Ο άξονας προβολής είναι η θέση του σημείου. Κατασκευή προβολών σημείων που ανήκουν στις επιφάνειες γεωμετρικών σωμάτων

Σε αυτό το άρθρο, θα βρούμε απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με το πώς να δημιουργήσετε μια προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο και πώς να καθορίσετε τις συντεταγμένες αυτής της προβολής. Στο θεωρητικό μέρος, θα βασιστούμε στην έννοια της προβολής. Θα δώσουμε ορισμούς όρων, θα συνοδεύσουμε τις πληροφορίες με απεικονίσεις. Ας εμπεδώσουμε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν λύνοντας παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Προβολή, είδη προβολής

Για διευκόλυνση της εξέτασης των χωρικών σχημάτων, χρησιμοποιούνται σχέδια που απεικονίζουν αυτά τα σχήματα.

Ορισμός 1

Προβολή μιας φιγούρας σε ένα επίπεδο- ένα σχέδιο μιας χωρικής φιγούρας.

Προφανώς, υπάρχει ένας αριθμός κανόνων που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή μιας προβολής.

Ορισμός 2

προβολή- η διαδικασία κατασκευής σχεδίου χωρικής φιγούρας σε επίπεδο χρησιμοποιώντας κατασκευαστικούς κανόνες.

Επίπεδο προβολήςείναι το επίπεδο στο οποίο είναι χτισμένη η εικόνα.

Η χρήση ορισμένων κανόνων καθορίζει τον τύπο της προβολής: κεντρικόςή παράλληλο.

Μια ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής είναι η κάθετη προβολή ή η ορθογώνια προβολή: στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται κυρίως. Για το λόγο αυτό, το ίδιο το επίθετο «κάθετος» συχνά παραλείπεται στον λόγο: στη γεωμετρία λένε απλώς «προβολή σχήματος» και εννοούν με αυτό την κατασκευή μιας προβολής με τη μέθοδο της κάθετης προβολής. Σε ειδικές περιπτώσεις βέβαια μπορεί να οριστεί διαφορετικά.

Σημειώνουμε το γεγονός ότι η προβολή ενός σχήματος σε ένα επίπεδο είναι, στην πραγματικότητα, η προβολή όλων των σημείων αυτού του σχήματος. Επομένως, για να μπορέσουμε να μελετήσουμε ένα χωρικό σχήμα σε ένα σχέδιο, είναι απαραίτητο να αποκτήσουμε τη βασική ικανότητα προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο. Τι θα μιλήσουμε παρακάτω.

Θυμηθείτε ότι πιο συχνά στη γεωμετρία, μιλώντας για προβολή σε ένα επίπεδο, σημαίνουν τη χρήση κάθετης προβολής.

Θα κάνουμε κατασκευές που θα μας επιτρέψουν να αποκτήσουμε τον ορισμό της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένας τρισδιάστατος χώρος και σε αυτόν - ένα επίπεδο α και ένα σημείο M 1 που δεν ανήκει στο επίπεδο α. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή σε ένα δεδομένο σημείο M 1 ένακάθετη στο δεδομένο επίπεδο α. Το σημείο τομής της ευθείας α και του επιπέδου α θα συμβολίζεται ως Η 1 , με κατασκευή θα χρησιμεύει ως βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο Μ 1 στο επίπεδο α .

Εάν δοθεί ένα σημείο M 2, που ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο α, τότε το M 2 θα χρησιμεύσει ως προβολή του εαυτού του στο επίπεδο α.

Ορισμός 3

είναι είτε το ίδιο το σημείο (αν ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο), είτε η βάση της καθέτου που έπεσε από ένα δεδομένο σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Εύρεση των συντεταγμένων προβολής σημείου σε επίπεδο, παραδείγματα

Έστω στο τρισδιάστατο διάστημα που δίνεται: ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z, επίπεδο α, σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) . Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Η λύση προφανώς προκύπτει από τον παραπάνω ορισμό της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Σημειώνουμε την προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο α ως H 1 . Σύμφωνα με τον ορισμό, H 1 είναι το σημείο τομής του δεδομένου επιπέδου α και της ευθείας a που διέρχεται από το σημείο M 1 (κάθετο στο επίπεδο). Εκείνοι. οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ 1 που χρειαζόμαστε είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας α και του επιπέδου α.

Έτσι, για να βρούμε τις συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο:

Να πάρετε την εξίσωση του επιπέδου α (σε περίπτωση που δεν έχει οριστεί). Ένα άρθρο σχετικά με τους τύπους εξισώσεων επιπέδου θα σας βοηθήσει εδώ.

Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας a που διέρχεται από το σημείο M 1 και είναι κάθετη στο επίπεδο α (μελετήστε το θέμα της εξίσωσης της ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο).

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας α και του επιπέδου α (άρθρο - εύρεση των συντεταγμένων του σημείου τομής του επιπέδου και της ευθείας). Τα δεδομένα που θα ληφθούν θα είναι οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 στο επίπεδο α που χρειαζόμαστε.

Ας εξετάσουμε τη θεωρία σε πρακτικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Προσδιορίστε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 2, 4, 4) στο επίπεδο 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Λύση

Όπως βλέπουμε, μας δίνεται η εξίσωση του επιπέδου, δηλ. δεν χρειάζεται να το συνθέσετε.

Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας α που διέρχεται από το σημείο Μ 1 και είναι κάθετη στο δεδομένο επίπεδο. Για τους σκοπούς αυτούς, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α. Εφόσον η ευθεία a είναι κάθετη στο δεδομένο επίπεδο, τότε το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας a είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Με αυτόν τον τρόπο, a → = (2 , - 3 , 1) – διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a .

Τώρα συνθέτουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από το σημείο M 1 (- 2, 4, 4) και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Για να βρείτε τις επιθυμητές συντεταγμένες, το επόμενο βήμα είναι να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 και του επιπέδου 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Για το σκοπό αυτό, περνάμε από τις κανονικές εξισώσεις στις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Ας φτιάξουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Και λύστε το χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Έτσι, οι επιθυμητές συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου M 1 σε ένα δεδομένο επίπεδο α θα είναι: (0, 1, 5) .

Απάντηση: (0 , 1 , 5) .

Παράδειγμα 2

Τα σημεία А (0 , 0 , 2) δίνονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z τρισδιάστατου χώρου. Σε (2, - 1, 0) ; C (4, 1, 1) και Μ1 (-1, -2, 5). Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής M 1 στο επίπεδο A B C

Λύση

Πρώτα απ 'όλα, γράφουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Ας γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας a, που θα διέρχεται από το σημείο M 1 κάθετο στο επίπεδο A B C. Το επίπεδο x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 έχει ένα κανονικό διάνυσμα με συντεταγμένες (1, - 2, 2), δηλ. διάνυσμα a → = (1 , - 2 , 2) – διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a .

Τώρα, έχοντας τις συντεταγμένες του σημείου της ευθείας Μ 1 και τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος αυτής της ευθείας, γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας στο χώρο:

Στη συνέχεια προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του επιπέδου x - 2 y + 2 z - 4 = 0 και την ευθεία

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε στην εξίσωση του επιπέδου:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Τώρα με παραμετρικές εξισώσεις x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ βρείτε τις αξίεςμεταβλητές x, y και z με λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Έτσι, η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο A B C θα έχει συντεταγμένες (- 2, 0, 3) .

Απάντηση: (- 2 , 0 , 3) .

Ας σταθούμε χωριστά στο ζήτημα της εύρεσης των συντεταγμένων της προβολής ενός σημείου στα επίπεδα συντεταγμένων και των επιπέδων που είναι παράλληλα στα επίπεδα συντεταγμένων.

Έστω τα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και τα επίπεδα συντεταγμένων O x y , O x z και O y z. Οι συντεταγμένες προβολής αυτού του σημείου σε αυτά τα επίπεδα θα είναι αντίστοιχα: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) και (0 , y 1 , z 1) . Εξετάστε επίσης τα επίπεδα παράλληλα με τα δεδομένα επίπεδα συντεταγμένων:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Και οι προβολές του δεδομένου σημείου M 1 σε αυτά τα επίπεδα θα είναι σημεία με συντεταγμένες x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 και - D A , y 1 , z 1 .

Ας δείξουμε πώς προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα.

Ως παράδειγμα, ας ορίσουμε την προβολή του σημείου M 1 (x 1, y 1, z 1) στο επίπεδο A x + D = 0. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι παρόμοιες.

Το δεδομένο επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων O y z και i → = (1 , 0 , 0) είναι το κανονικό του διάνυσμα. Το ίδιο διάνυσμα χρησιμεύει ως το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής της κάθετης στο επίπεδο O y z . Τότε οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής που διασχίζεται από το σημείο M 1 και είναι κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο θα μοιάζουν με:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής αυτής της ευθείας και του δεδομένου επιπέδου. Πρώτα αντικαθιστούμε στην εξίσωση A x + D = 0 ισότητες: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 και παίρνουμε: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x ένα

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας για λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Δηλαδή, η προβολή του σημείου M 1 (x 1, y 1, z 1) στο επίπεδο θα είναι ένα σημείο με συντεταγμένες - D A , y 1 , z 1 .

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 6 , 0 , 1 2) στο επίπεδο συντεταγμένων O x y και στο επίπεδο 2 y - 3 = 0 .

Λύση

Το επίπεδο συντεταγμένων O x y θα αντιστοιχεί σε ένα ημιτελές γενική εξίσωσηεπίπεδο z = 0 . Η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο z \u003d 0 θα έχει συντεταγμένες (- 6, 0, 0) .

Η εξίσωση επιπέδου 2 y - 3 = 0 μπορεί να γραφτεί ως y = 3 2 2 . Τώρα απλώς γράψτε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 6 , 0 , 1 2) στο επίπεδο y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Απάντηση:(- 6 , 0 , 0) και - 6 , 3 2 2 , 1 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η θέση ενός σημείου στο χώρο μπορεί να προσδιοριστεί από τις δύο ορθογώνιες προεξοχές του, για παράδειγμα, οριζόντια και μετωπική, μετωπική και κατατομή. Συνδυασμός οποιωνδήποτε δύο ορθογώνιες προβολέςσας επιτρέπει να μάθετε την τιμή όλων των συντεταγμένων ενός σημείου, να δημιουργήσετε μια τρίτη προβολή, να προσδιορίσετε την οκτάδα στην οποία βρίσκεται. Σκεφτείτε μερικά τυπικές εργασίεςαπό το μάθημα της περιγραφικής γεωμετρίας.

Σύμφωνα με το δεδομένο σύνθετο σχέδιο των σημείων Α και Β, είναι απαραίτητο:

Ας προσδιορίσουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου Α, που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή Α (x, y, z). Η οριζόντια προβολή του σημείου Α είναι το σημείο Α ", που έχει συντεταγμένες x, y. Σχεδιάστε από το σημείο Α" κάθετες στους άξονες x, y και βρείτε, αντίστοιχα, A x, A y. Η συντεταγμένη x για το σημείο Α είναι ίση με το μήκος του τμήματος A x O με πρόσημο συν, αφού το A x βρίσκεται στην περιοχή θετικές αξίεςάξονας x. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, βρίσκουμε x \u003d 10. Η συντεταγμένη y είναι ίση με το μήκος του τμήματος A y O με αρνητικό πρόσημο, αφού t. A y βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα y . Δεδομένης της κλίμακας του σχεδίου, y = -30. Η μετωπική προβολή του σημείου Α - σημείο Α"" έχει συντεταγμένες x και z. Ας ρίξουμε την κάθετο από το A"" στον άξονα z και ας βρούμε το A z . Η συντεταγμένη z του σημείου Α είναι ίση με το μήκος του τμήματος A z O με αρνητικό πρόσημο, αφού το A z βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα z. Δεδομένης της κλίμακας του σχεδίου, z = -10. Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (10, -30, -10).

Οι συντεταγμένες του σημείου Β μπορούν να γραφτούν ως Β (x, y, z). Εξετάστε την οριζόντια προβολή του σημείου Β - σημείο Β. "Δεδομένου ότι βρίσκεται στον άξονα x, τότε B x \u003d B" και τη συντεταγμένη B y \u003d 0. Η τετμημένη x του σημείου Β είναι ίση με το μήκος του τμήματος B x O με πρόσημο συν. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, x = 30. Η μετωπική προβολή του σημείου B - σημείο B˝ έχει τις συντεταγμένες x, z. Σχεδιάστε μια κάθετο από το B"" στον άξονα z, βρίσκοντας έτσι το B z . Η εφαρμογή z του σημείου Β είναι ίση με το μήκος του τμήματος B z O με αρνητικό πρόσημο, αφού το B z βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα z. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, προσδιορίζουμε την τιμή z = -20. Άρα οι συντεταγμένες Β είναι (30, 0, -20). Όλες οι απαραίτητες κατασκευές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Κατασκευή προβολών σημείων

Τα σημεία Α και Β στο επίπεδο P 3 έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: A""" (y, z), B""" (y, z). Σε αυτή την περίπτωση, το Α"" και το Α""" βρίσκονται στην ίδια κάθετη προς τον άξονα z, αφού έχουν κοινή συντεταγμένη z. Με τον ίδιο τρόπο, οι Β""" και Β""" βρίσκονται σε κοινή κάθετο στον άξονα z. Για να βρούμε την προβολή προφίλ του t. A, παραμερίζουμε κατά μήκος του άξονα y την τιμή της αντίστοιχης συντεταγμένης που βρέθηκε νωρίτερα. Στο σχήμα, αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας ένα τόξο κύκλου ακτίνας A y O. Μετά από αυτό, σχεδιάζουμε μια κάθετο από το A y στη τομή με την κάθετο που έχει αποκατασταθεί από το σημείο A "" στον άξονα z. Το σημείο τομής των δύο αυτών καθέτων καθορίζει τη θέση του Α""".

Το σημείο Β""" βρίσκεται στον άξονα z, αφού η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι ίση με μηδέν. Για να βρείτε την προβολή προφίλ του σημείου Β σε αυτό το πρόβλημα, είναι απαραίτητο μόνο να σχεδιάσετε μια κάθετο από το Β"" στο ο άξονας z. Το σημείο τομής αυτής της καθέτου με τον άξονα z είναι Β """.

Προσδιορισμός της θέσης των σημείων στο χώρο

Οπτικοποιώντας τη χωρική διάταξη, που αποτελείται από τα επίπεδα προβολής P 1, P 2 και P 3, τη θέση των οκταντών, καθώς και τη σειρά μετατροπής της διάταξης σε διαγράμματα, μπορείτε να προσδιορίσετε απευθείας ότι το t. A βρίσκεται στο III οκτάντ, και το t. B βρίσκεται στο επίπεδο P 2 .

Μια άλλη επιλογή για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι η μέθοδος των εξαιρέσεων. Για παράδειγμα, οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (10, -30, -10). Η θετική τετμημένη x καθιστά δυνατό να κρίνουμε ότι το σημείο βρίσκεται στα τέσσερα πρώτα οκτάνια. Μια αρνητική συντεταγμένη y δείχνει ότι το σημείο βρίσκεται στη δεύτερη ή τρίτη οκτάδα. Τέλος, η αρνητική εφαρμογή του z υποδηλώνει ότι το σημείο Α βρίσκεται στην τρίτη οκτάδα. Η συλλογιστική που δίνεται φαίνεται ξεκάθαρα στον παρακάτω πίνακα.

Συντεταγμένες του σημείου Β (30, 0, -20). Εφόσον η τεταγμένη του t. B ισούται με μηδέν, το σημείο αυτό βρίσκεται στο επίπεδο προβολής П 2 . Η θετική τετμημένη και η αρνητική εφαρμογή του σημείου Β δείχνουν ότι βρίσκεται στο όριο της τρίτης και της τέταρτης οκτάδας.

Κατασκευή οπτικής εικόνας σημείων στο σύστημα επιπέδων P 1, P 2, P 3

Χρησιμοποιώντας την μετωπική ισομετρική προβολή, κατασκευάσαμε μια χωρική διάταξη της τρίτης οκτάδας. Είναι ένα ορθογώνιο τρίεδρο, του οποίου οι όψεις είναι τα επίπεδα P 1, P 2, P 3 και η γωνία (-y0x) είναι 45 º. Σε αυτό το σύστημα, τμήματα κατά μήκος των αξόνων x, y, z θα απεικονίζονται σε πλήρες μέγεθος χωρίς παραμόρφωση.

Η κατασκευή μιας οπτικής εικόνας του σημείου Α (10, -30, -10) θα ξεκινήσει με την οριζόντια προβολή του Α". Έχοντας παραμερίσει τις αντίστοιχες συντεταγμένες κατά μήκος της τετμημένης και των τεταγμένων, βρίσκουμε τα σημεία A x και A y. η τομή των καθέτων που αποκαθίστανται από τα A x και A y αντίστοιχα προς τους άξονες x και y καθορίζει τη θέση του σημείου Α». Βάζοντας από το Α" παράλληλα στον άξονα z προς τις αρνητικές του τιμές το τμήμα ΑΑ", του οποίου το μήκος είναι ίσο με 10, βρίσκουμε τη θέση του σημείου Α.

Μια οπτική εικόνα του σημείου Β (30, 0, -20) κατασκευάζεται με παρόμοιο τρόπο - στο επίπεδο P 2, οι αντίστοιχες συντεταγμένες πρέπει να σχεδιάζονται κατά μήκος των αξόνων x και z. Η τομή των καθέτων που ανακατασκευάζονται από τα B x και B z θα καθορίσει τη θέση του σημείου B.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, για τη διευκόλυνση της επίλυσης προβλημάτων, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν πρόσθετα επίπεδα προβολής κάθετα στα υπάρχοντα επίπεδα προβολής.

Εάν δίνονται οι οριζόντιες και μετωπικές προβολές ενός σημείου, τότε η προβολή προφίλ καθορίζεται από τον ακόλουθο αλγόριθμο.

Σχεδιάζουμε μια γραμμή σύνδεσης προβολής κάθετη στον άξονα Οζ.

Σε αυτή τη γραμμή της σύνδεσης προβολής, αναβάλλουμε το τμήμα ΑΛΛΑ 1 ΑΛΛΑ Χ =Α Ζ ΑΛΛΑ 3 .

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, είναι δυνατή η κατασκευή προβολών σημείων σε πρόσθετα επίπεδα προβολής (μέθοδος αντικατάστασης επιπέδων).

Ας δοθεί ένας βαθμός Α(Α 2 ,ΑΛΛΑ 1 ) και ένα νέο πρόσθετο επίπεδο προβολής Π 4 Π 1 . Χτίζω ΑΛΛΑ 4 – σημειακή προβολή ΑΛΛΑστο Π 4 .

Λύση

α) Κατασκευάζουμε μια γραμμή τομής επιπέδων Π 1 και Π 4 = Χ 1,4 ;

β) Μέσα από ένα σημείο ΑΛΛΑσχεδιάζουμε μια γραμμή επικοινωνίας προβολής Χ 1,4 .

γ) Κατασκευή προβολής ΑΛΛΑ 4 , Χρησιμοποιώ τμήματα γραμμής ΑΛΛΑ 2 ΑΛΛΑ Χ =Α 4 ΑΛΛΑ Χ .

Προβολές δύο σημείων ΑΛΛΑ 1 και ΑΛΛΑ 4 βρίσκονται στην ίδια γραμμή σύνδεσης προβολής κάθετα στον άξονα Χ 1,4 .

Απόσταση από την προβολή «νέου» σημείου ΑΛΛΑ 4 στον «νέο» άξονα Χ 1,4 ισούται με την απόσταση από την «παλιά» σημειακή προβολή ΑΛΛΑ 2 στον «παλιό» άξονα Χ 1,2 .

Αγωνιστικά σημεία

αγωνιστικά σημεία καλέστε ένα ζεύγος σημείων που βρίσκονται στην ίδια προεξέχουσα ακτίνα.

Από τα δύο ανταγωνιστικά σημεία, το ορατό σημείο είναι το σημείο που βρίσκεται πιο μακριά από το επίπεδο προβολής.

σημεία ΑΛΛΑκαι ΣΤΟονομάζεται οριζόντια ανταγωνιστική.

σημεία ΑΠΟκαι ρεονομάζονται μετωπικοί ανταγωνιστές.

Εισαγάγετε ένα επιπλέον επίπεδο έτσι ώστε τα σημεία ΑΛΛΑκαι ΣΤΟέγινε ανταγωνιστική.

Σχέδιο λύσης:

1 Κατασκευή άξονα Χ 1,4 ΕΝΑ 1 , σι 1 ;

2 Κατασκευάζουμε μια γραμμή σύνδεσης προβολής Χ 1,4 ;

3 Στη γραμμή της σύνδεσης προβολής, αφαιρέστε τα τμήματα ΕΝΑ Χ ΕΝΑ 2 = ΕΝΑ / Χ ΕΝΑ 4 , σι Χ σι 2 = σι / Χ σι 4 .

Υλικό αυτομελέτης Μοντελοποίηση αντικειμένων γραφικών 2d στο σύστημα γραφικών πυξίδας Εκκίνηση του συστήματος πυξίδας και τερματισμός λειτουργίας

Το σύστημα KOMPAS-3D-V8 εκκινείται παρόμοια με άλλα προγράμματα. Για να ξεκινήσετε το σύστημα, επιλέξτε το μενού \ Αρχή\ Όλα τα Ππρογράμματα\ ASCON \ΚΟΜΠΑΣ-3ρε- V8 και τρέξε ΠΥΞΙΔΑ. Μπορείτε να επιλέξετε τη συντόμευση του προγράμματος με το δείκτη του ποντικιού στο πεδίο της επιφάνειας εργασίας και να κάνετε διπλό κλικ στο αριστερό κουμπί του ποντικιού. Για να ανοίξετε ένα έγγραφο, κάντε κλικ στο κουμπί Ανοιξε στον πίνακα Πρότυπο . Για να ξεκινήσετε ένα νέο έγγραφο, κάντε κλικ στο κουμπί Δημιουργώστον πίνακα Πρότυποή εκτελέστε την εντολή Αρχείο > Δημιουργώκαι στο παράθυρο διαλόγου που ανοίγει, επιλέξτε τον τύπο του εγγράφου που θα δημιουργηθεί και κάντε κλικ Εντάξει.

Επιλέξτε μενού για να τελειώσετε. Αρχείο\Εξοδος, τον συνδυασμό πλήκτρων Alt-F4 ή κάντε κλικ στο κουμπί Κλείσιμο.

Οι κύριοι τύποι εγγράφων του γραφικού συστήματος πυξίδας

Ο τύπος του εγγράφου που δημιουργείται στο σύστημα KOMPAS εξαρτάται από τον τύπο των πληροφοριών που αποθηκεύονται σε αυτό το έγγραφο. Κάθε τύπος εγγράφου έχει μια επέκταση ονόματος αρχείου και το δικό του εικονίδιο.

1 Σχέδιο- ο κύριος τύπος γραφικού εγγράφου στο KOMPAS. Το σχέδιο περιέχει μια γραφική εικόνα του προϊόντος σε μία ή περισσότερες προβολές, ένα μπλοκ τίτλου, ένα πλαίσιο. Ένα σχέδιο KOMPAS περιέχει πάντα ένα φύλλο μιας μορφής που ορίζεται από το χρήστη. Το αρχείο σχεδίασης έχει την επέκταση .cdw.

2 Θραύσμα- βοηθητικός τύπος γραφικού εγγράφου στην ΚΟΜΠΑΣ. Ένα θραύσμα διαφέρει από ένα σχέδιο από την απουσία πλαισίου, μπλοκ τίτλου και άλλων αντικειμένων σχεδίασης του εγγράφου σχεδιασμού. Το Fragments store δημιούργησε τυπικές λύσεις για μελλοντική χρήση σε άλλα έγγραφα. Το αρχείο αποσπάσματος έχει την επέκταση .frw.

3 Έγγραφο κειμένου(επέκταση αρχείου . kdw);

4 Προσδιορισμός(επέκταση αρχείου . spw);

5 Συνέλευση(επέκταση αρχείου . ένα3 ρε);

6 Λεπτομέρεια- Τρισδιάστατη μοντελοποίηση (επέκταση αρχείου . Μ3 ρε);

Ένα σημείο στο χώρο ορίζεται από οποιεσδήποτε δύο προβολές του. Εάν είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια τρίτη προβολή σύμφωνα με δύο δεδομένες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η αντιστοιχία των τμημάτων των γραμμών σύνδεσης προβολής που λαμβάνονται κατά τον προσδιορισμό των αποστάσεων από ένα σημείο στο επίπεδο προβολής (βλ. Εικ. 2.27 και Σχ. 2.28).

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στο I octant

Δίνεται A 1 ; Α2	Κατασκευή Α 3
Δίνεται A 2 ; Α 3	Κατασκευάστε το Α 1
Δίνεται A 1 ; Α 3	Κατασκευάστε το Α 2

Εξετάστε τον αλγόριθμο για την κατασκευή του σημείου Α (Πίνακας 2.5)

Πίνακας 2.5

Αλγόριθμος για την κατασκευή του σημείου Α
σύμφωνα με τις δεδομένες συντεταγμένες Α ( Χ = 5, y = 20, z = -9)

Στα επόμενα κεφάλαια θα εξετάσουμε εικόνες: ευθείες και επίπεδα μόνο στο πρώτο τρίμηνο. Αν και όλες οι υπό εξέταση μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε τρίμηνο.

συμπεράσματα

Έτσι, με βάση τη θεωρία του G. Monge, είναι δυνατή η μετατροπή της χωρικής εικόνας της εικόνας (σημείο) σε επίπεδη.

Αυτή η θεωρία βασίζεται στα ακόλουθα σημεία:

1. Ολόκληρος ο χώρος χωρίζεται σε 4 τέταρτα με τη βοήθεια δύο αμοιβαία κάθετων επιπέδων p 1 και p 2, ή σε 8 οκτάδες προσθέτοντας ένα τρίτο αμοιβαία κάθετο επίπεδο p 3 .

2. Η εικόνα μιας χωρικής εικόνας σε αυτά τα επίπεδα λαμβάνεται χρησιμοποιώντας μια ορθογώνια (ορθογώνια) προβολή.

3. Για τη μετατροπή μιας χωρικής εικόνας σε επίπεδη εικόνα, θεωρείται ότι το επίπεδο p 2 είναι ακίνητο και το επίπεδο p 1 περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Χέτσι ώστε το θετικό ημιεπίπεδο p 1 να συμπίπτει με το αρνητικό ημιεπίπεδο p 2 , το αρνητικό μέρος του p 1 συμπίπτει με το θετικό μέρος p 2 .

4. Το επίπεδο p 3 περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z(γραμμές τομής των επιπέδων) μέχρι να ευθυγραμμιστούν με το επίπεδο p 2 (βλ. Εικ. 2.31).

Εικόνες που λαμβάνονται στα επίπεδα p 1 , p 2 και p 3 όταν ορθογώνια προβολήοι εικόνες ονομάζονται προβολές.

Τα επίπεδα p 1, p 2 και p 3, μαζί με τις προβολές που απεικονίζονται σε αυτά, σχηματίζουν ένα επίπεδο σύνθετο σχέδιοή διάγραμμα.

Γραμμές που συνδέουν τις προβολές της εικόνας ^ με τους άξονες Χ, y, z, ονομάζονται γραμμές προβολής.

Για πιο ακριβή ορισμό των εικόνων στο χώρο, μπορεί να εφαρμοστεί ένα σύστημα τριών αμοιβαία κάθετων επιπέδων p 1 , p 2 , p 3.

Ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, μπορείτε να επιλέξετε για την εικόνα είτε το σύστημα p 1 , p 2 ή p 1 , p 2 , p 3 .

Το σύστημα των επιπέδων p 1 , p 2 , p 3 μπορεί να συνδεθεί στο σύστημα Καρτεσιανές συντεταγμένες, που καθιστά δυνατό τον καθορισμό αντικειμένων όχι μόνο με γραφικό ή (λεκτικό) τρόπο, αλλά και αναλυτικά (χρησιμοποιώντας αριθμούς).

Αυτός ο τρόπος απεικόνισης εικόνων, ιδιαίτερα σημείων, καθιστά δυνατή την επίλυση τέτοιων προβλημάτων θέσης όπως:

• η θέση του σημείου σε σχέση με τα επίπεδα προβολής ( γενική θέση, που ανήκει στο επίπεδο, άξονας).
• θέση του σημείου σε τέταρτα (σε ποιο τέταρτο βρίσκεται το σημείο).
• τη θέση των σημείων μεταξύ τους (ψηλότερα, χαμηλότερα, πιο κοντά, μακρύτερα σε σχέση με τα επίπεδα των προβολών και του θεατή).
• τη θέση των σημειακών προβολών σε σχέση με τα επίπεδα προβολής (ίση απόσταση, πιο κοντά, πιο μακριά).

Εργασίες μέτρησης:

• ίση απόσταση της προβολής από τα επίπεδα προβολής.
• ο λόγος της αφαίρεσης της προβολής από τα επίπεδα προβολής (2-3 φορές, περισσότερες, λιγότερο).
• προσδιορισμός της απόστασης ενός σημείου από τα επίπεδα προβολής (κατά την εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων).

Ερωτήσεις για ενδοσκόπηση

1. Η ευθεία τομής των οποίων τα επίπεδα είναι ο άξονας z?

2. Η ευθεία τομής των οποίων τα επίπεδα είναι ο άξονας y?

3. Πώς εντοπίζεται η γραμμή προβολής σύνδεσης της μετωπικής και προφίλ προβολής του σημείου; Προβολή.

4. Ποιες συντεταγμένες καθορίζουν τη θέση της σημειακής προβολής: οριζόντια, μετωπική, κατατομή;

5. Σε ποιο τέταρτο βρίσκεται το σημείο F (10; -40; -20); Από ποιο επίπεδο προβολής βρίσκεται το σημείο F πιο μακριά;

6. Η απόσταση από ποια προβολή προς ποιον άξονα καθορίζει την απόσταση του σημείου από το επίπεδο p 1 ; Ποια είναι η συντεταγμένη του σημείου είναι αυτή η απόσταση;

Η προβολή ενός σημείου σε τρία επίπεδα προβολών της γωνίας συντεταγμένων ξεκινά με τη λήψη της εικόνας του στο επίπεδο H - το οριζόντιο επίπεδο των προβολών. Για να γίνει αυτό, μέσω του σημείου Α (Εικ. 4.12, α) σχεδιάζεται μια προεξέχουσα δοκός κάθετα στο επίπεδο H.

Στο σχήμα, η κάθετη στο επίπεδο H είναι παράλληλη με τον άξονα Oz. Το σημείο τομής της δοκού με το επίπεδο Η (σημείο α) επιλέγεται αυθαίρετα. Το τμήμα Αα καθορίζει πόσο απέχει το σημείο Α από το επίπεδο Η, υποδεικνύοντας έτσι ξεκάθαρα τη θέση του σημείου Α στο σχήμα σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Το σημείο α είναι μια ορθογώνια προβολή του σημείου Α στο επίπεδο Η και ονομάζεται οριζόντια προβολή του σημείου Α (Εικ. 4.12, α).

Για να ληφθεί μια εικόνα του σημείου Α στο επίπεδο V (Εικ. 4.12, β), μια προεξέχουσα δέσμη τραβιέται μέσα από το σημείο Α κάθετο στο μετωπικό επίπεδο προβολής V. Στο σχήμα, η κάθετη στο επίπεδο V είναι παράλληλη προς το Oy άξονας. Στο επίπεδο H, η απόσταση από το σημείο A στο επίπεδο V θα παριστάνεται με ένα τμήμα aa x, παράλληλο στον άξονα Oy και κάθετο στον άξονα Ox. Αν φανταστούμε ότι η προεξέχουσα δέσμη και η εικόνα της εκτελούνται ταυτόχρονα προς την κατεύθυνση του επιπέδου V, τότε όταν η εικόνα της δέσμης τέμνει τον άξονα Ox στο σημείο a x, η δέσμη τέμνει το επίπεδο V στο σημείο α. Σχέδιο από το σημείο a x στο επίπεδο V που είναι κάθετο στον άξονα Ox , που είναι η εικόνα της προεξέχουσας δέσμης Aa στο επίπεδο V, το σημείο a λαμβάνεται στην τομή με την προεξέχουσα δέσμη. Το σημείο α είναι η μετωπική προβολή του σημείου Α, δηλαδή η εικόνα του στο επίπεδο V.

Η εικόνα του σημείου Α στο επίπεδο προφίλ των προεξοχών (Εικ. 4.12, γ) κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας μια προεξέχουσα δέσμη, κάθετο στο επίπεδο W. Στο σχήμα, η κάθετη στο επίπεδο W είναι παράλληλη με τον άξονα Ox. Η προεξέχουσα δέσμη από το σημείο Α έως το επίπεδο W στο επίπεδο H θα παριστάνεται από ένα τμήμα aa y, παράλληλο στον άξονα Ox και κάθετο στον άξονα Oy. Από το σημείο Oy παράλληλο προς τον άξονα Oz και κάθετο στον άξονα Oy, δημιουργείται μια εικόνα της προεξέχουσας δέσμης aA και, στη διασταύρωση με την προεξέχουσα δέσμη, προκύπτει το σημείο a. Το σημείο a "είναι η προβολή προφίλ της το σημείο Α, δηλαδή η εικόνα του σημείου Α στο επίπεδο W.

Το σημείο a "μπορεί να κατασκευαστεί σχεδιάζοντας από το σημείο a" το τμήμα a "a z (η εικόνα της προεξέχουσας δέσμης Aa" στο επίπεδο V) παράλληλα με τον άξονα Ox και από το σημείο a z - το τμήμα a "a z παράλληλα με τον άξονα Oy μέχρι να τέμνεται με την προεξέχουσα δέσμη.

Έχοντας λάβει τρεις προβολές του σημείου Α στα επίπεδα προβολής, η γωνία συντεταγμένων αναπτύσσεται σε ένα επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.11, β, μαζί με τις προβολές του σημείου Α και τις προεξέχουσες ακτίνες, και αφαιρούνται το σημείο Α και οι προεξέχουσες ακτίνες Αα, Αα «και Αα». Τα άκρα των συνδυασμένων επιπέδων προβολής δεν εκτελούνται, αλλά εκτελούνται μόνο οι άξονες προβολής Oz, Oy και Ox, Oy 1 (Εικ. 4.13).

Μια ανάλυση του ορθογώνιου σχεδίου ενός σημείου δείχνει ότι τρεις αποστάσεις - Aa", Aa και Aa" (Εικ. 4.12, γ), που χαρακτηρίζουν τη θέση του σημείου Α στο χώρο, μπορούν να προσδιοριστούν απορρίπτοντας το ίδιο το αντικείμενο προβολής - το σημείο Α , σε γωνία συντεταγμένων που αναπτύσσεται σε ένα επίπεδο (Εικ. 4.13). Τα τμήματα a "a z, aa y και Oa x ισούνται με Aa" ως απέναντι πλευρές των αντίστοιχων ορθογωνίων (Εικ. 4.12, c και 4.13). Καθορίζουν την απόσταση στην οποία βρίσκεται το σημείο Α από το επίπεδο προφίλ των προεξοχών. Τα τμήματα a "a x, a" a y1 και Oa y είναι ίσα με το τμήμα Aa, προσδιορίζουν την απόσταση από το σημείο A στο οριζόντιο επίπεδο των προβολών, τα τμήματα aa x, a "a z και Oa y 1 ισούνται με το τμήμα Aa", το οποίο καθορίζει την απόσταση από το σημείο Α στο μετωπικό επίπεδο προβολής.

Τα τμήματα Oa x, Oa y και Oa z που βρίσκονται στους άξονες προβολής είναι μια γραφική έκφραση των μεγεθών των συντεταγμένων X, Y και Z του σημείου Α. Οι σημειακές συντεταγμένες συμβολίζονται με τον δείκτη του αντίστοιχου γράμματος. Μετρώντας το μέγεθος αυτών των τμημάτων, μπορείτε να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου στο χώρο, δηλαδή να ορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου.

Στο διάγραμμα, τα τμήματα a "a x και aa x είναι διατεταγμένα ως μία ευθεία κάθετα στον άξονα Ox, και τα τμήματα a" a z και a "a z - στον άξονα Oz. Αυτές οι γραμμές ονομάζονται γραμμές σύνδεσης προβολής. Τέμνουν τις άξονες προβολής στα σημεία a x και και z, αντίστοιχα. Η γραμμή της σύνδεσης προβολής που συνδέει την οριζόντια προβολή του σημείου Α με το προφίλ ένα αποδείχθηκε ότι ήταν «κομμένη» στο σημείο a y.

Δύο προεξοχές του ίδιου σημείου βρίσκονται πάντα στην ίδια γραμμή σύνδεσης προβολής κάθετα στον άξονα προβολής.

Για να αναπαραστήσουμε τη θέση ενός σημείου στο χώρο, αρκούν δύο προβολές του και μια δεδομένη αρχή (σημείο Ο). 4.14, β, δύο προβολές ενός σημείου καθορίζουν πλήρως τη θέση του στο χώρο. Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο προβολές, μπορείτε να δημιουργήσετε μια προβολή προφίλ του σημείου Α. Επομένως, στο μέλλον, εάν δεν υπάρχει ανάγκη για προβολή προφίλ, θα γίνονται διαγράμματα χτισμένο σε δύο επίπεδα προβολής: V και H.

Ρύζι. 4.14. Ρύζι. 4.15.

Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα κατασκευής και ανάγνωσης σχεδίου ενός σημείου.

Παράδειγμα 1Προσδιορισμός των συντεταγμένων του σημείου J που δίνεται στο διάγραμμα με δύο προεξοχές (Εικ. 4.14). Μετρώνται τρία τμήματα: τμήμα Ov X (συντεταγμένη X), τμήμα b X b (συντεταγμένη Y) και τμήμα b X b "(συντεταγμένη Z). Οι συντεταγμένες γράφονται με την ακόλουθη σειρά: X, Y και Z, μετά τον χαρακτηρισμό του γράμματος του σημείου, για παράδειγμα, Β20, 30, 15.

Παράδειγμα 2. Κατασκευή σημείου σύμφωνα με τις δεδομένες συντεταγμένες. Το σημείο C δίνεται από τις συντεταγμένες C30. δέκα; 40. Στον άξονα Ox (Εικ. 4.15) βρείτε ένα σημείο με x, στο οποίο η γραμμή της σύνδεσης προβολής τέμνει τον άξονα προβολής. Για να γίνει αυτό, η συντεταγμένη Χ (μέγεθος 30) σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα Ox από την αρχή (σημείο Ο) και προκύπτει ένα σημείο με x. Μέσα από αυτό το σημείο, κάθετα στον άξονα Ox, σχεδιάζεται μια γραμμή σύνδεσης προβολής και η συντεταγμένη Υ καθορίζεται από το σημείο (μέγεθος 10), προκύπτει το σημείο c - η οριζόντια προβολή του σημείου C. Η συντεταγμένη Z (μέγεθος 40) σχεδιάζεται προς τα πάνω από το σημείο c x κατά μήκος της γραμμής σύνδεσης προβολής (μέγεθος 40), λαμβάνεται το σημείο c" - μετωπική προβολή του σημείου C.

Παράδειγμα 3. Κατασκευή προφίλ προβολής σημείου σύμφωνα με τις δεδομένες προβολές. Ορίζονται οι προβολές του σημείου D - d και d. Μέσω του σημείου O σχεδιάζονται οι άξονες προβολής Oz, Oy και Oy 1 (Εικ. 4.16, α) δεξιά πίσω από τον άξονα Oz. Σε αυτή τη γραμμή θα βρίσκεται η προβολή προφίλ του σημείου D. Θα βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τον άξονα Oz όπως βρίσκεται η οριζόντια προβολή του σημείου d: από τον άξονα Ox, δηλαδή σε απόσταση dd x. Τα τμήματα d z d "και dd x είναι τα ίδια, αφού καθορίζουν την ίδια απόσταση - την απόσταση από το σημείο D στο μετωπικό επίπεδο προβολής. Αυτή η απόσταση είναι η συντεταγμένη Υ του σημείου D.

Γραφικά, το τμήμα d z d "χτίζεται μεταφέροντας το τμήμα dd x από το οριζόντιο επίπεδο των προβολών στο προφίλ ένα. Για να γίνει αυτό, σχεδιάστε μια γραμμή σύνδεσης προβολής παράλληλη στον άξονα Ox, λάβετε ένα σημείο d y στον άξονα Oy ( Εικ. 4.16, β) Στη συνέχεια μεταφέρετε το μέγεθος του τμήματος Od y στον άξονα Oy 1 , τραβώντας από το σημείο O ένα τόξο με ακτίνα ίση με το τμήμα Od y, μέχρι να τέμνεται με τον άξονα Oy 1 (Εικ. 4.16, b), λάβετε το σημείο dy 1. Αυτό το σημείο μπορεί επίσης να κατασκευαστεί, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.16, c, σχεδιάζοντας μια ευθεία γραμμή υπό γωνία 45 ° ως προς τον άξονα Oy από το σημείο d y. Από το σημείο d y1 σχεδιάστε μια γραμμή σύνδεσης προβολής παράλληλη στον άξονα Oz και βάλτε πάνω της ένα τμήμα ίσο με το τμήμα d "d x, λάβετε το σημείο d".

Η μεταφορά της τιμής του τμήματος d x d στο επίπεδο προφίλ των προεξοχών μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα σταθερό ευθύγραμμο σχέδιο (Εικ. 4.16, d). Στην περίπτωση αυτή, η γραμμή σύνδεσης προβολής dd y τραβιέται μέσω της οριζόντιας προβολής του σημείου παράλληλου προς τον άξονα Oy 1 έως ότου τέμνεται με μια σταθερή ευθεία γραμμή και στη συνέχεια είναι παράλληλη με τον άξονα Oy έως ότου τέμνεται με τη συνέχεια της προβολής γραμμή σύνδεσης d "d z.

Ιδιαίτερες περιπτώσεις θέσης σημείων σε σχέση με επίπεδα προβολής

Η θέση ενός σημείου σε σχέση με το επίπεδο προβολής καθορίζεται από την αντίστοιχη συντεταγμένη, δηλ. την τιμή του τμήματος της γραμμής σύνδεσης προβολής από τον άξονα Ox στην αντίστοιχη προβολή. Στο σχ. 4.17 η συντεταγμένη Υ του σημείου Α καθορίζεται από το τμήμα aa x - η απόσταση από το σημείο Α στο επίπεδο V. Η συντεταγμένη Ζ του σημείου Α καθορίζεται από το τμήμα a "a x - η απόσταση από το σημείο Α στο επίπεδο Η. Εάν ένα των συντεταγμένων είναι μηδέν, τότε το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο προβολής Το Σχ. 4.17 δείχνει παραδείγματα διαφορετικών θέσεων σημείων σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Η συντεταγμένη Ζ του σημείου Β είναι μηδέν, το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο Η. Η μετωπική του προβολή βρίσκεται στον άξονα Ox και συμπίπτει με το σημείο b x. Η συντεταγμένη Υ του σημείου C είναι μηδέν, το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο V, η οριζόντια προβολή του c βρίσκεται στον άξονα x και συμπίπτει με το σημείο c x.

Επομένως, εάν ένα σημείο βρίσκεται στο επίπεδο προβολής, τότε μία από τις προβολές αυτού του σημείου βρίσκεται στον άξονα προβολής.

Στο σχ. 4.17, οι συντεταγμένες Z και Y του σημείου D είναι μηδέν, επομένως, το σημείο D βρίσκεται στον άξονα προβολής Ox και οι δύο προβολές του συμπίπτουν.