Κατανομή και τύπος Poisson. Κατανομή Poisson μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Παραδείγματα νόμου του Poisson

23. Ο νόμος του Gay-Lussac Ο νόμος του Gay-Lussac λέει: ο λόγος του όγκου ενός αερίου προς τη θερμοκρασία του σε σταθερή πίεση αερίου και τη μάζα του είναι σταθερή V / T = m / MO R / P = const σε P = const, m = συν. το όνομα της εξίσωσης ισοβαρών. Μια ισόγραμμη απεικονίζεται σε ένα διάγραμμα ΦΒ με ευθεία γραμμή,

24. Ο νόμος του Καρόλου Ο νόμος του Καρόλου ορίζει ότι ο λόγος της πίεσης του αερίου προς τη θερμοκρασία του είναι σταθερός εάν ο όγκος και η μάζα του αερίου είναι αμετάβλητες: P / T = m / MО R / V = ​​Const at V = const, m = συν. .Η ισοχώρη απεικονίζεται σε ένα Φ/Β διάγραμμα μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα P, και

30. Ο νόμος της διατήρησης και του μετασχηματισμού της ενέργειας Ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής βασίζεται στον παγκόσμιο νόμο της διατήρησης και του μετασχηματισμού της ενέργειας, ο οποίος ορίζει ότι η ενέργεια ούτε δημιουργείται ούτε εξαφανίζεται.Τα σώματα που συμμετέχουν σε μια θερμοδυναμική διαδικασία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους

Η ΠΡΙΓΚΙΠΙΣΣΑ ΒΑΤΡΑΧΟΣ ΚΑΙ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑΣ Όπως τονίστηκε προηγουμένως (ο νόμος της αφαίρεσης), η πρωτόγονη σκέψη ήταν σε θέση να αναλύσει συγκεκριμένα φαινόμενα και να συνθέσει νέα αφηρημένα συστήματα. Αφού κάθε αντικείμενο που κατασκευαζόταν από τη συνείδηση ​​γινόταν αντιληπτό ως ζωντανό και ζωντανό

1.1. Ο βασικός νόμος της εξέλιξης Στη διαδικασία της εξέλιξης της ζωής, από όσο γνωρίζουμε, υπήρχε πάντα και υπάρχει τώρα μια αύξηση της συνολικής μάζας της ζωντανής ύλης και η επιπλοκή της οργάνωσής της. Περιπλέκοντας την οργάνωση των βιολογικών σχηματισμών, η φύση ενεργεί σύμφωνα με τη μέθοδο των δοκιμών και

4.2. Νόμος του Moore Στην απλούστερη μορφή του, ο νόμος του Moore είναι η δήλωση ότι η πυκνότητα του κυκλώματος τρανζίστορ διπλασιάζεται κάθε 18 μήνες. Η πατρότητα του νόμου αποδίδεται σε έναν από τους ιδρυτές της γνωστής εταιρείας Intel, τον Gordon Moore. Αυστηρά μιλώντας, σε

Το $X$ έχει κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda$ ($\lambda$$>$0) εάν αυτή η ποσότητα παίρνει μη αρνητικές ακέραιες τιμές $k=0, 1, 2,\dots$ με πιθανότητες $pk$ =$\frac (\λάμδα ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} Συμεών Ντένις Πουασόντο 1837)

Κατανομή Poissonονομάζεται επίσης νόμος των σπάνιων γεγονότων, επειδή οι πιθανότητες pk δίνουν μια κατά προσέγγιση κατανομή του αριθμού των εμφανίσεων κάποιου σπάνιου συμβάντος σε μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων δοκιμών. Σε αυτήν την περίπτωση, υποτίθεται ότι $\lambda =n \cdot р$, όπου $n$ είναι ο αριθμός των δοκιμών Bernoulli, $р$ είναι η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν σε μία δοκιμή.

Η νομιμότητα της χρήσης του νόμου του Poisson αντί της διωνυμικής κατανομής για μεγάλο αριθμό δοκιμών δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 1

Το θεώρημα του Poisson.

Εάν στο σχήμα Bernoulli n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, έτσι ώστε $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (ένας πεπερασμένος αριθμός), τότε

$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\λάμδα ^(k) )(k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

Χωρίς απόδειξη.

Σημείωση 1

Ο τύπος του Poisson γίνεται πιο ακριβής για μικρούς $p$ και μεγάλους αριθμούς $n$ και $n \cdot p $

Αναμενόμενη αξίατυχαία μεταβλητή με κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda$:

$M(X)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

Διασποράτυχαία μεταβλητή με κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda$:

$D(X)$=$\λάμδα$ .

Εφαρμογή του τύπου Poisson στην επίλυση προβλημάτων

Παράδειγμα 1

Η πιθανότητα ελαττωματικού προϊόντος στη μαζική παραγωγή είναι 0,002$. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε μια παρτίδα των 1500 $ δεν θα υπάρχουν περισσότερα από 3 ελαττωματικά. Βρείτε τον μέσο αριθμό ελαττωματικών στοιχείων.

• Έστω $A$ ο αριθμός των ελαττωματικών αντικειμένων σε μια παρτίδα αντικειμένων $1500$. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα είναι η πιθανότητα $A$ $\leq$ $3$. Σε αυτό το πρόβλημα έχουμε ένα σχήμα Bernoulli με $n=1500$ και $p=0,002$. Για να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Poisson, ορίσαμε $\lambda=1500 \cdot 0,002=3$. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα

• Μέσος αριθμός ελαττωματικών στοιχείων $M(A)$=$\λάμδα$=3.

Παράδειγμα 2

Ο πίνακας διανομής του ιδρύματος εξυπηρετεί $100 $ συνδρομητών. Η πιθανότητα ένας συνδρομητής να καλέσει μέσα σε $1$ λεπτό είναι $0,01$. Βρείτε την πιθανότητα να μην καλέσει κανείς μέσα σε 1 $ λεπτό.

Έστω $A$ ο αριθμός των κλήσεων προς τον διακόπτη κατά τη διάρκεια ενός λεπτού $1$. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα είναι η πιθανότητα $A=0$. Σε αυτό το πρόβλημα, ισχύει το σχήμα Bernoulli με $n=100$, $p=0.01$. Για να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Poisson, θέτουμε

$\lambda=100 \cdot 0,01=1$.

Τότε η επιθυμητή πιθανότητα

$P = e^-1$ $\περίπου 0,37$.

Παράδειγμα 3

Το εργοστάσιο έστειλε προϊόντα $500 $ στη βάση. Η πιθανότητα ζημιάς του προϊόντος κατά τη μεταφορά είναι 0,002$. Βρείτε την πιθανότητα να καταστραφεί η διαδρομή

1. Ακριβώς τρία προϊόντα?
2. λιγότερο από τρία στοιχεία.

Λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση στον τύπο Poisson, καθώς η πιθανότητα $p=0,002$ ζημιάς προϊόντος είναι μικρή και ο αριθμός των προϊόντων $n=500$ είναι μεγάλος και $a=n\cdot p=1

Για την επίλυση του δεύτερου προβλήματος, ισχύει ο τύπος, όπου $k1=0$ και $k2=2$. Εχουμε:

Παράδειγμα 4

Το εγχειρίδιο εκδόθηκε σε κυκλοφορία 100.000 δολαρίων. Η πιθανότητα ένα σχολικό βιβλίο να είναι δεμένο σωστά είναι 0,0001$. Ποια είναι η πιθανότητα η κυκλοφορία να περιέχει 5$ ελαττωματικών βιβλίων;

Με την συνθήκη του προβλήματος $n = 100000$, $p = 0,0001$.

Τα συμβάντα "από $n$ βιβλία, ακριβώς τα $m$ βιβλία είναι δεμένα σωστά", όπου $m = 0,1,2, \dots ,100000$, είναι ανεξάρτητα. Εφόσον ο αριθμός $n$ είναι μεγάλος και η πιθανότητα $p$ είναι μικρή, η πιθανότητα $P_n (m)$ μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Poisson: $P_n$(m)$\approx \frac((\lambda )^ m\cdot e^ (-\λάμδα ))(m$ , где $\lambda = np$.!}

Στο υπό εξέταση πρόβλημα

$\λάμδα = 100000 \cdot 0,0001 = 10$.

Επομένως, η επιθυμητή πιθανότητα $P_(100000)$(5) καθορίζεται από την ισότητα:

$P_(100000)$ (5)$\περίπου \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

Απάντηση: 0,0375 $.

Παράδειγμα 5

Το εργοστάσιο έστειλε στη βάση 5.000 $ προϊόντων καλής ποιότητας. Η πιθανότητα να καταστραφεί το προϊόν καθ' οδόν είναι 0,0002$. Βρείτε την πιθανότητα ότι τρία άχρηστα αντικείμενα θα φτάσουν στη βάση.

Κατά συνθήκη $n=5000$; $p = 0,0002 $; $k = 3$. Εύρεση $\lambda$:

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$.

Η επιθυμητή πιθανότητα σύμφωνα με τον τύπο Poisson είναι ίση με:

Παράδειγμα 6

Η πιθανότητα ένας συνδρομητής να καλέσει το τηλεφωνικό κέντρο μέσα σε μία ώρα είναι 0,01. Μέσα σε μια ώρα κάλεσαν 200 συνδρομητές. Βρείτε την πιθανότητα να καλέσουν 3 συνδρομητές μέσα σε μία ώρα.

Λαμβάνοντας υπόψη την κατάσταση του προβλήματος, βλέπουμε ότι:

Ας βρούμε $\lambda $ για τον τύπο Poisson:

\[\lambda=np=200\cdot 0,01=2.\]

Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο Poisson και λάβετε την τιμή:

Παράδειγμα 7

Η σχολή έχει 500 φοιτητές. Ποια είναι η πιθανότητα η 1η Σεπτεμβρίου να είναι τα γενέθλια 2 μαθητών ταυτόχρονα;

Έχουμε $n=500$; $p=1/365 \περίπου 0,0027$, $q=0,9973$. Επειδή ο αριθμός των δοκιμών είναι μεγάλος και η πιθανότητα εκτέλεσης είναι πολύ μικρή και $npq=1,35 \

Η διωνυμική κατανομή ισχύει για περιπτώσεις όπου έχει ληφθεί δείγμα σταθερού μεγέθους. Η κατανομή Poisson αναφέρεται σε περιπτώσεις όπου ο αριθμός των τυχαίων γεγονότων συμβαίνει σε ένα ορισμένο μήκος, περιοχή, όγκο ή χρόνο, ενώ η καθοριστική παράμετρος της κατανομής είναι ο μέσος αριθμός γεγονότων , όχι το μέγεθος του δείγματος Πκαι ποσοστό επιτυχίας R.Για παράδειγμα, ο αριθμός των μη συμμορφώσεων σε ένα δείγμα ή ο αριθμός των μη συμμορφώσεων ανά μονάδα προϊόντος.

Κατανομή πιθανοτήτων για τον αριθμό των επιτυχιών Χέχει την εξής μορφή:

Ή μπορούμε να πούμε ότι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χκατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson εάν οι πιθανές τιμές του είναι 0,1, 2, ...t, ...p,και η πιθανότητα εμφάνισης τέτοιων τιμών καθορίζεται από τη σχέση:

όπου Μ ή λ είναι κάποια θετική τιμή, που ονομάζεται παράμετρος κατανομής Poisson.

Ο νόμος του Poisson ισχύει για γεγονότα που συμβαίνουν «σπάνια», ενώ η πιθανότητα μιας άλλης επιτυχίας (για παράδειγμα, αποτυχία) είναι συνεχής, σταθερή και δεν εξαρτάται από τον αριθμό των προηγούμενων επιτυχιών ή αποτυχιών (όταν πρόκειται για διαδικασίες που αναπτύσσονται με την πάροδο του χρόνου, αυτό ονομάζεται «ανεξαρτησία από το παρελθόν»). Το κλασικό παράδειγμα όπου εφαρμόζεται ο νόμος του Poisson είναι ο αριθμός των τηλεφωνικών κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια ενός δεδομένου χρονικού διαστήματος. Άλλα παραδείγματα μπορεί να είναι ο αριθμός των κηλίδων μελανιού σε μια σελίδα ενός ατημέλητου χειρογράφου ή ο αριθμός των κηλίδων σε ένα αμάξωμα αυτοκινήτου κατά τη διάρκεια της ζωγραφικής. Ο νόμος διανομής Poisson μετρά τον αριθμό των ελαττωμάτων και όχι τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων.

Η κατανομή Poisson υπακούει στον αριθμό των τυχαίων γεγονότων που εμφανίζονται σε σταθερά χρονικά διαστήματα ή σε μια σταθερή περιοχή του χώρου, Για λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 τιμή του P(m) με ανάπτυξη t διέρχεται από ένα μέγιστο κοντά /

Ένα χαρακτηριστικό της κατανομής Poisson είναι η ισότητα της διακύμανσης με τη μαθηματική προσδοκία. Παράμετροι κατανομής Poisson

M(x) = σ 2 = λ (15)

Αυτό το χαρακτηριστικό της κατανομής Poisson μας επιτρέπει να δηλώσουμε στην πράξη ότι η πειραματικά ληφθείσα κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής υπόκειται στην κατανομή Poisson εάν οι τιμές του δείγματος της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης είναι περίπου ίσες.

Ο νόμος των σπάνιων γεγονότων χρησιμοποιείται στη μηχανολογία για τον επιλεκτικό έλεγχο τελικών προϊόντων, όταν, σύμφωνα με τις τεχνικές συνθήκες, επιτρέπεται ένα ορισμένο ποσοστό απορριπτόμενων (συνήθως μικρό) στην αποδεκτή παρτίδα προϊόντων q<<0.1.

Εάν η πιθανότητα q του γεγονότος A είναι πολύ μικρή (q≤0,1) και ο αριθμός των δοκιμών είναι μεγάλος, τότε η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός A m φορές σε n δοκιμές θα είναι ίση με

όπου λ = M(x) = nq

Για να υπολογίσετε την κατανομή Poisson, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες σχέσεις επανάληψης

Η κατανομή Poisson παίζει σημαντικό ρόλο στις στατιστικές μεθόδους διασφάλισης ποιότητας επειδή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσέγγιση υπεργεωμετρικών και διωνυμικών κατανομών.

Μια τέτοια προσέγγιση είναι αποδεκτή όταν , με την προϋπόθεση ότι το qn έχει ένα πεπερασμένο όριο και το q<0.1. Когда n →∞, ένα p → 0, μέσος όρος n p = t =συνθ.

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των σπάνιων γεγονότων, μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να περιέχει ένα δείγμα από n: 0,1,2,3 κ.λπ. ελαττωματικά μέρη, π.χ. δίνονται m φορές. Μπορείτε επίσης να υπολογίσετε την πιθανότητα εμφάνισης σε ένα τέτοιο δείγμα m τεμαχίων ελαττωματικών εξαρτημάτων και πολλά άλλα. Αυτή η πιθανότητα, με βάση τον κανόνα της πρόσθεσης των πιθανοτήτων, θα είναι ίση με:

Παράδειγμα 1. Η παρτίδα περιέχει ελαττωματικά μέρη, η αναλογία των οποίων είναι 0,1. Λαμβάνονται και εξετάζονται διαδοχικά 10 μέρη, μετά τα οποία επιστρέφονται στην παρτίδα, δηλ. οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες. Ποια είναι η πιθανότητα κατά τον έλεγχο 10 εξαρτημάτων να συναντήσει ένα ελαττωματικό;

ΛύσηΑπό την συνθήκη του προβλήματος q=0,1; n=10; m=1. Προφανώς, p=1-q=0,9.

Το αποτέλεσμα που προέκυψε μπορεί επίσης να αποδοθεί στην περίπτωση κατά την οποία 10 εξαρτήματα αφαιρούνται στη σειρά χωρίς να τα επιστρέφουν πίσω στην παρτίδα. Με μια αρκετά μεγάλη παρτίδα, για παράδειγμα, 1000 τεμάχια, η πιθανότητα εξαγωγής εξαρτημάτων θα αλλάξει αμελητέα. Επομένως, υπό τέτοιες συνθήκες, η αφαίρεση ενός ελαττωματικού εξαρτήματος μπορεί να θεωρηθεί ως γεγονός ανεξάρτητο από τα αποτελέσματα προηγούμενων δοκιμών.

Παράδειγμα 2Η παρτίδα περιέχει 1% ελαττωματικών εξαρτημάτων. Ποια είναι η πιθανότητα εάν ληφθεί δείγμα 50 μονάδων από μια παρτίδα, να περιέχει 0, 1, 2, 3,4 ελαττωματικά μέρη;

Λύση.Εδώ q=0,01, nq=50*0,01=0,5

Έτσι, για να εφαρμοστεί αποτελεσματικά η κατανομή Poisson ως προσέγγιση της διωνυμικής, είναι απαραίτητο η πιθανότητα επιτυχίας Rήταν σημαντικά λιγότερο q .ένα n p = tήταν της τάξης μιας (ή πολλών μονάδων).

Έτσι, στις στατιστικές μεθόδους διασφάλισης ποιότητας

υπεργεωμετρικός νόμοςισχύει για δείγματα οποιουδήποτε μεγέθους Π και οποιοδήποτε επίπεδο ασυνέπειας q ,

ο διωνυμικός νόμος και ο νόμος του Poisson είναι οι ειδικές περιπτώσεις του, αντίστοιχα, με την προϋπόθεση ότι α/Δ<0,1 и

Εισαγωγή

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια μαθηματική επιστήμη που μελετά μοτίβα σε τυχαία φαινόμενα. Σήμερα είναι μια πλήρης επιστήμη μεγάλης πρακτικής σημασίας.

Η ιστορία της θεωρίας των πιθανοτήτων χρονολογείται από τον 17ο αιώνα, όταν έγιναν οι πρώτες προσπάθειες συστηματικής μελέτης προβλημάτων που σχετίζονται με μαζικά τυχαία φαινόμενα και εμφανίστηκε η αντίστοιχη μαθηματική συσκευή. Από τότε, πολλά θεμέλια αναπτύχθηκαν και εμβαθύνθηκαν στις τρέχουσες έννοιες, ανακαλύφθηκαν άλλοι σημαντικοί νόμοι και κανονικότητες. Πολλοί επιστήμονες έχουν εργαστεί και εργάζονται πάνω στα προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Μεταξύ αυτών, κανείς δεν μπορεί παρά να δώσει προσοχή στα έργα του Simeon Denis Poisson ((1781–1840) - Γάλλος μαθηματικός), ο οποίος απέδειξε μια γενικότερη μορφή του νόμου των μεγάλων αριθμών από αυτόν του Jacob Bernoulli, και επίσης για πρώτη φορά εφάρμοσε τη θεωρία των πιθανοτήτων σε προβλήματα βολής. Το όνομα του Poisson συνδέεται με έναν από τους νόμους της κατανομής, ο οποίος παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων και τις εφαρμογές της.

Ο αριθμός των εμφανίσεων ενός συγκεκριμένου τυχαίου γεγονότος ανά μονάδα χρόνου, όταν το γεγονός της εμφάνισης αυτού του γεγονότος σε ένα δεδομένο πείραμα δεν εξαρτάται από το πόσες φορές και σε ποια χρονικά σημεία συνέβη στο παρελθόν και δεν επηρεάζει το μέλλον. Και οι δοκιμές πραγματοποιούνται υπό σταθερές συνθήκες, τότε ο νόμος του Poisson χρησιμοποιείται συνήθως για να περιγράψει την κατανομή μιας τέτοιας τυχαίας μεταβλητής (αυτή η κατανομή προτάθηκε και δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά από αυτόν τον επιστήμονα το 1837).

Αυτός ο νόμος μπορεί επίσης να περιγραφεί ως η οριακή περίπτωση της διωνυμικής κατανομής, όταν η πιθανότητα p της εμφάνισης του γεγονότος που μας ενδιαφέρει σε ένα μόνο πείραμα είναι πολύ μικρή, αλλά ο αριθμός των πειραμάτων m που εκτελούνται ανά μονάδα χρόνου είναι αρκετά μεγάλος , δηλαδή, τέτοια ώστε στη διαδικασία p

Ως εκ τούτου, ο νόμος του Poisson συχνά ονομάζεται επίσης νόμος των σπάνιων γεγονότων.

Κατανομή Poisson στη θεωρία πιθανοτήτων

Σειρά λειτουργιών και διανομής

Η κατανομή Poisson είναι μια ειδική περίπτωση της διωνυμικής κατανομής (με n>> 0 και σε Π–> 0 (σπάνια συμβάντα)).

Από τα μαθηματικά, είναι γνωστός ένας τύπος που σας επιτρέπει να υπολογίσετε κατά προσέγγιση την τιμή οποιουδήποτε μέλους της διωνυμικής κατανομής:

όπου ένα = n · Πείναι η παράμετρος Poisson (μαθηματική προσδοκία), και η διακύμανση είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία. Ας παρουσιάσουμε μαθηματικούς υπολογισμούς που εξηγούν αυτή τη μετάβαση. Διωνυμικός νόμος κατανομής

Μετα μεσημβριας = C n m · μετα μεσημβριας· (ένας - Π)n – Μ

μπορεί να γραφτεί αν βάλουμε Π = ένα/n, όπως και

Επειδή Ππολύ μικρό, μόνο οι αριθμοί πρέπει να λαμβάνονται υπόψη Μ, μικρό σε σύγκριση με n. Δουλειά

πολύ κοντά στην ενότητα. Το ίδιο ισχύει και για το μέγεθος

πολύ κοντά σε μι –ένα. Από εδώ παίρνουμε τον τύπο:

Για τη λειτουργία παραγωγής

Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας κατανομής είναι

Ένα κλασικό παράδειγμα μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται από το Poisson είναι ο αριθμός των αυτοκινήτων που διέρχονται από οποιοδήποτε τμήμα του δρόμου σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Μπορείτε επίσης να σημειώσετε παραδείγματα όπως ο αριθμός των αστεριών σε ένα τμήμα του ουρανού συγκεκριμένου μεγέθους, ο αριθμός των σφαλμάτων σε ένα κείμενο δεδομένου μήκους, ο αριθμός των τηλεφωνικών κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο ή ο αριθμός των επισκέψεων σε έναν διακομιστή ιστού σε μια δεδομένη χρονική περίοδο.

Η σειρά κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson, μοιάζει με αυτό:

Στο σχ. Το 1 δείχνει τα πολύγωνα της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χσύμφωνα με το νόμο του Poisson, που αντιστοιχεί σε διαφορετικές τιμές της παραμέτρου ένα.

Αρχικά, ας βεβαιωθούμε ότι η ακολουθία των πιθανοτήτων μπορεί να είναι μια σειρά διανομής, δηλ. ότι το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων RΜισούται με ένα.

Χρησιμοποιούμε την επέκταση της συνάρτησης e xστη σειρά Maclaurin:

Είναι γνωστό ότι αυτή η σειρά συγκλίνει για οποιαδήποτε τιμή Χ, επομένως, λαμβάνοντας x=a, παίρνουμε

συνεπώς

Αριθμητικά χαρακτηριστικά της διάταξης για την κατανομή Poisson

Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των πιθανοτήτων τους.

Εξ ορισμού, όταν μια διακριτή τυχαία μεταβλητή παίρνει ένα μετρήσιμο σύνολο τιμών:

Ο πρώτος όρος του αθροίσματος (αντίστοιχος Μ=0 ) ισούται με μηδέν, επομένως, η άθροιση μπορεί να ξεκινήσει από Μ=1 :

Έτσι, η παράμετρος έναδεν είναι τίποτα άλλο από τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

Εκτός από τη μαθηματική προσδοκία, η θέση μιας τυχαίας μεταβλητής χαρακτηρίζεται από έναν τρόπο και έναν διάμεσο.

Ο τρόπος λειτουργίας μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η πιο πιθανή τιμή της.

Για μια συνεχή ποσότητα, ένας τρόπος είναι ένα σημείο του τοπικού μέγιστου της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Εάν το πολύγωνο ή η καμπύλη κατανομής έχει ένα μέγιστο (Σχ. 2 α), τότε η κατανομή ονομάζεται μονοτροπική, εάν είναι περισσότερα από ένα μέγιστα, είναι πολυτροπική (συγκεκριμένα, μια κατανομή που έχει δύο τρόπους ονομάζεται διτροπική). Μια κατανομή που έχει ένα ελάχιστο ονομάζεται αντιτροπική (Εικ. 2β)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Η πιο πιθανή τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ο τρόπος που παρέχει το συνολικό μέγιστο πιθανότητας για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή ή την πυκνότητα κατανομής για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή.

Η διάμεσος είναι η τιμή x l που διαιρεί την περιοχή κάτω από το γράφημα της πυκνότητας πιθανότητας στο μισό, δηλ. η διάμεσος είναι οποιαδήποτε ρίζα της εξίσωσης. Η μαθηματική προσδοκία μπορεί να μην υπάρχει, αλλά η διάμεσος υπάρχει πάντα και μπορεί να είναι διφορούμενη.

Διάμεσος μιας τυχαίας μεταβλητής

Αριθμητικά χαρακτηριστικά διασποράς

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής Χ ονομάζεται μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.