Θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών

Απόδειξη

Αφήνω ΑΛΦΑΒΗΤΟ" είναι ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Ας πάμε πάνω από την κορυφή σι ευθεία γραμμή παράλληλη προς ευθείαΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ (Μια τέτοια ευθεία ονομάζεται Ευκλείδεια ευθεία). Σημειώστε ένα σημείο σε αυτόρε ώστε τα σημείαΕΝΑ καιρε ξαπλώστε στις αντίθετες πλευρές μιας ευθείας γραμμής προ ΧΡΙΣΤΟΥ.Γωνίες DBCκαι ACBίσο με το εσωτερικό σταυρό που σχηματίζεται από μια διατομή προ ΧΡΙΣΤΟΥμε παράλληλες γραμμές ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι BD. Επομένως, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στις κορυφές σικαι ΑΠΟίσο με τη γωνία ABD.Το άθροισμα και των τριών γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών ABDκαι BAC. Δεδομένου ότι αυτές οι γωνίες είναι εσωτερικές μονόπλευρες για παράλληλες ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι BDσε τομή ΑΒ, τότε το άθροισμά τους είναι 180°. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συνέπειες

Από το θεώρημα προκύπτει ότι κάθε τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. Πράγματι, εφαρμόζοντας την απόδειξη με αντίφαση, ας υποθέσουμε ότι το τρίγωνο έχει μόνο μία οξεία γωνία ή καθόλου οξείες γωνίες. Τότε αυτό το τρίγωνο έχει τουλάχιστον δύο γωνίες, καθεμία από τις οποίες είναι τουλάχιστον 90°. Το άθροισμα αυτών των γωνιών δεν είναι μικρότερο από 180°. Αυτό όμως είναι αδύνατο, αφού το άθροισμα όλων των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°. Q.E.D.

Γενίκευση στη θεωρία του απλού

Πού είναι η γωνία μεταξύ των όψεων i και j του απλού.

Σημειώσεις

• Σε μια σφαίρα, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου υπερβαίνει πάντα τις 180°, η διαφορά ονομάζεται σφαιρική περίσσεια και είναι ανάλογη με το εμβαδόν του τριγώνου.
• Στο επίπεδο Lobachevsky, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντα μικρότερο από 180°. Η διαφορά είναι επίσης ανάλογη με το εμβαδόν του τριγώνου.

δείτε επίσης

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι το "Θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου" σε άλλα λεξικά:

Ιδιότητα των πολυγώνων στην Ευκλείδεια γεωμετρία: Το άθροισμα των γωνιών n ενός πολυγώνου είναι 180°(n 2). Περιεχόμενα 1 Απόδειξη 2 Παρατήρηση ... Wikipedia

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, που καθιερώνει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Περιεχόμενα 1 ... Wikipedia

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, που καθιερώνει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Περιεχόμενα 1 Δηλώσεις 2 Αποδείξεις ... Wikipedia

Το θεώρημα συνημιτόνου είναι μια γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Το τετράγωνο μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του χωρίς να διπλασιαστεί το γινόμενο αυτών των πλευρών με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας. Για ένα επίπεδο τρίγωνο με πλευρές α, β, γκαι γωνία α ... ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Τρίγωνο (έννοιες). Ένα τρίγωνο (στον Ευκλείδειο χώρο) είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από τρία ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τρία μη γραμμικά σημεία. Τρεις τελείες, ... ... Wikipedia

Τυπική σημειογραφία Το τρίγωνο είναι το απλούστερο πολύγωνο που έχει 3 κορυφές (γωνίες) και 3 πλευρές. ένα τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τρία ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν αυτά τα σημεία σε ζεύγη. Οι κορυφές ενός τριγώνου ... Wikipedia

Αρχαίος Έλληνας μαθηματικός. Εργάστηκε στην Αλεξάνδρεια τον ΙΙΙ αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. Κύρια εργασία"Αρχές" (15 βιβλία), που περιέχει τα βασικά των αρχαίων μαθηματικών, στοιχειώδη γεωμετρία, θεωρία αριθμών, γενική θεωρίασχέσεις και μέθοδος προσδιορισμού εμβαδών και όγκων, ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

- (πέθανε μεταξύ 275 και 270 π.Χ.) αρχαίος Έλληνας μαθηματικός. Πληροφορίες για τον χρόνο και τον τόπο γέννησής του δεν έχουν φτάσει σε εμάς, αλλά είναι γνωστό ότι ο Ευκλείδης έζησε στην Αλεξάνδρεια και η ακμή της δραστηριότητάς του πέφτει στη βασιλεία του Πτολεμαίου Α' στην Αίγυπτο ... ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Μια γεωμετρία παρόμοια με τη γεωμετρία του Ευκλείδη στο ότι ορίζει την κίνηση των σχημάτων, αλλά διαφέρει από την Ευκλείδεια γεωμετρία στο ότι ένα από τα πέντε αξιώματά της (το δεύτερο ή το πέμπτο) αντικαθίσταται από την άρνησή του. Άρνηση ενός από τα ευκλείδεια αξιώματα ... ... Εγκυκλοπαίδεια Collier

(βασική περίληψη)

Οπτική γεωμετρία τάξη 7. Περίληψη αναφοράς Νο. 4 Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.

Μεγάλος Γάλλος επιστήμονας του 17ου αιώνα Μπλεζ Πασκάλ Ως παιδί, του άρεσε να ασχολείται με τα γεωμετρικά σχήματα. Ήταν εξοικειωμένος με το μοιρογνωμόνιο και ήξερε να μετράει γωνίες. Ο νεαρός ερευνητής παρατήρησε ότι για όλα τα τρίγωνα το άθροισμα τριών γωνιών είναι το ίδιο - 180 °. «Πώς μπορείς να το αποδείξεις; σκέφτηκε ο Πασκάλ. "Σε τελική ανάλυση, δεν μπορείτε να ελέγξετε το άθροισμα των γωνιών όλων των τριγώνων - υπάρχει ένας άπειρος αριθμός από αυτά." Έπειτα έκοψε δύο γωνίες του τριγώνου με ψαλίδι και τις προσάρτησε στην τρίτη γωνία. Αποδείχθηκε μια ανεπτυγμένη γωνία, η οποία, όπως γνωρίζετε, είναι ίση με 180 °. Ήταν η πρώτη δική του ανακάλυψη. Η περαιτέρω μοίρα του αγοριού ήταν ήδη προκαθορισμένη.

Σε αυτό το θέμα, θα μάθετε για πέντε χαρακτηριστικά ισότητας ορθογωνίου τριγώνου και ίσως την πιο δημοφιλή ιδιότητα ενός ορθογώνιου τριγώνου με γωνία 30°. Ακούγεται κάπως έτσι: ένα πόδι που βρίσκεται σε γωνία 30 °, τα μισαυποτείνουσα. Διαιρώντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο με ύψος, παίρνουμε αμέσως μια απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

ΘΕΩΡΗΜΑ. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°. Για να το αποδείξουμε αυτό, σχεδιάζουμε μια ευθεία στην κορυφή παράλληλη προς τη βάση. Οι σκοτεινές γωνίες είναι ίσες και οι γκρι γωνίες είναι ίσες καθώς βρίσκονται σε παράλληλες γραμμές. Η σκοτεινή γωνία, η γκρίζα γωνία και η γωνία στην κορυφή σχηματίζουν μια ευθεία γωνία, το άθροισμά τους είναι 180°. Από το θεώρημα προκύπτει ότι οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 60° η καθεμία και ότι το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 90°.

εξωτερική γωνίατρίγωνο ονομάζεται η γωνία που γειτνιάζει με τη γωνία του τριγώνου. Επομένως, μερικές φορές οι γωνίες του ίδιου του τριγώνου ονομάζονται εσωτερικές γωνίες.

ΘΕΩΡΗΜΑ για την εξωτερική γωνία τριγώνου. Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα δύο εσωτερικών γωνιών που δεν γειτνιάζουν με αυτό. Πράγματι, μια εξωτερική γωνία και δύο εσωτερικές που δεν γειτνιάζουν με αυτήν συμπληρώνουν τη γεμάτη γωνία έως και 180°. Από το θεώρημα προκύπτει ότι μια εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε εσωτερική γωνία που δεν γειτνιάζει με αυτήν.

ΘΕΩΡΗΜΑ για τις σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών τριγώνου. Σε ένα τρίγωνο, η μεγαλύτερη πλευρά είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία και η μεγαλύτερη είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία. Από αυτό προκύπτει: 1) Το πόδι είναι μικρότερο από την υποτείνουσα. 2) Η κάθετη είναι μικρότερη από την κλίση.

Απόσταση από σημείο σε γραμμή . Δεδομένου ότι η κάθετη είναι μικρότερη από οποιαδήποτε λοξή που σύρεται από το ίδιο σημείο, το μήκος της λαμβάνεται ως η απόσταση από το σημείο προς την ευθεία.

τριγωνική ανισότητα . Το μήκος οποιασδήποτε πλευράς ενός τριγώνου είναι μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών του, δηλ. ένα< b + с , σι< а + с , Με< а + σι . Συνέπεια. Το μήκος της πολυγραμμής είναι μεγαλύτερο από το τμήμα που συνδέει τα άκρα της.

ΣΗΜΑΔΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΙΑ

Σε δύο πόδια. Αν δύο σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με δύο σκέλη ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Κατά μήκος του ποδιού και παρακείμενη οξεία γωνία. Εάν το σκέλος και η οξεία γωνία που γειτνιάζει με αυτό ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και η οξεία γωνία που γειτνιάζει με αυτό ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Κατά μήκος του ποδιού και απέναντι οξεία γωνία. Εάν το σκέλος και η αντίθετη οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και την αντίθετη οξεία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Με υποτείνουσα και οξεία γωνία. Αν η υποτείνουσα και η οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με την υποτείνουσα και την οξεία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Η απόδειξη αυτών των κριτηρίων ανάγεται αμέσως σε ένα από τα κριτήρια για την ισότητα των τριγώνων.

Με το πόδι και την υπόταση. Αν το σκέλος και η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και την υποτείνουσα ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Απόδειξη. Εφαρμόζουμε τρίγωνα με ίσα πόδια. Παίρνουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο. Το ύψος του που τραβιέται από την κορυφή θα είναι επίσης το διάμεσο. Τότε τα δεύτερα σκέλη των τριγώνων είναι ίσα και τα τρίγωνα είναι ίσα στις τρεις πλευρές.

ΘΕΩΡΗΜΑ στην ιδιότητα ενός ποδιού που βρίσκεται απέναντι από γωνία 30°. Το σκέλος απέναντι από τη γωνία των 30° είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας. Αποδεικνύεται συμπληρώνοντας το τρίγωνο σε ισόπλευρο.

ΘΕΩΡΗΜΑ για την ιδιότητα των σημείων διχοτόμων γωνίας. Οποιοδήποτε σημείο στη διχοτόμο μιας γωνίας έχει ίση απόσταση από τις πλευρές του. Εάν ένα σημείο απέχει από τις πλευρές μιας γωνίας, τότε βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας. Αποδεικνύεται σχεδιάζοντας δύο κάθετες στις πλευρές της γωνίας και θεωρώντας ορθογώνια τρίγωνα.

Δεύτερο σπουδαίο σημείο . Οι διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόσταση μεταξύ παράλληλων γραμμών. ΘΕΩΡΗΜΑ. Όλα τα σημεία καθεμιάς από τις δύο παράλληλες ευθείες βρίσκονται στην ίδια απόσταση από την άλλη ευθεία. Ο ορισμός της απόστασης μεταξύ παράλληλων ευθειών προκύπτει από το θεώρημα.

Ορισμός. Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών είναι η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο μιας από τις παράλληλες ευθείες μέχρι την άλλη ευθεία.

Λεπτομερείς αποδείξεις θεωρημάτων

Αυτή είναι η περίληψη αναφοράς Νο. 4 στη γεωμετρία στην τάξη 7. Επιλέξτε τα επόμενα βήματα:

Ένα τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο με τρεις πλευρές (τρεις γωνίες). Τις περισσότερες φορές, οι πλευρές σημειώνονται με μικρά γράμματα, που αντιστοιχούν στα κεφαλαία γράμματα που δηλώνουν αντίθετες κορυφές. Σε αυτό το άρθρο, θα εξοικειωθούμε με τους τύπους αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, ένα θεώρημα που καθορίζει ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.

Τύποι με βάση το μέγεθος των γωνιών

Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι πολυγώνων με τρεις κορυφές:

• οξεία γωνία, στην οποία όλες οι γωνίες είναι αιχμηρές.
• ορθογώνιο, που έχει μία ορθή γωνία, με τις γεννήτριές του, που ονομάζονται πόδια, και την πλευρά που είναι τοποθετημένη απέναντι ορθή γωνία, ονομάζεται υποτείνουσα?
• αμβλύς όταν είναι μόνος.
• ισοσκελές, στις οποίες δύο πλευρές είναι ίσες, και ονομάζονται πλευρικές, και η τρίτη είναι η βάση του τριγώνου.
• ισόπλευρο, έχοντας και τις τρεις ίσες πλευρές.

Ιδιότητες

Κατανείμετε τις κύριες ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές για κάθε τύπο τριγώνου:

• απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά υπάρχει πάντα μεγαλύτερη γωνία και αντίστροφα.
• αντίθετες πλευρές ίσου μεγέθους είναι ίσες γωνίες, και αντίστροφα;
• Κάθε τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες.
• μια εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη σε σύγκριση με οποιαδήποτε εσωτερική γωνία που δεν γειτνιάζει με αυτήν.
• το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο γωνιών είναι πάντα μικρότερο από 180 μοίρες.
• Μια εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο γωνιών που δεν τέμνονται μαζί της.

Θεώρημα αθροίσματος τριγώνων γωνιών

Το θεώρημα λέει ότι αν αθροίσουμε όλες τις γωνίες ενός δεδομένου γεωμετρικό σχήμα, που βρίσκεται στο ευκλείδειο επίπεδο, τότε το άθροισμά τους θα είναι 180 μοίρες. Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα.

Ας έχουμε ένα αυθαίρετο τρίγωνο με κορυφές του KMN.

Σχεδιάστε ένα KN μέσω της κορυφής M (αυτή η γραμμή ονομάζεται επίσης ευκλείδεια γραμμή). Σημειώνουμε πάνω του το σημείο Α με τέτοιο τρόπο ώστε τα σημεία Κ και Α να βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές της ευθείας ΜΝ. Παίρνουμε ίσες γωνίες ΑΜΝ και ΚΝΜ, οι οποίες, όπως και οι εσωτερικές, βρίσκονται εγκάρσια και σχηματίζονται από την τέμνουσα ΜΝ μαζί με ευθείες ΚΝ και ΜΑ, οι οποίες είναι παράλληλες. Από αυτό προκύπτει ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου που βρίσκεται στις κορυφές Μ και Η είναι ίσο με το μέγεθος της γωνίας ΚΜΑ. Και οι τρεις γωνίες αποτελούν το άθροισμα, το οποίο είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών ΚΜΑ και ΜΚΝ. Δεδομένου ότι αυτές οι γωνίες είναι εσωτερικές μονόπλευρες ως προς τις παράλληλες ευθείες KN και MA με τέμνουσα KM, το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συνέπεια

Το ακόλουθο συμπέρασμα προκύπτει από το θεώρημα που αποδείχθηκε παραπάνω: κάθε τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι ένα δεδομένο γεωμετρικό σχήμα έχει μόνο μία οξεία γωνία. Μπορεί επίσης να υποτεθεί ότι καμία από τις γωνίες δεν είναι οξεία. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο γωνίες ίσες ή μεγαλύτερες από 90 μοίρες. Αλλά τότε το άθροισμα των γωνιών θα είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Αλλά αυτό δεν μπορεί να είναι, γιατί σύμφωνα με το θεώρημα, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ° - ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο. Αυτό έπρεπε να αποδειχθεί.

Εξωτερική γωνιακή ιδιοκτησία

Ποιο είναι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου; Αυτή η ερώτηση μπορεί να απαντηθεί με έναν από τους δύο τρόπους. Το πρώτο είναι ότι είναι απαραίτητο να βρεθεί το άθροισμα των γωνιών, οι οποίες λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή, δηλαδή τρεις γωνίες. Το δεύτερο υπονοεί ότι πρέπει να βρείτε το άθροισμα και των έξι γωνιών στις κορυφές. Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την πρώτη επιλογή. Έτσι, το τρίγωνο περιέχει έξι εξωτερικές γωνίες - δύο σε κάθε κορυφή.

Κάθε ζευγάρι έχει ίσες γωνίες επειδή είναι κάθετες:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Επιπλέον, είναι γνωστό ότι η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα δύο εσωτερικών που δεν τέμνονται με αυτό. Συνεπώς,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Από αυτό προκύπτει ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, που λαμβάνονται μία κάθε φορά κοντά σε κάθε κορυφή, θα είναι ίσο με:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Δεδομένου ότι το άθροισμα των γωνιών ισούται με 180 μοίρες, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι ∟A + ∟B + ∟C = 180°. Και αυτό σημαίνει ότι ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Εάν χρησιμοποιηθεί η δεύτερη επιλογή, τότε το άθροισμα των έξι γωνιών θα είναι, αντίστοιχα, διπλάσιο. Δηλαδή, το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του τριγώνου θα είναι:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Ορθογώνιο τρίγωνο

Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου που είναι οξείες; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα, πάλι, προκύπτει από το θεώρημα, το οποίο δηλώνει ότι οι γωνίες σε ένα τρίγωνο είναι 180 μοίρες. Και η δήλωση (ιδιότητα) μας ακούγεται ως εξής: ορθογώνιο τρίγωνοΟι οξείες γωνίες αθροίζονται έως και 90 μοίρες. Ας αποδείξουμε ότι είναι αλήθεια.

Ας μας δοθεί ένα τρίγωνο KMN, στο οποίο ∟Н = 90°. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι ∟K + ∟M = 90°.

Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα αθροίσματος γωνιών, ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Η συνθήκη μας λέει ότι ∟Н = 90°. Αποδεικνύεται λοιπόν, ∟K + ∟M + 90° = 180°. Δηλαδή ∟K + ∟M = 180° - 90° = 90°. Αυτό ακριβώς έπρεπε να αποδείξουμε.

Εκτός από τις παραπάνω ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να προσθέσετε τα ακόλουθα:

• Οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι στα πόδια είναι έντονες.
• η υποτείνουσα είναι τριγωνική περισσότερο από οποιοδήποτε από τα σκέλη.
• το άθροισμα των ποδιών είναι μεγαλύτερο από την υποτείνουσα.
• το σκέλος του τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 30 μοιρών, είναι το ήμισυ της υποτείνουσας, δηλαδή είναι ίσο με το μισό της.

Ως άλλη ιδιότητα αυτού του γεωμετρικού σχήματος, μπορεί να διακριθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. Δηλώνει ότι σε ένα τρίγωνο με γωνία 90 μοιρών (ορθογώνιο), το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Το άθροισμα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου

Παλαιότερα είπαμε ότι ένα πολύγωνο με τρεις κορυφές και δύο ίσες πλευρές λέγεται ισοσκελές. Αυτή η ιδιότητα ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος είναι γνωστή: οι γωνίες στη βάση του είναι ίσες. Ας το αποδείξουμε.

Πάρτε το τρίγωνο KMN, το οποίο είναι ισοσκελές, το KN είναι η βάση του.

Απαιτείται να αποδείξουμε ότι ∟K = ∟H. Λοιπόν, ας πούμε ότι το MA είναι η διχοτόμος του τριγώνου μας KMN. Τρίγωνο ICA με το πρώτο σημάδι ισότητας ίσο με τρίγωνο MNA. Δηλαδή, από συνθήκη δίνεται ότι KM = NM, MA είναι μια κοινή πλευρά, ∟1 = ∟2, αφού η MA είναι διχοτόμος. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι αυτά τα δύο τρίγωνα είναι ίσα, μπορούμε να δηλώσουμε ότι ∟K = ∟Н. Άρα το θεώρημα αποδεικνύεται.

Μας ενδιαφέρει όμως ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου (ισοσκελές). Εφόσον από αυτή την άποψη δεν έχει τις δικές του ιδιαιτερότητες, θα ξεκινήσουμε από το θεώρημα που εξετάσαμε προηγουμένως. Δηλαδή, μπορούμε να πούμε ότι ∟K + ∟M + ∟H = 180°, ή 2 x ∟K + ∟M = 180° (αφού ∟K = ∟H). Δεν θα αποδείξουμε αυτή την ιδιότητα, αφού το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου αποδείχθηκε νωρίτερα.

Εκτός από τις εξεταζόμενες ιδιότητες σχετικά με τις γωνίες ενός τριγώνου, υπάρχουν επίσης τέτοιες σημαντικές δηλώσεις:

• στην οποία κατέβηκε στη βάση, είναι ταυτόχρονα η διάμεσος, η διχοτόμος της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ ίσων πλευρών, καθώς και η βάση της.
• διάμεσοι (διχοτόμοι, ύψη) που έλκονται στις πλευρές ενός τέτοιου γεωμετρικού σχήματος είναι ίσες.

Ισόπλευρο τρίγωνο

Λέγεται επίσης δεξιά, αυτό είναι το τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Επομένως, οι γωνίες είναι επίσης ίσες. Το καθένα είναι 60 μοίρες. Ας αποδείξουμε αυτή την ιδιότητα.

Ας πούμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο KMN. Γνωρίζουμε ότι KM = NM = KN. Και αυτό σημαίνει ότι σύμφωνα με την ιδιότητα των γωνιών που βρίσκονται στη βάση μέσα ισοσκελές τρίγωνο, ∟K = ∟M = ∟H. Εφόσον, σύμφωνα με το θεώρημα, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, τότε 3 x ∟К = 180° ή ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ Н = 60°. Έτσι, ο ισχυρισμός αποδεικνύεται.

Όπως φαίνεται από την παραπάνω απόδειξη με βάση το θεώρημα, το άθροισμα των γωνιών, όπως και το άθροισμα των γωνιών κάθε άλλου τριγώνου, είναι 180 μοίρες. Δεν χρειάζεται να αποδείξουμε ξανά αυτό το θεώρημα.

Υπάρχουν επίσης τέτοιες ιδιότητες χαρακτηριστικές ενός ισόπλευρου τριγώνου:

• η διάμεσος, η διχοτόμος, το ύψος σε ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα είναι ίδια και το μήκος τους υπολογίζεται ως (a x √3): 2;
• Εάν περιγράφετε έναν κύκλο γύρω από ένα δεδομένο πολύγωνο, τότε η ακτίνα του θα είναι ίση με (a x √3): 3;
• αν εγγράψετε έναν κύκλο σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, τότε η ακτίνα του θα είναι (a x √3): 6;
• το εμβαδόν αυτού του γεωμετρικού σχήματος υπολογίζεται με τον τύπο: (a2 x √3): 4.

αμβλύ τρίγωνο

Εξ ορισμού, μία από τις γωνίες του είναι μεταξύ 90 και 180 μοιρών. Δεδομένου όμως ότι οι άλλες δύο γωνίες αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι οξείες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν ξεπερνούν τις 90 μοίρες. Επομένως, το θεώρημα του αθροίσματος τριγώνων των γωνιών λειτουργεί κατά τον υπολογισμό του αθροίσματος των γωνιών σε ένα αμβλύ τρίγωνο. Αποδεικνύεται ότι μπορούμε να πούμε με ασφάλεια, με βάση το παραπάνω θεώρημα, ότι το άθροισμα των γωνιών ενός αμβλείας τριγώνου είναι 180 μοίρες. Και πάλι, αυτό το θεώρημα δεν χρειάζεται να αποδειχθεί εκ νέου.

Ενότητες: Μαθηματικά

Παρουσίαση . (Διαφάνεια 1)

Τύπος μαθήματος:νέο υλικό μάθησης.

Στόχοι μαθήματος:

• Εκπαιδευτικός:
  • θεωρήστε το θεώρημα του αθροίσματος των γωνιών τριγώνου,
  • δείξτε την εφαρμογή του θεωρήματος στην επίλυση προβλημάτων.
• Εκπαιδευτικός:
  • ενθάρρυνση της θετικής στάσης των μαθητών στη γνώση,
  • ενσταλάξει την εμπιστοσύνη στους μαθητές μέσω ενός μαθήματος.
• Εκπαιδευτικός:
  • ανάπτυξη αναλυτικής σκέψης,
  • ανάπτυξη «δεξιοτήτων μάθησης»: χρήση γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων εκπαιδευτική διαδικασία,
  • ανάπτυξη λογική σκέψηικανότητα να διατυπώνουν με σαφήνεια τις σκέψεις τους.

Εξοπλισμός:διαδραστικός πίνακας, παρουσίαση, κάρτες.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΕΓΩ. Οργάνωση χρόνου

- Σήμερα στο μάθημα θα θυμηθούμε τους ορισμούς των ορθογώνιων, ισοσκελές, ισόπλευρων τριγώνων. Ας επαναλάβουμε τις ιδιότητες των γωνιών τριγώνων. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των εσωτερικών μονόπλευρων και εσωτερικών εγκάρσιων γωνιών, θα αποδείξουμε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου και θα μάθουμε πώς να το εφαρμόζουμε στην επίλυση προβλημάτων.

II. Προφορικά(Διαφάνεια 2)

1) Βρείτε στα σχήματα ορθογώνια, ισοσκελή, ισόπλευρα τρίγωνα.
2) Ορίστε αυτά τα τρίγωνα.
3) Να διατυπώσετε τις ιδιότητες των γωνιών ενός ισόπλευρου και ισοσκελούς τριγώνου.

4) Στο σχήμα ΚΕ ΙΙ ΝΗ. (διαφάνεια 3)

– Καθορίστε διατομές για αυτές τις γραμμές
– Βρείτε εσωτερικές μονόπλευρες γωνίες, εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες, ονομάστε τις ιδιότητές τους

III. Επεξήγηση νέου υλικού

Θεώρημα.Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 o

Σύμφωνα με τη διατύπωση του θεωρήματος, τα παιδιά κατασκευάζουν ένα σχέδιο, γράφουν την συνθήκη, το συμπέρασμα. Απαντώντας στις ερωτήσεις, να αποδείξετε ανεξάρτητα το θεώρημα.

Δεδομένος: Αποδεικνύω:

Απόδειξη:

1. Σχεδιάστε μια ευθεία BD II AC στην κορυφή Β του τριγώνου.
2. Καθορίστε τομές για παράλληλες γραμμές.
3. Τι μπορούμε να πούμε για τις γωνίες CBD και ACB; (κάνω εγγραφή)
4. Τι γνωρίζουμε για τις γωνίες CAB και ABD; (κάνω εγγραφή)
5. Αντικαταστήστε τη γωνία CBD με τη γωνία ACB
6. Βγάλε ένα συμπέρασμα.

IV. Ολοκληρώστε την προσφορά.(Διαφάνεια 4)

1. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ...
2. Σε ένα τρίγωνο, μια από τις γωνίες είναι ίση, η άλλη, η τρίτη γωνία του τριγώνου είναι ίση με ...
3. Το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ...
4. Οι γωνίες ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσες με ...
5. Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες ...
6. Αν η γωνία μεταξύ των πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 1000, τότε οι γωνίες στη βάση είναι ...

V. Λίγο ιστορία.(Διαφάνειες 5-7)

Απόδειξη:

• Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.
• Σχεδιάστε μια ευθεία DK στην κορυφή Β παράλληλη στη βάση AC.
• \γωνία CBK= \γωνία C ως εσωτερική εγκάρσια κείμενη με παράλληλα DK και AC, και τέμνουσα BC.
• \γωνία DBA = \γωνία Εσωτερικό εγκάρσια κείται στο DK \παράλληλο AC και σε τέμνουσα AB. Η γωνία DBK είναι ευθεία και ίση με
• \γωνία DBK = \γωνία DBA + \γωνία Β + \γωνία CBK
• Εφόσον η ευθεία γωνία είναι 180 ^\circ , και \γωνία CBK = \γωνία C και \γωνία DBA = \γωνία A , παίρνουμε 180 ^\circ = \γωνία A + \γωνία Β + \γωνία Γ.

Θεώρημα αποδεδειγμένο

Συνέπειες από το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου:

1. Το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 90°.
2. Σε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, κάθε οξεία γωνία είναι 45°.
3. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, κάθε γωνία είναι 60°.
4. Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, είτε όλες οι γωνίες είναι οξείες, είτε δύο γωνίες είναι οξείες και η τρίτη είναι αμβλεία ή ορθή.
5. Μια εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα δύο εσωτερικών γωνιών που δεν είναι γειτονικές με αυτό.

Θεώρημα εξωτερικής γωνίας τριγώνου

Μια εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο υπόλοιπων γωνιών του τριγώνου που δεν γειτνιάζουν με αυτήν την εξωτερική γωνία.

Απόδειξη:

• Δίνεται τρίγωνο ABC, όπου BCD είναι η εξωτερική γωνία.
• \γωνία BAC + \γωνία ABC +\γωνία BCA = 180^0
• Από τις ισότητες, η γωνία \γωνία BCD + \γωνία BCA = 180^0
• Παίρνουμε \γωνία BCD = \γωνία BAC+\γωνία ABC.