Τμήμα AC - προβολή λοξού AB στο επίπεδο ACD. Η γωνία DAB είναι ίση. Ορθογώνια προβολή και οι ιδιότητές της Τμήμα AC Ορθογώνια προβολή λοξού αβ

Όπως προαναφέρθηκε, η ορθογώνια προβολή είναι μια ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής. Στην ορθογώνια προβολή, οι δοκοί προβολής είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής.

Η συσκευή μιας τέτοιας προβολής αποτελείται από ένα επίπεδο προβολής.

Για να ληφθεί μια ορθογώνια προβολή του σημείου Α, πρέπει να τραβηχτεί μια προεξέχουσα δοκός μέσα από αυτό κάθετα στο P1. Το σημείο Α1 ονομάζεται η ορθογώνια ή ορθογώνια προβολή του σημείου Α.

Για να πάρετε μια ορθογώνια προβολή Α 1 Β 1τμήμα ΑΒ, στο αεροπλάνο Σ 1, είναι απαραίτητο μέσα από τα σημεία ΑΛΛΑκαι ΣΤΟσχεδιάστε γραμμές προβολής κάθετες σε Σ 1. Στη διασταύρωση των γραμμών προβολής με ένα επίπεδο Σ 1λάβετε ορθογώνιες προβολές Α'1και ΣΕ 1σημεία ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ. Σύνδεση ορθογώνιων προβολών Α'1και ΣΕ 1λάβετε μια ορθογώνια προβολή Α 1 Β 1τμήμα ΑΒ.

Όλες οι ιδιότητες της παράλληλης προβολής είναι επίσης εφικτές για ορθογώνια προβολή. Ωστόσο, οι ορθογώνιες προβολές έχουν κάποιες περισσότερες ιδιότητες.

Ιδιότητες ορθογραφικής προβολής:
1. Το μήκος ενός τμήματος ισούται με το μήκος της προβολής του διαιρούμενο με το συνημίτονο της γωνίας κλίσης του τμήματος προς το επίπεδο προβολής.

Ας πάρουμε μια ευθεία γραμμή ΑΒκαι να κατασκευάσει την ορθογώνια προβολή του Α 1 Β 1στο αεροπλάνο Σ 1. Εάν τραβήξετε μια ευθεία γραμμή AS || Α 1 Β 1, μετά από το τρίγωνο αλφάβητοακολουθεί ότι |AC| : |AB| = cos αή |ΑΒ| = |A 1 B 1 | : cos α, επειδή | A 1 B 1 | = |AC|.

2. Επιπλέον, για ορθογώνια προβολή, θεώρημα προβολής ορθή γωνία:

Θεώρημα:Εάν τουλάχιστον μία πλευρά μιας ορθής γωνίας είναι παράλληλη προς το επίπεδο των προβολών και η δεύτερη δεν είναι κάθετη σε αυτό, τότε η γωνία προβάλλεται σε αυτό το επίπεδο σε πλήρες μέγεθος.

Απόδειξη:

Δίνεται ορθή γωνία αλφάβητο, που κατά συνθήκη έχει ευθεία γραμμή Sun ABκαι Ήλιος ||επίπεδα προβολής Σ 1. Κατασκευή, ευθεία ήλιοςστην προεξέχουσα δοκό ΒΒ 1. Επομένως, μια ευθεία γραμμή ήλιοςστο αεροπλάνο b (ABxBB1), αφού πρόκειται για δύο τεμνόμενες ευθείες που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο. Σύμφωνα με την ευθεία B 1 C 1 || ήλιος, έτσι και στο αεροπλάνο σι, δηλαδή και άμεση Α 1 Β 1αυτό το αεροπλάνο. Επομένως, η γωνία μεταξύ των γραμμών Α 1 Β 1και Β 1 Από 1ισούται με 90°, που έπρεπε να αποδειχθεί.

Η ορθογώνια προβολή παρέχει την απλότητα των γεωμετρικών κατασκευών κατά τον προσδιορισμό των ορθογώνιων προβολών των σημείων, καθώς και τη δυνατότητα αποθήκευσης του σχήματος και του μεγέθους του προβαλλόμενου σχήματος στις προβολές. Αυτά τα πλεονεκτήματα παρείχαν ορθογώνια προβολή με ευρεία εφαρμογή στο τεχνικό σχέδιο.

Οι εξεταζόμενες μέθοδοι προβολής μας επιτρέπουν να λύσουμε το άμεσο πρόβλημα της περιγραφικής γεωμετρίας, δηλαδή να δημιουργήσουμε ένα επίπεδο σχέδιο από το πρωτότυπο. Οι προβολές σε ένα επίπεδο που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο δίνουν μια ελλιπή ιδέα για το αντικείμενο, το σχήμα και τη θέση του στο χώρο, δηλαδή, ένα τέτοιο σχέδιο δεν έχει την ιδιότητα της αναστρεψιμότητας.

Για να αποκτήσετε ένα αναστρέψιμο σχέδιο, π.χ. ένα σχέδιο που δίνει μια πλήρη εικόνα του σχήματος, του μεγέθους και της θέσης του πρωτοτύπου στο χώρο, συμπληρώνεται ένα σχέδιο μιας εικόνας. Ανάλογα με το συμπλήρωμα, υπάρχουν διαφορετικά είδησχέδια ζωγραφικής.

1. Οικόπεδο Monge ή ορθογώνιες προβολές.Η ουσία της μεθόδου των ορθογώνιων (ορθογώνιων) προβολών είναι ότι το πρωτότυπο προβάλλεται ορθογώνια σε 2 ή 3 αμοιβαία ορθογώνια επίπεδα προβολής και στη συνέχεια συνδυάζονται με το επίπεδο σχεδίασης.
2. Αξονομετρικό σχέδιο.Η ουσία του αξονομετρικού σχεδίου είναι ότι αρχικά το πρωτότυπο συνδέεται αυστηρά με το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων OXYZ, προβάλετέ το ορθογώνια σε ένα από τα επίπεδα προβολής OXY, ή OXZ. Στη συνέχεια, με παράλληλη προβολή, βρίσκεται μια παράλληλη προβολή της δομής που προκύπτει: άξονες συντεταγμένων OX, OY, OZ,δευτερεύουσα προβολή και πρωτότυπο.
3. Σχέδιο προοπτικής.Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου προοπτικής, κατασκευάζεται πρώτα μια ορθογώνια προβολή και στη συνέχεια η κεντρική προβολή της προηγουμένως κατασκευασμένης ορθογώνιας προβολής και το ίδιο το πρωτότυπο βρίσκονται στο επίπεδο της εικόνας.
4. Προβολές με αριθμητικά σημεία κ.λπ.Για να ληφθούν προβολές με αριθμητικά σημάδια, το πρωτότυπο προβάλλεται ορθογώνια στο επίπεδο μηδενικού επιπέδου και υποδεικνύεται η απόσταση από τα σημεία του πρωτοτύπου σε αυτό το επίπεδο.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στη μελέτη ορθογώνιες προεξοχέςκαι αξονομετρικό σχέδιο.

Μάθημα γεωμετρίας στην 10η τάξη

Σε αυτό το μάθημα, θα συνεχίσετε τη μελέτη των γραμμών και των επιπέδων. Μάθετε πώς να βρίσκετε τη γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου. Θα εξοικειωθείτε με την έννοια της ορθογώνιας προβολής σε ένα επίπεδο και θα εξετάσετε τις ιδιότητές του. Το μάθημα θα δώσει ορισμούς της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο και από ένα σημείο σε μια ευθεία, τη γωνία μεταξύ μιας ευθείας και ενός επιπέδου. Το περίφημο θεώρημα των τριών θα αποδειχθεί. κάθετες.

Η ορθογώνια προβολή ενός σημείου Α σε ένα δεδομένο επίπεδο είναι η προβολή ενός σημείου σε αυτό το επίπεδο παράλληλο σε μια ευθεία κάθετη σε αυτό το επίπεδο. Η ορθογώνια προβολή ενός σχήματος σε ένα δεδομένο επίπεδο p αποτελείται από ορθογώνιες προβολές στο επίπεδο p όλων των σημείων αυτού του σχήματος.

Η ορθογώνια προβολή χρησιμοποιείται συχνά για την απεικόνιση χωρικών σωμάτων σε ένα επίπεδο, ειδικά σε τεχνικά σχέδια. Δίνει μια πιο ρεαλιστική εικόνα από μια αυθαίρετη παράλληλη προβολή, ειδικά στρογγυλών σωμάτων.

Έστω μια ευθεία γραμμή μέσα από ένα σημείο Α που δεν ανήκει στο επίπεδο p, είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο και το τέμνει στο σημείο Β. Τότε το τμήμα ΑΒ λέγεται η κάθετη που έπεσε από το σημείο Α σε αυτό το επίπεδο και το σημείο Το ίδιο το Β είναι η βάση αυτής της καθέτου. Κάθε τμήμα AC, όπου C είναι ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου p, διαφορετικό από το B, ονομάζεται κεκλιμένο σε αυτό το επίπεδο.

Σημειώστε ότι το σημείο Β σε αυτόν τον ορισμό είναι η ορθογώνια προβολή του σημείου Α και το τμήμα AC είναι η ορθογώνια προβολή του λοξού ΑΒ. Οι ορθογραφικές προβολές έχουν όλες τις ιδιότητες των συνηθισμένων παράλληλων προβολών, αλλά έχουν και μια σειρά από νέες ιδιότητες.

Έστω μια κάθετη και πολλές κεκλιμένες γραμμές από ένα σημείο προς το επίπεδο. Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς.

1. Οποιαδήποτε λοξή είναι μεγαλύτερη τόσο από την κάθετη όσο και από την ορθογώνια προβολή της λοξής σε αυτό το επίπεδο.

2. Οι ίσες πλάγιες προεξοχές έχουν ίσες ορθογώνιες προβολές και αντίστροφα, οι πλάγιες με ίσες προβολές είναι επίσης ίσες.

3. Η μία πλάγια είναι μεγαλύτερη από την άλλη αν και μόνο αν η ορθογώνια προβολή της πρώτης λοξής είναι μεγαλύτερη από την ορθογώνια προβολή της δεύτερης λοξής.

Έστω μια ευθεία L και ένα σημείο Α στο επίπεδο. Ας ρίξουμε μια κάθετο από το σημείο Α στην ευθεία L (Εικ. 1.8, α). Τότε καλείται η βάση του (σημείο Ο). ορθογώνια προβολή του σημείου Α στην ευθεία L. Εάν η ευθεία L και το σημείο Α δίνονται στο χώρο, τότε στην περίπτωση αυτή η ορθογώνια προβολή του σημείου Α στην ευθεία L είναι το σημείο Ο της τομής της ευθείας L με το επίπεδο που είναι κάθετο σε αυτήν που διέρχεται από το σημείο Α. (Εικ. 1.8, β). Εάν ένα σημείο Α βρίσκεται σε μια ευθεία L, τότε συμπίπτει με την ορθογώνια προβολή του στο L.

Για ένα διάνυσμα - ΑΒ (σε επίπεδο ή στο διάστημα), μπορεί κανείς να κατασκευάσει ορθογώνιες προεξοχές στην ευθεία L του αρχη και τελος(Εικ. 1.9). Το διάνυσμα O A O B που συνδέει αυτές τις προβολές O A και O B και βρίσκεται στην ευθεία L ονομάζεται ορθογώνια προβολή του διανύσματος ΑΒ πάνω στη γραμμήΜΕΓΑΛΟ.

Μια ευθεία στην οποία δίνεται μία από τις δύο πιθανές κατευθύνσεις ονομάζεται άξονας. Η επιλεγμένη κατεύθυνση στον άξονα απεικονίζεται με ένα βέλος στο αντίστοιχο άκρο του άξονα. Η ορθογώνια προβολή O A O B του διανύσματος ΑΒ στον άξονα l μπορεί να περιγραφεί πλήρως μήκοςδιάνυσμα O A O B, αποδίδοντας ένα πρόσημο σε αυτό,

υποδεικνύοντας την κατεύθυνση του διανύσματος. Εάν η κατεύθυνση του O A O B συμπίπτει με τη δεδομένη κατεύθυνση του άξονα, τότε πάρτε το πρόσημο συν, και εάν η κατεύθυνση του διανύσματος είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα, τότε πάρτε το πρόσημο μείον. Το μήκος του διανύσματος Ο Α Ο Β με πρόσημο που καθορίζει την κατεύθυνση αυτού του διανύσματος ονομάζεται ορθογώνια προβολή του διανύσματος ΑΒ στον άξονα l και δηλώνουν pr l a.

Σημειώστε ότι η ορθογώνια προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός, ενώ η ορθογώνια προβολή ενός διανύσματος σε μια γραμμή είναι ένα διάνυσμα. Προκειμένου ένα διάνυσμα να αντιστοιχεί σε έναν αριθμό ως προβολή του, πρέπει να επιλεγεί μία από τις δύο πιθανές κατευθύνσεις στη γραμμή.

Καθε μη μηδενικό διάνυσμαΤο l καθορίζει μοναδικά τον άξονα: μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε κάποια ευθεία γραμμή και προσδιορίζει την κατεύθυνση σε αυτόν. Η ορθογώνια προβολή ενός διανύσματος σε έναν τέτοιο άξονα ονομάζεται ορθογώνια προβολή αυτού του διανύσματος στην κατεύθυνσηδιάνυσμα l.

Η γωνία μεταξύ των κατευθύνσεων δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ονομάζεται γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων. Η γωνία μπορεί να κυμαίνεται από 0 έως π. Οι ακραίες τιμές 0 και π αντιστοιχούν σε συγγραμμικά διανύσματα, αντίστοιχα μονής και αντίθετης κατεύθυνσης. Αν τουλάχιστον ένα από τα δύο διανύσματα είναι μηδέν, τότε η γωνία μεταξύ τέτοιων διανυσμάτων δεν ορίζεται. Είναι βολικό, ωστόσο, να υποθέσουμε ότι σε αυτή την περίπτωση η γωνία έχει μια αυθαίρετη τιμή. Έτσι, το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε άλλο, το οποίο τυπικά αντιστοιχεί στη γωνία 0 (ή π). Η συγκεκριμένη τιμή που αποδίδεται στη γωνία μεταξύ του μηδενικού διανύσματος και κάποιου άλλου επιλέγεται με βάση την κατάσταση.

Θεώρημα 1.1.Η ορθογώνια προβολή του διανύσματος a στη διεύθυνση του μη μηδενικού διανύσματος l είναι ίση με το μήκος |a| πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της γωνίας φ μεταξύ των διανυσμάτων a και l, δηλ.

pr l = a|a| cos

πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων a και l

◄ Έστω το διάνυσμα l να βρίσκεται στην ευθεία L και η αρχή του είναι το σημείο Α. Ας συνδυάσουμε την αρχή του διανύσματος a με το σημείο Α και έστω το τέλος του το σημείο Β (Εικ. 1.10). Ας κατασκευάσουμε μια ορθογώνια προβολή C του σημείου B στην ευθεία L. Τότε το διάνυσμα AC είναι η ορθογώνια προβολή του διανύσματος a = AB στην ευθεία L.

Εάν η γωνία φ μεταξύ των διανυσμάτων a και l είναι οξεία (όπως φαίνεται στο Σχ. 1.10, α), τότε το άκρο του διανύσματος l και το σημείο C βρίσκονται στην ίδια πλευρά του σημείου Α. Στην περίπτωση αυτή, η προβολή του a στην κατεύθυνση του διανύσματος l ισούται με το μήκος |AC| = |AB| cosφ του σκέλους AC τριγώνου ABC.

Εάν η γωνία φ είναι αμβλεία (βλ. Εικ. 1.10, β), τότε το άκρο του διανύσματος l και το σημείο C βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του σημείου Α. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα AC και l έχουν αντίθετες κατευθύνσεις και η προβολή του διανύσματος a είναι - |AC| . Στο τρίγωνο ABC, η γωνία ψ δίπλα στο σκέλος AC είναι ίση με π - φ, οπότε |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| cosφ.

Αν φ = π/2 ή a = 0, τότε το σημείο C συμπίπτει με το σημείο Α και το διάνυσμα AC είναι το μηδενικό διάνυσμα. Ωστόσο, cosπ/2 = 0, επομένως, ο ισχυρισμός του θεωρήματος ισχύει και σε αυτήν την περίπτωση.

Θεώρημα 1.2.Η ορθογώνια προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων στην κατεύθυνση ενός μη μηδενικού διανύσματος είναι ίση με το άθροισμα των ορθογώνιων προβολών τους στην κατεύθυνση αυτού του διανύσματος, και όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η ορθογώνια προβολή του στην κατεύθυνση του ένα μη μηδενικό διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό:

pr l (a + b) = pr l a + pr l b, pr l (λa) - λpr l a.

◄ Η απόδειξη προκύπτει από το σχ. 1.11. Στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 1.11, a, έχουμε pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |AB| - |π.Χ.|. Στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 1.11, b, pr l a = |AB| και, αν λ > 0, pr l (λa) = |AE| = λ|AB|. Οι υπόλοιπες επιλογές (το σημείο Γ δεν ανήκει στο τμήμα ΑΒ στην περίπτωση α, λ ≤ 0 στην περίπτωση β) εξετάζονται παρόμοια.

Σχετικές εργασίες:

Η πλευρά ΑΒ του ρόμβου ABCD είναι a, μια από τις γωνίες είναι 60 μοίρες. Ένα επίπεδο άλφα σύρεται από την πλευρά ΑΒ σε απόσταση α/2 από το σημείο Δ.
α) βρείτε την απόσταση από το σημείο Γ έως το επίπεδο άλφα.
β) να δείξετε στο σχήμα τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας DABM. Το Μ ανήκει στο άλφα.
γ) Να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου ρόμβου και του επιπέδου άλφα.

Η πλευρά ΑΒ του ρόμβου ABCD είναι a, μια από τις γωνίες είναι 60 μοίρες. Ένα επίπεδο άλφα σύρεται από την πλευρά ΑΒ σε απόσταση α/2 από το σημείο Δ. α) Να βρείτε την απόσταση από το σημείο Γ έως το επίπεδο άλφα. β) να δείξετε στο σχήμα τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας DABM. Το Μ ανήκει στο άλφα. γ) Να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου ρόμβου και του επιπέδου άλφα.

Η πλευρά ΑΒ του ρόμβου ΑΒΓΔ είναι ίση με a και μία από τις γωνίες του είναι ίση με 60°. Ένα επίπεδο άλφα σύρεται μέσω της πλευράς ΑΒ σε απόσταση a2 από το σημείο D.

α) Να βρείτε την απόσταση από το σημείο Γ έως το επίπεδο άλφα.

β) Δείξτε στο σχήμα τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας DABM, το Μ ανήκει στο τετράγωνο. άλφα.

γ) Να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου ρόμβου και του επιπέδου άλφα.

Η ορθογώνια προβολή είναι μια ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής, όταν η κατεύθυνση προβολής S είναι κάθετη (ορθογώνια) στο επίπεδο προβολής S   1 (Εικ. 1.11).

Ρύζι. 1.11. Ορθογραφική προβολή ορθής γωνίας

Η ορθογώνια προβολή χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανική πρακτική για την απεικόνιση γεωμετρικών σχημάτων σε ένα επίπεδο, καθώς έχει μια σειρά από πλεονεκτήματα σε σχέση με την κεντρική και την παράλληλη (πλάγια) προβολή, τα οποία περιλαμβάνουν:

α) την απλότητα των γραφικών κατασκευών για τον προσδιορισμό των ορθογώνιων προβολών των σημείων·

β) τη δυνατότητα, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, να διατηρηθεί το σχήμα και οι διαστάσεις του προβαλλόμενου σχήματος στις προεξοχές.

Αυτά τα πλεονεκτήματα εξασφάλισαν την ευρεία χρήση της ορθογώνιας προβολής στη μηχανική, ιδιαίτερα για την προετοιμασία μηχανικών σχεδίων.

Για την ορθογώνια προβολή, και οι εννέα αμετάβλητες ιδιότητες που εξετάστηκαν παραπάνω είναι αληθείς. Επιπλέον, είναι απαραίτητο να σημειωθεί μια ακόμη, δέκατη, αμετάβλητη ιδιότητα, η οποία ισχύει μόνο για ορθογώνια προβολή.

10. Εάν τουλάχιστον μία πλευρά της ορθής γωνίας είναι παράλληλη με το επίπεδο προβολής, τότε η ορθή γωνία προβάλλεται σε αυτό το επίπεδο προβολής χωρίς παραμόρφωση (Εικ. 1.11)

Στο σχ. Το 1.11 δείχνει μια ορθή γωνία ABD, της οποίας και οι δύο πλευρές είναι παράλληλες με το επίπεδο προβολής  1. Σύμφωνα με την αμετάβλητη ιδιότητα 9.2, αυτή η γωνία προβάλλεται στο επίπεδο  1 χωρίς παραμόρφωση, δηλαδή A 1 B 1 D 1 =90.

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο C στην προεξέχουσα δοκό DD 1, τότε το ABC που προκύπτει θα είναι ευθύ, επειδή ABBB 1 DD 1 .

Η προβολή αυτής της ορθής γωνίας ABC, στην οποία μόνο μια πλευρά ΑΒ είναι παράλληλη στο επίπεδο των προεξοχών  1, θα είναι ορθή γωνία A 1 B 1 D 1.

Μιλώντας για γεωμετρικά σχήματα και τις προβολές τους, πρέπει να θυμόμαστε ότι η προβολή ενός σχήματος είναι το σύνολο των προβολών όλων των σημείων του.

1.6. Σύστημα τριών επιπέδων προβολών. Epure Monge.

Όλα τα χωρικά γεωμετρικά σχήματα μπορούν να προσανατολιστούν σε σχέση με το καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα αξόνων συντεταγμένων - ένα σύστημα τριών αμοιβαία κάθετων επιπέδων συντεταγμένων (Εικ. 1.12).

Ρύζι. 1.12. Εικόνα ενός συστήματος τριών επιπέδων προβολής

Αυτά τα επίπεδα συντεταγμένων ορίζονται:

οριζόντιο επίπεδο προβολών -  1;

μετωπικό επίπεδο προβολών -  2;

επίπεδο προφίλ προβολών -  3 .

Οι γραμμές τομής αυτών των επιπέδων σχηματίζουν τους άξονες συντεταγμένων: ο άξονας της τετμημένης είναι Χ. άξονας y - Y; ο άξονας που εφαρμόζεται είναι Z. Το σημείο Ο της τομής των αξόνων συντεταγμένων λαμβάνεται ως αρχή των συντεταγμένων και συμβολίζεται με το γράμμα Ο. Οι θετικές κατευθύνσεις των αξόνων είναι: για τον άξονα x - στα αριστερά της αρχής , για τον άξονα Y - προς τον θεατή από το επίπεδο  2, για τον άξονα z - προς τα πάνω από το επίπεδο  1; οι αντίθετες κατευθύνσεις θεωρούνται αρνητικές.

Για να απλοποιήσουμε περαιτέρω τον συλλογισμό, θα εξετάσουμε μόνο το τμήμα του χώρου που βρίσκεται στα αριστερά του επιπέδου προφίλ των προβολών  3 .

Με αυτήν την υπόθεση, τρία επίπεδα προβολής συντεταγμένων σχηματίζουν τέσσερις χωρικές γωνίες - οκταντική (στη γενική περίπτωση - 8 οκτάντια).

Από το σχ. 1.12 φαίνεται ότι ο άξονας της τετμημένης Χ χωρίζει το οριζόντιο επίπεδο προβολής  1 σε δύο μέρη: τον μπροστινό όροφο  1 (άξονες X και Y) και τον πίσω όροφο  1 (άξονες X και - Y).

Ο άξονας Χ χωρίζει μετωπικό επίπεδο προβολής 2 επίσης σε δύο μέρη: τον επάνω όροφο  2 (άξονες Χ και Ζ) και τον κάτω όροφο  2 (άξονες Χ και - Ζ).

Ο άξονας Υ και εφαρμόστε το Z διαιρέστε το επίπεδο προβολής προφίλ  3 σε τέσσερα μέρη:

επάνω μπροστινός όροφος  3 (άξονες Y και Z)

επάνω πίσω πάτωμα  3 (άξονες-Y και Z)

κάτω μπροστινός όροφος  3 (άξονες Y και –Z)

κάτω πίσω πάτωμα  3 i (άξονες - Υ και -Ζ)

Για να ληφθεί ένα επίπεδο (δισδιάστατο) μοντέλο των χωρικών επιπέδων συντεταγμένων των προβολών, τα οριζόντια επίπεδα  1 και προφίλ  3 συνδυάζονται με το μετωπικό  2 με τη σειρά που φαίνεται από τα βέλη στο Σχήμα. 1.12.

Π
Στην περίπτωση αυτή, το οριζόντιο επίπεδο προβολής  1 περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Χ κατά 90 και το επίπεδο προβολής προφίλ  3 περιστρέφεται επίσης γύρω από τον άξονα Z κατά 90 (η φορά περιστροφής φαίνεται στο Σχ. 1.12).

Ο συνδυασμός τριών επιπέδων προβολής που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο (Εικ. 1.13) είναι ένα επίπεδο μοντέλο ενός συστήματος τριών χωρικών

προς την

Ρύζι. 1.13. Χωρικό μοντέλο του σημείου Α

Για να κατασκευαστεί ένα επίπεδο μοντέλο ενός χωρικού γεωμετρικού σχήματος, κάθε σημείο του προβάλλεται ορθογώνια στα επίπεδα προβολής  1 ,  2 και  3 , τα οποία στη συνέχεια συνδυάζονται σε ένα επίπεδο. Το επίπεδο μοντέλο ενός χωρικού γεωμετρικού σχήματος που προκύπτει έτσι ονομάζεται διάγραμμα Monge.

Η σειρά σχεδίασης ενός σημειακού οικοπέδου που βρίσκεται στην πρώτη οκτάδα.

Στο σχ. Το 1.13 δείχνει ένα χωρικό σημείο Α, οι συντεταγμένες του οποίου (x, y, z) δείχνουν τις αποστάσεις στις οποίες το σημείο απομακρύνεται από τα επίπεδα προβολής.

ρε Για να ληφθούν ορθογώνιες προβολές του σημείου Α, είναι απαραίτητο να χαμηλώσουν οι κάθετοι στο επίπεδο προβολής από αυτό το σημείο.

Τα σημεία τομής αυτών των καθέτων με τα επίπεδα προβολής σχηματίζουν τις προεξοχές του σημείου Α:

A 1 - οριζόντια προβολή του σημείου.

Μια 2 - μετωπική προβολή του σημείου.

ΑΛΛΑ

Ρύζι. 1.14. Σημείο πλοκής Α

Στο σχ. 1.14 τα επίπεδα προβολής  1 και  3 είναι ευθυγραμμισμένα με το επίπεδο σχεδίασης (με το επίπεδο προβολής  2) και μαζί με αυτά ευθυγραμμίζονται με το επίπεδο σχεδίασης και την προβολή του σημείου Α (A 1, A 2, A 3) και έτσι ένα επίπεδο μοντέλο επιπέδων συντεταγμένων λαμβάνεται προβολές και ένα επίπεδο μοντέλο του χωρικού σημείου Α - το διάγραμμα του.

Η θέση των προβολών του σημείου Α στο διάγραμμα προσδιορίζεται μοναδικά από τις τρεις συντεταγμένες του (Εικ. 1.14).

Στο σχ. 1.13 και εικ. Το 1.14 δείχνει επίσης ότι στο διάγραμμα οι οριζόντιες και μετωπικές προβολές του σημείου βρίσκονται στην ίδια κάθετη προς τον άξονα Χ, καθώς και οι μετωπικές και οι προβολές προφίλ - στην ίδια κάθετη προς τον άξονα Ζ:

ΑΛΛΑ 1 ΑΛΛΑ 2  Χ, Α 2 ΑΛΛΑ 3  Ζ.

Το Σχήμα 1.12 δείχνει ότι τα σημεία που βρίσκονται σε διαφορετικά οκτάντια έχουν ορισμένα σημάδια συντεταγμένων.

Ο πίνακας δείχνει τα σημάδια των συντεταγμένων των σημείων που βρίσκονται σε διαφορετικά οκτάντια

Πίνακας πινακίδων συντεταγμένων

Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο

Ποια είναι η ιδέα πίσω από τη μέθοδο προβολής;

Ποια είναι η ουσία της κεντρικής προβολής και ποιες οι κύριες ιδιότητές της;

Ποια είναι η ουσία της παράλληλης προβολής και ποιες είναι οι κύριες ιδιότητές της;

Ποια είναι η ουσία της ορθογώνιας (ορθογώνιας) προβολής;

Πώς διατυπώνεται το θεώρημα προβολής ορθής γωνίας;