Ποια είναι η πρώτη πρόσθεση ή πολλαπλασιασμός. Η σειρά εκτέλεσης των μαθηματικών πράξεων. Διαίρεση φυσικών αριθμών

Αν συγκρίνουμε τις συναρτήσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, τότε ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση υπολογίζονται πάντα πρώτα.

Στο παράδειγμα, δύο συναρτήσεις όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση, καθώς και ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση, είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Η σειρά εκτέλεσης καθορίζεται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι οι ενέργειες που γίνονται σε παρενθέσεις έχουν ιδιαίτερη προτεραιότητα στο παράδειγμα. Έτσι, ακόμα κι αν υπάρχει πολλαπλασιασμός έξω από τις αγκύλες και πρόσθεση σε αγκύλες, θα πρέπει πρώτα να προσθέσετε και μόνο στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε.

Για να κατανοήσετε αυτό το θέμα, μπορείτε να εξετάσετε όλες τις περιπτώσεις με τη σειρά.

Λάβετε αμέσως υπόψη ότι οι εκφράσεις μας δεν έχουν αγκύλες.

Έτσι, αν στο παράδειγμα η πρώτη ενέργεια είναι πολλαπλασιασμός και η δεύτερη διαίρεση, τότε εκτελούμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό.

Αν στο παράδειγμα η πρώτη ενέργεια είναι διαίρεση και η δεύτερη πολλαπλασιασμός, τότε κάνουμε πρώτα διαίρεση.

Σε τέτοια παραδείγματα, οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, ανεξάρτητα από τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται.

Αν στα παραδείγματα, εκτός από πολλαπλασιασμό και διαίρεση, υπάρχουν πρόσθεση και αφαίρεση, τότε πρώτα γίνεται ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Στην περίπτωση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης επίσης δεν έχει σημασία ποια από αυτές τις πράξεις γίνεται πρώτη.Η σειρά είναι από αριστερά προς τα δεξιά.

Ας εξετάσουμε διάφορες επιλογές:

Σε αυτό το παράδειγμα, η πρώτη ενέργεια που πρέπει να εκτελεστεί είναι ο πολλαπλασιασμός και μετά η πρόσθεση.

Σε αυτήν την περίπτωση, πρώτα πολλαπλασιάζετε τις τιμές, μετά διαιρείτε και μόνο μετά προσθέτετε.

Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει πρώτα να κάνετε όλες τις πράξεις στις αγκύλες και μετά να κάνετε μόνο τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση.

Και έτσι πρέπει να θυμόμαστε ότι σε οποιονδήποτε τύπο, οι πράξεις εκτελούνται πρώτα ως πολλαπλασιασμός και διαίρεση και μετά μόνο αφαίρεση και πρόσθεση.

Επίσης, με τους αριθμούς που βρίσκονται σε αγκύλες, πρέπει να τους μετρήσετε σε αγκύλες και μόνο τότε να κάνετε διάφορους χειρισμούς, θυμόμαστε την ακολουθία που περιγράφεται παραπάνω.

Η πρώτη θα είναι οι ακόλουθες ενέργειες: πολλαπλασιασμός και διαίρεση.

Μόνο τότε γίνονται πρόσθεση και αφαίρεση.

Ωστόσο, εάν υπάρχει βραχίονας, τότε θα εκτελεστούν πρώτα οι ενέργειες που βρίσκονται σε αυτές. Ακόμα κι αν είναι πρόσθεση και αφαίρεση.

Για παράδειγμα:

Σε αυτό το παράδειγμα, πρώτα εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό, μετά 4 επί 5, μετά προσθέτουμε το 4 στο 20. Παίρνουμε 24.

Αλλά αν είναι έτσι: (4 + 5) * 4, τότε πρώτα κάνουμε την πρόσθεση, παίρνουμε 9. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το 9 με 4. Παίρνουμε 36.

Εάν υπάρχουν και οι 4 ενέργειες στο παράδειγμα, τότε έρχονται πρώτα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Ή στο παράδειγμα 3 διαφορετικών ενεργειών, τότε η πρώτη θα είναι είτε πολλαπλασιασμός (ή διαίρεση) και μετά είτε πρόσθεση (ή αφαίρεση).

Όταν ΔΕΝ υπάρχουν αγκυλώσεις.

Παράδειγμα: 4-2*5:10+8=11,

1 δράση 2*5 (10);

πράξη 2 10:10 (1).

3 δράση 4-1 (3);

4 πράξη 3+8 (11).

Και οι 4 ενέργειες μπορούν να χωριστούν σε δύο κύριες ομάδες, στη μία - πρόσθεση και αφαίρεση, στην άλλη - πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Η πρώτη ενέργεια θα είναι αυτή που είναι η πρώτη στη σειρά στο παράδειγμα, δηλαδή η πιο αριστερή.

Παράδειγμα: 60-7+9=62, πρώτα χρειάζεστε 60-7, μετά τι συμβαίνει (53) +9;

Παράδειγμα: 5*8:2=20, πρώτα χρειάζεσαι 5*8 και μετά τι παίρνεις (40) :2.

Όταν στο παράδειγμα υπάρχουν ΑΓΚΥΛΕΣ, τότε εκτελούνται πρώτα οι ενέργειες που βρίσκονται στην αγκύλη (σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες) και μετά οι υπόλοιπες ως συνήθως.

Παράδειγμα: 2+(9-8)*10:2=7.

1 πράξη 9-8 (1);

2 δράση 1*10 (10);

Πράξη 3 10:2(5).

4 πράξη 2+5 (7).

Εξαρτάται από το πώς γράφεται η έκφραση, εξετάστε την απλούστερη αριθμητική έκφραση:

18 - 6:3 + 10x2 =

Πρώτα, εκτελούμε πράξεις με διαίρεση και πολλαπλασιασμό, στη συνέχεια με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά, με αφαίρεση και πρόσθεση: 18-2 + 20 \u003d 36

Εάν είναι μια παράσταση σε παρένθεση, τότε κάντε τις παρενθέσεις, στη συνέχεια πολλαπλασιάστε ή διαιρέστε και, τέλος, προσθέστε/αφαιρέστε, ως εξής:

(18-6): 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Ο Ήλιος είναι σωστός: πρώτα εκτελέστε πολλαπλασιασμό και διαίρεση και μετά πρόσθεση και αφαίρεση.

Εάν δεν υπάρχουν αγκύλες στο παράδειγμα, τότε εκτελούνται πρώτα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με τη σειρά και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση, με την ίδια σειρά.

Εάν το παράδειγμα περιέχει μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση, τότε οι ενέργειες θα εκτελεστούν με τη σειρά.

Εάν το παράδειγμα περιέχει μόνο πρόσθεση και αφαίρεση, τότε οι ενέργειες θα εκτελεστούν επίσης με τη σειρά.

Πρώτα απ 'όλα, οι ενέργειες σε αγκύλες εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες, δηλαδή πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση και μόνο στη συνέχεια πρόσθεση και αφαίρεση.

22-(11+3x2)+14=19

Η σειρά εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων προδιαγράφεται αυστηρά, ώστε να μην υπάρχουν αποκλίσεις κατά την εκτέλεση του ίδιου τύπου υπολογισμών από διαφορετικά άτομα. Πρώτα απ 'όλα, εκτελούνται πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση, εάν οι ενέργειες της ίδιας σειράς πηγαίνουν η μία μετά την άλλη, τότε εκτελούνται με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

Εάν χρησιμοποιούνται αγκύλες όταν γράφετε μια μαθηματική έκφραση, τότε πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να εκτελέσετε τις ενέργειες που υποδεικνύονται σε αγκύλες. Οι παρενθέσεις βοηθούν στην αλλαγή της σειράς, εάν είναι απαραίτητο, εκτελέστε πρώτα πρόσθεση ή αφαίρεση και μόνο μετά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση.

Οποιεσδήποτε αγκύλες μπορούν να ανοίξουν και στη συνέχεια η σειρά εκτέλεσης θα είναι και πάλι σωστή:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Καλύτερα με παραδείγματα:

• 1+2*3/4-5=?

Σε αυτή την περίπτωση, εκτελούμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό, αφού βρίσκεται στα αριστερά της διαίρεσης. Μετά διαίρεση. Στη συνέχεια, πρόσθεση, λόγω της πιο αριστερής θέσης, και τέλος αφαίρεση.

• 1*3/(2+4)?

πρώτα κάνουμε τον υπολογισμό σε αγκύλες, μετά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση.

• 1+2*(3-1*5)=?

Πρώτα, κάνουμε τις ενέργειες σε αγκύλες: πολλαπλασιασμός και μετά αφαίρεση. Μετά από αυτό έρχεται ο πολλαπλασιασμός έξω από τις αγκύλες και η πρόσθεση στο τέλος.

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση προηγούνται. Εάν υπάρχουν αγκύλες στο παράδειγμα, τότε η ενέργεια σε αγκύλες εξετάζεται στην αρχή. Όποιο κι αν είναι το σημάδι!

Εδώ πρέπει να θυμάστε μερικούς βασικούς κανόνες:

1. Εάν δεν υπάρχουν αγκύλες στο παράδειγμα και υπάρχουν πράξεις - μόνο πρόσθεση και αφαίρεση ή μόνο πολλαπλασιασμός και διαίρεση - σε αυτήν την περίπτωση, όλες οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

Για παράδειγμα, 5 + 8-5 = 8 (κάνουμε τα πάντα με τη σειρά - προσθέτουμε το 8 στο 5 και μετά αφαιρούμε το 5)

1. Εάν το παράδειγμα περιέχει μικτές πράξεις - και πρόσθεση, και αφαίρεση, και πολλαπλασιασμός και διαίρεση, τότε πρώτα απ 'όλα εκτελούμε τις πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και μετά μόνο πρόσθεση ή αφαίρεση.

Για παράδειγμα, 5+8*3=29 (πολλαπλασιάστε πρώτα το 8 με 3 και μετά προσθέστε το 5)

1. Εάν το παράδειγμα περιέχει παρενθέσεις, τότε οι ενέργειες στις παρενθέσεις εκτελούνται πρώτα.

Για παράδειγμα, 3*(5+8)=39 (πρώτα 5+8 και μετά πολλαπλασιάστε με 3)

Όταν εργαζόμαστε με διάφορες παραστάσεις, συμπεριλαμβανομένων αριθμών, γραμμάτων και μεταβλητών, πρέπει να εκτελέσουμε μεγάλο αριθμό αριθμητικών πράξεων. Όταν κάνουμε έναν μετασχηματισμό ή υπολογίζουμε μια τιμή, είναι πολύ σημαντικό να ακολουθούμε τη σωστή σειρά αυτών των ενεργειών. Με άλλα λόγια, οι αριθμητικές πράξεις έχουν τη δική τους ειδική σειρά εκτέλεσης.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Σε αυτό το άρθρο, θα σας πούμε ποιες ενέργειες πρέπει να γίνουν πρώτα και ποιες μετά. Αρχικά, ας δούμε μερικές απλές εκφράσεις που περιέχουν μόνο μεταβλητές ή αριθμητικές τιμές, καθώς και σύμβολα διαίρεσης, πολλαπλασιασμού, αφαίρεσης και πρόσθεσης. Στη συνέχεια θα πάρουμε παραδείγματα με παρενθέσεις και θα εξετάσουμε με ποια σειρά πρέπει να αξιολογηθούν. Στο τρίτο μέρος, θα δώσουμε τη σωστή σειρά μετασχηματισμών και υπολογισμών σε εκείνα τα παραδείγματα που περιλαμβάνουν τα σημάδια των ριζών, των δυνάμεων και άλλων συναρτήσεων.

Στην περίπτωση των εκφράσεων χωρίς αγκύλες, η σειρά των ενεργειών καθορίζεται με σαφήνεια:

1. Όλες οι ενέργειες εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
2. Πρώτα απ 'όλα, κάνουμε διαίρεση και πολλαπλασιασμό, και δεύτερον, αφαίρεση και πρόσθεση.

Το νόημα αυτών των κανόνων είναι εύκολο να κατανοηθεί. Η παραδοσιακή σειρά γραφής από αριστερά προς τα δεξιά καθορίζει τη βασική ακολουθία των υπολογισμών και η ανάγκη να πολλαπλασιαστεί πρώτα ή να διαιρεθεί εξηγείται από την ίδια την ουσία αυτών των πράξεων.

Ας πάρουμε μερικές εργασίες για σαφήνεια. Χρησιμοποιήσαμε μόνο τις απλούστερες αριθμητικές εκφράσεις έτσι ώστε όλοι οι υπολογισμοί να μπορούν να γίνουν νοερά. Έτσι μπορείτε να θυμάστε γρήγορα την επιθυμητή παραγγελία και να ελέγξετε γρήγορα τα αποτελέσματα.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 7 − 3 + 6 .

Λύση

Δεν υπάρχουν αγκύλες στην έκφρασή μας, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση επίσης απουσιάζουν, επομένως εκτελούμε όλες τις ενέργειες με την καθορισμένη σειρά. Αρχικά, αφαιρέστε τρία από τα επτά, στη συνέχεια προσθέστε έξι στο υπόλοιπο, και ως αποτέλεσμα παίρνουμε δέκα. Εδώ είναι μια εγγραφή ολόκληρης της λύσης:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Απάντηση: 7 − 3 + 6 = 10 .

Παράδειγμα 2

Κατάσταση:με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι υπολογισμοί στην παράσταση 6:2 8:3?

Λύση

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ξαναδιαβάζουμε τον κανόνα για εκφράσεις χωρίς παρένθεση, τον οποίο διατυπώσαμε νωρίτερα. Εδώ έχουμε μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση, που σημαίνει ότι κρατάμε τη γραπτή σειρά των υπολογισμών και μετράμε διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά.

Απάντηση:Αρχικά, διαιρούμε έξι με δύο, πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με οκτώ και διαιρούμε τον αριθμό που προκύπτει με το τρία.

Παράδειγμα 3

Κατάσταση:υπολογίστε πόσο θα είναι 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.

Λύση

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε τη σωστή σειρά ενεργειών, αφού εδώ έχουμε όλους τους κύριους τύπους αριθμητικές πράξεις- πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να διαιρέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε. Αυτές οι ενέργειες δεν έχουν προτεραιότητα η μία έναντι της άλλης, επομένως τις εκτελούμε με τη γραπτή σειρά από δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή, το 5 πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 6 και να πάρει 30, μετά το 30 να διαιρεθεί με το 3 και να πάρει 10. Μετά από αυτό διαιρούμε το 4 με το 2, αυτό είναι 2. Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Δεν υπάρχει διαίρεση ή πολλαπλασιασμός εδώ, οπότε κάνουμε τους υπόλοιπους υπολογισμούς με τη σειρά και παίρνουμε την απάντηση:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Απάντηση:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Μέχρι να μαθευτεί σταθερά η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών, μπορείτε να βάλετε αριθμούς πάνω από τα σημάδια των αριθμητικών πράξεων, υποδεικνύοντας τη σειρά υπολογισμού. Για παράδειγμα, για το παραπάνω πρόβλημα, θα μπορούσαμε να το γράψουμε ως εξής:

Αν έχουμε κυριολεκτικές εκφράσεις, τότε κάνουμε το ίδιο με αυτές: πρώτα πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε, μετά προσθέτουμε και αφαιρούμε.

Τι είναι τα βήματα ένα και δύο

Μερικές φορές στα βιβλία αναφοράς όλες οι αριθμητικές πράξεις χωρίζονται σε πράξεις του πρώτου και του δεύτερου σταδίου. Ας διατυπώσουμε τον απαιτούμενο ορισμό.

Οι πράξεις του πρώτου σταδίου περιλαμβάνουν αφαίρεση και πρόσθεση, το δεύτερο - πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

Γνωρίζοντας αυτά τα ονόματα, μπορούμε να γράψουμε τον κανόνα που δόθηκε προηγουμένως σχετικά με τη σειρά των ενεργειών ως εξής:

Ορισμός 2

Σε μια έκφραση που δεν περιέχει παρενθέσεις, εκτελέστε πρώτα τις ενέργειες του δεύτερου βήματος προς την κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά και μετά τις ενέργειες του πρώτου βήματος (στην ίδια κατεύθυνση).

Σειρά αξιολόγησης σε εκφράσεις με αγκύλες

Οι ίδιες οι παρενθέσεις είναι ένα σημάδι που μας λέει την επιθυμητή σειρά με την οποία πρέπει να εκτελέσουμε τις ενέργειες. Σε αυτήν την περίπτωση, ο επιθυμητός κανόνας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Ορισμός 3

Εάν υπάρχουν αγκύλες στην έκφραση, τότε εκτελείται πρώτα η ενέργεια σε αυτές, μετά την οποία πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε και στη συνέχεια προσθέτουμε και αφαιρούμε προς την κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά.

Όσον αφορά την ίδια την έκφραση σε παρένθεση, μπορεί να θεωρηθεί ως συστατικό της κύριας έκφρασης. Κατά τον υπολογισμό της τιμής της έκφρασης σε αγκύλες, διατηρούμε την ίδια διαδικασία γνωστή σε εμάς. Ας επεξηγήσουμε την ιδέα μας με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 4

Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

Λύση

Αυτή η έκφραση έχει παρενθέσεις, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτές. Πρώτα απ 'όλα, ας υπολογίσουμε πόσο θα είναι το 7 − 2 · 3. Εδώ πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 3 και να αφαιρέσουμε το αποτέλεσμα από το 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Θεωρούμε το αποτέλεσμα στις δεύτερες αγκύλες. Εκεί έχουμε μόνο μία δράση: 6 − 4 = 2 .

Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε τις προκύπτουσες τιμές στην αρχική έκφραση:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Ας ξεκινήσουμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, μετά αφαιρούμε και παίρνουμε:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

Αυτό ολοκληρώνει τους υπολογισμούς.

Απάντηση: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Μην ανησυχείτε εάν η συνθήκη περιέχει μια έκφραση στην οποία ορισμένες αγκύλες περικλείουν άλλες. Χρειάζεται μόνο να εφαρμόσουμε τον παραπάνω κανόνα με συνέπεια σε όλες τις παραστάσεις σε παρένθεση. Ας αναλάβουμε αυτό το καθήκον.

Παράδειγμα 5

Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Λύση

Έχουμε αγκύλες εντός παρενθέσεων. Ξεκινάμε με 3 + 1 + 4 (2 + 3) , δηλαδή 2 + 3 . Θα είναι 5. Η τιμή θα πρέπει να αντικατασταθεί στην παράσταση και να υπολογίσετε ότι 3 + 1 + 4 5 . Θυμόμαστε ότι πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσουμε και μετά να προσθέσουμε: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση, υπολογίζουμε την απάντηση: 4 + 24 = 28 .

Απάντηση: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Με άλλα λόγια, όταν αξιολογούμε την αξία μιας έκφρασης που περιλαμβάνει παρενθέσεις μέσα σε παρενθέσεις, ξεκινάμε από τις εσωτερικές παρενθέσεις και προχωράμε προς τις εξωτερικές.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε πόσο θα είναι (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Ξεκινάμε με την έκφραση στις εσωτερικές αγκύλες. Εφόσον 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , η αρχική παράσταση μπορεί να γραφτεί ως (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Και πάλι γυρίζουμε στις εσωτερικές αγκύλες: 4 + 1 = 5 . Φτάσαμε στην έκφραση (4 + 5 − 1) − 1 . Πιστεύουμε 4 + 5 − 1 = 8 και ως αποτέλεσμα παίρνουμε τη διαφορά 8 - 1, το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι 7.

Η σειρά υπολογισμού σε παραστάσεις με δυνάμεις, ρίζες, λογάριθμους και άλλες συναρτήσεις

Αν έχουμε έκφραση στη συνθήκη με βαθμό, ρίζα, λογάριθμο ή τριγωνομετρική συνάρτηση (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη) ή άλλες συναρτήσεις, τότε πρώτα από όλα υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης. Μετά από αυτό, ενεργούμε σύμφωνα με τους κανόνες που καθορίζονται στις προηγούμενες παραγράφους. Με άλλα λόγια, οι συναρτήσεις έχουν ίση σημασία με την έκφραση που περικλείεται σε αγκύλες.

Ας δούμε ένα παράδειγμα τέτοιου υπολογισμού.

Παράδειγμα 6

Κατάσταση:βρείτε πόσο θα είναι (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

Λύση

Έχουμε μια έκφραση με βαθμό, η τιμή της οποίας πρέπει να βρεθεί πρώτα. Θεωρούμε: 6 2 \u003d 36. Τώρα αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην παράσταση, μετά την οποία θα πάρει τη μορφή (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Απάντηση: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

Σε ένα ξεχωριστό άρθρο αφιερωμένο στον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων, παρέχουμε άλλα, πιο σύνθετα παραδείγματα υπολογισμών στην περίπτωση εκφράσεων με ρίζες, βαθμούς κ.λπ. Σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτό.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Τα παλιά χρόνια οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, ιδιαίτερα η τελευταία, ήταν ιδιαίτερα περίπλοκες και δύσκολες.

«Ο πολλαπλασιασμός είναι το μαρτύριο μου και η διαίρεση είναι πρόβλημα», έλεγαν παλιά.

Στην αρχαιότητα και σχεδόν μέχρι τον δέκατο όγδοο αιώνα, οι Ρώσοι απέρριψαν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση στους υπολογισμούς τους: χρησιμοποιούσαν μόνο δύο αριθμητικές πράξεις - πρόσθεση και αφαίρεση, ακόμη και το λεγόμενο "διπλασιασμό" και "διπλασιασμό". Η ουσία του ρωσικού με τον παλιό τρόποΟ πολλαπλασιασμός είναι ότι ο πολλαπλασιασμός οποιωνδήποτε δύο αριθμών ανάγεται σε μια σειρά από διαδοχικές διαιρέσεις ενός αριθμού στο μισό (διαδοχική διχοτόμηση) ενώ διπλασιάζεται ένας άλλος αριθμός. Εάν σε ένα γινόμενο, για παράδειγμα, 24∙5, ο πολλαπλασιαστής μειωθεί κατά 2 φορές (“διπλός”) και ο πολλαπλασιαστής αυξηθεί κατά 2 φορές (“διπλός”), τότε το γινόμενο δεν θα αλλάξει: 24∙5= 12∙10=120

Η διαίρεση του πολλαπλασιαστή συνεχίζεται μέχρι το πηλίκο να γίνει 1, ενώ ο πολλαπλασιαστής διπλασιάζεται. Ο τελευταίος διπλασιασμένος αριθμός δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Άρα 32∙17=1∙544=544. Στο προτεινόμενο παράδειγμα, όλοι οι αριθμοί διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο.

Τι γίνεται όμως αν η διαίρεση με το 2 συνοδεύεται από υπόλοιπο;

Εάν ο πολλαπλασιαστής δεν διαιρείται με το 2, τότε πρώτα αφαιρείται ένα από αυτό και στη συνέχεια εκτελείται ήδη διαίρεση με το 2. Οι γραμμές με ζυγούς πολλαπλασιαστές διαγράφονται και προστίθενται τα δεξιά μέρη των γραμμών με περιττούς πολλαπλασιαστές.

Δηλαδή, 21∙17=(20+1)∙17=20∙17+1∙17.

Ας θυμηθούμε τον αριθμό 17 (η πρώτη γραμμή δεν είναι διαγραμμένη) και να αντικαταστήσουμε το γινόμενο 20∙17 με το ίσο γινόμενο 10∙34. αλλά το γινόμενο 10∙34, με τη σειρά του, μπορεί να αντικατασταθεί από το ίσο γινόμενο του 5∙68, οπότε η δεύτερη γραμμή διαγράφεται: 5∙68=(4+1) ∙68= 4∙68+68 Θυμηθείτε τον αριθμό 68 ( η τρίτη γραμμή δεν διαγράφεται) και αντικαταστήστε το προϊόν 4∙68 με αυτό ίσο προϊόν 2 ∙136. Αλλά το γινόμενο 2∙136 μπορεί να αντικατασταθεί από το ίσο γινόμενο του 1∙272, επομένως η τέταρτη γραμμή διαγράφεται. Έτσι, για να υπολογίσετε το γινόμενο 21∙17, πρέπει να προσθέσετε 17.68.272 - τα σωστά μέρη με περιττούς πολλαπλασιασμούς.

Τα προϊόντα με ζυγούς πολλαπλασιαστές μπορούν πάντα να αντικατασταθούν διπλασιάζοντας τον πολλαπλασιαστή και διπλασιάζοντας τον παράγοντα με γινόμενα ίσα με αυτά. Επομένως, τέτοιες γραμμές εξαιρούνται από τον υπολογισμό του τελικού προϊόντος.

Ο χρόνος πέρασε. Σχεδόν δώδεκα ήταν σε χρήση ταυτόχρονα. διάφορους τρόπουςΟι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις είναι κόλπα μεταξύ τους πιο περίπλοκα, σταθερά απομνημονευμένα, τα οποία ένα άτομο μέσης ικανότητας δεν ήταν σε θέση να θυμηθεί.

Στο βιβλίο του V. Bellustin «Πώς οι άνθρωποι έφτασαν σταδιακά την πραγματική αριθμητική» (1941), σκιαγραφούνται 27 μέθοδοι πολλαπλασιασμού και ο συγγραφέας σημειώνει. «Είναι πολύ πιθανό να υπάρχουν περισσότερες (μέθοδοι) κρυμμένες σε κρυφές μνήμες, βιβλιοθήκες, διάσπαρτες σε πολυάριθμες, κυρίως χειρόγραφες συλλογές».

Και όλες αυτές οι μέθοδοι πολλαπλασιασμού - "σκάκι", "κάμψη", "πίσω μπροστά", "διαμάντι" και άλλες, καθώς και όλες οι μέθοδοι διαίρεσης, που έφεραν όχι λιγότερο περίπλοκα ονόματα, ανταγωνίζονταν μεταξύ τους σε δυσκίνητη και πολυπλοκότητα .

Την εποχή του Μ. Λομονόσοφ, η δράση του πολλαπλασιασμού είχε ήδη καταγραφεί σχεδόν με τον ίδιο τρόπο όπως στην εποχή μας. Μόνο ο πολλαπλασιαστής ονομαζόταν "echelichestvo", και το γινόμενο ονομαζόταν "προϊόν" και, επιπλέον, δεν έγραφαν το σύμβολο του πολλαπλασιασμού.

48 - Σεβασμιώτατος. 8 - Πολλαπλασιαστής. 384 - Προϊόν ή εργασία.

Είναι γνωστό ότι ο M. V. Lomonosov γνώριζε από καρδιάς ολόκληρη την «Αριθμητική» του Magnitsky. Σύμφωνα με αυτό το εγχειρίδιο, ο μικρός Misha Lomonosov θα εξηγούσε τον πολλαπλασιασμό του 48 με το 8 ως εξής: «Το 8 είναι 8 είναι 64, γράφω 4 κάτω από τη γραμμή, έναντι 8 και έχω 6 δεκαδικά στο μυαλό μου. Και τότε το 8 επί 4 είναι 32, και κρατάω το 3 στο μυαλό μου, και θα προσθέσω 6 δεκαδικά στο 2, και θα είναι 8. Και θα γράψω αυτό το 8 δίπλα στο 4, στη σειρά στο αριστερό μου χέρι, και 3 ενώ η ουσία είναι στο μυαλό μου, θα γράψω σε μια σειρά κοντά στο 8, στο αριστερό χέρι. Και θα υπάρχει γινόμενο 384 από τον πολλαπλασιασμό του 48 με το 8.

Τώρα εξηγούμε σχεδόν το ίδιο, μόνο που μιλάμε με σύγχρονο τρόπο, και όχι με παλιό τρόπο, και, επιπλέον, ονομάζουμε τις εκκρίσεις. Για παράδειγμα, το 3 θα πρέπει να γράφεται στην τρίτη θέση γιατί θα είναι εκατοντάδες, και όχι απλώς "σε σειρά δίπλα στο 8, στο αριστερό χέρι".

Όσο για τη διαίρεση ... Στο σχολικό βιβλίο του L.F. Magnitsky, δίνονται αρκετές μέθοδοι διαίρεσης. Μερικές από αυτές τις μεθόδους είναι τόσο δύσκολες που είναι πολύ εύκολο να μπερδευτείτε.

Ας ρίξουμε μια ματιά σε μία από αυτές τις μεθόδους. Ο Magnitsky το θεωρεί κομψό και απλό.

Έστω ότι απαιτείται να διαιρεθεί το 598432 με το 678. Πρώτα, γράφουμε τα πρώτα ψηφία του μερίσματος 5984, κάτω από αυτό είναι ο διαιρέτης 678. Διαιρέστε το 59 με το 7 (678 είναι κοντά στο 700), λάβετε το πρώτο ψηφίο του ιδιωτικού 8 και Γράψτε το προς τα δεξιά έναντι του μερίσματος, πολλαπλασιάστε το 8 με το 678: οκτώ οκτώ 64, αφαιρέστε το 4 από το 4 στο μυαλό σας και γράψτε το υπόλοιπο 0 στο 4. οκτώ επτά 56, ναι 6 στο μυαλό-62, αφαιρούμε 2 από το 8, παίρνουμε 6 στο υπόλοιπο και το γράφουμε πάνω από 8. 8Χ6=48, 48 +6=54, 59-54=5, που σημαίνει ότι πάνω από 59 γράφουμε το υπόλοιπο 5. Τώρα, στο υπόλοιπο 560, αφαιρούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος 3 και συνεχίζουμε τη δράση στο ίδια σειρά.

Έχοντας τελειώσει με δυσκολία τη διαίρεση, οι πρόγονοί μας θεώρησαν υποχρεωτικό να το ελέγξουν μία ή δύο φορές. Ο Magnitsky σε αυτή την περίπτωση περιορίζεται σε έναν έλεγχο. Συνιστά τον πολλαπλασιασμό από τα υψηλότερα ψηφία: 678 x 8=5424, πάλι. 678 x 8 = 5424 και 678 x 2 = 1356; κάτω από αυτούς τους αριθμούς υπογράφει το υπόλοιπο και αθροίζει. Παίρνει το μέρισμα. «Πραγματικά διχασμένοι» - έγραψαν εν κατακλείδι τα παλιά χρόνια.

Δείτε πώς έμοιαζε η καταχώρηση του τμήματος:

598432 σωστά διαιρεμένο

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτή η μέθοδος μοιάζει πολύ με αυτήν που χρησιμοποιούμε. Μάλλον το δικό μας σύγχρονο τρόποαναπτύχθηκε από αυτό. Δεν θα αναλύσουμε άλλους τρόπους, θα δώσουμε μόνο τη μορφή καταγραφής των διαιρέσεων σε «ρόμβο», που βρίσκεται στο Magnitsky.

Διαιρέστε το 9649378 με το 5634:

Το δημοτικό σχολείο φτάνει στο τέλος του, σύντομα το παιδί θα μπει στον βαθύ κόσμο των μαθηματικών. Όμως ήδη σε αυτή την περίοδο, ο μαθητής έρχεται αντιμέτωπος με τις δυσκολίες της επιστήμης. Εκτελώντας μια απλή εργασία, το παιδί μπερδεύεται, χάνεται, γεγονός που ως αποτέλεσμα οδηγεί σε αρνητικό βαθμό για την εργασία που εκτελείται. Για να αποφύγετε τέτοια προβλήματα, κατά την επίλυση παραδειγμάτων, πρέπει να μπορείτε να πλοηγηθείτε με τη σειρά με την οποία πρέπει να λύσετε το παράδειγμα. Κατανέμοντας εσφαλμένα ενέργειες, το παιδί δεν εκτελεί σωστά την εργασία. Το άρθρο αποκαλύπτει τους βασικούς κανόνες για την επίλυση παραδειγμάτων που περιέχουν όλο το φάσμα των μαθηματικών υπολογισμών, συμπεριλαμβανομένων των παρενθέσεων. Η σειρά των ενεργειών στα μαθηματικά 4η τάξη κανόνες και παραδείγματα.

Πριν ολοκληρώσετε την εργασία, ζητήστε από το παιδί σας να αριθμήσει τις ενέργειες που πρόκειται να κάνει. Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες, βοηθήστε.

Μερικοί κανόνες που πρέπει να ακολουθήσετε κατά την επίλυση παραδειγμάτων χωρίς αγκύλες:

Εάν μια εργασία χρειάζεται να εκτελέσει μια σειρά ενεργειών, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε διαίρεση ή πολλαπλασιασμό και στη συνέχεια. Όλες οι ενέργειες εκτελούνται κατά τη διάρκεια της γραφής. Διαφορετικά, το αποτέλεσμα της λύσης δεν θα είναι σωστό.

Αν στο παράδειγμα απαιτείται να εκτελεστεί, εκτελούμε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά.

27-5+15=37 (όταν λύνουμε το παράδειγμα, καθοδηγούμαστε από τον κανόνα. Πρώτα, κάνουμε αφαίρεση και μετά πρόσθεση).

Διδάξτε στο παιδί σας να σχεδιάζει και να αριθμεί πάντα τις ενέργειες που πρέπει να γίνουν.

Οι απαντήσεις σε κάθε λυμένη ενέργεια γράφονται πάνω από το παράδειγμα. Έτσι θα είναι πολύ πιο εύκολο για το παιδί να πλοηγηθεί στις ενέργειες.

Εξετάστε μια άλλη επιλογή όπου είναι απαραίτητο να διανείμετε τις ενέργειες με τη σειρά:

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά την επίλυση, τηρείται ο κανόνας, πρώτα αναζητούμε το προϊόν, μετά από αυτό - τη διαφορά.

το απλά παραδείγματαπου απαιτούν προσεκτική εξέταση. Πολλά παιδιά πέφτουν σε λήθαργο όταν βλέπουν μια εργασία στην οποία δεν υπάρχει μόνο πολλαπλασιασμός και διαίρεση, αλλά και παρενθέσεις. Ένας μαθητής που δεν γνωρίζει τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών έχει ερωτήσεις που τον εμποδίζουν να ολοκληρώσει την εργασία.

Όπως αναφέρεται στον κανόνα, πρώτα βρίσκουμε ένα έργο ή ένα συγκεκριμένο, και μετά όλα τα άλλα. Αλλά μετά υπάρχουν παρενθέσεις! Πώς να προχωρήσετε σε αυτή την περίπτωση;

Επίλυση παραδειγμάτων με αγκύλες

Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

• Κατά την εκτέλεση αυτής της εργασίας, βρείτε πρώτα την τιμή της έκφρασης που περικλείεται σε αγκύλες.
• Ξεκινήστε με τον πολλαπλασιασμό και μετά προσθέστε.
• Αφού λυθεί η έκφραση στις αγκύλες, προχωράμε στις ενέργειες έξω από αυτές.
• Σύμφωνα με τη σειρά των πράξεων, το επόμενο βήμα είναι ο πολλαπλασιασμός.
• Το τελικό βήμα θα είναι.

Όπως μπορείτε να δείτε στο ενδεικτικό παράδειγμα, όλες οι ενέργειες είναι αριθμημένες. Για να εμπεδώσετε το θέμα, καλέστε το παιδί να λύσει πολλά παραδείγματα μόνο του:

Η σειρά με την οποία πρέπει να αξιολογηθεί η τιμή της έκφρασης έχει ήδη οριστεί. Το παιδί θα πρέπει μόνο να εκτελέσει την απόφαση απευθείας.

Ας περιπλέκουμε το έργο. Αφήστε το παιδί να βρει μόνο του το νόημα των εκφράσεων.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Διδάξτε στο παιδί σας να λύνει όλες τις εργασίες σε μια πρόχειρη έκδοση. Σε αυτή την περίπτωση, ο μαθητής θα έχει την ευκαιρία να διορθώσει τη λάθος απόφαση ή τα blots. ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝδεν επιτρέπονται διορθώσεις. Όταν κάνουν εργασίες μόνα τους, τα παιδιά βλέπουν τα λάθη τους.

Οι γονείς με τη σειρά τους θα πρέπει να προσέχουν τα λάθη, να βοηθούν το παιδί να τα κατανοήσει και να τα διορθώσει. Μην φορτώνετε τον εγκέφαλο του μαθητή με μεγάλους όγκους εργασιών. Με τέτοιες ενέργειες, θα νικήσετε την επιθυμία του παιδιού για γνώση. Πρέπει να υπάρχει μια αίσθηση αναλογίας σε όλα.

Κάνε ένα διάλειμμα. Το παιδί πρέπει να αποσπάται η προσοχή και να ξεκουράζεται από τα μαθήματα. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν έχουν όλοι μια μαθηματική νοοτροπία. Ίσως το παιδί σας μεγαλώσει και γίνει διάσημος φιλόσοφος.

Για να αξιολογήσετε σωστά τις εκφράσεις στις οποίες πρέπει να εκτελέσετε περισσότερες από μία πράξεις, πρέπει να γνωρίζετε τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις. Οι αριθμητικές πράξεις στην έκφραση χωρίς αγκύλες συμφωνήθηκαν να εκτελεστούν με την ακόλουθη σειρά:

1. Εάν υπάρχει εκθετικός ρυθμός στην έκφραση, τότε αυτή η ενέργεια εκτελείται πρώτα με διαδοχική σειρά, δηλαδή από αριστερά προς τα δεξιά.
2. Στη συνέχεια (εάν υπάρχουν στην έκφραση), οι πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης εκτελούνται με τη σειρά που εμφανίζονται.
3. Οι τελευταίες (αν υπάρχουν στην έκφραση) πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης εκτελούνται με τη σειρά που εμφανίζονται.

Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη την ακόλουθη έκφραση:

Πρώτα πρέπει να εκτελέσετε εκθετικότητα (τετράγωνο τον αριθμό 4 και κύβο τον αριθμό 2):

3 16 - 8: 2 + 20

Στη συνέχεια εκτελούνται ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση (3 φορές το 16 και το 8 διαιρούμενο με το 2):

Και στο τέλος, εκτελούνται αφαίρεση και πρόσθεση (αφαιρέστε 4 από 48 και προσθέστε 20 στο αποτέλεσμα):

48 - 4 + 20 = 44 + 20 = 64

Βήματα 1 και 2

Οι αριθμητικές πράξεις χωρίζονται σε πράξεις του πρώτου και του δεύτερου σταδίου. Πρόσθεση και αφαίρεση λέγονται ενέργειες πρώτου βήματος, πολλαπλασιασμός και διαίρεση - ενέργειες δεύτερου βήματος.

Εάν η έκφραση περιέχει ενέργειες ενός μόνο σταδίου και δεν υπάρχουν αγκύλες, τότε οι ενέργειες εκτελούνται με τη σειρά που εμφανίζονται από αριστερά προς τα δεξιά.

Παράδειγμα 1

15 + 17 - 20 + 8 - 12

Λύση.Αυτή η έκφραση περιέχει τις ενέργειες ενός μόνο σταδίου - του πρώτου (πρόσθεση και αφαίρεση). Είναι απαραίτητο να καθοριστεί η σειρά των ενεργειών και να πραγματοποιηθούν.

Απάντηση: 42.

Εάν η έκφραση περιέχει τις ενέργειες και των δύο σταδίων, τότε οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου εκτελούνται πρώτα, με τη σειρά τους (από αριστερά προς τα δεξιά) και μετά οι ενέργειες του πρώτου σταδίου.

Παράδειγμα.Υπολογίστε την τιμή μιας παράστασης:

24:3 + 5 2 - 17

Λύση.Αυτή η έκφραση περιέχει τέσσερις ενέργειες: δύο από το πρώτο στάδιο και δύο από το δεύτερο. Ας ορίσουμε τη σειρά εκτέλεσής τους: σύμφωνα με τον κανόνα, η πρώτη ενέργεια θα είναι διαίρεση, η δεύτερη - πολλαπλασιασμός, η τρίτη - πρόσθεση και η τέταρτη - αφαίρεση.

Τώρα ας ξεκινήσουμε τον υπολογισμό.