Τι σημαίνει μεσαίο σημείο. Ιδιότητες της κάθετης διχοτόμου σε ευθύγραμμο τμήμα. Το σημείο τομής των διχοτόμων και το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων ενός τριγώνου. Αποδείξεις θεωρημάτων για τις ιδιότητες ενός κύκλου που περικλείεται γύρω από ένα τρίγωνο

Μεσακάθετος (διάμεσος κάθετοςή μεσολαβητής) είναι μια ευθεία κάθετη στο δεδομένο τμήμα και διέρχεται από το μέσο του.

Ιδιότητες

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$όπου ο δείκτης δείχνει την πλευρά προς την οποία σύρεται η κάθετο, $\mu \iota \kappa \rho ό$είναι το εμβαδόν του τριγώνου και θεωρείται επίσης ότι οι πλευρές σχετίζονται με ανισότητες $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; \gamma .$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$και $p\_c\backslash geq\; p\_b.$Με άλλα λόγια, για ένα τρίγωνο, η μικρότερη κάθετη διχοτόμος αναφέρεται στο μεσαίο τμήμα.

Γράψτε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Μέση Κάθετη"

Σημειώσεις

Απόσπασμα που χαρακτηρίζει τη διχοτόμο

Ο Κουτούζοφ, σταματώντας να μασήσει, κοίταξε τον Βολτσόγκεν έκπληκτος, σαν να μην καταλάβαινε τι του έλεγαν. Ο Wolzogen, παρατηρώντας τον ενθουσιασμό του des alten Herrn, [του γέρου κύριου (Γερμανός)], είπε χαμογελώντας:
- Δεν θεώρησα τον εαυτό μου δικαίωμα να κρύψω από την αρχοντιά σας αυτό που είδα ... Τα στρατεύματα βρίσκονται σε πλήρη αταξία ...
- Εχεις δει? Είδατε; .. - φώναξε ο Κουτούζοφ συνοφρυωμένος, σηκώθηκε γρήγορα και προχωρώντας προς τον Βολτσόγκεν. «Πώς τολμάς… πώς τολμάς…!» φώναξε, κάνοντας απειλητικές χειρονομίες με χειραψία και πνιγμό. - Πώς τολμάς, αγαπητέ μου κύριε, να μου το πεις αυτό. Δεν ξέρεις τίποτα. Πείτε από εμένα στον στρατηγό Μπάρκλεϊ ότι οι πληροφορίες του είναι εσφαλμένες και ότι η πραγματική πορεία της μάχης είναι γνωστή σε μένα, τον αρχιστράτηγο, καλύτερα από εκείνον.
Ο Βολτσόγκεν ήθελε να αντιταχθεί σε κάτι, αλλά ο Κουτούζοφ τον διέκοψε.
- Ο εχθρός αποκρούεται στα αριστερά και ηττάται στο δεξί πλευρό. Αν δεν είδατε καλά, αγαπητέ κύριε, τότε μην επιτρέψετε στον εαυτό σας να πει αυτό που δεν γνωρίζετε. Παρακαλώ πηγαίνετε στον στρατηγό Μπάρκλεϊ και του μεταφέρετε την απαραίτητη πρόθεσή μου να επιτεθώ στον εχθρό αύριο», είπε ο Κουτούζοφ με αυστηρότητα. Όλοι ήταν σιωπηλοί και κάποιος μπορούσε να ακούσει μια βαριά ανάσα του λαχανιασμένου γέρου στρατηγού. - Απωθημένο παντού, για το οποίο ευχαριστώ τον Θεό και τον γενναίο στρατό μας. Ο εχθρός ηττήθηκε και αύριο θα τον διώξουμε από την ιερή ρωσική γη, - είπε ο Κουτούζοφ, σταυρώνοντας τον εαυτό του. και ξαφνικά ξέσπασε σε κλάματα. Ο Wolzogen, ανασηκώνοντας τους ώμους του και στρίβοντας τα χείλη του, παραμέρισε σιωπηλά, απορώντας τον uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [επί αυτής της τυραννίας του γέρου κυρίου. (Γερμανός)]
«Ναι, εδώ είναι, ήρωάς μου», είπε ο Κουτούζοφ στον παχουλό, όμορφο μαυρομάλλη στρατηγό, ο οποίος εκείνη την ώρα έμπαινε στο ανάχωμα. Ήταν ο Ραέφσκι, που είχε περάσει όλη την ημέρα στο κεντρικό σημείο του γηπέδου Μποροντίνο.
Ο Ραέφσκι ανέφερε ότι τα στρατεύματα ήταν σταθερά στις θέσεις τους και ότι οι Γάλλοι δεν τολμούσαν πια να επιτεθούν. Αφού τον άκουσε, ο Κουτούζοφ είπε στα γαλλικά:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer; [Δηλαδή δεν πιστεύετε, όπως οι άλλοι, ότι πρέπει να υποχωρήσουμε;]

Στο προηγούμενο μάθημα, εξετάσαμε τις ιδιότητες της διχοτόμου μιας γωνίας, τόσο εγκλεισμένης σε τρίγωνο όσο και ελεύθερης. Το τρίγωνο περιλαμβάνει τρεις γωνίες, και για καθεμία από αυτές διατηρούνται οι θεωρούμενες ιδιότητες της διχοτόμου.

Θεώρημα:

Οι διχοτόμοι AA 1, BB 1, CC 1 του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο O (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Εξετάστε τις δύο πρώτες διχοτόμους BB 1 και СС 1 . Τέμνονται, το σημείο τομής Ο υπάρχει. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε το αντίθετο: αφήστε τις δεδομένες διχοτόμους να μην τέμνονται, οπότε είναι παράλληλες. Τότε η ευθεία BC είναι τομή και το άθροισμα των γωνιών , αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι σε ολόκληρο το τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι .

Άρα, υπάρχει το σημείο Ο τομής δύο διχοτόμων. Εξετάστε τις ιδιότητές του:

Το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας, που σημαίνει ότι απέχει από τις πλευρές του BA και BC. Αν το OK είναι κάθετο στο BC, το OL είναι κάθετο στο BA, τότε τα μήκη αυτών των καθέτων είναι ίσα με -. Επίσης, το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας και απέχει από τις πλευρές του CB και CA, οι κάθετοι ΟΜ και ΟΚ είναι ίσες.

Πήραμε τις εξής ισότητες:

, δηλαδή και οι τρεις κάθετες που πέφτουν από το σημείο Ο στις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.

Μας ενδιαφέρει η ισότητα των καθέτων ΟΛ και ΟΜ. Αυτή η ισότητα λέει ότι το σημείο Ο απέχει από τις πλευρές της γωνίας, επομένως βρίσκεται στη διχοτόμο του AA 1.

Έτσι, αποδείξαμε ότι και οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Επιπλέον, το τρίγωνο αποτελείται από τρία τμήματα, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να εξετάσουμε τις ιδιότητες ενός μόνο τμήματος.

Δίνεται το τμήμα ΑΒ. Οποιοδήποτε τμήμα έχει μέση και μπορεί να τραβηχτεί μια κάθετη μέσα από αυτό - το συμβολίζουμε με p. Άρα p είναι η κάθετη διχοτόμος.

Ρύζι. 2. Απεικόνιση για το θεώρημα

Οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Αποδείξτε ότι (Εικ. 2).

Απόδειξη:

Θεωρήστε τρίγωνα και . Είναι ορθογώνια και ίσα, γιατί έχουν ένα κοινό σκέλος ΟΜ, και τα σκέλη του ΑΟ και του ΟΒ είναι ίσα κατά συνθήκη, οπότε έχουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα που είναι ίσα σε δύο σκέλη. Από αυτό προκύπτει ότι και οι υποτείνουσες των τριγώνων είναι ίσες, δηλαδή που έπρεπε να αποδειχτεί.

Το θεώρημα της αντίστροφης είναι αληθές.

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.

Δίνεται το τμήμα ΑΒ, η κάθετη σε αυτό είναι p, το σημείο Μ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ βρίσκεται στη διχοτόμο του τμήματος (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Ας εξετάσουμε ένα τρίγωνο. Είναι ισοσκελές, όπως κατά συνθήκη. Θεωρήστε τη διάμεσο του τριγώνου: το σημείο Ο είναι το μέσο της βάσης ΑΒ, το OM είναι η διάμεσος. Σύμφωνα με την ιδιοκτησία ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που τραβιέται στη βάση του είναι και το ύψος και η διχοτόμος. Ως εκ τούτου προκύπτει ότι. Αλλά η ευθεία p είναι επίσης κάθετη στην ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι μια μόνο κάθετη στο τμήμα ΑΒ μπορεί να τραβηχτεί στο σημείο Ο, πράγμα που σημαίνει ότι οι ευθείες OM και p συμπίπτουν, επομένως προκύπτει ότι το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία p, η οποία έπρεπε να αποδειχθεί.

Τα άμεσα και αντίστροφα θεωρήματα μπορούν να γενικευθούν.

Ένα σημείο βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός τμήματος αν και μόνο αν είναι ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος.

Έτσι, επαναλαμβάνουμε ότι υπάρχουν τρία τμήματα σε ένα τρίγωνο και η ιδιότητα της κάθετης διχοτόμου ισχύει για καθένα από αυτά.

Θεώρημα:

Οι κάθετες διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Δίνεται ένα τρίγωνο. Κάθετα στις πλευρές του: P 1 στην πλευρά BC, P 2 στην πλευρά AC, P 3 στην πλευρά AB.

Να αποδείξετε ότι οι κάθετοι Р 1 , Р 2 και Р 3 τέμνονται στο σημείο Ο (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Θεωρήστε δύο μεσαίες κάθετες P 2 και P 3 , τέμνονται, το σημείο τομής O υπάρχει. Ας αποδείξουμε αυτό το γεγονός με αντίφαση - ας είναι παράλληλες οι κάθετοι P 2 και P 3. Τότε η γωνία είναι ευθεία, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου είναι . Άρα, υπάρχει σημείο Ο τομής δύο από τις τρεις κάθετες διχοτόμους. Ιδιότητες του σημείου Ο: βρίσκεται στη μεσοκάθετο προς την πλευρά ΑΒ, που σημαίνει ότι έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ:. Βρίσκεται επίσης στην κάθετη διχοτόμο προς την πλευρά AC, οπότε . Λάβαμε τις ακόλουθες ισότητες.

Στο προηγούμενο μάθημα, εξετάσαμε τις ιδιότητες της διχοτόμου μιας γωνίας, τόσο εγκλεισμένης σε τρίγωνο όσο και ελεύθερης. Το τρίγωνο περιλαμβάνει τρεις γωνίες, και για καθεμία από αυτές διατηρούνται οι θεωρούμενες ιδιότητες της διχοτόμου.

Θεώρημα:

Οι διχοτόμοι AA 1, BB 1, CC 1 του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο O (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Εξετάστε τις δύο πρώτες διχοτόμους BB 1 και СС 1 . Τέμνονται, το σημείο τομής Ο υπάρχει. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε το αντίθετο: αφήστε τις δεδομένες διχοτόμους να μην τέμνονται, οπότε είναι παράλληλες. Τότε η ευθεία BC είναι τομή και το άθροισμα των γωνιών , αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι σε ολόκληρο το τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι .

Άρα, υπάρχει το σημείο Ο τομής δύο διχοτόμων. Εξετάστε τις ιδιότητές του:

Το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας, που σημαίνει ότι απέχει από τις πλευρές του BA και BC. Αν το OK είναι κάθετο στο BC, το OL είναι κάθετο στο BA, τότε τα μήκη αυτών των καθέτων είναι ίσα με -. Επίσης, το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας και απέχει από τις πλευρές του CB και CA, οι κάθετοι ΟΜ και ΟΚ είναι ίσες.

Πήραμε τις εξής ισότητες:

, δηλαδή και οι τρεις κάθετες που πέφτουν από το σημείο Ο στις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.

Μας ενδιαφέρει η ισότητα των καθέτων ΟΛ και ΟΜ. Αυτή η ισότητα λέει ότι το σημείο Ο απέχει από τις πλευρές της γωνίας, επομένως βρίσκεται στη διχοτόμο του AA 1.

Έτσι, αποδείξαμε ότι και οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Επιπλέον, το τρίγωνο αποτελείται από τρία τμήματα, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να εξετάσουμε τις ιδιότητες ενός μόνο τμήματος.

Δίνεται το τμήμα ΑΒ. Οποιοδήποτε τμήμα έχει μέση και μπορεί να τραβηχτεί μια κάθετη μέσα από αυτό - το συμβολίζουμε με p. Άρα p είναι η κάθετη διχοτόμος.

Ρύζι. 2. Απεικόνιση για το θεώρημα

Οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Αποδείξτε ότι (Εικ. 2).

Απόδειξη:

Θεωρήστε τρίγωνα και . Είναι ορθογώνια και ίσα, γιατί έχουν ένα κοινό σκέλος ΟΜ, και τα σκέλη του ΑΟ και του ΟΒ είναι ίσα κατά συνθήκη, οπότε έχουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα που είναι ίσα σε δύο σκέλη. Από αυτό προκύπτει ότι και οι υποτείνουσες των τριγώνων είναι ίσες, δηλαδή που έπρεπε να αποδειχτεί.

Το θεώρημα της αντίστροφης είναι αληθές.

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.

Δίνεται το τμήμα ΑΒ, η κάθετη σε αυτό είναι p, το σημείο Μ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ βρίσκεται στη διχοτόμο του τμήματος (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Ας εξετάσουμε ένα τρίγωνο. Είναι ισοσκελές, όπως κατά συνθήκη. Θεωρήστε τη διάμεσο του τριγώνου: το σημείο Ο είναι το μέσο της βάσης ΑΒ, το OM είναι η διάμεσος. Σύμφωνα με την ιδιότητα ενός ισοσκελούς τριγώνου, η διάμεσος που έλκεται στη βάση του είναι και ύψος και διχοτόμος. Ως εκ τούτου προκύπτει ότι. Αλλά η ευθεία p είναι επίσης κάθετη στην ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι μια μόνο κάθετη στο τμήμα ΑΒ μπορεί να τραβηχτεί στο σημείο Ο, πράγμα που σημαίνει ότι οι ευθείες OM και p συμπίπτουν, επομένως προκύπτει ότι το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία p, η οποία έπρεπε να αποδειχθεί.

Τα άμεσα και αντίστροφα θεωρήματα μπορούν να γενικευθούν.

Ένα σημείο βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός τμήματος αν και μόνο αν είναι ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος.

Έτσι, επαναλαμβάνουμε ότι υπάρχουν τρία τμήματα σε ένα τρίγωνο και η ιδιότητα της κάθετης διχοτόμου ισχύει για καθένα από αυτά.

Θεώρημα:

Οι κάθετες διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Δίνεται ένα τρίγωνο. Κάθετα στις πλευρές του: P 1 στην πλευρά BC, P 2 στην πλευρά AC, P 3 στην πλευρά AB.

Να αποδείξετε ότι οι κάθετοι Р 1 , Р 2 και Р 3 τέμνονται στο σημείο Ο (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Θεωρήστε δύο μεσαίες κάθετες P 2 και P 3 , τέμνονται, το σημείο τομής O υπάρχει. Ας αποδείξουμε αυτό το γεγονός με αντίφαση - ας είναι παράλληλες οι κάθετοι P 2 και P 3. Τότε η γωνία είναι ευθεία, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου είναι . Άρα, υπάρχει σημείο Ο τομής δύο από τις τρεις κάθετες διχοτόμους. Ιδιότητες του σημείου Ο: βρίσκεται στη μεσοκάθετο προς την πλευρά ΑΒ, που σημαίνει ότι έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ:. Βρίσκεται επίσης στην κάθετη διχοτόμο προς την πλευρά AC, οπότε . Λάβαμε τις ακόλουθες ισότητες.

Αποδείξεις θεωρημάτων για τις ιδιότητες ενός κύκλου που περικλείεται γύρω από ένα τρίγωνο

Μεσοκάθετο στο τμήμα

Ορισμός 1 . Μεσοκάθετο στο τμήμαονομάζεται, μια ευθεία γραμμή κάθετη σε αυτό το τμήμα και διέρχεται από το μέσο του (Εικ. 1).

Θεώρημα 1. Κάθε σημείο της διχοτόμου στο τμήμα είναι στην ίδια απόσταση από τα άκρα αυτό το τμήμα.

Απόδειξη . Θεωρήστε ένα αυθαίρετο σημείο D που βρίσκεται στη μεσοκάθετο στο τμήμα AB (Εικ. 2) και αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ADC και BDC είναι ίσα.

Πράγματι, αυτά τα τρίγωνα είναι ορθογώνια τρίγωνα των οποίων τα σκέλη AC και BC είναι ίσα, ενώ τα σκέλη DC είναι κοινά. Από την ισότητα των τριγώνων ADC και BDC προκύπτει η ισότητα των τμημάτων AD και DB. Το θεώρημα 1 αποδεικνύεται.

Θεώρημα 2 (Αντίστροφη στο Θεώρημα 1). Εάν ένα σημείο βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τα άκρα ενός τμήματος, τότε βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.

Απόδειξη . Ας αποδείξουμε το Θεώρημα 2 με τη μέθοδο «με αντίφαση». Για το σκοπό αυτό, ας υποθέσουμε ότι κάποιο σημείο Ε βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τα άκρα του τμήματος, αλλά δεν βρίσκεται στη διχοτόμο σε αυτό το τμήμα. Ας φέρουμε αυτή την υπόθεση σε αντίφαση. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση που τα σημεία Ε και Α βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της κάθετης διχοτόμου (Εικ. 3). Στην περίπτωση αυτή, το τμήμα ΕΑ τέμνει τη μεσοκάθετο σε κάποιο σημείο, την οποία θα συμβολίσουμε με το γράμμα Δ.

Ας αποδείξουμε ότι το τμήμα AE είναι μεγαλύτερο από το τμήμα EB. Πραγματικά,

Έτσι, στην περίπτωση που τα σημεία Ε και Α βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της κάθετης διχοτόμου, έχουμε μια αντίφαση.

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που τα σημεία Ε και Α βρίσκονται στην ίδια πλευρά της κάθετης διχοτόμου (Εικ. 4). Ας αποδείξουμε ότι το τμήμα ΕΒ είναι μεγαλύτερο από το τμήμα ΑΕ . Πραγματικά,

Η προκύπτουσα αντίφαση ολοκληρώνει την απόδειξη του Θεωρήματος 2

Κύκλος που περιγράφει ένα τρίγωνο

Ορισμός 2 . Ένας κύκλος που περικλείει ένα τρίγωνο, καλούμε τον κύκλο που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές του τριγώνου (Εικ. 5). Στην περίπτωση αυτή καλείται το τρίγωνο ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλοή εγγεγραμμένο τρίγωνο.

Ιδιότητες κύκλου περιγεγραμμένου σε τρίγωνο. Θεώρημα ημιτόνου

Εικόνα	Εικόνα	Ιδιοκτησία
Μεσοκάθετοι στις πλευρές του τριγώνου		τέμνονται σε ένα σημείο .
Κέντρο περιγεγραμμένο σε ένα οξύ τρίγωνο κύκλου		Κέντρο περιγράφεται για οξεία γωνία μέσα τρίγωνο.
Κέντρο περιγράφεται για ορθογώνιο τρίγωνοκύκλους		Το κέντρο των περιγραφόμενων περίπου ορθογώνιος μέσο της υποτείνουσας .
Κέντρο περιγεγραμμένο σε ένα αμβλύ τρίγωνο κύκλου		Κέντρο περιγράφεται για κουτός κύκλο τρίγωνο βρίσκεται εξω απο τρίγωνο.
		,
τετράγωνο τρίγωνο		S= 2R 2 αμαρτία ΕΝΑαμαρτία σιαμαρτία ντο ,
Ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου		Για οποιοδήποτε τρίγωνο, η ισότητα είναι αληθής:

Μέσες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου

Όλες οι κάθετες διχοτόμοι τραβηγμένο στις πλευρές ενός αυθαίρετου τριγώνου, τέμνονται σε ένα σημείο .

Κύκλος που περιγράφει ένα τρίγωνο

Οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να περιγραφεί από έναν κύκλο. . Το κέντρο του κύκλου που περικλείεται γύρω από το τρίγωνο είναι το σημείο όπου τέμνονται όλες οι κάθετες διχοτόμοι που τέμνονται στις πλευρές του τριγώνου.

Κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα οξύ τρίγωνο

Κέντρο περιγράφεται για οξεία γωνία κύκλο τρίγωνο βρίσκεται μέσα τρίγωνο.

Κέντρο ενός κύκλου που περικλείεται σε ορθογώνιο τρίγωνο

Το κέντρο των περιγραφόμενων περίπου ορθογώνιος κύκλο τρίγωνο είναι μέσο της υποτείνουσας .

Κέντρο ενός κύκλου περιγεγραμμένο σε αμβλύ τρίγωνο

Κέντρο περιγράφεται για κουτός κύκλο τρίγωνο βρίσκεται εξω απο τρίγωνο.

Για οποιοδήποτε τρίγωνο, ισχύουν οι ισότητες (ημιτονικό θεώρημα): , όπου a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου, A, B, C οι γωνίες του τριγώνου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Εμβαδόν τριγώνου

Για οποιοδήποτε τρίγωνο, η ισότητα είναι αληθής: S= 2R 2 αμαρτία ΕΝΑαμαρτία σιαμαρτία ντο , όπου A, B, C είναι οι γωνίες του τριγώνου, S είναι η περιοχή του τριγώνου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

Για οποιοδήποτε τρίγωνο, η ισότητα είναι αληθής: όπου a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου, S είναι η περιοχή του τριγώνου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Αποδείξεις θεωρημάτων για τις ιδιότητες ενός κύκλου που περικλείεται γύρω από ένα τρίγωνο

Θεώρημα 3. Όλες οι ενδιάμεσες κάθετες που τέμνονται στις πλευρές ενός αυθαίρετου τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόδειξη . Θεωρήστε δύο κάθετες διχοτόμους που σύρονται στις πλευρές AC και AB του τριγώνου ABC και υποδηλώστε το σημείο τομής τους με το γράμμα O (Εικ. 6).

Εφόσον το σημείο O βρίσκεται στη μεσοκάθετο στο τμήμα AC , τότε δυνάμει του Θεωρήματος 1 ισχύει η ισότητα.

Δώστε μια ιδέα για μια νέα κατηγορία προβλημάτων - κατασκευή γεωμετρικά σχήματαχρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα χωρίς διαχωρισμούς κλίμακας.

Εισαγάγετε την έννοια του GMT.

Δώστε έναν ορισμό της κάθετης διχοτόμου, διδάξτε πώς να την κατασκευάσετε και αποδείξτε τον όρο για την κάθετο διχοτόμο, καθώς και την αντίστροφη της.

Χρησιμοποιώντας το σύστημα σχεδίασης υπολογιστή Compass-3D, εκτελέστε γεωμετρικές κατασκευές, οι οποίες συνιστάται να εκτελούνται σε ένα μάθημα γεωμετρίας με χρήση πυξίδας και χάρακα.

Φυλλάδιο (Παράρτημα Αρ. 1)

Τα προβλήματα για την κατασκευή με πυξίδα και χάρακα χωρίς διαιρέσεις επιλύονται συχνότερα σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σχέδιο:

ΕΓΩ. Ανάλυση: Σχεδιάστε το επιθυμητό σχήμα σχηματικά και δημιουργήστε συνδέσμους μεταξύ των δεδομένων προβλήματος και των επιθυμητών στοιχείων.

II. Κτίριο: Σύμφωνα με το σχέδιο χτίζουν με πυξίδα και χάρακα.

III. Απόδειξη: Να αποδείξετε ότι το κατασκευασμένο σχήμα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

IV. Μελέτη: Διεξαγωγή μελέτης, για τυχόν δεδομένα, εάν το πρόβλημα έχει λύση και αν ναι, πόσες λύσεις (δεν εκτελούνται σε όλα τα προβλήματα).

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα στοιχειωδών εργασιών κατασκευής που θα εξετάσουμε:

1. Αφαιρέστε ένα τμήμα ίσο με αυτό (που μελετήθηκε νωρίτερα).

2. Κατασκευή της κάθετης διχοτόμου στο τμήμα:

• να κατασκευάσει το μέσο του δεδομένου τμήματος.
• κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και είναι κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία (ένα σημείο μπορεί να βρίσκεται ή όχι σε μια δεδομένη ευθεία).

3. Κατασκευή της διχοτόμου γωνίας.

4. Κατασκευή γωνίας ίσης με δεδομένη.

Η διάμεσος κάθετος στο τμήμα.

Ορισμός: Η διχοτόμος ενός τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

Εργασία: "Κατασκευάστε τη μεσοκάθετο στο τμήμα." Παρουσίαση

Ο - η μέση του ΑΒ

Περιγραφή κατασκευής ( διαφάνεια αριθμός 4):

Δοκός α; Α - η αρχή της δοκού

Περιφέρεια (A; r =m)

Κύκλος a = B; ΑΒ = m

Κύκλος 1 (A; r 1 > m/2)

Κύκλος 2 (B; r 1)

Κύκλος 1 Κύκλος 2 =

MN ; MN AB =0, (MN = L)

όπου MN AB, O είναι το μέσο του AB

III. Απόδειξη(αριθμός διαφάνειας 5, 6)

1. Εξετάστε τα AMN και BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2 , επομένως AM = BN , AN = BM MN είναι η κοινή πλευρά

(Εικόνα 3)

Επομένως, AMN = BNM (σε 3 πλευρές),

συνεπώς

1= 2 (εξ ορισμού ίσο)

3= 4 (εξ ορισμού ίσο)

2. Το MAN και το NBM είναι ισοσκελές (εξ ορισμού) ->

1 \u003d 4 και 3 \u003d 2 (με την ιδιότητα του ισοσκελούς)

3. Από τα σημεία 1 και 2 -> 1 = 3 επομένως το ΜΟ είναι η διχοτόμος του ισοσκελούς ΑΜΒ

4. Έτσι αποδείξαμε ότι ΜΝ είναι η μεσοκάθετος στο τμήμα ΑΒ

IV. Μελέτη

Αυτό το πρόβλημα έχει μια μοναδική λύση, γιατί Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα έχει μόνο ένα μέσο και μέσα από ένα δεδομένο σημείο μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια μόνο ευθεία κάθετη στη δεδομένη.

Ορισμός: Ένα γεωμετρικό σύνολο σημείων (GMT) είναι ένα σύνολο σημείων που έχουν κάποια ιδιότητα. (Παράρτημα αρ. 2)

Γνωστό σε εσάς GMT:

1. Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
2. Διχοτόμος γωνίας - ένα σύνολο σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας

Ας αποδείξουμε λοιπόν το θεώρημα:

Θεώρημα: "Κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος."

(Εικόνα 4)

Δόθηκαν: AB; ΜΟ - κάθετη διχοτόμος

Απόδειξη: AM = VM

Απόδειξη: 1. MO - κάθετη διχοτόμος (κατά συνθήκη) -> O - μέσο τμήματος AB, MOAB 2. Εξετάστε το AMO και το WMO - ορθογώνιο MO - κοινό πόδι

AO \u003d VO (O - η μέση του AB) -\u003e AMO \u003d BMO (σε 2 πόδια) -\u003e AM \u003d VM (εξ ορισμού ίσα τρίγωνα, ως τα αντίστοιχα μέρη) Q.E.D

Εργασία για το σπίτι: «Να αποδείξετε το θεώρημα αντίστροφο στο δεδομένο»

Θεώρημα: "Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα."

(Εικόνα 5)

Δόθηκαν: AB; MA=MV

Αποδεικνύω: Το σημείο Μ βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο

Απόδειξη:

Οτι. MO - κάθετη διχοτόμος που περιέχει όλα τα σημεία σε ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Ιδιότητα των κάθετων διχοτόμων στις πλευρές ενός τριγώνου

Τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου γύρω από το τρίγωνο, θα μελετήσουμε στην όγδοη δημοτικού.

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ

Υλικό και τεχνικός εξοπλισμός:

Διανομή: 29.574 KB

Λειτουργικό σύστημα: Windows 9x/2000/XP

Ιστοσελίδα: http://www.ascon.ru

Τώρα θα μεταφέρουμε την κατασκευή στο γραφικό περιβάλλον του υπολογιστή (διαφάνεια αριθμός 7)

Οι γνώσεις και οι δεξιότητες που έχουν αποκτηθεί προηγουμένως πρέπει να εφαρμόζονται σε μια συγκεκριμένη εργασία. Θα δείτε ότι η κατασκευή δεν θα σας πάρει περισσότερο χρόνο από την κατασκευή σε ένα σημειωματάριο. Μεταξύ άλλων, είναι ενδιαφέρον να δούμε πώς το περιβάλλον του υπολογιστή εκτελεί ανθρώπινες εντολές για την κατασκευή επίπεδων φιγούρων. Πριν από εσάς είναι το παράρτημα Νο. 3, στο οποίο περιγράφονται αναλυτικά τα βήματα κατασκευής σας. Φορτώστε το πρόγραμμα και ανοίξτε ένα νέο σχέδιο ( διαφάνεια αριθμός 8, 9).

Σχεδιάστε γεωμετρικά αντικείμενα που καθορίζονται στην προβληματική συνθήκη: ακτίνα έναξεκινώντας από το σημείο ΑΛΛΑκαι το τμήμα είναι ίσο Μ– αυθαίρετο μήκος ( διαφάνεια αριθμός 10).

Εισαγάγετε τον προσδιορισμό της δέσμης, τμήματος, αρχής της δοκού στο σχέδιο χρησιμοποιώντας την καρτέλα "Εργαλεία"κείμενο.

Κατασκευάστε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με το τμήμα Μμε κέντρο στην κορυφή από ένα δεδομένο σημείο ΑΛΛΑ (διαφάνεια αριθμός 11).

Μμε κέντρο στην κορυφή δεδομένο σημείο Α ( διαφάνεια №12, 13).

Κατασκευάστε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με τμήμα μεγαλύτερο από 1/2 ΜΓια να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το στοιχείο " Μεταξύ 2 βαθμών» (διαφάνεια №14, 15, 16).

Μέσα από τα σημεία τομής των κύκλων Μ και ΝΖΩΓΡΑΦΙΣΕ μια γραμμη ( διαφάνεια №17,18).

Μεταχειρισμένα βιβλία:

1. Ugrinovich N.D. «Πληροφορική. Βασικό μάθημα" 7η τάξη. - Μ.: BINOM - 2008 - 175 σελ.
2. Ugrinovich N.D. «Εργαστήριο πληροφορικής και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ". Φροντιστήριο. - Μ.: BINOM, 2004-2006. -
3. Ugrinovich N.D. "Διδασκαλία του μαθήματος "Πληροφορική και ΤΠΕ" σε τάξεις δημοτικού και γυμνασίου 8-11 M.: BINOM Knowledge Laboratory, 2008. - 180 σελ.
4. Ugrinovich ND Εργαστήριο υπολογιστών σε CD-ROM. - Μ.: BINOM, 2004-2006.
5. Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. "Πυξίδα - 3D v 5.11-8.0 Εργαστήριο για αρχάριους" - M .: SOLON - PRESS, 2006 - 272 σελ.
6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al «Geometry 7-9. Εγχειρίδιο για τα σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης "- Μ: Εκπαίδευση 2006 - 384 σελ.
7. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al «Μελέτη γεωμετρίας βαθμών 7-9. Οδηγίες για το σχολικό βιβλίο "- Μ: Εκπαίδευση 1997 - 255 σελ.
8. Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. "Σχέδια μαθήματος για το εγχειρίδιο της 8ης τάξης του Atanasyan L.S." - Volgograd "Teacher" 2010, 166 σελ.

Αίτηση Νο. 1

Σχέδιο για την επίλυση προβλημάτων σχετικά με την κατασκευή μιας πυξίδας και ενός χάρακα.

1. Ανάλυση.
2. Κατασκευή.
3. Απόδειξη.
4. Μελέτη.

Εξήγηση

1. Κατά την εκτέλεση της ανάλυσης, σχεδιάζεται σχηματικά το απαιτούμενο σχήμα και δημιουργείται μια σύνδεση μεταξύ των δεδομένων εργασίας και των απαιτούμενων στοιχείων.
2. Σύμφωνα με το σχέδιο, η κατασκευή πραγματοποιείται με πυξίδα και χάρακα.
3. Αποδεικνύουν ότι το κατασκευασμένο σχήμα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.
4. Διεξαγωγή μελέτης: για οποιαδήποτε δεδομένα, το πρόβλημα έχει λύση και αν ναι, πόσες λύσεις;

Παραδείγματα στοιχειωδών εργασιών κατασκευής

1. Αφαιρέστε ένα τμήμα ίσο με το δεδομένο.
2. Κατασκευάστε μια κάθετη διχοτόμο σε ένα τμήμα.
3. Κατασκευάστε το μέσο του τμήματος.
4. Κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από το δεδομένο σημείο, κάθετη στη δεδομένη ευθεία (Το σημείο μπορεί να βρίσκεται ή όχι στη δεδομένη ευθεία).
5. Κατασκευάστε μια διχοτόμο γωνίας.
6. Κατασκευάστε μια γωνία ίση με τη δεδομένη.

Αίτηση №2

Ο τόπος σημείων (GMT) είναι ένα σύνολο σημείων που έχουν κάποια ιδιότητα.

Παραδείγματα GMT:

1. Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
2. Ένας κύκλος είναι ένα σύνολο σημείων σε ίση απόσταση από ένα δεδομένο σημείο - το κέντρο του κύκλου.
3. Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος.