Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο στο διαδίκτυο. Πώς να υπολογίσετε σωστά τη μέση τιμή; Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών

Μέσος μισθός… Μέσος όρος ζωής… Σχεδόν κάθε μέρα ακούμε αυτές τις φράσεις να χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν ένα πλήθος με έναν μόνο αριθμό. Αλλά παραδόξως, η «μέση τιμή» είναι μια μάλλον ύπουλη έννοια, που συχνά παραπλανά έναν απλό άνθρωπο που δεν έχει εμπειρία στις μαθηματικές στατιστικές.

Ποιο είναι το πρόβλημα?

Η μέση τιμή συνήθως σημαίνει τον αριθμητικό μέσο όρο, ο οποίος ποικίλλει πολύ υπό την επίδραση μεμονωμένων γεγονότων ή γεγονότων. Και δεν θα έχετε πραγματική ιδέα για το πώς ακριβώς κατανέμονται οι αξίες που μαθαίνετε.

Ας πάρουμε ένα κλασικό παράδειγμα του μέσου μισθού.

Μια αφηρημένη εταιρεία έχει δέκα υπαλλήλους. Εννέα από αυτούς λαμβάνουν μισθό περίπου 50.000 ρούβλια και ένας 1.500.000 ρούβλια (από μια περίεργη σύμπτωση είναι και ο γενικός διευθυντής αυτής της εταιρείας).

Η μέση τιμή σε αυτή την περίπτωση θα είναι 195.150 ρούβλια, κάτι που, βλέπετε, είναι λάθος.

Ποιοι είναι οι τρόποι υπολογισμού του μέσου όρου;

Ο πρώτος τρόπος είναι να υπολογίσετε τα ήδη αναφερθέντα αριθμητικός μέσος όρος, που είναι το άθροισμα όλων των τιμών διαιρεμένο με τον αριθμό τους.

• x – αριθμητικός μέσος όρος.
• x n - ειδική τιμή.
• n - αριθμός τιμών.

• Λειτουργεί καλά με μια κανονική κατανομή τιμών στο δείγμα.
• Εύκολο να υπολογιστεί?
• Ενστικτώδης.

• Δεν δίνει μια πραγματική ιδέα για την κατανομή των αξιών.
• Μια ασταθής ποσότητα που πετιέται εύκολα έξω (όπως στην περίπτωση του CEO).

Ο δεύτερος τρόπος είναι ο υπολογισμός μόδα, η οποία είναι η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή.

• M 0 - λειτουργία;
• x0 είναι το κάτω όριο του διαστήματος που περιέχει τη λειτουργία.
• n είναι η τιμή του διαστήματος.
• f m - συχνότητα (πόσες φορές εμφανίζεται μια συγκεκριμένη τιμή σε μια σειρά).
• f m-1 - η συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal.
• f m+1 είναι η συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal.

• Εξαιρετικό για να αποκτήσετε μια αίσθηση της κοινής γνώμης.
• Καλό για μη αριθμητικά δεδομένα (χρώματα της σεζόν, μπεστ σέλερ, βαθμολογίες).
• Ευνόητος.

• Η μόδα μπορεί απλά να μην υπάρχει (χωρίς επαναλήψεις).
• Μπορεί να υπάρχουν πολλοί τρόποι (πολυτροπική διανομή).

Ο τρίτος τρόπος είναι ο υπολογισμός διάμεσοι, δηλαδή την τιμή που χωρίζει το διατεταγμένο δείγμα σε δύο μισά και βρίσκεται ανάμεσά τους. Και αν δεν υπάρχει τέτοια τιμή, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος μεταξύ των ορίων των μισών του δείγματος λαμβάνεται ως διάμεσος.

• M e είναι η διάμεσος?
• x0 είναι το κάτω όριο του διαστήματος που περιέχει τη διάμεσο.
• h είναι η τιμή του διαστήματος.
• f i - συχνότητα (πόσες φορές εμφανίζεται μια συγκεκριμένη τιμή σε μια σειρά).
• S m-1 - το άθροισμα των συχνοτήτων των διαστημάτων που προηγούνται της διάμεσης.
• f m είναι ο αριθμός των τιμών στο διάμεσο διάστημα (η συχνότητά του).

• Παρέχει την πιο ρεαλιστική και αντιπροσωπευτική εκτίμηση.
• Ανθεκτικό στις εκπομπές.

• Είναι πιο δύσκολο να υπολογιστεί, καθώς το δείγμα πρέπει να παραγγελθεί πριν από τον υπολογισμό.

Εξετάσαμε τις βασικές μεθόδους για την εύρεση της μέσης τιμής, που ονομάζονται μέτρα κεντρικής τάσης(στην πραγματικότητα υπάρχουν περισσότερα, αλλά αυτά είναι τα πιο δημοφιλή).

Τώρα ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας και ας υπολογίσουμε και τις τρεις παραλλαγές του μέσου όρου χρησιμοποιώντας ειδικές συναρτήσεις του Excel:

• AVERAGE(number1;[number2];…) — συνάρτηση για τον προσδιορισμό του αριθμητικού μέσου όρου.
• FASHION.ONE(number1,[number2],...) - συνάρτηση μόδας (οι παλαιότερες εκδόσεις του Excel χρησιμοποιούσαν FASHION(number1,[number2],...));
• MEDIAN(number1;[number2];...) είναι μια συνάρτηση για την εύρεση της διάμεσης τιμής.

Και εδώ είναι οι αξίες που έχουμε:

Σε αυτή την περίπτωση, ο τρόπος και ο διάμεσος χαρακτηρίζουν πολύ καλύτερα τον μέσο μισθό στην εταιρεία.

Τι να κάνετε όμως όταν δεν υπάρχουν 10 τιμές στο δείγμα, όπως στο παράδειγμα, αλλά εκατομμύρια; Στο Excel, αυτό δεν μπορεί να υπολογιστεί, αλλά στη βάση δεδομένων όπου είναι αποθηκευμένα τα δεδομένα σας, δεν υπάρχει πρόβλημα.

Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο σε SQL

Όλα είναι πολύ απλά εδώ, αφού η SQL παρέχει μια ειδική συγκεντρωτική συνάρτηση AVG .

Και για να το χρησιμοποιήσετε, αρκεί να γράψετε το ακόλουθο ερώτημα:

Υπολογισμός της λειτουργίας σε SQL

Η SQL δεν έχει ξεχωριστή λειτουργία για την εύρεση της λειτουργίας, αλλά μπορείτε εύκολα και γρήγορα να τη γράψετε μόνοι σας. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μάθουμε ποιος από τους μισθούς επαναλαμβάνεται συχνότερα και να επιλέξουμε τον πιο δημοφιλή.

Ας γράψουμε ένα ερώτημα:

/* WITH TIES πρέπει να προστεθεί στο TOP() εάν το σετ είναι πολυτροπικό, που σημαίνει ότι το σετ έχει πολλαπλές λειτουργίες */ SELECT TOP(1) WITH TIES μισθό ΩΣ "Salary Mode" FROM εργαζόμενοι GROUP BY μισθό ORDER BY COUNT(*) DESC

Υπολογίστε τη διάμεσο σε SQL

Όπως και με τη μόδα, η SQL δεν έχει μια ενσωματωμένη συνάρτηση για τον υπολογισμό της διάμεσης τιμής, αλλά έχει μια γενική συνάρτηση για τον υπολογισμό των εκατοστημόνων PERCENTILE_CONT .

Όλα μοιάζουν με αυτό:

/* Σε αυτήν την περίπτωση, το 0,5 εκατοστημόριο θα είναι η διάμεσος */ SELECT TOP(1) PERCENTILE_CONT(0,5) ΕΝΤΟΣ ΟΜΑΔΑΣ (ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΑ ΚΑΤΑ μισθό) OVER() ΩΣ "Μέσος μισθός" ΑΠΟ εργαζομένους

Είναι καλύτερα να διαβάσετε περισσότερα για τη λειτουργία της συνάρτησης PERCENTILE_CONT με τη βοήθεια της Microsoft και του Google BigQuery.

Τι τρόπο να χρησιμοποιήσω τέλος πάντων;

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η διάμεσος Ο καλύτερος τρόποςγια να υπολογίσετε τη μέση τιμή.

Δεν είναι όμως πάντα έτσι. Εάν εργάζεστε με τον μέσο όρο, τότε προσέξτε την πολυτροπική διανομή:

Το γράφημα δείχνει μια διτροπική κατανομή με δύο κορυφές. Μια τέτοια κατάσταση μπορεί να προκύψει, για παράδειγμα, κατά την ψηφοφορία σε εκλογές.

Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητικός μέσος και ο διάμεσος είναι τιμές κάπου στη μέση και δεν θα πουν τίποτα για το τι πραγματικά συμβαίνει και είναι καλύτερα να αναγνωρίσετε αμέσως ότι έχετε να κάνετε με μια διτροπική κατανομή αναφέροντας δύο τρόπους.

Ακόμα καλύτερα, χωρίστε το δείγμα σε δύο ομάδες και συλλέξτε στατιστικά δεδομένα για την καθεμία.

Συμπέρασμα:

Κατά την επιλογή μιας μεθόδου για την εύρεση του μέσου όρου, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η παρουσία ακραίων τιμών, καθώς και η κανονική κατανομή των τιμών στο δείγμα.

Η τελική επιλογή του μέτρου της κεντρικής τάσης ανήκει πάντα στον αναλυτή.

Στα μαθηματικά, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών (ή απλά ο μέσος όρος) είναι το άθροισμα όλων των αριθμών σε ένα δεδομένο σύνολο διαιρεμένο με τον αριθμό τους. Αυτή είναι η πιο γενικευμένη και διαδεδομένη έννοια της μέσης τιμής. Όπως έχετε ήδη καταλάβει, για να βρείτε τη μέση τιμή, πρέπει να αθροίσετε όλους τους αριθμούς που σας δίνονται και να διαιρέσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των όρων.

Τι είναι ο αριθμητικός μέσος όρος;

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1. Δίνονται οι αριθμοί: 6, 7, 11. Πρέπει να βρείτε τη μέση τιμή τους.

Λύση.

Αρχικά, ας βρούμε το άθροισμα όλων των δεδομένων αριθμών.

Τώρα διαιρούμε το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό των όρων. Εφόσον έχουμε τρεις όρους, αντίστοιχα, θα διαιρέσουμε με τρεις.

Επομένως, ο μέσος όρος των αριθμών 6, 7 και 11 είναι 8. Γιατί 8; Ναι, γιατί το άθροισμα των 6, 7 και 11 θα είναι ίδιο με τρία οκτώ. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στην εικόνα.

Η μέση τιμή θυμίζει κάπως την «ευθυγράμμιση» μιας σειράς αριθμών. Όπως μπορείτε να δείτε, οι σωροί από μολύβια έχουν γίνει ένα επίπεδο.

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα για να εδραιώσετε τη γνώση που αποκτήθηκε.

Παράδειγμα 2Δίνονται οι αριθμοί: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Πρέπει να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο τους.

Λύση.

Βρίσκουμε το άθροισμα.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Διαιρέστε με τον αριθμό των όρων (στην περίπτωση αυτή, 15).

Επομένως, η μέση τιμή αυτής της σειράς αριθμών είναι 22.

Τώρα σκεφτείτε αρνητικούς αριθμούς. Ας θυμηθούμε πώς να τα συνοψίσουμε. Για παράδειγμα, έχετε δύο αριθμούς 1 και -4. Ας βρούμε το άθροισμά τους.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Γνωρίζοντας αυτό, εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3Βρείτε τη μέση τιμή μιας σειράς αριθμών: 3, -7, 5, 13, -2.

Λύση.

Εύρεση του αθροίσματος των αριθμών.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Επειδή υπάρχουν 5 όροι, διαιρούμε το άθροισμα που προκύπτει με το 5.

Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 3, -7, 5, 13, -2 είναι 2,4.

Στην εποχή της τεχνολογικής προόδου μας, είναι πολύ πιο βολικό να χρησιμοποιούμε προγράμματα υπολογιστών για να βρούμε τη μέση τιμή. Το Microsoft Office Excel είναι ένα από αυτά. Η εύρεση του μέσου όρου στο Excel είναι γρήγορη και εύκολη. Επιπλέον, αυτό το πρόγραμμα περιλαμβάνεται στο πακέτο λογισμικού από το Microsoft Office. Σκεφτείτε σύντομες οδηγίεςπώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας αυτό το πρόγραμμα.

Για να υπολογίσετε τη μέση τιμή μιας σειράς αριθμών, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση AVERAGE. Η σύνταξη αυτής της συνάρτησης είναι:
=Μέσος όρος(όρισμα1, όρισμα2, ... επιχείρημα255)
όπου το όρισμα1, το όρισμα2, το ... το όρισμα255 είναι είτε αριθμοί είτε αναφορές κελιών (τα κελιά σημαίνουν εύρη και πίνακες).

Για να γίνει πιο σαφές, ας δοκιμάσουμε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν.

1. Εισαγάγετε τους αριθμούς 11, 12, 13, 14, 15, 16 στα κελιά C1 - C6.
2. Επιλέξτε το κελί C7 κάνοντας κλικ σε αυτό. Σε αυτό το κελί, θα εμφανίσουμε τη μέση τιμή.
3. Κάντε κλικ στην καρτέλα "Τύποι".
4. Επιλέξτε Περισσότερες λειτουργίες > Στατιστικά για να ανοίξετε την αναπτυσσόμενη λίστα.
5. Επιλέξτε ΜΕΣΟΣ. Μετά από αυτό, θα πρέπει να ανοίξει ένα πλαίσιο διαλόγου.
6. Επιλέξτε και σύρετε τα κελιά C1-C6 εκεί για να ορίσετε την περιοχή στο πλαίσιο διαλόγου.
7. Επιβεβαιώστε τις ενέργειές σας με το κουμπί "OK".
8. Εάν τα κάνατε όλα σωστά, στο κελί C7 θα πρέπει να έχετε την απάντηση - 13.7. Όταν κάνετε κλικ στο κελί C7, η συνάρτηση (=Average(C1:C6)) θα εμφανιστεί στη γραμμή τύπων.

Είναι πολύ χρήσιμο να χρησιμοποιείτε αυτή τη λειτουργία για λογιστικά, τιμολόγια ή όταν χρειάζεται απλώς να βρείτε τον μέσο όρο ενός πολύ μεγάλου εύρους αριθμών. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται συχνά σε γραφεία και μεγάλες εταιρείες. Αυτό σας επιτρέπει να διατηρείτε τα αρχεία σε τάξη και καθιστά δυνατό να υπολογίσετε γρήγορα κάτι (για παράδειγμα, το μέσο εισόδημα ανά μήνα). Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το Excel για να βρείτε τη μέση τιμή μιας συνάρτησης.

Μέση τιμή

Μέση τιμή(στα μαθηματικά και τη στατιστική) σύνολα αριθμών - το άθροισμα όλων των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό τους. Είναι ένα από τα πιο κοινά μέτρα κεντρικής τάσης.

Προτάθηκε (μαζί με τον γεωμετρικό μέσο και τον αρμονικό μέσο) από τους Πυθαγόρειους.

Ειδικές περιπτώσεις του αριθμητικού μέσου όρου είναι ο μέσος όρος (του γενικού πληθυσμού) και ο μέσος όρος του δείγματος (δειγμάτων).

Εισαγωγή

Δηλώστε το σύνολο δεδομένων Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, Χ n), τότε ο μέσος όρος του δείγματος συνήθως συμβολίζεται με μια οριζόντια γραμμή πάνω από τη μεταβλητή (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , προφέρεται " Χμε παύλα»).

Το ελληνικό γράμμα μ χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμητικό μέσο όρο ολόκληρου του πληθυσμού. Για μια τυχαία μεταβλητή για την οποία ορίζεται μια μέση τιμή, το μ είναι πιθανότητα μέσοςή τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής. Αν το σετ Χείναι μια συλλογή τυχαίων αριθμών με μέσο όρο πιθανότητας μ, τότε για οποιοδήποτε δείγμα Χ Εγώαπό αυτή τη συλλογή μ = E( Χ Εγώ) είναι η προσδοκία αυτού του δείγματος.

Στην πράξη, η διαφορά μεταξύ μ και x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) είναι ότι το μ είναι μια τυπική μεταβλητή επειδή μπορείτε να δείτε το δείγμα και όχι ολόκληρο τον πληθυσμό. Επομένως, εάν το δείγμα αναπαρίσταται τυχαία (από την άποψη της θεωρίας πιθανοτήτων), τότε το x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (αλλά όχι μ) μπορεί να αντιμετωπιστεί ως μια τυχαία μεταβλητή που έχει κατανομή πιθανότητας στο δείγμα ( κατανομή πιθανότητας του μέσου όρου).

Και οι δύο αυτές ποσότητες υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Αν ένα Χείναι μια τυχαία μεταβλητή, τότε η μαθηματική προσδοκία Χμπορεί να θεωρηθεί ως ο αριθμητικός μέσος όρος των τιμών σε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ποσότητας Χ. Αυτό είναι μια εκδήλωση του νόμου μεγάλα νούμερα. Επομένως, ο μέσος όρος του δείγματος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της άγνωστης μαθηματικής προσδοκίας.

Στη στοιχειώδη άλγεβρα αποδεικνύεται ότι ο μέσος n+ 1 αριθμοί πάνω από το μέσο όρο nαριθμοί εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον παλιό μέσο όρο, μικρότερος εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι μικρότερος από τον μέσο όρο και δεν αλλάζει εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι ίσος με τον μέσο όρο. Περισσότερο n, τόσο μικρότερη είναι η διαφορά μεταξύ του νέου και του παλιού μέσου όρου.

Σημειώστε ότι υπάρχουν πολλά άλλα διαθέσιμα "μέσα", συμπεριλαμβανομένου του μέσου όρου του νόμου ισχύος, του μέσου όρου Kolmogorov, του αρμονικού μέσου, του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και των διαφόρων σταθμισμένων μέσων (π. .

Παραδείγματα

• Για τρεις αριθμούς, πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 3:

• Για τέσσερις αριθμοίΠροσθέστε τα και διαιρέστε με το 4:

Ή πιο εύκολο 5+5=10, 10:2. Γιατί προσθέσαμε 2 αριθμούς, που σημαίνει ότι πόσους αριθμούς προσθέσουμε, διαιρούμε με τόσο.

Συνεχής τυχαία μεταβλητή

Για μια συνεχώς κατανεμημένη τιμή f (x) (\displaystyle f(x)) ο αριθμητικός μέσος όρος στο διάστημα [ a ; b ] (\displaystyle ) ορίζεται μέσω ενός ορισμένου ολοκληρώματος:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Μερικά προβλήματα χρήσης του μέσου όρου

Έλλειψη στιβαρότητας

Αν και ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνά ως μέσος όρος ή κεντρικές τάσεις, αυτή η έννοια δεν ισχύει για ισχυρές στατιστικές, πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από "μεγάλες αποκλίσεις". Αξίζει να σημειωθεί ότι για διανομές με μεγάλη λοξότητα, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να μην αντιστοιχεί στην έννοια του "μέσου όρου" και οι τιμές του μέσου όρου από ισχυρά στατιστικά στοιχεία (για παράδειγμα, ο διάμεσος) μπορεί να περιγράφουν καλύτερα την κεντρική τάση.

Το κλασικό παράδειγμα είναι ο υπολογισμός του μέσου εισοδήματος. Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να παρερμηνευθεί ως διάμεσος, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν περισσότερα άτομα με περισσότερα εισοδήματα από όσα πραγματικά υπάρχουν. Το «μέσο» εισόδημα ερμηνεύεται με τέτοιο τρόπο ώστε τα εισοδήματα των περισσότερων ανθρώπων να πλησιάζουν αυτόν τον αριθμό. Αυτό το "μέσο" (με την έννοια του αριθμητικού μέσου όρου) εισόδημα είναι υψηλότερο από το εισόδημα των περισσότερων ανθρώπων, καθώς ένα υψηλό εισόδημα με μεγάλη απόκλιση από τον μέσο όρο κάνει τον αριθμητικό μέσο όρο να στρέφεται έντονα (αντίθετα, το μεσαίο εισόδημα "αντέχει" τέτοια λοξή). Ωστόσο, αυτό το «μέσο» εισόδημα δεν λέει τίποτα για τον αριθμό των ατόμων κοντά στο διάμεσο εισόδημα (και δεν λέει τίποτα για τον αριθμό των ατόμων κοντά στο τροπικό εισόδημα). Ωστόσο, αν ληφθούν σοβαρά υπόψη οι έννοιες «μέσος όρος» και «πλειοψηφία», τότε μπορεί κανείς να συμπεράνει λανθασμένα ότι οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν εισοδήματα υψηλότερα από αυτά που είναι στην πραγματικότητα. Για παράδειγμα, μια αναφορά για το «μέσο» καθαρό εισόδημα στη Μεδίνα της Ουάσιγκτον, που υπολογίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των ετήσιων καθαρών εισοδημάτων των κατοίκων, θα δώσει έναν εκπληκτικά υψηλό αριθμό λόγω του Bill Gates. Εξετάστε το δείγμα (1, 2, 2, 2, 3, 9). Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι 3,17, αλλά πέντε από τις έξι τιμές είναι κάτω από αυτόν τον μέσο όρο.

Ανατοκισμός

Αν αριθμοί πολλαπλασιάζω, αλλά όχι πτυχή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον γεωμετρικό μέσο όρο, όχι τον αριθμητικό μέσο όρο. Τις περισσότερες φορές, αυτό το περιστατικό συμβαίνει κατά τον υπολογισμό της απόδοσης της επένδυσης στη χρηματοδότηση.

Για παράδειγμα, εάν οι μετοχές έπεσαν 10% το πρώτο έτος και αυξήθηκαν 30% το δεύτερο έτος, τότε είναι λάθος να υπολογιστεί η "μέση" αύξηση κατά τη διάρκεια αυτών των δύο ετών ως αριθμητικός μέσος όρος (−10% + 30%) / 2 = 10%; Ο σωστός μέσος όρος σε αυτή την περίπτωση δίνεται από τον σύνθετο ετήσιο ρυθμό ανάπτυξης, από τον οποίο η ετήσια αύξηση είναι μόνο περίπου 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Ο λόγος για αυτό είναι ότι τα ποσοστά έχουν ένα νέο σημείο εκκίνησης κάθε φορά: 30% είναι 30% από έναν αριθμό μικρότερο από την τιμή στην αρχή του πρώτου έτους:αν η μετοχή ξεκίνησε από 30 $ και έπεσε 10%, αξίζει 27 $ στην αρχή του δεύτερου έτους. Εάν η μετοχή αυξηθεί κατά 30%, αξίζει 35,1 $ στο τέλος του δεύτερου έτους. Ο αριθμητικός μέσος όρος αυτής της αύξησης είναι 10%, αλλά δεδομένου ότι η μετοχή έχει αυξηθεί μόνο κατά 5,1 $ σε 2 χρόνια, μια μέση αύξηση 8,2% δίνει ένα τελικό αποτέλεσμα 35,1 $:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Εάν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο του 10% με τον ίδιο τρόπο, δεν θα λάβουμε την πραγματική τιμή: [30$ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Σύνθετο επιτόκιο στο τέλος του έτους 2: 90% * 130% = 117% , δηλαδή συνολική αύξηση 17%, και ο μέσος ετήσιος σύνθετος τόκος είναι 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \περίπου 108,2\%) , δηλαδή μέση ετήσια αύξηση 8,2%.

Κατευθύνσεις

Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου κάποιας μεταβλητής που αλλάζει κυκλικά (για παράδειγμα, φάση ή γωνία), θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος των 1° και 359° θα ήταν 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Αυτός ο αριθμός είναι λανθασμένος για δύο λόγους.

• Πρώτον, τα γωνιακά μέτρα ορίζονται μόνο για την περιοχή από 0° έως 360° (ή από 0 έως 2π όταν μετρώνται σε ακτίνια). Έτσι, το ίδιο ζεύγος αριθμών θα μπορούσε να γραφτεί ως (1° και −1°) ή ως (1° και 719°). Οι μέσοι όροι κάθε ζεύγους θα είναι διαφορετικοί: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Δεύτερον, σε αυτήν την περίπτωση, μια τιμή 0° (ισοδύναμη με 360°) θα ήταν ο γεωμετρικά καλύτερος μέσος όρος, καθώς οι αριθμοί αποκλίνουν λιγότερο από 0° παρά από οποιαδήποτε άλλη τιμή (η τιμή 0° έχει τη μικρότερη απόκλιση). Συγκρίνω:
  • ο αριθμός 1° αποκλίνει από 0° μόνο κατά 1°.
  • ο αριθμός 1° αποκλίνει από τον υπολογισμένο μέσο όρο των 180° κατά 179°.

Η μέση τιμή για μια κυκλική μεταβλητή, που υπολογίζεται σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, θα μετατοπιστεί τεχνητά σε σχέση με τον πραγματικό μέσο όρο στο μέσο της αριθμητικής περιοχής. Εξαιτίας αυτού, ο μέσος όρος υπολογίζεται με διαφορετικό τρόπο, δηλαδή, ο αριθμός με τη μικρότερη απόκλιση (κεντρικό σημείο) επιλέγεται ως μέση τιμή. Επίσης, αντί για αφαίρεση, χρησιμοποιείται η απόσταση συντελεστών (δηλαδή η περιφερειακή απόσταση). Για παράδειγμα, η αρθρωτή απόσταση μεταξύ 1° και 359° είναι 2°, όχι 358° (σε κύκλο μεταξύ 359° και 360°==0° - μία μοίρα, μεταξύ 0° και 1° - επίσης 1°, συνολικά - 2 °).

Σταθμισμένος μέσος όρος - τι είναι και πώς να το υπολογίσετε;

Στη διαδικασία της μελέτης των μαθηματικών, οι μαθητές εξοικειώνονται με την έννοια του αριθμητικού μέσου όρου. Στο μέλλον, στη στατιστική και σε ορισμένες άλλες επιστήμες, οι μαθητές έρχονται αντιμέτωποι με τον υπολογισμό άλλων μέσων όρων. Τι μπορεί να είναι και σε τι διαφέρουν μεταξύ τους;

Μέσοι όροι: Σημασία και Διαφορές

Οι ακριβείς δείκτες δεν δίνουν πάντα κατανόηση της κατάστασης. Προκειμένου να αξιολογηθεί αυτή ή εκείνη η κατάσταση, μερικές φορές είναι απαραίτητο να αναλυθεί ένας τεράστιος αριθμός αριθμών. Και τότε οι μέσοι όροι έρχονται στη διάσωση. Σας επιτρέπουν να αξιολογήσετε την κατάσταση γενικά.

Από τα σχολικά χρόνια, πολλοί ενήλικες θυμούνται την ύπαρξη του αριθμητικού μέσου όρου. Είναι πολύ εύκολο να υπολογιστεί - το άθροισμα μιας ακολουθίας n όρων διαιρείται με το n. Δηλαδή, εάν πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο στην ακολουθία των τιμών 27, 22, 34 και 37, τότε πρέπει να λύσετε την έκφραση (27 + 22 + 34 + 37) / 4, αφού 4 τιμές χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, η επιθυμητή τιμή θα είναι ίση με 30.

Συχνά, στο πλαίσιο του σχολικού μαθήματος, μελετάται και ο γεωμετρικός μέσος όρος. Ο υπολογισμός αυτής της τιμής βασίζεται στην εξαγωγή της ρίζας του ν ου βαθμού από το γινόμενο n όρων. Αν πάρουμε τους ίδιους αριθμούς: 27, 22, 34 και 37, τότε το αποτέλεσμα των υπολογισμών θα είναι 29,4.

Ο αρμονικός μέσος όρος σε ένα σχολείο γενικής εκπαίδευσης συνήθως δεν είναι αντικείμενο μελέτης. Ωστόσο, χρησιμοποιείται αρκετά συχνά. Αυτή η τιμή είναι η αντίστροφη του αριθμητικού μέσου όρου και υπολογίζεται ως πηλίκο του n - ο αριθμός των τιμών και το άθροισμα 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Αν πάλι πάρουμε την ίδια σειρά αριθμών για υπολογισμό, τότε η αρμονική θα είναι 29,6.

Σταθμισμένος Μέσος όρος: Χαρακτηριστικά

Ωστόσο, όλες οι παραπάνω τιμές ενδέχεται να μην χρησιμοποιούνται παντού. Για παράδειγμα, στις στατιστικές, κατά τον υπολογισμό κάποιων μέσων τιμών, σημαντικό ρόλο παίζει το «βάρος» κάθε αριθμού που χρησιμοποιείται στον υπολογισμό. Τα αποτελέσματα είναι πιο ενδεικτικά και σωστά, αφού λαμβάνουν υπόψη περισσότερες πληροφορίες. Αυτή η ομάδα τιμών αναφέρεται συλλογικά ως "σταθμισμένος μέσος όρος". Δεν περνούν στο σχολείο, οπότε αξίζει να σταθούμε σε αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Πρώτα απ 'όλα, αξίζει να εξηγήσουμε τι σημαίνει το "βάρος" μιας συγκεκριμένης αξίας. Ο ευκολότερος τρόπος για να το εξηγήσετε αυτό είναι να συγκεκριμένο παράδειγμα. Η θερμοκρασία του σώματος κάθε ασθενή μετριέται δύο φορές την ημέρα στο νοσοκομείο. Από τους 100 ασθενείς σε διαφορετικά τμήματα του νοσοκομείου, οι 44 θα έχουν κανονική θερμοκρασία - 36,6 βαθμούς. Άλλα 30 θα έχουν αυξημένη τιμή - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, και τα υπόλοιπα δύο - 40. Και αν πάρουμε τον αριθμητικό μέσο όρο, τότε αυτή η τιμή γενικά για το νοσοκομείο θα είναι πάνω από 38 μοίρες ! Αλλά σχεδόν οι μισοί ασθενείς έχουν μια απολύτως φυσιολογική θερμοκρασία. Και εδώ θα ήταν πιο σωστό να χρησιμοποιήσετε τον σταθμισμένο μέσο όρο και το "βάρος" κάθε τιμής θα είναι ο αριθμός των ατόμων. Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα του υπολογισμού θα είναι 37,25 μοίρες. Η διαφορά είναι εμφανής.

Στην περίπτωση των υπολογισμών του σταθμισμένου μέσου όρου, το "βάρος" μπορεί να ληφθεί ως ο αριθμός των αποστολών, ο αριθμός των ατόμων που εργάζονται μια δεδομένη ημέρα, γενικά, οτιδήποτε μπορεί να μετρηθεί και να επηρεάσει το τελικό αποτέλεσμα.

ποικιλίες

Ο σταθμισμένος μέσος όρος αντιστοιχεί στον αριθμητικό μέσο όρο που συζητήθηκε στην αρχή του άρθρου. Ωστόσο, η πρώτη τιμή, όπως ήδη αναφέρθηκε, λαμβάνει επίσης υπόψη το βάρος κάθε αριθμού που χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς. Επιπλέον, υπάρχουν επίσης σταθμισμένες γεωμετρικές και αρμονικές τιμές.

Υπάρχει μια άλλη ενδιαφέρουσα ποικιλία που χρησιμοποιείται σε σειρές αριθμών. Είναι περίπουσχετικά με τον σταθμισμένο κινητό μέσο όρο. Στη βάση του υπολογίζονται οι τάσεις. Εκτός από τις ίδιες τις τιμές και το βάρος τους, χρησιμοποιείται και η περιοδικότητα. Και κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής σε κάποια χρονική στιγμή, λαμβάνονται επίσης υπόψη τιμές ​​για προηγούμενες χρονικές περιόδους.

Ο υπολογισμός όλων αυτών των τιμών δεν είναι τόσο δύσκολος, αλλά στην πράξη χρησιμοποιείται συνήθως μόνο ο συνήθης σταθμισμένος μέσος όρος.

Μέθοδοι υπολογισμού

Στην εποχή της μηχανογράφησης δεν χρειάζεται χειροκίνητος υπολογισμός του σταθμισμένου μέσου όρου. Ωστόσο, θα ήταν χρήσιμο να γνωρίζετε τον τύπο υπολογισμού, ώστε να μπορείτε να ελέγξετε και, εάν χρειάζεται, να διορθώσετε τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

Θα είναι ευκολότερο να εξετάσετε τον υπολογισμό σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Είναι απαραίτητο να μάθετε ποιος είναι ο μέσος μισθός σε αυτήν την επιχείρηση, λαμβάνοντας υπόψη τον αριθμό των εργαζομένων που λαμβάνουν συγκεκριμένο μισθό.

Έτσι, ο υπολογισμός του σταθμισμένου μέσου όρου πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Για παράδειγμα, ο υπολογισμός θα ήταν:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Προφανώς, δεν υπάρχει ιδιαίτερη δυσκολία στον χειροκίνητο υπολογισμό του σταθμισμένου μέσου όρου. Ο τύπος για τον υπολογισμό αυτής της τιμής σε μια από τις πιο δημοφιλείς εφαρμογές με τύπους - το Excel - μοιάζει με τη συνάρτηση SUMPRODUCT (σειρά αριθμών, σειρά βαρών) / SUM (σειρά βαρών).

Πώς να βρείτε τη μέση τιμή στο excel;

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο στο excel;

Vladimir09854

Πανεύκολο. Για να βρείτε τη μέση τιμή στο excel, χρειάζεστε μόνο 3 κελιά. Στο πρώτο γράφουμε έναν αριθμό, στο δεύτερο - έναν άλλο. Και στο τρίτο κελί, θα βαθμολογήσουμε έναν τύπο που θα μας δώσει τη μέση τιμή μεταξύ αυτών των δύο αριθμών από το πρώτο και το δεύτερο κελί. Εάν το κελί Νο. 1 ονομάζεται A1, το κελί Νο. 2 ονομάζεται Β1, τότε στο κελί με τον τύπο πρέπει να γράψετε ως εξής:

Αυτός ο τύπος υπολογίζει τον αριθμητικό μέσο όρο δύο αριθμών.

Για την ομορφιά των υπολογισμών μας, μπορούμε να επισημάνουμε τα κελιά με γραμμές, σε μορφή πλάκας.

Υπάρχει επίσης μια συνάρτηση στο ίδιο το Excel για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής, αλλά χρησιμοποιώ την παλιομοδίτικη μέθοδο και εισάγω τον τύπο που χρειάζομαι. Έτσι, είμαι σίγουρος ότι το Excel θα υπολογίσει ακριβώς όπως χρειάζομαι και δεν θα καταλήξει σε κάποιου είδους στρογγυλοποίηση από μόνο του.

M3sergey

Αυτό είναι πολύ εύκολο εάν τα δεδομένα έχουν ήδη εισαχθεί στα κελιά. Εάν σας ενδιαφέρει απλώς ένας αριθμός, απλώς επιλέξτε το επιθυμητό εύρος / εύρη και η τιμή του αθροίσματος αυτών των αριθμών, ο αριθμητικός μέσος όρος και ο αριθμός τους θα εμφανιστούν στη γραμμή κατάστασης κάτω δεξιά.

Μπορείτε να επιλέξετε ένα κενό κελί, να κάνετε κλικ στο τρίγωνο (αναπτυσσόμενη λίστα) "Autosum" και να επιλέξετε "Average" εκεί, μετά από το οποίο θα συμφωνήσετε με το προτεινόμενο εύρος για υπολογισμό ή να επιλέξετε το δικό σας.

Τέλος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε απευθείας τους τύπους - κάντε κλικ στην επιλογή "Εισαγωγή συνάρτησης" δίπλα στη γραμμή τύπων και τη διεύθυνση κελιού. Η συνάρτηση AVERAGE βρίσκεται στην κατηγορία "Στατιστικά" και παίρνει ως ορίσματα και αριθμούς και αναφορές κελιών κ.λπ. Εκεί μπορείτε επίσης να επιλέξετε περισσότερα σύνθετες επιλογές, για παράδειγμα, AVERAGEIF - υπολογισμός του μέσου όρου σύμφωνα με την συνθήκη.

Βρείτε το μέσο όρο στο excelείναι ένα αρκετά απλό έργο. Εδώ πρέπει να καταλάβετε εάν θέλετε να χρησιμοποιήσετε αυτή τη μέση τιμή σε ορισμένους τύπους ή όχι.

Εάν πρέπει να λάβετε μόνο την τιμή, τότε αρκεί να επιλέξετε το απαιτούμενο εύρος αριθμών, μετά το οποίο το excel θα υπολογίσει αυτόματα τη μέση τιμή - θα εμφανιστεί στη γραμμή κατάστασης, η επικεφαλίδα "Μέσος όρος".

Στην περίπτωση που θέλετε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα σε τύπους, μπορείτε να το κάνετε αυτό:

1) Αθροίστε τα κελιά χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση SUM και διαιρέστε τα όλα με τον αριθμό των αριθμών.

2) Μια πιο σωστή επιλογή είναι να χρησιμοποιήσετε μια ειδική συνάρτηση που ονομάζεται AVERAGE. Τα ορίσματα αυτής της συνάρτησης μπορεί να είναι αριθμοί που δίνονται διαδοχικά ή μια σειρά αριθμών.

Βλαντιμίρ Τιχόνοφ

κυκλώστε τις τιμές που θα συμπεριληφθούν στον υπολογισμό, κάντε κλικ στην καρτέλα "Τύποι", εκεί θα δείτε το "AutoSum" στα αριστερά και δίπλα του ένα τρίγωνο που δείχνει προς τα κάτω. κάντε κλικ σε αυτό το τρίγωνο και επιλέξτε "Μέσος όρος". Voila, έτοιμο) στο κάτω μέρος της στήλης θα δείτε τη μέση τιμή :)

Ekaterina Mutalapova

Ας ξεκινήσουμε από την αρχή και με τη σειρά. Τι σημαίνει μέσος όρος;

Η μέση τιμή είναι η τιμή που είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, δηλ. υπολογίζεται προσθέτοντας ένα σύνολο αριθμών και στη συνέχεια διαιρώντας το συνολικό άθροισμα των αριθμών με τον αριθμό τους. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 2, 3, 6, 7, 2 θα είναι 4 (το άθροισμα των αριθμών 20 διαιρείται με τον αριθμό τους 5)

Σε ένα υπολογιστικό φύλλο του Excel, για μένα προσωπικά, ο ευκολότερος τρόπος ήταν να χρησιμοποιήσω τον τύπο =ΜΕΣΟΣ. Για να υπολογίσετε τη μέση τιμή, πρέπει να εισαγάγετε δεδομένα στον πίνακα, να γράψετε τη συνάρτηση =AVERAGE() κάτω από τη στήλη δεδομένων και σε αγκύλες να υποδείξετε το εύρος των αριθμών στα κελιά, επισημαίνοντας τη στήλη με τα δεδομένα. Μετά από αυτό, πατήστε ENTER ή απλώς κάντε αριστερό κλικ σε οποιοδήποτε κελί. Το αποτέλεσμα θα εμφανιστεί στο κελί κάτω από τη στήλη. Εκ πρώτης όψεως, η περιγραφή είναι ακατανόητη, αλλά στην πραγματικότητα είναι θέμα λεπτών.

Adventurer 2000

Το πρόγραμμα Excel είναι πολύπλευρο, επομένως υπάρχουν πολλές επιλογές που θα σας επιτρέψουν να βρείτε τον μέσο όρο:

Πρώτη επιλογή. Απλώς αθροίζετε όλα τα κελιά και διαιρείτε με τον αριθμό τους.

Δεύτερη επιλογή. Χρησιμοποιήστε μια ειδική εντολή, γράψτε στο απαιτούμενο κελί τον τύπο "=ΜΕΣΟΣ (και εδώ καθορίστε το εύρος των κελιών)".

Τρίτη επιλογή. Εάν επιλέξετε το απαιτούμενο εύρος, τότε σημειώστε ότι στην παρακάτω σελίδα εμφανίζεται επίσης η μέση τιμή σε αυτά τα κελιά.

Έτσι, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να βρείτε τη μέση τιμή, απλά πρέπει να επιλέξετε την καλύτερη για εσάς και να τη χρησιμοποιείτε συνεχώς.

Στο Excel, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση AVERAGE, μπορείτε να υπολογίσετε τον απλό αριθμητικό μέσο όρο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε έναν αριθμό τιμών. Πατήστε ίσον και επιλέξτε στην κατηγορία Στατιστικά, μεταξύ των οποίων επιλέξτε τη συνάρτηση ΜΕΣΟΣ

Επίσης, χρησιμοποιώντας στατιστικούς τύπους, μπορείτε να υπολογίσετε τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο, ο οποίος θεωρείται πιο ακριβής. Για να τον υπολογίσουμε, χρειαζόμαστε τις τιμές του δείκτη και τη συχνότητα.

Πώς να βρείτε τον μέσο όρο στο Excel;

Η κατάσταση είναι αυτή. Υπάρχει ο παρακάτω πίνακας:

Οι στήλες που σκιάζονται με κόκκινο περιέχουν τις αριθμητικές τιμές των βαθμών για τα θέματα. Στη στήλη " Μέσος όρος«Απαιτείται ο υπολογισμός της μέσης αξίας τους.
Το πρόβλημα είναι το εξής: υπάρχουν 60-70 αντικείμενα συνολικά και μερικά από αυτά βρίσκονται σε άλλο φύλλο.
Κοίταξα σε άλλο έγγραφο, ο μέσος όρος έχει ήδη υπολογιστεί και στο κελί υπάρχει ένας τύπος όπως
="όνομα φύλλου"!|Ε12
αλλά αυτό έγινε από κάποιον προγραμματιστή που απολύθηκε.
Πες μου, σε παρακαλώ, ποιος το καταλαβαίνει αυτό.

Έκτορας

Στη γραμμή των συναρτήσεων, εισάγετε "ΜΕΣΟΣ" από τις προτεινόμενες συναρτήσεις και επιλέγετε από πού πρέπει να υπολογιστούν (B6: N6) για τον Ivanov, για παράδειγμα. Δεν ξέρω με βεβαιότητα για τα γειτονικά φύλλα, αλλά σίγουρα αυτό περιέχεται στην τυπική βοήθεια των Windows

Πείτε μου πώς να υπολογίσω τη μέση τιμή στο Word

Πείτε μου πώς να υπολογίσω τη μέση τιμή στο Word. Δηλαδή, η μέση τιμή των αξιολογήσεων και όχι ο αριθμός των ατόμων που έλαβαν βαθμολογίες.

Γιούλια Πάβλοβα

Το Word μπορεί να κάνει πολλά με τις μακροεντολές. Πατήστε ALT+F11 και γράψτε ένα πρόγραμμα μακροεντολής..
Επιπλέον, το Insert-Object... θα σας επιτρέψει να χρησιμοποιήσετε άλλα προγράμματα, ακόμα και το Excel, για να δημιουργήσετε ένα φύλλο με έναν πίνακα μέσα σε ένα έγγραφο του Word.
Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να γράψετε τους αριθμούς σας στη στήλη του πίνακα και να βάλετε τον μέσο όρο στο κάτω κελί της ίδιας στήλης, σωστά;
Για να το κάνετε αυτό, εισαγάγετε ένα πεδίο στο κάτω κελί.
Εισαγωγή-Πεδίο...-Τύπος
Περιεχόμενο πεδίου
[=ΜΕΣΟΣ (ΠΑΝΩ)]
επιστρέφει τον μέσο όρο του αθροίσματος των παραπάνω κελιών.
Εάν το πεδίο είναι επιλεγμένο και πατηθεί το δεξί κουμπί του ποντικιού, τότε μπορεί να ενημερωθεί εάν έχουν αλλάξει οι αριθμοί,
δείτε τον κωδικό ή την τιμή του πεδίου, αλλάξτε τον κωδικό απευθείας στο πεδίο.
Εάν κάτι πάει στραβά, διαγράψτε ολόκληρο το πεδίο στο κελί και δημιουργήστε το ξανά.
AVERAGE σημαίνει μέσος όρος, ΠΑΝΩ - περίπου, δηλαδή μια σειρά κελιών πάνω.
Δεν τα ήξερα όλα αυτά ο ίδιος, αλλά τα βρήκα εύκολα στο HELP, φυσικά, σκεπτόμενος λίγο.

Για να βρείτε τη μέση τιμή στο Excel (είτε είναι αριθμητική, κείμενο, ποσοστό ή άλλη τιμή), υπάρχουν πολλές συναρτήσεις. Και καθένα από αυτά έχει τα δικά του χαρακτηριστικά και πλεονεκτήματα. Μετά από όλα, ορισμένες προϋποθέσεις μπορούν να τεθούν σε αυτήν την εργασία.

Για παράδειγμα, οι μέσες τιμές μιας σειράς αριθμών στο Excel υπολογίζονται χρησιμοποιώντας στατιστικές συναρτήσεις. Μπορείτε επίσης να εισαγάγετε χειροκίνητα τον δικό σας τύπο. Ας εξετάσουμε διάφορες επιλογές.

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών;

Για να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο, προσθέτετε όλους τους αριθμούς του συνόλου και διαιρείτε το άθροισμα με τον αριθμό. Για παράδειγμα, οι βαθμοί ενός μαθητή στην επιστήμη των υπολογιστών: 3, 4, 3, 5, 5. Τι ισχύει για ένα τέταρτο: 4. Βρήκαμε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Πώς να το κάνετε γρήγορα χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις του Excel; Πάρτε για παράδειγμα μια σειρά τυχαίων αριθμών σε μια συμβολοσειρά:

Ή: κάντε το κελί ενεργό και απλώς εισαγάγετε χειροκίνητα τον τύπο: =AVERAGE(A1:A8).

Τώρα ας δούμε τι άλλο μπορεί να κάνει η συνάρτηση AVERAGE.

Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο πρώτων και τριών τελευταίων αριθμών. Τύπος: =AVERAGE(A1:B1;F1:H1). Αποτέλεσμα:

Μέσος όρος κατά συνθήκη

Η προϋπόθεση για την εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου μπορεί να είναι ένα αριθμητικό κριτήριο ή ένα κριτήριο κειμένου. Θα χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση: =AVERAGEIF().

Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο αριθμών που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 10.

Συνάρτηση: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Το τρίτο όρισμα - "Εύρος μέσου όρου" - παραλείπεται. Πρώτον, δεν απαιτείται. Δεύτερον, το εύρος που αναλύεται από το πρόγραμμα περιέχει ΜΟΝΟ αριθμητικές τιμές. Στα κελιά που καθορίζονται στο πρώτο όρισμα, η αναζήτηση θα εκτελεστεί σύμφωνα με τη συνθήκη που καθορίζεται στο δεύτερο όρισμα.

Προσοχή! Το κριτήριο αναζήτησης μπορεί να καθοριστεί σε ένα κελί. Και στον τύπο να γίνει αναφορά σε αυτό.

Ας βρούμε τη μέση τιμή των αριθμών με το κριτήριο του κειμένου. Για παράδειγμα, οι μέσες πωλήσεις του προϊόντος «πίνακες».

Η συνάρτηση θα μοιάζει με αυτό: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Εύρος - μια στήλη με ονόματα προϊόντων. Το κριτήριο αναζήτησης είναι ένας σύνδεσμος προς ένα κελί με τη λέξη "πίνακες" (μπορείτε να εισαγάγετε τη λέξη "πίνακες" αντί του συνδέσμου Α7). Εύρος μέσου όρου - αυτά τα κελιά από τα οποία θα ληφθούν δεδομένα για τον υπολογισμό της μέσης τιμής.

Ως αποτέλεσμα του υπολογισμού της συνάρτησης, λαμβάνουμε την ακόλουθη τιμή:

Προσοχή! Για ένα κριτήριο κειμένου (συνθήκη), πρέπει να καθοριστεί το μέσο εύρος τιμών.

Πώς να υπολογίσετε τη σταθμισμένη μέση τιμή στο Excel;

Πώς γνωρίζουμε τη σταθμισμένη μέση τιμή;

Τύπος: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο SUMPRODUCT, ανακαλύπτουμε τα συνολικά έσοδα μετά την πώληση ολόκληρης της ποσότητας των αγαθών. Και η συνάρτηση SUM - συνοψίζει την ποσότητα των αγαθών. Διαιρώντας τα συνολικά έσοδα από την πώληση αγαθών με τον συνολικό αριθμό μονάδων αγαθών, βρήκαμε τη μέση σταθμισμένη τιμή. Αυτός ο δείκτης λαμβάνει υπόψη το «βάρος» κάθε τιμής. Το μερίδιό της σε συνολική μάζααξίες.

Τυπική απόκλιση: τύπος στο Excel

Διακρίνετε την τυπική απόκλιση για τον γενικό πληθυσμό και για το δείγμα. Στην πρώτη περίπτωση, αυτή είναι η ρίζα της γενικής διακύμανσης. Στη δεύτερη, από τη διακύμανση του δείγματος.

Για τον υπολογισμό αυτού του στατιστικού δείκτη, συντάσσεται ένας τύπος διασποράς. Η ρίζα λαμβάνεται από αυτό. Αλλά στο Excel υπάρχει μια έτοιμη συνάρτηση για την εύρεση της τυπικής απόκλισης.

Η τυπική απόκλιση συνδέεται με την κλίμακα των δεδομένων πηγής. Αυτό δεν αρκεί για μια εικονική αναπαράσταση της διακύμανσης του αναλυόμενου εύρους. Για να ληφθεί το σχετικό επίπεδο διασποράς στα δεδομένα, υπολογίζεται ο συντελεστής διακύμανσης:

τυπική απόκλιση / αριθμητικός μέσος όρος

Ο τύπος στο Excel μοιάζει με αυτό:

STDEV (εύρος τιμών) / AVERAGE (εύρος τιμών).

Ο συντελεστής διακύμανσης υπολογίζεται ως ποσοστό. Επομένως, ορίζουμε τη μορφή ποσοστού στο κελί.

Αριθμητικός μέσος όρος - ένας στατιστικός δείκτης που δείχνει τη μέση τιμή ενός δεδομένου πίνακα δεδομένων. Ένας τέτοιος δείκτης υπολογίζεται ως κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το άθροισμα όλων των τιμών του πίνακα και ο παρονομαστής είναι ο αριθμός τους. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ένας σημαντικός συντελεστής που χρησιμοποιείται στους οικιακούς υπολογισμούς.

Η έννοια του συντελεστή

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ένας στοιχειώδης δείκτης για τη σύγκριση δεδομένων και τον υπολογισμό μιας αποδεκτής τιμής. Για παράδειγμα, ένα κουτί μπύρας από έναν συγκεκριμένο κατασκευαστή πωλείται σε διαφορετικά καταστήματα. Αλλά σε ένα κατάστημα κοστίζει 67 ρούβλια, σε άλλο - 70 ρούβλια, στο τρίτο - 65 ρούβλια και στο τελευταίο - 62 ρούβλια. Υπάρχει ένα αρκετά μεγάλο εύρος τιμών, επομένως ο αγοραστής θα ενδιαφέρεται για το μέσο κόστος ενός κουτιού, έτσι ώστε όταν αγοράζει ένα προϊόν να μπορεί να συγκρίνει το κόστος του. Κατά μέσο όρο, ένα κουτάκι μπύρας στην πόλη έχει μια τιμή:

Μέση τιμή = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ρούβλια.

Γνωρίζοντας τη μέση τιμή, είναι εύκολο να προσδιορίσετε πού είναι κερδοφόρο να αγοράσετε αγαθά και πού θα πρέπει να πληρώσετε υπερβολικά.

Ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συνεχώς σε στατιστικούς υπολογισμούς σε περιπτώσεις όπου αναλύεται ένα ομοιογενές σύνολο δεδομένων. Στο παραπάνω παράδειγμα, αυτή είναι η τιμή ενός κουτιού μπύρας της ίδιας μάρκας. Ωστόσο, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε την τιμή της μπύρας από διαφορετικούς κατασκευαστές ή τις τιμές της μπύρας και της λεμονάδας, καθώς στην περίπτωση αυτή η διάδοση των τιμών θα είναι μεγαλύτερη, η μέση τιμή θα είναι θολή και αναξιόπιστη και το ίδιο το νόημα των υπολογισμών θα παραμορφωθεί στην καρικατούρα «μέση θερμοκρασία στο νοσοκομείο». Για τον υπολογισμό ετερογενών πινάκων δεδομένων, χρησιμοποιείται ο αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος, όταν κάθε τιμή λαμβάνει τον δικό της συντελεστή στάθμισης.

Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου

Ο τύπος για τους υπολογισμούς είναι εξαιρετικά απλός:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

όπου an είναι η τιμή της ποσότητας, n είναι ο συνολικός αριθμός των τιμών.

Σε τι μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτός ο δείκτης; Η πρώτη και προφανής χρήση του είναι στη στατιστική. Σχεδόν κάθε στατιστική μελέτη χρησιμοποιεί τον αριθμητικό μέσο όρο. Θα μπορούσε να είναι ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΗΛΙΚΙΑΣγάμος στη Ρωσία, ο μέσος όρος βαθμολογίας σε ένα μάθημα για έναν μαθητή ή η μέση δαπάνη για είδη παντοπωλείου ανά ημέρα. Όπως προαναφέρθηκε, χωρίς να ληφθούν υπόψη τα βάρη, ο υπολογισμός των μέσων όρων μπορεί να δώσει περίεργες ή παράλογες τιμές.

Για παράδειγμα, ο πρόεδρος Ρωσική Ομοσπονδίαέκανε μια δήλωση ότι, σύμφωνα με στατιστικά στοιχεία, ο μέσος μισθός ενός Ρώσου είναι 27.000 ρούβλια. Για τους περισσότερους ανθρώπους στη Ρωσία, αυτό το επίπεδο μισθού φαινόταν παράλογο. Δεν αποτελεί έκπληξη εάν ο υπολογισμός λαμβάνει υπόψη τα εισοδήματα των ολιγαρχών, των επικεφαλής βιομηχανικών επιχειρήσεων, των μεγαλοτραπεζιτών, από τη μια και τους μισθούς των δασκάλων, των καθαριστριών και των πωλητών, από την άλλη. Ακόμη και οι μέσοι μισθοί σε μια ειδικότητα, για παράδειγμα, ένας λογιστής, θα έχουν σοβαρές διαφορές στη Μόσχα, την Κόστρομα και το Αικατερινούπολη.

Πώς να υπολογίσετε τους μέσους όρους για ετερογενή δεδομένα

Στην καταμέτρηση καταστάσεων μισθοίείναι σημαντικό να λάβετε υπόψη το βάρος κάθε τιμής. Αυτό σημαίνει ότι στους μισθούς των ολιγαρχών και των τραπεζιτών θα δίνεται βάρος, για παράδειγμα, 0,00001 και οι μισθοί των πωλητών θα είναι 0,12. Αυτοί είναι αριθμοί από το ανώτατο όριο, αλλά απεικονίζουν χονδρικά την επικράτηση των ολιγαρχών και των πωλητών στη ρωσική κοινωνία.

Έτσι, για να υπολογιστεί ο μέσος όρος των μέσων όρων ή η μέση τιμή σε έναν ετερογενή πίνακα δεδομένων, απαιτείται να χρησιμοποιηθεί ο αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος. Διαφορετικά, θα λάβετε μέσο μισθό στη Ρωσία στο επίπεδο των 27.000 ρούβλια. Αν θέλετε να μάθετε τον μέσο όρο σας στα μαθηματικά ή τον μέσο αριθμό τερμάτων που σημείωσε ένας επιλεγμένος παίκτης χόκεϊ, τότε ο αριθμητικός μέσος αριθμομηχανής θα σας ταιριάζει.

Το πρόγραμμά μας είναι μια απλή και βολική αριθμομηχανή για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου. Χρειάζεται μόνο να εισαγάγετε τιμές παραμέτρων για να εκτελέσετε υπολογισμούς.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα

Υπολογισμός Μέσου Βαθμού

Πολλοί δάσκαλοι χρησιμοποιούν τον αριθμητικό μέσο όρο για να καθορίσουν έναν ετήσιο βαθμό σε ένα μάθημα. Ας φανταστούμε ότι ένα παιδί παίρνει τους παρακάτω βαθμούς τριμήνου στα μαθηματικά: 3, 3, 5, 4. Τι ετήσιο βαθμό θα του δώσει ο δάσκαλος; Ας χρησιμοποιήσουμε μια αριθμομηχανή και ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο. Αρχικά, επιλέξτε τον κατάλληλο αριθμό πεδίων και εισαγάγετε τις τιμές βαθμού στα κελιά που εμφανίζονται:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Ο δάσκαλος θα στρογγυλοποιήσει την τιμή υπέρ του μαθητή και ο μαθητής θα λάβει σταθερά τέσσερα για το έτος.

Υπολογισμός γλυκών που καταναλώθηκαν

Ας δείξουμε έναν παραλογισμό του αριθμητικού μέσου όρου. Φανταστείτε ότι η Μάσα και η Βόβα είχαν 10 γλυκά. Η Μάσα έφαγε 8 καραμέλες και η Βόβα μόνο 2. Πόσες καραμέλες έφαγε κάθε παιδί κατά μέσο όρο; Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, είναι εύκολο να υπολογίσουμε ότι κατά μέσο όρο τα παιδιά έτρωγαν 5 γλυκά το καθένα, κάτι που είναι εντελώς αναληθές και κοινή λογική. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος είναι σημαντικός για σημαντικά σύνολα δεδομένων.

συμπέρασμα

Ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλά επιστημονικά πεδία. Αυτός ο δείκτης είναι δημοφιλής όχι μόνο στους στατιστικούς υπολογισμούς, αλλά και στη φυσική, τη μηχανική, την οικονομία, την ιατρική ή τη χρηματοδότηση. Χρησιμοποιήστε τις αριθμομηχανές μας ως βοηθό για την επίλυση προβλημάτων αριθμητικού μέσου όρου.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα δεδομένα συγκεντρώνονται γύρω από κάποιο κεντρικό σημείο. Έτσι, για να περιγράψουμε οποιοδήποτε σύνολο δεδομένων, αρκεί να υποδείξουμε τη μέση τιμή. Εξετάστε διαδοχικά τρία αριθμητικά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της μέσης τιμής της κατανομής: αριθμητικός μέσος όρος, διάμεσος και τρόπος λειτουργίας.

Μέση τιμή

Ο αριθμητικός μέσος όρος (συχνά αναφέρεται απλώς ως μέσος όρος) είναι η πιο κοινή εκτίμηση του μέσου όρου μιας κατανομής. Είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αθροίσματος όλων των παρατηρούμενων αριθμητικών τιμών με τον αριθμό τους. Για ένα δείγμα αριθμών Χ 1, Χ 2, ..., Χn, ο μέσος όρος του δείγματος (σημειώνεται με το σύμβολο ) ισοδυναμεί \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, ή

πού είναι ο μέσος όρος του δείγματος, n- το μέγεθος του δείγματος, ΧΕγώ – i-ο στοιχείοδείγματα.

Λήψη σημείωσης σε ή μορφή, παραδείγματα σε μορφή

Εξετάστε το ενδεχόμενο να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο των πενταετών μέσων ετήσιων αποδόσεων 15 αμοιβαίων κεφαλαίων με πολύ υψηλό επίπεδοκίνδυνος (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Μέση ετήσια απόδοση 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου

Ο μέσος όρος του δείγματος υπολογίζεται ως εξής:

Αυτή είναι μια καλή απόδοση, ειδικά σε σύγκριση με την απόδοση 3-4% που έλαβαν οι καταθέτες τραπεζών ή πιστωτικών ενώσεων την ίδια χρονική περίοδο. Εάν ταξινομήσετε τις τιμές απόδοσης, είναι εύκολο να δείτε ότι οκτώ αμοιβαία κεφάλαια έχουν απόδοση πάνω από το μέσο όρο και επτά - κάτω από το μέσο όρο. Ο αριθμητικός μέσος όρος λειτουργεί ως σημείο ισορροπίας, έτσι ώστε τα κεφάλαια χαμηλού εισοδήματος να εξισορροπούν τα κεφάλαια υψηλού εισοδήματος. Όλα τα στοιχεία του δείγματος εμπλέκονται στον υπολογισμό του μέσου όρου. Κανένας από τους άλλους εκτιμητές του μέσου όρου κατανομής δεν έχει αυτήν την ιδιότητα.

Πότε να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο.Δεδομένου ότι ο αριθμητικός μέσος όρος εξαρτάται από όλα τα στοιχεία του δείγματος, η παρουσία ακραίων τιμών επηρεάζει σημαντικά το αποτέλεσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να παραμορφώσει την έννοια των αριθμητικών δεδομένων. Επομένως, κατά την περιγραφή ενός συνόλου δεδομένων που περιέχει ακραίες τιμές, είναι απαραίτητο να υποδεικνύεται η διάμεσος ή ο αριθμητικός μέσος όρος και η διάμεσος. Για παράδειγμα, εάν η απόδοση του αμοιβαίου κεφαλαίου της Αναδυόμενης Ανάπτυξης της RS αφαιρεθεί από το δείγμα, ο μέσος όρος του δείγματος της απόδοσης των 14 κεφαλαίων μειώνεται σχεδόν κατά 1% σε 5,19%.

Διάμεσος

Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή ενός διατεταγμένου πίνακα αριθμών. Εάν ο πίνακας δεν περιέχει επαναλαμβανόμενους αριθμούς, τότε τα μισά στοιχεία του θα είναι μικρότερα και μισά περισσότερα από τη διάμεσο. Εάν το δείγμα περιέχει ακραίες τιμές, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί η διάμεσος παρά ο αριθμητικός μέσος όρος για την εκτίμηση του μέσου όρου. Για να υπολογιστεί η διάμεσος ενός δείγματος, πρέπει πρώτα να ταξινομηθεί.

Αυτή η φόρμουλα είναι διφορούμενη. Το αποτέλεσμά του εξαρτάται από το αν ο αριθμός είναι άρτιος ή μονός. n:

• Εάν το δείγμα περιέχει μονό αριθμό στοιχείων, η διάμεσος είναι (n+1)/2-ο στοιχείο.
• Εάν το δείγμα περιέχει ζυγό αριθμό στοιχείων, η διάμεσος βρίσκεται μεταξύ των δύο μεσαίων στοιχείων του δείγματος και ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο που υπολογίζεται σε αυτά τα δύο στοιχεία.

Για να υπολογίσουμε τη διάμεση τιμή για ένα δείγμα 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου, πρέπει πρώτα να ταξινομήσουμε τα πρωτογενή δεδομένα (Εικόνα 2). Τότε η διάμεσος θα είναι απέναντι από τον αριθμό του μεσαίου στοιχείου του δείγματος. στο παράδειγμά μας με αριθμό 8. Το Excel έχει μια ειδική συνάρτηση =MEDIAN() που λειτουργεί και με μη ταξινομημένους πίνακες.

Ρύζι. 2. Διάμεσος 15 ταμεία

Έτσι, η διάμεσος είναι 6,5. Αυτό σημαίνει ότι τα μισά από τα κεφάλαια πολύ υψηλού κινδύνου δεν ξεπερνούν τα 6,5, ενώ τα άλλα μισά το κάνουν. Σημειώστε ότι η διάμεσος του 6,5 είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από τη διάμεσο του 6,08.

Εάν αφαιρέσουμε την κερδοφορία του αμοιβαίου κεφαλαίου RS Emerging Growth από το δείγμα, τότε η διάμεση τιμή των υπόλοιπων 14 κεφαλαίων θα μειωθεί στο 6,2%, δηλαδή όχι τόσο σημαντικά όσο ο αριθμητικός μέσος όρος (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Διάμεσος 14 ταμεία

Μόδα

Ο όρος εισήχθη για πρώτη φορά από τον Pearson το 1894. Η μόδα είναι ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά στο δείγμα (το πιο μοδάτο). Η μόδα περιγράφει καλά, για παράδειγμα, την τυπική αντίδραση των οδηγών σε ένα σήμα κυκλοφορίας για διακοπή της κυκλοφορίας. Ένα κλασικό παράδειγμα χρήσης της μόδας είναι η επιλογή του μεγέθους της παραγόμενης παρτίδας παπουτσιών ή του χρώματος της ταπετσαρίας. Εάν μια διανομή έχει πολλαπλούς τρόπους λειτουργίας, τότε λέγεται ότι είναι πολυτροπική ή πολυτροπική (έχει δύο ή περισσότερες "κορυφές"). Η πολυτροπική κατανομή παρέχει σημαντικές πληροφορίες για τη φύση της υπό μελέτη μεταβλητής. Για παράδειγμα, σε κοινωνιολογικές έρευνες, εάν μια μεταβλητή αντιπροσωπεύει μια προτίμηση ή στάση απέναντι σε κάτι, τότε η πολυτροπικότητα θα μπορούσε να σημαίνει ότι υπάρχουν πολλές σαφώς διαφορετικές απόψεις. Η πολυτροπικότητα είναι επίσης ένας δείκτης ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές και ότι οι παρατηρήσεις μπορεί να δημιουργηθούν από δύο ή περισσότερες «επικαλυπτόμενες» κατανομές. Σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, οι ακραίες τιμές δεν επηρεάζουν τη λειτουργία. Για τυχαίες μεταβλητές που κατανέμονται συνεχώς, όπως οι μέσες ετήσιες αποδόσεις των αμοιβαίων κεφαλαίων, η λειτουργία μερικές φορές δεν υπάρχει καθόλου (ή δεν έχει νόημα). Δεδομένου ότι αυτοί οι δείκτες μπορούν να λάβουν μια ποικιλία τιμών, οι επαναλαμβανόμενες τιμές είναι εξαιρετικά σπάνιες.

τεταρτημόρια

Τα τεταρτημόρια είναι μέτρα που χρησιμοποιούνται πιο συχνά για την αξιολόγηση της κατανομής των δεδομένων κατά την περιγραφή των ιδιοτήτων μεγάλων αριθμητικών δειγμάτων. Ενώ η διάμεσος χωρίζει τον ταξινομημένο πίνακα στο μισό (50% των στοιχείων του πίνακα είναι λιγότερα από το διάμεσο και το 50% είναι μεγαλύτερα), τα τεταρτημόρια διαχωρίζουν το ταξινομημένο σύνολο δεδομένων σε τέσσερα μέρη. Οι τιμές Q 1 , διάμεσος και Q 3 είναι το 25ο, 50ο και 75ο εκατοστημόριο, αντίστοιχα. Το πρώτο τεταρτημόριο Q 1 είναι ένας αριθμός που χωρίζει το δείγμα σε δύο μέρη: το 25% των στοιχείων είναι μικρότερα από και το 75% είναι περισσότερα από το πρώτο τεταρτημόριο.

Το τρίτο τεταρτημόριο Q 3 είναι ένας αριθμός που χωρίζει επίσης το δείγμα σε δύο μέρη: το 75% των στοιχείων είναι μικρότερα από και το 25% είναι περισσότερα από το τρίτο τεταρτημόριο.

Για τον υπολογισμό τεταρτημορίων σε εκδόσεις του Excel πριν από το 2007, χρησιμοποιήθηκε η συνάρτηση =QUARTILE (πίνακας, τμήμα). Ξεκινώντας με το Excel 2010, ισχύουν δύο λειτουργίες:

• =QUARTILE.ON (πίνακας, τμήμα)
• =QUARTILE.EXC(πίνακας, μέρος)

Αυτές οι δύο συναρτήσεις δίνουν ελαφρώς διαφορετικές τιμές (Εικόνα 4). Για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό των τεταρτημορίων ενός δείγματος που περιέχει δεδομένα για τη μέση ετήσια απόδοση 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου, Q 1 = 1,8 ή -0,7 για QUARTILE.INC και QUARTILE.EXC, αντίστοιχα. Παρεμπιπτόντως, η συνάρτηση QUARTILE που χρησιμοποιήθηκε νωρίτερα αντιστοιχεί σε σύγχρονη λειτουργίαΤΕΤΑΡΤΗ ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗ Για να υπολογίσετε τεταρτημόρια στο Excel χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, ο πίνακας δεδομένων μπορεί να παραμείνει χωρίς σειρά.

Ρύζι. 4. Υπολογίστε τεταρτημόρια στο Excel

Να τονίσουμε ξανά. Το Excel μπορεί να υπολογίσει τεταρτημόρια για μονομεταβλητή διακριτές σειρές, που περιέχει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής. Ο υπολογισμός των τεταρτημορίων για μια κατανομή με βάση τη συχνότητα δίνεται στην παρακάτω ενότητα.

γεωμετρικό μέσο

Σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, ο γεωμετρικός μέσος όρος μετρά πόσο έχει αλλάξει μια μεταβλητή με την πάροδο του χρόνου. Το γεωμετρικό μέσο είναι η ρίζα nου βαθμού από το προϊόν nτιμές (στο Excel, χρησιμοποιείται η συνάρτηση = CUGEOM):

σολ= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Μια παρόμοια παράμετρος - ο γεωμετρικός μέσος όρος του ρυθμού απόδοσης - καθορίζεται από τον τύπο:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

όπου R i- ποσοστό απόδοσης Εγώ-η χρονική περίοδος.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η αρχική επένδυση είναι 100.000 $. Μέχρι το τέλος του πρώτου έτους, πέφτει στα 50.000 $ και μέχρι το τέλος του δεύτερου έτους, επανέρχεται στα αρχικά 100.000 $. Το ποσοστό απόδοσης αυτής της επένδυσης σε διάστημα δύο περίοδος έτους είναι ίση με 0, αφού το αρχικό και το τελικό ποσό των κεφαλαίων είναι ίσα μεταξύ τους. Ωστόσο, ο αριθμητικός μέσος όρος ετήσια ποσοστάτο κέρδος είναι = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ή 25%, δεδομένου ότι το ποσοστό απόδοσης το πρώτο έτος R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0,5, και το δεύτερο R 2 = (100.000 – 50.000) / 50.000 = 1. Ταυτόχρονα, ο γεωμετρικός μέσος όρος του ποσοστού απόδοσης για δύο χρόνια είναι: G = [(1–0,5) * (1+1)] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Έτσι, ο γεωμετρικός μέσος όρος αντικατοπτρίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια τη μεταβολή (ακριβέστερα, την απουσία αλλαγής) στον όγκο των επενδύσεων κατά τη διετία από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Ενδιαφέροντα γεγονότα.Πρώτον, ο γεωμετρικός μέσος όρος θα είναι πάντα μικρότερος από τον αριθμητικό μέσο όρο των ίδιων αριθμών. Εκτός από την περίπτωση που όλοι οι αριθμοί που λαμβάνονται είναι ίσοι μεταξύ τους. Δεύτερον, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να καταλάβετε γιατί ο μέσος όρος ονομάζεται γεωμετρικός. Το ύψος ενός ορθογώνιου τριγώνου, χαμηλωμένο στην υποτείνουσα, είναι η μέση αναλογία μεταξύ των προεξοχών των ποδιών στην υποτείνουσα, και κάθε σκέλος είναι η μέση αναλογία μεταξύ της υποτείνουσας και της προβολής της στην υποτείνουσα (Εικ. 5). Αυτό δίνει έναν γεωμετρικό τρόπο κατασκευής του γεωμετρικού μέσου όρου δύο (μήκη) τμημάτων: πρέπει να χτίσετε έναν κύκλο στο άθροισμα αυτών των δύο τμημάτων ως διάμετρο και, στη συνέχεια, το ύψος, που θα αποκατασταθεί από το σημείο της σύνδεσής τους στη διασταύρωση με το κύκλος, θα δώσει την απαιτούμενη τιμή:

Ρύζι. 5. Η γεωμετρική φύση του γεωμετρικού μέσου (σχήμα από τη Wikipedia)

Η δεύτερη σημαντική ιδιότητα των αριθμητικών δεδομένων είναι το δικό τους παραλλαγήχαρακτηρίζοντας το βαθμό διασποράς των δεδομένων. Δύο διαφορετικά δείγματα μπορεί να διαφέρουν τόσο σε μέσες τιμές όσο και σε παραλλαγές. Ωστόσο, όπως φαίνεται στο σχ. 6 και 7, δύο δείγματα μπορεί να έχουν την ίδια παραλλαγή αλλά διαφορετικά μέσα ή τον ίδιο μέσο όρο και εντελώς διαφορετική παραλλαγή. Τα δεδομένα που αντιστοιχούν στο πολύγωνο Β στο Σχ. 7 αλλάζουν πολύ λιγότερο από τα δεδομένα από τα οποία κατασκευάστηκε το πολύγωνο Α.

Ρύζι. 6. Δύο συμμετρικές κατανομές σε σχήμα καμπάνας με το ίδιο spread και διαφορετικές μέσες τιμές

Ρύζι. 7. Δύο συμμετρικές κατανομές σε σχήμα καμπάνας με τις ίδιες μέσες τιμές και διαφορετική διασπορά

Υπάρχουν πέντε εκτιμήσεις της διακύμανσης των δεδομένων:

• σπιθαμή,
• διατεταρτημοριακό εύρος,
• διασπορά,
• τυπική απόκλιση,
• ο συντελεστής διακύμανσης.

πεδίο εφαρμογής

Το εύρος είναι η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου στοιχείου του δείγματος:

Σύρετε = XMax-XΕλάχ

Το εύρος ενός δείγματος που περιέχει τις μέσες ετήσιες αποδόσεις 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν ταξινομημένο πίνακα (βλ. Εικόνα 4): εύρος = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Αυτό σημαίνει ότι η διαφορά μεταξύ της υψηλότερης και της χαμηλότερης μέσης ετήσιας απόδοσης για αμοιβαία κεφάλαια πολύ υψηλού κινδύνου είναι 24,6%.

Το εύρος μετρά τη συνολική εξάπλωση των δεδομένων. Αν και το εύρος του δείγματος είναι μια πολύ απλή εκτίμηση της συνολικής εξάπλωσης των δεδομένων, η αδυναμία του είναι ότι δεν λαμβάνει υπόψη ακριβώς τον τρόπο κατανομής των δεδομένων μεταξύ του ελάχιστου και του μέγιστου στοιχείου. Αυτό το αποτέλεσμα φαίνεται καλά στο Σχ. 8 που απεικονίζει δείγματα που έχουν το ίδιο εύρος. Η κλίμακα Β δείχνει ότι εάν το δείγμα περιέχει τουλάχιστον μία ακραία τιμή, το εύρος του δείγματος είναι μια πολύ ανακριβής εκτίμηση της διασποράς των δεδομένων.

Ρύζι. 8. Σύγκριση τριών δειγμάτων με το ίδιο εύρος. το τρίγωνο συμβολίζει την υποστήριξη της ισορροπίας και η θέση του αντιστοιχεί στη μέση τιμή του δείγματος

Διατεταρτημοριακό εύρος

Το διατεταρτημόριο ή το μέσο εύρος είναι η διαφορά μεταξύ του τρίτου και του πρώτου τεταρτημορίου του δείγματος:

Εύρος διατεταρτημορίου \u003d Q 3 - Q 1

Αυτή η τιμή καθιστά δυνατό να εκτιμηθεί η εξάπλωση του 50% των στοιχείων και να μην ληφθεί υπόψη η επίδραση των ακραίων στοιχείων. Το διατεταρτημόριο για ένα δείγμα που περιέχει δεδομένα για τις μέσες ετήσιες αποδόσεις 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στο Σχήμα. 4 (για παράδειγμα, για τη συνάρτηση QUARTILE.EXC): Εύρος διατεταρτημορίου = 9,8 - (-0,7) = 10,5. Το διάστημα μεταξύ 9,8 και -0,7 αναφέρεται συχνά ως μεσαίο μισό.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι τιμές Q 1 και Q 3, και ως εκ τούτου το διατεταρτημόριο, δεν εξαρτώνται από την παρουσία ακραίων τιμών, καθώς ο υπολογισμός τους δεν λαμβάνει υπόψη καμία τιμή μικρότερη από Q 1 ή μεγαλύτερη από Q 3 . Τα συνολικά ποσοτικά χαρακτηριστικά, όπως η διάμεσος, το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο και το διατεταρτημόριο, τα οποία δεν επηρεάζονται από ακραίες τιμές, ονομάζονται ισχυροί δείκτες.

Ενώ το εύρος και το διατεταρτημόριο εύρος παρέχουν μια εκτίμηση της συνολικής και της μέσης διασποράς του δείγματος, αντίστοιχα, καμία από αυτές τις εκτιμήσεις δεν λαμβάνει υπόψη ακριβώς τον τρόπο με τον οποίο κατανέμονται τα δεδομένα. Διακύμανση και τυπική απόκλισηαπαλλαγμένο από αυτό το μειονέκτημα. Αυτοί οι δείκτες σάς επιτρέπουν να αξιολογήσετε τον βαθμό διακύμανσης των δεδομένων γύρω από τον μέσο όρο. Διακύμανση δείγματοςείναι μια προσέγγιση του αριθμητικού μέσου όρου που υπολογίζεται από τις τετραγωνικές διαφορές μεταξύ κάθε στοιχείου δείγματος και του μέσου όρου του δείγματος. Για ένα δείγμα X 1 , X 2 , ... X n η διακύμανση του δείγματος (που συμβολίζεται με το σύμβολο S 2 δίνεται με τον ακόλουθο τύπο:

Γενικά, η διακύμανση του δείγματος είναι το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών μεταξύ των στοιχείων του δείγματος και του μέσου όρου του δείγματος, διαιρούμενο με μια τιμή ίση με το μέγεθος του δείγματος μείον ένα:

όπου - αριθμητικός μέσος όρος, n- το μέγεθος του δείγματος, X i - Εγώ-ο δείγμα στοιχείου Χ. Στο Excel πριν από την έκδοση 2007, η συνάρτηση =VAR() χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της διακύμανσης του δείγματος, από την έκδοση 2010, χρησιμοποιείται η συνάρτηση =VAR.V().

Η πιο πρακτική και ευρέως αποδεκτή εκτίμηση της διασποράς δεδομένων είναι τυπική απόκλιση. Αυτός ο δείκτης συμβολίζεται με το σύμβολο S και ισούται με τετραγωνική ρίζααπό τη διακύμανση του δείγματος:

Στο Excel πριν από την έκδοση 2007, η συνάρτηση =STDEV() χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης, από την έκδοση 2010 χρησιμοποιείται η συνάρτηση =STDEV.V(). Για τον υπολογισμό αυτών των συναρτήσεων, ο πίνακας δεδομένων μπορεί να είναι μη ταξινομημένος.

Ούτε η διακύμανση του δείγματος ούτε η τυπική απόκλιση του δείγματος μπορεί να είναι αρνητικές. Η μόνη περίπτωση στην οποία οι δείκτες S 2 και S μπορούν να είναι μηδενικοί είναι εάν όλα τα στοιχεία του δείγματος είναι ίσα. Σε αυτή την εντελώς απίθανη περίπτωση, το εύρος και το εύρος του διατεταρτημορίου είναι επίσης μηδέν.

Τα αριθμητικά δεδομένα είναι εγγενώς ασταθή. Οποιαδήποτε μεταβλητή μπορεί να λάβει πολλές διαφορετικές τιμές. Για παράδειγμα, διαφορετικά αμοιβαία κεφάλαια έχουν διαφορετικά ποσοστά απόδοσης και ζημιών. Λόγω της μεταβλητότητας των αριθμητικών δεδομένων, είναι πολύ σημαντικό να μελετηθούν όχι μόνο εκτιμήσεις του μέσου όρου, οι οποίες έχουν αθροιστικό χαρακτήρα, αλλά και εκτιμήσεις της διακύμανσης, που χαρακτηρίζουν τη διασπορά των δεδομένων.

Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε την εξάπλωση των δεδομένων γύρω από τον μέσο όρο, με άλλα λόγια, να καθορίσουμε πόσα στοιχεία του δείγματος είναι λιγότερα από το μέσο όρο και πόσα είναι μεγαλύτερα. Η διασπορά έχει μερικές πολύτιμες μαθηματικές ιδιότητες. Ωστόσο, η τιμή του είναι το τετράγωνο μιας μονάδας μέτρησης - ένα τετραγωνικό ποσοστό, ένα τετραγωνικό δολάριο, μια τετραγωνική ίντσα κ.λπ. Επομένως, μια φυσική εκτίμηση της διακύμανσης είναι η τυπική απόκλιση, η οποία εκφράζεται στις συνήθεις μονάδες μέτρησης - ποσοστό εισοδήματος, δολάρια ή ίντσες.

Η τυπική απόκλιση σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το μέγεθος της διακύμανσης των στοιχείων του δείγματος γύρω από τη μέση τιμή. Σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις, η πλειονότητα των παρατηρούμενων τιμών βρίσκεται εντός συν ή πλην μίας τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή. Επομένως, γνωρίζοντας τον αριθμητικό μέσο όρο των στοιχείων του δείγματος και την τυπική απόκλιση του δείγματος, είναι δυνατό να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο ανήκει ο κύριος όγκος των δεδομένων.

Η τυπική απόκλιση των αποδόσεων σε 15 αμοιβαία κεφάλαια πολύ υψηλού κινδύνου είναι 6,6 (Εικόνα 9). Αυτό σημαίνει ότι η κερδοφορία του μεγαλύτερου μέρους των κεφαλαίων διαφέρει από τη μέση αξία κατά όχι περισσότερο από 6,6% (δηλαδή, κυμαίνεται στο εύρος από – Σ= 6,2 – 6,6 = –0,4 έως + Σ= 12,8). Μάλιστα, αυτό το διάστημα περιέχει μέση ετήσια απόδοση 53,3% (8 στα 15) πενταετίας.

Ρύζι. 9. Τυπική απόκλιση

Σημειώστε ότι κατά τη διαδικασία άθροισης των τετραγωνικών διαφορών, τα στοιχεία που είναι πιο μακριά από τη μέση κερδίζουν περισσότερο βάρος από τα στοιχεία που είναι πιο κοντά. Αυτή η ιδιότητα είναι ο κύριος λόγος για τον οποίο ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνότερα για την εκτίμηση του μέσου όρου μιας κατανομής.

Ο συντελεστής διακύμανσης

Σε αντίθεση με προηγούμενες εκτιμήσεις διασποράς, ο συντελεστής διακύμανσης είναι μια σχετική εκτίμηση. Μετριέται πάντα ως ποσοστό, όχι στις αρχικές μονάδες δεδομένων. Ο συντελεστής διακύμανσης, που συμβολίζεται με τα σύμβολα CV, μετρά τη διασπορά των δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή. Ο συντελεστής διακύμανσης είναι ίσος με την τυπική απόκλιση διαιρούμενη με τον αριθμητικό μέσο όρο και πολλαπλασιαζόμενη επί 100%:

όπου μικρό- τυπική απόκλιση δείγματος, - μέσος όρος δείγματος.

Ο συντελεστής διακύμανσης σας επιτρέπει να συγκρίνετε δύο δείγματα, τα στοιχεία των οποίων εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Για παράδειγμα, ο διαχειριστής μιας υπηρεσίας παράδοσης αλληλογραφίας σκοπεύει να αναβαθμίσει τον στόλο των φορτηγών. Κατά τη φόρτωση συσκευασιών, υπάρχουν δύο τύποι περιορισμών που πρέπει να ληφθούν υπόψη: το βάρος (σε λίβρες) και ο όγκος (σε κυβικά πόδια) κάθε συσκευασίας. Ας υποθέσουμε ότι σε ένα δείγμα που περιέχει 200 ​​πακέτα, μέσο βάροςείναι 26,0 λίβρες, η τυπική απόκλιση του βάρους είναι 3,9 λίβρες, ο μέσος όγκος συσκευασίας είναι 8,8 κυβικά πόδια και η τυπική απόκλιση του όγκου είναι 2,2 κυβικά πόδια. Πώς να συγκρίνετε το spread του βάρους και του όγκου των πακέτων;

Δεδομένου ότι οι μονάδες μέτρησης για το βάρος και τον όγκο διαφέρουν μεταξύ τους, ο διαχειριστής πρέπει να συγκρίνει τη σχετική διασπορά αυτών των τιμών. Ο συντελεστής διακύμανσης βάρους είναι CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, και ο συντελεστής διακύμανσης όγκου CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25% . Έτσι, η σχετική διασπορά των όγκων πακέτων είναι πολύ μεγαλύτερη από τη σχετική διασπορά των βαρών τους.

Φόρμα διανομής

Η τρίτη σημαντική ιδιότητα του δείγματος είναι η μορφή της κατανομής του. Αυτή η κατανομή μπορεί να είναι συμμετρική ή ασύμμετρη. Για να περιγραφεί το σχήμα μιας κατανομής, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο μέσος όρος και η διάμεσος. Εάν αυτά τα δύο μέτρα είναι τα ίδια, η μεταβλητή λέγεται ότι είναι συμμετρικά κατανεμημένη. Εάν η μέση τιμή μιας μεταβλητής είναι μεγαλύτερη από τη διάμεσο, η κατανομή της έχει θετική λοξότητα (Εικ. 10). Εάν η διάμεσος είναι μεγαλύτερη από τη μέση, η κατανομή της μεταβλητής είναι αρνητικά λοξή. Η θετική λοξότητα εμφανίζεται όταν ο μέσος όρος αυξάνεται σε ασυνήθιστα υψηλές τιμές. Η αρνητική λοξότητα εμφανίζεται όταν ο μέσος όρος μειώνεται σε ασυνήθιστα μικρές τιμές. Μια μεταβλητή κατανέμεται συμμετρικά εάν δεν λάβει ακραίες τιμές προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, έτσι ώστε οι μεγάλες και οι μικρές τιμές της μεταβλητής να αλληλοεξουδετερώνονται.

Ρύζι. 10. Τρεις τύποι διανομών

Τα δεδομένα που απεικονίζονται στην κλίμακα Α έχουν αρνητική λοξότητα. Αυτό το σχήμα δείχνει μια μακριά ουρά και μια αριστερή λοξή που προκαλείται από ασυνήθιστα μικρές τιμές. Αυτές οι εξαιρετικά μικρές τιμές μετατοπίζουν τη μέση τιμή προς τα αριστερά και γίνεται μικρότερη από τη διάμεση τιμή. Τα δεδομένα που εμφανίζονται στην κλίμακα Β κατανέμονται συμμετρικά. Το αριστερό και το δεξί μισό της κατανομής είναι δικά τους καθρέφτες. Οι μεγάλες και οι μικρές τιμές εξισορροπούν η μία την άλλη και ο μέσος όρος και ο διάμεσος είναι ίσοι. Τα δεδομένα που εμφανίζονται στην κλίμακα Β έχουν θετική λοξότητα. Αυτό το σχήμα δείχνει μια μακριά ουρά και μια λοξή προς τα δεξιά, που προκαλούνται από την παρουσία ασυνήθιστα υψηλών τιμών. Αυτές οι πολύ μεγάλες τιμές μετατοπίζουν τον μέσο όρο προς τα δεξιά και γίνεται μεγαλύτερος από τον διάμεσο.

Στο Excel, μπορείτε να λάβετε περιγραφικά στατιστικά στοιχεία χρησιμοποιώντας το πρόσθετο Πακέτο ανάλυσης. Περάστε από το μενού Δεδομένα → Ανάλυση δεδομένων, στο παράθυρο που ανοίγει, επιλέξτε τη γραμμή Περιγραφικά στατιστικάκαι κάντε κλικ Εντάξει. Στο παράθυρο Περιγραφικά στατιστικάφροντίστε να υποδείξετε διάστημα εισαγωγής(Εικ. 11). Εάν θέλετε να δείτε περιγραφικά στατιστικά στοιχεία στο ίδιο φύλλο με τα αρχικά δεδομένα, επιλέξτε το κουμπί επιλογής διάστημα εξόδουκαι καθορίστε το κελί στο οποίο θέλετε να τοποθετήσετε την επάνω αριστερή γωνία των εμφανιζόμενων στατιστικών (στο παράδειγμά μας, $C$1). Εάν θέλετε να εξάγετε δεδομένα σε ένα νέο φύλλο ή σε καινούργιο βιβλίοαπλά επιλέξτε το κατάλληλο κουμπί επιλογής. Επιλέξτε το πλαίσιο δίπλα Τελικά στατιστικά στοιχεία. Προαιρετικά, μπορείτε επίσης να επιλέξετε Επίπεδο δυσκολίας,κ-ο μικρότερο καικ-ο μεγαλύτερος.

Αν σε κατάθεση Δεδομέναστην περιοχή του Ανάλυσηδεν βλέπετε το εικονίδιο Ανάλυση δεδομένων, πρέπει πρώτα να εγκαταστήσετε το πρόσθετο Πακέτο ανάλυσης(βλ., για παράδειγμα,).

Ρύζι. 11. Περιγραφικά στατιστικά στοιχεία των πενταετών μέσων ετήσιων αποδόσεων κεφαλαίων με πολύ υψηλά επίπεδα κινδύνου, που υπολογίζονται με τη χρήση του πρόσθετου Ανάλυση δεδομένωνΠρογράμματα Excel

Το Excel υπολογίζει έναν αριθμό στατιστικών που συζητήθηκαν παραπάνω: μέσος όρος, διάμεσος, τρόπος, τυπική απόκλιση, διακύμανση, εύρος ( διάστημα), ελάχιστο, μέγιστο και μέγεθος δείγματος ( έλεγχος). Επιπλέον, το Excel υπολογίζει ορισμένα νέα στατιστικά στοιχεία για εμάς: τυπικό σφάλμα, κύρτωση και λοξότητα. τυπικό σφάλμαισούται με την τυπική απόκλιση διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα του μεγέθους του δείγματος. Ασυμμετρίαχαρακτηρίζει την απόκλιση από τη συμμετρία της κατανομής και είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από τον κύβο των διαφορών μεταξύ των στοιχείων του δείγματος και της μέσης τιμής. Η κούρτωση είναι ένα μέτρο της σχετικής συγκέντρωσης δεδομένων γύρω από τον μέσο όρο σε σχέση με τις ουρές της κατανομής και εξαρτάται από τις διαφορές μεταξύ του δείγματος και του μέσου όρου που αυξάνεται στην τέταρτη ισχύ.

Υπολογισμός περιγραφικών στατιστικών για το γενικό πληθυσμό

Ο μέσος όρος, η διασπορά και το σχήμα της κατανομής που συζητήθηκαν παραπάνω είναι χαρακτηριστικά που βασίζονται σε δείγμα. Ωστόσο, εάν το σύνολο δεδομένων περιέχει αριθμητικές μετρήσεις ολόκληρου του πληθυσμού, τότε οι παράμετροί του μπορούν να υπολογιστούν. Αυτές οι παράμετροι περιλαμβάνουν τον μέσο όρο, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση του πληθυσμού.

Αναμενόμενη αξίαισούται με το άθροισμα όλων των τιμών του γενικού πληθυσμού διαιρεμένο με τον όγκο του γενικού πληθυσμού:

όπου µ - αναμενόμενη αξία, ΧΕγώ- Εγώ-η μεταβλητή παρατήρηση Χ, Ν- τον όγκο του γενικού πληθυσμού. Στο Excel, για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας, χρησιμοποιείται η ίδια συνάρτηση με τον αριθμητικό μέσο όρο: =AVERAGE().

Διακύμανση πληθυσμούίσο με το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών μεταξύ των στοιχείων του γενικού πληθυσμού και του ματ. προσδοκίες διαιρεμένες με το μέγεθος του πληθυσμού:

όπου σ2είναι η διακύμανση του γενικού πληθυσμού. Το Excel πριν από την έκδοση 2007 χρησιμοποιεί τη συνάρτηση =VAR() για να υπολογίσει τη διακύμανση του πληθυσμού, ξεκινώντας από την έκδοση 2010 =VAR.G().

τυπική απόκλιση πληθυσμούισούται με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης του πληθυσμού:

Το Excel πριν από την έκδοση 2007 χρησιμοποιεί το =STDEV() για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού, ξεκινώντας με την έκδοση 2010 =STDEV.Y(). Σημειώστε ότι οι τύποι για τη διακύμανση πληθυσμού και την τυπική απόκλιση είναι διαφορετικοί από τους τύπους για τη διακύμανση του δείγματος και την τυπική απόκλιση. Κατά τον υπολογισμό των στατιστικών δειγμάτων S2και μικρόο παρονομαστής του κλάσματος είναι n - 1, και κατά τον υπολογισμό των παραμέτρων σ2και σ - τον όγκο του γενικού πληθυσμού Ν.

εμπειρικός κανόνας

Στις περισσότερες περιπτώσεις, ένα μεγάλο ποσοστό παρατηρήσεων συγκεντρώνεται γύρω από τη διάμεσο, σχηματίζοντας ένα σύμπλεγμα. Σε σύνολα δεδομένων με θετική λοξότητα, αυτό το σύμπλεγμα βρίσκεται στα αριστερά (δηλαδή, κάτω) της μαθηματικής προσδοκίας και σε σύνολα με αρνητική λοξότητα, αυτό το σύμπλεγμα βρίσκεται στα δεξιά (δηλαδή, πάνω) της μαθηματικής προσδοκίας. Τα συμμετρικά δεδομένα έχουν τον ίδιο μέσο όρο και διάμεσο, και οι παρατηρήσεις συγκεντρώνονται γύρω από το μέσο όρο, σχηματίζοντας μια κατανομή σε σχήμα καμπάνας. Εάν η κατανομή δεν έχει έντονη λοξότητα και τα δεδομένα συγκεντρώνονται γύρω από ένα συγκεκριμένο κέντρο βάρους, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας εμπειρικός κανόνας για την εκτίμηση της μεταβλητότητας, ο οποίος λέει: εάν τα δεδομένα έχουν κατανομή σε σχήμα καμπάνας, τότε περίπου το 68% από τις παρατηρήσεις είναι μικρότερη από μία τυπική απόκλιση από τη μαθηματική προσδοκία, Περίπου το 95% των παρατηρήσεων είναι εντός δύο τυπικών αποκλίσεων από την αναμενόμενη τιμή και το 99,7% των παρατηρήσεων είναι εντός τριών τυπικών αποκλίσεων από την αναμενόμενη τιμή.

Έτσι, η τυπική απόκλιση, η οποία είναι μια εκτίμηση της μέσης διακύμανσης γύρω από τη μαθηματική προσδοκία, βοηθά στην κατανόηση του τρόπου κατανομής των παρατηρήσεων και στον προσδιορισμό των ακραίων τιμών. Από τον εμπειρικό κανόνα προκύπτει ότι για κατανομές σε σχήμα καμπάνας, μόνο μία τιμή στις είκοσι διαφέρει από τη μαθηματική προσδοκία κατά περισσότερες από δύο τυπικές αποκλίσεις. Επομένως, τιμές εκτός του διαστήματος μ ± 2σ, μπορούν να θεωρηθούν ακραίες τιμές. Επιπλέον, μόνο τρεις στις 1000 παρατηρήσεις διαφέρουν από τις μαθηματικές προσδοκίες κατά περισσότερες από τρεις τυπικές αποκλίσεις. Έτσι, τιμές εκτός του διαστήματος μ ± 3σείναι σχεδόν πάντα ακραίες. Για διανομές που είναι πολύ λοξές ή δεν έχουν σχήμα καμπάνας, μπορεί να εφαρμοστεί ο εμπειρικός κανόνας Biename-Chebyshev.

Πριν από περισσότερα από εκατό χρόνια, οι μαθηματικοί Bienamay και Chebyshev ανακάλυψαν ανεξάρτητα χρήσιμη ιδιότητατυπική απόκλιση. Βρήκαν ότι για οποιοδήποτε σύνολο δεδομένων, ανεξάρτητα από το σχήμα της κατανομής, το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται σε απόσταση που δεν υπερβαίνει κτυπικές αποκλίσεις από τις μαθηματικές προσδοκίες, όχι λιγότερες (1 – 1/ 2)*100%.

Για παράδειγμα, εάν κ= 2, ο κανόνας Biename-Chebyshev δηλώνει ότι τουλάχιστον (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% των παρατηρήσεων πρέπει να βρίσκονται στο διάστημα μ ± 2σ. Αυτός ο κανόνας ισχύει για οποιονδήποτε κυπερβαίνει το ένα. Ο κανόνας Biename-Chebyshev είναι πολύ γενικού χαρακτήρακαι ισχύει για διανομές κάθε είδους. Υποδεικνύει ελάχιστο ποσόπαρατηρήσεις, η απόσταση από την οποία μέχρι τη μαθηματική προσδοκία δεν υπερβαίνει μια δεδομένη τιμή. Ωστόσο, εάν η κατανομή είναι σε σχήμα καμπάνας, ο εμπειρικός κανόνας εκτιμά με μεγαλύτερη ακρίβεια τη συγκέντρωση των δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή.

Υπολογισμός περιγραφικών στατιστικών για μια κατανομή με βάση τη συχνότητα

Εάν τα αρχικά δεδομένα δεν είναι διαθέσιμα, η κατανομή συχνότητας γίνεται η μόνη πηγή πληροφοριών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορείτε να υπολογίσετε τις κατά προσέγγιση τιμές των ποσοτικών δεικτών της κατανομής, όπως ο αριθμητικός μέσος όρος, η τυπική απόκλιση, τα τεταρτημόρια.

Εάν τα δεδομένα του δείγματος παρουσιάζονται ως κατανομή συχνότητας, μπορεί να υπολογιστεί μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμητικού μέσου όρου, υποθέτοντας ότι όλες οι τιμές σε κάθε κατηγορία συγκεντρώνονται στο μέσο της κατηγορίας:

όπου - μέσος όρος δείγματος, n- αριθμός παρατηρήσεων ή μέγεθος δείγματος, Με- τον αριθμό των κλάσεων στην κατανομή συχνότητας, mj- μεσαίο σημείο ι-η τάξη, φάι- συχνότητα που αντιστοιχεί σε ι-η τάξη.

Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης από την κατανομή συχνότητας, θεωρείται επίσης ότι όλες οι τιμές σε κάθε κατηγορία συγκεντρώνονται στο μέσο της κατηγορίας.

Για να κατανοήσουμε πώς καθορίζονται τα τεταρτημόρια της σειράς με βάση τις συχνότητες, ας εξετάσουμε τον υπολογισμό του κατώτερου τεταρτημορίου με βάση τα δεδομένα για το 2013 σχετικά με την κατανομή του ρωσικού πληθυσμού κατά μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα σε μετρητά (Εικ. 12).

Ρύζι. 12. Το μερίδιο του πληθυσμού της Ρωσίας με κατά κεφαλήν νομισματικό εισόδημα κατά μέσο όρο ανά μήνα, ρούβλια

Για να υπολογίσετε το πρώτο τεταρτημόριο της σειράς παραλλαγής διαστήματος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

όπου Q1 είναι η τιμή του πρώτου τεταρτημορίου, xQ1 είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το πρώτο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, η πρώτη υπερβαίνει το 25%). i είναι η τιμή του διαστήματος. Σf είναι το άθροισμα των συχνοτήτων ολόκληρου του δείγματος. πιθανώς πάντα ίσο με 100%? SQ1–1 είναι η αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο. fQ1 είναι η συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο. Ο τύπος για το τρίτο τεταρτημόριο διαφέρει στο ότι σε όλα τα μέρη, αντί για Q1, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το Q3 και να αντικαταστήσετε το ¾ αντί για το ¼.

Στο παράδειγμά μας (Εικ. 12), το κατώτερο τεταρτημόριο είναι στην περιοχή 7000,1 - 10,000, η ​​αθροιστική συχνότητα του οποίου είναι 26,4%. Το κατώτερο όριο αυτού του διαστήματος είναι 7000 ρούβλια, η τιμή του διαστήματος είναι 3000 ρούβλια, η συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κάτω τεταρτημόριο είναι 13,4%, η συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κάτω τεταρτημόριο είναι 13,0%. Έτσι: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 \u003d 9677 ρούβλια.

Παγίδες που σχετίζονται με περιγραφικές στατιστικές

Σε αυτό το σημείωμα, εξετάσαμε πώς να περιγράψουμε ένα σύνολο δεδομένων χρησιμοποιώντας διάφορα στατιστικά στοιχεία που εκτιμούν τον μέσο όρο, τη διασπορά και την κατανομή του. Το επόμενο βήμα είναι η ανάλυση και η ερμηνεία των δεδομένων. Μέχρι στιγμής, μελετήσαμε τις αντικειμενικές ιδιότητες των δεδομένων και τώρα στραφούμε στην υποκειμενική ερμηνεία τους. Δύο λάθη περιμένουν τον ερευνητή: ένα εσφαλμένα επιλεγμένο θέμα ανάλυσης και μια εσφαλμένη ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

Η ανάλυση της απόδοσης 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου είναι αρκετά αμερόληπτη. Οδήγησε σε εντελώς αντικειμενικά συμπεράσματα: όλα τα αμοιβαία κεφάλαια έχουν διαφορετικές αποδόσεις, το spread των αποδόσεων των αμοιβαίων κεφαλαίων κυμαίνεται από -6,1 έως 18,5 και η μέση απόδοση είναι 6,08. Η αντικειμενικότητα της ανάλυσης δεδομένων διασφαλίζεται από τη σωστή επιλογή των συνολικών ποσοτικών δεικτών της κατανομής. Εξετάστηκαν διάφορες μέθοδοι για την εκτίμηση του μέσου όρου και της διασποράς των δεδομένων και αναφέρθηκαν τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους. Πώς να επιλέξετε τα σωστά στατιστικά στοιχεία που παρέχουν μια αντικειμενική και αμερόληπτη ανάλυση; Εάν η κατανομή των δεδομένων είναι ελαφρώς λοξή, πρέπει να επιλεγεί η διάμεσος έναντι του αριθμητικού μέσου όρου; Ποιος δείκτης χαρακτηρίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια την εξάπλωση των δεδομένων: τυπική απόκλιση ή εύρος; Πρέπει να αναφέρεται η θετική λοξότητα της κατανομής;

Από την άλλη πλευρά, η ερμηνεία δεδομένων είναι μια υποκειμενική διαδικασία. Διαφορετικοί άνθρωποι καταλήγουν σε διαφορετικά συμπεράσματα, ερμηνεύοντας τα ίδια αποτελέσματα. Ο καθένας έχει τη δική του άποψη. Κάποιος θεωρεί ότι οι συνολικές μέσες ετήσιες αποδόσεις 15 αμοιβαίων κεφαλαίων με πολύ υψηλό επίπεδο κινδύνου είναι καλές και είναι αρκετά ικανοποιημένος με το εισόδημα που εισπράττει. Άλλοι μπορεί να πιστεύουν ότι αυτά τα κεφάλαια έχουν πολύ χαμηλές αποδόσεις. Έτσι, η υποκειμενικότητα θα πρέπει να αντισταθμίζεται από την ειλικρίνεια, την ουδετερότητα και τη σαφήνεια των συμπερασμάτων.

Ηθικά ζητήματα

Η ανάλυση δεδομένων είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με ηθικά ζητήματα. Κάποιος πρέπει να είναι επικριτικός απέναντι στις πληροφορίες που διαδίδονται από τις εφημερίδες, το ραδιόφωνο, την τηλεόραση και το Διαδίκτυο. Με τον καιρό, θα μάθετε να είστε δύσπιστοι όχι μόνο για τα αποτελέσματα, αλλά και για τους στόχους, το αντικείμενο και την αντικειμενικότητα της έρευνας. Ο διάσημος Βρετανός πολιτικός Benjamin Disraeli το είπε καλύτερα: «Υπάρχουν τρία είδη ψεμάτων: ψέματα, καταραμένα ψέματα και στατιστικές».

Όπως σημειώνεται στη σημείωση, προκύπτουν ηθικά ζητήματα κατά την επιλογή των αποτελεσμάτων που πρέπει να παρουσιάζονται στην έκθεση. Θα πρέπει να δημοσιεύονται τόσο τα θετικά όσο και τα αρνητικά αποτελέσματα. Επιπλέον, όταν κάνετε μια αναφορά ή γραπτή αναφορά, τα αποτελέσματα πρέπει να παρουσιάζονται ειλικρινά, ουδέτερα και αντικειμενικά. Διακρίνετε τις κακές και τις ανέντιμες παρουσιάσεις. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν ποιες ήταν οι προθέσεις του ομιλητή. Μερικές φορές ο ομιλητής παραλείπει σημαντικές πληροφορίες από άγνοια, και μερικές φορές εσκεμμένα (για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιεί τον αριθμητικό μέσο όρο για να εκτιμήσει τη μέση τιμή των σαφώς λοξών δεδομένων για να πάρει το επιθυμητό αποτέλεσμα). Είναι επίσης ανέντιμο να καταστείλουμε αποτελέσματα που δεν ανταποκρίνονται στην άποψη του ερευνητή.

Χρησιμοποιούνται υλικά από το βιβλίο Levin et al Στατιστικά για μάνατζερ. - Μ.: Williams, 2004. - Σελ. 178–209

Η συνάρτηση QUARTILE διατηρήθηκε για ευθυγράμμιση με προηγούμενες εκδόσεις του Excel