Τα καθορισμένα ολοκληρώματα είναι το εμβαδόν ενός οριοθετημένου σχήματος. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα; VII. Εργασία για το σπίτι

Χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε τα εμβαδά των επίπεδων σχημάτων, καθώς αυτό το πρόβλημα καταλήγει πάντα στον υπολογισμό των περιοχών των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών.

Η περιοχή οποιουδήποτε σχήματος σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να αποτελείται από τις περιοχές των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών δίπλα στον άξονα Ωή στον άξονα OU.

Είναι βολικό να επιλύσετε προβλήματα για τον υπολογισμό των επιφανειών των επίπεδων ψηφίων σύμφωνα με το ακόλουθο σχέδιο:

1. Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, κάντε ένα σχηματικό σχέδιο

2. Παρουσιάστε την επιθυμητή περιοχή ως το άθροισμα ή τη διαφορά των εμβαδών των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών. Από τις συνθήκες του προβλήματος και του σχεδίου προσδιορίζονται τα όρια ολοκλήρωσης για κάθε συνιστώσα του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

3. Γράψτε κάθε συνάρτηση ως y = f(x).

4. Υπολογίστε το εμβαδόν κάθε καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς και το εμβαδόν του επιθυμητού σχήματος.

Εξετάστε διάφορες επιλογές για τη θέση των σχημάτων.

ένας). Αφήστε το τμήμα [ ένα; σι] λειτουργία f(x)παίρνει μη αρνητικές τιμές. Στη συνέχεια το γράφημα της συνάρτησης y = f(x)που βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ω.

S=

2). Αφήστε το διάστημα [ ένα; σι] μη θετική συνεχής συνάρτηση f(x).Στη συνέχεια το γράφημα της συνάρτησης y = f(x)που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ω:

Το εμβαδόν ενός τέτοιου αριθμού υπολογίζεται από τον τύπο: S=-

Το εμβαδόν ενός τέτοιου αριθμού υπολογίζεται από τον τύπο: S=

τέσσερα). Αφήστε το τμήμα [ ένα; σι] λειτουργία f(x)παίρνει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Τότε το τμήμα [ ένα; σι] πρέπει να χωριστεί σε τέτοια μέρη, σε καθένα από τα οποία η συνάρτηση δεν αλλάζει πρόσημο, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, υπολογίστε τις περιοχές που αντιστοιχούν σε αυτά τα μέρη και προσθέστε τις περιοχές που βρέθηκαν.

S 1 \u003d S 2 \u003d - S f \u003d S 1 + S 2

Στην πραγματικότητα, για να βρείτε την περιοχή ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, έτσι οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι πολύ πιο σχετικό θέμα. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη των γραφημάτων των κύριων βασικών συναρτήσεων και, τουλάχιστον, να μπορέσετε να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή και μια υπερβολή.

Ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και ένα γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα τμήμα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήστε αυτό το σχήμα να βρίσκεται όχι λιγότεροτετμημένη:

Επειτα το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία.

Όσον αφορά τη γεωμετρία, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι η ΠΕΡΙΟΧΗ.

Αυτό είναι,το οριστικό ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν κάποιου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα . Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να ολοκληρώσουν το σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με εμβαδόναντίστοιχο καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές.

Παράδειγμα 1

Αυτή είναι μια τυπική δήλωση εργασίας. Η πρώτη και πιο σημαντική στιγμή της απόφασης είναι η κατασκευή ενός σχεδίου. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.

Κατά την κατασκευή ενός σχεδιαγράμματος, προτείνω την ακόλουθη σειρά: πρώταείναι καλύτερο να κατασκευάζονται όλες οι γραμμές (αν υπάρχουν) και μόνο μετά- παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Τα γραφήματα συναρτήσεων είναι πιο κερδοφόρα στην κατασκευή κατά σημείο.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):

Στο τμήμα, βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης πάνω από τον άξονα, να γιατί:

Απάντηση:

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτήν την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα πληκτρολογηθούν περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι ξεκάθαρο ότι αν είχαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε, προφανώς, κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά σαφώς δεν χωρούν στην εν λόγω φιγούρα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση ήταν αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Αν βρίσκεται το καμπυλόγραμμο τραπέζιο κάτω από τον άξονα(ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Μην συγχέετε τους δύο τύπους εργασιών:

1) Εάν σας ζητηθεί να λύσετε μόνο ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις εξετάστηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα, προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από γραμμές, .

Λύση: Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι αναλυτικός. Λύνουμε την εξίσωση:

Ως εκ τούτου, το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης.

Είναι καλύτερο να μην χρησιμοποιήσετε αυτή τη μέθοδο εάν είναι δυνατόν..

Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να χτίζετε τις γραμμές σημείο προς σημείο, ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης ανακαλύπτονται σαν «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης των ορίων εξακολουθεί να πρέπει μερικές φορές να εφαρμόζεται εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η κατασκευή με σπείρωμα δεν αποκάλυψε τα όρια ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.

Επιστρέφουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Και τώρα η φόρμουλα εργασίας: Εάν υπάρχει κάποια συνεχής λειτουργία στο διάστημα μεγαλύτερο ή ίσοκάποια συνεχής συνάρτηση, τότε η περιοχή του σχήματος που οριοθετείται από τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και τις ευθείες γραμμές, μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκεφτόμαστε πού βρίσκεται η φιγούρα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, και, χοντρικά, σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΠΑΝΩ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Η ολοκλήρωση της λύσης μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή από πάνω και μια ευθεία γραμμή από κάτω.
Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .

Λύση: Ας κάνουμε πρώτα ένα σχέδιο:

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε.(δείτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένη η φιγούρα!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, εμφανίζεται συχνά ένα "πρόβλημα" ότι πρέπει να βρείτε την περιοχή της φιγούρας που είναι σκιασμένη με πράσινο!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι σε αυτό η περιοχή του σχήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα.

Πραγματικά:

1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα ευθύγραμμο γράφημα.

2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα υπερβολής.

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Εντολή

Όταν σχεδιάζονται δύο δεδομένες συναρτήσεις στην περιοχή της τομής τους, σχηματίζεται ένα κλειστό σχήμα, οριοθετημένο από αυτές τις καμπύλες και δύο ευθείες x=a και x=b, όπου a και b είναι τα άκρα του υπό εξέταση διαστήματος. Αυτό το σχήμα εμφανίζεται οπτικά με ένα κτύπημα. Το εμβαδόν του μπορεί να υπολογιστεί ενσωματώνοντας τη διαφορά των συναρτήσεων.

Η συνάρτηση που βρίσκεται ψηλότερα στο γράφημα είναι μεγαλύτερη τιμή, επομένως, στον τύπο, η έκφρασή της θα είναι η πρώτη: S = ∫f1 - ∫f2, όπου f1 > f2 στο διάστημα [a, b]. Ωστόσο, λαμβάνοντας υπόψη ότι το ποσοτικό οποιουδήποτε γεωμετρικού αντικειμένου είναι θετική τιμή, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, γραφήματα συναρτήσεων, modulo:
S = |∫f1 – ∫f2|.

Αυτή η επιλογή είναι ακόμη πιο βολική εάν δεν υπάρχει ευκαιρία ή χρόνος για τη δημιουργία γραφήματος. Κατά τον υπολογισμό, χρησιμοποιείται ο κανόνας Newton-Leibniz, ο οποίος περιλαμβάνει την αντικατάσταση των οριακών τιμών του διαστήματος στο τελικό αποτέλεσμα. Τότε το εμβαδόν του σχήματος είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ των δύο τιμών του αντιπαραγώγου, που βρέθηκαν στο στάδιο της ολοκλήρωσης, από το μεγαλύτερο F(b) και το μικρότερο F(a).

Μερικές φορές ένα κλειστό σχήμα σε ένα δεδομένο διάστημα σχηματίζεται από μια πλήρη τομή, δηλ. τα άκρα του διαστήματος είναι σημεία που ανήκουν και στις δύο καμπύλες. Για παράδειγμα: βρείτε τα σημεία τομής των γραμμών y \u003d x / 2 + 5 και y \u003d 3 x - x² / 4 + 3 και υπολογίστε την περιοχή.

Λύση.
Για να βρείτε τα σημεία τομής, γράψτε την εξίσωση:
x / 2 + 5 \u003d 3 x - x² / 4 + 3 → x² - 10 x + 8 \u003d 0
D \u003d 100 - 64 \u003d 36 → x1,2 \u003d (10 ± 6) / 2.

Έτσι, βρήκατε τα άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης:
S \u003d |∫ (3 x - x² / 4 + 3 - x / 2 - 5)dx | \u003d | (5 x² / 4 - x³ / 12 - 2 x) | ≈ 59.

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα: y1 = √(4 x + 5); y2 \u003d x και δίνεται η εξίσωση της ευθείας x \u003d 3.
Σε αυτό το πρόβλημα, δίνεται μόνο ένα άκρο του διαστήματος x=3. Αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη τιμή πρέπει να βρεθεί από το γράφημα. Να σχεδιάσετε τις ευθείες που δίνονται από τις συναρτήσεις y1 και y2. Προφανώς, το x=3 είναι ένα ανώτερο όριο, επομένως πρέπει να οριστεί ένα κατώτερο όριο. Για να το κάνετε αυτό, εξισώστε τις εκφράσεις:
√(4 x + 5) = x²
4 x + 5 = x² → x² - 4 x - 5 = 0

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:
D \u003d 16 + 20 \u003d 36 → x1 \u003d 5; x2 = -1.
Κοιτάξτε το γράφημα, η χαμηλότερη τιμή του διαστήματος είναι -1. Εφόσον το y1 βρίσκεται πάνω από το y2, τότε:
S \u003d ∫ (√ (4 x + 5) - x) dx στο διάστημα [-1; 3].
S \u003d (1/3 √ ((4 x + 5) ³) - x² / 2) \u003d 19.

Πηγές:

• βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ένα γράφημα μιας συνάρτησης

Συμβουλή 2: Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Εντολή

Υπολογίστε τα σημεία τομής αυτών των ευθειών. Για να το κάνετε αυτό, χρειάζεστε τις συναρτήσεις τους, όπου το y θα εκφραστεί ως x1 και x2. Να γράψετε ένα σύστημα εξισώσεων και να το λύσετε. Τα x1 και x2 που βρήκατε είναι τα τετμημένα των πόντων που χρειάζεστε. Αντικαταστήστε τα στο πρωτότυπο για κάθε x και βρείτε τις τιμές των τεταγμένων. Τώρα έχετε τα σημεία τομής των γραμμών.

Κατασκευάστε τεμνόμενες γραμμές σύμφωνα με τις συναρτήσεις τους. Εάν το σχήμα αποδειχθεί ανοιχτό, τότε στις περισσότερες περιπτώσεις περιορίζεται επίσης από την τετμημένη ή τον άξονα τεταγμένων ή και από τους δύο άξονες συντεταγμένων ταυτόχρονα (ανάλογα με το σχήμα που προκύπτει).

Σκιάστε το σχήμα που προκύπτει. Αυτή είναι μια τυπική τεχνική για το χειρισμό τέτοιων εργασιών. Η εκκόλαψη γίνεται από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία με γραμμές που απέχουν σε ίσες αποστάσεις. Φαίνεται εξαιρετικά δύσκολο με την πρώτη ματιά, αλλά αν το σκεφτείτε, είναι πάντα το ίδιο και, αν τα θυμάστε, μπορείτε αργότερα να απαλλαγείτε από τα προβλήματα που σχετίζονται με τον υπολογισμό της περιοχής.

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος ανάλογα με το . Εάν το σχήμα είναι απλό (όπως τετράγωνο, τρίγωνο, ρόμβος και άλλα), χρησιμοποιήστε τους βασικούς τύπους από το μάθημα της γεωμετρίας. Να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό, γιατί οι εσφαλμένοι υπολογισμοί δεν θα δώσουν το επιθυμητό αποτέλεσμα και όλη η εργασία μπορεί να είναι μάταιη.

Εκτελέστε υπολογισμούς σύνθετων τύπων εάν το σχήμα δεν είναι τυπικό. Για να διατυπώσετε έναν τύπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα από τη διαφορά των τύπων συνάρτησης. Για να βρείτε το ολοκλήρωμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο Newton-Leibniz ή το κύριο θεώρημα της ανάλυσης. Συνίσταται στα εξής: αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα τμήμα από το a έως το b και η ɸ είναι η παράγωγός της σε αυτό το τμήμα, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: το ολοκλήρωμα από το a στο b της f(x)dx = F(b ) - F(a) .

Η γεωμετρική έννοια ενός ορισμένου ολοκληρώματος είναι η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. Για να βρεθεί το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές, χρησιμοποιείται μία από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος, η οποία συνίσταται στην προσθετικότητα των περιοχών που είναι ενσωματωμένες στο ίδιο τμήμα συναρτήσεων.

Εντολή

Στη συνέχεια, η περιοχή του σχήματος μπορεί να εκφραστεί με έναν τύπο που ενσωματώνει τη διαφορά των συναρτήσεων στο διάστημα. Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται σύμφωνα με το νόμο Newton-Leibniz, σύμφωνα με τον οποίο το αποτέλεσμα είναι ίσο με τη διαφορά της αντιπαραγώγου συνάρτησης από τις οριακές τιμές του διαστήματος.

Παράδειγμα 1.
Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ευθείες γραμμές y = -1/3 x - ½, x = 1, x = 4 και μια παραβολή y = -x² + 6 x - 5.

Λύση.
Σχεδιάστε όλες τις γραμμές. Μπορείτε να δείτε ότι η γραμμή της παραβολής είναι πάνω από την ευθεία y = -1/3 x - ½. Επομένως, κάτω από το πρόσημο του ολοκληρώματος σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να υπάρχει η διαφορά μεταξύ της εξίσωσης της παραβολής και της δεδομένης ευθείας. Το διάστημα ολοκλήρωσης, αντίστοιχα, είναι μεταξύ των σημείων x = 1 και x = 4:
S \u003d ∫ (-x² + 6 x - 5 - (-1/3 x - 1/2)) dx \u003d (-x² + 19/3 x - 9/2) dx στο τμήμα.

Βρείτε την αντιπαράγωγο για το ολοκλήρωμα που προκύπτει:
F(-x² + 19/3x - 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² - 9/2x.

Αντικαταστήστε τις τιμές των άκρων του τμήματος:
S = (-1/3 4³ + 19/6 4² - 9/2 4) - (-1/3 1³ + 19/6 1² - 9/2 1) = 13.

Παράδειγμα 2.
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = √(x + 2), y = x και την ευθεία x = 7.

Λύση.
Αυτή η εργασία είναι πιο δύσκολη από την προηγούμενη, γιατί δεν έχει δεύτερη ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x. Αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη οριακή τιμή του ολοκληρώματος είναι αόριστη. Επομένως, πρέπει να βρεθεί από το γράφημα. Κατασκευάστε τις δεδομένες γραμμές.

Θα δείτε ότι η ευθεία y = x τρέχει διαγώνια ως προς τους άξονες συντεταγμένων. Και η γραφική παράσταση της συνάρτησης ρίζας είναι το θετικό μισό της παραβολής. Προφανώς, οι γραμμές στο γράφημα τέμνονται, οπότε το σημείο τομής θα είναι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης.

Βρείτε το σημείο τομής λύνοντας την εξίσωση:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 → x² - x - 2 = 0.

Προσδιορίστε τις ρίζες τετραγωνική εξίσωσηχρησιμοποιώντας τη διάκριση:
D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.

Προφανώς, η τιμή -1 δεν είναι κατάλληλη, αφού η τετμημένη των ρευμάτων διέλευσης είναι θετική τιμή. Επομένως, το δεύτερο όριο ολοκλήρωσης είναι x = 2. Η συνάρτηση y = x στο γράφημα είναι υψηλότερη από τη συνάρτηση y = √(x + 2), επομένως θα είναι η πρώτη στο ολοκλήρωμα.
Ενσωματώστε την έκφραση που προκύπτει στο διάστημα και βρείτε την περιοχή του σχήματος:
S = ∫(x - √(x + 2))dx = (x²/2 – 2/3 (x + 2)^(3/2)).

Αντικατάσταση τιμών διαστήματος:
S \u003d (7² / 2 - 2/3 9 ^ (3/2)) - (2² / 2 - 2/3 4 ^ (3/2)) \u003d 59/6.

Πηγές:

• βρείτε την περιοχή που περικλείεται από τις γραμμές

Συμβουλή 4: Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από μια παραβολή

Είναι επίσης γνωστό από το σχολικό μάθημα ότι για να βρεθούν οι περιοχές των σχημάτων στο επίπεδο συντεταγμένων, είναι απαραίτητη η γνώση μιας τέτοιας έννοιας ως ολοκλήρωσης. Για να το χρησιμοποιήσετε για να προσδιορίσετε τις περιοχές των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών - αυτό ακριβώς ονομάζονται αυτά τα σχήματα - αρκεί να γνωρίζετε ορισμένους αλγόριθμους.

Τάξη: 11

Παρουσίαση για το μάθημα

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Στόχοι μαθήματος:να εξαγάγετε έναν τύπο για τον υπολογισμό των εμβαδών των επίπεδων ψηφίων χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. να σχηματίσουν την ικανότητα υπολογισμού των επιφανειών επίπεδων σχημάτων χρησιμοποιώντας ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. επαναλάβετε γνωστές και αναφέρετε νέες πληροφορίες από την ιστορία του ολοκληρωτικού λογισμού. προετοιμασία εξετάσεων? συνεχίζουν να εργάζονται για την ανάπτυξη της προσοχής, της ομιλίας, λογική σκέψη, ακρίβεια στην καταγραφή. βελτίωση της κουλτούρας των γραφικών. συνεχίσει το έργο ανάπτυξης δημιουργικότηταΦοιτητές; αύξηση του ενδιαφέροντος για τη μελέτη των μαθηματικών.

Εξοπλισμός:προβολέας πολυμέσων, οθόνη, παρουσίαση για το θέμα, που αναπτύχθηκε στο περιβάλλον Power Point.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Ι. Οργανωτική στιγμή, μήνυμα θέματος και σκοπός του μαθήματος.

II. Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.

Έλεγχος πρόσθετων εργασιών για το σπίτι (ο δάσκαλος δείχνει τη λύση σε ένα προετοιμασμένο σχέδιο, η λύση βρίσκεται στο πίσω μέρος του πίνακα):

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0

III. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων.

1. Προφορική εργασία(Διαφάνειες 3-4)

1. Εκφράστε χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα εμβαδού των σχημάτων που φαίνονται στα σχήματα:
2. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων:

2. Λίγο ιστορία. (Διαφάνειες 5-9)

Ένα απόσπασμα ενός έργου υπολογιστή μαθητών με θέμα "Από την ιστορία του ολοκληρωτικού λογισμού".

1 μαθητής

Αναπόσπαστο- μια από τις πιο σημαντικές έννοιες των μαθηματικών, που προέκυψε σε σχέση με την ανάγκη, αφενός, να βρεθούν συναρτήσεις από τις παράγωγές τους και, αφετέρου, να μετρηθούν εμβαδά, όγκοι, μήκη τόξων, το έργο των δυνάμεων πάνω από ορισμένο χρονικό διάστημα κ.λπ.

Επινοήθηκε η ίδια η λέξη ολοκλήρωμα Ι. Μπερνούλι(1690). Προέρχεται από το λατινικό ακέραιος, μεταφράζεται ως επαναφορά στην προηγούμενη κατάστασή του, επαναφορά.

Άλλοι όροι που σχετίζονται με τον ολοκληρωτικό λογισμό που γνωρίζετε εμφανίστηκαν πολύ αργότερα. Όνομα σε χρήση τώρα αντιπαράγωγη λειτουργίααντικατέστησε το προηγούμενο "πρωτόγονη λειτουργία"που εισήγαγε ο Τζόζεφ Λούις Lagrange(1797). λατινική λέξη πρωτόγονοςμεταφράζεται ως "αρχικό".

Η εμφάνιση προβλημάτων του ολοκληρωτικού λογισμού σχετίζεται με την εύρεση περιοχών και όγκων. Μια σειρά από προβλήματα αυτού του είδους έχουν λυθεί από μαθηματικούς αρχαία Ελλάδα. Η πρώτη γνωστή μέθοδος για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων είναι η ευδοξιανή μέθοδος εξάντλησης ( σχετικά με 370 π.Χ π.Χ.), ο οποίος προσπάθησε να βρει περιοχές και όγκους, σπάζοντάς τους σε άπειρο αριθμό τμημάτων για τα οποία το εμβαδόν ή ο όγκος είναι ήδη γνωστό. Αυτή η μέθοδος επιλέχτηκε και αναπτύχθηκε από τον Αρχιμήδη και χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό των περιοχών των παραβολών και την προσέγγιση του εμβαδού ενός κύκλου.

Ωστόσο, ο Αρχιμήδης δεν ξεχώρισε το γενικό περιεχόμενο των μεθόδων ολοκλήρωσης και τις έννοιες του ολοκληρώματος, και ακόμη περισσότερο δεν δημιούργησε έναν αλγόριθμο για τον ολοκληρωτικό λογισμό.

Τα έργα του Αρχιμήδη, που δημιουργήθηκαν για πρώτη φορά το 1544, ήταν ένα από τα σημαντικότερα σημεία εκκίνησης για την ανάπτυξη του ολοκληρωτικού λογισμού.

2 μαθητής

Η έννοια του ολοκληρώματος σχετίζεται άμεσα με τον ολοκληρωτικό λογισμό - έναν κλάδο των μαθηματικών που μελετά τα ολοκληρώματα, τις ιδιότητές τους και τις μεθόδους υπολογισμού τους.

Πιο κοντά και ακριβέστερα στην έννοια του ολοκληρώματος προσεγγίστηκε Ισαάκ Νιούτον. Ήταν ο πρώτος που κατασκεύασε διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό και τον ονόμασε «Μέθοδος Ροών...» (1670-1671, εκδ. 1736). Μεταβλητές ποσότητες που κάλεσε ο Newton άπταιστα(τρέχουσες τιμές, από λατ. fluo - ροή). Ο ρυθμός μεταβολής της ροής του Newton είναι ροέςκαι οι απειροελάχιστες αλλαγές ροής που απαιτούνται για τον υπολογισμό των διακυμάνσεων είναι " στιγμές"(Ο Leibniz τα ονόμασε διαφορικά). Έτσι, ο Newton έθεσε τα θεμέλια για τις έννοιες των ροών (παράγωγο) και fluents (αντιπαράγωγο, ή αόριστο ολοκλήρωμα).

Αυτό κατέστησε αμέσως δυνατή την επίλυση μιας μεγάλης ποικιλίας μαθηματικών και φυσικών προβλημάτων.

Ταυτόχρονα με τον Νεύτωνα, ένας άλλος εξαιρετικός επιστήμονας κατέληξε σε παρόμοιες ιδέες - Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς.

Αναλογιζόμενος φιλοσοφικά και μαθηματικά ερωτήματα, ο Leibniz πείστηκε ότι τα μαθηματικά θα μπορούσαν να γίνουν το πιο αξιόπιστο μέσο αναζήτησης και εύρεσης της αλήθειας στην επιστήμη. Το ολοκλήρωμα (∫) χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Leibniz στα τέλη του 17ου αιώνα. Αυτό το σύμβολο σχηματίστηκε από το γράμμα S - μια συντομογραφία της λέξης lat. άθροισμα(άθροισμα).

Οι Newton και Leibniz ανέπτυξαν δύο ερμηνείες της έννοιας ενός συνηθισμένου ορισμένου ολοκληρώματος.

Ο Newton ερμήνευσε το οριστικό ολοκλήρωμα ως τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων τιμών της αντιπαράγωγης συνάρτησης:

,
όπου F`(x)=f(x).

Για τον Leibniz, το οριστικό ολοκλήρωμα ήταν το άθροισμα όλων των απειροελάχιστων διαφορών.

Ο τύπος που οι Newton και Leibniz ανακάλυψαν ανεξάρτητα ονομάστηκε Τύπος Newton–Leibniz.

Έτσι, η έννοια του ολοκληρώματος συνδέθηκε με τα ονόματα διάσημων επιστημόνων: Newton, Leibniz, Bernoulli, που έθεσαν τα θεμέλια για τη σύγχρονη μαθηματική ανάλυση.

IV. Επεξήγηση νέου υλικού.

Χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή όχι μόνο των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών, αλλά και των επίπεδων σχημάτων ενός πιο πολύπλοκου τύπου.

Αφήστε το σχήμα Ππεριορίζεται σε ευθεία Χ = ένα, Χ = σικαι γραφήματα συναρτήσεων y = φά(Χ) και y = σολ(Χ), και στο τμήμα [ ένα;σι] σολ(Χ)φά(Χ).

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός σχήματος, θα επιχειρηματολογήσουμε ως εξής. Εκτελέστε παράλληλη μετάφραση του σχήματος Πστο Μμονάδες επάνω έτσι ώστε το σχήμα Παποδείχθηκε ότι βρίσκεται στο επίπεδο συντεταγμένων πάνω από τον άξονα x.

Τώρα οριοθετείται πάνω και κάτω από γραφήματα συναρτήσεων y = φά(Χ)+Μκαι

y = σολ(Χ)+Μ, και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς και μη αρνητικές στο τμήμα [ ένα;σι].

Ας υποδηλώσουμε το σχήμα που προκύπτει Α Β Γ Δ. Το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως η διαφορά μεταξύ των εμβαδών των σχημάτων:

S ABCD = S aDCb - S aABb = =
=

Έτσι, το εμβαδόν του σχήματος S, που οριοθετείται από ευθείες γραμμές Χ = ένα, Χ = σικαι γραφήματα συναρτήσεων y = φά(Χ) και y = σολ(Χ), συνεχής στο τμήμα [ ένα;σι] και τέτοια ώστε για όλους Χαπό το τμήμα [ ένα;σι] σολ(Χ)φά(Χ), υπολογίζεται με τον τύπο

Παράδειγμα.(Διαφάνεια 11) Υπολογίστε την περιοχή του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = Χ, y = 5 – Χ, Χ = 1, Χ = 2.

Επιλέξτε από αυτούς τους τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός σχήματος αυτόν που ταιριάζει σε ένα από τα έξι σχέδια. (Διαφάνεια 14)

Εργασία 3.(Διαφάνεια 15) Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από το γράφημα της συνάρτησης y = 0,5x 2+ 2, εφαπτομένη σε αυτή τη γραφική παράσταση στο σημείο με την τετμημένη Χ= -2 και απευθείας Χ = 0.

1. Να συνθέσετε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 0,5x 2+ 2 στο σημείο με την τετμημένη Χ = -2:

y = φά(x0) + φά"(x0)(x-x0)
φά(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
φά"(Χ) = (0,5x 2 + 2)"= Χ
φά"(-2) = -2
y = 4 – 2(Χ + 2)
y = -2Χ

2. Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων.

3. Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος αλφάβητο.

VI. Συνοψίζοντας.

• τύπος για τον υπολογισμό των επιφανειών των επίπεδων ψηφίων.
• γραφή τύπων για τα εμβαδά των επίπεδων σχημάτων χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.
• επανάληψη της εξίσωσης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης και λύση της εξίσωσης με το μέτρο.
• βαθμολόγηση των μαθητών.

VII. Εργασία για το σπίτι.

1. σελ. 4 σελ. 228-230;
2. #1025(γ, δ), #1037 (γ, δ), #1038 (γ, δ)

εγχειρίδιο: A. G. Mordkovich "Άλγεβρα και η αρχή της ανάλυσης 10-11"

26. Υπολογισμός των εμβαδών των επίπεδων σχημάτων με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος

Ορισμός 1.Καμπυλόγραμμο τραπεζοειδέςπου δημιουργείται από το γράφημα μιας μη αρνητικής συνάρτησης φάσε ένα τμήμα, ονομάζεται ένα σχήμα που οριοθετείται από ένα τμήμα
άξονας τετμημένης, ευθύγραμμα τμήματα
,
και γράφημα συνάρτησης
στο
.

1. Ας χωρίσουμε το τμήμα
δείχνει σε επιμέρους τμήματα.

2. Σε κάθε τμήμα
(όπου κ=1,2,...,n) επιλέξτε ένα αυθαίρετο σημείο .

3. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των ορθογωνίων των οποίων οι βάσεις έχουν τμήματα
οι άξονες των τετμημένων και τα ύψη έχουν μήκη
. Τότε το εμβαδόν της κλιμακωτής φιγούρας που σχηματίζεται από αυτά τα ορθογώνια είναι ίσο με
.

Σημειώστε ότι όσο μικρότερο είναι το μήκος των επιμέρους τμημάτων, τόσο περισσότερο το κλιμακωτό σχήμα είναι κοντά σε ένα δεδομένο καμπυλόγραμμο τραπέζιο. Επομένως, είναι φυσικό να δοθεί ο ακόλουθος ορισμός.

Ορισμός 2.Η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς,που δημιουργείται από το γράφημα μιας μη αρνητικής συνάρτησης φάστο τμήμα
, το όριο ονομάζεται (καθώς τα μήκη όλων των τμημάτων τείνουν στο 0) των περιοχών των βαθμιδωτών σχημάτων εάν:

1) αυτό το όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο.

2) δεν εξαρτάται από τη μέθοδο διαχωρισμού του τμήματος
σε επιμέρους τμήματα·

3) δεν εξαρτάται από την επιλογή των σημείων
.

Θεώρημα 1.Εάν η συνάρτηση
συνεχής και μη αρνητική στο τμήμα
, μετά το καμπυλόγραμμο τραπεζοειδέςφά,που δημιουργείται από το γράφημα συνάρτησηςφάστο
, έχει ένα εμβαδόν, το οποίο υπολογίζεται από τον τύπο
.

Με τη βοήθεια ενός ορισμένου ολοκληρώματος, μπορείτε να υπολογίσετε τα εμβαδά των επίπεδων μορφών και μια πιο σύνθετη μορφή.

Αν ένα φάκαι σολ- συνεχής και μη αρνητική στο τμήμα
λειτουργίες και για όλους Χαπό το τμήμα
την ανισότητα
, μετά την περιοχή του σχήματος φά, που οριοθετείται από ευθείες γραμμές
,
και γραφήματα συναρτήσεων
,
, υπολογίζεται με τον τύπο
.

Σχόλιο.Αν απορρίψουμε την συνθήκη της μη αρνητικότητας των συναρτήσεων φάκαι σολ, ο τελευταίος τύπος παραμένει αληθινός.

Θέμα 9. Διαφορικές εξισώσεις

27. Η έννοια της διαφορικής εξίσωσης. Γενική και ειδική λύση. Πρόβλημα Cauchy. Το πρόβλημα της κατασκευής ενός μαθηματικού μοντέλου της δημογραφικής διαδικασίας

Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων προέκυψε στα τέλη του 17ου αιώνα υπό την επίδραση των αναγκών της μηχανικής και άλλων φυσικών επιστημών, ουσιαστικά ταυτόχρονα με τον ολοκληρωτικό και τον διαφορικό λογισμό.

Ορισμός 1.n-η σειράείναι μια εξίσωση της μορφής στην οποία
- άγνωστη λειτουργία.

Ορισμός 2.Λειτουργία
λέγεται λύσεις της διαφορικής εξίσωσης στο διάστημα Εγώ, εάν, όταν αυτή η συνάρτηση και οι παράγωγοί της αντικατασταθούν, η διαφορική εξίσωση γίνεται ταυτότητα.

Επίλυση διαφορικής εξίσωσηςείναι να βρει όλες τις λύσεις του.

Ορισμός 3.Η γραφική παράσταση για την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ολοκληρωμένη καμπύληδιαφορική εξίσωση.

Ορισμός 4.Συνήθης διαφορική εξίσωση 1-η σειράονομάζεται εξίσωση της μορφής
.

Ορισμός 5.Εξίσωση τύπου
που ονομάζεται διαφορική εξίσωση 1-η σειρά,επιτρέπεται σε σχέση με το παράγωγο.

Κατά κανόνα, κάθε διαφορική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Για να ξεχωρίσουμε οποιαδήποτε λύση από το σύνολο όλων των λύσεων, πρέπει να επιβληθούν πρόσθετοι όροι.

Ορισμός 6.Ευγενική κατάσταση
, που επιβάλλεται στη λύση της διαφορικής εξίσωσης 1ης τάξης, λέγεται αρχική κατάσταση, ή Κατάσταση Cauchy.

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η αντίστοιχη ολοκληρωτική καμπύλη διέρχεται από το σημείο
.

Ορισμός 7.Γενική λύσηΔιαφορική εξίσωση 1ης τάξης
σε επίπεδη περιοχή ρεονομάζεται οικογένεια συναρτήσεων μιας παραμέτρου
, πληρώντας τις προϋποθέσεις:

1) για οποιαδήποτε
λειτουργία
είναι λύση της εξίσωσης.

2) για κάθε σημείο
υπάρχει μια τιμή παραμέτρου
ότι η αντίστοιχη συνάρτηση
είναι μια λύση της εξίσωσης που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη
.

Ορισμός 8.Η λύση που προκύπτει από τη γενική λύση για κάποια τιμή της παραμέτρου ονομάζεται ιδιωτική απόφασηδιαφορική εξίσωση.

Ορισμός 9.ειδική απόφασηΔιαφορική εξίσωση είναι κάθε λύση που δεν μπορεί να ληφθεί από τη γενική λύση για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου.

Η επίλυση διαφορικών εξισώσεων είναι ένα πολύ δύσκολο έργο, και γενικά, όσο υψηλότερη είναι η σειρά της εξίσωσης, τόσο πιο δύσκολο είναι να υποδείξουμε τρόπους επίλυσης της εξίσωσης. Ακόμη και για διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, είναι δυνατό μόνο σε μικρό αριθμό ειδικών περιπτώσεων να υποδειχθούν μέθοδοι για την εύρεση μιας γενικής λύσης. Επιπλέον, σε αυτές τις περιπτώσεις η επιθυμητή λύση δεν είναι πάντα μια στοιχειώδης συνάρτηση.

Ένα από τα κύρια προβλήματα στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, που μελετήθηκε για πρώτη φορά από τον O. Cauchy, είναι να βρεθεί μια λύση σε μια διαφορική εξίσωση που να ικανοποιεί δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Για παράδειγμα, υπάρχει πάντα λύση στη διαφορική εξίσωση
, ικανοποιώντας την αρχική συνθήκη
, και θα είναι το μόνο; Σε γενικές γραμμές, η απάντηση είναι όχι. Πράγματι, η εξίσωση
, του οποίου η δεξιά πλευρά είναι συνεχής σε όλο το επίπεδο, έχει λύσεις y=0 και y=(Χ+ντο) 3 ,ντοR . Επομένως, μέσω οποιουδήποτε σημείου του άξονα Ο Χδιέρχεται από δύο ακέραιες καμπύλες.

Επομένως, η συνάρτηση πρέπει να ικανοποιεί ορισμένες απαιτήσεις. Το παρακάτω θεώρημα περιέχει μία από τις παραλλαγές επαρκών συνθηκών για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα μιας λύσης στη διαφορική εξίσωση
, ικανοποιώντας την αρχική συνθήκη
.