιών στην τομή των διαγωνίων είναι ίσα με $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\τρίγωνο AOB) + S_(\τρίγωνο BOC) + S_(\τρίγωνο COD) + S_(\τρίγωνο AOD)$

σύμφωνα με το αξίωμα της μέτρησης της επιφάνειας. Εφαρμόστε τον τύπο περιοχής τριγώνου $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \γωνία ABC$ για αυτά τα τρίγωνα και τις γωνίες όταν τέμνονται οι διαγώνιοι. Οι πλευρές του καθενός είναι ίσες με τις μισές διαγώνιες, τα ημίτονο είναι επίσης ίσα. Επομένως, τα εμβαδά και των τεσσάρων τριγώνων είναι $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Συνοψίζοντας όλα τα παραπάνω, παίρνουμε

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα, επιπλέον βασικές ιδιότητες παραλληλόγραμμοκαι τους αντίστοιχους τύπους, μπορείτε να θυμάστε και να εφαρμόσετε τα ακόλουθα:

1. Η διχοτόμος της εσωτερικής γωνίας ενός παραλληλογράμμου αποκόπτει ένα ισοσκελές τρίγωνο από αυτό
2. Οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών που γειτνιάζουν με μία από τις πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι αμοιβαία κάθετες
3. Διχοτόμοι που προέρχονται από αντίθετες εσωτερικές γωνίες παραλληλογράμμου, παράλληλες μεταξύ τους ή βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή
4. Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του
5. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι το μισό του γινόμενου των διαγωνίων επί το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

Ας εξετάσουμε τις εργασίες στη λύση των οποίων χρησιμοποιούνται αυτές οι ιδιότητες.

Εργασία 1.

Η διχοτόμος της γωνίας C του παραλληλογράμμου ABCD τέμνει την πλευρά AD στο σημείο M και τη συνέχεια της πλευράς AB πέρα ​​από το σημείο Α στο σημείο E. Βρείτε την περίμετρο του παραλληλογράμμου εάν AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Λύση.

1. Τρίγωνο CMD ισοσκελές. (Ακίνητο 1). Επομένως, CD = MD = 3 cm.

2. Το τρίγωνο ΕΑΜ είναι ισοσκελές.
Επομένως, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Περίμετρος ΑΒΓΔ = 20 cm.

Απάντηση. 20 εκ

Εργασία 2.

Οι διαγώνιοι σχεδιάζονται σε ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD. Είναι γνωστό ότι τα εμβαδά των τριγώνων ABD, ACD, BCD είναι ίσα. Να αποδείξετε ότι το δοσμένο τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Λύση.

1. Έστω BE το ύψος του τριγώνου ABD, CF το ύψος του τριγώνου ACD. Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, τα εμβαδά των τριγώνων είναι ίσα και έχουν κοινή βάση ΑΔ, τότε τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα. BE = CF.

2. ΒΕ, ΚΦ είναι κάθετα στην ΑΔ. Τα σημεία Β και Γ βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας ΑΔ. BE = CF. Επομένως, η γραμμή BC || ΕΝΑ Δ. (*)

3. Έστω AL το υψόμετρο τριγώνου ACD, BK το υψόμετρο τριγώνου BCD. Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, τα εμβαδά των τριγώνων είναι ίσα και έχουν κοινή βάση CD, τότε τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα. AL = ΒΚ.

4. Το AL και το BK είναι κάθετα στο CD. Τα σημεία Β και Α βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας γραμμής CD. AL = ΒΚ. Επομένως, η γραμμή AB || CD (**)

5. Οι συνθήκες (*), (**) υποδηλώνουν ότι το ABCD είναι παραλληλόγραμμο.

Απάντηση. Αποδεδειγμένος. Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο.

Εργασία 3.

Στις πλευρές BC και CD του παραλληλογράμμου ABCD σημειώνονται τα σημεία M και H, αντίστοιχα, έτσι ώστε τα τμήματα BM και HD να τέμνονται στο σημείο O.<ВМD = 95 о,

Λύση.

1. Στο τρίγωνο DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο DHC
(

Επειτα<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Δεδομένου ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το σκέλος που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30 o είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας).

Αλλά CD = AB. Τότε AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Απάντηση: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Εργασία 4.

Μία από τις διαγώνιους ενός παραλληλογράμμου μήκους 4√6 σχηματίζει γωνία 60° με τη βάση και η δεύτερη διαγώνιος σχηματίζει γωνία 45° με την ίδια βάση. Βρείτε τη δεύτερη διαγώνιο.

Λύση.

1. AO = 2√6.

2. Εφαρμόστε το ημιτονικό θεώρημα στο τρίγωνο AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Απάντηση: 12.

Εργασία 5.

Για παραλληλόγραμμο με πλευρές 5√2 και 7√2, η μικρότερη γωνία μεταξύ των διαγωνίων είναι ίση με τη μικρότερη γωνία του παραλληλογράμμου. Να βρείτε το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων.

Λύση.

Έστω d 1, d 2 οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου και η γωνία μεταξύ των διαγωνίων και της μικρότερης γωνίας του παραλληλογράμμου είναι φ.

1. Ας μετρήσουμε δύο διαφορετικά
τρόπους της περιοχής του.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Λαμβάνουμε την ισότητα 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Χρησιμοποιώντας τον λόγο μεταξύ των πλευρών και των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, γράφουμε την ισότητα

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Ας φτιάξουμε ένα σύστημα:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος επί 2 και προσθέστε την στην πρώτη.

Παίρνουμε (d 1 + d 2) 2 = 576. Επομένως Id 1 + d 2 I = 24.

Επειδή τα d 1, d 2 είναι τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, τότε d 1 + d 2 = 24.

Απάντηση: 24.

Εργασία 6.

Οι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι 4 και 6. Η οξεία γωνία μεταξύ των διαγωνίων είναι 45 ο. Βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.

Λύση.

1. Από το τρίγωνο ΑΟΒ, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, γράφουμε τη σχέση μεταξύ της πλευράς του παραλληλογράμμου και των διαγωνίων.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Ομοίως γράφουμε τη σχέση για το τρίγωνο ΑΟΔ.

Το λαμβάνουμε υπόψη<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Παίρνουμε την εξίσωση d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Έχουμε σύστημα
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Αφαιρώντας την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε 2d 1 d 2 √2 = 80 ή

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Σημείωση:Σε αυτό και στο προηγούμενο πρόβλημα, δεν χρειάζεται να λυθεί πλήρως το σύστημα, προβλέποντας ότι σε αυτό το πρόβλημα χρειαζόμαστε το γινόμενο των διαγωνίων για να υπολογίσουμε το εμβαδόν.

Απάντηση: 10.

Εργασία 7.

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι 96 και οι πλευρές του είναι 8 και 15. Βρείτε το τετράγωνο της μικρότερης διαγωνίου.

Λύση.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στον τύπο.

Παίρνουμε 96 = 8 15 sin VAD. Ως εκ τούτου αμαρτία VAD = 4/5.

2. Βρείτε cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, βρίσκουμε το μήκος της μικρότερης διαγωνίου. Η διαγώνιος BD θα είναι μικρότερη εάν η γωνία BAD είναι οξεία. Τότε cos BAD = 3 / 5.

3. Από το τρίγωνο ΑΒΔ, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, βρίσκουμε το τετράγωνο της διαγωνίου ΒΔ.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Απάντηση: 145.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο -.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Σημείωση. Αυτό είναι μέρος του μαθήματος με προβλήματα γεωμετρίας (παραλληλόγραμμο τμήμα). Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα στη γεωμετρία, το οποίο δεν είναι εδώ - γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Για να δηλώσετε την ενέργεια της εξαγωγής μιας τετραγωνικής ρίζας στην επίλυση προβλημάτων, χρησιμοποιείται το σύμβολο √ ή sqrt () και η ριζική έκφραση υποδεικνύεται σε αγκύλες.

Θεωρητικό υλικό

Επεξηγήσεις για τους τύπους για την εύρεση του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου:

1. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους μιας από τις πλευρές του και του ύψους σε αυτήν την πλευρά.
2. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των δύο γειτονικών πλευρών του και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους
3. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το μισό γινόμενο των διαγωνίων του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας

Προβλήματα για την εύρεση του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου

Μια εργασία.
Σε ένα παραλληλόγραμμο το μικρότερο ύψος και η μικρότερη πλευρά είναι 9 εκ. και η ρίζα 82 αντίστοιχα. Η μεγαλύτερη διαγώνιος είναι 15 εκ. Βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.

Λύση.
Ας υποδηλώσουμε το μικρότερο ύψος του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, χαμηλωμένο από το σημείο Β στη μεγαλύτερη βάση ΑΔ ως ΒΚ.
Βρείτε την τιμή του σκέλους ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΚ που σχηματίζεται από μικρότερο ύψος, μικρότερη πλευρά και τμήμα μεγαλύτερης βάσης. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + ΑΚ 2
ΑΚ 2 = 82 - 81
ΑΚ=1

Ας επεκτείνουμε την επάνω βάση του παραλληλογράμμου BC και ας χαμηλώσουμε το ύψος AN από την κάτω βάση του πάνω σε αυτήν. AN = BK ως πλευρές ορθογωνίου ANBK. Στο προκύπτον ορθογώνιο τρίγωνο ANC βρίσκουμε το σκέλος NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Τώρα ας βρούμε τη μεγαλύτερη βάση BC του παραλληλογράμμου ABCD.
BC=NC-NB
Λαμβάνουμε υπόψη ότι NB = AK ως πλευρές του ορθογωνίου, λοιπόν
π.Χ.=12 - 1=11

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο της βάσης και το ύψος αυτής της βάσης.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Απάντηση: 99 cm2.

Μια εργασία

Στο παραλληλόγραμμο ABCD, η κάθετη ΒΟ πέφτει στη διαγώνιο AC. Βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου αν AO=8, OS=6 και BO=4.

Λύση.
Ας ρίξουμε μια ακόμη κάθετη DK στη διαγώνιο AC.
Κατά συνέπεια, τα τρίγωνα AOB και DKC, COB και AKD είναι κατά ζεύγη ίσα. Μία από τις πλευρές είναι η απέναντι πλευρά του παραλληλογράμμου, μία από τις γωνίες είναι ορθή, καθώς είναι κάθετη στη διαγώνιο και μία από τις υπόλοιπες γωνίες είναι ένας εσωτερικός σταυρός που βρίσκεται για τις παράλληλες πλευρές του παραλληλογράμμου και της διατομής της διαγώνιου.

Έτσι, η περιοχή του παραλληλογράμμου είναι ίση με την περιοχή των υποδεικνυόμενων τριγώνων. Αυτό είναι
Sparall = 2S AOB +2S BOC

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου των ποδιών. Οπου
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Απάντηση: 56 cm2.