Ιδιότητες της συνάρτησης y x 2n. Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητες και γράφημα. Ο παρονομαστής του κλασματικού δείκτη είναι άρτιος

Στον τομέα της συνάρτησης ισχύος y = x p, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Ιδιότητες συναρτήσεων ισχύος και γραφικές παραστάσεις τους

Συνάρτηση ισχύος με εκθέτη ίσο με μηδέν, p = 0

Αν ο εκθέτης της συνάρτησης ισχύος y = x p είναι ίσος με μηδέν, p = 0 , τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για όλα τα x ≠ 0 και είναι σταθερή, ίση με ένα:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Συνάρτηση ισχύος με φυσικό περιττό εκθέτη, p = n = 1, 3, 5, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με φυσικό περιττό εκθέτη n = 1, 3, 5, ... . Ένας τέτοιος δείκτης μπορεί επίσης να γραφτεί ως: n = 2k + 1, όπου k = 0, 1, 2, 3, ... είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Παρακάτω είναι οι ιδιότητες και τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων.

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ... .

Τομέα: -∞ < x < ∞
Πολλαπλές τιμές: -∞ < y < ∞
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο -∞< x < 0 выпукла вверх
στο 0< x < ∞ выпукла вниз
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ: x=0, y=0
x=0, y=0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
σε x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
για x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = 1 , η συνάρτηση είναι αντίστροφη προς τον εαυτό της: x = y
για n ≠ 1, η αντίστροφη συνάρτηση είναι μια ρίζα του βαθμού n:

Συνάρτηση ισχύος με φυσικό άρτιο εκθέτη, p = n = 2, 4, 6, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη n = 2, 4, 6, ... . Ένας τέτοιος δείκτης μπορεί επίσης να γραφτεί ως: n = 2k, όπου k = 1, 2, 3, ... είναι ένας φυσικός αριθμός. Οι ιδιότητες και τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων δίνονται παρακάτω.

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 2, 4, 6, ... .

Τομέα: -∞ < x < ∞
Πολλαπλές τιμές: 0 ≤ y< ∞
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
για x ≤ 0 μειώνεται μονοτονικά
για x ≥ 0 αυξάνεται μονοτονικά
Ακρα:ελάχιστο, x=0, y=0
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
για x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = 2, Τετραγωνική ρίζα:
για n ≠ 2, ρίζα βαθμού n:

Συνάρτηση ισχύος με ακέραιο αρνητικό εκθέτη, p = n = -1, -2, -3, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με αρνητικό ακέραιο εκθέτη n = -1, -2, -3, ... . Αν βάλουμε n = -k, όπου k = 1, 2, 3, ... είναι φυσικός αριθμός, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με αρνητικό ακέραιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = -1, -2, -3, ... .

Περιττός εκθέτης, n = -1, -3, -5, ...

Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με περιττό αρνητικό εκθέτη n = -1, -3, -5, ... .

Τομέα: x ≠ 0
Πολλαπλές τιμές: y ≠ 0
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:μειώνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο x< 0 : выпукла вверх
για x > 0 : κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Σημάδι:
στο x< 0, y < 0
για x > 0, y > 0
Όρια:
; ; ;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = -1,
για ν< -2 ,

Ζυγός εκθέτης, n = -2, -4, -6, ...

Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με άρτιο αρνητικό εκθέτη n = -2, -4, -6, ... .

Τομέα: x ≠ 0
Πολλαπλές τιμές: y > 0
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
στο x< 0 : монотонно возрастает
για x > 0 : μονοτονικά φθίνουσα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Σημάδι: y > 0
Όρια:
; ; ;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = -2,
για ν< -2 ,

Συνάρτηση ισχύος με ορθολογικό (κλασματικό) εκθέτη

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p με λογικό (κλασματικό) εκθέτη , όπου n είναι ακέραιος, m > 1 είναι φυσικός αριθμός. Επιπλέον, τα n, m δεν έχουν κοινούς διαιρέτες.

Ο παρονομαστής του κλασματικού δείκτη είναι περιττός

Έστω περιττός ο παρονομαστής του κλασματικού εκθέτη: m = 3, 5, 7, ... . Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση ισχύος x p ορίζεται τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές τιμές x. Εξετάστε τις ιδιότητες τέτοιων συναρτήσεων ισχύος όταν ο εκθέτης p είναι εντός ορισμένων ορίων.

Το p είναι αρνητικό, p< 0

Έστω ο ορθολογικός εκθέτης (με περιττό παρονομαστή m = 3, 5, 7, ... ) μικρότερος από το μηδέν: .

Γραφήματα εκθετικών συναρτήσεων με ορθολογικό αρνητικό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη, όπου m = 3, 5, 7, ... είναι περιττό.

Περιττός αριθμητής, n = -1, -3, -5, ...

Εδώ είναι οι ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με λογικό αρνητικό εκθέτη , όπου n = -1, -3, -5, ... είναι περιττός αρνητικός ακέραιος, m = 3, 5, 7 ... είναι ένας περιττός φυσικός αριθμός.

Τομέα: x ≠ 0
Πολλαπλές τιμές: y ≠ 0
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:μειώνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο x< 0 : выпукла вверх
για x > 0 : κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Σημάδι:
στο x< 0, y < 0
για x > 0, y > 0
Όρια:
; ; ;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ζυγός αριθμητής, n = -2, -4, -6, ...

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό αρνητικό εκθέτη, όπου n = -2, -4, -6, ... είναι άρτιος αρνητικός ακέραιος, m = 3, 5, 7 ... είναι περιττός φυσικός αριθμός .

Τομέα: x ≠ 0
Πολλαπλές τιμές: y > 0
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
στο x< 0 : монотонно возрастает
για x > 0 : μονοτονικά φθίνουσα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Σημάδι: y > 0
Όρια:
; ; ;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Η τιμή p είναι θετική, μικρότερη από ένα, 0< p < 1

Γράφημα συνάρτησης ισχύος με λογικό εκθέτη (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Περιττός αριθμητής, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Τομέα: -∞ < x < +∞
Πολλαπλές τιμές: -∞ < y < +∞
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο x< 0 : выпукла вниз
για x > 0 : κυρτό προς τα πάνω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ: x=0, y=0
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Σημάδι:
στο x< 0, y < 0
για x > 0, y > 0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = -1
για x = 0, y(0) = 0
για x = 1, y(1) = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ζυγός αριθμητής, n = 2, 4, 6, ...

Παρουσιάζονται οι ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό εκθέτη , που βρίσκεται εντός 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Τομέα: -∞ < x < +∞
Πολλαπλές τιμές: 0 ≤ y< +∞
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
στο x< 0 : монотонно убывает
για x > 0 : μονοτονικά αυξανόμενη
Ακρα:ελάχιστο σε x = 0, y = 0
Κυρτός:κυρτό προς τα πάνω στο x ≠ 0
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Σημάδι:για x ≠ 0, y > 0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = 1
για x = 0, y(0) = 0
για x = 1, y(1) = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ο εκθέτης p είναι μεγαλύτερος από ένα, p > 1

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος με ορθολογικό εκθέτη (p > 1 ) για διάφορες τιμές του εκθέτη , όπου m = 3, 5, 7, ... είναι περιττό.

Περιττός αριθμητής, n = 5, 7, 9, ...

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό εκθέτη μεγαλύτερο του ενός: . Όπου n = 5, 7, 9, ... είναι περιττός φυσικός αριθμός, m = 3, 5, 7 ... είναι περιττός φυσικός αριθμός.

Τομέα: -∞ < x < ∞
Πολλαπλές τιμές: -∞ < y < ∞
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο -∞< x < 0 выпукла вверх
στο 0< x < ∞ выпукла вниз
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ: x=0, y=0
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = -1
για x = 0, y(0) = 0
για x = 1, y(1) = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ζυγός αριθμητής, n = 4, 6, 8, ...

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό εκθέτη μεγαλύτερο του ενός: . Όπου n = 4, 6, 8, ... είναι άρτιος φυσικός αριθμός, m = 3, 5, 7 ... είναι περιττός φυσικός αριθμός.

Τομέα: -∞ < x < ∞
Πολλαπλές τιμές: 0 ≤ y< ∞
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
στο x< 0 монотонно убывает
για x > 0 αυξάνεται μονοτονικά
Ακρα:ελάχιστο σε x = 0, y = 0
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = 1
για x = 0, y(0) = 0
για x = 1, y(1) = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ο παρονομαστής του κλασματικού δείκτη είναι άρτιος

Έστω άρτιος ο παρονομαστής του κλασματικού εκθέτη: m = 2, 4, 6, ... . Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση ισχύος x p δεν ορίζεται για αρνητικές τιμές του ορίσματος. Οι ιδιότητές του συμπίπτουν με αυτές μιας συνάρτησης ισχύος με παράλογο εκθέτη (δείτε την επόμενη ενότητα).

Συνάρτηση ισχύος με παράλογο εκθέτη

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p με παράλογο εκθέτη p . Οι ιδιότητες τέτοιων συναρτήσεων διαφέρουν από αυτές που εξετάστηκαν παραπάνω στο ότι δεν ορίζονται για αρνητικές τιμές του ορίσματος x. Για θετικές αξίεςόρισμα, οι ιδιότητες εξαρτώνται μόνο από την τιμή του εκθέτη p και δεν εξαρτώνται από το αν το p είναι ακέραιος, ορθολογικός ή παράλογος.

y = x p για διαφορετικές τιμές του εκθέτη p.

Συνάρτηση ισχύος με αρνητικό p< 0

Τομέα: x > 0
Πολλαπλές τιμές: y > 0
Μονότονη ομιλία:μειώνεται μονότονα
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Όρια: ;
ιδιωτική αξία:Για x = 1, y(1) = 1 p = 1

Συνάρτηση ισχύος με θετικό εκθέτη p > 0

Ο δείκτης είναι μικρότερος από ένα 0< p < 1

Τομέα: x ≥ 0
Πολλαπλές τιμές: y ≥ 0
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Κυρτός:κυρτό
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
Ιδιωτικές αξίες:Για x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Για x = 1, y(1) = 1 p = 1

Ο δείκτης είναι μεγαλύτερος από ένα p > 1

Τομέα: x ≥ 0
Πολλαπλές τιμές: y ≥ 0
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
Ιδιωτικές αξίες:Για x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Για x = 1, y(1) = 1 p = 1

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.

1. Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητες και γραφική παράσταση.

2. Μετασχηματισμοί:

Παράλληλη μεταφορά;

Συμμετρία ως προς τους άξονες συντεταγμένων.

Συμμετρία σχετικά με την προέλευση.

Συμμετρία ως προς την ευθεία y = x;

Τέντωμα και συρρίκνωση κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων.

3. Εκθετικη συναρτηση, τις ιδιότητες και το γράφημα, παρόμοιοι μετασχηματισμοί.

4. Λογαριθμική συνάρτηση, ιδιότητες και γραφική παράσταση.

5. Τριγωνομετρική συνάρτηση, ιδιότητες και γραφική παράσταση της, παρόμοιοι μετασχηματισμοί (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Συνάρτηση: y = x\n - οι ιδιότητες και η γραφική παράσταση της.

Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητες και γράφημα

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / xκτλ. Όλες αυτές οι συναρτήσεις είναι ειδικές περιπτώσεις της συνάρτησης ισχύος, δηλ. της συνάρτησης y = xp, όπου p είναι ένας δεδομένος πραγματικός αριθμός.
Οι ιδιότητες και η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ισχύος εξαρτώνται ουσιαστικά από τις ιδιότητες μιας ισχύος με πραγματικό εκθέτη, και ειδικότερα από τις τιμές για τις οποίες Χκαι Πβγάζει νόημα xp. Ας προχωρήσουμε σε παρόμοια εξέταση διαφόρων περιπτώσεων, ανάλογα με
εκθέτης Π.

1. Δείκτης p = 2n- ακόμη και φυσικός αριθμός.

y=x2n, όπου nείναι φυσικός αριθμός και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, δηλαδή το σύνολο R.
• σύνολο τιμών - μη αρνητικοί αριθμοί, δηλαδή το y είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0.
• λειτουργία y=x2nακόμη, γιατί x 2n = (-x) 2n
• η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα Χ< 0 και αυξάνεται στο μεσοδιάστημα x > 0.

Γράφημα συνάρτησης y=x2nέχει την ίδια μορφή με, για παράδειγμα, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y=x4.

2. Δείκτης p = 2n - 1- περιττός φυσικός αριθμός

Σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία ισχύος y=x2n-1, όπου είναι ένας φυσικός αριθμός, έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• τομέας ορισμού - σύνολο R;
• σύνολο τιμών - σύνολο R;
• λειτουργία y=x2n-1περίεργο γιατί (- x) 2n-1= x 2n-1;
• η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα.

Γράφημα συνάρτησης y=x2n-1 y=x3.

3. Δείκτης p=-2n, όπου n-φυσικός αριθμός.

Σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία ισχύος y=x-2n=1/x2nέχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• σύνολο τιμών - θετικοί αριθμοί y>0;
• συνάρτηση y = 1/x2nακόμη, γιατί 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα x0.

Γράφημα της συνάρτησης y = 1/x2nέχει την ίδια μορφή με, για παράδειγμα, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x2.

4. Δείκτης p = -(2n-1), όπου n- φυσικός αριθμός.
Σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία ισχύος y=x-(2n-1)έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο R, εκτός από το x = 0.
• σύνολο τιμών - σύνολο R, εκτός από το y = 0;
• λειτουργία y=x-(2n-1)περίεργο γιατί (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• η συνάρτηση μειώνεται στα διαστήματα Χ< 0 και x > 0.

Γράφημα συνάρτησης y=x-(2n-1)έχει την ίδια μορφή με, για παράδειγμα, το γράφημα της συνάρτησης y = 1/x3.

Η συνάρτηση y \u003d x2n, όπου το n ανήκει στο σύνολο των θετικών ακεραίων. Μια συνάρτηση ισχύος αυτού του είδους έχει άρτιο θετικό εκθέτη a=2n. Επειδή πάντα x2n=(-x)2n, οι γραφικές παραστάσεις όλων αυτών των συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y. Όλες οι συναρτήσεις της μορφής y = x2n, το n ανήκει στο σύνολο των θετικών ακεραίων έχουν τις εξής ίδιες ιδιότητες: X=R X; =(-?;?) Y=Ιδιότητες της συνάρτησης arcsin

1. [Επεξεργασία] Λήψη της λειτουργίας arcsin

Δίνεται μια λειτουργία καθ' όλη τη διάρκεια της τομείςαυτή είναι τμηματικά μονοτονικό, και ως εκ τούτου η αντίστροφη αντιστοιχία δεν είναι συνάρτηση. Επομένως, εξετάζουμε το διάστημα στο οποίο αυξάνεται αυστηρά και παίρνει όλες τις τιμές σειρές- . Εφόσον για μια συνάρτηση στο διάστημα, κάθε τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της συνάρτησης, τότε σε αυτό το τμήμα υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση του οποίου η γραφική παράσταση είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα ως προς μια ευθεία γραμμή