Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στο διάστημα. Ορισμοί παραλληλεπίπεδου. Βασικές ιδιότητες και τύποι. Ορισμός: έννοια όγκου

κυβοειδές

Ένα κυβοειδές είναι ένα ορθογώνιο κυβοειδές στο οποίο όλες οι όψεις είναι ορθογώνια.

Αρκεί να κοιτάξουμε γύρω μας, και θα δούμε ότι τα αντικείμενα γύρω μας έχουν σχήμα παρόμοιο με παραλληλεπίπεδο. Μπορεί να διαφέρουν ως προς το χρώμα, να έχουν πολλές πρόσθετες λεπτομέρειες, αλλά αν αυτές οι λεπτές απορρίψεις απορριφθούν, τότε μπορούμε να πούμε ότι, για παράδειγμα, ένα ντουλάπι, ένα κουτί κ.λπ., έχουν περίπου το ίδιο σχήμα.

Την έννοια του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου συναντάμε σχεδόν καθημερινά! Κοιτάξτε γύρω σας και πείτε μου πού βλέπετε ορθογώνια κουτιά; Δείτε το βιβλίο, γιατί είναι ακριβώς ένα τέτοιο σχήμα! Ένα τούβλο, ένα σπιρτόκουτο, ένα ξύλινο μπλοκ έχουν το ίδιο σχήμα και ακόμη και αυτή τη στιγμή βρίσκεστε μέσα σε ένα ορθογώνιο κυβοειδές, γιατί η τάξη είναι η πιο φωτεινή ερμηνεία αυτού του γεωμετρικού σχήματος.

Ασκηση:Ποια παραδείγματα παραλληλεπίπεδου μπορείτε να ονομάσετε;

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο κυβοειδές. Και τι βλέπουμε;

Πρώτον, βλέπουμε ότι αυτό το σχήμα σχηματίζεται από έξι ορθογώνια, τα οποία είναι οι όψεις ενός κυβοειδούς.

Δεύτερον, το κυβοειδές έχει οκτώ κορυφές και δώδεκα άκρες. Οι άκρες ενός κυβοειδούς είναι οι πλευρές των όψεών του και οι κορυφές του κυβοειδούς είναι οι κορυφές των όψεων.

Ασκηση:

1. Πώς ονομάζεται καθεμία από τις όψεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου; 2. Χάρη σε ποιες παραμέτρους μπορεί να μετρηθεί ένα παραλληλόγραμμο; 3. Ορίστε αντίθετες όψεις.

Τύποι παραλληλεπίπεδων

Αλλά τα παραλληλεπίπεδα δεν είναι μόνο ορθογώνια, αλλά μπορούν επίσης να είναι ίσια και κεκλιμένα, και οι ευθείες γραμμές χωρίζονται σε ορθογώνιες, μη ορθογώνιες και κύβους.

Εργασία: Δείτε την εικόνα και πείτε ποια παραλληλεπίπεδα φαίνονται σε αυτήν. Σε τι διαφέρει ένα κυβοειδές από έναν κύβο;

Ιδιότητες κυβοειδούς

Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει μια σειρά από σημαντικές ιδιότητες:

Πρώτον, το τετράγωνο της διαγωνίου αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών κύριων παραμέτρων του: ύψος, πλάτος και μήκος.

Δεύτερον, και οι τέσσερις διαγώνιοι του είναι απολύτως πανομοιότυπες.

Τρίτον, εάν και οι τρεις παράμετροι του παραλληλεπίπεδου είναι ίδιες, δηλαδή το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα, τότε ένα τέτοιο παραλληλεπίπεδο ονομάζεται κύβος και όλες οι όψεις του θα είναι ίσες με το ίδιο τετράγωνο.

Ασκηση

1. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει ίσες όψεις; Εάν υπάρχουν, τότε δείξτε τα στην εικόνα. 2. Από ποια γεωμετρικά σχήματα αποτελούνται οι όψεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου; 3. Ποια είναι η διάταξη των ίσων όψεων μεταξύ τους; 4. Ονομάστε τον αριθμό των ζευγών ίσων όψεων αυτού του σχήματος. 5. Βρείτε τις ακμές του κυβοειδούς που δείχνουν το μήκος, το πλάτος, το ύψος του. Πόσους μέτρησες;

Εργο

Για να οργανώσει όμορφα ένα δώρο γενεθλίων για τη μητέρα της, η Τάνια πήρε ένα κουτί σε σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου. Το μέγεθος αυτού του κουτιού είναι 25cm*35cm*45cm. Για να κάνει αυτό το πακέτο όμορφο, η Tanya αποφάσισε να το επικολλήσει όμορφο χαρτί, το κόστος του οποίου είναι 3 hryvnia ανά 1 dm2. Πόσα χρήματα πρέπει να ξοδέψετε για χαρτί περιτυλίγματος;

Γνωρίζατε ότι ο διάσημος ψευδαισθητής Ντέιβιντ Μπλέιν, ως μέρος ενός πειράματος, πέρασε 44 ημέρες σε ένα γυάλινο κουτί που κρέμονταν πάνω από τον Τάμεση. Αυτές τις 44 μέρες δεν έφαγε, αλλά ήπιε μόνο νερό. Στο εθελοντικό του σωφρονιστικό κατάστημα, ο Ντέιβιντ πήρε μόνο εργαλεία γραφής, μαξιλάρι και στρώμα και μαντήλια.

Στη γεωμετρία, οι βασικές έννοιες είναι το επίπεδο, το σημείο, η ευθεία και η γωνία. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους όρους, μπορεί να περιγραφεί οποιοδήποτε γεωμετρικό σχήμα. Τα πολύεδρα περιγράφονται συνήθως με όρους απλούστερων σχημάτων που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, όπως κύκλος, τρίγωνο, τετράγωνο, ορθογώνιο κ.λπ. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τι είναι ένα παραλληλεπίπεδο, θα περιγράψουμε τους τύπους των παραλληλεπίπεδων, τις ιδιότητές του, από ποια στοιχεία αποτελείται και θα δώσουμε επίσης τους βασικούς τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού και του όγκου για κάθε τύπο παραλληλεπίπεδου.

Ορισμός

Ένα παραλληλεπίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο είναι ένα πρίσμα, του οποίου όλες οι πλευρές είναι παραλληλόγραμμα. Κατά συνέπεια, μπορεί να έχει μόνο τρία ζεύγη παραλληλόγραμμων ή έξι όψεις.

Για να απεικονίσετε το κουτί, φανταστείτε ένα κανονικό τυπικό τούβλο. τούβλο - Καλό παράδειγμαορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που μπορεί να φανταστεί και ένα παιδί. Άλλα παραδείγματα είναι πολυώροφα προκατασκευασμένα σπίτια, ντουλάπια, κατάλληλα διαμορφωμένα δοχεία αποθήκευσης τροφίμων κ.λπ.

Ποικιλίες του σχήματος

Υπάρχουν μόνο δύο τύποι παραλληλεπίπεδων:

1. Ορθογώνιο, του οποίου όλες οι πλευρικές όψεις έχουν γωνία 90 o ως προς τη βάση και είναι ορθογώνια.
2. Κεκλιμένα, οι πλευρικές όψεις των οποίων βρίσκονται σε μια ορισμένη γωνία ως προς τη βάση.

Σε ποια στοιχεία μπορεί να χωριστεί αυτό το σχήμα;

• Όπως σε κάθε άλλο γεωμετρικό σχήμα, σε ένα παραλληλεπίπεδο, όσες όψεις έχουν κοινή ακμή λέγονται γειτονικές και όσες δεν το έχουν παράλληλες (με βάση την ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου που έχει κατά ζεύγη παράλληλες απέναντι πλευρές).
• Οι κορυφές ενός παραλληλεπιπέδου που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη ονομάζονται αντίθετες κορυφές.
• Το τμήμα που συνδέει τέτοιες κορυφές είναι διαγώνιο.
• Τα μήκη των τριών άκρων ενός κυβοειδούς που ενώνονται σε μία κορυφή είναι οι διαστάσεις του (δηλαδή το μήκος, το πλάτος και το ύψος του).

Ιδιότητες σχήματος

1. Χτίζεται πάντα συμμετρικά ως προς το μέσο της διαγώνιου.
2. Το σημείο τομής όλων των διαγωνίων χωρίζει κάθε διαγώνιο σε δύο ίσα τμήματα.
3. Οι αντίθετες όψεις είναι ίσες σε μήκος και βρίσκονται σε παράλληλες γραμμές.
4. Εάν προσθέσετε τα τετράγωνα όλων των διαστάσεων του πλαισίου, η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση με το τετράγωνο του μήκους της διαγώνιας.

Τύποι υπολογισμού

Οι τύποι για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση παραλληλεπίπεδου θα είναι διαφορετικοί.

Για ένα αυθαίρετο παραλληλεπίπεδο, ισχύει η πρόταση ότι ο όγκος του είναι ίσος με την απόλυτη τιμή του τριπλού προϊόν με κουκκίδεςδιανύσματα τριών πλευρών που προέρχονται από την ίδια κορυφή. Ωστόσο, δεν υπάρχει τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός αυθαίρετου παραλληλεπίπεδου.

Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V είναι ο όγκος του σχήματος.
• Sb - πλευρική επιφάνεια.
• Sp - περιοχή πλήρη επιφάνεια;
• α - μήκος?
• β - πλάτος;
• γ - ύψος.

Μια άλλη ειδική περίπτωση παραλληλεπίπεδου στο οποίο όλες οι πλευρές είναι τετράγωνες είναι ένας κύβος. Εάν οποιαδήποτε από τις πλευρές του τετραγώνου συμβολίζεται με το γράμμα a, τότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι τύποι για την επιφάνεια και τον όγκο αυτού του σχήματος:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• ΜΙΚΡΟ- περιοχή σχήματος,
• V είναι ο όγκος του σχήματος,
• α - το μήκος του προσώπου του σχήματος.

Το τελευταίο είδος παραλληλεπίπεδου που εξετάζουμε είναι ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ κυβοειδούς και κυβοειδούς, ρωτάτε. Το γεγονός είναι ότι η βάση ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου μπορεί να είναι οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο και η βάση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να είναι μόνο ένα ορθογώνιο. Αν ορίσουμε την περίμετρο της βάσης, ίση με το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών, ως Po, και προσδιορίσουμε το ύψος ως h, έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω τύπους για να υπολογίσουμε τον όγκο και τα εμβαδά του πλήρους και του πλάγιου επιφάνειες.

Στόχοι μαθήματος:

1. Εκπαιδευτικό:

Εισάγετε την έννοια του παραλληλεπίπεδου και τους τύπους του.
- να διατυπώσει (χρησιμοποιώντας την αναλογία με ένα παραλληλόγραμμο και ένα ορθογώνιο) και να αποδείξει τις ιδιότητες ενός παραλληλεπίπεδου και ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου.
- επαναλάβετε ερωτήσεις που σχετίζονται με την παραλληλία και την καθετότητα στο χώρο.

2. Ανάπτυξη:

Συνεχίστε να αναπτύσσετε σε μαθητές όπως γνωστικές διαδικασίεςως αντίληψη, κατανόηση, σκέψη, προσοχή, μνήμη.
- να προωθήσει την ανάπτυξη στοιχείων δημιουργικής δραστηριότητας στους μαθητές ως ιδιότητες σκέψης (διαίσθηση, χωρική σκέψη).
- να διαμορφώσει στους μαθητές την ικανότητα εξαγωγής συμπερασμάτων, συμπεριλαμβανομένης της αναλογίας, η οποία βοηθά στην κατανόηση των ενδο-θεματικών συνδέσεων στη γεωμετρία.

3. Εκπαιδευτικά:

Συμβολή στην εκπαίδευση της οργάνωσης, στη συνήθεια της συστηματικής εργασίας.
- να προωθήσει τη διαμόρφωση αισθητικών δεξιοτήτων στην προετοιμασία δίσκων, την εκτέλεση σχεδίων.

Είδος μαθήματος: νέο υλικό μαθήματος (2 ώρες).

Δομή μαθήματος:

1. Οργανωτική στιγμή.
2. Πραγματοποίηση της γνώσης.
3. Εκμάθηση νέου υλικού.
4. Σύνοψη και ρύθμιση της εργασίας.

Εξοπλισμός: αφίσες (διαφάνειες) με αποδεικτικά στοιχεία, μοντέλα διαφόρων γεωμετρικών σωμάτων, συμπεριλαμβανομένων όλων των τύπων παραλληλεπίπεδων, προβολέας γραφημάτων.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

1. Οργανωτική στιγμή.

2. Πραγματοποίηση της γνώσης.

Αναφορά του θέματος του μαθήματος, διατύπωση στόχων και στόχων μαζί με τους μαθητές, επίδειξη της πρακτικής σημασίας της μελέτης του θέματος, επανάληψη θεμάτων που έχουν μελετηθεί προηγουμένως σχετικά με αυτό το θέμα.

3. Εκμάθηση νέου υλικού.

3.1. Παραλληλεπίπεδο και οι τύποι του.

Τα μοντέλα παραλληλεπίπεδων επιδεικνύονται με την αναγνώριση των χαρακτηριστικών τους που βοηθούν στη διατύπωση του ορισμού ενός παραλληλεπίπεδου χρησιμοποιώντας την έννοια του πρίσματος.

Ορισμός:

ΠαραλληλεπίπεδοΈνα πρίσμα του οποίου η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο ονομάζεται.

Σχεδιάζεται ένα παραλληλεπίπεδο (Εικόνα 1), τα στοιχεία του παραλληλεπίπεδου παρατίθενται ως ειδική περίπτωση πρίσματος. Εμφανίζεται η διαφάνεια 1.

Σχηματική σημειογραφία του ορισμού:

Τα συμπεράσματα εξάγονται από τον ορισμό:

1) Αν το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι πρίσμα και το ABCD είναι παραλληλόγραμμο, τότε το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι παραλληλεπίπεδο.

2) Εάν ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - παραλληλεπίπεδο, τότε το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι ένα πρίσμα και το ABCD είναι ένα παραλληλόγραμμο.

3) Εάν το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 δεν είναι πρίσμα ή το ABCD δεν είναι παραλληλόγραμμο, τότε
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - όχι παραλληλεπίπεδο.

4) . Εάν το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 δεν είναι παραλληλεπίπεδο, τότε το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 δεν είναι πρίσμα ή το ABCD δεν είναι παραλληλόγραμμο.

Περαιτέρω, εξετάζονται ειδικές περιπτώσεις παραλληλεπίπεδου με την κατασκευή ενός σχήματος ταξινόμησης (βλ. Εικ. 3), παρουσιάζονται μοντέλα και διακρίνονται οι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός ευθύγραμμου και ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, διατυπώνονται οι ορισμοί τους.

Ορισμός:

Ένα παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση.

Ορισμός:

Το παραλληλεπίπεδο λέγεται ορθογώνιος, αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση και η βάση είναι ορθογώνιο (βλ. Εικόνα 2).

Αφού γραφτούν οι ορισμοί σε σχηματική μορφή, διατυπώνονται τα συμπεράσματα από αυτούς.

3.2. Ιδιότητες παραλληλεπίπεδων.

Αναζήτηση επιπεδομετρικών σχημάτων των οποίων τα χωρικά ανάλογα είναι ένα παραλληλεπίπεδο και ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (παραλληλόγραμμο και ορθογώνιο). Στην περίπτωση αυτή, έχουμε να κάνουμε με την οπτική ομοιότητα των μορφών. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα συμπερασμάτων κατ' αναλογία, οι πίνακες συμπληρώνονται.

Κανόνας συμπερασμάτων κατ' αναλογία:

1. Επιλέξτε ανάμεσα σε προηγουμένως μελετημένα φιγούρες σχήμαπαρόμοιο με αυτό.
2. Διατυπώστε μια ιδιότητα του επιλεγμένου σχήματος.
3. Διατυπώστε μια παρόμοια ιδιότητα του αρχικού σχήματος.
4. Να αποδείξετε ή να αντικρούσετε τη διατυπωμένη δήλωση.

Μετά τη διαμόρφωση των ιδιοτήτων, η απόδειξη καθεμιάς από αυτές πραγματοποιείται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

• συζήτηση του σχεδίου απόδειξης·
• επίδειξη διαφανειών απόδειξης (διαφάνειες 2-6).
• καταχώρηση τεκμηρίων σε τετράδια από μαθητές.

3.3 Ο κύβος και οι ιδιότητές του.

Ορισμός: Ένας κύβος είναι ένα κυβοειδές με και τις τρεις διαστάσεις ίσες.

Κατ' αναλογία με ένα παραλληλεπίπεδο, οι μαθητές κάνουν ανεξάρτητα μια σχηματική καταγραφή του ορισμού, αντλούν συνέπειες από αυτόν και διατυπώνουν τις ιδιότητες του κύβου.

4. Σύνοψη και ρύθμιση της εργασίας.

Εργασία για το σπίτι:

1. Χρησιμοποιώντας το περίγραμμα του μαθήματος, σύμφωνα με το εγχειρίδιο γεωμετρίας για τις τάξεις 10-11, Λ.Σ. Atanasyan και άλλοι, μελέτη κεφ.1, §4, σ.13, κεφ.2, §3, σ.24.
2. Να αποδείξετε ή να καταρρίψετε την ιδιότητα του παραλληλεπίπεδου, στοιχείο 2 του πίνακα.
3. Απάντησε σε ερωτήσεις ασφαλείας.

Ερωτήσεις ελέγχου.

1. Είναι γνωστό ότι μόνο δύο πλευρικές όψεις ενός παραλληλεπιπέδου είναι κάθετες στη βάση. Τι είδους παραλληλεπίπεδο;

2. Πόσες πλευρικές όψεις ορθογώνιου σχήματος μπορεί να έχει ένα παραλληλεπίπεδο;

3. Είναι δυνατόν να έχουμε παραλληλεπίπεδο με μία μόνο πλευρική όψη:

1) κάθετα στη βάση.
2) έχει σχήμα ορθογωνίου.

4. Σε ορθό παραλληλεπίπεδο όλες οι διαγώνιοι είναι ίσες. Είναι ορθογώνιο;

5. Είναι αλήθεια ότι σε ορθό παραλληλεπίπεδο τα διαγώνια τμήματα είναι κάθετα στα επίπεδα της βάσης;

6. Να διατυπώσετε ένα θεώρημα αντίστροφο προς το θεώρημα στο τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου.

7. Ποια πρόσθετα χαρακτηριστικά διακρίνουν έναν κύβο από έναν κυβοειδή;

8. Θα είναι ένας κύβος ένα παραλληλεπίπεδο στο οποίο όλες οι ακμές είναι ίσες σε μία από τις κορυφές;

9. Να διατυπώσετε ένα θεώρημα στο τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου για την περίπτωση ενός κύβου.

Θεώρημα. Σε κάθε παραλληλεπίπεδο, οι απέναντι όψεις είναι ίσες και παράλληλες.

Έτσι, οι όψεις (Εικ.) BB 1 C 1 C και AA 1 D 1 D είναι παράλληλες, επειδή δύο τεμνόμενες ευθείες BB 1 και B 1 C 1 μιας όψης είναι παράλληλες σε δύο τεμνόμενες ευθείες AA 1 και A 1 D 1 του το άλλο. Αυτές οι όψεις είναι ίσες, αφού B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (ως απέναντι πλευρές των παραλληλογραμμών) και ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Θεώρημα. Σε οποιοδήποτε παραλληλεπίπεδο, και οι τέσσερις διαγώνιοι τέμνονται σε ένα σημείο και χωρίζονται στο μισό σε αυτό.

Πάρτε (εικ.) σε παραλληλεπίπεδο οποιεσδήποτε δύο διαγώνιους, για παράδειγμα, AC 1 και DB 1, και σχεδιάστε ευθείες γραμμές AB 1 και DC 1.

Εφόσον οι ακμές AD και B 1 C 1 είναι αντίστοιχα ίσες και παράλληλες με την ακμή BC, είναι ίσες και παράλληλες μεταξύ τους.

Ως αποτέλεσμα, το σχήμα ADC 1 B 1 είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο τα C 1 A και DB 1 είναι διαγώνιες και στο παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι τέμνονται στο μισό.

Αυτή η απόδειξη μπορεί να επαναληφθεί για κάθε δύο διαγώνιους.

Επομένως, η διαγώνιος AC 1 τέμνεται με το BD 1 στο μισό, η διαγώνιος BD 1 με το A 1 C στο μισό.

Έτσι, όλες οι διαγώνιοι τέμνονται στο μισό και, επομένως, σε ένα σημείο.

Θεώρημα. Σε ένα κυβοειδές, το τετράγωνο οποιασδήποτε διαγώνιου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του.

Έστω (εικ.) AC 1 κάποια διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου.

Αφού σχεδιάσουμε το AC, έχουμε δύο τρίγωνα: AC 1 C και ACB. Και τα δύο είναι ορθογώνια.

το πρώτο επειδή το κουτί είναι ίσιο και επομένως η άκρη CC 1 είναι κάθετη στη βάση,

το δεύτερο γιατί το παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνιο, που σημαίνει ότι έχει ένα ορθογώνιο στη βάση του.

Από αυτά τα τρίγωνα βρίσκουμε:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 και AC 2 = AB 2 + BC 2

Επομένως, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Συνέπεια. Σε ένα κυβοειδές, όλες οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Ορισμός

πολύεδροθα ονομάσουμε μια κλειστή επιφάνεια που αποτελείται από πολύγωνα και οριοθετεί κάποιο μέρος του χώρου.

Τα τμήματα που είναι οι πλευρές αυτών των πολυγώνων ονομάζονται παϊδάκιαπολύεδρο και τα ίδια τα πολύγωνα - πρόσωπα. Οι κορυφές των πολυγώνων ονομάζονται κορυφές του πολυέδρου.

Θα εξετάσουμε μόνο κυρτά πολύεδρα (πρόκειται για ένα πολύεδρο που βρίσκεται στη μία πλευρά κάθε επιπέδου που περιέχει την όψη του).

Τα πολύγωνα που αποτελούν ένα πολύεδρο σχηματίζουν την επιφάνειά του. Το τμήμα του χώρου που οριοθετείται από ένα δεδομένο πολύεδρο ονομάζεται εσωτερικό του.

Ορισμός: πρίσμα

Σκεφτείτε δύο ίσο πολύγωνο\(A_1A_2A_3...A_n\) και \(B_1B_2B_3...B_n\) που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα έτσι ώστε τα τμήματα \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)είναι παράλληλες. Πολύεδρο που σχηματίζεται από πολύγωνα \(A_1A_2A_3...A_n\) και \(B_1B_2B_3...B_n\) , καθώς και από παραλληλόγραμμα \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), ονομάζεται (\(n\)-κάρβουνο) πρίσμα.

Τα πολύγωνα \(A_1A_2A_3...A_n\) και \(B_1B_2B_3...B_n\) ονομάζονται βάσεις του πρίσματος, παραλληλόγραμμο \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– πλαϊνές όψεις, τμήματα \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- πλαϊνά πλευρά.
Έτσι, οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι παράλληλες και ίσες μεταξύ τους.

Εξετάστε ένα παράδειγμα - ένα πρίσμα \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), του οποίου η βάση είναι ένα κυρτό πεντάγωνο.

ΥψοςΈνα πρίσμα είναι μια κάθετη από οποιοδήποτε σημείο μιας βάσης στο επίπεδο μιας άλλης βάσης.

Εάν οι πλευρικές ακμές δεν είναι κάθετες στη βάση, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται λοξός(Εικ. 1), διαφορετικά - ευθεία. Για ένα ευθύ πρίσμα, οι πλευρικές ακμές είναι ύψη και οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ορθογώνια.

Αν ένα κανονικό πολύγωνο βρίσκεται στη βάση ενός δεξιού πρίσματος, τότε το πρίσμα ονομάζεται σωστός.

Ορισμός: έννοια όγκου

Η μονάδα όγκου είναι ένας κύβος μονάδας (κύβος με διαστάσεις \(1\times1\times1\) μονάδες\(^3\) , όπου η μονάδα είναι κάποια μονάδα μέτρησης).

Μπορούμε να πούμε ότι ο όγκος ενός πολυέδρου είναι η ποσότητα του χώρου που περιορίζει αυτό το πολύεδρο. Διαφορετικά: είναι μια τιμή της οποίας η αριθμητική τιμή δείχνει πόσες φορές χωράει ένας μοναδιαίος κύβος και τα μέρη του σε ένα δεδομένο πολύεδρο.

Ο όγκος έχει τις ίδιες ιδιότητες με την περιοχή:

1. Οι όγκοι των ίσων ψηφίων είναι ίσοι.

2. Αν ένα πολύεδρο αποτελείται από πολλά πολύεδρα που δεν τέμνονται, τότε ο όγκος του είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων αυτών των πολύεδρων.

3. Ο όγκος είναι μια μη αρνητική τιμή.

4. Ο όγκος μετριέται σε cm\(^3\) (κυβικά εκατοστά), m\(^3\) (κυβικά μέτρα) κ.λπ.

Θεώρημα

1. Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος είναι ίσο με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του πρίσματος.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών όψεων του πρίσματος.

2. Όγκος πρίσματος είναι ίσο με το γινόμενοπεριοχή βάσης έως ύψος πρίσματος: \

Ορισμός: κουτί

ΠαραλληλεπίπεδοΕίναι ένα πρίσμα του οποίου η βάση είναι παραλληλόγραμμο.

Όλες οι όψεις του παραλληλεπίπεδου (οι \(6\) : \(4\) πλευρικές όψεις και οι βάσεις \(2\)) είναι παραλληλόγραμμες και οι απέναντι όψεις (παράλληλες μεταξύ τους) είναι ίσα παραλληλόγραμμα (Εικ. 2).

Διαγώνιος του κουτιούείναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές ενός παραλληλεπίπεδου που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη (το \(8\ τους) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)και τα λοιπά.).

κυβοειδέςείναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ορθογώνιο στη βάση του.
Επειδή είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, τότε οι πλευρικές όψεις είναι ορθογώνιες. Άρα, γενικά, όλες οι όψεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια.

Όλες οι διαγώνιοι ενός κυβοειδούς είναι ίσες (αυτό προκύπτει από την ισότητα των τριγώνων \(\τρίγωνο ACC_1=\τρίγωνο AA_1C=\τρίγωνο BDD_1=\τρίγωνο BB_1D\)και τα λοιπά.).

Σχόλιο

Έτσι, το παραλληλεπίπεδο έχει όλες τις ιδιότητες ενός πρίσματος.

Θεώρημα

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσο με \

Η συνολική επιφάνεια ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι \

Θεώρημα

Ο όγκος ενός κυβοειδούς είναι ίσος με το γινόμενο τριών άκρων του που βγαίνουν από μια κορυφή (τρεις διαστάσεις κυβοειδούς): \

Απόδειξη

Επειδή για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στη βάση, τότε είναι και τα ύψη της, δηλαδή \(h=AA_1=c\) η βάση είναι ορθογώνιο \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Από εδώ προέρχεται η φόρμουλα.

Θεώρημα

Η διαγώνιος \(d\) ενός κυβοειδούς αναζητείται από τον τύπο (όπου \(a,b,c\) είναι οι διαστάσεις του κυβοειδούς)\

Απόδειξη

Σκεφτείτε το Σχ. 3. Επειδή η βάση είναι ορθογώνιο, τότε το \(\τρίγωνο ABD\) είναι ορθογώνιο, επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Επειδή όλες οι πλευρικές άκρες είναι κάθετες στις βάσεις, λοιπόν \(BB_1\perp (ABC) \Δεξί βέλος BB_1\)κάθετη σε οποιαδήποτε ευθεία σε αυτό το επίπεδο, δηλ. \(BB_1\perp BD\) . Άρα το \(\τρίγωνο BB_1D\) είναι ορθογώνιο. Στη συνέχεια με το Πυθαγόρειο θεώρημα \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Ορισμός: κύβος

Κύβοςείναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, του οποίου όλες οι πλευρές είναι ίσα τετράγωνα.

Έτσι, οι τρεις διαστάσεις είναι ίσες μεταξύ τους: \(a=b=c\) . Ισχύουν λοιπόν τα παρακάτω

Θεωρήματα

1. Ο όγκος ενός κύβου με ακμή \(a\) είναι \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Η διαγώνιος του κύβου αναζητείται με τον τύπο \(d=a\sqrt3\) .

3. Συνολική επιφάνεια ενός κύβου \(S_(\text(full.circumcube))=6a^2\).