Δίνεται δεξιός κυκλικός κώνος με κορυφή m Θέμα: Δεξί κυκλικός κώνος. Τομή ενός κώνου με αεροπλάνα. Έλειψη, υπερβολή και παραβολή ως κωνικές τομές

Έστω ένας δεξιός κυκλικός κύλινδρος, το οριζόντιο επίπεδο των προεξοχών είναι παράλληλο στη βάση του. Όταν το επίπεδο τέμνει τον κύλινδρο γενική θέση(υποθέτουμε ότι το επίπεδο δεν τέμνει τις βάσεις του κυλίνδρου) η γραμμή τομής είναι έλλειψη, το ίδιο το τμήμα έχει σχήμα έλλειψης, η οριζόντια προβολή του συμπίπτει με την προβολή της βάσης του κυλίνδρου και η μετωπική έχει επίσης σχήμα έλλειψης. Αλλά εάν το επίπεδο κοπής κάνει γωνία ίση με 45 ° με τον άξονα του κυλίνδρου, τότε το τμήμα, που έχει σχήμα έλλειψης, προβάλλεται από έναν κύκλο σε εκείνο το επίπεδο προεξοχών προς το οποίο το τμήμα έχει κλίση στο ίδιο γωνία.

Εάν το επίπεδο κοπής τέμνει την πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου και μια από τις βάσεις του (Εικ. 8.6), τότε η γραμμή τομής έχει το σχήμα ατελούς έλλειψης (τμήμα έλλειψης). Η οριζόντια προβολή του τμήματος σε αυτή την περίπτωση είναι μέρος του κύκλου (προβολή της βάσης) και η μετωπική είναι μέρος της έλλειψης. Το επίπεδο μπορεί να βρίσκεται κάθετα σε οποιοδήποτε επίπεδο προβολής, τότε το τμήμα θα προβάλλεται σε αυτό το επίπεδο προβολής με μια ευθεία γραμμή (μέρος του ίχνους του επιπέδου τομής).

Εάν ο κύλινδρος τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη γεννήτρια, τότε οι γραμμές τομής με την πλευρική επιφάνεια είναι ευθείες και το ίδιο το τμήμα έχει σχήμα ορθογωνίου εάν ο κύλινδρος είναι ευθύγραμμο ή παραλληλόγραμμο εάν ο κύλινδρος είναι κεκλιμένος.

Όπως γνωρίζετε, τόσο ο κύλινδρος όσο και ο κώνος σχηματίζονται από επιφάνειες με προσανατολισμό.

Η γραμμή τομής (γραμμή κοπής) της διαβαθμισμένης επιφάνειας και του επιπέδου στη γενική περίπτωση είναι μια ορισμένη καμπύλη, η οποία κατασκευάζεται από τα σημεία τομής των γεννητριών με το επίπεδο τομής.

Ας δοθεί ίσιος κυκλικός κώνος.Όταν το διασχίζουμε με επίπεδο, η γραμμή τομής μπορεί να έχει τη μορφή: τριγώνου, έλλειψης, κύκλου, παραβολής, υπερβολής (Εικ. 8.7), ανάλογα με τη θέση του επιπέδου.

Ένα τρίγωνο προκύπτει όταν το επίπεδο κοπής, που διασχίζει τον κώνο, διέρχεται από την κορυφή του. Στην περίπτωση αυτή, οι γραμμές τομής με την πλευρική επιφάνεια είναι ευθείες γραμμές που τέμνονται στην κορυφή του κώνου, οι οποίες μαζί με τη γραμμή τομής της βάσης σχηματίζουν ένα τρίγωνο που προβάλλεται στα επίπεδα προβολής με παραμόρφωση. Εάν το επίπεδο τέμνει τον άξονα του κώνου, τότε λαμβάνεται ένα τρίγωνο στην τομή, στο οποίο η γωνία με την κορυφή που συμπίπτει με την κορυφή του κώνου θα είναι μέγιστη για τα τμήματα τριγώνου του δεδομένου κώνου. Στην περίπτωση αυτή, το τμήμα προβάλλεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής (είναι παράλληλο στη βάση του) από ένα ευθύγραμμο τμήμα.

Η ευθεία τομής ενός επιπέδου και ενός κώνου θα είναι έλλειψη εάν το επίπεδο δεν είναι παράλληλο με καμία από τις γεννήτριες του κώνου. Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το επίπεδο τέμνει όλες τις γεννήτριες (όλη την πλευρική επιφάνεια του κώνου). Εάν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο με τη βάση του κώνου, τότε η γραμμή τομής είναι κύκλος, το ίδιο το τμήμα προβάλλεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής χωρίς παραμόρφωση και στο μετωπικό επίπεδο - ως ευθύγραμμο τμήμα.

Η γραμμή τομής θα είναι παραβολή όταν το επίπεδο τομής είναι παράλληλο μόνο σε μία γενεαλογική διάταξη του κώνου. Εάν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο σε δύο γεννήτριες ταυτόχρονα, τότε η γραμμή τομής είναι υπερβολή.

Ένας κόλουρος κώνος προκύπτει εάν ένας δεξιός κυκλικός κώνος τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση και κάθετο στον άξονα του κώνου και το πάνω μέρος απορρίπτεται. Στην περίπτωση που το οριζόντιο επίπεδο προβολής είναι παράλληλο με τις βάσεις του κόλουρου κώνου, αυτές οι βάσεις προβάλλονται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής χωρίς παραμόρφωση από ομόκεντρους κύκλους και η μετωπική προβολή είναι τραπεζοειδής. Όταν ένας κόλουρος κώνος τέμνεται από ένα επίπεδο, ανάλογα με τη θέση του, η γραμμή κοπής μπορεί να πάρει τη μορφή τραπεζοειδούς, έλλειψης, κύκλου, παραβολής, υπερβολής ή τμήματος μιας από αυτές τις καμπύλες, τα άκρα των οποίων συνδέονται με ευθεία.

ΚΕΙΜΕΝΟ ΕΞΗΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:

Συνεχίζουμε τη μελέτη της ενότητας στερεάς γεωμετρίας «Σώμα της επανάστασης».

Τα σώματα της επανάστασης περιλαμβάνουν: κύλινδρους, κώνους, μπάλες.

Ας θυμηθούμε τους ορισμούς.

Ύψος είναι η απόσταση από την κορυφή μιας φιγούρας ή σώματος μέχρι τη βάση της φιγούρας (σώμα). Διαφορετικά, ένα τμήμα που συνδέει το πάνω και το κάτω μέρος του σχήματος και είναι κάθετο σε αυτό.

Θυμηθείτε, για να βρείτε το εμβαδόν ενός κύκλου, πολλαπλασιάστε το pi με το τετράγωνο της ακτίνας.

Το εμβαδόν του κύκλου είναι ίσο.

Θυμηθείτε πώς να βρείτε την περιοχή ενός κύκλου, γνωρίζοντας τη διάμετρο; Επειδή

ας το βάλουμε στον τύπο:

Ένας κώνος είναι επίσης ένα σώμα επανάστασης.

Ένας κώνος (ακριβέστερα, ένας κυκλικός κώνος) είναι ένα σώμα που αποτελείται από έναν κύκλο - τη βάση του κώνου, ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του κύκλου - την κορυφή του κώνου και όλα τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή του ο κώνος με τα σημεία της βάσης.

Ας εξοικειωθούμε με τον τύπο για την εύρεση του όγκου ενός κώνου.

Θεώρημα. Ο όγκος ενός κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο της επιφάνειας βάσης πολλαπλασιαζόμενο επί το ύψος.

Ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα.

Δίνεται: ένας κώνος, S είναι το εμβαδόν της βάσης του,

h είναι το ύψος του κώνου

Απόδειξη: V=

Απόδειξη: Θεωρήστε έναν κώνο με όγκο V, ακτίνα βάσης R, ύψος h και κορυφή στο σημείο O.

Ας εισάγουμε τον άξονα Ox μέσω του ΟΜ, τον άξονα του κώνου. Μια αυθαίρετη τομή ενός κώνου από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα x είναι ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο

M1 - το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Ox. Ας συμβολίσουμε την ακτίνα αυτού του κύκλου ως R1 και την περιοχή διατομής ως S(x), όπου x είναι η τετμημένη του σημείου M1.

Από την ομοιότητα των ορθογώνιων τριγώνων OM1A1 και OMA (ے OM1A1 = ے OMA - ευθείες γραμμές, ےMOA-κοινή, που σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι παρόμοια σε δύο γωνίες) προκύπτει ότι

Το σχήμα δείχνει ότι OM1=x, OM=h

ή όπου με την ιδιότητα της αναλογίας βρίσκουμε R1 = .

Δεδομένου ότι η τομή είναι κύκλος, τότε S (x) \u003d πR12, αντικαθιστούμε την προηγούμενη έκφραση αντί για R1, η περιοχή τομής είναι ίση με την αναλογία του γινομένου του pier τετράγωνο επί τετράγωνο x προς το τετράγωνο του ύψους:

Ας εφαρμόσουμε τον βασικό τύπο

Υπολογίζοντας τους όγκους των σωμάτων, με a=0, b=h, παίρνουμε την έκφραση (1)

Δεδομένου ότι η βάση του κώνου είναι ένας κύκλος, το εμβαδόν S της βάσης του κώνου θα είναι ίσο με το τετράγωνο pier

στον τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός σώματος, αντικαθιστούμε την τιμή του τετραγώνου pier από το εμβαδόν της βάσης και παίρνουμε ότι ο όγκος του κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου της περιοχής της βάσης και του ύψους

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συμπέρασμα του θεωρήματος (τύπος για τον όγκο ενός κόλουρου κώνου)

Ο όγκος V ενός κόλουρου κώνου, του οποίου το ύψος είναι h, και τα εμβαδά των βάσεων S και S1, υπολογίζεται με τον τύπο

Το Ve ισούται με το ένα τρίτο της τέφρας πολλαπλασιαζόμενο με το άθροισμα των εμβαδών των βάσεων και την τετραγωνική ρίζα του γινομένου των εμβαδών της βάσης.

Επίλυση προβλήματος

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη 3 cm και 4 cm περιστρέφεται γύρω από την υποτείνουσα. Προσδιορίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει.

Όταν το τρίγωνο περιστρέφεται γύρω από την υποτείνουσα, παίρνουμε έναν κώνο. Κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι είναι δυνατές δύο περιπτώσεις. Σε καθένα από αυτά, εφαρμόζουμε τον τύπο για την εύρεση του όγκου ενός κώνου: ο όγκος ενός κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου της βάσης και του ύψους

Στην πρώτη περίπτωση, το σχέδιο θα μοιάζει με αυτό: δίνεται ένας κώνος. Έστω ακτίνα r = 4, ύψος h = 3

Το εμβαδόν της βάσης είναι ίσο με το γινόμενο π επί του τετραγώνου της ακτίνας

Τότε ο όγκος του κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του π επί του τετραγώνου της ακτίνας επί του ύψους.

Αντικαταστήστε την τιμή στον τύπο, αποδεικνύεται ότι ο όγκος του κώνου είναι 16π.

Στη δεύτερη περίπτωση, ως εξής: δίνεται ένας κώνος. Έστω ακτίνα r = 3, ύψος h = 4

Ο όγκος ενός κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο της επιφάνειας βάσης πολλαπλασιαζόμενο επί το ύψος:

Το εμβαδόν της βάσης είναι ίσο με το γινόμενο π επί του τετραγώνου της ακτίνας:

Τότε ο όγκος του κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του π επί του τετραγώνου της ακτίνας επί του ύψους:

Αντικαταστήστε την τιμή στον τύπο, αποδεικνύεται ότι ο όγκος του κώνου είναι 12π.

Απάντηση: Ο όγκος του κώνου V είναι 16 π ή 12 π

Πρόβλημα 2. Δίνεται ορθός κυκλικός κώνος ακτίνας 6 cm, γωνία BCO = 45 .

Βρείτε τον όγκο του κώνου.

Λύση: Δίνεται ένα έτοιμο σχέδιο για αυτήν την εργασία.

Ας γράψουμε τον τύπο για την εύρεση του όγκου ενός κώνου:

Το εκφράζουμε ως προς την ακτίνα της βάσης R:

Βρίσκουμε το h \u003d BO κατά κατασκευή, - ορθογώνιο, επειδή γωνία BOC=90 (το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου), οι γωνίες στη βάση είναι ίσες, άρα το τρίγωνο ΔBOC είναι ισοσκελές και BO=OC=6 cm.

Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα

Γυμνάσιο Alekseevskaya

"Εκπαιδευτικό Κέντρο"

Ανάπτυξη μαθήματος

Θέμα: ΑΜΕΣΟΣ ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΚΩΝΟΣ.

ΤΜΗΜΑ ΚΩΝΟΥ ΑΠΟ ΠΛΑΚΑ

Δάσκαλος μαθηματικών

ακαδημαϊκό έτος

Θέμα: ΑΜΕΣΟΣ ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΚΩΝΟΣ.

ΤΜΗΜΑ ΚΩΝΟΥ ΑΠΟ ΠΛΑΚΑ.

Σκοπός του μαθήματος:να αναλύσει τους ορισμούς ενός κώνου και δευτερευουσών εννοιών (κορυφή, βάση, γεννήτριες, ύψος, άξονας).

εξετάστε τα τμήματα του κώνου που διέρχονται από την κορυφή, συμπεριλαμβανομένων των αξονικών.

να προωθήσει την ανάπτυξη της χωρικής φαντασίας των μαθητών.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός: να μελετήσει τις βασικές έννοιες ενός σώματος επανάστασης (κώνου).

Ανάπτυξη: να συνεχίσει το σχηματισμό των δεξιοτήτων ανάλυσης, σύγκρισης. ικανότητα να τονίζει το κύριο πράγμα, να διατυπώνει συμπεράσματα.

Εκπαιδευτικός: ενθάρρυνση του ενδιαφέροντος των μαθητών για μάθηση, ενθάρρυνση επικοινωνιακών δεξιοτήτων.

Τύπος μαθήματος:διάλεξη.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:αναπαραγωγικό, προβληματικό, εν μέρει αναζήτηση.

Εξοπλισμός:τραπέζι, μοντέλα σωμάτων της επανάστασης, εξοπλισμός πολυμέσων.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Εγώ. Οργάνωση χρόνου.

Στα προηγούμενα μαθήματα, έχουμε ήδη εξοικειωθεί με τα σώματα της επανάστασης και σταθήκαμε στην έννοια του κυλίνδρου με περισσότερες λεπτομέρειες. Στον πίνακα βλέπετε δύο σχέδια και, δουλεύοντας σε ζευγάρια, διατυπώνετε τις σωστές ερωτήσεις για το θέμα που καλύπτεται.

Π. Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.

Εργαστείτε σε ζευγάρια χρησιμοποιώντας έναν θεματικό πίνακα (ένα πρίσμα εγγεγραμμένο σε έναν κύλινδρο και ένα πρίσμα που περιγράφεται κοντά στον κύλινδρο).

Για παράδειγμα, σε ζευγάρια και μεμονωμένα, οι μαθητές μπορούν να κάνουν τις ακόλουθες ερωτήσεις:

Τι είναι ένας κυκλικός κύλινδρος (γεννήτρια κυλίνδρου, βάση κυλίνδρου, πλευρική επιφάνειακύλινδρος)?

Ποιο πρίσμα ονομάζεται εγγεγραμμένο κοντά σε κύλινδρο;

Ποιο επίπεδο ονομάζεται εφαπτομενικό στον κύλινδρο;

Τι σχήματα είναι τα πολύγωνα; αλφάβητο, ΕΝΑ1 σι1 ντο1 , ABCDEκαιΕΝΑ1 σι1 ντο1 ρε1 μι1 ?

- Τι είδους πρίσμα είναι ένα πρίσμα ABCDEABCDE? (Ευθείαμου.)

- Αποδείξτε ότι είναι ευθύ πρίσμα.

(προαιρετικά 2 ζευγάρια μαθητών στον πίνακα κάνουν τη δουλειά)

III. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων.

Σύμφωνα με το υλικό της επιπεδομετρίας:

Το θεώρημα του Θαλή.

Ιδιότητες ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτρίγωνο;

Περιοχή κύκλου.

Σύμφωνα με το υλικό της στερεομετρίας:

έννοια ομοιογένεια?

Η γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου.

IV.Εκμάθηση νέου υλικού.

(εκπαιδευτικό και μεθοδικό σύνολο «Ζωντανά Μαθηματικά », Συνημμένο 1.)

Μετά την παρουσίαση του υλικού προτείνεται σχέδιο εργασίας:

1. Ορισμός κώνου.

2. Ορισμός δεξιού κώνου.

3. Στοιχεία κώνου.

4. Ανάπτυξη του κώνου.

5. Απόκτηση κώνου ως σώμα επανάστασης.

6. Τύποι τμημάτων του κώνου.

Οι μαθητές θα βρουν τις απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις μόνοι τους.παιδιά στις παραγράφους 184-185, συνοδεύοντάς τα με ζωγραφιές.

Βαλεολογική παύση:Κουρασμένος? Ας ξεκουραστούμε πριν το επόμενο πρακτικό στάδιο της δουλειάς!

Μασάζ των αντανακλαστικών ζωνών στο αυτί, υπεύθυνες για το έργο των εσωτερικών οργάνων.

· Μασάζ αντανακλαστικών ζωνών στις παλάμες των χεριών.

Γυμναστική για τα μάτια (στραβισμός και απότομα ανοίξτε τα μάτια σας).

Τέντωμα της σπονδυλικής στήλης (σηκώστε τα χέρια σας ψηλά, τραβήξτε τον εαυτό σας προς τα πάνω με το δεξί και μετά με το αριστερό σας χέρι)

Αναπνευστικές ασκήσεις με στόχο τον κορεσμό του εγκεφάλου με οξυγόνο (εισπνεύστε απότομα από τη μύτη 5 φορές)

Καταρτίζεται θεματικός πίνακας (μαζί με τον δάσκαλο), που συνοδεύει τη συμπλήρωση του πίνακα με ερωτήσεις και υλικό που λαμβάνεται από διάφορες πηγές (σχολικό βιβλίο και παρουσίαση υπολογιστή)

"Κώνος. Φρούτουμ».

v.Διόρθωση του υλικού.

Μπροστινή εργασία.

· Προφορικά (χρησιμοποιώντας ένα έτοιμο σχέδιο)Το Νο 9 και το Νο 10 λύνονται.

(δύο μαθητές εξηγούν τη λύση των προβλημάτων, οι υπόλοιποι μπορούν να κάνουν σύντομες σημειώσεις σε τετράδια)

Νο. 9. Η ακτίνα της βάσης του κώνου είναι 3m, το ύψος του κώνου είναι 4m. βρείτε τη γεννήτρια.

(Λύση:μεγάλο=√ R2 + H2 =√32+42=√25=5μ.)

Νο. 10 Σχηματισμός κώνου μεγάλοκλίση προς το επίπεδο βάσης υπό γωνία 30°. Βρείτε το ύψος.

(Λύση:H = μεγάλο αμαρτία 30◦ = μεγάλο|2.)

· Λύστε το πρόβλημα σύμφωνα με το ολοκληρωμένο σχέδιο.

Το ύψος του κώνου είναι h. Μέσω γεννητριών MAκαι MBσχεδιάζεται ένα επίπεδο που κάνει γωνία έναμε το επίπεδο της βάσης του κώνου. Χορδή ΑΒστενεύει ένα τόξο με μέτρο μοίρας R.

1. Να αποδείξετε ότι η τομή ενός κώνου από ένα επίπεδο MAV- ισοσκελές τρίγωνο.

2. Εξηγήστε πώς να κατασκευάσετε τη γραμμική γωνία μιας διεδρικής γωνίας που σχηματίζεται από το επίπεδο τομής και το επίπεδο της βάσης του κώνου.

3. Βρείτε ΚΥΡΙΑ.

4. Κάντε (και εξηγήστε) ένα σχέδιο για τον υπολογισμό του μήκους της συγχορδίας ΑΒκαι τομή MAV.

5. Δείξτε στο σχήμα πώς μπορείτε να σχεδιάσετε μια κάθετη από ένα σημείο Οστο επίπεδο του τμήματος MAV(δικαιολογήστε την κατασκευή).

· Επανάληψη:

μελετημένο υλικό από την επιπεδομετρία:

Ορισμός ισοσκελούς τριγώνου.

Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου.

Εμβαδόν τριγώνου

μελετημένο υλικό από τη στερεομετρία:

Προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ των επιπέδων.

Μια μέθοδος για την κατασκευή μιας γραμμικής γωνίας μιας διεδρικής γωνίας.

Τεστ αυτοαξιολογισης

1. Σχεδιάστε σώματα περιστροφής που σχηματίζονται από την περιστροφή των επίπεδων μορφών που φαίνονται στο σχήμα.

2. Καθορίστε ποια περιστροφή επίπεδη φιγούρατο εικονιζόμενο σώμα της επανάστασης αποδείχθηκε.

Εισαγωγή

Συνάφεια του ερευνητικού θέματος.Οι κωνικές τομές ήταν ήδη γνωστές στους μαθηματικούς Αρχαία Ελλάδα(για παράδειγμα, Menechmu, 4ος αιώνας π.Χ.) Με τη βοήθεια αυτών των καμπυλών, λύθηκαν ορισμένα κατασκευαστικά προβλήματα (διπλασιασμός του κύβου κ.λπ.), τα οποία αποδείχθηκαν απρόσιτα όταν χρησιμοποιούσατε τα πιο απλά εργαλεία σχεδίασης - πυξίδες και χάρακες. Στις πρώτες μελέτες που μας έχουν φτάσει, οι Έλληνες γεωμέτροι απέκτησαν κωνικές τομές σχεδιάζοντας ένα επίπεδο κοπής κάθετο σε μία από τις γεννήτριες, ενώ, ανάλογα με τη γωνία ανοίγματος στην κορυφή του κώνου (δηλ. τη μεγαλύτερη γωνία μεταξύ των γεννητριών μιας κοιλότητας), η γραμμή τομής αποδείχθηκε έλλειψη, εάν αυτή η γωνία είναι οξεία, είναι παραβολή, εάν είναι ορθή γωνία, και υπερβολή, εάν είναι αμβλεία. Το πιο ολοκληρωμένο έργο που αφιερώθηκε σε αυτές τις καμπύλες ήταν οι «Κωνικές τομές» του Απολλώνιου της Πέργας (περίπου 200 π.Χ.). Περαιτέρω πρόοδος στη θεωρία των κωνικών τομών συνδέονται με τη δημιουργία τον 17ο αιώνα. νέες γεωμετρικές μέθοδοι: προβολικές (Γάλλοι μαθηματικοί J. Desargues, B. Pascal) και ιδιαίτερα συντεταγμένες (Γάλλοι μαθηματικοί R. Descartes, P. Fermat).

Το ενδιαφέρον για τις κωνικές τομές υποστηρίζεται πάντα από το γεγονός ότι αυτές οι καμπύλες εμφανίζονται συχνά σε διάφορα φυσικά φαινόμενα και σε ανθρώπινη δραστηριότητα. Στην επιστήμη, οι κωνικές τομές απέκτησαν ιδιαίτερη σημασία αφού ο Γερμανός αστρονόμος I. Kepler ανακάλυψε από παρατηρήσεις και ο Άγγλος επιστήμονας I. Newton τεκμηρίωσε θεωρητικά τους νόμους της πλανητικής κίνησης, ένας από τους οποίους ισχυρίζεται ότι οι πλανήτες και οι κομήτες ηλιακό σύστημακινείται κατά μήκος κωνικών τμημάτων, σε μία από τις εστίες των οποίων είναι ο Ήλιος. Τα ακόλουθα παραδείγματα αναφέρονται σε ορισμένους τύπους κωνικών τομών: ένα βλήμα ή μια πέτρα που ρίχνεται λοξά στον ορίζοντα περιγράφει μια παραβολή (το σωστό σχήμα της καμπύλης παραμορφώνεται κάπως από την αντίσταση του αέρα). σε ορισμένους μηχανισμούς, χρησιμοποιούνται ελλειπτικά γρανάζια ("ελλειπτικό γρανάζι"). η υπερβολή χρησιμεύει ως γραφική παράσταση αντιστρόφου αναλογικότητας, που παρατηρείται συχνά στη φύση (για παράδειγμα, ο νόμος Boyle-Mariotte).

Σκοπός:

Η μελέτη της θεωρίας των κωνικών τομών.

Θέμα έρευνας:

Κωνικές τομές.

Σκοπός έρευνας:

Μελετήστε θεωρητικά τα χαρακτηριστικά των κωνικών τομών.

Αντικείμενο μελέτης:

Κωνικές τομές.

Αντικείμενο μελέτης:

Ιστορική εξέλιξη κωνικών τομών.

1. Σχηματισμός κωνικών τομών και τύποι τους

Οι κωνικές τομές είναι γραμμές που σχηματίζονται στην τομή ενός δεξιού κυκλικού κώνου με διαφορετικά επίπεδα.

Σημειώστε ότι μια κωνική επιφάνεια είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από την κίνηση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται συνεχώς από ένα σταθερό σημείο (την κορυφή του κώνου) και τέμνει συνεχώς μια σταθερή καμπύλη - έναν οδηγό (στην περίπτωσή μας, έναν κύκλο ).

Ταξινομώντας αυτές τις γραμμές σύμφωνα με τη φύση της θέσης των επιπέδων τομής σε σχέση με τις γεννήτριες του κώνου, λαμβάνονται τρεις τύποι καμπυλών:

I. Καμπύλες που σχηματίζονται από μια τομή ενός κώνου από επίπεδα που δεν είναι παράλληλα με καμία από τις γεννήτριες. Τέτοιες καμπύλες θα είναι διάφοροι κύκλοι και ελλείψεις. Αυτές οι καμπύλες ονομάζονται ελλειπτικές καμπύλες.

II. Καμπύλες που σχηματίζονται από μια τομή ενός κώνου από επίπεδα, καθένα από τα οποία είναι παράλληλο σε μία από τις γενεσιουργούς του κώνου (Εικ. 1β). Μόνο παραβολές θα είναι τέτοιες καμπύλες.

III. Καμπύλες που σχηματίζονται από μια τομή ενός κώνου από επίπεδα, καθένα από τα οποία είναι παράλληλο σε δύο περίπου γεννήτριες (Εικ. 1γ). τέτοιες καμπύλες θα είναι υπερβολές.

Δεν μπορεί πλέον να υπάρχουν καμπύλες τύπου IV, αφού δεν μπορεί να υπάρχει επίπεδο παράλληλο σε τρεις γεννήτριες ενός κώνου ταυτόχρονα, αφού δεν υπάρχουν τρεις γεννήτριες ενός κώνου στο ίδιο επίπεδο.

Σημειώστε ότι ο κώνος μπορεί να τέμνεται με επίπεδα και έτσι να προκύψουν δύο ευθείες γραμμές στην τομή. Για να γίνει αυτό, τα επίπεδα τομής πρέπει να συρθούν μέσω της κορυφής του κώνου.

2. Έλειψη

Δύο θεωρήματα είναι σημαντικά για τη μελέτη των ιδιοτήτων των κωνικών τομών:

Θεώρημα 1. Έστω ένας ευθύς κυκλικός κώνος, ο οποίος διατέμνεται από επίπεδα b 1, b 2, b 3, κάθετα στον άξονά του. Τότε όλα τα τμήματα των γεννητριών κώνου μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους κύκλων (που λαμβάνονται σε τομή με τα δεδομένα επίπεδα) είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d, κ.λπ. και B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d, κ.λπ. Θεώρημα 2. Αν δίνεται μια σφαιρική επιφάνεια και κάποιο σημείο S βρίσκεται έξω από αυτήν, τότε τα τμήματα των εφαπτομένων που σχεδιάζονται από το σημείο S στη σφαιρική επιφάνεια θα είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. SA 1 =SA 2 =SA 3 κ.λπ.

2.1 Βασική ιδιότητα μιας έλλειψης

Κόβουμε έναν δεξιό κυκλικό κώνο με ένα επίπεδο που τέμνει όλες τις γεννήτριές του.Στο τμήμα, έχουμε μια έλλειψη. Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο κάθετο στο επίπεδο διαμέσου του άξονα του κώνου.

Εγγράφουμε δύο μπάλες στον κώνο έτσι ώστε, όντας τοποθετημένες σε αντίθετες πλευρές του επιπέδου και ακουμπώντας την κωνική επιφάνεια, καθεμία από αυτές να αγγίζει το επίπεδο σε κάποιο σημείο.

Αφήστε τη μια μπάλα να ακουμπήσει το επίπεδο στο σημείο F 1 και να αγγίξει τον κώνο κατά μήκος του κύκλου C 1 και η άλλη στο σημείο F 2 και να ακουμπήσει τον κώνο κατά μήκος του κύκλου C 2 .

Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο P στην έλλειψη.

Αυτό σημαίνει ότι όλα τα συμπεράσματα που θα γίνουν σχετικά θα ισχύουν για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης. Ας σχεδιάσουμε τη γεννήτρια του OR του κώνου και ας σημειώσουμε τα σημεία R 1 και R 2 στα οποία αγγίζει τις κατασκευασμένες μπάλες.

Συνδέστε το σημείο P με τα σημεία F 1 και F 2 . Τότε PF 1 = PR 1 και PF 2 = PR 2, αφού τα PF 1, PR 1 είναι εφαπτομένες από το σημείο P σε μια μπάλα και οι PF 2, PR 2 είναι εφαπτομένες από το σημείο P σε μια άλλη μπάλα (θεώρημα 2 ) . Προσθέτοντας και τις δύο ισότητες ανά όρο, βρίσκουμε

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Αυτή η σχέση δείχνει ότι το άθροισμα των αποστάσεων (РF 1 και РF 2) ενός αυθαίρετου σημείου P της έλλειψης σε δύο σημεία F 1 και F 2 είναι μια σταθερή τιμή για αυτήν την έλλειψη (δηλαδή, δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου P στην έλλειψη).

Τα σημεία F 1 και F 2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης. Τα σημεία στα οποία η ευθεία F 1 F 2 τέμνει την έλλειψη ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Το τμήμα μεταξύ των κορυφών ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης.

Το τμήμα της γεννήτριας R 1 R 2 είναι ίσο σε μήκος με τον κύριο άξονα της έλλειψης. Στη συνέχεια, η κύρια ιδιότητα της έλλειψης διατυπώνεται ως εξής: το άθροισμα των αποστάσεων ενός αυθαίρετου σημείου P της έλλειψης στις εστίες F 1 και F 2 είναι μια σταθερή τιμή για αυτήν την έλλειψη, ίση με το μήκος του κύριου άξονά της.

Σημειώστε ότι αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος, δηλ. ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης.

2.2 Εξίσωση έλλειψης

Για να γράψουμε την εξίσωση μιας έλλειψης, πρέπει να θεωρήσουμε την έλλειψη ως τον τόπο των σημείων που έχουν κάποια ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτόν τον τόπο. Ας πάρουμε την κύρια ιδιότητα της έλλειψης ως ορισμό της: Έλειψη είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο για τον οποίο το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία F 1 και F 2 αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερή τιμή ίση με το μήκος του κύριου άξονά του.

Έστω το μήκος του τμήματος F 1 F 2 \u003d 2c και το μήκος του κύριου άξονα είναι 2a. Για να εξαγάγουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης, επιλέγουμε την αρχή O του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο μέσο του τμήματος F 1 F 2 και κατευθύνουμε τους άξονες Ox και Oy όπως φαίνεται στο σχήμα 5. (Εάν οι εστίες συμπίπτουν, τότε Το O συμπίπτει με τα F 1 και F 2, και πέρα ​​από τον άξονα Ox μπορεί να ληφθεί ως οποιοσδήποτε άξονας που διέρχεται από το O). Στη συνέχεια, στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων τα σημεία F 1 (c, 0) και F 2 (-c, 0). Προφανώς, 2a > 2c, δηλ. α>γ. Έστω M(x, y) ένα σημείο του επιπέδου που ανήκει στην έλλειψη. Έστω МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Σύμφωνα με τον ορισμό της έλλειψης, η ισότητα

r 1 +r 2 =2a (2) είναι απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη θέση του σημείου M (x, y) σε μια δεδομένη έλλειψη. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, παίρνουμε

r 1 =, r 2 =. Ας επιστρέψουμε στην ισότητα (2):

Ας μετακινήσουμε μια ρίζα στη δεξιά πλευρά της ισότητας και ας την τετραγωνίσουμε:

Μειώνοντας, παίρνουμε:

Δίνουμε παρόμοια, μειώνουμε κατά 4 και απομονώνουμε τη ρίζα:

Τετράγωνουμε

Ανοίξτε τις αγκύλες και συντομεύστε σε:

από όπου παίρνουμε:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Σημειώστε ότι ένα 2 -c 2 >0. Πράγματι, το r 1 +r 2 είναι το άθροισμα των δύο πλευρών του τριγώνου F 1 MF 2 , και το F 1 F 2 είναι η τρίτη του πλευρά. Επομένως, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , ή 2а>2с, δηλ. α>γ. Δηλώστε ένα 2 -c 2 \u003d b 2. Η εξίσωση (3) θα μοιάζει με: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Ας εκτελέσουμε έναν μετασχηματισμό που φέρνει την εξίσωση έλλειψης στην κανονική (κυριολεκτικά: λαμβάνεται ως δείγμα) μορφή, δηλαδή, διαιρούμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με a 2 b 2:

(4) - κανονική εξίσωση μιας έλλειψης.

Εφόσον η εξίσωση (4) είναι αλγεβρική συνέπεια της εξίσωσης (2*), τότε οι συντεταγμένες x και y οποιουδήποτε σημείου M της έλλειψης θα ικανοποιούν επίσης την εξίσωση (4). Δεδομένου ότι «επιπλέον ρίζες» θα μπορούσαν να εμφανιστούν κατά τη διάρκεια αλγεβρικών μετασχηματισμών που σχετίζονται με την απαλλαγή από ρίζες, είναι απαραίτητο να βεβαιωθείτε ότι οποιοδήποτε σημείο M, του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (4), βρίσκεται σε αυτήν την έλλειψη. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδείξουμε ότι οι ποσότητες r 1 και r 2 για κάθε σημείο ικανοποιούν τη σχέση (2). Άρα, έστω οι συντεταγμένες x και y του σημείου M ικανοποιούν την εξίσωση (4). Αντικαθιστώντας την τιμή του y 2 από το (4) στην παράσταση r 1 , μετά από απλούς μετασχηματισμούς βρίσκουμε ότι r 1 =. Αφού, τότε r 1 =. Παρομοίως, βρίσκουμε ότι r 2 =. Έτσι, για το εξεταζόμενο σημείο M r 1 =, r 2 =, δηλ. r 1 + r 2 \u003d 2a, επομένως το σημείο M βρίσκεται σε μια έλλειψη. Τα μεγέθη a και b ονομάζονται μείζον και μικρότερο ημιάξονες της έλλειψης, αντίστοιχα.

2.3 Μελέτη του σχήματος μιας έλλειψης σύμφωνα με την εξίσωσή της

Ας καθορίσουμε το σχήμα της έλλειψης χρησιμοποιώντας την κανονική της εξίσωση.

1. Η εξίσωση (4) περιέχει x και y μόνο σε ζυγές δυνάμεις, οπότε αν το σημείο (x, y) ανήκει στην έλλειψη, τότε τα σημεία (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Από αυτό προκύπτει ότι η έλλειψη είναι συμμετρική ως προς τους άξονες Ox και Oy, καθώς και ως προς το σημείο O (0,0), το οποίο ονομάζεται κέντρο της έλλειψης.

2. Να βρείτε τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες συντεταγμένων. Βάζοντας y \u003d 0, βρίσκουμε δύο σημεία A 1 (a, 0) και A 2 (-a, 0), στα οποία ο άξονας Ox τέμνει την έλλειψη. Βάζοντας x=0 στην εξίσωση (4), βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα Oy: B 1 (0, b) και. B 2 (0, - β) Τα σημεία A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ονομάζονται ελλειπτικές κορυφές.

3. Από την εξίσωση (4) προκύπτει ότι κάθε όρος στην αριστερή πλευρά δεν υπερβαίνει τη μονάδα, δηλ. υπάρχουν ανισότητες και ή και. Επομένως, όλα τα σημεία της έλλειψης βρίσκονται μέσα στο ορθογώνιο που σχηματίζεται από τις ευθείες γραμμές, .

4. Στην εξίσωση (4), το άθροισμα των μη αρνητικών όρων και είναι ίσο με ένα. Επομένως, όσο αυξάνεται ο ένας όρος, θα μειώνεται ο άλλος, δηλ. Αν το x αυξάνεται, τότε το y μειώνεται και το αντίστροφο.

Από όσα ειπώθηκαν, προκύπτει ότι η έλλειψη έχει το σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 6 (οβάλ κλειστή καμπύλη).

Σημειώστε ότι αν a = b, τότε η εξίσωση (4) θα πάρει τη μορφή x 2 + y 2 = a 2 . Αυτή είναι η εξίσωση του κύκλου. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί από έναν κύκλο με ακτίνα a, εάν συμπιεστεί μία φορά κατά μήκος του άξονα Oy. Με μια τέτοια συστολή, το σημείο (x; y) θα πάει στο σημείο (x; y 1), όπου. Αντικαθιστώντας τον κύκλο στην εξίσωση, παίρνουμε την εξίσωση έλλειψης: .

Ας εισαγάγουμε μια ακόμη ποσότητα που χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης.

Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι ο λόγος της εστιακής απόστασης 2c προς το μήκος 2a του κύριου άξονά της.

Η εκκεντρικότητα συνήθως συμβολίζεται με e: e = Αφού γ< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Από την τελευταία ισότητα είναι εύκολο να ληφθεί μια γεωμετρική ερμηνεία της εκκεντρότητας της έλλειψης. Για πολύ μικρούς αριθμούς, το a και το b είναι σχεδόν ίσα, δηλαδή η έλλειψη είναι κοντά σε έναν κύκλο. Εάν είναι κοντά στη μονάδα, τότε ο αριθμός b είναι πολύ μικρός σε σύγκριση με τον αριθμό a και η έλλειψη είναι έντονα επιμήκης κατά μήκος του κύριου άξονα. Έτσι, η εκκεντρότητα της έλλειψης χαρακτηρίζει το μέτρο της επιμήκυνσης της έλλειψης.

3. Υπερβολία

3.1 Η κύρια ιδιότητα της υπερβολής

Εξερευνώντας την υπερβολή με τη βοήθεια κατασκευών παρόμοιων με τις κατασκευές που έγιναν για τη μελέτη της έλλειψης, διαπιστώνουμε ότι η υπερβολή έχει ιδιότητες παρόμοιες με αυτές της έλλειψης.

Ας κόψουμε έναν ευθύ κυκλικό κώνο από ένα επίπεδο b που τέμνει και τα δύο του επίπεδα, δηλ. παράλληλα με δύο γεννήτριές του. Η διατομή είναι υπερβολή. Ας σχεδιάσουμε μέσω του άξονα ST του κώνου το επίπεδο ASB, κάθετο στο επίπεδο b.

Ας εγγράψουμε δύο μπάλες στον κώνο - η μία στη μία κοιλότητα του, η άλλη στην άλλη, έτσι ώστε καθεμία από αυτές να αγγίζει την κωνική επιφάνεια και το επίπεδο τομής. Αφήστε την πρώτη μπάλα να αγγίξει το επίπεδο b στο σημείο F 1 και να αγγίξει την κωνική επιφάνεια κατά μήκος του κύκλου UґVґ. Αφήστε τη δεύτερη μπάλα να αγγίξει το επίπεδο b στο σημείο F 2 και να αγγίξει την κωνική επιφάνεια κατά μήκος του κύκλου UV.

Επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο M στην υπερβολή. Ας τραβήξουμε μέσα από αυτό τη γενεαλογική διάταξη του κώνου MS και σημαδεύουμε τα σημεία d και D στα οποία αγγίζει την πρώτη και τη δεύτερη σφαίρα. Συνδέουμε το σημείο Μ με τα σημεία F 1 , F 2 , που θα ονομάσουμε εστίες της υπερβολής. Τότε MF 1 =Md, αφού και τα δύο τμήματα εφάπτονται στην πρώτη μπάλα, που έχει τραβηχτεί από το σημείο M. Ομοίως, MF 2 =MD. Αφαιρώντας όρο προς όρο από την πρώτη ισότητα τη δεύτερη, βρίσκουμε

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

όπου dD είναι μια σταθερή τιμή (ως γεννήτρια ενός κώνου με βάσεις UґVґ και UV), ανεξάρτητα από την επιλογή του σημείου M στην υπερβολή. Να συμβολίσετε με P και Q τα σημεία στα οποία η ευθεία F 1 F 2 τέμνει την υπερβολή. Αυτά τα σημεία P και Q ονομάζονται κορυφές της υπερβολής. Το τμήμα PQ ονομάζεται πραγματικός άξονας της υπερβολής. Στο μάθημα της στοιχειώδους γεωμετρίας αποδεικνύεται ότι dD=PQ. Επομένως, MF 1 -MF 2 =PQ.

Εάν το σημείο M θα βρίσκεται σε αυτόν τον κλάδο της υπερβολής, κοντά στον οποίο βρίσκεται η εστία F 1, τότε MF 2 -MF 1 =PQ. Τότε τελικά παίρνουμε МF 1 -MF 2 =PQ.

Το μέτρο της διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων ενός αυθαίρετου σημείου M μιας υπερβολής από τις εστίες F 1 και F 2 είναι μια σταθερή τιμή ίση με το μήκος του πραγματικού άξονα της υπερβολής.

3.2 Εξίσωση υπερβολής

Ας πάρουμε την κύρια ιδιότητα μιας υπερβολής ως ορισμό της: Η υπερβολή είναι ένας τόπος σημείων σε ένα επίπεδο για τον οποίο το μέτρο της διαφοράς αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία F 1 και F 2 αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερά τιμή ίση με το μήκος του πραγματικού του άξονα.

Έστω το μήκος του τμήματος F 1 F 2 \u003d 2c και το μήκος του πραγματικού άξονα είναι 2a. Για να εξαγάγουμε την κανονική εξίσωση της υπερβολής, επιλέγουμε την αρχή O του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο μέσο του τμήματος F 1 F 2 και κατευθύνουμε τους άξονες Ox και Oy όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Στη συνέχεια, στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, τα σημεία F 1 (c, 0) και F 2 ( -s, 0). Προφανώς 2α<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) είναι απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη θέση του σημείου M (x, y) σε αυτήν την υπερβολή. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, παίρνουμε

r 1 =, r 2 =. Ας επιστρέψουμε στην ισότητα (5):

Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Μειώνοντας, παίρνουμε:

2 хс=4а 2 ±4α-2 χσ

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Σημειώστε ότι c 2 -a 2 >0. Σημειώστε c 2 -a 2 =b 2 . Η εξίσωση (6) θα μοιάζει με: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Εκτελούμε έναν μετασχηματισμό που φέρνει την εξίσωση της υπερβολής στην κανονική μορφή, δηλαδή, διαιρούμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με a 2 b 2: (7) - η κανονική εξίσωση της υπερβολής, τα μεγέθη a και b είναι, αντίστοιχα, οι πραγματικοί και φανταστικοί ημιάξονες της υπερβολής.

Πρέπει να βεβαιωθούμε ότι η εξίσωση (7), που προκύπτει από αλγεβρικούς μετασχηματισμούς της εξίσωσης (5*), δεν έχει αποκτήσει νέες ρίζες. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε σημείο M, οι συντεταγμένες x και y του οποίου ικανοποιούν την εξίσωση (7), οι τιμές r 1 και r 2 ικανοποιούν τη σχέση (5). Διεξάγοντας ορίσματα παρόμοια με αυτά που έγιναν κατά την εξαγωγή του τύπου έλλειψης, βρίσκουμε τις ακόλουθες εκφράσεις για τα r 1 και r 2:

Έτσι, για το εξεταζόμενο σημείο M έχουμε r 1 -r 2 =2a, και επομένως βρίσκεται στην υπερβολή.

3.3 Μελέτη της εξίσωσης υπερβολής

Τώρα ας προσπαθήσουμε, με βάση την εξέταση της εξίσωσης (7), να πάρουμε μια ιδέα για τη θέση της υπερβολής.
1. Πρώτα απ 'όλα, η εξίσωση (7) δείχνει ότι η υπερβολή είναι συμμετρική και ως προς τους δύο άξονες. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι μόνο άρτιοι βαθμοί συντεταγμένων περιλαμβάνονται στην εξίσωση της καμπύλης. 2. Σημειώνουμε τώρα την περιοχή του επιπέδου όπου θα βρίσκεται η καμπύλη. Η εξίσωση μιας υπερβολής, που επιλύεται ως προς το y, έχει τη μορφή:

Δείχνει ότι το y υπάρχει πάντα όταν x 2; Α2 . Αυτό σημαίνει ότι για x; α και για x; - και η τεταγμένη y θα είναι πραγματική, και για - α

Περαιτέρω, με αύξηση του x (και μεγαλύτερο του a), η τεταγμένη y θα αυξάνεται επίσης συνεχώς (ιδίως, μπορεί να φανεί από αυτό ότι η καμπύλη δεν μπορεί να είναι κυματιστή, δηλ. τέτοια ώστε με την ανάπτυξη της τετμημένης του x, η τεταγμένη y είτε αυξάνεται είτε μειώνεται) .

3. Το κέντρο μιας υπερβολής είναι ένα σημείο ως προς το οποίο κάθε σημείο της υπερβολής έχει πάνω του ένα σημείο συμμετρικό με τον εαυτό του. Το σημείο Ο(0,0), η αρχή, όπως και για την έλλειψη, είναι το κέντρο της υπερβολής που δίνεται από την κανονική εξίσωση. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο της υπερβολής έχει ένα συμμετρικό σημείο στην υπερβολή ως προς το σημείο Ο. Αυτό προκύπτει από τη συμμετρία της υπερβολής ως προς τους άξονες Ox και Oy. Κάθε χορδή μιας υπερβολής που διέρχεται από το κέντρο της ονομάζεται διάμετρος της υπερβολής.

4. Τα σημεία τομής της υπερβολής με την ευθεία στην οποία βρίσκονται οι εστίες της ονομάζονται κορυφές της υπερβολής και το μεταξύ τους τμήμα ονομάζεται πραγματικός άξονας της υπερβολής. Στην περίπτωση αυτή, ο πραγματικός άξονας είναι ο άξονας x. Σημειώστε ότι ο πραγματικός άξονας της υπερβολής ονομάζεται συχνά και το τμήμα 2a και η ίδια η ευθεία (άξονας Ox) στην οποία βρίσκεται.

Να βρείτε τα σημεία τομής της υπερβολής με τον άξονα Oy. Η εξίσωση του άξονα y είναι x=0. Αντικαθιστώντας το x = 0 στην εξίσωση (7), παίρνουμε ότι η υπερβολή δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Oy. Αυτό είναι κατανοητό, αφού δεν υπάρχουν σημεία υπερβολής σε μια λωρίδα πλάτους 2a, που να καλύπτει τον άξονα Oy.

Η ευθεία που είναι κάθετη στον πραγματικό άξονα της υπερβολής και διέρχεται από το κέντρο της ονομάζεται νοητός άξονας της υπερβολής. Σε αυτή την περίπτωση, συμπίπτει με τον άξονα y. Άρα, στους παρονομαστές των όρων με x 2 και y 2 στην εξίσωση υπερβολής (7) είναι τα τετράγωνα των πραγματικών και φανταστικών ημιαξόνων της υπερβολής.

5. Η υπερβολή τέμνει την ευθεία y = kx για k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Απόδειξη

Για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων τομής της υπερβολής και της ευθείας y = kx, είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα εξισώσεων

Εξαλείφοντας το y, παίρνουμε

ή Για b 2 -k 2 a 2 0, δηλαδή για k, η εξίσωση που προκύπτει, άρα και το σύστημα λύσεων, δεν έχει.

Οι ευθείες με τις εξισώσεις y= και y= - ονομάζονται ασύμπτωτες της υπερβολής.

Για b 2 -k 2 a 2 >0, δηλαδή για k< система имеет два решения:

Επομένως, κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή, με κλίση k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Οπτική ιδιότητα της υπερβολής: οι οπτικές ακτίνες που προέρχονται από τη μία εστία της υπερβολής, που ανακλώνται από αυτήν, φαίνονται να προέρχονται από τη δεύτερη εστία.

Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι ο λόγος της εστιακής απόστασης 2c προς το μήκος 2a του πραγματικού άξονά της;
εκείνοι. από την πλευρά του κοίλου του.

3.4 Συζυγής υπερβολή

Μαζί με την υπερβολή (7), θεωρείται η λεγόμενη συζευγμένη υπερβολή ως προς αυτήν. Η συζυγής υπερβολή ορίζεται από την κανονική εξίσωση.

Στο σχ. Το 10 δείχνει την υπερβολή (7) και τη συζυγή της υπερβολή. Η συζευγμένη υπερβολή έχει τις ίδιες ασύμπτωτες με τη δεδομένη, αλλά F 1 (0, c),

4. Παραβολή

4.1 Βασική ιδιότητα παραβολής

Ας καθορίσουμε τις βασικές ιδιότητες μιας παραβολής. Ας κόψουμε έναν δεξιό κυκλικό κώνο με κορυφή S από ένα επίπεδο παράλληλο σε μια από τις γεννήτριές του. Στην ενότητα παίρνουμε μια παραβολή. Ας σχεδιάσουμε μέσω του άξονα ST του κώνου το επίπεδο ASB, κάθετο στο επίπεδο (Εικ. 11). Το generatrix SA που βρίσκεται σε αυτό θα είναι παράλληλο με το επίπεδο. Ας εγγράψουμε στον κώνο μια σφαιρική επιφάνεια εφαπτομένη στον κώνο κατά μήκος του κύκλου UV και εφαπτομένη στο επίπεδο στο σημείο F. Σχεδιάστε μια ευθεία στο σημείο F παράλληλη στη γεννήτρια SA. Σημειώνουμε το σημείο τομής του με τη γεννήτρια SB με P. Το σημείο F λέγεται εστία της παραβολής, το σημείο P είναι η κορυφή της και η ευθεία PF που διέρχεται από την κορυφή και την εστία (και παράλληλη στη γεννήτρια SA ) ονομάζεται άξονας της παραβολής. Η παραβολή δεν θα έχει δεύτερη κορυφή - το σημείο τομής του άξονα PF με τη γεννήτρια SA: αυτό το σημείο "πάει στο άπειρο". Ας ονομάσουμε directrix (στη μετάφραση σημαίνει "οδηγός") τη γραμμή q 1 q 2 της τομής του επιπέδου με το επίπεδο στο οποίο βρίσκεται ο κύκλος UV. Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο M στην παραβολή και συνδέστε το με την κορυφή του κώνου S. Η ευθεία MS ακουμπά τη μπάλα στο σημείο D που βρίσκεται στον κύκλο UV. Συνδέουμε το σημείο Μ με την εστία F και ρίχνουμε την κάθετη ΜΚ από το σημείο Μ στην ευθεία. Τότε αποδεικνύεται ότι οι αποστάσεις ενός αυθαίρετου σημείου Μ της παραβολής προς την εστία (MF) και προς την ευθεία (MK) είναι ίσες μεταξύ τους (η κύρια ιδιότητα της παραβολής), δηλ. MF=MK.

Απόδειξη: МF=MD (ως εφαπτομένες σε μπάλα από ένα σημείο). Ας υποδηλώσουμε τη γωνία μεταξύ οποιασδήποτε από τις γεννήτριες του κώνου και του άξονα ST ως q. Ας προβάλουμε τα τμήματα MD και MK στον άξονα ST. Το τμήμα MD σχηματίζει μια προβολή στον άξονα ST, ίση με το MDcosc, καθώς το MD βρίσκεται στη γεννήτρια του κώνου. το τμήμα MK σχηματίζει μια προβολή στον άξονα ST, ίση με το MKsoc, αφού το τμήμα MK είναι παράλληλο στη γεννήτρια SA. (Πράγματι, η ευθεία q 1 q 1 είναι κάθετη στο επίπεδο ASB. Επομένως, η ευθεία PF τέμνει την ευθεία στο σημείο L σε ορθή γωνία. Αλλά οι ευθείες MK και PF βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και η MK είναι επίσης κάθετη στον σκηνικό). Οι προβολές και των δύο τμημάτων MK και MD στον άξονα ST είναι ίσες μεταξύ τους, καθώς ένα από τα άκρα τους - το σημείο M - είναι κοινό και τα άλλα δύο D και K βρίσκονται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα ST (Εικ. ). Τότε МDcosц= MKsоsц ή МD= MK. Επομένως, MF=MK.

Ιδιοκτησία 1.(Εστιακή ιδιότητα παραβολής).

Η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο της παραβολής μέχρι το μέσο της κύριας χορδής είναι ίση με την απόστασή της από τη διεύθυνση.

Απόδειξη.

Σημείο F - το σημείο τομής της γραμμής QR και της κύριας χορδής. Αυτό το σημείο βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας Oy. Πράγματι, τα τρίγωνα RNQ και ROF είναι ίσα, όπως τα ορθογώνια τρίγωνα

τρίγωνα με πρώιμα σκέλη (NQ=OF, OR=RN). Επομένως, ανεξάρτητα από το σημείο N που πάρουμε, η γραμμή QR που κατασκευάζεται κατά μήκος του θα τέμνει την κύρια χορδή στο μέσο F. Τώρα είναι σαφές ότι το τρίγωνο FMQ είναι ισοσκελές. Πράγματι, το τμήμα MR είναι και η διάμεσος και το ύψος αυτού του τριγώνου. Αυτό σημαίνει ότι MF=MQ.

Ιδιοκτησία 2.(Οπτική ιδιότητα παραβολής).

Οποιαδήποτε εφαπτομένη στην παραβολή κάνει ίσες γωνίες με την εστιακή ακτίνα που τραβιέται στο εφαπτομενικό σημείο και η ακτίνα που προέρχεται από το εφαπτομενικό σημείο και συν-κατευθύνεται με τον άξονα (ή, οι ακτίνες που εξέρχονται από μια ενιαία εστία, που ανακλώνται από την παραβολή, θα πάνε παράλληλα προς τον άξονα).

Απόδειξη. Για ένα σημείο N που βρίσκεται στην ίδια την παραβολή, η ισότητα |FN|=|NH| είναι αληθής, και για ένα σημείο N" που βρίσκεται στην εσωτερική περιοχή της παραβολής, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, δηλαδή το σημείο Μ" βρίσκεται στην εξωτερική περιοχή της παραβολής. Έτσι, ολόκληρη η ευθεία l, εκτός από το σημείο Μ, βρίσκεται στην εξωτερική περιοχή, δηλαδή η εσωτερική περιοχή της παραβολής βρίσκεται στη μία πλευρά του l, που σημαίνει ότι το l εφάπτεται στην παραβολή. Αυτό δίνει απόδειξη της οπτικής ιδιότητας της παραβολής: γωνία 1 ίσο με τη γωνία 2, αφού l είναι η διχοτόμος της γωνίας FMK.

4.2 Εξίσωση παραβολής

Με βάση την κύρια ιδιότητα μιας παραβολής, διατυπώνουμε τον ορισμό της: παραβολή είναι ένα σύνολο όλων των σημείων σε ένα επίπεδο, καθένα από τα οποία απέχει εξίσου από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται εστία, και μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται κατευθυντήρια γραμμή. . Η απόσταση από την εστία F στον προσανατολισμό ονομάζεται παράμετρος της παραβολής και συμβολίζεται με p (p > 0).

Για να εξαγάγουμε την εξίσωση της παραβολής, επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων Oxy έτσι ώστε ο άξονας Ox να διέρχεται από την εστία F κάθετα προς την κατεύθυνση προς την κατεύθυνση από την ευθεία προς την F, και η αρχή O να βρίσκεται στη μέση μεταξύ της εστίας και της ευθείας (Εικ. 12). Στο επιλεγμένο σύστημα, η εστίαση είναι F(, 0) και η εξίσωση του κατευθυντηρίου έχει τη μορφή x=- ή x+=0. Έστω m (x, y) ένα αυθαίρετο σημείο της παραβολής. Συνδέστε το σημείο M με το F. Σχεδιάστε το τμήμα MH κάθετο στην ευθεία. Σύμφωνα με τον ορισμό της παραβολής, MF = MH. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, βρίσκουμε:

Επομένως, τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, παίρνουμε

εκείνοι. (8) Η εξίσωση (8) ονομάζεται κανονική εξίσωση μιας παραβολής.

4.3 Μελέτη των μορφών μιας παραβολής σύμφωνα με την εξίσωσή της

1. Στην εξίσωση (8), η μεταβλητή y περιλαμβάνεται σε άρτιο βαθμό, που σημαίνει ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Ox. ο άξονας x είναι ο άξονας συμμετρίας της παραβολής.

2. Εφόσον c > 0, από το (8) προκύπτει ότι x>0. Επομένως, η παραβολή βρίσκεται στα δεξιά του άξονα y.

3. Έστω x \u003d 0, μετά y \u003d 0. Επομένως, η παραβολή διέρχεται από την αρχή.

4. Με απεριόριστη αύξηση στο x, η ενότητα y αυξάνεται επίσης απεριόριστα. Η παραβολή y 2 \u003d 2 px έχει τη μορφή (σχήμα) που φαίνεται στο σχήμα 13. Το σημείο O (0; 0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής, το τμήμα FM \u003d r ονομάζεται εστιακή ακτίνα του σημείου M Οι εξισώσεις y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) ορίζουν επίσης παραβολές.

1.5. Ιδιότητα καταλόγου κωνικών τομών .

Εδώ αποδεικνύουμε ότι κάθε μη κυκλική (μη εκφυλισμένη) κωνική τομή μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο σημείων M, η αναλογία της απόστασης MF από ένα σταθερό σημείο F προς την απόσταση MP από μια σταθερή γραμμή d που δεν διέρχεται το σημείο F είναι ίσο με μια σταθερή τιμή e: όπου F - η εστία της κωνικής τομής, η ευθεία γραμμή d είναι η ευθεία και ο λόγος e είναι η εκκεντρότητα. (Αν το σημείο F ανήκει στην ευθεία d, τότε η συνθήκη καθορίζει το σύνολο των σημείων, που είναι ένα ζεύγος γραμμών, δηλ. μια εκφυλισμένη κωνική τομή· για e = 1, αυτό το ζεύγος γραμμών συγχωνεύεται σε μία ευθεία. αυτό, θεωρήστε τον κώνο που σχηματίζεται από την περιστροφή της ευθείας l γύρω από το σημείο που την τέμνει στο σημείο Ο της ευθείας p, που αποτελεί με l τη γωνία b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Ας εγγράψουμε μια μπάλα K στον κώνο που αγγίζει το επίπεδο p στο σημείο F και αγγίζει τον κώνο κατά μήκος του κύκλου S. Συμβολίζουμε την ευθεία τομής του επιπέδου p με το επίπεδο y του κύκλου S με d.

Ας συνδέσουμε τώρα ένα αυθαίρετο σημείο Μ, που βρίσκεται στην ευθεία Α της τομής του επιπέδου p και του κώνου, με την κορυφή Ο του κώνου και με το σημείο F, και ρίξουμε την κάθετη MP από το M στην ευθεία d. Να συμβολίσετε επίσης με Ε το σημείο τομής της γεννήτριας ΜΟ του κώνου με τον κύκλο S.

Επιπλέον, MF = ME, ως τμήματα δύο εφαπτομένων της μπάλας K, που σύρονται από ένα σημείο M.

Περαιτέρω, το τμήμα ΜΕ σχηματίζει με τον άξονα p του κώνου μια σταθερή (δηλαδή, ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Μ) γωνία 6, και το τμήμα MP σχηματίζει μια σταθερή γωνία β. Επομένως, οι προβολές αυτών των δύο τμημάτων στον άξονα p είναι αντίστοιχα ίσες με ME cos b και MP cos c.

Αλλά αυτές οι προβολές συμπίπτουν, καθώς τα τμήματα ME και MP έχουν κοινή αρχή M και τα άκρα τους βρίσκονται στο επίπεδο y κάθετο στον άξονα p.

Επομένως, ME cos b = MP cos c, ή, αφού ME = MF, MF cos b = MP cos c, από όπου προκύπτει ότι

Είναι επίσης εύκολο να δείξουμε ότι αν το σημείο M του επιπέδου p δεν ανήκει στον κώνο, τότε. Έτσι, κάθε τμήμα ενός δεξιού κυκλικού κώνου μπορεί να περιγραφεί ως ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο, για τα οποία. Από την άλλη, αλλάζοντας τις τιμές των γωνιών b και c, μπορούμε να δώσουμε στην εκκεντρότητα οποιαδήποτε τιμή e > 0. Επιπλέον, από εκτιμήσεις ομοιότητας, δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι η απόσταση FQ από την εστία προς την ευθεία είναι ευθέως ανάλογη με την ακτίνα r της μπάλας K (ή την απόσταση d του επιπέδου p από την κορυφή O του ο κώνος). Μπορεί να φανεί ότι, έτσι, επιλέγοντας την απόσταση d κατάλληλα, μπορούμε να δώσουμε στην απόσταση FQ οποιαδήποτε τιμή. Επομένως, κάθε σύνολο σημείων M για τα οποία ο λόγος των αποστάσεων από το M προς ένα σταθερό σημείο F και προς μια σταθερή ευθεία d έχει σταθερή τιμή, μπορεί να περιγραφεί ως καμπύλη που λαμβάνεται στην τομή ενός δεξιού κυκλικού κώνου από ένα επίπεδο. Αυτό αποδεικνύει ότι οι (μη εκφυλισμένες) κωνικές τομές μπορούν επίσης να οριστούν από την ιδιότητα που συζητείται σε αυτήν την υποενότητα.

Αυτή η ιδιότητα των κωνικών τομών ονομάζεται αυτές ιδιοκτησία καταλόγου. Είναι σαφές ότι αν c > b, τότε e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Από την άλλη πλευρά, είναι εύκολο να δούμε ότι αν s > 6, τότε το επίπεδο p τέμνει τον κώνο κατά μήκος μιας κλειστής οριοθετημένης γραμμής. Αν c = b, τότε το επίπεδο p τέμνει τον κώνο κατά μήκος μιας απεριόριστης γραμμής. αν μέσα< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Η κωνική τομή για την οποία π< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >Το 1 ονομάζεται υπερβολή. Οι ελλείψεις περιλαμβάνουν επίσης έναν κύκλο, ο οποίος δεν μπορεί να καθοριστεί από μια ιδιότητα καταλόγου. δεδομένου ότι για έναν κύκλο η αναλογία μετατρέπεται σε 0 (γιατί σε αυτή την περίπτωση β = 90º), θεωρείται υπό όρους ότι ο κύκλος είναι μια κωνική τομή με εκκεντρότητα 0.

6. Έλειψη, υπερβολή και παραβολή ως κωνικές τομές

υπερβολή έλλειψης κωνικής τομής

Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Μένεχμος, ο οποίος ανακάλυψε την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή, τα όρισε ως τμήματα ενός κυκλικού κώνου από ένα επίπεδο κάθετο σε μία από τις γεννήτριες. Ονόμασε τις καμπύλες που προέκυψαν τμήματα κώνων με οξεία γωνία, ορθογώνια και αμβλεία γωνία, ανάλογα με την αξονική γωνία του κώνου. Το πρώτο, όπως θα δούμε παρακάτω, είναι μια έλλειψη, το δεύτερο είναι μια παραβολή, το τρίτο είναι ένας κλάδος μιας υπερβολής. Τα ονόματα «έλλειψη», «υπέρβολα» και «παραβολή» εισήχθησαν από τον Απολλώνιο. Σχεδόν ολοκληρωτικά (7 στα 8 βιβλία) το έργο του Απολλώνιου «Περί κωνικών τομών» μας έχει φτάσει. Σε αυτό το έργο, ο Απολλώνιος εξετάζει και τους δύο ορόφους του κώνου και τέμνει τον κώνο με επίπεδα που δεν είναι απαραίτητα κάθετα σε μία από τις γεννήτριες.

Θεώρημα.Η τομή οποιουδήποτε ευθύγραμμου κυκλικού κώνου από ένα επίπεδο (που δεν διέρχεται από την κορυφή του) ορίζει μια καμπύλη, η οποία μπορεί να είναι μόνο μια υπερβολή (Εικ. 4), μια παραβολή (Εικ. 5) ή μια έλλειψη (Εικ. 6). Επιπλέον, εάν το επίπεδο τέμνει μόνο ένα επίπεδο του κώνου και κατά μήκος μιας κλειστής καμπύλης, τότε αυτή η καμπύλη είναι έλλειψη. Εάν ένα επίπεδο τέμνει μόνο ένα επίπεδο κατά μήκος μιας ανοιχτής καμπύλης, τότε αυτή η καμπύλη είναι παραβολή. αν το επίπεδο κοπής τέμνει και τα δύο επίπεδα του κώνου, τότε σχηματίζεται υπερβολή στην τομή.

Μια κομψή απόδειξη αυτού του θεωρήματος προτάθηκε το 1822 από τον Dandelin χρησιμοποιώντας σφαίρες, οι οποίες σήμερα ονομάζονται σφαίρες Dandelin. Ας δούμε αυτή την απόδειξη.

Ας εγγράψουμε σε έναν κώνο δύο σφαίρες που αγγίζουν το επίπεδο του τμήματος П από διαφορετικές πλευρές. Σημειώστε με F1 και F2 τα σημεία επαφής μεταξύ αυτού του επιπέδου και των σφαιρών. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο M στην ευθεία τομής του κώνου από το επίπεδο P. Στη γεννήτρια του κώνου που διέρχεται από το M, σημειώνουμε τα σημεία P1 και P2 που βρίσκονται στον κύκλο k1 και k2, κατά μήκος του οποίου οι σφαίρες αγγίζουν το κώνος.

Είναι σαφές ότι MF1=MP1 ως τα τμήματα δύο εφαπτομένων στην πρώτη σφαίρα που βγαίνει από το M. ομοίως, MF2=MP2. Επομένως, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Το μήκος του τμήματος P1P2 είναι το ίδιο για όλα τα σημεία M της τομής μας: είναι η γενεαλογία ενός κόλουρου κώνου που οριοθετείται από παράλληλα επίπεδα 1 και 11, στο οποίο βρίσκονται οι κύκλοι k1 και k2. Επομένως, η γραμμή τομής του κώνου από το επίπεδο P είναι μια έλλειψη με εστίες F1 και F2. Η εγκυρότητα αυτού του θεωρήματος μπορεί επίσης να εξακριβωθεί με βάση τη γενική θέση ότι η τομή μιας επιφάνειας δεύτερης τάξης από ένα επίπεδο είναι μια γραμμή δεύτερης τάξης.

Βιβλιογραφία

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Γεωμετρία. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Φροντιστήριογια φοιτητές φυσικής και μαθηματικών. πεδ. in-comrade-M.: Διαφωτισμός, 1986.

2. Bazylev V.T. κλπ. Γεωμετρία. Proc. επίδομα για μαθητές 1ου έτους φυσικής. - χαλάκι. γεγονότα πεντ. σε. - σύντροφος-Μ .: Εκπαίδευση, 1974.

3. Pogorelov A.V. Γεωμετρία. Proc. για 7-11 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο - 4η έκδ.-Μ.: Διαφωτισμός, 1993.

4. Ιστορία των μαθηματικών από την αρχαιότητα έως τις αρχές του 19ου αιώνα. Yushkevich A.P. - Μ.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Οπτικές ιδιότητες της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής. // Κβαντική. - 1975. - Νο. 12. - Με. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Σύντομο μάθημααναλυτική γεωμετρία. - Μ: Nauka, 6η έκδοση, 1967. - 267 σελ.

Παρόμοια Έγγραφα

Η έννοια των κωνικών τομών. Κωνικές τομές - διασταυρώσεις επιπέδων και κώνων. Τύποι κωνικών τομών. Κατασκευή κωνικών τομών. Η κωνική τομή είναι ο τόπος των σημείων που ικανοποιούν μια εξίσωση δεύτερης τάξης.

περίληψη, προστέθηκε 05.10.2008


«Κωνικές τομές» του Απολλώνιου. Παραγωγή της εξίσωσης καμπύλης για μια τομή ενός ορθογώνιου κώνου περιστροφής. Παραγωγή της εξίσωσης για μια παραβολή, για μια έλλειψη και μια υπερβολή. Αμετάβλητο κωνικών τομών. Περαιτέρω ανάπτυξηθεωρία των κωνικών τομών στα έργα του Απολλώνιου.

περίληψη, προστέθηκε 02/04/2010


Η έννοια και οι ιστορικές πληροφορίες για τον κώνο, τα χαρακτηριστικά των στοιχείων του. Χαρακτηριστικά του σχηματισμού κώνου και τύποι κωνικών τμημάτων. Κατασκευή της σφαίρας Dandelin και οι παράμετροί της. Εφαρμογή ιδιοτήτων κωνικών τομών. Υπολογισμοί των εμβαδών των επιφανειών του κώνου.

παρουσίαση, προστέθηκε 04/08/2012


Μαθηματική έννοια μιας καμπύλης. Η γενική εξίσωση της καμπύλης δεύτερης τάξης. Εξισώσεις κύκλου, έλλειψης, υπερβολής και παραβολής. Άξονες συμμετρίας υπερβολής. Μελέτη του σχήματος μιας παραβολής. Καμπύλες τρίτης και τέταρτης τάξης. Μπούκλα Anjesi, καρτεσιανό σεντόνι.

διατριβή, προστέθηκε 14/10/2011


Ανασκόπηση και χαρακτηρισμός διαφόρων μεθόδων κατασκευής τομών πολυεδρών, προσδιορισμός των δυνατών και των αδυναμιών τους. Η μέθοδος των βοηθητικών τομών ως καθολική μέθοδος κατασκευής τμημάτων πολυεδρών. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στο ερευνητικό θέμα.

παρουσίαση, προστέθηκε 19/01/2014


Η γενική εξίσωση της καμπύλης δεύτερης τάξης. Σχεδίαση εξισώσεων έλλειψης, κύκλου, υπερβολής και παραβολής. Η εκκεντρικότητα μιας υπερβολής. Εστίαση και διεύθυνση παραβολής. μεταμόρφωση γενική εξίσωσηστην κανονική μορφή. Εξάρτηση του τύπου της καμπύλης από αμετάβλητα.

παρουσίαση, προστέθηκε 10/11/2014


Στοιχεία γεωμετρίας τριγώνου: ισογωνική και ισοτομική σύζευξη, αξιόλογα σημεία και γραμμές. Κωνικά που σχετίζονται με τρίγωνο: ιδιότητες κωνικών τομών. κωνικά περιγεγραμμένα γύρω από ένα τρίγωνο και εγγεγραμμένα σε αυτό. εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων.

θητεία, προστέθηκε 17/06/2012


Έλειψη, υπερβολή, παραβολή ως καμπύλες δεύτερης τάξης που χρησιμοποιούνται στα ανώτερα μαθηματικά. Η έννοια της καμπύλης δεύτερης τάξης είναι μια γραμμή σε ένα επίπεδο, η οποία σε κάποιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται από μια εξίσωση. Το θεώρημα του Pascaml και το θεώρημα του Brianchon.

περίληψη, προστέθηκε 26/01/2011


Για την προέλευση του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου (ένα από τα πέντε διάσημα προβλήματα της αρχαιότητας). Η πρώτη γνωστή προσπάθεια επίλυσης του προβλήματος, η λύση του Archit of Tarentum. Επίλυση προβλημάτων στην αρχαία Ελλάδα μετά τον Αρχύτα. Λύσεις που χρησιμοποιούν τις κωνικές τομές του Μενέχμου και του Ερατοσθένη.

περίληψη, προστέθηκε 13/04/2014


Οι κύριοι τύποι τομής του κώνου. Ένα τμήμα που σχηματίζεται από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα του κώνου (αξονικό) και από την κορυφή του (τρίγωνο). Ο σχηματισμός τμήματος από επίπεδο παράλληλο (παραβολή), κάθετο (κύκλος) και όχι κάθετο (έλλειψη) στον άξονα.