Ανάπτυξη του μαθήματος «πτυχίο με φυσικό δείκτη». Ιδιότητες βαθμών, διατυπώσεις, αποδείξεις, παραδείγματα II. Θέμα μήνυμα, καθορισμός στόχου μαθήματος

Προεπισκόπηση:

ΔΗΜΟΤΙΚΟΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΕΝΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ

Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση № 11

ΔΗΜΟΣ ΠΟΛΗ - RESORT ANAPA

Υποψηφιότητα "Φυσικές και μαθηματικές επιστήμες (μαθηματικά)"

Σχέδιο - περίληψη μαθήματος με θέμα:

7η τάξη

Αναπτύχθηκε από: Bykova E.A., καθηγήτρια μαθηματικών της ανώτερης κατηγορίας προσόντων

Ανάπα, 2013

Ανοιχτό μάθημα άλγεβρας στην 7η τάξη με θέμα:

"Ιδιότητες πτυχίου με φυσικό εκθέτη"

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός:- ανάπτυξη δεξιοτήτων συστηματοποίησης, γενίκευσης γνώσεων σχετικά με το πτυχίο με φυσικό δείκτη, εδραίωση και βελτίωση των δεξιοτήτων των απλούστερων μετασχηματισμών εκφράσεων που περιέχουν βαθμούς με φυσικό δείκτη.

Εκπαιδευτικός: - εκπαίδευση γνωστικής δραστηριότητας, αίσθημα ευθύνης, κουλτούρα επικοινωνίας, κουλτούρα διαλόγου.

Ανάπτυξη: - ανάπτυξη οπτικής μνήμης, μαθηματικά εγγράμματη ομιλία, λογική σκέψη, συνειδητή αντίληψη εκπαιδευτικό υλικό.

Καθήκοντα:

1. Θέμα: επανάληψη, γενίκευση και συστηματοποίηση της γνώσης σχετικά με το θέμα, δημιουργία συνθηκών ελέγχου (αμοιβαίου ελέγχου) της αφομοίωσης γνώσεων και δεξιοτήτων. συνεχίσει τη διαμόρφωση των κινήτρων των μαθητών να μελετήσουν το αντικείμενο.

2. Μεταθέμα: να αναπτύξουν ένα λειτουργικό στυλ σκέψης, να προωθήσουν την απόκτηση επικοινωνιακών δεξιοτήτων από τους μαθητές όταν εργάζονται μαζί, να τους ενεργοποιήσουν δημιουργική σκέψη; Συνέχιση της διαμόρφωσης ορισμένων ικανοτήτων των μαθητών που θα συμβάλουν στην αποτελεσματική κοινωνικοποίησή τους, δεξιότητες αυτομόρφωσης και αυτομόρφωσης

3. Προσωπικά: εκπαιδεύστε τον πολιτισμό, προωθήστε το σχηματισμό προσωπικές ιδιότητεςπου στοχεύει σε μια καλοπροαίρετη, ανεκτική στάση απέναντι στους ανθρώπους, τη ζωή. να καλλιεργούν την πρωτοβουλία και την ανεξαρτησία στις δραστηριότητες· οδηγούν στην κατανόηση της ανάγκης για το υπό μελέτη θέμα για επιτυχημένη προετοιμασίαστην κρατική τελική πιστοποίηση.

Τύπος μαθήματος: γενικό μάθημα για το θέμα.

Είδος μαθήματος: σε συνδυασμό.

Δομή μαθήματος:

1. Οργανωτική στιγμή.

2. Επικοινωνία του θέματος, των στόχων και των στόχων του μαθήματος.

3. Αναπαραγωγή όσων έχουν μάθει και εφαρμογή τους σε τυπικές καταστάσεις.

4. Μεταφορά γνώσεων που αποκτήθηκαν, πρωταρχική εφαρμογή τους σε νέες ή αλλαγμένες συνθήκες, με σκοπό τη διαμόρφωση δεξιοτήτων.

5. Στοιχεία τεχνολογιών εξοικονόμησης υγείας.

6. Ανεξάρτητη απόδοση από μαθητές εργασιών υπό την επίβλεψη δασκάλου.

7. Σύνοψη του μαθήματος και καθορισμός εργασιών για το σπίτι.

Εξοπλισμός: προβολέας πολυμέσων, υπολογιστής.

Παρουσίαση σε πρόγραμμα της Microsoft Office Power Point 2007(Παράρτημα 1)

Πλάνο μαθήματος:

Βιβλιογραφία:

1. Άλγεβρα: σχολικό βιβλίο. για 7 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk και άλλοι. επιμέλεια S.A. Ο Τελιακόφσκι. – Μ.: Διαφωτισμός, 2008.

2. Zvavich L.I., Kuznetsova L.V., Suvorova S.B. Διδακτικό υλικό για την άλγεβρα για την 7η τάξη. – Μ.: Διαφωτισμός, 2009.

3. Συλλογή δοκιμαστικών εργασιών για θεματικό και τελικό έλεγχο. Άλγεβρα Βαθμός 7./ Α.Ε. Πούσκιν, Ι.Λ. Γκουσέβ. - Μ .: "Διάνοια", 2013.

4. T.Yu.Dyumina, A.A. Makhonina, «Άλγεβρα. Σχέδια μαθήματος." - Βόλγκογκραντ: "Δάσκαλος", 2013

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

2. Έλεγχος της εργασίας

3. Το θέμα του μαθήματος. Στόχοι και στόχοι του μαθήματος.

Μαθηματικά, φίλοι,

Το χρειάζονται απολύτως όλοι.

Δούλεψε σκληρά στην τάξη

Και η επιτυχία σας περιμένει!

4. Προφορική εργασία.

α) Επανάληψη των ιδιοτήτων ενός βαθμού με φυσικό δείκτη. Δόθηκε ένας πίνακας. Στην αριστερή στήλη, συμπληρώστε τις θέσεις που λείπουν, στη δεξιά - ολοκληρώστε τις εργασίες.

β) Εκτελώντας εργασίες για τον μετασχηματισμό εκφράσεων που περιέχουν βαθμούς, ο μαθητής έκανε τα ακόλουθα λάθη:(γράφοντας στον πίνακα)

1) α) ; σι) ;

σε) ; ΣΟΛ) ;

2) α) ; σι) ;

σε) ; ΣΟΛ) ;

3) α) ; σι) ;

σε) .

Ποιους ορισμούς, ιδιότητες, κανόνες δεν γνωρίζει ο μαθητής;

5. Προπονητικές ασκήσεις.

Νο. 447 - στον πίνακα και σε σημειωματάρια με λεπτομερή σχόλια, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των βαθμών.

Νο. 450 (α, γ) - στον πίνακα και σε σημειωματάρια.

Νο 445 - προφορικά.

6. Φυσικό λεπτό

Σηκώθηκε γρήγορα, χαμογέλασε,

Τραβήχτηκε ψηλότερα.

Λοιπόν, ίσιωσε τους ώμους σου

Ανέβασε, χαμήλωσε.

Στρίψτε δεξιά, στρίψτε αριστερά

Αγγίξτε τα χέρια σας με τα γόνατά σας.

Κάτσε, σήκω, κάτσε, σήκω

Και έτρεξαν επί τόπου.

Η νεολαία μαθαίνει μαζί σου

Αναπτύξτε τόσο τη θέληση όσο και την εφευρετικότητα.

7. Ατομική δοκιμαστική εργασία.

Κάθε μαθητής ολοκληρώνει εργασίες, συνοδεύονται από ένα κλειδί στο οποίο χρησιμοποιείται ολόκληρο το αλφάβητο για να αποκλείεται η μαντεία των απαντήσεων με γράμματα. Στην περίπτωση της σωστής απόφασης - η σωστή λέξη.

Οι εργασίες για κάθε σειρά είναι μεμονωμένες.

Κλειδί

Τα αποτελέσματα της εργασίας εμφανίζονται σε μια διαφάνεια για αυτοεξέταση:

Μαθηματικά

8. Περίληψη μαθήματος:

Σύνοψη του μαθήματος, βαθμολόγηση.

- Να αναφέρετε τις ιδιότητες του βαθμού με φυσικό εκθέτη.

Οι βαθμοί για το μάθημα θα καθοριστούν μετά από έλεγχο της εργασίας με τεστ, λαμβάνοντας υπόψη τις απαντήσεις όσων μαθητών απάντησαν κατά τη διάρκεια του μαθήματος.

Μαντέψτε το σταυρόλεξο

Κάθετα:

1. Διαιρεί
2. Στοιχειώδης φιγούρα στο αεροπλάνο
3. Αληθινή ισότητα
4. Ένα με εννιά μηδενικά
5. Στοιβάζεται με ένα παρόμοιο
6. Δύο στη δύναμη των τριών

Οριζόντια:

2. Αριθμός πλευρών σε ένα τρίγωνο

4. Άθροισμα μονωνύμων

5. Συνοψίστε

7. Τμήμα που συνδέει σημείο κύκλου με το κέντρο του

8. Έχει αριθμητή και παρονομαστή

9. Εργασία για το σπίτι:

Ο βαθμός ενός αριθμού α με φυσικό εκθέτη n ονομάζεται ____________ n ____________, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με α. 1. Εκφράστε το γινόμενο ως βαθμό: α). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; σι). (x-y)* (x-y) * (x-y) * (x-y) * ; 2. Αύξηση στην ισχύ: 3 4 ; (-0,2) 3 ; (2 /3) 2 Να ονομάσετε τη βάση και τον εκθέτη των γραπτών δυνάμεων. Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, το ___________ μένει το ίδιο και προστίθεται ___________. Κάντε τα εξής: a 4 * a 12; a 6 * a 9 * a; 3 2 * 3 3 Κατά τη διαίρεση των μοιρών με τις ίδιες βάσεις, ο ___________ μένει ίδιος και από τον αριθμητή __________ _________ __________ παρονομαστής. Ακολουθήστε αυτά τα βήματα: a 12: a 4; p 9: p 3: p; 3 5: 3 2 Όταν ανεβάζετε μια ισχύ σε μια ισχύ, η _______________ μένει η ίδια και η __________ πολλαπλασιάζεται. Ακολουθήστε αυτά τα βήματα: ; (m 3) 7 ; (k 4) 5 ; (4 2) 3 Κατά την αύξηση σε μια ισχύ, τα γινόμενα ανεβαίνουν σε αυτήν την ισχύ _____________ ____________ και τα αποτελέσματα πολλαπλασιάζονται. Εκτέλεση εκθέσεως: (-2 a 3 b 2) 5 ; (1 /3p 2 q 3) 3 Ισχύς μη μηδενικού a με εκθέτη ίσο Υπολογίστε: 3 x 0 με x = 2,6 Επαναλάβετε!

Καταιγισμός ιδεών

Σηκώθηκαν γρήγορα, χαμογέλασαν, τραβήχτηκαν όλο και πιο ψηλά. Λοιπόν, ίσιωσε τους ώμους σου, σήκωσε, χαμήλωσε. Γυρίστε προς τα δεξιά, στρίψτε προς τα αριστερά, Αγγίξτε τα χέρια σας με τα γόνατά σας. Κάθισαν, σηκώθηκαν, κάθισαν, σηκώθηκαν, Και έτρεξαν επί τόπου. Η νεολαία μαθαίνει μαζί σου Να αναπτύσσει τόσο τη θέληση όσο και την εφευρετικότητα.

Ατομική δοκιμαστική εργασία Αρ. p / p Εργασία 1 σειρά Αρ. p / p Εργασία 2 σειρά Αρ. p / p Εργασία 3 σειρά 1 m 3 * m 2 * m 8 1 a 4 * a 3 * a 2 1 a 4 * a * a 3 * a 2 p 20: p 17 2 (2 4) 5: (2 7) 2 2 (7x) 2 3 c 5: c 0 3 3 * 3 2 * 3 0 3 p * p 2 * p 0 4 (3a ) 3 4 (2y) 5 4 c * c 3 * c 5 m * m 5 * m 3 * m 0 5 (m 2) 4 * m 5 m * m 4 * (m 2) 2 * m 0 6 2 14 : 2 8 6 (2 3) 2 6 (2 3) 7: (2 5) 3 7 (-x) 3 * x 4 7 (-x 3) *(- x) 4 7 -x 3 * (-x ) 4 8 (p * p 3) : p 5 8 (p 2 * p 5) : p 4 * p 0 8 (p 2) 4: p 5 9 3 7 * (3 2) 3: 3 10 9 (3 5) 2*3 7:3 14 9 (3 4) 2*(3 2) 3:3 11

Ελεγξε τον εαυτό σου! Κλειδί! A B C D E F G I J m 9 32y 5 81 a 9 x 3 49x 2 m 5 p 4 c 5 27a 3 L M N O P R S T U V 64 3 4 p 3 27 2 5 x 7 p 6 m 3 m 13 a 8 X C W W Y 8 b 10y 5 9y 7 -x 7 a 2 32x 5 49y 3 I x 5

μαθηματικά

ΜΑΝΤΕΨΤΕ ΤΟ ΣΤΑΥΡΟΛΕΞΟ Κάθετα: 1. Διαιρεί το μέρισμα 2. Ένα στοιχειώδες σχήμα στο επίπεδο 3. Αληθινή ισότητα 4. Ένα με εννέα μηδενικά 5. Προστίθεται στα παρόμοια 6. Δύο στη δύναμη των τριών Οριζόντια: 2. Το αριθμός πλευρών σε ένα τρίγωνο 4. Τα μονώνυμα αθροίσματος 5. Συνοψίστε 7. Τμήμα που συνδέει σημείο κύκλου με το κέντρο του 8. Έχει αριθμητή και παρονομαστή

Περίληψη μαθήματος Βαθμολογία Εργασία Εργασίας Απαντήστε στις ερωτήσεις σελ. 101, Νο 450 (β, δ), Αρ. 534, Νο. 453.

Νωρίτερα μιλήσαμε για το τι είναι η δύναμη ενός αριθμού. Αυτή έχει ορισμένες ιδιότητες, χρήσιμο στην επίλυση προβλημάτων: θα τα αναλύσουμε και όλους τους πιθανούς εκθέτες σε αυτό το άρθρο. Θα δείξουμε επίσης με παραδείγματα πώς μπορούν να αποδειχθούν και να εφαρμοστούν σωστά στην πράξη.

Ας θυμηθούμε την έννοια του βαθμού με φυσικό εκθέτη που έχουμε ήδη διατυπώσει προηγουμένως: αυτή είναι το γινόμενο του nου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Πρέπει επίσης να θυμόμαστε πώς να πολλαπλασιάζουμε σωστά τους πραγματικούς αριθμούς. Όλα αυτά θα μας βοηθήσουν να διατυπώσουμε τις ακόλουθες ιδιότητες για ένα πτυχίο με φυσικό δείκτη:

Ορισμός 1

1. Η κύρια ιδιότητα του βαθμού: a m a n = a m + n

Μπορεί να γενικευτεί σε: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Η ιδιότητα πηλίκου για δυνάμεις που έχουν την ίδια βάση: a m: a n = a m − n

3. Ιδιότητα βαθμού προϊόντος: (a b) n = a n b n

Η ισότητα μπορεί να επεκταθεί σε: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

4. Ιδιότητα φυσικού βαθμού: (a: b) n = a n: b n

5. Ανεβάζουμε την ισχύ στην ισχύ: (a m) n = a m n ,

Μπορεί να γενικευτεί σε: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k

6. Συγκρίνετε το βαθμό με το μηδέν:

• Εάν a > 0, τότε για οποιοδήποτε φυσικό n, το a n θα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
• με ίσο με 0, ένα n θα είναι επίσης ίσο με μηδέν.
• για ένα< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• για ένα< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Ισότητα α ν< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Η ανίσωση a m > a n θα είναι αληθής με την προϋπόθεση ότι m και n είναι φυσικοί αριθμοί, ο m είναι μεγαλύτερος από n και ο a είναι μεγαλύτερος από το μηδέν και όχι μικρότερος από ένα.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε αρκετές ισότητες. εάν πληροίτε όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παραπάνω, τότε θα είναι πανομοιότυπες. Για καθεμία από τις ισότητες, για παράδειγμα, για την κύρια ιδιότητα, μπορείτε να ανταλλάξετε το δεξί και το αριστερό μέρος: a m · a n = a m + n - το ίδιο με το a m + n = a m · a n . Σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιείται συχνά κατά την απλοποίηση εκφράσεων.

1. Ας ξεκινήσουμε με την κύρια ιδιότητα του βαθμού: η ισότητα a m · a n = a m + n θα ισχύει για κάθε φυσικό m και n και πραγματικό a . Πώς να αποδείξετε αυτή τη δήλωση;

Ο βασικός ορισμός των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες θα μας επιτρέψει να μετατρέψουμε την ισότητα σε προϊόν παραγόντων. Θα λάβουμε μια καταχώριση όπως αυτή:

Αυτό μπορεί να συντομευτεί σε (θυμηθείτε τις βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού). Ως αποτέλεσμα, πήραμε το βαθμό του αριθμού a με φυσικό εκθέτη m + n. Έτσι, a m + n , που σημαίνει ότι αποδεικνύεται η κύρια ιδιότητα του βαθμού.

Ας αναλύσουμε συγκεκριμένο παράδειγμαεπιβεβαιώνοντας αυτό.

Παράδειγμα 1

Άρα έχουμε δύο δυνάμεις με βάση 2. Οι φυσικοί τους δείκτες είναι 2 και 3, αντίστοιχα. Πήραμε την ισότητα: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Ας υπολογίσουμε τις τιμές για να ελέγξουμε την ορθότητα αυτής της ισότητας.

Θα πραγματοποιήσουμε τα απαραίτητα μαθηματικές πράξεις: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 και 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Ως αποτέλεσμα, πήραμε: 2 2 2 3 = 2 5 . Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

Λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να γενικεύσουμε την ιδιότητα διατυπώνοντάς την ως τρία και περισσότεροδυνάμεις των οποίων οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί και των οποίων οι βάσεις είναι ίδιες. Αν συμβολίσουμε τον αριθμό των φυσικών αριθμών n 1, n 2 κ.λπ. με το γράμμα k, παίρνουμε τη σωστή ισότητα:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Παράδειγμα 2

2. Στη συνέχεια, πρέπει να αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα, η οποία ονομάζεται ιδιότητα πηλίκου και είναι εγγενής σε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις: αυτή είναι η ισότητα a m: a n = a m − n , η οποία ισχύει για κάθε φυσικό m και n (και m είναι μεγαλύτερο από n)) και κάθε μη μηδενικό πραγματικό a .

Αρχικά, ας εξηγήσουμε ποια ακριβώς είναι η έννοια των συνθηκών που αναφέρονται στη διατύπωση. Αν πάρουμε ένα ίσο με το μηδέν, τότε στο τέλος θα πάρουμε μια διαίρεση με το μηδέν, η οποία δεν μπορεί να γίνει (εξάλλου, 0 n = 0). Η προϋπόθεση ότι ο αριθμός m πρέπει να είναι μεγαλύτερος από n είναι απαραίτητη για να μπορούμε να μείνουμε εντός των φυσικών εκθετών: αφαιρώντας το n από το m, παίρνουμε έναν φυσικό αριθμό. Εάν δεν πληρούται η προϋπόθεση, θα πάρουμε αρνητικό αριθμό ή μηδέν και πάλι θα υπερβούμε τη μελέτη των πτυχίων με φυσικούς δείκτες.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην απόδειξη. Από τα προηγούμενα μελετημένα, υπενθυμίζουμε τις βασικές ιδιότητες των κλασμάτων και διατυπώνουμε την ισότητα ως εξής:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε: a m − n a n = a m

Θυμηθείτε τη σύνδεση μεταξύ διαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Από αυτό προκύπτει ότι a m − n είναι ένα πηλίκο των δυνάμεων a m και a n . Αυτή είναι η απόδειξη της ιδιότητας δεύτερου βαθμού.

Παράδειγμα 3

Αντικαταστήστε συγκεκριμένους αριθμούς για τη σαφήνεια στους δείκτες και υποδηλώστε τη βάση του βαθμού π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Στη συνέχεια, θα αναλύσουμε την ιδιότητα του βαθμού του γινομένου: (a · b) n = a n · b n για κάθε πραγματικό a και b και φυσικό n .

Σύμφωνα με τον βασικό ορισμό ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη, μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε την ισότητα ως εξής:

Θυμόμαστε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, γράφουμε: . Σημαίνει το ίδιο με ένα n · b n .

Παράδειγμα 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Αν έχουμε τρεις ή περισσότερους παράγοντες, τότε αυτή η ιδιότητα ισχύει και για αυτήν την περίπτωση. Εισάγουμε τον συμβολισμό k για τον αριθμό των παραγόντων και γράφουμε:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Παράδειγμα 5

Με συγκεκριμένους αριθμούς, παίρνουμε την ακόλουθη σωστή ισότητα: (2 (- 2 , 3) ​​α) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. Μετά από αυτό, θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε την ιδιότητα του πηλίκου: (a: b) n = a n: b n για κάθε πραγματικό a και b εάν το b δεν είναι ίσο με 0 και το n είναι φυσικός αριθμός.

Για την απόδειξη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη ιδιότητα πτυχίου. Αν (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , και (a: b) n b n = a n , τότε προκύπτει ότι (a: b) n είναι πηλίκο διαίρεσης του a n με το b n .

Παράδειγμα 6

Ας μετρήσουμε το παράδειγμα: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Παράδειγμα 7

Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα παράδειγμα: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Και τώρα διατυπώνουμε μια αλυσίδα ισοτήτων που θα μας αποδείξουν την ορθότητα της ισότητας:

Αν έχουμε βαθμούς μοιρών στο παράδειγμα, τότε αυτή η ιδιότητα ισχύει και για αυτούς. Αν έχουμε φυσικούς αριθμούς p, q, r, s, τότε θα ισχύει:

a p q y s = a p q y s

Παράδειγμα 8

Ας προσθέσουμε συγκεκριμένα: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Μια άλλη ιδιότητα των μοιρών με φυσικό εκθέτη που πρέπει να αποδείξουμε είναι η ιδιότητα σύγκρισης.

Αρχικά, ας συγκρίνουμε τον εκθέτη με το μηδέν. Γιατί a n > 0 με την προϋπόθεση ότι το a είναι μεγαλύτερο από 0;

Αν πολλαπλασιάσουμε έναν θετικό αριθμό με έναν άλλο, θα πάρουμε και έναν θετικό αριθμό. Γνωρίζοντας αυτό το γεγονός, μπορούμε να πούμε ότι αυτό δεν εξαρτάται από τον αριθμό των παραγόντων - το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε αριθμού θετικών αριθμών είναι ένας θετικός αριθμός. Και τι είναι ένας βαθμός, αν όχι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών; Τότε για οποιαδήποτε δύναμη a n με θετική βάση και φυσικό εκθέτη, αυτό θα ισχύει.

Παράδειγμα 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 και 34 9 13 51 > 0

Είναι επίσης προφανές ότι μια ισχύς με βάση ίση με μηδέν είναι η ίδια μηδέν. Σε όποια δύναμη ανεβάζουμε το μηδέν, έτσι θα παραμείνει.

Παράδειγμα 10

0 3 = 0 και 0 762 = 0

Εάν η βάση του βαθμού είναι αρνητικός αριθμός, τότε η απόδειξη είναι λίγο πιο περίπλοκη, αφού η έννοια του άρτιου / περιττού εκθέτη γίνεται σημαντική. Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση που ο εκθέτης είναι άρτιος και να τον συμβολίσουμε με 2 · m , όπου m είναι φυσικός αριθμός.

Ας θυμηθούμε πώς να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους αρνητικούς αριθμούς: το γινόμενο a · a είναι ίσο με το γινόμενο των μονάδων και, επομένως, θα είναι θετικός αριθμός. Επειτα και ο βαθμός a 2 · m είναι επίσης θετικοί.

Παράδειγμα 11

Για παράδειγμα, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 και - 2 9 6 > 0

Τι γίνεται αν ο εκθέτης με αρνητική βάση είναι περιττός αριθμός; Ας το συμβολίσουμε 2 · m − 1 .

Επειτα

Όλα τα γινόμενα a · a , σύμφωνα με τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, είναι θετικά, το ίδιο και το γινόμενο τους. Αλλά αν το πολλαπλασιάσουμε με τον μόνο αριθμό που απομένει a , τότε το τελικό αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Τότε παίρνουμε: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Πώς να το αποδείξετε;

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Παράδειγμα 12

Για παράδειγμα, οι ανισότητες είναι αληθείς: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Μένει να αποδείξουμε την τελευταία ιδιότητα: εάν έχουμε δύο μοίρες, οι βάσεις των οποίων είναι ίδιες και θετικές, και οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί, τότε ο ένας από αυτούς είναι μεγαλύτερος, ο εκθέτης του οποίου είναι μικρότερος. και δύο μοιρών με φυσικούς δείκτες και τις ίδιες βάσεις μεγαλύτερους του ενός, ο βαθμός είναι μεγαλύτερος, ο δείκτης του οποίου είναι μεγαλύτερος.

Ας αποδείξουμε αυτούς τους ισχυρισμούς.

Πρώτα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι ένα m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Βγάζουμε ένα n από αγκύλες, μετά το οποίο η διαφορά μας θα πάρει τη μορφή a n · (am − n − 1) . Το αποτέλεσμά του θα είναι αρνητικό (αφού το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ενός θετικού αριθμού με έναν αρνητικό είναι αρνητικό). Πράγματι, σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες, m − n > 0, τότε a m − n − 1 είναι αρνητικό και ο πρώτος παράγοντας είναι θετικός, όπως κάθε φυσική δύναμη με θετική βάση.

Αποδείχθηκε ότι a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Απομένει να αποδειχθεί το δεύτερο μέρος της δήλωσης που διατυπώθηκε παραπάνω: a m > a ισχύει για m > n και a > 1 . Δείχνουμε τη διαφορά και βγάζουμε ένα n από αγκύλες: (a m - n - 1) Η δύναμη ενός n με μεγαλύτερο από ένα θα δώσει θετικό αποτέλεσμα. και η ίδια η διαφορά θα αποδειχθεί επίσης θετική λόγω των αρχικών συνθηκών, και για a > 1 ο βαθμός του a m − n είναι μεγαλύτερος από ένα. Αποδεικνύεται ότι a m − a n > 0 και a m > a n , το οποίο έπρεπε να αποδείξουμε.

Παράδειγμα 13

Παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: 3 7 > 3 2

Βασικές ιδιότητες μοιρών με ακέραιους εκθέτες

Για βαθμούς με θετικούς ακέραιους εκθέτες, οι ιδιότητες θα είναι παρόμοιες, επειδή οι θετικοί ακέραιοι είναι φυσικοί, πράγμα που σημαίνει ότι όλες οι ισότητες που αποδείχθηκαν παραπάνω ισχύουν και για αυτούς. Είναι επίσης κατάλληλα για περιπτώσεις όπου οι εκθέτες είναι αρνητικοί ή ίσοι με μηδέν (με την προϋπόθεση ότι η βάση του ίδιου του βαθμού είναι μη μηδενική).

Έτσι, οι ιδιότητες των δυνάμεων είναι ίδιες για οποιεσδήποτε βάσεις a και b (με την προϋπόθεση ότι αυτοί οι αριθμοί είναι πραγματικοί και όχι ίσοι με 0) και για τυχόν εκθέτες m και n (υπό την προϋπόθεση ότι είναι ακέραιοι). Τα γράφουμε εν συντομία με τη μορφή τύπων:

Ορισμός 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (πμ) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n με θετικό ακέραιο n , θετικό a και b , a< b

7 π.μ< a n , при условии целых m и n , m >n και 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Αν η βάση του βαθμού είναι ίση με μηδέν, τότε τα λήμματα a m και a n έχουν νόημα μόνο στην περίπτωση των φυσικών και θετικών m και n. Ως αποτέλεσμα, διαπιστώνουμε ότι τα παραπάνω σκευάσματα είναι κατάλληλα και για περιπτώσεις με βαθμό με μηδενική βάση, εάν πληρούνται όλες οι άλλες προϋποθέσεις.

Οι αποδείξεις αυτών των ιδιοτήτων σε αυτή την περίπτωση είναι απλές. Θα πρέπει να θυμόμαστε τι είναι ένας βαθμός με φυσικό και ακέραιο εκθέτη, καθώς και τις ιδιότητες των ενεργειών με πραγματικούς αριθμούς.

Ας αναλύσουμε την ιδιότητα του βαθμού στο βαθμό και ας αποδείξουμε ότι ισχύει τόσο για θετικούς ακέραιους όσο και για μη θετικούς ακέραιους. Ξεκινάμε αποδεικνύοντας τις ισότητες (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) και (a − p) − q = a (− p) (−q)

Συνθήκες: p = 0 ή φυσικός αριθμός. q - ομοίως.

Εάν οι τιμές των p και q είναι μεγαλύτερες από 0, τότε παίρνουμε (a p) q = a p · q . Έχουμε ήδη αποδείξει μια παρόμοια ισότητα στο παρελθόν. Αν p = 0 τότε:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Επομένως, (a 0) q = a 0 q

Για q = 0 όλα είναι ακριβώς τα ίδια:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Αποτέλεσμα: (a p) 0 = a p 0 .

Εάν και οι δύο δείκτες είναι μηδέν, τότε (a 0) 0 = 1 0 = 1 και a 0 0 = a 0 = 1, τότε (a 0) 0 = a 0 0 .

Θυμηθείτε την ιδιότητα του πηλίκου στη δύναμη που αποδείχθηκε παραπάνω και γράψτε:

1 a p q = 1 q a p q

Αν 1 p = 1 1 … 1 = 1 και a p q = a p q , τότε 1 q a p q = 1 a p q

Μπορούμε να μετατρέψουμε αυτόν τον συμβολισμό βάσει των βασικών κανόνων πολλαπλασιασμού σε a (− p) · q .

Επίσης: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

ΚΑΙ (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Οι υπόλοιπες ιδιότητες του βαθμού μπορούν να αποδειχθούν με παρόμοιο τρόπο μετασχηματίζοντας τις υπάρχουσες ανισότητες. Δεν θα σταθούμε λεπτομερώς σε αυτό, θα αναφέρουμε μόνο τα δύσκολα σημεία.

Απόδειξη της προτελευταίας ιδιότητας: υπενθυμίζουμε ότι το a − n > b − n ισχύει για οποιεσδήποτε αρνητικές ακέραιες τιμές του n και κάθε θετικό a και b, με την προϋπόθεση ότι το a είναι μικρότερο από το b .

Τότε η ανισότητα μπορεί να μετατραπεί ως εξής:

1 a n > 1 b n

Γράφουμε το δεξί και το αριστερό μέρος ως διαφορά και κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Θυμηθείτε ότι στη συνθήκη a είναι μικρότερο από b , τότε, σύμφωνα με τον ορισμό του βαθμού με φυσικό εκθέτη: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

Το a n · b n καταλήγει να είναι θετικός αριθμός επειδή οι συντελεστές του είναι θετικοί. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα κλάσμα b n - a n a n · b n , το οποίο στο τέλος δίνει και ένα θετικό αποτέλεσμα. Εξ ου και 1 a n > 1 b n από όπου a − n > b − n , που έπρεπε να αποδείξουμε.

Η τελευταία ιδιότητα των μοιρών με ακέραιους εκθέτες αποδεικνύεται παρόμοια με την ιδιότητα των μοιρών με φυσικούς εκθέτες.

Βασικές ιδιότητες μοιρών με λογικούς εκθέτες

Σε προηγούμενα άρθρα, συζητήσαμε τι είναι ένας βαθμός με ορθολογικό (κλασματικό) εκθέτη. Οι ιδιότητές τους είναι ίδιες με αυτές των μοιρών με ακέραιους εκθέτες. Ας γράψουμε:

Ορισμός 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 για > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για ≥ 0 (δυνάμεις ιδιοτήτων προϊόντος με την ίδια βάση).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 εάν a > 0 (ιδιότητα πηλίκου).

3. a b m n = a m n b m n για a > 0 και b > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για a ≥ 0 και (ή) b ≥ 0 (ιδιότητα προϊόντος σε κλασματικό βαθμό).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n για a > 0 και b > 0, και αν m n > 0, τότε για a ≥ 0 και b > 0 (ιδιότητα ενός πηλίκου σε κλασματικό βαθμό).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 για > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για ≥ 0 (ιδιότητα βαθμού σε βαθμούς).

6.απ< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; αν σελ< 0 - a p >b p (η ιδιότητα της σύγκρισης βαθμών με ίσους ορθολογικούς εκθέτες).

7.απ< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q στο 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Για να αποδείξουμε αυτές τις δηλώσεις, πρέπει να θυμηθούμε τι πτυχίο κλασματικός δείκτης, ποιες είναι οι ιδιότητες μιας αριθμητικής ρίζας n ου βαθμού και ποιες οι ιδιότητες μιας μοίρας με ακέραιους εκθέτες. Ας ρίξουμε μια ματιά σε κάθε ακίνητο.

Σύμφωνα με το τι είναι ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη, παίρνουμε:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 και a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, επομένως, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Οι ιδιότητες της ρίζας θα μας επιτρέψουν να εξαγάγουμε ισότητες:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Από αυτό παίρνουμε: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Ας μεταμορφώσουμε:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Ο εκθέτης μπορεί να γραφτεί ως:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Αυτή είναι η απόδειξη. Η δεύτερη ιδιότητα αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Ας γράψουμε την αλυσίδα των ισοτήτων:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Αποδείξεις για τις υπόλοιπες ισότητες:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (α: β) m n = (α: β) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Επόμενη ιδιότητα: ας αποδείξουμε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των a και b μεγαλύτερες από 0 , εάν το a είναι μικρότερο από το b, θα εκτελεστεί ένα p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Ας αναπαραστήσουμε έναν ρητό αριθμό p ως m n . Σε αυτήν την περίπτωση, το m είναι ένας ακέραιος αριθμός, ο n είναι ένας φυσικός αριθμός. Τότε οι προϋποθέσεις σελ< 0 и p >0 θα επεκταθεί σε m< 0 и m >0 . Για m > 0 και a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών και παράγουμε: a m n< b m n

Λαμβάνοντας υπόψη τη θετικότητα των τιμών a και b, ξαναγράφουμε την ανισότητα ως m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Με τον ίδιο τρόπο, για το m< 0 имеем a a m >b m , παίρνουμε a m n > b m n άρα a m n > b m n και a p > b p .

Μένει να αποδείξουμε την τελευταία περιουσία. Ας αποδείξουμε ότι για τους ρητούς αριθμούς p και q, p > q για το 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 θα ήταν αληθές a p > a q .

Οι ορθολογικοί αριθμοί p και q μπορούν να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή και να πάρουν κλάσματα m 1 n και m 2 n

Εδώ τα m 1 και m 2 είναι ακέραιοι αριθμοί και το n είναι φυσικός αριθμός. Αν p > q, τότε m 1 > m 2 (λαμβάνοντας υπόψη τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων). Μετά στο 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – ανισότητα a 1 m > a 2 m .

Μπορούν να ξαναγραφτούν με την ακόλουθη μορφή:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Στη συνέχεια, μπορείτε να κάνετε μετασχηματισμούς και να έχετε ως αποτέλεσμα:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Συνοψίζοντας: για p > q και 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Βασικές ιδιότητες μοιρών με παράλογους εκθέτες

Όλες οι ιδιότητες που περιγράφηκαν παραπάνω που διαθέτει ένας βαθμός με λογικούς εκθέτες μπορούν να επεκταθούν σε τέτοιο βαθμό. Αυτό προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό του, τον οποίο δώσαμε σε ένα από τα προηγούμενα άρθρα. Ας διατυπώσουμε εν συντομία αυτές τις ιδιότητες (συνθήκες: a > 0 , b > 0 , οι δείκτες p και q είναι παράλογοι αριθμοί):

Ορισμός 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (α β) p = a p b p

4. (α: β) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.απ< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.απ< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , μετά a p > a q .

Έτσι, όλες οι δυνάμεις των οποίων οι εκθέτες p και q είναι πραγματικοί αριθμοί, με την προϋπόθεση ότι a > 0, έχουν τις ίδιες ιδιότητες.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αφού καθοριστεί ο βαθμός του αριθμού, είναι λογικό να μιλάμε ιδιότητες βαθμού. Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε τις βασικές ιδιότητες του βαθμού ενός αριθμού, ενώ θα αγγίξουμε όλους τους πιθανούς εκθέτες. Εδώ θα δώσουμε αποδείξεις για όλες τις ιδιότητες του βαθμού και θα δείξουμε επίσης πώς εφαρμόζονται αυτές οι ιδιότητες κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ιδιότητες βαθμών με φυσικούς δείκτες

Εξ ορισμού μιας δύναμης με φυσικό εκθέτη, η ισχύς ενός n είναι το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a . Με βάση αυτόν τον ορισμό και χρησιμοποιώντας ιδιότητες πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών, μπορούμε να αποκτήσουμε και να δικαιολογήσουμε τα ακόλουθα ιδιότητες βαθμού με φυσικό εκθέτη:

1. η κύρια ιδιότητα του βαθμού a m ·a n =a m+n , η γενίκευσή του ;
2. την ιδιότητα των μερικών δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις a m:a n =a m−n ;
3. ιδιότητα βαθμού προϊόντος (a b) n =a n b n , η επέκτασή του ;
4. ιδιότητα πηλίκου σε είδος (a:b) n =a n:b n ;
5. εκθετικότητα (a m) n =a m n , η γενίκευσή του (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. συγκρίνοντας το βαθμό με το μηδέν:
   • αν a>0 , τότε a n >0 για οποιοδήποτε φυσικό n ;
   • αν a=0 , τότε a n =0 ;
   • αν ένα<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 αν α<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. αν τα α και β είναι θετικοί αριθμοί και ο α
8. αν m και n είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε m>n , τότε στο 0 0 η ανισότητα a m >a n είναι αληθής.

Σημειώνουμε αμέσως ότι όλες οι γραπτές ισότητες είναι πανομοιότυπουπό τις καθορισμένες συνθήκες και το δεξί και το αριστερό τους τμήμα μπορούν να εναλλάσσονται. Για παράδειγμα, η κύρια ιδιότητα του κλάσματος a m a n = a m + n με απλοποίηση των εκφράσεωνχρησιμοποιείται συχνά με τη μορφή a m+n = a m a n .

Τώρα ας δούμε κάθε ένα από αυτά λεπτομερώς.

Ας ξεκινήσουμε με την ιδιότητα του γινομένου δύο δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, που λέγεται η κύρια ιδιότητα του πτυχίου: για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a και οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς m και n, η ισότητα a m ·a n =a m+n είναι αληθής.

Ας αποδείξουμε την κύρια ιδιότητα του πτυχίου. Με τον ορισμό ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη, το γινόμενο των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις της μορφής a m a n μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο. Λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού, η παράσταση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως , και αυτό το γινόμενο είναι η ισχύς του a με φυσικό εκθέτη m+n , δηλαδή a m+n . Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα που επιβεβαιώνει την κύρια ιδιότητα του πτυχίου. Ας πάρουμε μοίρες με τις ίδιες βάσεις 2 και φυσικές δυνάμεις 2 και 3, σύμφωνα με την κύρια ιδιότητα του βαθμού, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Ας ελέγξουμε την εγκυρότητά του, για την οποία υπολογίζουμε τις τιμές των παραστάσεων 2 2 · 2 3 και 2 5 . Εκτελώντας εκθετική ικανότητα, έχουμε 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32και 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, αφού λαμβάνονται ίσες τιμές, τότε η ισότητα 2 2 2 3 \u003d 2 5 είναι σωστή και επιβεβαιώνει την κύρια ιδιότητα του βαθμού.

Η κύρια ιδιότητα ενός βαθμού που βασίζεται στις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο τριών ή περισσότερων δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις και φυσικούς εκθέτες. Άρα για οποιονδήποτε αριθμό k φυσικών αριθμών n 1 , n 2 , …, n k η ισότητα a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Για παράδειγμα, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Μπορείτε να προχωρήσετε στην επόμενη ιδιότητα των μοιρών με έναν φυσικό δείκτη - την ιδιότητα των μερικών εξουσιών με τις ίδιες βάσεις: για κάθε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό a και αυθαίρετους φυσικούς αριθμούς m και n που ικανοποιούν τη συνθήκη m>n , η ισότητα a m:a n =a m−n είναι αληθής.

Πριν δώσουμε την απόδειξη αυτής της ιδιότητας, ας συζητήσουμε την έννοια των πρόσθετων προϋποθέσεων στη δήλωση. Η συνθήκη a≠0 είναι απαραίτητη για να αποφευχθεί η διαίρεση με το μηδέν, αφού 0 n =0, και όταν γνωρίσαμε τη διαίρεση, συμφωνήσαμε ότι είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν. Εισάγεται η συνθήκη m>n για να μην υπερβούμε τους φυσικούς εκθέτες. Πράγματι, για m>n ο εκθέτης a m−n είναι φυσικός αριθμός, διαφορετικά θα είναι είτε μηδέν (που συμβαίνει για m−n ) είτε αρνητικός αριθμός (που συμβαίνει για m

Απόδειξη. Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Από την ισότητα που προκύπτει a m−n ·a n =a m και από αυτήν προκύπτει ότι το m−n είναι πηλίκο δυνάμεων των a m και a n . Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα των μερικών εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε δύο μοίρες με τις ίδιες βάσεις π και τους φυσικούς εκθέτες 5 και 2, η θεωρούμενη ιδιότητα του βαθμού αντιστοιχεί στην ισότητα π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Τώρα σκεφτείτε ιδιότητα βαθμού προϊόντος: ο φυσικός βαθμός n του γινομένου οποιωνδήποτε δύο πραγματικών αριθμών a και b είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών a n και b n , δηλαδή (a b) n =a n b n .

Πράγματι, εξ ορισμού βαθμός με φυσικό εκθέτη, έχουμε . Το τελευταίο γινόμενο, με βάση τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, μπορεί να ξαναγραφτεί ως , που ισούται με a n b n .

Εδώ είναι ένα παράδειγμα: .

Αυτή η ιδιότητα εκτείνεται στο βαθμό του γινομένου τριών ή περισσότερων παραγόντων. Δηλαδή, η φυσική ιδιότητα ισχύος n του γινομένου των k παραγόντων γράφεται ως (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Για λόγους σαφήνειας, δείχνουμε αυτήν την ιδιότητα με ένα παράδειγμα. Για το γινόμενο τριών παραγόντων στη δύναμη του 7, έχουμε .

Το επόμενο ακίνητο είναι φυσική ιδιοκτησία: το πηλίκο των πραγματικών αριθμών a και b , b≠0 στη φυσική δύναμη n ισούται με το πηλίκο των δυνάμεων a n και b n , δηλαδή (a:b) n =a n:b n .

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ιδιότητα. Έτσι (α:β) n b n =((α:β) β) n =a n, και η ισότητα (a:b) n b n =a n υποδηλώνει ότι (a:b) n είναι το πηλίκο του a n διαιρούμενο με το b n .

Ας γράψουμε αυτήν την ιδιότητα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα συγκεκριμένων αριθμών: .

Τώρα ας φωνάξουμε ιδιότητα εκθέσεως: για κάθε πραγματικό αριθμό a και οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς m και n, η ισχύς του a m στη δύναμη του n είναι ίση με τη δύναμη του a με εκθέτη m·n , δηλαδή (a m) n =a m·n .

Για παράδειγμα, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Η απόδειξη της ιδιότητας ισχύος σε ένα βαθμό είναι η ακόλουθη αλυσίδα ισοτήτων: .

Η εξεταζόμενη ιδιότητα μπορεί να επεκταθεί σε βαθμό εντός βαθμού και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς p, q, r και s, η ισότητα . Για μεγαλύτερη σαφήνεια, ακολουθεί ένα παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Μένει να σταθούμε στις ιδιότητες της σύγκρισης βαθμών με έναν φυσικό εκθέτη.

Ξεκινάμε αποδεικνύοντας την ιδιότητα σύγκρισης του μηδενός και της ισχύος με έναν φυσικό εκθέτη.

Αρχικά, ας δικαιολογήσουμε ότι a n >0 για οποιοδήποτε a>0 .

Το γινόμενο δύο θετικών αριθμών είναι ένας θετικός αριθμός, όπως προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού. Αυτό το γεγονός και οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μας επιτρέπουν να ισχυριστούμε ότι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε αριθμού θετικών αριθμών θα είναι επίσης ένας θετικός αριθμός. Και η ισχύς του a με φυσικό εκθέτη n είναι, εξ ορισμού, το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Αυτά τα επιχειρήματα μας επιτρέπουν να ισχυριστούμε ότι για κάθε θετική βάση a ο βαθμός του a n είναι θετικός αριθμός. Δυνάμει της αποδεδειγμένης ιδιότητας 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 και .

Είναι προφανές ότι για κάθε φυσικό n με a=0 ο βαθμός του a n είναι μηδέν. Πράγματι, 0 n =0·0·…·0=0 . Για παράδειγμα, 0 3 =0 και 0 762 =0 .

Ας περάσουμε σε αρνητικές βάσεις.

Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση όταν ο εκθέτης είναι άρτιος αριθμός, συμβολίστε τον ως 2 m , όπου m είναι φυσικός αριθμός. Επειτα . Για καθένα από τα γινόμενα της μορφής a·a ισούται με το γινόμενο των ενοτήτων των αριθμών a και το a, επομένως, είναι θετικός αριθμός. Επομένως, το προϊόν θα είναι επίσης θετικό. και βαθμό α 2 m . Ακολουθούν παραδείγματα: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 και .

Τέλος, όταν η βάση του a είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης είναι περιττός αριθμός 2 m−1, τότε . Όλα τα γινόμενα a·a είναι θετικοί αριθμοί, το γινόμενο αυτών των θετικών αριθμών είναι επίσης θετικό, και ο πολλαπλασιασμός του με τον υπόλοιπο αρνητικό αριθμό a έχει ως αποτέλεσμα αρνητικό αριθμό. Λόγω αυτής της ιδιότητας (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Ανατρέχουμε στην ιδιότητα της σύγκρισης μοιρών με τους ίδιους φυσικούς εκθέτες, η οποία έχει την εξής διατύπωση: δύο μοιρών με τους ίδιους φυσικούς εκθέτες, το n είναι μικρότερο από εκείνον του οποίου η βάση είναι μικρότερη και περισσότερο από εκείνον του οποίου η βάση είναι μεγαλύτερη. Ας το αποδείξουμε.

Ανισότητα a n ιδιότητες των ανισοτήτωνη ανισότητα που αποδεικνύεται του τύπου a n (2,2) 7 και .

Μένει να αποδειχθεί η τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες. Ας το διατυπώσουμε. Από τους δύο βαθμούς με φυσικούς δείκτες και τις ίδιες θετικές βάσεις, μικρότερος από έναν, ο βαθμός είναι μεγαλύτερος, ο δείκτης του οποίου είναι μικρότερος. και δύο μοιρών με φυσικούς δείκτες και τις ίδιες βάσεις μεγαλύτερους του ενός, ο βαθμός είναι μεγαλύτερος, ο δείκτης του οποίου είναι μεγαλύτερος. Στρέφουμε στην απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

Ας αποδείξουμε ότι για m>n και 0 0 λόγω της αρχικής συνθήκης m>n , από όπου προκύπτει ότι στο 0

Μένει να αποδειχθεί το δεύτερο μέρος του ακινήτου. Ας αποδείξουμε ότι για m>n και a>1, a m >a n είναι αληθές. Η διαφορά a m −a n μετά την αφαίρεση του n από αγκύλες παίρνει τη μορφή a n ·(a m−n −1) . Αυτό το γινόμενο είναι θετικό, αφού για a>1 ο βαθμός του a n είναι θετικός αριθμός και η διαφορά a m−n −1 είναι θετικός αριθμός, αφού m−n>0 λόγω της αρχικής συνθήκης, και για a>1, ο βαθμός ενός m−n είναι μεγαλύτερος από ένα . Επομένως, a m − a n >0 και a m >a n , που έπρεπε να αποδειχθεί. Αυτή η ιδιότητα απεικονίζεται από την ανισότητα 3 7 >3 2 .

Ιδιότητες μοιρών με ακέραιους εκθέτες

Εφόσον οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί, τότε όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με θετικούς ακέραιους εκθέτες συμπίπτουν ακριβώς με τις ιδιότητες των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες που αναφέρονται και αποδείχθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο.

Τον βαθμό με αρνητικό ακέραιο εκθέτη, καθώς και τον βαθμό με μηδενικό εκθέτη, ορίσαμε με τέτοιο τρόπο ώστε όλες οι ιδιότητες των μοιρών με φυσικούς εκθέτες που εκφράζονται με ισότητες να παραμένουν έγκυρες. Επομένως, όλες αυτές οι ιδιότητες ισχύουν τόσο για μηδενικούς εκθέτες όσο και για αρνητικούς εκθέτες, ενώ, φυσικά, οι βάσεις των μοιρών είναι μη μηδενικές.

Άρα, για οποιουσδήποτε πραγματικούς και μη μηδενικούς αριθμούς a και b, καθώς και για οποιονδήποτε ακέραιο m και n, ισχύουν τα ακόλουθα ιδιότητες μοιρών με ακέραιους εκθέτες:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a β) n = a n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n ;
6. αν το n είναι θετικός ακέραιος, ο a και ο b είναι θετικοί αριθμοί και ο a b-n;
7. αν m και n είναι ακέραιοι, και m>n , τότε στο 0 1 πληρούται η ανίσωση a m >a n.

Για a=0, οι δυνάμεις a m και a n έχουν νόημα μόνο όταν και οι δύο m και n είναι θετικοί ακέραιοι, δηλαδή φυσικοί αριθμοί. Έτσι, οι ιδιότητες που μόλις γράφτηκαν ισχύουν και για τις περιπτώσεις που a=0 και οι αριθμοί m και n είναι θετικοί ακέραιοι.

Δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε καθεμία από αυτές τις ιδιότητες, για αυτό αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τους ορισμούς του βαθμού με φυσικό και ακέραιο εκθέτη, καθώς και τις ιδιότητες των ενεργειών με πραγματικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε ότι η ιδιότητα ισχύος ισχύει τόσο για θετικούς ακέραιους όσο και για μη θετικούς ακέραιους. Για να γίνει αυτό, πρέπει να δείξουμε ότι αν το p είναι μηδέν ή ένας φυσικός αριθμός και το q είναι μηδέν ή ένας φυσικός αριθμός, τότε οι ισότητες (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) και (a−p)−q =a (−p) (−q). Ας το κάνουμε.

Για τα θετικά p και q, η ισότητα (a p) q =a p·q αποδείχθηκε στην προηγούμενη υποενότητα. Αν p=0 , τότε έχουμε (a 0) q =1 q =1 και a 0 q =a 0 =1 , από όπου (a 0) q =a 0 q . Ομοίως, αν q=0 , τότε (a p) 0 =1 και a p 0 =a 0 =1 , από όπου (a p) 0 =a p 0 . Αν και τα δύο p=0 και q=0 , τότε (a 0) 0 =1 0 =1 και a 0 0 =a 0 =1 , από όπου (a 0) 0 =a 0 0 .

Ας αποδείξουμε τώρα ότι (a −p) q =a (−p) q . Εξ ορισμού ενός βαθμού με αρνητικό ακέραιο εκθέτη, τότε . Με την ιδιότητα του πηλίκου στον βαθμό, έχουμε . Αφού 1 p =1·1·…·1=1 και , τότε . Η τελευταία έκφραση είναι, εξ ορισμού, μια δύναμη της μορφής a −(p q) , η οποία, δυνάμει των κανόνων πολλαπλασιασμού, μπορεί να γραφτεί ως (−p) q .

Ομοίως .

Και .

Με την ίδια αρχή, μπορεί κανείς να αποδείξει όλες τις άλλες ιδιότητες ενός βαθμού με έναν ακέραιο εκθέτη, γραμμένο με τη μορφή ισοτήτων.

Στην προτελευταία από τις ιδιότητες που έχουν καταγραφεί, αξίζει να σταθούμε στην απόδειξη της ανισότητας a −n >b −n , η οποία ισχύει για κάθε αρνητικό ακέραιο −n και κάθε θετικό a και b για τον οποίο η συνθήκη a . Εφόσον από την προϋπόθεση α 0 . Το γινόμενο a n ·b n είναι επίσης θετικό ως το γινόμενο των θετικών αριθμών a n και b n . Τότε το κλάσμα που προκύπτει είναι θετικό ως πηλίκο θετικών αριθμών b n − a n και a n b n . Ως εκ τούτου, από όπου ένα −n >b −n , το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Η τελευταία ιδιότητα των μοιρών με ακέραιους εκθέτες αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο όπως η ανάλογη ιδιότητα των μοιρών με φυσικούς εκθέτες.

Ιδιότητες δυνάμεων με λογικούς εκθέτες

Ορίσαμε τον βαθμό με κλασματικό εκθέτη επεκτείνοντας τις ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη σε αυτόν. Με άλλα λόγια, οι μοίρες με κλασματικούς εκθέτες έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τις μοίρες με ακέραιους εκθέτες. Και συγκεκριμένα:

Η απόδειξη των ιδιοτήτων των μοιρών με κλασματικούς εκθέτες βασίζεται στον ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, επί και επί των ιδιοτήτων ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη. Ας δώσουμε απόδειξη.

Εξ ορισμού του βαθμού με κλασματικό εκθέτη και , τότε . Οι ιδιότητες της αριθμητικής ρίζας μας επιτρέπουν να γράψουμε τις παρακάτω ισότητες. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του βαθμού με έναν ακέραιο εκθέτη, λαμβάνουμε , από όπου, με τον ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, έχουμε , και ο εκθέτης του βαθμού που προκύπτει μπορεί να μετατραπεί ως εξής: . Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη.

Η δεύτερη ιδιότητα των δυνάμεων με κλασματικούς εκθέτες αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο:

Οι υπόλοιπες ισότητες αποδεικνύονται από παρόμοιες αρχές:

Περνάμε στην απόδειξη της επόμενης ιδιοκτησίας. Ας αποδείξουμε ότι για κάθε θετικό a και b , a β σελ . Γράφουμε τον ρητό αριθμό p ως m/n , όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός. Προϋποθέσεις σελ<0 и p>Το 0 σε αυτή την περίπτωση θα είναι ισοδύναμο με τις συνθήκες m<0 и m>0 αντίστοιχα. Για m>0 και α

Ομοίως, για m<0 имеем a m >b m , από όπου , δηλαδή, και a p >b p .

Μένει να αποδείξουμε το τελευταίο από τα αναγραφόμενα ακίνητα. Ας αποδείξουμε ότι για τους ρητούς αριθμούς p και q, p>q για το 0 0 – ανισότητα a p >a q . Μπορούμε πάντα να ανάγουμε τους ρητούς αριθμούς p και q σε έναν κοινό παρονομαστή, ας πάρουμε συνηθισμένα κλάσματα και, όπου m 1 και m 2 είναι ακέραιοι, και n είναι ένας φυσικός αριθμός. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνθήκη p>q θα αντιστοιχεί στη συνθήκη m 1 >m 2, η οποία προκύπτει από . Στη συνέχεια, με την ιδιότητα της σύγκρισης δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις και φυσικούς εκθέτες στο 0 1 – ανισότητα a m 1 >a m 2 . Αυτές οι ανισότητες ως προς τις ιδιότητες των ριζών μπορούν να ξαναγραφτούν, αντίστοιχα, όπως και . Και ο ορισμός ενός βαθμού με λογικό εκθέτη μας επιτρέπει να περάσουμε στις ανισότητες και, αντίστοιχα. Από αυτό βγάζουμε το τελικό συμπέρασμα: για p>q και 0 0 – ανισότητα a p >a q .

Ιδιότητες μοιρών με παράλογους εκθέτες

Από το πώς ορίζεται ένας βαθμός με παράλογο εκθέτη, συνάγεται το συμπέρασμα ότι έχει όλες τις ιδιότητες των μοιρών με λογικούς εκθέτες. Άρα για οποιουσδήποτε αριθμούς a>0 , b>0 και άρρητους αριθμούς p και q ισχύουν τα ακόλουθα ιδιότητες μοιρών με παράλογους εκθέτες:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (α β) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. για τυχόν θετικούς αριθμούς a και b , a 0 η ανισότητα a p b p ;
7. για άρρητους αριθμούς p και q, p>q στο 0 0 – ανισότητα a p >a q .

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι δυνάμεις με οποιουσδήποτε πραγματικούς εκθέτες p και q για a>0 έχουν τις ίδιες ιδιότητες.

Βιβλιογραφία.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά Zh εγχειρίδιο για 5 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για 7 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για 8 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για 9 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές).

Τεχνολογικός χάρτης του μαθήματος

7η τάξη Μάθημα #38

Θέμα: Πτυχίο με φυσικό δείκτη

1. Παροχή επανάληψης, γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης για το θέμα, ενοποίηση και βελτίωση των δεξιοτήτων των απλούστερων μετασχηματισμών εκφράσεων που περιέχουν βαθμούς με φυσικό δείκτη, δημιουργία συνθηκών για την παρακολούθηση της αφομοίωσης γνώσεων και δεξιοτήτων.

2. Συμβολή στον σχηματισμό δεξιοτήτων για την εφαρμογή των μεθόδων γενίκευσης, σύγκρισης, επισήμανσης του κύριου πράγματος, προώθηση της εκπαίδευσης ενδιαφέροντος για τη μεταφορά γνώσης σε μια νέα κατάσταση, την ανάπτυξη μαθηματικών οριζόντων, ομιλίας, προσοχής και μνήμης, ανάπτυξη εκπαιδευτική και γνωστική δραστηριότητα·

3. Να προωθήσουν την εκπαίδευση ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά, τη δραστηριότητα, την οργάνωση, να καλλιεργήσουν τις δεξιότητες αμοιβαίου και αυτοελέγχου των δραστηριοτήτων τους, να σχηματίσουν ένα θετικό κίνητρο για μάθηση, μια κουλτούρα επικοινωνίας.

Βασικές έννοιες του μαθήματος

Βαθμός, βάση μιας μοίρας, εκθέτης, ιδιότητες μιας μοίρας, γινόμενο μιας μοίρας, διαίρεση μοιρών, αύξηση μιας μοίρας σε μια δύναμη.

Προγραμματισμένο αποτέλεσμα

Θα μάθουν να λειτουργούν με την έννοια του Πτυχίου, θα κατανοούν την έννοια της γραφής ενός αριθμού ως βαθμίδα, θα εκτελούν απλούς μετασχηματισμούς εκφράσεων που περιέχουν βαθμούς με φυσικό εκθέτη.

Θα έχουν την ευκαιρία να μάθουν πώς να εκτελούν μετασχηματισμούς ακέραιων εκφράσεων που περιέχουν βαθμό με φυσικό εκθέτη

Δεξιότητες αντικειμένου, UUD

Προσωπικό UUD:

την ικανότητα αυτοαξιολόγησης με βάση το κριτήριο επιτυχίας των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων.

Γνωστική UUD:

την ικανότητα να πλοηγούνται στο σύστημα γνώσεων και δεξιοτήτων τους: να διακρίνουν το νέο από το ήδη γνωστό με τη βοήθεια ενός δασκάλου. βρείτε απαντήσεις σε ερωτήσεις χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες που μάθαμε στο μάθημα.

Γενίκευση και συστηματοποίηση εκπαιδευτικού υλικού, λειτουργία με συμβολική καταγραφή του πτυχίου, αντικαταστάσεις, αναπαραγωγή από τη μνήμη των απαραίτητων πληροφοριών για την επίλυση του εκπαιδευτικού προβλήματος

UUD θέματος:

Εφαρμογή ιδιοτήτων βαθμού στον μετασχηματισμό παραστάσεων που περιέχουν δυνάμεις με φυσικό εκθέτη

Ρυθμιστικό UUD:

Η ικανότητα προσδιορισμού και διαμόρφωσης του στόχου στο μάθημα με τη βοήθεια ενός δασκάλου. αξιολογήστε την εργασία σας στην τάξη.Να ασκεί αμοιβαίο έλεγχο και αυτοέλεγχο στην εκτέλεση των καθηκόντων

Επικοινωνιακό UUD:
Να είστε σε θέση να διατυπώνετε τις σκέψεις σας προφορικά και γραπτά, να ακούτε και να κατανοείτε την ομιλία των άλλων

Σχέσεις μετα-υποκειμένου

Φυσική, αστρονομία, ιατρική, καθημερινή ζωή

Τύπος μαθήματος

Επαναλήψεις, γενικεύσεις και εφαρμογή γνώσεων και δεξιοτήτων.

Μορφές εργασίας και μέθοδοι εργασίας

Μετωπικό, χαμάμ, ατομικό. Επεξηγηματικά - επεξηγηματικά, λεκτικά, προβληματική κατάσταση, εργαστήριο, αμοιβαία επαλήθευση, έλεγχος

Υποστήριξη πόρων

Συστατικά διδακτικού υλικού Makarycheva Σχολικό βιβλίο, προβολέας, οθόνη, υπολογιστής, παρουσίαση, εργασίες για μαθητές, φύλλα αυτοαξιολόγησης

Τεχνολογίες που χρησιμοποιούνται στην προπόνηση

Τεχνολογία σημασιολογικής ανάγνωσης, μάθηση με βάση το πρόβλημα, ατομική και διαφοροποιημένη προσέγγιση, ΤΠΕ

Παρακινήστε τους μαθητές να εργαστούν, κινητοποιήστε την προσοχή

Καλησπέρα παιδιά. Καλησπέρα, αγαπητοί συνάδελφοι! Χαιρετίζω όλους όσους έχουν μαζευτεί στη σημερινή ανοιχτό μάθημα. Παιδιά, θέλω να σας ευχηθώ γόνιμη δουλειά στο μάθημα, εξετάστε προσεκτικά τις απαντήσεις στις ερωτήσεις που τέθηκαν, αφιερώστε χρόνο, μην διακόπτετε, σεβαστείτε τους συμμαθητές σας και τις απαντήσεις τους. Και εύχομαι να έχετε όλοι μόνο καλούς βαθμούς. Καλή σου τύχη!

Περιλαμβάνεται στον επιχειρηματικό ρυθμό του μαθήματος

Ελέγχουν τη διαθεσιμότητα όλων των απαραίτητων για εργασία στο μάθημα, την ακρίβεια της θέσης των Αντικειμένων. Ικανότητα οργάνωσης, συντονισμού στη δουλειά.

2. Πραγματοποίηση βασικών γνώσεων και είσοδος στο θέμα του μαθήματος

3. Προφορική εργασία

Παιδιά, ο καθένας από εσάς έχει φύλλα βαθμολογίας στο γραφείο σας.Πάνω σε αυτά θα αξιολογήσετε τη δουλειά σας στο μάθημα.Σήμερα στο μάθημα σας δίνεται η ευκαιρία να λάβετε όχι έναν, αλλά δύο βαθμούς: για εργασία στο μάθημα και για ανεξάρτητη εργασία.
Οι σωστές, πλήρεις απαντήσεις σας θα βαθμολογηθούν επίσης με "+", αλλά θα βάλω αυτό το σημάδι σε άλλη στήλη.

Στην οθόνη βλέπετε παζλ στα οποία είναι κρυπτογραφημένες οι λέξεις-κλειδιά του σημερινού μαθήματος. Λύστε τα. (Διαφάνεια 1)

βαθμός

επανάληψη

γενίκευση

Παιδιά, μαντέψατε σωστά τα παζλ. Αυτές οι λέξεις είναι βαθμός, επανάληψη και γενίκευση. Και τώρα, χρησιμοποιώντας τις μαντευμένες λέξεις - υποδείξεις, διατυπώστε το θέμα του σημερινού μαθήματος.

Σωστά. Ανοίξτε τετράδια και σημειώστε τον αριθμό και το θέμα του μαθήματος «Επανάληψη και γενίκευση στο θέμα «Ιδιότητες βαθμού με φυσικό δείκτη» (Διαφάνεια 2)

Έχουμε καθορίσει το θέμα του μαθήματος, αλλά τι πιστεύετε, τι θα κάνουμε στο μάθημα, τι στόχους θα βάλουμε στον εαυτό μας; (Διαφάνεια 3)

Επαναλαμβάνουμε και γενικεύουμε τις γνώσεις μας πάνω σε αυτό το θέμα, συμπληρώνουμε τα κενά, προετοιμαστούμε για τη μελέτη του επόμενου θέματος «Μονοονομικά».

Παιδιά, οι ιδιότητες ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά κατά την εύρεση των τιμών των εκφράσεων, κατά τη μετατροπή παραστάσεων. Η ταχύτητα των υπολογισμών και των μετασχηματισμών που σχετίζονται με τις ιδιότητες ενός βαθμού με φυσικό δείκτη υπαγορεύεται επίσης από την εισαγωγή του USE.

Έτσι, σήμερα θα εξετάσουμε και θα συνοψίσουμε τις γνώσεις και τις δεξιότητές σας σε αυτό το θέμα. Προφορικά, πρέπει να λύσετε μια σειρά προβλημάτων και να θυμάστε τη λεκτική ομαδοποίηση των ιδιοτήτων και τους ορισμούς του βαθμού με έναν φυσικό δείκτη.

Επιγραφ στο μάθημα των λόγων του μεγάλου Ρώσου επιστήμονα M.V. Lomonosov "Ας προσπαθήσει κάποιος να διαγράψει πτυχία από τα μαθηματικά και θα δει ότι χωρίς αυτά δεν θα πάτε μακριά"

(Διαφάνεια 4)

Πιστεύετε ότι ο επιστήμονας έχει δίκιο;

Γιατί χρειαζόμαστε πτυχία;

Πού χρησιμοποιούνται ευρέως; (στη φυσική, αστρονομία, ιατρική)

Έτσι είναι, και τώρα ας επαναλάβουμε, τι είναι πτυχίο;

Ποια είναι τα ονόματα των α καιnστο ρεκόρ πτυχίου;

Ποιες ενέργειες μπορούν να γίνουν με πτυχία; (Διαφάνειες 5-11)

Και τώρα ας το συνοψίσουμε. Έχετε φύλλα εργασίας στο γραφείο σας; .

1. Αριστερά είναι οι αρχές των ορισμών, δεξιά οι καταλήξεις των ορισμών. Συνδέστε τις σωστές προτάσεις με γραμμές (Διαφάνεια 12)

Συνδέστε τα αντίστοιχα μέρη του ορισμού με γραμμές.

α) Όταν πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με την ίδια βάση...

1) βασικό πτυχίο

β) Κατά τη διαίρεση δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις ....

2) Εκθέτης

γ) Καλείται ο αριθμός α

3) το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a.

δ) Όταν ανεβάζετε μια δύναμη σε δύναμη...

4) ... η βάση παραμένει η ίδια και οι δείκτες αθροίζονται.

ε) Η ισχύς ενός αριθμού α με φυσικό εκθέτη n μεγαλύτερο από 1 λέγεται

5) ... η βάση παραμένει η ίδια και οι δείκτες πολλαπλασιάζονται.

μι)Αριθμόςnπου ονομάζεται

6) Πτυχίο

και)Έκφραση α nπου ονομάζεται

7) ... η βάση παραμένει η ίδια και οι δείκτες αφαιρούνται.

2. Τώρα, ανταλλάξτε χαρτιά με τον σύντροφό σας, αξιολογήστε τη δουλειά του και βαθμολογήστε τον. Βάλτε αυτή τη βαθμολογία στο φύλλο βαθμολογίας σας.

Τώρα ας ελέγξουμε αν ολοκληρώσατε σωστά την εργασία.

Μαντεύοντας παζλ, αναγνώριση λέξεων – υποδείξεων.

Προσπαθούν να θέσουν το θέμα του μαθήματος.

Γράψτε την ημερομηνία και το θέμα του μαθήματος στο τετράδιό σας.

Απαντήστε σε ερωτήσεις

Δουλεύουν σε ζευγάρια. Διαβάστε την εργασία, θυμηθείτε.

Συνδέστε μέρη ορισμών

Ανταλλάσσουν τετράδια.

Εκτελέστε αμοιβαία επαλήθευση των αποτελεσμάτων, δώστε σημάδια στον γείτονα στο γραφείο ..

4. Λεπτό φυσικής αγωγής

Τα χέρια σηκώθηκαν και κουνήθηκαν -

αυτά είναι τα δέντρα στο δάσος,

Τα χέρια λυγισμένα, τα πινέλα κουνημένα -

Ο αέρας σκίζει τα φύλλα.

Στα πλάγια του χεριού, κουνήστε απαλά -

Τα πουλιά πετούν νότια

Καθώς κάθονται, δείχνουν ήσυχα -

Τα χέρια σταυρωμένα έτσι!

Εκτελέστε δραστηριότητες παράλληλα με τον δάσκαλο

5. Η μεταφορά της αποκτηθείσας γνώσης, η πρωταρχική εφαρμογή τους σε νέες ή μεταβαλλόμενες συνθήκες, με σκοπό τη διαμόρφωση δεξιοτήτων.

1. Σας προσφέρω την εξής δουλειά: έχετε κάρτες στα θρανία σας. Πρέπει να ολοκληρώσετε εργασίες, π.χ. Γράψτε την απάντηση ως πτυχίο με βάση γ και θα μάθετε το επίθετο και το όνομα του σπουδαίου Γάλλου μαθηματικού που εισήγαγε την επί του παρόντος γενικά αποδεκτή σημειογραφία για τους βαθμούς. (Διαφάνεια 14)

5

ΑΠΟ 8 : ΑΠΟ 6

(ΑΠΟ 4 ) 3 ΑΠΟ

(ΑΠΟ 4 ) 3

ΑΠΟ 4 ΑΠΟ 5 ΑΠΟ 0

ΑΠΟ 5 ΑΠΟ 3 : ΑΠΟ 6

ΑΠΟ 16 : ΑΠΟ 8

ΑΠΟ 14 ΑΠΟ 8

10.

(ΑΠΟ 3 ) 5

Απάντηση: Ρενέ Ντεκάρτ.

Ιστορία για τη βιογραφία του Rene Descartes (Διαφάνειες 15 - 17)

Παιδιά, τώρα ας κάνουμε την επόμενη εργασία.

2. Περίπου προσδιορίστε ποιες απαντήσεις είναι σωστές και ποιες ψευδείς. (Διαφάνεια 18 - 19)

Ορίστε μια αληθινή απάντηση στο 1, μια λανθασμένη απάντηση στο 0.

έχοντας λάβει ένα διατεταγμένο σύνολο μονάδων και μηδενικών, θα μάθετε τη σωστή απάντηση και θα προσδιορίσετε το όνομα και το επώνυμο της πρώτης Ρωσίδας - μαθηματικού.

ένα) Χ 2 Χ 3 =x 5

σι) s 3 μικρό 5 μικρό 8 = μικρό 16

σε) Χ 7 : Χ 4 = x 28

Ζ) (ντο+ ρε) 8 : ( ντο+ ρε) 7 = ντο+ ρε

ε) (Χ 5 ) 6 = Χ 30

Επιλέξτε το όνομά της από τέσσερα ονόματα διάσημων γυναικών, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε ένα σύνολο μονάδων και μηδενικών:

Ada Augusta Lovelace - 11001

Sophie Germain - 10101

Ekaterina Dashkova - 11101

Sofia Kovalevskaya - 11011

Από τη βιογραφία της Sofia Kovalevskaya (Διαφάνεια 20)

Εκτελέστε την εργασία, καθορίστε το επώνυμο και το όνομα του Γάλλου μαθηματικού

Ακούγοντας και κοιτάζοντας διαφάνειες

Σημειώνουν τις σωστές και τις λανθασμένες απαντήσεις, γράφουν τον κωδικό που προκύπτει, ο οποίος καθορίζει το όνομα της πρώτης Ρωσίδας - μαθηματικού.

6. Έλεγχος και αξιολόγηση γνώσεων Ανεξάρτητη εκτέλεση εργασιών από μαθητές υπό την επίβλεψη του δασκάλου.

Και τώρα πρέπει να κάνετε εργασίες επαλήθευσης. Πριν είστε κάρτες με εργασίες διαφορετικών χρωμάτων. Το χρώμα αντιστοιχεί στο επίπεδο δυσκολίας της εργασίας (κατά "3", κατά "4", κατά "5") Επιλέξτε μόνοι σας την εργασία για τον βαθμό που θα εκτελέσετε και ξεκινήστε τη δουλειά. (Διαφάνεια 21)

στο "3"

1. Εκφράστε το προϊόν ως δύναμη:

ένα) ; σι) ;

σε) ; ΣΟΛ) .

2. Ακολουθήστε αυτά τα βήματα:

( Μ 3 ) 7 ; ( κ 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( Μ 3 ) 2 ; ( ένα Χ ) y

στο "4"

1. Παρουσιάστε το προϊόν ως πτυχίο.

α) x 5 Χ 8 ; γιούχα 2 στο 9 ; σε 2 6 2 4 ; ΣΟΛ)Μ 2 Μ 5 Μ 4 ;

μι)Χ 6 ∙ Χ 3 ∙ Χ 7 ; στ) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Εκφράστε το πηλίκο ως δύναμη:

ένα)Χ 8 : Χ 4 ; β) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

γ) x 5 : Χ 3 ; ρε) 10 : y 10 ; Δ 2 6 : 2 4 ; ε) ;

στο "5"

1. Ακολουθήστε τα βήματα:

α) α 4 · ένα · ένα 3 α β) (7 Χ ) 2 γ) r · R 2 · R 0

δ) με · Με 3 · γ ε) τ · t 4 · ( t 2 ) 2 · t 0

ε) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 και) -Χ 3 · (– Χ ) 4

η) (R 2 ) 4 : R 5 i) (3 4 ) 2 (3 2 ) 3 : 3 11

2. Απλοποίηση:

ένα) Χ 3 ( Χ 2 ) 5 γ) ( ένα 2 ) 3 ( ένα 4 ) 2

β) ( ένα 3) 2 ένα 5 g) ( Χ 2 ) 5 ( Χ 5 )

Ανεξάρτητη εργασία

Εκτέλεση εργασιών σε τετράδια

7. Περίληψη μαθήματος

Συνοψίζοντας τις πληροφορίες που ελήφθησαν στο μάθημα.Έλεγχος εργασίας, βαθμολόγηση. Εντοπισμός δυσκολιών που συναντήθηκαν στο μάθημα

8. Αντανάκλαση

Τι συνέβη με την έννοια του πτυχίου σεXVIIαιώνα, εσείς και εγώ μπορούμε να προβλέψουμε μόνοι μας. Για να το κάνετε αυτό, προσπαθήστε να απαντήσετε στην ερώτηση: είναι δυνατόν να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική δύναμη ή σε κλασματική; Αυτό όμως είναι το αντικείμενο της μελλοντικής μας μελέτης.

Βαθμοί μαθήματος

Παιδιά, θέλω να ολοκληρώσω το μάθημά μας με την παρακάτω παραβολή.

Παραβολή. Περπατούσε ένας σοφός, και προς το μέρος του πήγαιναν τρία άτομα, που κουβαλούσαν κάρα με πέτρες για κατασκευή κάτω από τον καυτό ήλιο. Ο σοφός σταμάτησε και έκανε στον καθένα μια ερώτηση. Ρώτησε τον πρώτο: «Τι έκανες όλη μέρα;» Κι εκείνος απάντησε με ένα χαμόγελο ότι όλη μέρα κουβαλούσε καταραμένες πέτρες. Ο σοφός ρώτησε τον δεύτερο: «Τι έκανες όλη μέρα», και εκείνος απάντησε: «Και έκανα τη δουλειά μου ευσυνείδητα». Και ο τρίτος χαμογέλασε, το πρόσωπό του φωτίστηκε από χαρά και ευχαρίστηση: «Και συμμετείχα στην κατασκευή του ναού!»

Παιδιά, απαντήστε, τι κάνατε στο μάθημα σήμερα; Απλώς κάντε το στο φύλλο αυτοαξιολόγησης. Κυκλώστε τη δήλωση σε κάθε στήλη που ισχύει για εσάς.

Στο φύλλο αυτοαξιολόγησης πρέπει να υπογραμμίσετε τις φράσεις που χαρακτηρίζουν τη δουλειά του μαθητή στο μάθημα σε τρεις τομείς.

Το μάθημά μας τελείωσε. Σας ευχαριστούμε όλους για τη σκληρή δουλειά σας στην τάξη!

Απαντήστε σε ερωτήσεις

Αξιολογήστε την εργασία σας στην τάξη.

Σημειώστε στην κάρτα φράσεις που χαρακτηρίζουν τη δουλειά τους στο μάθημα.

Θέμα μαθήματος: Πτυχίο με φυσικό δείκτη

Τύπος μαθήματος: μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης

Είδος μαθήματος: σε συνδυασμό

Μορφές εργασίας: ατομική, μετωπική, εργασία σε ζευγάρια

Εξοπλισμός: υπολογιστής, προϊόν πολυμέσων (παρουσίαση στο πρόγραμμαMicrosoftγραφείοpower point 2007); κάρτες εργασιών για αυτοδιδασκαλία

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός : ανάπτυξη δεξιοτήτων συστηματοποίησης, γενίκευσης γνώσεων για το πτυχίο με φυσικό δείκτη, εδραίωση και βελτίωση των δεξιοτήτων των απλούστερων μετασχηματισμών εκφράσεων που περιέχουν βαθμούς με φυσικό δείκτη.

- ανάπτυξη: να προωθήσει το σχηματισμό δεξιοτήτων για την εφαρμογή των μεθόδων γενίκευσης, σύγκρισης, ανάδειξης του κύριου πράγματος, της ανάπτυξης μαθηματικών οριζόντων, σκέψης, ομιλίας, προσοχής και μνήμης.

- εκπαιδευτικός: να προωθήσει την εκπαίδευση ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά, τη δραστηριότητα, την οργάνωση, να σχηματίσει ένα θετικό κίνητρο για μάθηση, την ανάπτυξη δεξιοτήτων στην εκπαιδευτική και γνωστική δραστηριότητα

Επεξηγηματικό σημείωμα.

Αυτό το μάθημα διεξάγεται σε τάξη γενικής εκπαίδευσης με μέσο επίπεδο μαθηματικής προετοιμασίας. Το κύριο καθήκον του μαθήματος είναι να αναπτύξει τις δεξιότητες συστηματοποίησης, γενίκευσης της γνώσης σχετικά με το βαθμό με έναν φυσικό δείκτη, ο οποίος πραγματοποιείται κατά τη διαδικασία εκτέλεσης διαφόρων ασκήσεων.

Ο αναπτυξιακός χαρακτήρας εκδηλώνεται στην επιλογή των ασκήσεων. Η χρήση ενός προϊόντος πολυμέσων σάς επιτρέπει να εξοικονομήσετε χρόνο, να κάνετε το υλικό πιο οπτικό, να εμφανίσετε δείγματα σχεδιαστικών λύσεων. Το μάθημα χρησιμοποιεί διαφορετικά είδηλειτουργεί, που ανακουφίζει από την κούραση των παιδιών.

Δομή μαθήματος:

1. Οργάνωση χρόνου.

2. Θέματα μηνυμάτων, καθορισμός στόχων για το μάθημα.

4. προφορική εργασία.

5. Συστηματοποίηση βασικών γνώσεων.

6. Στοιχεία τεχνολογιών εξοικονόμησης υγείας.

7. Εκτέλεση δοκιμαστικής εργασίας

9. Αποτελέσματα μαθήματος.

10. Εργασία για το σπίτι.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:

Εγώ.Οργάνωση χρόνου

Δάσκαλος: Γεια σας παιδιά! Χαίρομαι που σας καλωσορίζω στο μάθημά μας σήμερα. Κάτσε κάτω. Ελπίζω ότι σήμερα στο μάθημα θα έχουμε και επιτυχία και χαρά. Και εμείς, δουλεύοντας ομαδικά, θα δείξουμε το ταλέντο μας.

Να είστε προσεκτικοί κατά τη διάρκεια του μαθήματος. Σκεφτείτε, ζητήστε, προσφέρετε - καθώς θα βαδίσουμε μαζί τον δρόμο προς την αλήθεια.

Ανοίξτε τετράδια και σημειώστε τον αριθμό, εργασία στην τάξη

II. Θέμα μήνυμα, καθορισμός στόχου μαθήματος

1) Το θέμα του μαθήματος. Επίγραφο του μαθήματος.(Διαφάνεια 2.3)

«Ας προσπαθήσει κάποιος να ξεπεράσει τα μαθηματικά

πτυχίο και θα δει ότι χωρίς αυτούς δεν θα πας μακριά» M.V. Λομονόσοφ

2) Καθορισμός των στόχων του μαθήματος.

Δάσκαλος: Έτσι, στο μάθημα θα επαναλάβουμε, θα συνοψίσουμε και θα φέρουμε το μελετημένο υλικό στο σύστημα. Το καθήκον σας είναι να δείξετε τις γνώσεις σας για τις ιδιότητες ενός πτυχίου με φυσικό δείκτη και την ικανότητα να τις εφαρμόζετε κατά την εκτέλεση διαφόρων εργασιών.

III. Επανάληψη των βασικών εννοιών του θέματος, ιδιότητες του πτυχίου με φυσικό δείκτη

1) ξετυλίξτε τον αναγραμματισμό: (διαφάνεια 4)

Nspete (πτυχίο)

Πόρνη (κόψιμο)

Ovaniosne (βάση)

Casapotel (δείκτης)

Πολλαπλασιασμός (πολλαπλασιασμός)

2) Τι είναι πτυχίο με φυσικό δείκτη;(Διαφάνεια 5)

(με τη δύναμη του αριθμού ένα με φυσικό δείκτη n , μεγαλύτερο από 1, ονομάζεται έκφραση ένα n ίσο με το γινόμενο n πολλαπλασιαστές, καθένας από τους οποίους ισούται με ένα εξευτελίζω n -δείκτης)

3) Διαβάστε την έκφραση, ονομάστε τη βάση και τον εκθέτη: (Διαφάνεια 6)

4) Βασικές ιδιότητες του βαθμού (προσθέστε τη δεξιά πλευρά της ισότητας)(Διαφάνεια 7)

• ένα n ένα Μ =

• ένα n :ένα Μ =

• (ένα n ) Μ =

• (αβ) n =

• ( ένα / σι ) n =

• ένα 0 =

• ένα 1 =

IV Στο stnaya Δουλειά

1) προφορικός απολογισμός (διαφάνεια 8)

Δάσκαλος: Και τώρα ας ελέγξουμε πώς μπορείτε να εφαρμόσετε αυτούς τους τύπους κατά την επίλυση.

1)χ 5 Χ 7 ; 2) α 4 ένα 0 ;

3) προς 9 : προς την 7 ; 4) r n : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- σι )(- σι ) 3 (- σι );

7) με 4 : Με; 8) 7 3 : 49;

9) 4 στο 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13) σσ.σ 3 ; 14) α 2 n ένα n ;

15) x 9 : Χ Μ ; 16) στο n : y

2) το παιχνίδι "Εξαιρέστε την περίσσεια" ((-1) 2 ) (διαφάνεια 9)

-1

Μπράβο. Έκαναν καλή δουλειά. Στη συνέχεια λύνουμε τα παρακάτω παραδείγματα.

VΣυστηματοποίηση βασικών γνώσεων

1. Συνδέστε τις εκφράσεις που αντιστοιχούν μεταξύ τους με γραμμές:(διαφάνεια 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Τακτοποιήστε με αύξουσα σειρά τον αριθμό:(διαφάνεια 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3. Ολοκλήρωση της εργασίας με μετέπειτα αυτοεξέταση(διαφάνεια 12)

• Το A1 αντιπροσωπεύει το προϊόν με τη μορφή βαθμού:

α) α) x 5 Χ 4 ; β) 3 7 3 9 ; στις 4) 3 (-4) 8 .

• Και το 2 απλοποιεί την έκφραση:

α) x 3 Χ 7 Χ 8 ; β) 2 21 :2 19 2 3

• Και 3 εκθέτης:

α) (α 5 ) 3 ; προ ΧΡΙΣΤΟΥ 7 ) 2

VIΣτοιχεία τεχνολογιών εξοικονόμησης υγείας (διαφάνεια 13)

Φυσική αγωγή: επανάληψη του βαθμού των αριθμών 2 και 3

VIIΔοκιμαστική εργασία (διαφάνεια 14)

Οι απαντήσεις στο τεστ γράφονται στον πίνακα: 1 d 2 o 3b 4s 5 h 6a (εξαγωγή)

VIII Ανεξάρτητη εργασία σε κάρτες

Σε κάθε γραφείο, κάρτες με εργασία σύμφωνα με επιλογές, αφού ολοκληρωθεί η εργασία, υποβάλλονται για επαλήθευση

Επιλογή 1

1) Απλοποιήστε τις εκφράσεις:

ένα) σι)

σε) ΣΟΛ)

ένα) σι)

σε) ΣΟΛ)

Επιλογή 2

1) Απλοποιήστε τις εκφράσεις:

ένα) σι)

σε) ΣΟΛ)

2) Βρείτε την τιμή της παράστασης:

ένα)σι)

σε) ΣΟΛ)

3) Δείξτε με ένα βέλος εάν η τιμή της παράστασης είναι ίση με μηδέν, θετικό ή αρνητικό αριθμό:

IX Περίληψη μαθήματος

Αρ. p / p

Είδος εργασίας

αυτοεκτίμηση

Αξιολόγηση εκπαιδευτικού

1

Ανάγραμμα

2

Διαβάστε την έκφραση

3

Κανόνες

4

Λεκτική καταμέτρηση

5

Συνδεθείτε με γραμμές

6

Τακτοποιήστε με αύξουσα σειρά

7

Εργασίες αυτοδιαγνωστικού ελέγχου

8

Δοκιμή

9

Ανεξάρτητη εργασία σε κάρτες

X Εργασία για το σπίτι

Δοκιμαστικές κάρτες

Α'1. Βρείτε την τιμή της έκφρασης: .