Η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς είναι πάντα. Η διάμεση γραμμή του τραπεζοειδούς: τι ισούται με, ιδιότητες, απόδειξη του θεωρήματος. Πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς για μια ισοσκελή φιγούρα

Ένα τραπέζιο είναι μια ειδική περίπτωση τετράπλευρου στο οποίο ένα ζεύγος πλευρών είναι παράλληλο. Ο όρος "τραπέζιο" προέρχεται από την ελληνική λέξη τράπεζα, που σημαίνει "τραπέζι", "τραπέζι". Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τους τύπους τραπεζίου και τις ιδιότητές του. Επιπλέον, θα καταλάβουμε πώς να υπολογίσουμε τα μεμονωμένα στοιχεία αυτού του παραδείγματος, τη διαγώνιο ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς, τη μέση γραμμή, την περιοχή κ.λπ. Το υλικό παρουσιάζεται με το στυλ της στοιχειώδους λαϊκής γεωμετρίας, δηλαδή σε μια εύκολα προσβάσιμη μορφή.

Γενικές πληροφορίες

Αρχικά, ας καταλάβουμε τι είναι τετράπλευρο. Αυτό το σχήμα είναι μια ειδική περίπτωση πολυγώνου που περιέχει τέσσερις πλευρές και τέσσερις κορυφές. Δύο κορυφές ενός τετράπλευρου που δεν είναι γειτονικές ονομάζονται αντίθετες. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για δύο μη γειτονικές πλευρές. Οι κύριοι τύποι τετράπλευρων είναι το παραλληλόγραμμο, το παραλληλόγραμμο, το ρόμβο, το τετράγωνο, το τραπεζοειδές και το δελτοειδή.

Λοιπόν, πίσω στο τραπέζι. Όπως έχουμε ήδη πει, αυτό το σχήμα έχει δύο πλευρές που είναι παράλληλες. Ονομάζονται βάσεις. Οι άλλες δύο (μη παράλληλες) είναι οι πλευρές. Σε υλικά εξετάσεων και διάφορα εργασίες ελέγχουπολύ συχνά μπορείτε να βρείτε εργασίες που σχετίζονται με τραπεζοειδή, η επίλυση των οποίων απαιτεί συχνά ο μαθητής να έχει γνώσεις που δεν προβλέπονται από το πρόγραμμα. Το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας εισάγει τους μαθητές στις ιδιότητες των γωνιών και των διαγωνίων, καθώς και στη μέση γραμμή ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς. Αλλά τελικά, εκτός από αυτό, το αναφερόμενο γεωμετρικό σχήμα έχει και άλλα χαρακτηριστικά. Περισσότερα για αυτούς όμως αργότερα...

Τύποι τραπεζοειδών

Υπάρχουν πολλοί τύποι αυτού του σχήματος. Ωστόσο, πιο συχνά είναι συνηθισμένο να εξετάζουμε δύο από αυτά - ισοσκελές και ορθογώνια.

1. Ορθογώνιο τραπεζοειδές είναι το σχήμα του οποίου μία από τις πλευρές είναι κάθετη στις βάσεις. Έχει δύο γωνίες που είναι πάντα ενενήντα μοίρες.

2. Ισοσκελές τραπεζοειδές είναι ένα γεωμετρικό σχήμα του οποίου οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες στις βάσεις είναι επίσης κατά ζεύγη ίσες.

Οι κύριες αρχές της μεθοδολογίας για τη μελέτη των ιδιοτήτων ενός τραπεζοειδούς

Η κύρια αρχή είναι η χρήση της λεγόμενης προσέγγισης εργασιών. Στην πραγματικότητα, δεν χρειάζεται να εισαχθούν νέες ιδιότητες αυτού του σχήματος στο θεωρητικό μάθημα της γεωμετρίας. Μπορούν να ανακαλυφθούν και να διατυπωθούν στη διαδικασία επίλυσης διαφόρων προβλημάτων (καλύτερα από τα συστημικά). Ταυτόχρονα, είναι πολύ σημαντικό ο δάσκαλος να γνωρίζει ποιες εργασίες πρέπει να τεθούν στους μαθητές τη μια ή την άλλη στιγμή. εκπαιδευτική διαδικασία. Επιπλέον, κάθε ιδιότητα του τραπεζοειδούς μπορεί να αναπαρασταθεί ως βασική εργασία στο σύστημα εργασιών.

Η δεύτερη αρχή είναι η λεγόμενη σπειροειδής οργάνωση της μελέτης των «εξαιρετικών» ιδιοτήτων του τραπεζοειδούς. Αυτό συνεπάγεται επιστροφή στη μαθησιακή διαδικασία σε μεμονωμένα χαρακτηριστικά ενός δεδομένου γεωμετρικό σχήμα. Έτσι, είναι ευκολότερο για τους μαθητές να τα απομνημονεύσουν. Για παράδειγμα, η ιδιότητα των τεσσάρων σημείων. Μπορεί να αποδειχθεί τόσο στη μελέτη της ομοιότητας όσο και στη συνέχεια με τη βοήθεια διανυσμάτων. Και το ίσο εμβαδόν των τριγώνων δίπλα στις πλευρές του σχήματος μπορεί να αποδειχθεί εφαρμόζοντας όχι μόνο τις ιδιότητες των τριγώνων με ίσα ύψη στις πλευρές που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, αλλά και χρησιμοποιώντας τον τύπο S= 1/ 2(ab*sina). Επιπλέον, μπορείτε να ασκηθείτε σε ένα εγγεγραμμένο τραπέζιο ή ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε ένα περιγεγραμμένο τραπεζοειδές κ.λπ.

Η χρήση «εξωσχολικών» χαρακτηριστικών ενός γεωμετρικού σχήματος στο περιεχόμενο ενός σχολικού μαθήματος είναι μια τεχνολογία εργασίας για τη διδασκαλία τους. Η συνεχής έκκληση στις ιδιότητες που μελετήθηκαν όταν περνούν από άλλα θέματα επιτρέπει στους μαθητές να αποκτήσουν βαθύτερη γνώση του τραπεζοειδούς και διασφαλίζει την επιτυχία της επίλυσης των εργασιών. Λοιπόν, ας αρχίσουμε να μελετάμε αυτήν την υπέροχη φιγούρα.

Στοιχεία και ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζοειδούς

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, οι πλευρές αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι ίσες. Είναι επίσης γνωστό ως το δεξιό τραπεζοειδές. Γιατί είναι τόσο αξιόλογο και γιατί πήρε τέτοιο όνομα; Τα χαρακτηριστικά αυτού του σχήματος περιλαμβάνουν το γεγονός ότι όχι μόνο οι πλευρές και οι γωνίες στις βάσεις είναι ίσες, αλλά και οι διαγώνιες. Επίσης, το άθροισμα των γωνιών ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 360 μοίρες. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Από όλα τα γνωστά τραπεζοειδή, μόνο γύρω από ένα ισοσκελές μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το άθροισμα των αντίθετων γωνιών αυτού του σχήματος είναι 180 μοίρες και μόνο υπό αυτήν την προϋπόθεση μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από το τετράπλευρο. Η επόμενη ιδιότητα του γεωμετρικού σχήματος που εξετάζουμε είναι ότι η απόσταση από την κορυφή της βάσης έως την προβολή της αντίθετης κορυφής στην ευθεία που περιέχει αυτή τη βάση θα είναι ίση με τη μέση γραμμή.

Τώρα ας δούμε πώς να βρούμε τις γωνίες ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς. Εξετάστε μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, με την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές οι διαστάσεις των πλευρών του σχήματος.

Λύση

Συνήθως, ένα τετράπλευρο συνήθως συμβολίζεται με τα γράμματα A, B, C, D, όπου τα BS και AD είναι οι βάσεις. Σε ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, οι πλευρές είναι ίσες. Θα υποθέσουμε ότι το μέγεθός τους είναι Χ, και τα μεγέθη των βάσεων είναι Υ και Ζ (μικρότερο και μεγαλύτερο, αντίστοιχα). Για να πραγματοποιηθεί ο υπολογισμός, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε ένα ύψος H από τη γωνία Β. Το αποτέλεσμα είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABN, όπου AB είναι η υποτείνουσα και BN και AN είναι τα σκέλη. Υπολογίζουμε το μέγεθος του ποδιού AN: αφαιρούμε το μικρότερο από τη μεγαλύτερη βάση και διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 2. Το γράφουμε με τη μορφή ενός τύπου: (Z-Y) / 2 \u003d F. Τώρα, για να υπολογίσουμε το οξεία γωνία του τριγώνου, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση cos. Παίρνουμε την ακόλουθη εγγραφή: cos(β) = Χ/F. Τώρα υπολογίζουμε τη γωνία: β=arcos (Χ/F). Περαιτέρω, γνωρίζοντας μια γωνία, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη δεύτερη, γι 'αυτό εκτελούμε μια στοιχειώδη αριθμητική πράξη: 180 - β. Όλες οι γωνίες είναι καθορισμένες.

Υπάρχει επίσης μια δεύτερη λύση σε αυτό το πρόβλημα. Στην αρχή κατεβάζουμε το ύψος Η από τη γωνία Β. Υπολογίζουμε την τιμή του σκέλους BN. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογώνιο τρίγωνο ισούται με το άθροισματετράγωνα των ποδιών. Παίρνουμε: BN \u003d √ (X2-F2). Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική συνάρτηση tg. Ως αποτέλεσμα, έχουμε: β = arctg (BN / F). Βρέθηκε απότομη γωνία. Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε με τον ίδιο τρόπο όπως η πρώτη μέθοδος.

Ιδιότητα των διαγωνίων ισοσκελούς τραπεζοειδούς

Ας γράψουμε πρώτα τέσσερις κανόνες. Εάν οι διαγώνιοι σε ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι κάθετες, τότε:

Το ύψος του σχήματος θα είναι ίσο με το άθροισμα των βάσεων διαιρούμενο με δύο.

Το ύψος και η διάμεση γραμμή του είναι ίσα.

Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο όπου το ?

Εάν η πλευρική πλευρά διαιρείται με το σημείο επαφής στα τμήματα Η και Μ, τότε ισούται με τετραγωνική ρίζαπροϊόντα αυτών των τμημάτων·

Το τετράπλευρο, που σχηματίστηκε από τα εφαπτομενικά σημεία, την κορυφή του τραπεζοειδούς και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, είναι ένα τετράγωνο του οποίου η πλευρά είναι ίση με την ακτίνα.

Το εμβαδόν ενός σχήματος είναι ίσο με το γινόμενο των βάσεων και το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του.

Παρόμοια τραπεζάκια

Αυτό το θέμα είναι πολύ βολικό για τη μελέτη των ιδιοτήτων αυτού. Για παράδειγμα, οι διαγώνιοι χωρίζουν το τραπέζιο σε τέσσερα τρίγωνα, και εκείνα που γειτνιάζουν με τις βάσεις είναι παρόμοια και εκείνα που γειτνιάζουν με τις πλευρές είναι ίσα. Αυτή η δήλωση μπορεί να ονομαστεί ιδιότητα των τριγώνων στα οποία χωρίζεται το τραπέζι με τις διαγώνιές του. Το πρώτο μέρος αυτού του ισχυρισμού αποδεικνύεται μέσω του κριτηρίου της ομοιότητας σε δύο γωνίες. Για να αποδείξετε το δεύτερο μέρος, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο που δίνεται παρακάτω.

Απόδειξη του θεωρήματος

Δεχόμαστε ότι το σχήμα ABSD (AD και BS - οι βάσεις του τραπεζοειδούς) διαιρείται με τις διαγώνιες VD και AC. Το σημείο τομής τους είναι Ο. Παίρνουμε τέσσερα τρίγωνα: AOS - στην κάτω βάση, BOS - στην επάνω βάση, ABO και SOD στα πλάγια. Τα τρίγωνα SOD και BOS έχουν κοινό ύψος εάν τα τμήματα BO και OD είναι οι βάσεις τους. Παίρνουμε ότι η διαφορά μεταξύ των εμβαδών τους (P) είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ αυτών των τμημάτων: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Επομένως, PSOD = PBOS / K. Ομοίως, τα τρίγωνα BOS και AOB έχουν κοινό ύψος. Ως βάση τους παίρνουμε τα τμήματα CO και OA. Λαμβάνουμε PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K και PAOB \u003d PBOS / K. Από αυτό προκύπτει ότι ΠΣΟΔ = ΠΑΟΒ.

Για την εμπέδωση της ύλης, οι μαθητές συμβουλεύονται να βρουν μια σχέση μεταξύ των εμβαδών των τριγώνων που προέκυψαν, στα οποία χωρίζεται το τραπέζι με τις διαγώνιές του, λύνοντας το παρακάτω πρόβλημα. Είναι γνωστό ότι οι περιοχές των τριγώνων BOS και AOD είναι ίσες, είναι απαραίτητο να βρεθεί η περιοχή του τραπεζοειδούς. Από PSOD \u003d PAOB, σημαίνει ότι PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Από την ομοιότητα των τριγώνων BOS και AOD προκύπτει ότι BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Επομένως, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Παίρνουμε PSOD = √ (PBOS * PAOD). Τότε PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

ιδιότητες ομοιότητας

Συνεχίζοντας να αναπτύσσουμε αυτό το θέμα, μπορούμε να αποδείξουμε άλλα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικάτραπέζιο. Έτσι, χρησιμοποιώντας την ομοιότητα, μπορείτε να αποδείξετε την ιδιότητα ενός τμήματος που διέρχεται από ένα σημείο που σχηματίζεται από την τομή των διαγωνίων αυτού του γεωμετρικού σχήματος, παράλληλα με τις βάσεις. Για να γίνει αυτό, λύνουμε το εξής πρόβλημα: είναι απαραίτητο να βρούμε το μήκος του τμήματος RK, που διέρχεται από το σημείο Ο. Από την ομοιότητα των τριγώνων AOD και BOS, προκύπτει ότι AO/OS=AD/BS. Από την ομοιότητα των τριγώνων AOP και ASB, προκύπτει ότι AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Από εδώ παίρνουμε ότι RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Ομοίως, από την ομοιότητα των τριγώνων DOK και DBS, προκύπτει ότι OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Από εδώ παίρνουμε ότι RO=OK και RK=2*BS*AD/(BS+AD). Το τμήμα που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων, παράλληλα με τις βάσεις και συνδέει τις δύο πλευρές, διχοτομείται από το σημείο τομής. Το μήκος του είναι ο αρμονικός μέσος όρος των βάσεων του σχήματος.

Θεωρήστε την ακόλουθη ιδιότητα ενός τραπεζοειδούς, που ονομάζεται ιδιότητα τεσσάρων σημείων. Τα σημεία τομής των διαγωνίων (Ο), οι τομές της συνέχειας των πλευρών (Ε), καθώς και τα μεσαία σημεία των βάσεων (Τ και Δ) βρίσκονται πάντα στην ίδια ευθεία. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα με τη μέθοδο της ομοιότητας. Τα προκύπτοντα τρίγωνα BES και AED είναι παρόμοια και σε καθένα από αυτά οι διάμεσοι ET και EZH διαιρούν τη γωνία στην κορυφή Ε σε ίσα μέρη. Επομένως, τα σημεία E, T και W βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκονται στην ίδια ευθεία τα σημεία Τ, Ο και Γ. Όλα αυτά προκύπτουν από την ομοιότητα των τριγώνων BOS και AOD. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι και τα τέσσερα σημεία - E, T, O και W - θα βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή.

Χρησιμοποιώντας παρόμοια τραπεζοειδή, μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να βρουν το μήκος του τμήματος (LF) που χωρίζει το σχήμα σε δύο όμοια. Αυτό το τμήμα πρέπει να είναι παράλληλο με τις βάσεις. Εφόσον τα τραπεζοειδή ALFD και LBSF που προκύπτουν είναι παρόμοια, τότε BS/LF=LF/AD. Από αυτό προκύπτει ότι LF=√(BS*BP). Καταλαβαίνουμε ότι το τμήμα που χωρίζει το τραπέζιο σε δύο όμοια έχει μήκος ίσο με τον γεωμετρικό μέσο όρο των μηκών των βάσεων του σχήματος.

Εξετάστε την ακόλουθη ιδιότητα ομοιότητας. Βασίζεται σε ένα τμήμα που χωρίζει το τραπεζοειδές σε δύο ισομεγέθη σχήματα. Δεχόμαστε ότι το τραπεζοειδές ABSD χωρίζεται από το τμήμα ΕΝ σε δύο όμοια. Από την κορυφή Β, παραλείπεται το ύψος, το οποίο διαιρείται από το τμήμα EH σε δύο μέρη - Β1 και Β2. Παίρνουμε: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 και PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Στη συνέχεια, συνθέτουμε ένα σύστημα του οποίου η πρώτη εξίσωση είναι (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 και η δεύτερη (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Από αυτό προκύπτει ότι B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) και BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Παίρνουμε ότι το μήκος του τμήματος που διαιρεί το τραπέζιο σε δύο ίσα είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο των μηκών των βάσεων: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Συμπεράσματα ομοιότητας

Έτσι, αποδείξαμε ότι:

1. Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών του τραπεζοειδούς είναι παράλληλο με το AD και το BS και είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των BS και AD (το μήκος της βάσης του τραπεζοειδούς).

2. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ο της τομής των διαγωνίων παράλληλων προς AD και BS θα είναι ίση με τον αρμονικό μέσο όρο των αριθμών AD και BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Το τμήμα που χωρίζει το τραπέζιο σε όμοια έχει το μήκος του γεωμετρικού μέσου όρου των βάσεων ΒΣ και ΑΔ.

4. Ένα στοιχείο που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο ίσα έχει το μήκος των μέσων τετραγώνων αριθμών AD και BS.

Για να εμπεδώσει το υλικό και να κατανοήσει τη σύνδεση μεταξύ των υπό εξέταση τμημάτων, ο μαθητής πρέπει να τα κατασκευάσει για ένα συγκεκριμένο τραπεζοειδές. Μπορεί εύκολα να εμφανίσει τη μέση γραμμή και το τμήμα που διέρχεται από το σημείο Ο - την τομή των διαγωνίων του σχήματος - παράλληλα με τις βάσεις. Πού θα είναι όμως το τρίτο και το τέταρτο; Αυτή η απάντηση θα οδηγήσει τον μαθητή στην ανακάλυψη της επιθυμητής σχέσης μεταξύ των μέσων όρων.

Ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς

Εξετάστε την ακόλουθη ιδιότητα αυτού του σχήματος. Δεχόμαστε ότι το τμήμα ΜΗ είναι παράλληλο με τις βάσεις και διχοτομεί τις διαγώνιες. Ας ονομάσουμε τα σημεία τομής W και W. Αυτό το τμήμα θα είναι ίσο με τη μισή διαφορά των βάσεων. Ας το αναλύσουμε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες. MSH - η μεσαία γραμμή του τριγώνου ABS, είναι ίση με BS / 2. MS - η μεσαία γραμμή του τριγώνου ABD, είναι ίση με AD / 2. Τότε παίρνουμε ότι ShShch = MShch-MSh, επομένως, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Κέντρο βαρύτητας

Ας δούμε πώς προσδιορίζεται αυτό το στοιχείο για ένα δεδομένο γεωμετρικό σχήμα. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να επεκτείνετε τις βάσεις σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τι σημαίνει? Είναι απαραίτητο να προσθέσετε την κάτω βάση στην επάνω βάση - σε οποιαδήποτε από τις πλευρές, για παράδειγμα, προς τα δεξιά. Και το κάτω μέρος επεκτείνεται κατά το μήκος της κορυφής προς τα αριστερά. Στη συνέχεια, τα συνδέουμε με μια διαγώνιο. Το σημείο τομής αυτού του τμήματος με τη μεσαία γραμμή του σχήματος είναι το κέντρο βάρους του τραπεζοειδούς.

Ενεπίγραφα και περιγεγραμμένα τραπεζοειδή

Ας απαριθμήσουμε τα χαρακτηριστικά τέτοιων μορφών:

1. Ένα τραπεζοειδές μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο μόνο αν είναι ισοσκελές.

2. Ένα τραπέζιο μπορεί να περιγραφεί γύρω από έναν κύκλο, με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των μηκών των βάσεων τους είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών.

Συνέπειες του εγγεγραμμένου κύκλου:

1. Το ύψος του τραπεζοειδούς που περιγράφεται είναι πάντα ίσο με δύο ακτίνες.

2. Η πλευρική πλευρά του τραπεζοειδούς που περιγράφηκε παρατηρείται από το κέντρο του κύκλου σε ορθή γωνία.

Το πρώτο συμπέρασμα είναι προφανές και για να αποδειχθεί το δεύτερο απαιτείται να διαπιστωθεί ότι η γωνία SOD είναι ορθή, κάτι που, στην πραγματικότητα, επίσης δεν θα είναι δύσκολο. Αλλά η γνώση αυτής της ιδιότητας θα μας επιτρέψει να χρησιμοποιήσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στην επίλυση προβλημάτων.

Τώρα προσδιορίζουμε αυτές τις συνέπειες για ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Παίρνουμε ότι το ύψος είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των βάσεων του σχήματος: H=2R=√(BS*AD). Εξασκώντας την κύρια τεχνική για την επίλυση προβλημάτων για τραπεζοειδή (η αρχή της σχεδίασης δύο υψών), ο μαθητής πρέπει να λύσει την ακόλουθη εργασία. Δεχόμαστε ότι BT είναι το ύψος του ισοσκελούς σχήματος ABSD. Είναι απαραίτητο να βρεθούν τα τμήματα AT και TD. Χρησιμοποιώντας τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω, αυτό δεν θα είναι δύσκολο να γίνει.

Τώρα ας καταλάβουμε πώς να προσδιορίσουμε την ακτίνα ενός κύκλου χρησιμοποιώντας την περιοχή του περιγεγραμμένου τραπεζοειδούς. Κατεβάζουμε το ύψος από την κορυφή Β στη βάση ΑΔ. Δεδομένου ότι ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τραπέζιο, τότε BS + AD \u003d 2AB ή AB \u003d (BS + AD) / 2. Από το τρίγωνο ABN βρίσκουμε sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Παίρνουμε PABSD \u003d (BS + HELL) * R, προκύπτει ότι R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Όλοι οι τύποι της μέσης γραμμής ενός τραπεζοειδούς

Τώρα ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο τελευταίο στοιχείο αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Ας υπολογίσουμε με τι ισούται η μεσαία γραμμή του τραπεζοειδούς (M):

1. Μέσω των βάσεων: M \u003d (A + B) / 2.

2. Από ύψος, βάση και γωνίες:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Δια του ύψους, των διαγώνιων και της μεταξύ τους γωνίας. Για παράδειγμα, τα D1 και D2 είναι οι διαγώνιοι ενός τραπεζοειδούς. α, β - γωνίες μεταξύ τους:

M = D1*D2*sina/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Διαμέσου της περιοχής και του ύψους: M = P / N.

ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑσχήματα στην επιπεδομετρία - ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των δύο πλευρών ενός δεδομένου σχήματος. Η έννοια χρησιμοποιείται για τα ακόλουθα σχήματα: τρίγωνο, τετράπλευρο, τραπεζοειδές.

Μέση γραμμή του τριγώνου

Ιδιότητες

• η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι παράλληλη με τη βάση και ίση με το μισό της.
• η μεσαία γραμμή κόβει ένα τρίγωνο παρόμοιο και ομοθετικό με το αρχικό με συντελεστή 1/2. Το εμβαδόν του είναι ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού του αρχικού τριγώνου.
• τρεις μεσαίες γραμμές χωρίζουν το αρχικό τρίγωνο σε τέσσερα ίσο τρίγωνο. Το κεντρικό από αυτά τα τρίγωνα ονομάζεται συμπληρωματικό ή μεσαίο τρίγωνο.

σημάδια

• Εάν ένα τμήμα σε ένα τρίγωνο διέρχεται από το μέσο μιας από τις πλευρές του, τέμνει τη δεύτερη και είναι παράλληλο με την τρίτη, τότε αυτό το τμήμα είναι η μέση γραμμή.
• Το εμβαδόν και, κατά συνέπεια, ο όγκος του τριγώνου που αποκόπτεται από τη μεσαία γραμμή ισούται με το 1/4 της περιοχής και, κατά συνέπεια, τον όγκο ολόκληρου του δεδομένου τριγώνου.

Μέση γραμμή του τετράπλευρου

Μέση γραμμή του τετράπλευρουΕυθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετράπλευρου.

Ιδιότητες

Η πρώτη γραμμή συνδέει 2 απέναντι πλευρές. Το δεύτερο συνδέει άλλες 2 απέναντι πλευρές. Η τρίτη συνδέει τα κέντρα των δύο διαγωνίων (όχι σε όλα τα τετράπλευρα οι διαγώνιοι διχοτομούνται από το σημείο τομής).

• Αν σε κυρτό τετράπλευρο σχηματίζεται η μέση γραμμή ίσες γωνίεςμε τις διαγώνιους ενός τετράπλευρου, τότε οι διαγώνιοι είναι ίσες.
• Το μήκος της μέσης γραμμής ενός τετράπλευρου είναι μικρότερο ή ίσο με το μισό του αθροίσματος των άλλων δύο πλευρών εάν αυτές οι πλευρές είναι παράλληλες και μόνο σε αυτήν την περίπτωση.
• Τα μέσα των πλευρών ενός αυθαίρετου τετράπλευρου είναι οι κορυφές ενός παραλληλογράμμου. Το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τετράπλευρου και το κέντρο του βρίσκεται στο σημείο τομής των διάμεσων γραμμών. Αυτό το παραλληλόγραμμο ονομάζεται παραλληλόγραμμο Varignon.
• Το τελευταίο σημείο σημαίνει το εξής: Σε κυρτό τετράπλευρο, τέσσερα μεσαίες γραμμές του δεύτερου είδους. Μεσαίες γραμμές δεύτερου είδους- τέσσερα τμήματα μέσα στο τετράγωνο που διέρχονται από τα μέσα των παρακείμενων πλευρών του παράλληλα με τις διαγώνιες. Τέσσερα μεσαίες γραμμές του δεύτερου είδουςκυρτό τετράπλευρο το κόβουμε σε τέσσερα τρίγωνα και ένα κεντρικό τετράπλευρο. Αυτό το κεντρικό τετράπλευρο είναι το παραλληλόγραμμο Varignon.
• Το σημείο τομής των μεσαίων γραμμών του τετράπλευρου είναι το κοινό τους μέσο και διχοτομεί το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων. Επιπλέον, είναι το κέντρο των κορυφών του τετράπλευρου.
• Σε ένα αυθαίρετο τετράπλευρο, το διάνυσμα της μέσης γραμμής είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των διανυσμάτων βάσης.

Μέση γραμμή του τραπεζοειδούς

Μέση γραμμή του τραπεζοειδούς

Μέση γραμμή του τραπεζοειδούς- ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών αυτού του τραπεζοειδούς. Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των βάσεων του τραπεζοειδούς ονομάζεται δεύτερη μέση γραμμή του τραπεζοειδούς.

Υπολογίζεται με τον τύπο: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), όπου ΕΝΑ Δκαι προ ΧΡΙΣΤΟΥ- η βάση του τραπεζοειδούς.

Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσουμε να αντικατοπτρίσουμε τις ιδιότητες του τραπεζοειδούς όσο το δυνατόν πληρέστερα. Ειδικότερα, θα μιλήσουμε για τα γενικά σημάδια και ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς, καθώς και για τις ιδιότητες ενός εγγεγραμμένου τραπεζοειδούς και για έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τραπεζοειδές. Θα θίξουμε επίσης τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς και ορθογώνιου τραπεζοειδούς.

Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας τις εξεταζόμενες ιδιότητες θα σας βοηθήσει να τακτοποιήσετε τα πράγματα στο μυαλό σας και να θυμάστε καλύτερα το υλικό.

Trapeze και all-all-all

Αρχικά, ας θυμηθούμε εν συντομία τι είναι ένα τραπεζοειδές και ποιες άλλες έννοιες συνδέονται με αυτό.

Έτσι, ένα τραπεζοειδές είναι ένα τετράπλευρο σχήμα, δύο από τις πλευρές του οποίου είναι παράλληλες μεταξύ τους (αυτές είναι οι βάσεις). Και δύο δεν είναι παράλληλες - αυτές είναι οι πλευρές.

Σε ένα τραπεζοειδές, το ύψος μπορεί να παραλειφθεί - κάθετο στις βάσεις. Η μεσαία γραμμή και οι διαγώνιοι σχεδιάζονται. Και επίσης από οποιαδήποτε γωνία του τραπεζοειδούς είναι δυνατό να σχεδιάσετε μια διχοτόμο.

Σχετικά με τις διάφορες ιδιότητες που σχετίζονται με όλα αυτά τα στοιχεία και τους συνδυασμούς τους, θα μιλήσουμε τώρα.

Ιδιότητες των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς

Για να γίνει πιο σαφές, κατά την ανάγνωση, σκιαγράφησε το τραπέζιο ACME σε ένα κομμάτι χαρτί και σχεδίασε διαγώνιες σε αυτό.

1. Αν βρείτε τα μεσαία σημεία καθεμιάς από τις διαγωνίους (ας τα ονομάσουμε αυτά τα σημεία X και T) και τα συνδέσετε, θα έχετε ένα τμήμα. Μία από τις ιδιότητες των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς είναι ότι το τμήμα XT βρίσκεται στη μέση γραμμή. Και το μήκος του μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τη διαφορά των βάσεων με δύο: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Μπροστά μας είναι το ίδιο τραπεζοειδές ACME. Οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο Ο. Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα AOE και IOC που σχηματίζονται από τα τμήματα των διαγωνίων μαζί με τις βάσεις του τραπεζοειδούς. Αυτά τα τρίγωνα είναι παρόμοια. Ο συντελεστής ομοιότητας k τριγώνων εκφράζεται ως προς τον λόγο των βάσεων του τραπεζοειδούς: k = ΑΕ/ΚΜ.
   Ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων AOE και IOC περιγράφεται με τον συντελεστή k 2 .
3. Όλο το ίδιο τραπέζι, οι ίδιες διαγώνιοι που τέμνονται στο σημείο Ο. Μόνο που αυτή τη φορά θα εξετάσουμε τρίγωνα που σχημάτισαν τα διαγώνια τμήματα μαζί με τις πλευρές του τραπεζοειδούς. Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΚΟ και ΕΜΟ είναι ίσα - τα εμβαδά τους είναι ίδια.
4. Μια άλλη ιδιότητα ενός τραπεζοειδούς περιλαμβάνει την κατασκευή διαγωνίων. Έτσι, αν συνεχίσουμε τις πλευρές του ΑΚ και του ΜΕ προς την κατεύθυνση της μικρότερης βάσης, τότε αργά ή γρήγορα θα διασταυρωθούν σε κάποιο σημείο. Στη συνέχεια, τραβήξτε μια ευθεία γραμμή μέσα από τα μεσαία σημεία των βάσεων του τραπεζοειδούς. Τέμνει τις βάσεις στα σημεία Χ και Τ.
   Αν τώρα επεκτείνουμε την ευθεία ΧΤ, τότε αυτή θα ενώσει το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζοειδούς Ο, το σημείο στο οποίο τέμνονται οι προεκτάσεις των πλευρών και τα μέσα των βάσεων των Χ και Τ.
5. Μέσα από το σημείο τομής των διαγωνίων, σχεδιάζουμε ένα τμήμα που θα συνδέει τις βάσεις του τραπεζοειδούς (Το T βρίσκεται στη μικρότερη βάση του KM, το X - στο μεγαλύτερο ΑΕ). Το σημείο τομής των διαγωνίων διαιρεί αυτό το τμήμα στην ακόλουθη αναλογία: TO/OH = KM/AE.
6. Και τώρα μέσα από το σημείο τομής των διαγωνίων σχεδιάζουμε ένα τμήμα παράλληλο με τις βάσεις του τραπεζοειδούς (α και β). Το σημείο τομής θα το χωρίσει σε δύο ίσα μέρη. Μπορείτε να βρείτε το μήκος ενός τμήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο 2ab/(a + b).

Ιδιότητες της μέσης γραμμής τραπεζοειδούς

Σχεδιάστε τη μεσαία γραμμή στο τραπέζι παράλληλα με τις βάσεις του.

1. Το μήκος της μέσης γραμμής ενός τραπεζοειδούς μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τα μήκη των βάσεων και διαιρώντας τα στη μέση: m = (a + b)/2.
2. Εάν σχεδιάσετε οποιοδήποτε τμήμα (ύψος, για παράδειγμα) και στις δύο βάσεις του τραπεζοειδούς, η μεσαία γραμμή θα το χωρίσει σε δύο ίσα μέρη.

Ιδιότητα της διχοτόμου τραπεζοειδούς

Διαλέξτε οποιαδήποτε γωνία του τραπεζοειδούς και σχεδιάστε μια διχοτόμο. Πάρτε, για παράδειγμα, τη γωνία KAE του τραπεζοειδούς μας ACME. Έχοντας ολοκληρώσει την κατασκευή μόνοι σας, μπορείτε εύκολα να δείτε ότι η διχοτόμος κόβει από τη βάση (ή τη συνέχισή της σε μια ευθεία γραμμή έξω από το ίδιο το σχήμα) ένα τμήμα του ίδιου μήκους με την πλευρά.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς γωνίας

1. Όποιο από τα δύο ζεύγη γωνιών που γειτνιάζουν με την πλευρά που επιλέγετε, το άθροισμα των γωνιών σε ένα ζεύγος είναι πάντα 180 0: α + β = 180 0 και γ + δ = 180 0 .
2. Συνδέστε τα μεσαία σημεία των βάσεων του τραπεζοειδούς με ένα τμήμα ΤΧ. Ας δούμε τώρα τις γωνίες στις βάσεις του τραπεζοειδούς. Εάν το άθροισμα των γωνιών για οποιαδήποτε από αυτές είναι 90 0, το μήκος του τμήματος ΤΧ είναι εύκολο να υπολογιστεί με βάση τη διαφορά στα μήκη των βάσεων, διαιρεμένη στο μισό: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Αν τραβηχτούν παράλληλες γραμμές στις πλευρές της γωνίας ενός τραπεζοειδούς, θα χωρίσουν τις πλευρές της γωνίας σε αναλογικά τμήματα.

Ιδιότητες ισοσκελούς (ισοσκελούς) τραπεζοειδούς

1. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, οι γωνίες σε οποιαδήποτε από τις βάσεις είναι ίσες.
2. Τώρα φτιάξτε ξανά ένα τραπεζοειδές για να είναι πιο εύκολο να φανταστείτε περί τίνος πρόκειται. Κοιτάξτε προσεκτικά τη βάση του ΑΕ - η κορυφή της αντίθετης βάσης του Μ προβάλλεται σε ένα ορισμένο σημείο της ευθείας που περιέχει το ΑΕ. Η απόσταση από την κορυφή Α έως το σημείο προβολής της κορυφής Μ και η μέση γραμμή ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι ίσες.
3. Λίγα λόγια για την ιδιότητα των διαγωνίων ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς - τα μήκη τους είναι ίσα. Και επίσης οι γωνίες κλίσης αυτών των διαγωνίων στη βάση του τραπεζοειδούς είναι οι ίδιες.
4. Μόνο κοντά σε ένα ισοσκελές τραπεζοειδές μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος, αφού το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου 180 0 είναι απαραίτητη προϋπόθεση για αυτό.
5. Η ιδιότητα ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο - εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί κοντά σε ένα τραπεζοειδές, είναι ισοσκελές.
6. Από τα χαρακτηριστικά ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς προκύπτει η ιδιότητα του ύψους ενός τραπεζοειδούς: αν οι διαγώνιες του τέμνονται σε ορθή γωνία, τότε το μήκος του ύψους είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των βάσεων: h = (a + b)/2.
7. Σχεδιάστε ξανά την ευθεία ΤΧ μέσα από τα μέσα των βάσεων του τραπεζοειδούς - σε ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι κάθετο στις βάσεις. Και ταυτόχρονα, το ΤΧ είναι ο άξονας συμμετρίας ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς.
8. Αυτή τη φορά χαμηλώστε στη μεγαλύτερη βάση (ας την ονομάσουμε α) το ύψος από την αντίθετη κορυφή του τραπεζοειδούς. Θα πάρετε δύο κοψίματα. Το μήκος του ενός μπορεί να βρεθεί εάν τα μήκη των βάσεων προστεθούν και διαιρεθούν στο μισό: (α+β)/2. Παίρνουμε το δεύτερο όταν αφαιρέσουμε το μικρότερο από τη μεγαλύτερη βάση και διαιρούμε τη διαφορά που προκύπτει με το δύο: (α – β)/2.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς εγγεγραμμένου σε κύκλο

Δεδομένου ότι μιλάμε ήδη για ένα τραπεζοειδές εγγεγραμμένο σε κύκλο, ας σταθούμε σε αυτό το θέμα με περισσότερες λεπτομέρειες. Συγκεκριμένα, πού βρίσκεται το κέντρο του κύκλου σε σχέση με το τραπέζιο. Και εδώ, συνιστάται να μην είστε πολύ τεμπέλης για να σηκώσετε ένα μολύβι και να σχεδιάσετε αυτό που θα συζητηθεί παρακάτω. Έτσι θα καταλάβετε πιο γρήγορα και θα θυμάστε καλύτερα.

1. Η θέση του κέντρου του κύκλου καθορίζεται από τη γωνία κλίσης της διαγωνίου του τραπεζοειδούς προς την πλευρά του. Για παράδειγμα, μια διαγώνιος μπορεί να αναδυθεί από την κορυφή ενός τραπεζοειδούς σε ορθή γωνία προς το πλάι. Σε αυτή την περίπτωση, η μεγαλύτερη βάση τέμνει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ακριβώς στη μέση (R = ½AE).
2. Η διαγώνιος και η πλευρά μπορούν επίσης να συναντηθούν σε οξεία γωνία - τότε το κέντρο του κύκλου βρίσκεται μέσα στο τραπεζοειδές.
3. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου μπορεί να βρίσκεται έξω από το τραπεζοειδές, πέρα ​​από τη μεγάλη βάση του, εάν υπάρχει αμβλεία γωνία μεταξύ της διαγώνιου του τραπεζοειδούς και της πλευρικής πλευράς.
4. Η γωνία που σχηματίζεται από τη διαγώνιο και τη μεγάλη βάση του τραπεζοειδούς ACME (εγγεγραμμένη γωνία) είναι η μισή της κεντρικής γωνίας που αντιστοιχεί σε αυτήν: MAE = ½ ΜΟΥ.
5. Συνοπτικά δύο τρόποι για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Μέθοδος 1: κοιτάξτε προσεκτικά το σχέδιό σας - τι βλέπετε; Θα παρατηρήσετε εύκολα ότι η διαγώνιος χωρίζει το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα. Η ακτίνα μπορεί να βρεθεί μέσω του λόγου της πλευράς του τριγώνου προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας, πολλαπλασιαζόμενο επί δύο. Για παράδειγμα, R \u003d AE / 2 * sinAME. Ομοίως, ο τύπος μπορεί να γραφτεί για οποιαδήποτε από τις πλευρές και των δύο τριγώνων.
6. Μέθοδος δεύτερη: βρίσκουμε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου μέσα από την περιοχή του τριγώνου που σχηματίζεται από τη διαγώνιο, την πλευρά και τη βάση του τραπεζοειδούς: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς περιγεγραμμένου σε κύκλο

Μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο σε ένα τραπεζοειδές εάν πληρούται μια προϋπόθεση. Περισσότερα για αυτό παρακάτω. Και μαζί αυτός ο συνδυασμός φιγούρων έχει μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

1. Εάν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τραπέζιο, το μήκος της μέσης γραμμής του μπορεί να βρεθεί εύκολα προσθέτοντας τα μήκη των πλευρών και διαιρώντας το άθροισμα που προκύπτει στο μισό: m = (c + d)/2.
2. Για ένα τραπεζοειδές ACME, που περιβάλλεται γύρω από έναν κύκλο, το άθροισμα των μηκών των βάσεων είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών: ΑΚ + ΜΕ = ΚΜ + ΑΕ.
3. Από αυτή την ιδιότητα των βάσεων ενός τραπεζοειδούς προκύπτει η αντίστροφη πρόταση: σε αυτό το τραπέζι μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος, το άθροισμα των βάσεων του οποίου είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρών.
4. Το σημείο εφαπτομένης ενός κύκλου με ακτίνα r εγγεγραμμένη σε ένα τραπέζιο χωρίζει την πλευρική πλευρά σε δύο τμήματα, ας τα ονομάσουμε α και β. Η ακτίνα ενός κύκλου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: r = √ab.
5. Και ένα ακόμη ακίνητο. Για να μην μπερδευτείτε, κάντε μόνοι σας αυτό το παράδειγμα. Έχουμε το παλιό καλό τραπεζοειδές ACME, περιγεγραμμένο γύρω από έναν κύκλο. Σε αυτό σχεδιάζονται διαγώνιοι που τέμνονται στο σημείο Ο. Τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΕΟΜ που σχηματίζονται από τα τμήματα των διαγωνίων και οι πλευρές είναι ορθογώνια.
   Τα ύψη αυτών των τριγώνων, χαμηλωμένα στις υποτείνουσες (δηλαδή, τις πλευρές του τραπεζοειδούς), συμπίπτουν με τις ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου. Και το ύψος του τραπεζοειδούς είναι το ίδιο με τη διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Ιδιότητες ορθογώνιου τραπεζοειδούς

Ένα τραπεζοειδές λέγεται ορθογώνιο, η μία από τις γωνίες του είναι ορθή. Και οι ιδιότητές του πηγάζουν από αυτή την περίσταση.

1. Ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές έχει μια από τις πλευρές κάθετη στις βάσεις.
2. Το ύψος και η πλευρά του τραπεζοειδούς που γειτνιάζει με ορθή γωνία, είναι ίσα. Αυτό σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς ( γενικός τύπος S = (a + b) * h/2) όχι μόνο μέσω του ύψους, αλλά και μέσω της πλευράς δίπλα στη σωστή γωνία.
3. Για ένα ορθογώνιο τραπέζιο, οι γενικές ιδιότητες των τραπεζοειδών διαγωνίων που περιγράφηκαν ήδη παραπάνω είναι σχετικές.

Αποδείξεις ορισμένων ιδιοτήτων ενός τραπεζοειδούς

Ισότητα γωνιών στη βάση ισοσκελούς τραπεζοειδούς:

• Πιθανώς ήδη μαντέψατε ότι εδώ χρειαζόμαστε ξανά το τραπέζιο ACME - σχεδιάστε ένα ισοσκελές τραπέζιο. Σχεδιάστε μια ευθεία ΜΤ από την κορυφή Μ παράλληλη στην πλευρά της ΑΚ (ΜΤ || ΑΚ).

Το τετράπλευρο ΑΚΜΤ που προκύπτει είναι ένα παραλληλόγραμμο (ΑΚ || ΜΤ, ΚΜ || ΑΤ). Εφόσον ME = KA = MT, το ∆ MTE είναι ισοσκελές και MET = MTE.

ΑΚ || ΜΤ, άρα ΜΤΕ = ΚΑΕ, ΜΕΤ = ΜΤΕ = ΚΑΕ.

Όπου ΑΚΜ = 180 0 - ΜΕΤ = 180 0 - ΚΑΕ = ΚΜΕ.

Q.E.D.

Τώρα, με βάση την ιδιότητα του ισοσκελούς τραπεζοειδούς (ισότητα των διαγωνίων), αποδεικνύουμε ότι τραπεζίου Το ACME είναι ισοσκελές:

• Αρχικά, ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή ΜΧ – ΜΧ || ΚΕ. Παίρνουμε ένα παραλληλόγραμμο KMHE (βάση - MX || KE και KM || EX).

Το ΔAMH είναι ισοσκελές, αφού AM = KE = MX, και MAX = ΜΕΑ.

MX || ΚΕ, ΚΕΑ = ΜΧΕ, άρα ΜΑΕ = ΜΧΕ.

Αποδείχθηκε ότι τα τρίγωνα AKE και EMA είναι ίσα μεταξύ τους, επειδή το AM \u003d KE και το AE είναι η κοινή πλευρά των δύο τριγώνων. Και επίσης MAE \u003d MXE. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ΑΚ = ΜΕ, και ως εκ τούτου προκύπτει ότι το τραπεζοειδές ΑΚΜΕ είναι ισοσκελές.

Εργασία για επανάληψη

Οι βάσεις του τραπεζοειδούς ACME είναι 9 cm και 21 cm, η πλευρά του KA, ίση με 8 cm, σχηματίζει γωνία 150 0 με μικρότερη βάση. Πρέπει να βρείτε την περιοχή του τραπεζοειδούς.

Λύση: Από την κορυφή Κ χαμηλώνουμε το ύψος στη μεγαλύτερη βάση του τραπεζοειδούς. Και ας αρχίσουμε να κοιτάμε τις γωνίες του τραπεζοειδούς.

Οι γωνίες AEM και KAN είναι μονόπλευρες. Που σημαίνει ότι αθροίζονται μέχρι 1800. Επομένως, KAN = 30 0 (με βάση την ιδιότητα των γωνιών του τραπεζοειδούς).

Σκεφτείτε τώρα το ορθογώνιο ∆ANK (νομίζω ότι αυτό το σημείο είναι προφανές στους αναγνώστες χωρίς περαιτέρω απόδειξη). Από αυτό βρίσκουμε το ύψος του τραπεζοειδούς KH - σε ένα τρίγωνο είναι ένα πόδι, το οποίο βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 30 0. Επομένως, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Η περιοχή του τραπεζοειδούς βρίσκεται με τον τύπο: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Επίλογος

Εάν μελετήσατε προσεκτικά και προσεκτικά αυτό το άρθρο, δεν ήσασταν πολύ τεμπέλης να σχεδιάσετε τραπεζοειδή για όλες τις παραπάνω ιδιότητες με ένα μολύβι στα χέρια σας και να τα αναλύσετε στην πράξη, θα πρέπει να έχετε μάθει καλά το υλικό.

Φυσικά, υπάρχουν πολλές πληροφορίες εδώ, ποικίλες και μερικές φορές ακόμη και συγκεχυμένες: δεν είναι τόσο δύσκολο να συγχέουμε τις ιδιότητες του τραπεζοειδούς που περιγράφεται με τις ιδιότητες του εγγεγραμμένου. Είδες όμως ο ίδιος ότι η διαφορά είναι τεράστια.

Τώρα έχετε μια λεπτομερή περίληψη όλων κοινές ιδιότητεςτραπεζοειδές. Καθώς και συγκεκριμένες ιδιότητες και χαρακτηριστικά ισοσκελές και ορθογώνιων τραπεζοειδών. Είναι πολύ βολικό στη χρήση για προετοιμασία για τεστ και εξετάσεις. Δοκιμάστε το μόνοι σας και μοιραστείτε το σύνδεσμο με τους φίλους σας!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Η διάμεση γραμμή ενός τραπεζοειδούς, και ιδιαίτερα οι ιδιότητές του, χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στη γεωμετρία για την επίλυση προβλημάτων και την απόδειξη ορισμένων θεωρημάτων.

είναι ένα τετράπλευρο με μόνο 2 πλευρές παράλληλες μεταξύ τους. Οι παράλληλες πλευρές ονομάζονται βάσεις (στο Σχήμα 1 - ΕΝΑ Δκαι προ ΧΡΙΣΤΟΥ), τα άλλα δύο είναι πλευρικά (στο σχήμα ΑΒκαι CD).

Μέση γραμμή του τραπεζοειδούς- αυτό είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μεσαία σημεία των πλευρικών πλευρών του (στο Σχήμα 1 - KL).

Ιδιότητες της μέσης γραμμής τραπεζοειδούς

Απόδειξη του θεωρήματος της μέσης γραμμής του τραπεζίου

Αποδεικνύωότι η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς είναι ίση με το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων του και είναι παράλληλη με αυτές τις βάσεις.

Ντάνα τραπεζοειδές Α Β Γ Δμε μέση γραμμή KL. Για την απόδειξη των ιδιοτήτων που εξετάζονται, απαιτείται η χάραξη ευθείας γραμμής στα σημεία σικαι μεγάλο. Στο σχήμα 2, αυτή είναι μια ευθεία γραμμή BQ. Και επίσης συνεχίστε τη βάση ΕΝΑ Δστη διασταύρωση με τη γραμμή BQ.

Εξετάστε τα τρίγωνα που προκύπτουν LBCκαι LQD:

1. Εξ ορισμού της μέσης γραμμής KLτελεία μεγάλοείναι το μέσο του τμήματος CD. Από αυτό προκύπτει ότι τα τμήματα CLκαι LDείναι ίσα.
2. ∠BLC = ∠QLDγιατί αυτές οι γωνίες είναι κάθετες.
3. ∠BCL = ∠LDQ, αφού αυτές οι γωνίες βρίσκονται εγκάρσια σε παράλληλες ευθείες ΕΝΑ Δκαι προ ΧΡΙΣΤΟΥκαι τέμνουσα CD.

Από αυτές τις 3 ισότητες προκύπτει ότι τα τρίγωνα που εξετάστηκαν προηγουμένως LBCκαι LQDείναι ίσες σε 1 πλευρά και δύο γωνίες δίπλα της (βλ. Εικ. 3). Συνεπώς, ∠ LBC = ∠LQD, BC=DQκαι το πιο σημαντικό - BL=LQ => KL, που είναι η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ, είναι επίσης η μέση γραμμή του τριγώνου ABQ. Σύμφωνα με την ιδιότητα της μέσης γραμμής ενός τριγώνου ABQπαίρνουμε.

ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑσχήματα στην επιπεδομετρία - ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των δύο πλευρών ενός δεδομένου σχήματος. Η έννοια χρησιμοποιείται για τα ακόλουθα σχήματα: τρίγωνο, τετράπλευρο, τραπεζοειδές.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 3

✪ 8η τάξη, Μάθημα 25, Η μέση γραμμή του τριγώνου

✪ γεωμετρία ΜΕΣΗ ΓΡΑΜΜΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Atanasyan Βαθμός 8

✪ Η μεσαία γραμμή του τριγώνου | Γεωμετρία 7-9 τάξη #62 | μάθημα πληροφοριών

Υπότιτλοι

Μέση γραμμή του τριγώνου

Ιδιότητες

• η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι παράλληλη με τη βάση και ίση με το μισό της.
• στη διασταύρωση και των τριών μεσαίων γραμμών σχηματίζονται 4 ίσα τρίγωνα παρόμοια (ακόμη και ομοθετικά) με το αρχικό με συντελεστή 1/2.
• η μεσαία γραμμή κόβει ένα τρίγωνο που είναι παρόμοιο με το δεδομένο και η περιοχή του είναι ίση με το ένα τέταρτο της περιοχής του αρχικού τριγώνου.
• Οι τρεις μεσαίες γραμμές του τριγώνου το χωρίζουν σε 4 ίσα (πανομοιότυπα) τρίγωνα παρόμοια με το αρχικό τρίγωνο. Καλούνται και τα 4 τέτοια ίδια τρίγωνα μεσαία τρίγωνα. Το κεντρικό από αυτά τα 4 πανομοιότυπα τρίγωνα ονομάζεται συμπληρωματικό τρίγωνο.

σημάδια

• εάν το τμήμα είναι παράλληλο σε μία από τις πλευρές του τριγώνου και συνδέει το μέσο της μιας πλευράς του τριγώνου με ένα σημείο που βρίσκεται στην άλλη πλευρά του τριγώνου, τότε αυτή είναι η μέση γραμμή.

Μέση γραμμή του τετράπλευρου

Μέση γραμμή του τετράπλευρουΕυθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετράπλευρου.

Ιδιότητες

Η πρώτη γραμμή συνδέει 2 απέναντι πλευρές. Το δεύτερο συνδέει άλλες 2 απέναντι πλευρές. Η τρίτη συνδέει τα κέντρα των δύο διαγωνίων (όχι σε όλα τα τετράπλευρα οι διαγώνιοι διχοτομούνται από το σημείο τομής).

• Αν σε ένα κυρτό τετράπλευρο η μέση γραμμή σχηματίζει ίσες γωνίες με τις διαγώνιους του τετράπλευρου, τότε οι διαγώνιοι είναι ίσες.
• Το μήκος της μέσης γραμμής ενός τετράπλευρου είναι μικρότερο ή ίσο με το μισό του αθροίσματος των άλλων δύο πλευρών εάν αυτές οι πλευρές είναι παράλληλες και μόνο σε αυτήν την περίπτωση.
• Τα μέσα των πλευρών ενός αυθαίρετου τετράπλευρου είναι οι κορυφές ενός παραλληλογράμμου. Το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τετράπλευρου και το κέντρο του βρίσκεται στο σημείο τομής των διάμεσων γραμμών. Αυτό το παραλληλόγραμμο ονομάζεται παραλληλόγραμμο Varignon.
• Το τελευταίο σημείο σημαίνει το εξής: Σε κυρτό τετράπλευρο, τέσσερα μεσαίες γραμμές του δεύτερου είδους. Μεσαίες γραμμές δεύτερου είδους- τέσσερα τμήματα μέσα στο τετράγωνο που διέρχονται από τα μέσα των παρακείμενων πλευρών του παράλληλα με τις διαγώνιες. Τέσσερα μεσαίες γραμμές του δεύτερου είδουςκυρτό τετράπλευρο το κόβουμε σε τέσσερα τρίγωνα και ένα κεντρικό τετράπλευρο. Αυτό το κεντρικό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο του Varignon.
• Το σημείο τομής των μεσαίων γραμμών του τετράπλευρου είναι το κοινό τους μέσο και διχοτομεί το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων. Επιπλέον, αυτή είναι