Θέμα 1 αλγεβρικά κλάσματα αριθμητικές πράξεις. Προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων. Υπολογισμός της τιμής ενός αλγεβρικού κλάσματος και δύο βασικών προβλημάτων κλασμάτων

Ερωτήσεις για offset

• 
  Να διατυπώσετε την κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.
• 
  Διατυπώ
  1. 
     Αλγόριθμος για την εύρεση ενός πρόσθετου παράγοντα σε ένα αλγεβρικό κλάσμα.
  2. 
     Κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
  3. 
     Αλγόριθμος για την εύρεση του κοινού παρονομαστή πολλών κλασμάτων
  4. 
     Ο κανόνας της πρόσθεσης (αφαίρεσης) αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
  5. 
     Κανόνας πολλαπλασιασμού για αλγεβρικά κλάσματα
  6. 
     Ο κανόνας για τη διαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων.
  7. 
     Ο κανόνας για την αύξηση ενός αλγεβρικού κλάσματος σε δύναμη.

Αυτό το μάθημα συζητά την έννοια του αλγεβρικού κλάσματος. Ένα άτομο συναντά κλάσματα στις πιο απλές καταστάσεις της ζωής: όταν είναι απαραίτητο να χωρίσετε ένα αντικείμενο σε πολλά μέρη, για παράδειγμα, να κόψετε ένα κέικ εξίσου για δέκα άτομα. Προφανώς, όλοι θα πάρουν ένα κομμάτι από την τούρτα. Σε αυτήν την περίπτωση, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με την έννοια ενός αριθμητικού κλάσματος, αλλά μια κατάσταση είναι δυνατή όταν ένα αντικείμενο διαιρείται σε έναν άγνωστο αριθμό μερών, για παράδειγμα, με x. Σε αυτή την περίπτωση, προκύπτει η έννοια της κλασματικής έκφρασης. Συναντήσατε ήδη ακέραιες εκφράσεις (που δεν περιέχουν διαίρεση σε εκφράσεις με μεταβλητές) και τις ιδιότητές τους στον βαθμό 7. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την έννοια ενός ορθολογικού κλάσματος, καθώς και τις επιτρεπόμενες τιμές των μεταβλητών.

Θέμα:Αλγεβρικά κλάσματα. Αριθμητικές πράξεις σε αλγεβρικά κλάσματα

Μάθημα:ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1. Ορισμός και παραδείγματα αλγεβρικών κλασμάτων

Οι ορθολογικές εκφράσεις χωρίζονται σε ακέραιες και κλασματικές εκφράσεις.

Ορισμός. ορθολογικό κλάσμαείναι μια κλασματική έκφραση της μορφής , όπου είναι πολυώνυμα. - αριθμητής παρονομαστής.

Παραδείγματα λογικές εκφράσεις:- κλασματικές εκφράσεις. είναι ακέραιες εκφράσεις. Στην πρώτη παράσταση, για παράδειγμα, ο αριθμητής είναι , και ο παρονομαστής είναι .

Εννοια αλγεβρικό κλάσμα, όπως κάθε αλγεβρική παράσταση, εξαρτάται από την αριθμητική τιμή των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό. Συγκεκριμένα, στο πρώτο παράδειγμα η τιμή του κλάσματος εξαρτάται από τις τιμές των μεταβλητών και, και στο δεύτερο μόνο από την τιμή της μεταβλητής.

2. Υπολογισμός της τιμής ενός αλγεβρικού κλάσματος και δύο βασικών προβλημάτων σε κλάσματα

Εξετάστε την πρώτη τυπική εργασία: τον υπολογισμό της τιμής ορθολογικό κλάσμαγια διαφορετικές τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Παράδειγμα 1. Υπολογίστε την τιμή ενός κλάσματος για τα α), β), γ)

Λύση. Αντικαταστήστε τις τιμές των μεταβλητών στο υποδεικνυόμενο κλάσμα: α), β), γ) - δεν υπάρχει (γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν).

Απάντηση: 3; ένας; δεν υπάρχει.

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν δύο τυπικά προβλήματα για κάθε κλάσμα: 1) υπολογισμός του κλάσματος, 2) εύρεση έγκυρες και μη έγκυρες τιμέςκυριολεκτικές μεταβλητές.

Ορισμός. Έγκυρες μεταβλητές τιμέςείναι οι τιμές των μεταβλητών για τις οποίες έχει νόημα η έκφραση. Το σύνολο όλων των αποδεκτών τιμών των μεταβλητών ονομάζεται ODZή τομέα.

3. Επιτρεπτές (ODZ) και μη έγκυρες τιμές μεταβλητών σε κλάσματα με μία μεταβλητή

Η τιμή των κυριολεκτικών μεταβλητών μπορεί να είναι άκυρη εάν ο παρονομαστής του κλάσματος για αυτές τις τιμές είναι μηδέν. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, οι τιμές των μεταβλητών είναι έγκυρες, αφού το κλάσμα μπορεί να υπολογιστεί.

Παράδειγμα 2. Προσδιορίστε σε ποιες τιμές της μεταβλητής το κλάσμα δεν έχει νόημα.

Λύση. Για να έχει νόημα αυτή η έκφραση, είναι απαραίτητο και αρκετό ο παρονομαστής του κλάσματος να μην ισούται με μηδέν. Έτσι, μόνο εκείνες οι τιμές της μεταβλητής για τις οποίες ο παρονομαστής θα είναι ίσος με μηδέν θα είναι άκυρες. Ο παρονομαστής του κλάσματος, οπότε λύνουμε τη γραμμική εξίσωση:

Επομένως, για την τιμή της μεταβλητής, το κλάσμα δεν έχει νόημα.

Από τη λύση του παραδείγματος ακολουθεί ο κανόνας εύρεσης μη έγκυρων τιμών μεταβλητών - ο παρονομαστής του κλάσματος είναι ίσος με μηδέν και βρίσκονται οι ρίζες της αντίστοιχης εξίσωσης.

Ας δούμε μερικά παρόμοια παραδείγματα.

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε σε ποιες τιμές της μεταβλητής το κλάσμα δεν έχει νόημα.

Λύση. .

Παράδειγμα 4. Προσδιορίστε σε ποιες τιμές της μεταβλητής το κλάσμα δεν έχει νόημα.

Λύση..

Υπάρχουν και άλλες διατυπώσεις αυτού του προβλήματος - για να βρείτε τομέαή εύρος έγκυρων τιμών έκφρασης (ODZ). Αυτό σημαίνει - βρείτε όλες τις έγκυρες τιμές των μεταβλητών. Στο παράδειγμά μας, αυτές είναι όλες τιμές εκτός από . Το πεδίο ορισμού απεικονίζεται εύκολα στον αριθμητικό άξονα.

Για να το κάνουμε αυτό, θα κόψουμε ένα σημείο πάνω του, όπως φαίνεται στο σχήμα:

Με αυτόν τον τρόπο, τομέας κλάσματοςθα είναι όλοι οι αριθμοί εκτός από το 3.

Παράδειγμα 5. Προσδιορίστε σε ποιες τιμές της μεταβλητής το κλάσμα δεν έχει νόημα.

Λύση..

Ας απεικονίσουμε τη λύση που προκύπτει στον αριθμητικό άξονα:

4. Γραφική αναπαράσταση του εμβαδού του επιτρεπόμενου (ODZ) και των μη έγκυρων τιμών των μεταβλητών σε κλάσματα

Παράδειγμα 6. Προσδιορίστε σε ποιες τιμές των μεταβλητών το κλάσμα δεν έχει νόημα.

Λύση.. Πήραμε την ισότητα δύο μεταβλητών, θα δώσουμε αριθμητικά παραδείγματα: ή, κ.λπ.

Ας σχεδιάσουμε αυτή τη λύση σε ένα γράφημα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

Ρύζι. 3. Γράφημα συνάρτησης.

Οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται σε αυτό το γράφημα δεν περιλαμβάνονται στην περιοχή των αποδεκτών τιμών του κλάσματος.

5. Περίπτωση όπως "διαίρεση με το μηδέν"

Στα παραδείγματα που εξετάστηκαν, βρεθήκαμε αντιμέτωποι με μια κατάσταση όπου συνέβη μια διαίρεση με το μηδέν. Τώρα εξετάστε την περίπτωση όπου προκύπτει μια πιο ενδιαφέρουσα κατάσταση με τη διαίρεση τύπων.

Παράδειγμα 7. Προσδιορίστε σε ποιες τιμές των μεταβλητών το κλάσμα δεν έχει νόημα.

Λύση..

Αποδεικνύεται ότι το κλάσμα δεν έχει νόημα όταν . Αλλά μπορεί να υποστηριχθεί ότι αυτό δεν συμβαίνει, επειδή: .

Μπορεί να φαίνεται ότι αν η τελική παράσταση είναι ίση με 8 για , τότε η αρχική έκφραση μπορεί επίσης να υπολογιστεί και, επομένως, έχει νόημα για το . Ωστόσο, αν το αντικαταστήσουμε στην αρχική έκφραση, παίρνουμε - δεν έχει νόημα.

Για να κατανοήσουμε αυτό το παράδειγμα με περισσότερες λεπτομέρειες, λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα: για ποιες τιμές το υποδεικνυόμενο κλάσμα είναι ίσο με μηδέν;

(ένα κλάσμα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής του είναι μηδέν) . Αλλά είναι απαραίτητο να λύσουμε την αρχική εξίσωση με ένα κλάσμα και δεν έχει νόημα για το , γιατί με αυτήν την τιμή της μεταβλητής, ο παρονομαστής είναι μηδέν. Άρα αυτή η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα.

6. Ο κανόνας για την εύρεση ODZ

Έτσι, μπορούμε να διατυπώσουμε τον ακριβή κανόνα για την εύρεση του εύρους των αποδεκτών τιμών ενός κλάσματος: να βρούμε ODZκλάσματαείναι απαραίτητο και αρκετό να εξισώσουμε τον παρονομαστή του με το μηδέν και να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει.

Εξετάσαμε δύο βασικά καθήκοντα: τον υπολογισμό της τιμής ενός κλάσματοςγια τις καθορισμένες τιμές των μεταβλητών και εύρεση του εμβαδού των αποδεκτών τιμών ενός κλάσματος.

Ας εξετάσουμε τώρα μερικά ακόμη προβλήματα που μπορεί να προκύψουν κατά την εργασία με κλάσματα.

7. Διάφορες εργασίες και συμπεράσματα

Παράδειγμα 8. Αποδείξτε ότι για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής, το κλάσμα .

Απόδειξη. Ο αριθμητής είναι θετικός αριθμός. . Ως αποτέλεσμα, τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής είναι θετικοί αριθμοί, επομένως, το κλάσμα είναι επίσης θετικός αριθμός.

Αποδεδειγμένος.

Παράδειγμα 9. Είναι γνωστό ότι , βρείτε .

Λύση. Ας διαιρέσουμε τον όρο του κλάσματος με τον όρο. Έχουμε το δικαίωμα να μειώσουμε κατά, λαμβάνοντας υπόψη ποια είναι η μη έγκυρη τιμή της μεταβλητής για αυτό το κλάσμα.

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τα κλάσματα. Στο επόμενο μάθημα, θα δούμε βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Βιβλιογραφία

1. Bashmakov M. I. Άλγεβρα Βαθμός 8. - Μ.: Διαφωτισμός, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al. Algebra 8. - 5η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8η τάξη. Φροντιστήριο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα. - Μ.: Εκπαίδευση, 2006.

1. Φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών.

2. Παλιό σχολείο.

3. Διαδικτυακή πύλη lib2.podelise. ru.

Εργασία για το σπίτι

1. Νο. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al. Algebra 8. - 5η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.

2. Να γράψετε ένα ρητό κλάσμα, το πεδίο ορισμού του οποίου είναι: α) σύνολο, β) σύνολο, γ) ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας.

3. Αποδείξτε ότι για όλες τις αποδεκτές τιμές της μεταβλητής η τιμή του κλάσματος είναι μη αρνητική.

4. Βρείτε το εύρος της έκφρασης. Υπόδειξη: εξετάστε δύο περιπτώσεις χωριστά: όταν ο παρονομαστής του κατώτερου κλάσματος είναι ίσος με μηδέν και όταν ο παρονομαστής του αρχικού κλάσματος είναι ίσος με μηδέν.

Θέμα:

Μάθημα: Μετατροπή ορθολογικών εκφράσεων

1. Ορθολογική έκφραση και μέθοδος απλοποίησής της

Ας θυμηθούμε πρώτα τον ορισμό της ορθολογικής έκφρασης.

Ορισμός. ορθολογική έκφραση- μια αλγεβρική έκφραση που δεν περιέχει ρίζες και περιλαμβάνει μόνο τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης (εκθετική).

Με τον όρο «μετασχηματίζω μια ορθολογική έκφραση» εννοούμε, πρώτα απ' όλα, την απλοποίησή της. Και αυτό πραγματοποιείται με τη σειρά των ενεργειών που είναι γνωστές σε εμάς: πρώτα, ενέργειες σε αγκύλες, μετά γινόμενο αριθμών(εκτίμηση), διαίρεση αριθμών και μετά πράξεις πρόσθεσης/αφαίρεσης.

2. Απλοποίηση ορθολογικών παραστάσεων με άθροισμα/διαφορά κλασμάτων

Ο κύριος στόχος του σημερινού μαθήματος θα είναι η απόκτηση εμπειρίας στην επίλυση πιο σύνθετων προβλημάτων απλοποίησης ορθολογικών εκφράσεων.

Παράδειγμα 1

Λύση.Αρχικά μπορεί να φαίνεται ότι αυτά τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν, καθώς οι εκφράσεις στους αριθμητές των κλασμάτων είναι πολύ παρόμοιες με τους τύπους για τα πλήρη τετράγωνα των αντίστοιχων παρονομαστών τους. Σε αυτή την περίπτωση, είναι σημαντικό να μην βιαστείτε, αλλά να ελέγξετε ξεχωριστά αν αυτό είναι έτσι.

Ας ελέγξουμε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος: . Τώρα ο δεύτερος αριθμητής: .

Όπως βλέπετε, οι προσδοκίες μας δεν δικαιώθηκαν και οι εκφράσεις στους αριθμητές δεν είναι τέλεια τετράγωνα, αφού δεν έχουν διπλασιασμό του γινόμενου. Τέτοιες εκφράσεις, αν θυμάστε το μάθημα της 7ης τάξης, ονομάζονται ημιτελή τετράγωνα. Θα πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί σε τέτοιες περιπτώσεις, γιατί η σύγχυση του τύπου πλήρους τετραγώνου με έναν ημιτελή είναι ένα πολύ συνηθισμένο λάθος και τέτοια παραδείγματα ελέγχουν την προσοχή του μαθητή.

Επειδή η αναγωγή είναι αδύνατη, θα κάνουμε την πρόσθεση κλασμάτων. Οι παρονομαστές δεν έχουν κοινούς συντελεστές, επομένως απλώς πολλαπλασιάζονται για να ληφθεί ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής και ο πρόσθετος παράγοντας για κάθε κλάσμα είναι ο παρονομαστής του άλλου κλάσματος.

Φυσικά, τότε μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες και στη συνέχεια να φέρετε παρόμοιους όρους, ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με λιγότερη προσπάθεια και να παρατηρήσετε στον αριθμητή ότι ο πρώτος όρος είναι ο τύπος για το άθροισμα των κύβων και ο δεύτερος για το διαφορά των κύβων. Για ευκολία, υπενθυμίζουμε αυτούς τους τύπους σε γενική μορφή:

Στην περίπτωσή μας, οι εκφράσεις στον αριθμητή διπλώνονται ως εξής:

, η δεύτερη έκφραση είναι παρόμοια. Εχουμε:

Απάντηση..

Παράδειγμα 2Απλοποίηση ορθολογικής έκφρασης .

Λύση.Αυτό το παράδειγμα είναι παρόμοιο με το προηγούμενο, αλλά είναι αμέσως σαφές ότι υπάρχουν ημιτελή τετράγωνα στους αριθμητές των κλασμάτων, επομένως η μείωση στο αρχικό στάδιο της λύσης είναι αδύνατη. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, προσθέτουμε κλάσματα:

Εδώ, όπως και η μέθοδος που αναφέρθηκε παραπάνω, παρατηρήσαμε και συμπτύξαμε εκφράσεις σύμφωνα με τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων.

Απάντηση..

Παράδειγμα 3Απλοποίηση της ορθολογικής έκφρασης.

Λύση.Μπορείτε να δείτε ότι ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος αποσυντίθεται σε παράγοντες σύμφωνα με τον τύπο του αθροίσματος των κύβων. Όπως ήδη γνωρίζουμε, η παραγοντοποίηση παρονομαστών είναι χρήσιμη για την περαιτέρω εύρεση του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή των κλασμάτων.

Ας υποδείξουμε τον μικρότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων, είναι ίσος με: 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

Απάντηση.

3. Απλοποίηση ορθολογικών εκφράσεων με σύνθετα «πολυώροφα» κλάσματα

Εξετάστε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα με «πολυώροφα» κλάσματα.

Παράδειγμα 4Αποδείξτε την ταυτότητα" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Αποδεδειγμένος.

Στο επόμενο μάθημα, θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε πιο σύνθετα παραδείγματα μετασχηματισμού ορθολογικών εκφράσεων.

Θέμα: Αλγεβρικά κλάσματα. Αριθμητικές πράξεις σε αλγεβρικά κλάσματα

Μάθημα: Μετατροπή πιο σύνθετων ορθολογικών εκφράσεων

1. Παράδειγμα απόδειξης ταυτότητας χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς ορθολογικών εκφράσεων

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε τον μετασχηματισμό πιο περίπλοκων ορθολογικών εκφράσεων. Το πρώτο παράδειγμα θα είναι αφιερωμένο στην απόδειξη της ταυτότητας.

Παράδειγμα 1

Απόδειξη ταυτότητας: .

Απόδειξη:

Πρώτα απ 'όλα, κατά τη μετατροπή ορθολογικών εκφράσεων, είναι απαραίτητο να καθοριστεί η σειρά των ενεργειών. Θυμηθείτε ότι οι πράξεις σε αγκύλες εκτελούνται πρώτα, μετά ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση. Επομένως, σε αυτό το παράδειγμα, η διαδικασία θα είναι η εξής: πρώτα, εκτελέστε την ενέργεια στις πρώτες αγκύλες, μετά στις δεύτερες αγκύλες, μετά διαιρέστε τα αποτελέσματα και, στη συνέχεια, προσθέστε ένα κλάσμα στην έκφραση που προκύπτει. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, καθώς και της απλοποίησης, θα πρέπει να ληφθεί μια έκφραση.

Τμήμα μαθηματικών. Μέσω γραμμής.

• 
  Αριθμοί και Υπολογισμοί
• 
  Εκφράσεις και μεταμορφώσεις

• 
  Αλγεβρικό κλάσμα.
• 
  Αναγωγή κλασμάτων.
• 
  Πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα.

• 
  Μάθετε πώς να μειώνετε αλγεβρικά κλάσματα.
• 
  

• 
  Να είναι σε θέση να εκτελεί βασικές πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα.
• 
  Να μπορεί να εκτελεί συνδυαστικές ασκήσεις για ενέργειες με αλγεβρικά κλάσματα.

Θέμα 2. Τετραγωνική συνάρτηση. Λειτουργία . (18 ώρες)

 Λειτουργία

Υποχρεωτικό ελάχιστο περιεχόμενο εκπαιδευτικό πεδίομαθηματικά

Πρόγραμμα. Έλεγχος στην εφαρμογή του

Απαιτήσεις για μαθηματική προετοιμασία

Το επίπεδο υποχρεωτικής κατάρτισης του μαθητή

Το επίπεδο πιθανής κατάρτισης του μαθητή

Θέμα 3 Λειτουργία . Properties of the Square Root (11 ώρες)

Τμήμα μαθηματικών. μέσω γραμμής

• 
  Αριθμοί και Υπολογισμοί
• 
  Εκφράσεις και μεταμορφώσεις
• 
  Λειτουργίες

 Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού. Αριθμητική τετραγωνική ρίζα.

 Η έννοια του άρρητου αριθμού. Ο παραλογισμός ενός αριθμού.

 Πραγματικοί αριθμοί.

 Ιδιότητες τετραγωνικές ρίζεςκαι την εφαρμογή τους στους υπολογιστές.

 Λειτουργία.

Πρόγραμμα. Έλεγχος στην εφαρμογή του

^ Απαιτήσεις για μαθηματική προετοιμασία

Το επίπεδο υποχρεωτικής κατάρτισης του μαθητή

 Βρείτε σε απλές περιπτώσεις τις τιμές των ριζών.

 Να γνωρίζουν τον ορισμό και τις ιδιότητες μιας συνάρτησης , να μπορέσει να το σχεδιάσει.

 Να μπορεί να εφαρμόζει τις ιδιότητες των αριθμητικών τετραγωνικών ριζών για να υπολογίζει τιμές και απλούς μετασχηματισμούς αριθμητικών παραστάσεων που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες.

Το επίπεδο πιθανής κατάρτισης του μαθητή

 Να γνωρίζουν την έννοια της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας.

 Να μπορεί να εφαρμόζει τις ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας κατά τη μετατροπή παραστάσεων.

 Να μπορεί να χρησιμοποιεί τις ιδιότητες μιας συνάρτησης στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

 Να έχουν μια ιδέα για παράλογους και πραγματικούς αριθμούς.

^ Θέμα 4 Τετραγωνικές εξισώσεις (21 ώρες)

Τμήμα μαθηματικών. μέσω γραμμής

 Εξισώσεις και ανισώσεις

Υποχρεωτικό ελάχιστο περιεχόμενο του εκπαιδευτικού πεδίου των μαθηματικών

 Τετραγωνική εξίσωση: Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

 Λύση ορθολογικών εξισώσεων.

 Επίλυση προβλημάτων κειμένου με χρήση τετραγωνικών και κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων.

Πρόγραμμα. Έλεγχος στην εφαρμογή του

^ Απαιτήσεις για μαθηματική προετοιμασία

Το επίπεδο υποχρεωτικής κατάρτισης του μαθητή

 Να μπορεί να αποφασίζει τετραγωνικές εξισώσεις, απλές ορθολογικές και παράλογες εξισώσεις.

 Να μπορεί να λύνει απλά λεκτικά προβλήματα χρησιμοποιώντας εξισώσεις.

Το επίπεδο πιθανής κατάρτισης του μαθητή

• 
  Κατανοήστε ότι οι εξισώσεις είναι μια μαθηματική συσκευή για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων από τα μαθηματικά, τα σχετικά γνωστικά πεδία και την πρακτική.
• 
  Να είναι σε θέση να λύνει δευτεροβάθμιες εξισώσεις, ορθολογικές και παράλογες εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές.
• 
  Να μπορεί να εφαρμόζει τετραγωνικές και ορθολογικές εξισώσεις στην επίλυση προβλημάτων.

Σε αυτό το μάθημα, θα συνεχίσουμε να εξετάζουμε τις απλούστερες πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα - την πρόσθεση και την αφαίρεση τους. Σήμερα θα επικεντρωθούμε στην εξέταση παραδειγμάτων στα οποία το πιο σημαντικό μέρος της λύσης θα είναι η παραγοντοποίηση του παρονομαστή σε παράγοντες με όλους τους τρόπους που γνωρίζουμε: με την αφαίρεση ενός κοινού παράγοντα, τη μέθοδο ομαδοποίησης, την επιλογή του πλήρους τετραγώνου, χρησιμοποιώντας τους τύπους μειωμένου πολλαπλασιασμού. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, θα εξεταστούν αρκετά πολύπλοκα προβλήματα στα κλάσματα.

Θέμα:Αλγεβρικά κλάσματα. Αριθμητικές πράξεις σε αλγεβρικά κλάσματα

Μάθημα:Προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων

Στο μάθημα, θα εξετάσουμε και θα γενικεύσουμε όλες τις περιπτώσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων: με ίδιους και με διαφορετικούς παρονομαστές. Γενικά, θα λύσουμε προβλήματα της μορφής:

Είδαμε νωρίτερα ότι κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων, μία από τις πιο σημαντικές πράξεις είναι ο παραγοντοποίηση των παρονομαστών. Παρόμοια διαδικασία γίνεται και στην περίπτωση των συνηθισμένων κλασμάτων. Για άλλη μια φορά, θυμηθείτε πώς πρέπει να εργαστείτε συνηθισμένα κλάσματα.

Παράδειγμα 1Υπολογίστε.

Λύση.Χρησιμοποιούμε, όπως και πριν, το κύριο θεώρημα της αριθμητικής ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους παράγοντες: .

Ας προσδιορίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών: - αυτός θα είναι ο κοινός παρονομαστής των κλασμάτων και, βάσει αυτού, θα προσδιορίσουμε τους πρόσθετους παράγοντες για κάθε ένα από τα κλάσματα: για το πρώτο κλάσμα , για το δεύτερο κλάσμα , για το τρίτο κλάσμα .

Απάντηση..

Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήσαμε το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής για να παραγοντοποιήσουμε τους αριθμούς. Επιπλέον, όταν τα πολυώνυμα λειτουργούν ως παρονομαστές, θα πρέπει να παραγοντοποιηθούν με τις ακόλουθες μεθόδους που είναι γνωστές σε εμάς: εξαγωγή ενός κοινού παράγοντα, μέθοδος ομαδοποίησης, επισήμανση του πλήρους τετραγώνου, χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.

Παράδειγμα 2Προσθέστε και αφαιρέστε κλάσματα .

Λύση.Οι παρονομαστές και των τριών κλασμάτων είναι σύνθετες εκφράσεις που πρέπει να συνυπολογιστούν, στη συνέχεια να βρεθεί ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής για αυτές και να υποδειχθούν πρόσθετοι παράγοντες για κάθε ένα από τα κλάσματα. Ας κάνουμε όλα αυτά τα βήματα ξεχωριστά και, στη συνέχεια, ας αντικαταστήσουμε τα αποτελέσματα στην αρχική έκφραση.

Στον πρώτο παρονομαστή, αφαιρούμε τον κοινό παράγοντα: - αφού αφαιρέσουμε τον κοινό παράγοντα, μπορείτε να δείτε ότι η έκφραση σε αγκύλες συμπτύσσεται σύμφωνα με τον τύπο αθροίσματος τετραγώνου.

Στον δεύτερο παρονομαστή, βγάζουμε τον κοινό παράγοντα: - αφού βγάλουμε τον κοινό παράγοντα, εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων.

Στον τρίτο παρονομαστή βγάζουμε τον κοινό παράγοντα: .

Αφού συνυπολογίσετε τον τρίτο παρονομαστή, μπορείτε να δείτε ότι στον δεύτερο παρονομαστή μπορείτε να επιλέξετε έναν παράγοντα για μια πιο βολική αναζήτηση για τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων, θα το κάνουμε βάζοντας το μείον εκτός αγκύλων, στη δεύτερη αγκύλη που ανταλλάξαμε τους όρους για μια πιο βολική μορφή σημειογραφίας.

Ορίζουμε τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων ως μια παράσταση που διαιρείται με όλους τους παρονομαστές ταυτόχρονα, θα είναι ίση με:.

Υποδεικνύουμε πρόσθετους παράγοντες: για το πρώτο κλάσμα , για το δεύτερο κλάσμα - το μείον που λαμβάνεται στον παρονομαστή δεν λαμβάνεται υπόψη, γιατί το γράφουμε σε ολόκληρο το κλάσμα, για το τρίτο κλάσμα .

Τώρα ας εκτελέσουμε ενέργειες με κλάσματα, θυμόμαστε να αλλάξουμε το πρόσημο πριν από το δεύτερο κλάσμα:

Στο τελευταίο στάδιο της λύσης, φέραμε παρόμοιους όρους και τους καταγράψαμε με φθίνουσα σειρά δυνάμεων για τη μεταβλητή .

Απάντηση..

Στο παραπάνω παράδειγμα, για άλλη μια φορά, όπως και στα προηγούμενα μαθήματα, δείξαμε τον αλγόριθμο για την πρόσθεση/αφαίρεση κλασμάτων, ο οποίος έχει ως εξής: παραγοντοποιήστε τους παρονομαστές των κλασμάτων, βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, πρόσθετους παράγοντες, εκτελέστε τη διαδικασία πρόσθεσης/αφαίρεσης και , αν είναι δυνατόν, απλοποιήστε την έκφραση και μειώστε. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον αλγόριθμο στα ακόλουθα. Ας εξετάσουμε τώρα πιο απλά παραδείγματα.

Παράδειγμα 3αφαιρώ κλάσματα .

Λύση.Σε αυτό το παράδειγμα, είναι σημαντικό να δούμε τη δυνατότητα μείωσης του πρώτου κλάσματος πριν το φέρουμε σε κοινό παρονομαστή με το δεύτερο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, αποσυνθέτουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος σε παράγοντες.

Αριθμητής: - στο πρώτο βήμα, ένα μέρος της έκφρασης αποσυντέθηκε σύμφωνα με τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων και στο δεύτερο, αφαιρέθηκε ο κοινός παράγοντας.

Παρονομαστής: - στο πρώτο βήμα, ένα μέρος της έκφρασης αποσυντέθηκε σύμφωνα με τον τύπο του τετραγώνου της διαφοράς και στο δεύτερο, αφαιρέθηκε ο κοινός παράγοντας. Αντικαταστήστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή που προκύπτει στην αρχική παράσταση και μειώστε το πρώτο κλάσμα με έναν κοινό παράγοντα:

Απάντηση:.

Παράδειγμα 4Εκτέλεση ενεργειών .

Λύση.Σε αυτό το παράδειγμα, όπως και στο προηγούμενο, είναι σημαντικό να παρατηρήσετε και να εφαρμόσετε τη μείωση του κλάσματος πριν εκτελέσετε τις ενέργειες. Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.