Τομή ενός κυλίνδρου από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα του κυλίνδρου. Tutorial: Κύλινδρος. Πλήρης επιφάνεια ενός κυλίνδρου

αξονικό τμήμα του γραναζιού- αξονική τομή Η τομή ενός γραναζιού από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονά του. [GOST 16530 83] Θέματα οδοντωτών τροχών Γενικοποίηση όρων της επιφάνειας και του τμήματος του γραναζιού εννοιών που σχετίζονται με τον οδοντωτό τροχό Συνώνυμα αξονικό τμήμα ...

αξονικό τμήμα του ράφι- αξονική τομή Η τομή ενός ελικοειδούς οδοντωτού τροχού σε ράφι και οδοντωτό τροχό κατά επίπεδο κάθετο στο επίπεδο βήματος του και που περιέχει ή παράλληλο προς τον άξονα του ζευγαρωμένου γραναζιού (3.1.3). [GOST 16531 83] Θέματα μετάδοσης ταχυτήτων ... ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

αξονικό τμήμα του πηνίου- Τομή ενός πηνίου ενός κυλινδρικού σκουληκιού από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα του σκουληκιού. [GOST 18498 89] Θέματα μετάδοσης σκουληκιών Γενικοί όροι στοιχεία και παράμετροι ενός πηνίου ενός κυλινδρικού σκουληκιού ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

Αξονικό τμήμα του ράφι- 3.1.3. Αξονική τομή οδοντωτού τροχού Αξονική τομή Ελικοειδής βάση οδοντωτών τροχών σε ράφι και οδοντωτό τροχό με επίπεδο κάθετο στο διαχωριστικό επίπεδο και που περιέχει τον άξονα ενός ζευγαρωμένου γραναζιού ή παράλληλο με αυτό (Εικ. 15). Πηγή: GOST ...

GOST 16531-83: Κυλινδρικά γρανάζια. Όροι, ορισμοί και ονομασίες- Ορολογία GOST 16531 83: Κυλινδρικά γρανάζια. Όροι, ορισμοί και ονομασίες του αρχικού εγγράφου: 5.3.1. Αντιληπτή μετατόπιση Η διαφορά μεταξύ της κεντρικής απόστασης ενός οδοντωτού τροχού με μετατόπιση και του βήματος του ... ... Λεξικό-βιβλίο αναφοράς όρων κανονιστικής και τεχνικής τεκμηρίωσης

Ο σχηματισμός κρυστάλλων από ατμούς, p τάφρους, λιώνει, από v va σε tv. κατάσταση (άμορφη ή άλλη κρυσταλλική), από ηλεκτρολύτες στη διαδικασία της ηλεκτρόλυσης (ηλεκτροκρυστάλλωση), καθώς και σε χημικά. αντιδράσεις. Για τον Κ., παραβίαση θερμοδυναμικής ... Φυσική Εγκυκλοπαίδεια

ΜΠΕΛΙΑΒΣΚΙ Ίλια Γκριγκόριεβιτς- (1927 2004) Ρώσος και Ουκρανός ψυχολόγος, έγγρ. ψυχολ. Sciences (1985), καθ. (1988). Αποφοίτησε από το Kyiv Ped. σε t im. Μ. Γκόρκι (1950). Εργάστηκε ως δάσκαλος στο Konotop Teachers' Institute (1950-1952). Zhytomyr πεντ. inte (1952 1957); ανώτερος... Ψυχολογία της επικοινωνίας. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

ΓΕΝΝΗΣΗ- ΓΕΝΝΗΣΗ. Περιεχόμενα: I. Ορισμός της έννοιας. Αλλαγές στο σώμα κατά τη διάρκεια του R. Αιτίες έναρξης του R ............................ 109 II. Κλινικό ρεύμα φυσιολογικού R. . 132 Sh. Mechanics R. ................. 152 IV. Κορυφαίος P .............. 169 V ... Μεγάλη Ιατρική Εγκυκλοπαίδεια

Συσκευές σχεδιασμένες για το σχηματισμό δεσμών ηλεκτρονίων, την εστίασή τους και τη δημιουργία ηλεκτρονιο-οπτικής. εικόνες αντικειμένων (βλ. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΙΟΝΤΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΟ). Παρόμοιες συσκευές, στις οποίες χρησιμοποιούνται δέσμες ιόντων, ονομάζονται ... ... Φυσική Εγκυκλοπαίδεια

Συλλέκτης TED ηλεκτρικών μηχανών ChS2, ChS3 Ηλεκτρικός κινητήρας έλξης (TED) ... Wikipedia

GOST 18097-93: Τόρνοι κοπής και περιστροφής βιδών. Κύριες διαστάσεις. Πρότυπα ακρίβειας- Ορολογία GOST 18097 93: Τόρνοι κοπής και περιστροφής βιδών. Κύριες διαστάσεις. Πρότυπα ακρίβειας πρωτότυπο έγγραφο: 4.7 Άξονας περιστροφής ενός ύψους της ατράκτου της κεφαλής και ο άξονας της οπής του πτερυγίου (ατράκτου) της ουράς Σχήμα 8 Εικόνα 9 ... ... Λεξικό-βιβλίο αναφοράς όρων κανονιστικής και τεχνικής τεκμηρίωσης

Η στερεομετρία είναι ένας κλάδος της γεωμετρίας που μελετά τα σχήματα στο χώρο. Οι κύριες φιγούρες στο διάστημα είναι ένα σημείο, μια γραμμή και ένα επίπεδο. Μια νέα προβολή εμφανίζεται στη στερεομετρία σχετική θέσηευθείες: τεμνόμενες ευθείες. Αυτή είναι μια από τις λίγες σημαντικές διαφορές μεταξύ στερεάς γεωμετρίας και επιπεδομετρίας, καθώς σε πολλές περιπτώσεις τα προβλήματα στερεομετρίας επιλύονται εξετάζοντας διαφορετικά επίπεδα στα οποία ικανοποιούνται οι επιπεδομετρικοί νόμοι.

Στη φύση γύρω μας, υπάρχουν πολλά αντικείμενα που αποτελούν φυσικά μοντέλα αυτής της φιγούρας. Για παράδειγμα, πολλά εξαρτήματα μηχανής έχουν τη μορφή κυλίνδρου ή κάποιου συνδυασμού τους και οι μεγαλοπρεπείς στήλες των ναών και των καθεδρικών ναών, φτιαγμένες σε μορφή κυλίνδρων, τονίζουν την αρμονία και την ομορφιά τους.

Ελληνικά − κυλινδρός. αρχαίος όρος. Στην καθημερινή ζωή - ένας κύλινδρος παπύρου, ένας κύλινδρος, ένα παγοδρόμιο (ρήμα - στρίψιμο, ρολό).

Στον Ευκλείδη, ένας κύλινδρος προκύπτει περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο. Για τον Καβαλιέρι - με την κίνηση της γεννήτριας (με αυθαίρετο οδηγό - "κύλινδρο").

Σκοπός αυτού του δοκιμίου είναι η ανασκόπηση γεωμετρικό σώμα- κύλινδρος.

Για την επίτευξη αυτού του στόχου, θα πρέπει να εξεταστούν οι ακόλουθες εργασίες:

− δώστε ορισμούς κυλίνδρου.

- εξετάστε τα στοιχεία του κυλίνδρου.

− να μελετήσει τις ιδιότητες του κυλίνδρου.

- εξετάστε τους τύπους τομής του κυλίνδρου.

- εξάγετε τον τύπο για το εμβαδόν ενός κυλίνδρου.

− εξάγετε τον τύπο για τον όγκο ενός κυλίνδρου.

− επίλυση προβλημάτων με χρήση κυλίνδρου.

1.1. Ορισμός κυλίνδρου

Θεωρήστε κάποια ευθεία (καμπύλη, διακεκομμένη γραμμή ή μικτή γραμμή) l που βρίσκεται σε κάποιο επίπεδο α και κάποια ευθεία S που τέμνει αυτό το επίπεδο. Σε όλα τα σημεία της δεδομένης ευθείας l σχεδιάζουμε ευθείες παράλληλες στην ευθεία S. η επιφάνεια α που σχηματίζεται από αυτές τις ευθείες γραμμές ονομάζεται κυλινδρική επιφάνεια. Η ευθεία l ονομάζεται οδηγός αυτής της επιφάνειας, οι ευθείες s 1 , s 2 , s 3 ,... είναι οι γεννήτριές της.

Εάν ο οδηγός είναι μια διακεκομμένη γραμμή, τότε μια τέτοια κυλινδρική επιφάνεια αποτελείται από μια σειρά επίπεδων λωρίδων που περικλείονται μεταξύ ζευγαριών παράλληλων γραμμών και ονομάζεται πρισματική επιφάνεια. Οι γενικές γραμμές που διέρχονται από τις κορυφές της καθοδηγητικής πολυγραμμής ονομάζονται άκρες της πρισματικής επιφάνειας, οι επίπεδες λωρίδες μεταξύ τους ονομάζονται όψεις της.

Αν κόψουμε οποιαδήποτε κυλινδρική επιφάνεια με ένα αυθαίρετο επίπεδο που δεν είναι παράλληλο με τις γεννήτριές της, τότε παίρνουμε μια γραμμή που μπορεί να ληφθεί και ως οδηγός για αυτήν την επιφάνεια. Μεταξύ των οδηγών ξεχωρίζει ένας, ο οποίος λαμβάνεται από την τομή της επιφάνειας από ένα επίπεδο κάθετο στις γεννήτριες της επιφάνειας. Ένα τέτοιο τμήμα ονομάζεται κανονικό τμήμα και ο αντίστοιχος οδηγός ονομάζεται κανονικός οδηγός.

Εάν ο οδηγός είναι μια κλειστή (κυρτή) γραμμή (σπασμένη γραμμή ή καμπύλη), τότε η αντίστοιχη επιφάνεια ονομάζεται κλειστή (κυρτή) πρισματική ή κυλινδρική επιφάνεια. Από τις κυλινδρικές επιφάνειες, η απλούστερη έχει τον κανονικό οδηγό της κύκλο. Ας ανατέμνουμε μια κλειστή κυρτή πρισματική επιφάνεια από δύο επίπεδα παράλληλα μεταξύ τους, αλλά όχι παράλληλα με τις γεννήτριες.

Στα τμήματα παίρνουμε κυρτά πολύγωνα. Τώρα το τμήμα της πρισματικής επιφάνειας που περικλείεται μεταξύ των επιπέδων α και α», και οι δύο πολυγωνικές πλάκες που σχηματίζονται σε αυτά τα επίπεδα, περιορίζουν το σώμα, που ονομάζεται πρισματικό σώμα - το πρίσμα.

Ένα κυλινδρικό σώμα - ένας κύλινδρος ορίζεται παρόμοια με ένα πρίσμα:
Ο κύλινδρος είναι ένα σώμα που οριοθετείται πλευρικά από μια κλειστή (κυρτή) κυλινδρική επιφάνεια και από τα άκρα από δύο επίπεδες παράλληλες βάσεις. Και οι δύο βάσεις του κυλίνδρου είναι ίσες, και όλες οι γεννήτριες του κυλίνδρου είναι επίσης ίσες μεταξύ τους, δηλ. τμήματα που σχηματίζουν μια κυλινδρική επιφάνεια μεταξύ των επιπέδων των βάσεων.

Ένας κύλινδρος (ακριβέστερα, ένας κυκλικός κύλινδρος) είναι ένα γεωμετρικό σώμα, το οποίο αποτελείται από δύο κύκλους που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και συνδυάζονται με παράλληλη μεταφορά, και όλα τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία αυτών των κύκλων (Εικ. 1). .

Οι κύκλοι ονομάζονται βάσεις του κυλίνδρου και τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία των κύκλων των κύκλων ονομάζονται γεννήτριες του κυλίνδρου.

Εφόσον η παράλληλη μετάφραση είναι κίνηση, οι βάσεις του κυλίνδρου είναι ίσες.

Δεδομένου ότι κατά την παράλληλη μετάφραση το επίπεδο περνά σε ένα παράλληλο επίπεδο (ή στον εαυτό του), τότε οι βάσεις του κυλίνδρου βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα.

Δεδομένου ότι, κατά την παράλληλη μετάφραση, τα σημεία μετατοπίζονται κατά μήκος παράλληλων (ή που συμπίπτουν) γραμμών κατά την ίδια απόσταση, τότε οι γεννήτριες του κυλίνδρου είναι παράλληλες και ίσες.

Η επιφάνεια ενός κυλίνδρου αποτελείται από βάσεις και μια πλευρική επιφάνεια. Η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από γεννήτριες.

Ένας κύλινδρος ονομάζεται ευθύς αν οι γεννήτριές του είναι κάθετες στα επίπεδα των βάσεων.

Ένας ευθύς κύλινδρος μπορεί να απεικονιστεί ως ένα γεωμετρικό σώμα που περιγράφει ένα ορθογώνιο καθώς περιστρέφεται γύρω από την πλευρά ως άξονας (Εικ. 2).

Ρύζι. 2 − Ευθύγραμμος κύλινδρος

Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε μόνο έναν ευθύ κύλινδρο, ονομάζοντάς τον απλώς κύλινδρο για συντομία.

Η ακτίνα ενός κυλίνδρου είναι η ακτίνα της βάσης του. Το ύψος ενός κυλίνδρου είναι η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του. Ο άξονας ενός κυλίνδρου είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από τα κέντρα των βάσεων. Είναι παράλληλη με τις γεννήτριες.

Ένας κύλινδρος ονομάζεται ισόπλευρος αν το ύψος του είναι ίσο με τη διάμετρο της βάσης του.

Εάν οι βάσεις του κυλίνδρου είναι επίπεδες (και επομένως τα επίπεδα που τις περιέχουν είναι παράλληλα), τότε ο κύλινδρος λέγεται ότι στέκεται σε ένα επίπεδο. Εάν οι βάσεις ενός κυλίνδρου που βρίσκεται σε ένα επίπεδο είναι κάθετες στη γεννήτρια, τότε ο κύλινδρος ονομάζεται ευθύγραμμος.

Συγκεκριμένα, αν η βάση ενός κυλίνδρου που στέκεται σε ένα επίπεδο είναι κύκλος, τότε μιλάμε για κυκλικό (στρογγυλό) κύλινδρο. αν είναι έλλειψη, τότε ελλειπτική.

1. 3. Τμήματα του κυλίνδρου

Το τμήμα του κυλίνδρου από ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονά του είναι ένα ορθογώνιο (Εικ. 3, α). Δύο από τις πλευρές του είναι γενετικές του κυλίνδρου και οι άλλες δύο είναι παράλληλες χορδές των βάσεων.

ένα) σι)

σε) ΣΟΛ)

Ρύζι. 3 - Τμήματα του κυλίνδρου

Συγκεκριμένα, το ορθογώνιο είναι η αξονική τομή. Αυτό είναι ένα τμήμα του κυλίνδρου από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονά του (Εικ. 3, β).

Η τομή του κυλίνδρου από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση είναι ένας κύκλος (Εικ. 3, γ).

Η διατομή του κυλίνδρου με ένα επίπεδο όχι παράλληλο στη βάση και τον άξονά του είναι οβάλ (Εικ. 3δ).

Θεώρημα 1. Το επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο της βάσης του κυλίνδρου το τέμνει πλευρική επιφάνειαγύρω από την περιφέρεια ίσος κύκλοςλόγους.

Απόδειξη. Έστω β ένα επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο της βάσης του κυλίνδρου. Η παράλληλη μεταφορά προς την κατεύθυνση του άξονα του κυλίνδρου, που συνδυάζει το επίπεδο β με το επίπεδο της βάσης του κυλίνδρου, συνδυάζει το τμήμα της πλευρικής επιφάνειας κατά το επίπεδο β με την περιφέρεια της βάσης. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου.

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου λαμβάνεται ως το όριο στο οποίο τείνει το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κανονικού πρίσματος που είναι εγγεγραμμένο στον κύλινδρο όταν ο αριθμός των πλευρών της βάσης αυτού του πρίσματος αυξάνεται επ' αόριστον.

Θεώρημα 2. Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι ίσο με το γινόμενο της περιφέρειας της βάσης του και του ύψους (S side.c = 2πRH, όπου R είναι η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου, H είναι το ύψος του κυλίνδρου).

ΑΛΛΑ) σι)
Ρύζι. 4 - Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου

Απόδειξη.

Έστω P n και H, αντίστοιχα, η περίμετρος της βάσης και το ύψος ενός κανονικού n-γωνικού πρίσματος εγγεγραμμένου σε έναν κύλινδρο (Εικ. 4, α). Τότε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας αυτού του πρίσματος είναι S πλευρά.c − P n H. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου που εγγράφεται στη βάση αυξάνεται απεριόριστα (Εικ. 4, β). Τότε η περίμετρος P n τείνει στην περιφέρεια C = 2πR, όπου R είναι η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου, και το ύψος H δεν αλλάζει. Έτσι, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος τείνει στο όριο 2πRH, δηλαδή, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι ίση με S πλευρά.c = 2πRH. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Η συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου.

Η συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου είναι το άθροισμα των εμβαδών της πλευρικής επιφάνειας και των δύο βάσεων. Το εμβαδόν κάθε βάσης του κυλίνδρου είναι ίσο με πR 2, επομένως, το εμβαδόν της πλήρους επιφάνειας του κυλίνδρου S full υπολογίζεται με τον τύπο S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2.

Ρύζι. 5 − Πλήρης επιφάνεια του κυλίνδρου

Εάν η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου κοπεί κατά μήκος της γεννήτριας FT (Εικ. 5, α) και ξεδιπλωθεί έτσι ώστε όλες οι γεννήτριες να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε ως αποτέλεσμα παίρνουμε ένα ορθογώνιο FTT1F1, το οποίο ονομάζεται ανάπτυξη του πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου. Η πλευρά FF1 του ορθογωνίου είναι μια ανάπτυξη της περιφέρειας της βάσης του κυλίνδρου, επομένως, FF1=2πR, και η πλευρά FT του είναι ίση με τη γεννήτρια του κυλίνδρου, δηλ. FT = H (Εικ. 5, β). Έτσι, το εμβαδόν FT∙FF1=2πRH της ανάπτυξης του κυλίνδρου είναι ίσο με το εμβαδόν της πλευρικής του επιφάνειας.

1.5. Όγκος κυλίνδρου

Αν το γεωμετρικό σώμα είναι απλό, δηλαδή μπορεί να χωριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό τριγωνικών πυραμίδων, τότε ο όγκος του ισούται με το άθροισμαόγκους αυτών των πυραμίδων. Για ένα αυθαίρετο σώμα, ο όγκος ορίζεται ως εξής.

Ένα δεδομένο σώμα έχει όγκο V αν υπάρχουν απλά σώματα που το περιέχουν και απλά σώματα που περιέχονται σε αυτό με όγκους τόσο λίγο διαφορετικούς από τον V όσο επιθυμείτε.

Ας εφαρμόσουμε αυτόν τον ορισμό στην εύρεση του όγκου ενός κυλίνδρου με ακτίνα βάσης R και ύψος H.

Κατά την εξαγωγή του τύπου για το εμβαδόν ενός κύκλου, κατασκευάστηκαν δύο n-γόνια (το ένα περιέχει κύκλο και το άλλο σε κύκλο) έτσι ώστε οι περιοχές τους με απεριόριστη αύξηση σε n να πλησιάζουν το εμβαδόν ενός κύκλου επ' αόριστον. Ας κατασκευάσουμε τέτοια πολύγωνα για τον κύκλο στη βάση του κυλίνδρου. Έστω P ένα πολύγωνο που περιέχει έναν κύκλο και P" ένα πολύγωνο που περιέχεται σε έναν κύκλο (Εικ. 6).

Ρύζι. 7 - Κύλινδρος με ένα πρίσμα που περιγράφεται και εγγράφεται σε αυτόν

Κατασκευάζουμε δύο ευθύγραμμα πρίσματα με βάσεις P και P "και ύψος H ίσο με το ύψος του κυλίνδρου. Το πρώτο πρίσμα περιέχει έναν κύλινδρο και το δεύτερο πρίσμα περιέχεται σε έναν κύλινδρο. Επειδή με απεριόριστη αύξηση στο n, τα εμβαδά του οι βάσεις των πρισμάτων πλησιάζουν το εμβαδόν της βάσης του κυλίνδρου S επ' αόριστον, τότε οι όγκοι τους προσεγγίζουν επ' αόριστον το S H. Σύμφωνα με τον ορισμό, ο όγκος ενός κυλίνδρου

V = SH = πR 2 H.

Άρα ο όγκος του κυλίνδρου είναι ίσο με το γινόμενοπεριοχή βάσης σε ύψος.

Εργασία 1.

Το αξονικό τμήμα ενός κυλίνδρου είναι ένα τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι Q.

Βρείτε το εμβαδόν της βάσης του κυλίνδρου.

Δίνονται: κύλινδρος, τετράγωνο - αξονική τομή του κυλίνδρου, S τετράγωνο = Q.

Βρείτε: S κύριο κύλ.

Η πλευρά της πλατείας είναι . Είναι ίσο με τη διάμετρο της βάσης. Άρα το εμβαδόν της βάσης είναι .

Απάντηση: S κύριος κύλινδρος. =

Εργασία 2.

Ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύλινδρο. Να βρείτε τη γωνία μεταξύ της διαγώνιου της πλευρικής του όψης και του άξονα του κυλίνδρου αν η ακτίνα της βάσης είναι ίση με το ύψος του κυλίνδρου.

Δίνονται: ένας κύλινδρος, ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα εγγεγραμμένο σε έναν κύλινδρο, η ακτίνα της βάσης = το ύψος του κυλίνδρου.

Βρείτε: τη γωνία μεταξύ της διαγώνιου της πλευρικής του όψης και του άξονα του κυλίνδρου.

Λύση: Οι πλευρικές όψεις του πρίσματος είναι τετράγωνες, αφού η πλευρά κανονικό εξάγωνοεγγεγραμμένο σε κύκλο ισούται με την ακτίνα.

Οι άκρες του πρίσματος είναι παράλληλες με τον άξονα του κυλίνδρου, επομένως η γωνία μεταξύ της διαγώνιας της όψης και του άξονα του κυλίνδρου ίσο με τη γωνίαμεταξύ της διαγώνιας και της πλευρικής ακμής. Και αυτή η γωνία είναι 45 °, αφού τα πρόσωπα είναι τετράγωνα.

Απάντηση: η γωνία μεταξύ της διαγωνίου της πλευρικής του όψης και του άξονα του κυλίνδρου = 45°.

Εργασία 3.

Το ύψος του κυλίνδρου είναι 6 cm, η ακτίνα της βάσης είναι 5 cm.

Βρείτε το εμβαδόν ενός τμήματος που σχεδιάζεται παράλληλα με τον άξονα του κυλίνδρου σε απόσταση 4 cm από αυτόν.

Δίνονται: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.

Εύρεση: S sec.

S sec. = KM×KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Τρίγωνο OKM - ισοσκελές (OK = OM = R = 5 cm),

τρίγωνο Ο ΟΕΚ είναι ορθογώνιο τρίγωνο.

Από το τρίγωνο του ΟΕΚ, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,

S sec. \u003d 6 × 6 \u003d 36 cm 2.

Ο σκοπός αυτού του δοκιμίου εκπληρώνεται, εξετάζεται ένα τέτοιο γεωμετρικό σώμα όπως ο κύλινδρος.

Εξετάστηκαν τα ακόλουθα καθήκοντα:

− δίνεται ο ορισμός του κυλίνδρου.

− λαμβάνονται υπόψη στοιχεία του κυλίνδρου.

− μελέτησε τις ιδιότητες του κυλίνδρου.

− εξετάζονται οι τύποι διατομής κυλίνδρων.

− προκύπτει ο τύπος για το εμβαδόν ενός κυλίνδρου.

− εξάγεται ο τύπος για τον όγκο ενός κυλίνδρου.

− Τα προβλήματα επιλύονται με τη χρήση κυλίνδρου.

1. Pogorelov A. V. Geometry: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10 - 11 Εκπαιδευτικά ιδρύματα, 1995.

2. Beskin L.N. Στερεομετρία. Οδηγός δασκάλου Λύκειο, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometry: Textbook για τις τάξεις 10-11 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, 2000.

4. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Γεωμετρία: εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometry: Stereometry: Grades 10 - 11: Textbook and problem book, 2000.

1. Αξονική τομήΈνας κύλινδρος είναι το τμήμα ενός κυλίνδρου από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονά του. Το αξονικό τμήμα του κυλίνδρου είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

2. Τομή κυλίνδρου με επίπεδο παράλληλο στη βάση.
Στην περίπτωση αυτή, το τμήμα είναι ένας κύκλος ίσος και παράλληλος με τη βάση.

Κώνος

Ένας κώνος είναι ένα γεωμετρικό σώμα που αποτελείται από έναν κύκλο - λόγουςκώνος, ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του κύκλου, − κορυφέςκώνου και όλα τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή του κώνου με τα σημεία της βάσης.

Τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν την κορυφή του κώνου με τα σημεία της περιφέρειας της βάσης ονομάζονται δημιουργώνταςκώνος.

Ο κώνος λέγεται απευθείαςαν η ευθεία που συνδέει την κορυφή του κώνου με το κέντρο της βάσης είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης.

Στο ρύζι. ένα) ίσιος κώνος, σι) ένας κεκλιμένος κώνος.

Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε μόνο έναν ίσιο κώνο!

μικρόείναι η κορυφή του κώνου.

Κύκλος με κέντρα Ο- η βάση του κώνου.

ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ,CB, SCείναι γεννήτριες κώνων.

ΥψοςΈνας κώνος ονομάζεται κάθετος που πέφτει από την κορυφή του στο επίπεδο της βάσης.

άξοναςενός κώνου ονομάζεται ευθεία γραμμή που περιέχει το ύψος του ( ΕΤΣΙ).

Ιδιότητες κώνου:

Οι γεννήτριες του κώνου είναι ίσες.

Ο κώνος μπορεί να θεωρηθεί ως σώμα που λαμβάνεται με περιστροφή ορθογώνιο τρίγωνογύρω από το πόδι του.

Τα απλούστερα τμήματα ενός κώνου.

1. Αξονική τομήΈνας κώνος είναι το τμήμα ενός κώνου από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονά του. Η αξονική τομή του κώνου είναι τρίγωνο.

2. Τομή ενός κώνου από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση.
Σε αυτή την περίπτωση, το τμήμα είναι ένας κύκλος παρόμοιος και παράλληλος με τη βάση.

Μια μπάλα είναι ένα γεωμετρικό σώμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του χώρου που βρίσκονται σε απόσταση όχι μεγαλύτερη από μια δεδομένη απόσταση από ένα δεδομένο σημείο.

Αυτό το σημείο ( Ο) λέγεται κέντρομπάλα, και η δεδομένη απόσταση είναι ακτίνα κύκλουμπάλα.

Το όριο της σφαίρας ονομάζεται σφαιρική επιφάνειαή σφαίρα.

Κάθε τμήμα που συνδέει το κέντρο της μπάλας με ένα σημείο στη σφαιρική επιφάνεια ονομάζεται ακτίνα κύκλουμπάλα ( OD, OV, ΟΑ).

διάμετρος μπάλαςείναι ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία της σφαιρικής επιφάνειας και διέρχεται από το κέντρο της μπάλας ( ΑΒ).

Ιδιότητες μπάλας:

Οι ακτίνες της μπάλας είναι ίσες.

Οι διάμετροι της μπάλας είναι ίσες.

Μια σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σώμα που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα ημικύκλιο γύρω από τη διάμετρό της.

Τα πιο απλά τμήματα μιας μπάλας

1. Τομή μιας μπάλας από ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της. Σε αυτή την περίπτωση, η διατομή είναι μεγάλος κύκλος.

2. Τομή μπάλας με αεροπλάνο δενπερνώντας από το κέντρο του. Σε αυτή την περίπτωση, η διατομή είναι ένας κύκλος.

Κυλινδρική επιφάνεια m Κάποια γραμμή m που κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης περιγράφει μια κυλινδρική επιφάνεια. Εάν αυτή η καμπύλη είναι κλειστή, τότε περιγράφεται μια κλειστή κυλινδρική επιφάνεια. Εάν η κλειστή καμπύλη έχει σχήμα κύκλου, τότε περιγράφεται ένας κυκλικός κύλινδρος. Αν η ευθεία m είναι κάθετη στο επίπεδο της καμπύλης, τότε περιγράφεται ένας δεξιός κυκλικός κύλινδρος ΤΥΠΟΙ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ Ελλειπτικός κύλινδρος ΤΥΠΟΙ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ Υπερβολικός κύλινδρος ΤΥΠΟΙ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ Παραβολικός κύλινδρος 26.07.2014 Definder of a. Ένας κύλινδρος είναι ένα σώμα που αποτελείται από δύο κύκλους που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και συνδυάζονται με παράλληλη μετατόπιση, και όλα τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία αυτών των κύκλων. Κύλινδρος Ένας κύλινδρος μπορεί να ληφθεί περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από μια ευθεία γραμμή που περιέχει οποιαδήποτε από τις πλευρές του Στοιχεία ενός κυλίνδρου. Η ακτίνα ενός κυλίνδρου είναι η ακτίνα της βάσης του. Το ύψος ενός κυλίνδρου είναι η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του. Ο άξονας ενός κυλίνδρου είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από τα κέντρα των βάσεων. Ιδιότητες κυλίνδρων. 1) Οι βάσεις είναι ίσες και παράλληλες. 2) Όλες οι γενεσιουργοί του κυλίνδρου είναι παράλληλες και ίσες μεταξύ τους Ανάπτυξη του κυλίνδρου Η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου ξεδιπλώνεται σε ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι το ύψος του κυλίνδρου και η άλλη η περιφέρεια της βάσης Ισόπλευρος κύλινδρος ονομάζεται κύλινδρος του οποίου το αξονικό τμήμα είναι το τετράγωνο της διατομής του κυλίνδρου. Η τομή ενός κυλίνδρου από ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονά του είναι ένα ορθογώνιο. Δύο από τις πλευρές του είναι γενετικές του κυλίνδρου και οι άλλες δύο είναι παράλληλες χορδές των βάσεων. Το τμήμα του κυλίνδρου που διέρχεται από τον άξονα του κυλίνδρου ονομάζεται αξονικό τμήμα και είναι επίσης ορθογώνιο. Ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο της βάσης του κυλίνδρου τέμνει την πλευρική του επιφάνεια σε κύκλο ίσο με την περιφέρεια της βάσης. Επίπεδο εφαπτομένης Εάν ένα επίπεδο έχει κοινή ευθεία με πλευρική επιφάνεια, τότε αυτό το επίπεδο ονομάζεται εφαπτομενικό επίπεδο. Η γραμμή επαφής είναι η γεννήτρια του κυλίνδρου Πλήρεις και πλευρικές επιφάνειες του κυλίνδρου Η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι το ύψος του κυλίνδρου και η άλλη είναι η περιφέρεια. Η πλήρης επιφάνεια του κυλίνδρου αποτελείται από δύο κύκλους και μια πλευρική επιφάνεια. L H 2 RH S πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου και S του κύκλου R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S του κύκλου S πλευρά S της πλήρους επιφάνειας του κυλίνδρου 2 και η επιφάνεια του κυλίνδρου 2 και ο όγκος του κυλίνδρου Ο όγκος του κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους του κυλίνδρου. V S βάσεις V R 2 H H Εξηγήστε τι είναι ο ορθός κυκλικός κύλινδρος; Ποια είναι η ακτίνα, το ύψος, η γεννήτρια και ο άξονας του κυλίνδρου; Τι είναι το αξονικό τμήμα ενός κυλίνδρου; Ποιος κύλινδρος ονομάζεται ισόπλευρος; Τι είναι το τμήμα ενός κυλίνδρου από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου; Τι καταλαβαίνουμε με την πλάγια και πλήρη επιφάνεια του κυλίνδρου; Πώς να βρείτε την πλευρική και τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου; ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Εργασία 1. Το αξονικό τμήμα του κυλίνδρου είναι ένα τετράγωνο, το εμβαδόν του οποίου είναι Q. Βρείτε το εμβαδόν της βάσης του κυλίνδρου. Δίνεται: κύλινδρος, αξονική τομή - τετράγωνο Ssec=Q Βρείτε: Sbase =Scircle Λύση: Πρόβλημα 2. Η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου ξεδιπλώνεται σε τετράγωνο εμβαδού 4 cm2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια και όγκο του κυλίνδρου. Πάρτε 3 N lκύκλο Δίνεται: κύλινδρος Τετ.=4cm2 Βρείτε: Sp.p., Vcyl. Λύση: Εργαστηριακή και πρακτική εργασία Θέμα: Κύλινδρος 1. Ορισμός, ιδιότητες. 2. Σχέδιο, διαστάσεις σε mm. 3. Υπολογίστε: α) εμβαδόν βάσης β) πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου. γ) την πλήρη επιφάνεια του κυλίνδρου. δ) τον όγκο του κυλίνδρου. Εργασίες Η διαγώνιος της αξονικής τομής είναι 48cm. Η γωνία μεταξύ της διαγώνιου και της γεννήτριας του κυλίνδρου είναι 60ο. Βρείτε 1) το ύψος του κυλίνδρου. 2) την ακτίνα του κυλίνδρου. 3) Soc Το ύψος του κυλίνδρου είναι 8 cm, η ακτίνα είναι 5 cm. Βρείτε το εμβαδόν της διατομής κατά ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονά του, εάν η απόσταση μεταξύ αυτού του επιπέδου και του άξονα του κυλίνδρου είναι 3 εκ. Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι S. Βρείτε το εμβαδόν του το αξονικό τμήμα του κυλίνδρου. Ο κύλινδρος προκύπτει περιστρέφοντας ένα τετράγωνο με πλευρά α γύρω από μια από τις πλευρές του. Βρείτε την περιοχή: 1) αξονική τομή του κυλίνδρου. 2) η πλήρης επιφάνεια του κυλίνδρου Πρωτοτυπία κυλίνδρου στη σχεδίαση και την αρχιτεκτονική Εργασία: Πόσο να αυξήσετε τον όγκο του θαλάμου καύσης του κινητήρα αυτοκινήτου GAZ-53 εάν η διάμετρος του εμβόλου είναι 10 cm και η διαδρομή του εμβόλου είναι 9 cm; Λύση V=pR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Εργασία Προσδιορίστε τη χωρητικότητα της δεξαμενής λαδιού της αντλίας υδραυλικού τιμονιού ενός αυτοκινήτου ZIL130 εάν η διάμετρός της είναι 126 mm και το ύψος της είναι 140 mm Λύση V=pR2H=3,14 . 3969 .140=174477.24

Ο κύλινδρος είναι ένα συμμετρικό χωρικό σχήμα, οι ιδιότητες του οποίου λαμβάνονται υπόψη στις ανώτερες τάξεις του σχολείου στο μάθημα της συμπαγούς γεωμετρίας. Για την περιγραφή του, χρησιμοποιούνται γραμμικά χαρακτηριστικά όπως το ύψος και η ακτίνα της βάσης. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε ερωτήσεις σχετικά με το ποιο είναι το αξονικό τμήμα ενός κυλίνδρου και πώς να υπολογίσουμε τις παραμέτρους του μέσω των κύριων γραμμικών χαρακτηριστικών του σχήματος.

Γεωμετρικό σχήμα

Αρχικά, ας ορίσουμε το σχήμα που θα συζητηθεί στο άρθρο. Ένας κύλινδρος είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από μια παράλληλη μετατόπιση ενός τμήματος σταθερού μήκους κατά μήκος μιας ορισμένης καμπύλης. Η κύρια προϋπόθεση για αυτή την κίνηση είναι ότι το τμήμα του επιπέδου της καμπύλης δεν πρέπει να ανήκει.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει έναν κύλινδρο του οποίου η καμπύλη (οδηγός) είναι έλλειψη.

Εδώ ένα τμήμα μήκους h είναι η γεννήτρια και το ύψος του.

Μπορεί να φανεί ότι ο κύλινδρος αποτελείται από δύο πανομοιότυπες βάσεις (ελλείψεις σε αυτή την περίπτωση), που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα, και μια πλευρική επιφάνεια. Το τελευταίο ανήκει σε όλα τα σημεία των γραμμών παραγωγής.

Πριν προχωρήσουμε στην εξέταση του αξονικού τμήματος των κυλίνδρων, θα σας πούμε ποιοι τύποι είναι αυτά τα σχήματα.

Αν η γραμμή παραγωγής είναι κάθετη στις βάσεις του σχήματος, τότε μιλούν για ευθύ κύλινδρο. Διαφορετικά, ο κύλινδρος θα έχει κλίση. Εάν συνδέσετε τα κεντρικά σημεία των δύο βάσεων, τότε η ευθεία που προκύπτει ονομάζεται άξονας του σχήματος. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη διαφορά μεταξύ ευθύγραμμων και κεκλιμένων κυλίνδρων.

Μπορεί να φανεί ότι για ένα ευθύ σχήμα, το μήκος του τμήματος δημιουργίας συμπίπτει με την τιμή του ύψους h. Για έναν κεκλιμένο κύλινδρο, το ύψος, δηλαδή η απόσταση μεταξύ των βάσεων, είναι πάντα μικρότερο από το μήκος της γεννήτριας.

Αξονική τομή ευθύγραμμου κυλίνδρου

Αξονική τομή είναι κάθε τμήμα ενός κυλίνδρου που περιέχει τον άξονά του. Αυτός ο ορισμός σημαίνει ότι το αξονικό τμήμα θα είναι πάντα παράλληλο προς τη γεννήτρια.

Σε έναν ευθύ κύλινδρο, ο άξονας διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Αυτό σημαίνει ότι ο υπό εξέταση κύκλος θα τέμνεται κατά μήκος της διαμέτρου του. Το σχήμα δείχνει το μισό του κυλίνδρου, το οποίο προέκυψε ως αποτέλεσμα της τομής του σχήματος με ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα.

Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι το αξονικό τμήμα ενός ορθού κυκλικού κυλίνδρου είναι ένα ορθογώνιο. Οι πλευρές του είναι η διάμετρος d της βάσης και το ύψος h του σχήματος.

Γράφουμε τύπους για το εμβαδόν του αξονικού τμήματος του κυλίνδρου και το μήκος h d της διαγωνίου του:

Ένα ορθογώνιο έχει δύο διαγώνιες, αλλά και οι δύο είναι ίσες μεταξύ τους. Εάν η ακτίνα της βάσης είναι γνωστή, τότε δεν είναι δύσκολο να ξαναγράψουμε αυτούς τους τύπους μέσω αυτής, δεδομένου ότι είναι η μισή της διαμέτρου.

Αξονική τομή κεκλιμένου κυλίνδρου

Η παραπάνω εικόνα δείχνει έναν κεκλιμένο κύλινδρο από χαρτί. Εάν εκτελέσετε την αξονική τομή του, τότε δεν θα έχετε πλέον ένα ορθογώνιο, αλλά ένα παραλληλόγραμμο. Οι πλευρές του είναι γνωστές ποσότητες. Το ένα από αυτά, όπως στην περίπτωση ενός τμήματος ενός ευθύγραμμου κυλίνδρου, είναι ίσο με τη διάμετρο d της βάσης, ενώ το άλλο είναι το μήκος του τμήματος παραγωγής. Ας το συμβολίσουμε β.

Για να προσδιορίσουμε με σαφήνεια τις παραμέτρους ενός παραλληλογράμμου, δεν αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών του. Χρειαζόμαστε επίσης μια γωνία μεταξύ τους. Ας υποθέσουμε ότι η οξεία γωνία μεταξύ του οδηγού και της βάσης είναι α. Θα είναι επίσης η γωνία μεταξύ των πλευρών του παραλληλογράμμου. Στη συνέχεια, ο τύπος για την περιοχή του αξονικού τμήματος του κεκλιμένου κυλίνδρου μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Οι διαγώνιοι του αξονικού τμήματος ενός κεκλιμένου κυλίνδρου είναι κάπως πιο δύσκολο να υπολογιστούν. Ένα παραλληλόγραμμο έχει δύο διαγώνιους διαφορετικού μήκους. Δίνουμε εκφράσεις χωρίς παράγωγο που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε τις διαγώνιους ενός παραλληλογράμμου σύμφωνα με γνωστά κόμματακαι μια οξεία γωνία μεταξύ τους:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Εδώ τα l 1 και l 2 είναι τα μήκη των μικρών και μεγάλων διαγωνίων, αντίστοιχα. Αυτοί οι τύποι μπορούν να ληφθούν ανεξάρτητα εάν θεωρήσουμε κάθε διαγώνιο ως διάνυσμα εισάγοντας ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

Πρόβλημα ευθύγραμμου κυλίνδρου

Θα δείξουμε πώς να χρησιμοποιήσουμε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν για να λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα. Ας δοθεί ένας στρογγυλός ευθύς κύλινδρος. Είναι γνωστό ότι το αξονικό τμήμα ενός κυλίνδρου είναι ένα τετράγωνο. Ποιο είναι το εμβαδόν αυτού του τμήματος εάν ολόκληρο το σχήμα είναι 100 cm 2;

Για να υπολογίσετε την επιθυμητή περιοχή, πρέπει να βρείτε είτε την ακτίνα είτε τη διάμετρο της βάσης του κυλίνδρου. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη συνολική επιφάνεια S f του σχήματος:

Εφόσον η αξονική τομή είναι τετράγωνο, αυτό σημαίνει ότι η ακτίνα r της βάσης είναι το μισό του ύψους h. Δεδομένου αυτού, μπορούμε να ξαναγράψουμε την παραπάνω ισότητα ως εξής:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Τώρα μπορούμε να εκφράσουμε την ακτίνα r, έχουμε:

Δεδομένου ότι η πλευρά ενός τετραγωνικού τμήματος είναι ίση με τη διάμετρο της βάσης του σχήματος, ο ακόλουθος τύπος θα ισχύει για τον υπολογισμό του εμβαδού του S:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Βλέπουμε ότι η απαιτούμενη περιοχή καθορίζεται μοναδικά από την επιφάνεια του κυλίνδρου. Αντικαθιστώντας τα δεδομένα σε ισότητα, καταλήγουμε στην απάντηση: S = 21,23 cm 2.