Μαθήματα τρία κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου. Περίληψη του μαθήματος στα μαθηματικά: «Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων». Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

Ορισμός.Η συνάρτηση F (x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f (x) σε ένα δεδομένο διάστημα, εάν για οποιοδήποτε x από το δεδομένο διάστημα F "(x) \u003d f (x).

Η κύρια ιδιότητα των πρωτόγονων.

Εάν η F (x) είναι η αντιπαράγωγος της συνάρτησης f (x), τότε η συνάρτηση F (x) + C, όπου το C είναι αυθαίρετη σταθερά, είναι επίσης η αντιπαράγωγος της συνάρτησης f (x) (δηλαδή, όλες οι αντιπαράγωγοι του Τα f(x) γράφονται με τη μορφή F(x) + C).

Γεωμετρική ερμηνεία.

Οι γραφικές παραστάσεις όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης f (x) λαμβάνονται από τη γραφική παράσταση οποιουδήποτε αντιπαραγώγου με παράλληλες μεταφορές κατά μήκος του άξονα Oy.

Πίνακας πρωτόγονων.

Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων .

Έστω F(x) και G(x) οι αντιπαράγωγοι των συναρτήσεων f(x) και g(x), αντίστοιχα. Επειτα:

1.F( Χ)±G( Χ) είναι αντιπαράγωγο για φά(Χ) ± σολ(Χ);

2. έναΦΑ( Χ) είναι αντιπαράγωγο για έναφά(Χ);

3. - αντιπαράγωγο για έναφά(kx +σι).

Εργασίες και δοκιμές με θέμα "Αντιπρωτόγονος"

• αντιπαράγωγο

  Μαθήματα: 1 Εργασίες: 11 Τεστ: 1

• Παράγωγο και αντιπαράγωγο - Προετοιμασία για τις εξετάσεις σε Μαθηματικά Ενιαία Κρατική Εξέτασημαθηματικά

  Θέσεις εργασίας: 3

• Αναπόσπαστο - Αντιπαράγωγο και αναπόσπαστο Βαθμολογία 11

  Μαθήματα: 4 Εργασίες: 13 Τεστ: 1

• Υπολογισμός εμβαδών με ολοκληρώματα - Αντιπαράγωγο και αναπόσπαστο Βαθμολογία 11

  Μαθήματα: 1 Εργασίες: 10 Κουίζ: 1

Έχοντας μελετήσει αυτό το θέμα, θα πρέπει να γνωρίζετε τι ονομάζεται αντιπαράγωγο, την κύρια ιδιότητά του, τη γεωμετρική ερμηνεία, τους κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων. να μπορεί να βρει όλα τα αντιπαράγωγα συναρτήσεων χρησιμοποιώντας έναν πίνακα και κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων, καθώς και ένα αντιπαράγωγο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο. Εξετάστε το ενδεχόμενο επίλυσης προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Δώστε προσοχή στο σχεδιασμό των αποφάσεων.

Παραδείγματα.

1. Μάθετε εάν η συνάρτηση F ( Χ) = Χ 3 – 3Χ+ 1 αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση φά(Χ) = 3(Χ 2 – 1).

Λύση:ΦΑ"( Χ) = (Χ 3 – 3Χ+ 1)′ = 3 Χ 2 – 3 = 3(Χ 2 – 1) = φά(Χ), δηλ. ΦΑ"( Χ) = φά(Χ), επομένως, το F(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x).

2. Βρείτε όλες τις αντιπαράγωγες συναρτήσεις f(x) :

ένα) φά(Χ) = Χ 4 + 3Χ 2 + 5

Λύση:Χρησιμοποιώντας τον πίνακα και τους κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων, παίρνουμε:

Απάντηση:

σι) φά(Χ) = αμαρτία (3 Χ – 2)

Λύση:

Η επίλυση ολοκληρωμάτων είναι εύκολη υπόθεση, αλλά μόνο για την ελίτ. Αυτό το άρθρο είναι για όσους θέλουν να μάθουν να κατανοούν τα ολοκληρώματα, αλλά γνωρίζουν ελάχιστα ή καθόλου για αυτά. Αναπόσπαστο... Γιατί χρειάζεται; Πώς να το υπολογίσετε; Τι είναι σίγουρο και όχι οριστικό ολοκλήρωμαμικρό? Εάν η μόνη χρήση του ολοκληρώματος που γνωρίζετε είναι να πάρετε κάτι χρήσιμο από δυσπρόσιτα μέρη με ένα γάντζο σε σχήμα αναπόσπαστου εικονιδίου, τότε καλώς ήρθατε! Μάθετε πώς να λύνετε ολοκληρώματα και γιατί δεν μπορείτε χωρίς αυτό.

Μελετάμε την έννοια του "ολοκληρωτικού"

Η ενσωμάτωση ήταν γνωστή στην αρχαία Αίγυπτο. Φυσικά, όχι σε σύγχρονη μορφή, αλλά ακόμα. Από τότε, οι μαθηματικοί έχουν γράψει πάρα πολλά βιβλία για το θέμα. Ιδιαίτερα διακρίνεται Νεύτο και Leibniz αλλά η ουσία των πραγμάτων δεν έχει αλλάξει. Πώς να κατανοήσετε τα ολοκληρώματα από την αρχή; Με τιποτα! Για να κατανοήσετε αυτό το θέμα, θα χρειαστείτε ακόμα μια βασική γνώση των βασικών στοιχείων της μαθηματικής ανάλυσης. Πληροφορίες για το , οι οποίες είναι επίσης απαραίτητες για την κατανόηση των ολοκληρωμάτων, υπάρχουν ήδη στο ιστολόγιό μας.

Αόριστο ολοκλήρωμα

Ας έχουμε κάποια λειτουργία f(x) .

Το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) καλείται μια τέτοια συνάρτηση F(x) , του οποίου η παράγωγος είναι ίση με τη συνάρτηση f(x) .

Με άλλα λόγια, ένα ολοκλήρωμα είναι ένα αντίστροφο παράγωγο ή αντιπαράγωγο. Με την ευκαιρία, για το πώς να διαβάσετε στο άρθρο μας.

Υπάρχει ένα αντιπαράγωγο για όλες τις συνεχείς συναρτήσεις. Επίσης, ένα σταθερό πρόσημο προστίθεται συχνά στην αντιπαράγωγο, αφού οι παράγωγοι συναρτήσεων που διαφέρουν κατά σταθερά συμπίπτουν. Η διαδικασία εύρεσης ενός ολοκληρώματος ονομάζεται ολοκλήρωση.

Απλό παράδειγμα:

Για να μην υπολογίζουμε συνεχώς τα αντιπαράγωγα των στοιχειωδών συναρτήσεων, είναι βολικό να τα φέρουμε σε έναν πίνακα και να χρησιμοποιούμε έτοιμες τιμές.

Πλήρης πίνακας ολοκληρωμάτων για μαθητές

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Όταν ασχολούμαστε με την έννοια του ολοκληρώματος, έχουμε να κάνουμε με απειροελάχιστα μεγέθη. Το ολοκλήρωμα θα βοηθήσει στον υπολογισμό του εμβαδού της φιγούρας, της μάζας ενός ανομοιογενούς σώματος, της διαδρομής που διανύθηκε κατά την άνιση κίνηση και πολλά άλλα. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το ολοκλήρωμα είναι το άθροισμα ενός απείρως μεγάλου αριθμού απείρως μικρών όρων.

Για παράδειγμα, φανταστείτε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ένα γράφημα μιας συνάρτησης;

Με τη βοήθεια ενός αναπόσπαστου! Ας σπάσουμε το καμπυλόγραμμο τραπέζιο, που οριοθετείται από τους άξονες συντεταγμένων και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, σε απειροελάχιστα τμήματα. Έτσι, το σχήμα θα χωριστεί σε λεπτές στήλες. Το άθροισμα των περιοχών των στηλών θα είναι το εμβαδόν του τραπεζοειδούς. Αλλά θυμηθείτε ότι ένας τέτοιος υπολογισμός θα δώσει ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα. Ωστόσο, όσο μικρότερα και στενότερα είναι τα τμήματα, τόσο πιο ακριβής θα είναι ο υπολογισμός. Αν τα μειώσουμε σε τέτοιο βαθμό που το μήκος τείνει στο μηδέν, τότε το άθροισμα των εμβαδών των τμημάτων θα τείνει στην περιοχή του σχήματος. Αυτό είναι το οριστικό ολοκλήρωμα, το οποίο γράφεται ως εξής:

Τα σημεία α και β ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης.

Παρεμπιπτόντως! Για τους αναγνώστες μας υπάρχει τώρα έκπτωση 10%.

Κανόνες υπολογισμού ολοκληρωμάτων για ανδρείκελα

Ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

Πώς να λύσετε αόριστο ολοκλήρωμα; Εδώ θα εξετάσουμε τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος, οι οποίες θα είναι χρήσιμες για την επίλυση παραδειγμάτων.

• Η παράγωγος του ολοκληρώματος είναι ίση με το ολοκλήρωμα:

• Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος:

• Ολοκλήρωμα του αθροίσματος ισούται με το άθροισμαολοκληρώματα. Επίσης ισχύει για τη διαφορά:

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

• Γραμμικότητα:

• Το πρόσημο του ολοκληρώματος αλλάζει εάν αντιστραφούν τα όρια ολοκλήρωσης:

• Στο όποιοςσημεία ένα, σικαι Με:

Έχουμε ήδη ανακαλύψει ότι το οριστικό ολοκλήρωμα είναι το όριο του αθροίσματος. Αλλά πώς να λάβετε μια συγκεκριμένη τιμή κατά την επίλυση ενός παραδείγματος; Για αυτό, υπάρχει ο τύπος Newton-Leibniz:

Παραδείγματα επίλυσης ολοκληρωμάτων

Παρακάτω εξετάζουμε αρκετά παραδείγματα εύρεσης αόριστων ολοκληρωμάτων. Σας προσφέρουμε να κατανοήσετε ανεξάρτητα τις περιπλοκές της λύσης και αν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, κάντε ερωτήσεις στα σχόλια.

Για να εμπεδώσετε το υλικό, παρακολουθήστε ένα βίντεο για το πώς λύνονται τα ολοκληρώματα στην πράξη. Μην απελπίζεστε αν το ολοκλήρωμα δεν δοθεί αμέσως. Απευθυνθείτε σε μια επαγγελματική υπηρεσία φοιτητών και οποιοδήποτε τριπλό ή καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από μια κλειστή επιφάνεια θα είναι μέσα στις δυνάμεις σας.

Η έννοια του πρωτόγονου. Πίνακας πρωτόγονων. Κανόνες για την εύρεση πρωτόγονων. MBOU Murmansk Gymnasium 3 Shakhova Tatyana Aleksandrovna http://aida.ucoz.ru

Http://aida.ucoz.ru Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και να μπορούμε: - να γνωρίζουμε και να μπορούμε να χρησιμοποιούμε τύπους και κανόνες διαφοροποίησης. - να μπορεί να εκτελεί μετασχηματισμούς αλγεβρικών και τριγωνομετρικών παραστάσεων.

Τύποι διαφοροποίησης Κανόνες διαφοροποίησης Επιστροφή

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε κάποιο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Χρησιμοποιούμε τον ορισμό 1) Πρόβλημα 1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F Το (x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x). Βρείτε το F "(x) Αν Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε κάποιο διάστημα αν για όλα τα x από αυτό το διάστημα 2)2) Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x ) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x). Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε κάποιο διάστημα αν για όλα τα x από αυτό το διάστημα 3)3) Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x ) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x). Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε κάποιο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Πρόβλημα 1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f( x). 4-4) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε κάποιο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Πρόβλημα 1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f( x). 5-5) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε κάποιο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Πρόβλημα 1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f( x). 6-6) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

10 Η συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) σε κάποιο διάστημα, εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιώντας τους τύπους διαφοροποίησης και τον ορισμό της αντιπαράγωγης, μπορείτε εύκολα να συντάξετε ένα πίνακας αντιπαραγώγων για ορισμένες συναρτήσεις. Βεβαιωθείτε ότι ο πίνακας είναι σωστός. Βρείτε το F"(x).

11 Η συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) σε κάποιο διάστημα, αν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Χρησιμοποιώντας τους τύπους διαφοροποίησης και τον ορισμό του αντιπαραγώγου, μπορείτε εύκολα να συντάξετε έναν πίνακα αντιπαραγώγων για ορισμένα λειτουργίες. Πίσω

3) Αν η F(x) είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x), και τα k και b είναι σταθερές, και k0, τότε είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση 2) ​​Αν η F(x) είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f (x), και το a είναι σταθερό, τότε το αF(x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση αf(x) http://aida.ucoz.ru Για να βρούμε αντιπαράγωγα, θα χρειαστούμε, εκτός από τον πίνακα, τους κανόνες για εύρεση αντιπαραγώγων. 1) Εάν η F(x) είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x), και η G(x) είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση g(x), τότε η F(x)+G(x) είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x)+g (x). Το αντιπαράγωγο του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αντιπαραγώγου Πίσω

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα αντιπαράγωγο και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαράγωγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. 1) Επαλήθευση: Ας μετατρέψουμε το f(x): Πίνακας αντιπαραγώγων Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιήστε τον πίνακα και τον δεύτερο κανόνα. Συντελεστής συνάρτησης πίνακα κανόνων

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα αντιπαράγωγο και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαράγωγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. 2-2) Έλεγχος: Μετασχηματισμός f(x): Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιήστε τον πίνακα και τον δεύτερο κανόνα. Συνάρτηση πίνακα Συντελεστής Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 3)3) Επαλήθευση: Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιούμε τον πίνακα και τον πρώτο κανόνα. Συνάρτηση πίνακα Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 4)4) Έλεγχος: Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιούμε τον πίνακα, τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα. Συνάρτηση πίνακα Συντελεστής Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα αντιπαράγωγο και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαράγωγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) Δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις στον πίνακα. 5-5) Έλεγχος: Μετασχηματισμός f(x): Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιήστε τον πίνακα, τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα. Συνάρτηση πίνακα Συντελεστής Συνάρτηση πίνακα Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες Συντελεστής

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 6-6) Έλεγχος: Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Το ημίτονο είναι μια συνάρτηση πίνακα. Συνάρτηση πίνακα Επιχείρημα - γραμμική συνάρτηση Χρησιμοποιούμε τον πίνακα και τον τρίτο κανόνα. Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες (k=3).

Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 7-7) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. Ας μετατρέψουμε την f(x): Γραμμική συνάρτηση Συντελεστής Χρησιμοποιήστε τον πίνακα, τον πρώτο και τον τρίτο κανόνα. Πίνακας αντιπαραγώγων Συνάρτηση πίνακα κανόνων

Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 7) 7) Τύποι και κανόνες για διαφοροποίηση Έλεγχος: Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες

Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 8)8) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. Ας μετασχηματίσουμε f(x): Γραμμική συνάρτηση Συντελεστής Χρησιμοποιήστε τον πρώτο και τον τρίτο κανόνα. Πίνακας αντιπαραγώγων Συνάρτηση πίνακα κανόνων

Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 8)8) Τύποι και κανόνες για διαφοροποίηση Έλεγχος: Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα αντιπαράγωγο και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 9-9) Έλεγχος: Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις στον πίνακα. Μετασχηματισμός συντελεστή f(x): Χρησιμοποιήστε τον πίνακα και τον δεύτερο κανόνα: Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες Συνάρτηση πίνακα

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 9)9) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. Μετασχηματίστε f(x), χρησιμοποιήστε τον τύπο αναγωγής: Συνάρτηση πίνακα Χρησιμοποιήστε τον πίνακα και τους τρεις κανόνες: Πίνακας συνάρτηση Συντελεστής Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες Γραμμική συνάρτηση

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα αντιπαράγωγο και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαράγωγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 9)9) Έλεγχος: Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Κανόνες πίνακα αντιπαράγωγου

Http://aida.ucoz.ru Για προπόνηση, χρησιμοποιήστε παρόμοιες ασκήσεις στο βιβλίο προβλημάτων.

Περίληψη ενός μαθήματος για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης για μαθητές στην τάξη 11 δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Εκπαιδευτικά ιδρύματα

Με θέμα: "Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων"

Σκοπός του μαθήματος:

Εκπαιδευτικός: εισαγάγετε κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων χρησιμοποιώντας τις πινακοποιημένες τιμές τους και χρησιμοποιήστε τους στην επίλυση προβλημάτων.

Καθήκοντα:

εισαγάγετε τον ορισμό της λειτουργίας της ολοκλήρωσης·

εισάγουν τους μαθητές στον πίνακα των πρωτόγονων.

εισάγει τους μαθητές στους κανόνες ένταξης·

διδάσκουν στους μαθητές να εφαρμόζουν τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες ολοκλήρωσης στην επίλυση προβλημάτων.

Ανάπτυξη: να προωθήσει την ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να αναλύουν, να συγκρίνουν δεδομένα, να εξάγουν συμπεράσματα.

Εκπαιδευτικός: συμβάλλουν στη διαμόρφωση δεξιοτήτων συλλογικών και ανεξάρτητη εργασία, για να διαμορφώσει την ικανότητα να εκτελούνται με ακρίβεια και αρμοδιότητα μαθηματικές εγγραφές.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: επαγωγικός-αναπαραγωγικός, απαγωγικός-αναπαραγωγικός

ενεργός.

Τύπος μαθήματος: αφομοίωση της νέας γνώσης.

Απαιτήσεις ZUN:

Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν:

- ορισμός της πράξης ολοκλήρωσης·

Πίνακας αντιπαραγώγων;

οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση:

Εφαρμόστε τον πίνακα των αντιπαραγώγων στην επίλυση προβλημάτων.

Επίλυση προβλημάτων στα οποία είναι απαραίτητο να βρεθούν πρωτόγονοι.

Εξοπλισμός: υπολογιστής, οθόνη, προβολέας πολυμέσων, παρουσίαση.

Βιβλιογραφία:

1. Α.Γ. Mordkovich et al.. «Άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης. Βιβλίο εργασιών για τις τάξεις 10-11 "Μ.: Mnemozina, 2001.

2. Σ.Α. Άλγεβρα Alimov και οι απαρχές της ανάλυσης. 10-11 τάξη. Σχολικό βιβλίο "Μ .: Εκπαίδευση, 2004. - 384 σελ.

3. Μέθοδοι και τεχνολογία διδασκαλίας των μαθηματικών. Μ.: Bustard, 2005. - 416 σελ.

Δομή μαθήματος:

Εγώ. Οργάνωση χρόνου(2 λεπτά.)

II. Ενημέρωση γνώσεων (7 λεπτά)

III. Εκμάθηση νέου υλικού (15 λεπτά)

VI. Εμπέδωση του υλικού που μελετήθηκε (17 λεπτά)

V. Debriefing και D/C (4 λεπτά)

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Εγώ . Οργάνωση χρόνου

Χαιρετισμός μαθητών, έλεγχος απουσιών και ετοιμότητας της αίθουσας για το μάθημα.

II . Ενημέρωση γνώσης

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

Η ημερομηνία.

Εργασία στην τάξη

Κανόνες για την εύρεση πρωτόγονων.

Δάσκαλος: Το θέμα του σημερινού μαθήματος είναι «Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων» (διαφάνεια 1). Πριν όμως προχωρήσουμε στη μελέτη νέο θέμαΑς θυμηθούμε τι μάθαμε.

Δύο μαθητές καλούνται στον πίνακα, ο καθένας έχει μια ατομική εργασία (αν ο μαθητής ολοκλήρωσε την εργασία χωρίς λάθη, τότε λαμβάνει βαθμό "5").

Κάρτες εργασιών

№ 1

y \u003d 6x - 2x 3 .

φά ( Χ )=3 Χ 2 +4 Χ –1 στο σημείο Χ =3.

№ 2

2) Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησηςφά ( Χ )=5 Χ 2 +5 Χ – 5 σε τελεία Χ =1.

Λύση

Αριθμός κάρτας 1

1) Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησηςy \u003d 6x - 2x 3 .

; Ας , λοιπόν , κατά συνέπεια ? Χ 1 και Χ 2 ακίνητα σημεία?

2. Τα ακίνητα σημεία χωρίζουν τη γραμμή συντεταγμένων σε τρία διαστήματα. Σε αυτά τα διαστήματα όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική, η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται, όπου είναι αρνητική, μειώνεται.

- + -

στο -1 1

συνεπώς στομειώνεται σε Χ (- ;-1) (1; ) και αυξάνεται σεΧ (-1;1).

2) φά ( Χ )=3 Χ 2 +4 Χ –1 ; ; .

Κάρτα αριθμός 2

1) Βρείτε τα ακραία σημεία της συνάρτησης .

1. Βρείτε τα ακίνητα σημεία, για αυτό βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης, στη συνέχεια την εξισώνουμε με το μηδέν και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει, οι ρίζες της οποίας θα είναι τα ακίνητα σημεία.

; Ας , λοιπόν , λοιπόν , και .

2. Τα ακίνητα σημεία χωρίζουν τη γραμμή συντεταγμένων σε τέσσερα διαστήματα. Εκείνα τα σημεία, όταν διέρχονται από τα οποία η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο, είναι ακραία σημεία.

+ - - +

στο -3 0 3

Που σημαίνει - ακραία σημεία και είναι το μέγιστο σημείο, και - ελάχιστος βαθμός.

2) φά ( Χ )=5 Χ 2 +5 Χ – 5; ; .

Ενώ οι μαθητές που καλούνται στον πίνακα λύνουν παραδείγματα, στην υπόλοιπη τάξη τίθενται θεωρητικές ερωτήσεις. Κατά τη διάρκεια της έρευνας, ο δάσκαλος παρακολουθεί εάν οι μαθητές ολοκλήρωσαν την εργασία ή όχι.

Δάσκαλος: Ας απαντήσουμε λοιπόν σε μερικές ερωτήσεις. Θυμηθείτε ποια συνάρτηση ονομάζεται αντιπαράγωγος; (διαφάνεια 2)

Μαθητης σχολειου: Λειτουργία φά ( Χ ) ονομάζεται αντιπαράγωγη συνάρτησηφά ( Χ ) σε κάποιο διάστημα, αν για όλαΧ από αυτό το διάστημα .

(διαφάνεια 2).

Δάσκαλος: Σωστά. Πώς ονομάζεται η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης; (διαφάνεια 3)

Μαθητης σχολειου: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 3).

Δάσκαλος: Πώς να δείξετε ότι η συνάρτησηφά ( Χ ) είναι το αντιπαράγωγο για τη συνάρτησηφά ( Χ ) ? (διαφάνεια 4).

Μαθητης σχολειου: Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησηςφά ( Χ ) .

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 4).

Δάσκαλος: Καλός. Στη συνέχεια, πείτε αν η συνάρτηση είναιφά ( Χ )=3 Χ 2 +11 Χ αντιπαράγωγο για τη συνάρτησηφά ( Χ )=6x+10? (διαφάνεια 5)

Μαθητης σχολειου: Οχι επειδή παράγωγο συνάρτησηςφά ( Χ )=3 Χ 2 +11 Χ είναι ίσο με 6x+11, αλλά όχι 6x+10 .

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 5).

Δάσκαλος: Πόσα αντιπαράγωγα μπορούν να βρεθούν για κάποια συνάρτησηφά ( Χ ) ? Να αιτιολογήσετε την απάντηση. (διαφάνεια 6)

Μαθητης σχολειου: Άπειρα πολλά, γιατί προσθέτουμε πάντα μια σταθερά στη συνάρτηση που προκύπτει, η οποία μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 6).

Δάσκαλος: Σωστά. Τώρα ας δούμε μαζί τη λύση των μαθητών που εργάζονται στον πίνακα.

Οι μαθητές ελέγχουν τη λύση μαζί με τον δάσκαλο.

III . Εκμάθηση νέου υλικού

Δάσκαλος: Η αντίστροφη πράξη της εύρεσης του αντιπαραγώγου για μια δεδομένη συνάρτηση ονομάζεται ολοκλήρωση (από τη λατινική λέξηintegrare - επαναφορά). Ένας πίνακας αντιπαραγώγων για ορισμένες συναρτήσεις μπορεί να καταρτιστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα παραγώγων. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας αυτό, παίρνουμε , από όπου προκύπτει ότι όλες οι αντιπαράγωγες συναρτήσεις γράφονται στη μορφή, όπου ντο είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

παίρνουμε ,

από όπου προκύπτει ότι όλες οι αντιπαράγωγες συναρτήσεις γράφονται στη μορφή, όπου ντο είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Δάσκαλος: Ανοίξτε τα σχολικά σας βιβλία στη σελίδα 290. Εδώ είναι ένας πίνακας με αντιπαράγωγα. Εμφανίζεται επίσης στη διαφάνεια. (διαφάνεια 7)

Δάσκαλος: Οι κανόνες ολοκλήρωσης μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας κανόνες διαφοροποίησης. Εξετάστε τους ακόλουθους κανόνες ολοκλήρωσης: letφά ( Χ ) και σολ ( Χ ) είναι τα αντιπαράγωγα, αντίστοιχα, των συναρτήσεωνφά ( Χ ) και σολ ( Χ ) σε κάποιο διάστημα. Επειτα:

1) Λειτουργία ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης. (διαφάνεια 8)

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

1) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

VI . Εμπέδωση της ύλης που μελετήθηκε

Δάσκαλος: Ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος του μαθήματος. Βρείτε ένα από τα αντιπαράγωγα μιας συνάρτησηςΕμείς αποφασίζουμε για το ταμπλό.

Μαθητης σχολειου: Για να βρείτε την αντιπαράγωγο μιας δεδομένης συνάρτησης, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα ολοκλήρωσης: συνάρτηση είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

Δάσκαλος: Σωστά, τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για να βρείτε το αντιπαράγωγο μιας δεδομένης συνάρτησης;

Μαθητης σχολειου: Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον πίνακα των αντιπαραγώγων για συναρτήσεις, στο Π =2 και το for είναι συνάρτηση ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

Δάσκαλος: Ολα είναι σωστά.

Εργασία για το σπίτι

§55, Νο. 988 (2, 4, 6), Νο. 989 (2, 4, 6, 8), Νο. 990 (2, 4, 6), Νο. 991 (2, 4, 6, 8) . (διαφάνεια 9)

Βάζοντας σημάδια.

Δάσκαλος: Το μάθημα τελείωσε. Μπορείς να είσαι ελεύθερος.

Είδαμε ότι η παράγωγος έχει πολλές εφαρμογές: η παράγωγος είναι η ταχύτητα κίνησης (ή, γενικότερα, η ταχύτητα οποιασδήποτε διαδικασίας). η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. χρησιμοποιώντας την παράγωγο, μπορείτε να διερευνήσετε τη συνάρτηση για μονοτονία και ακρότατα. Η παράγωγος βοηθά στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης.

Αλλά σε πραγματική ζωήΠρέπει επίσης να λυθούν αντίστροφα προβλήματα: για παράδειγμα, μαζί με το πρόβλημα εύρεσης της ταχύτητας σύμφωνα με τον γνωστό νόμο της κίνησης, υπάρχει επίσης το πρόβλημα της επαναφοράς του νόμου της κίνησης σύμφωνα με γνωστή ταχύτητα. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα προβλήματα.

Παράδειγμα 1Κινείται σε ευθεία γραμμή υλικό σημείο, η ταχύτητα της κίνησής του τη χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο u = tg. Βρείτε το νόμο της κίνησης.

Λύση.Έστω s = s(t) ο επιθυμητός νόμος κίνησης. Είναι γνωστό ότι s"(t) = u"(t). Άρα, για να λύσουμε το πρόβλημα, πρέπει να επιλέξουμε λειτουργία s = s(t), του οποίου η παράγωγος είναι ίση με tg. Είναι εύκολο να το μαντέψεις αυτό

Σημειώνουμε αμέσως ότι το παράδειγμα έχει λυθεί σωστά, αλλά ελλιπώς. Καταλήξαμε ότι στην πραγματικότητα, το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις: οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής αυθαίρετη σταθερά, μπορεί να χρησιμεύσει ως νόμος κίνησης, γιατί

Για να κάνουμε την εργασία πιο συγκεκριμένη, έπρεπε να διορθώσουμε την αρχική κατάσταση: να υποδείξουμε τη συντεταγμένη του κινούμενου σημείου σε κάποια χρονική στιγμή, για παράδειγμα, στο t=0. Εάν, ας πούμε, s (0) \u003d s 0, τότε από την ισότητα λαμβάνουμε s (0) \u003d 0 + C, δηλ. S 0 \u003d C. Τώρα ο νόμος της κίνησης ορίζεται μοναδικά:
Στα μαθηματικά, οι αμοιβαία αντίστροφες πράξεις λαμβάνουν διαφορετικά ονόματα, επινοούνται ειδικοί χαρακτηρισμοί: για παράδειγμα, τετραγωνισμός (x 2) και εξαγωγή τετραγωνική ρίζαημιτονοειδές (sinx) και τόξο(arcsin x), κ.λπ. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου σε σχέση με μια δεδομένη συνάρτηση ονομάζεται διαφοροποίηση και η αντίστροφη πράξη, δηλ. η διαδικασία εύρεσης μιας συνάρτησης από μια δεδομένη παράγωγο - με ολοκλήρωση.
Ο ίδιος ο όρος "παράγωγο" μπορεί να δικαιολογηθεί "με κοσμικό τρόπο": η συνάρτηση y - f (x) "παράγει στον κόσμο" μια νέα συνάρτηση y "= f" (x) Η συνάρτηση y \u003d f (x) λειτουργεί σαν "γονέας", αλλά οι μαθηματικοί, φυσικά, δεν το αποκαλούν "γονέα" ή "παραγωγό", λένε ότι είναι, σε σχέση με τη συνάρτηση y "=f" (x), η κύρια εικόνα , ή, εν ολίγοις, το αντιπαράγωγο.

Ορισμός 1.Η συνάρτηση y \u003d F (x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y \u003d f (x) σε ένα δεδομένο διάστημα X, αν για όλα τα x από το X ισχύει η ισότητα F "(x) \u003d f (x) .

Στην πράξη, το διάστημα Χ συνήθως δεν προσδιορίζεται, αλλά υπονοείται (ως το φυσικό πεδίο της συνάρτησης).

Ορίστε μερικά παραδείγματα:

1) Η συνάρτηση y \u003d x 2 είναι μια αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y \u003d 2x, αφού για όλα τα x η ισότητα (x 2) "\u003d 2x είναι αληθής.
2) η συνάρτηση y - x 3 είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y-3x 2, αφού για όλα τα x η ισότητα (x 3)" \u003d 3x 2 είναι αληθής.
3) Η συνάρτηση y-sinx είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y=cosx, αφού για όλα τα x η ισότητα (sinx) "=cosx είναι αληθής.
4) Η συνάρτηση είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση στο διάστημα αφού για όλα τα x > 0 η ισότητα είναι αληθής
Γενικά, γνωρίζοντας τους τύπους για την εύρεση παραγώγων, δεν είναι δύσκολο να συντάξουμε έναν πίνακα τύπων για την εύρεση αντιπαραγώγων.

Ελπίζουμε να καταλάβατε πώς συντάσσεται αυτός ο πίνακας: η παράγωγος της συνάρτησης που είναι γραμμένη στη δεύτερη στήλη είναι ίση με τη συνάρτηση που είναι γραμμένη στην αντίστοιχη γραμμή της πρώτης στήλης (δείτε το, μην είστε τεμπέλης, είναι πολύ χρήσιμο). Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση y \u003d x 5, το αντιπαράγωγο, όπως ορίζετε, είναι η συνάρτηση (δείτε την τέταρτη σειρά του πίνακα).

Σημειώσεις: 1. Παρακάτω αποδεικνύουμε το θεώρημα ότι αν το y = F(x) είναι αντιπαράγωγο για μια συνάρτηση y = f(x), τότε η συνάρτηση y = f(x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα έχουν τη μορφή y = F. (x ) + C. Επομένως, θα ήταν πιο σωστό να προσθέσουμε τον όρο C παντού στη δεύτερη στήλη του πίνακα, όπου το C είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός.
2. Για λόγους συντομίας, μερικές φορές αντί της φράσης «η συνάρτηση y = F(x) είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x)», λένε ότι η F(x) είναι η αντιπαράγωγος της f(x) ".

2. Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων

Κατά την αναζήτηση αντιπαραγώγων, καθώς και κατά την αναζήτηση παραγώγων, δεν χρησιμοποιούνται μόνο τύποι (παρατίθενται στον πίνακα στη σελ. 196), αλλά και ορισμένοι κανόνες. Σχετίζονται άμεσα με τους αντίστοιχους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων.

Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί έναν αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.

Κανόνας 1Το αντιπαράγωγο ενός αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων.

Εφιστούμε την προσοχή σας σε κάποια «ελαφρότητα» αυτής της διατύπωσης. Στην πραγματικότητα, θα ήταν απαραίτητο να διατυπωθεί ένα θεώρημα: αν οι συναρτήσεις y = f(x) και y=g(x) έχουν αντιπαράγωγα στο διάστημα X, αντίστοιχα, y-F(x) και y-G(x), τότε το άθροισμα από τις συναρτήσεις y = f(x) + g(x) έχει μια αντιπαράγωγο στο διάστημα X, και αυτή η αντιπαράγωγος είναι η συνάρτηση y = F(x) + G(x). Αλλά συνήθως, κατά τη διατύπωση κανόνων (και όχι θεωρημάτων), απομένουν μόνο λέξεις-κλειδιά - αυτό είναι πιο βολικό για την εφαρμογή του κανόνα στην πράξη.

Παράδειγμα 2Να βρείτε την αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y = 2x + cos x.

Λύση.Το αντιπαράγωγο για το 2x είναι x "· το αντιπαράγωγο για το cosx είναι το sin x. Επομένως, το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y \u003d 2x + cos x θα είναι η συνάρτηση y \u003d x 2 + sin x (και γενικά οποιαδήποτε συνάρτηση του μορφή Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Γνωρίζουμε ότι ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί έναν αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.

Κανόνας 2Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το αντιπαράγωγο πρόσημο.

Παράδειγμα 3

Λύση.α) Το αντιπαράγωγο για το sin x είναι -cos x. αυτό σημαίνει ότι για τη συνάρτηση y \u003d 5 sin x, η αντιπαράγωγος θα είναι η συνάρτηση y \u003d -5 cos x.

β) Το αντιπαράγωγο για το cos x είναι το sin x. Ως εκ τούτου, για την αντιπαράγωγη συνάρτηση θα υπάρχει μια συνάρτηση
γ) Το αντιπαράγωγο για το x 3 είναι το αντιπαράγωγο για το x είναι το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y \u003d 1 είναι η συνάρτηση y \u003d x. Χρησιμοποιώντας τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων, παίρνουμε ότι το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y \u003d 12x 3 + 8x-1 είναι η συνάρτηση
Σχόλιο.Όπως γνωρίζετε, η παράγωγος ενός προϊόντος δεν είναι ίση με το γινόμενο των παραγώγων (ο κανόνας για τη διαφοροποίηση ενός προϊόντος είναι πιο περίπλοκος) και η παράγωγος ενός πηλίκου δεν είναι ίση με το πηλίκο των παραγώγων. Επομένως, δεν υπάρχουν κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου του προϊόντος ή του αντιπαραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων. Πρόσεχε!
Λαμβάνουμε έναν ακόμη κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων. Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης y \u003d f (kx + m) υπολογίζεται από τον τύπο

Αυτός ο κανόνας δημιουργεί έναν αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Κανόνας 3Εάν y \u003d F (x) είναι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y \u003d f (x), τότε η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y \u003d f (kx + m) είναι η συνάρτηση

Πράγματι,

Αυτό σημαίνει ότι είναι ένα αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y \u003d f (kx + m).
Η έννοια του τρίτου κανόνα είναι η εξής. Εάν γνωρίζετε ότι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y \u003d f (x) είναι η συνάρτηση y \u003d F (x) και πρέπει να βρείτε την αντιπαράγωγο της συνάρτησης y \u003d f (kx + m), τότε προχωρήστε ως ακολουθεί: πάρτε την ίδια συνάρτηση F, αλλά αντί για το όρισμα x, αντικαταστήστε την παράσταση xx+m. Επιπλέον, μην ξεχάσετε να γράψετε τον «συντελεστή διόρθωσης» πριν από το πρόσημο της συνάρτησης
Παράδειγμα 4Βρείτε αντιπαράγωγα για δεδομένες συναρτήσεις:

Λύση, α) Το αντιπαράγωγο για το sin x είναι -cos x; Αυτό σημαίνει ότι για τη συνάρτηση y \u003d sin2x, το αντιπαράγωγο θα είναι η συνάρτηση
β) Το αντιπαράγωγο για το cos x είναι το sin x. Ως εκ τούτου, για την αντιπαράγωγη συνάρτηση θα υπάρχει μια συνάρτηση

γ) Η αντιπαράγωγος για το x 7 είναι επομένως, για τη συνάρτηση y \u003d (4-5x) 7, η αντιπαράγωγος θα είναι η συνάρτηση

3. Αόριστο ολοκλήρωμα

Έχουμε ήδη σημειώσει παραπάνω ότι το πρόβλημα της εύρεσης αντιπαραγώγου για μια δεδομένη συνάρτηση y = f(x) έχει περισσότερες από μία λύσεις. Ας συζητήσουμε αυτό το θέμα με περισσότερες λεπτομέρειες.

Απόδειξη. 1. Έστω y \u003d F (x) η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y \u003d f (x) στο διάστημα X. Αυτό σημαίνει ότι για όλα τα x από το X η ισότητα x "(x) \u003d f (x) είναι true. Βρείτε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης της μορφής y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Άρα, (F(x)+C) = f(x). Αυτό σημαίνει ότι το y \u003d F (x) + C είναι ένα αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y \u003d f (x).
Έτσι, αποδείξαμε ότι αν η συνάρτηση y \u003d f (x) έχει μια αντιπαράγωγο y \u003d F (x), τότε η συνάρτηση (f \u003d f (x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα, για παράδειγμα, οποιαδήποτε συνάρτηση του μορφή y \u003d F (x) +C είναι αντιπαράγωγο.
2. Ας το αποδείξουμε τώρα καθορισμένο τύποσυναρτήσεις, εξαντλείται ολόκληρο το σύνολο των αντιπαραγώγων.

Έστω y=F 1 (x) και y=F(x) δύο αντιπαράγωγα για τη συνάρτηση Y = f(x) στο διάστημα X. Αυτό σημαίνει ότι για όλα τα x από το διάστημα X ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Θεωρήστε τη συνάρτηση y \u003d F 1 (x) -.F (x) και βρείτε την παράγωγό της: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Είναι γνωστό ότι αν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Χ είναι ταυτόσημη με μηδέν, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο διάστημα Χ (βλ. Θεώρημα 3 στην § 35). Ως εκ τούτου, F 1 (x) -F (x) \u003d C, δηλ. Fx) \u003d F (x) + C.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα 5Ορίζεται ο νόμος της μεταβολής της ταχύτητας από τον χρόνο v = -5sin2t. Να βρείτε τον νόμο της κίνησης s = s(t) αν είναι γνωστό ότι τη χρονική στιγμή t=0 η συντεταγμένη του σημείου ήταν ίση με τον αριθμό 1,5 (δηλαδή s(t) = 1,5).

Λύση.Εφόσον η ταχύτητα είναι η παράγωγος της συντεταγμένης σε συνάρτηση με το χρόνο, πρέπει πρώτα να βρούμε την αντιπαράγωγο της ταχύτητας, δηλ. αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση v = -5sin2t. Ένα από αυτά τα αντιπαράγωγα είναι η συνάρτηση και το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων έχει τη μορφή:

Για να βρούμε μια συγκεκριμένη τιμή της σταθεράς C, χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες, σύμφωνα με τις οποίες, s(0) = 1,5. Αντικαθιστώντας στον τύπο (1) τις τιμές t=0, S = 1,5, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας την τιμή C που βρέθηκε στον τύπο (1), λαμβάνουμε τον νόμο της κίνησης που μας ενδιαφέρει:

Ορισμός 2.Αν μια συνάρτηση y = f(x) έχει αντιπαράγωγο y = F(x) στο διάστημα X, τότε το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων, δηλ. το σύνολο των συναρτήσεων της μορφής y \u003d F (x) + C, ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης y \u003d f (x) και συμβολίζεται:

(διαβάζουν: «το αόριστο ολοκλήρωμα εφ του x de x»).
Στην επόμενη ενότητα, θα μάθουμε ποια είναι η κρυφή σημασία αυτής της σημειογραφίας.
Με βάση τον πίνακα των αντιπαραγώγων που διατίθενται σε αυτήν την παράγραφο, συντάσσουμε έναν πίνακα βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων:

Με βάση τους παραπάνω τρεις κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων, μπορούμε να διατυπώσουμε τους αντίστοιχους κανόνες ολοκλήρωσης.

Κανόνας 1Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων:

Κανόνας 2Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:

Κανόνας 3Αν ένα

Παράδειγμα 6Βρείτε αόριστα ολοκληρώματα:

Λύση, α) Χρησιμοποιώντας τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα ολοκλήρωσης, λαμβάνουμε:

Τώρα χρησιμοποιούμε τους τύπους 3ης και 4ης ολοκλήρωσης:

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

β) Χρησιμοποιώντας τον τρίτο κανόνα ολοκλήρωσης και τον τύπο 8, παίρνουμε:

γ) Για τον άμεσο προσδιορισμό του δεδομένου ολοκληρώματος δεν έχουμε ούτε τον αντίστοιχο τύπο ούτε τον αντίστοιχο κανόνα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μερικές φορές εκτελείται εκ των προτέρων πανομοιότυπες μετατροπέςέκφραση που περιέχεται κάτω από το ολοκλήρωμα.

Ας χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικός τύποςυποβάθμιση:

Τότε διαδοχικά βρίσκουμε:

Ο Α.Γ. Mordkovich Algebra 10η τάξη

Ημερολογιακός-θεματικός προγραμματισμός στα μαθηματικά, βίντεοστα μαθηματικά online , Τα μαθηματικά στο σχολείο