Λύση τετραγωνικών εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές Επίλυση εξίσωσης 3 1

Στο μάθημα των μαθηματικών της 7ης δημοτικού, συναντώνται για πρώτη φορά με εξισώσεις με δύο μεταβλητές, αλλά μελετώνται μόνο στο πλαίσιο συστημάτων εξισώσεων με δύο αγνώστους. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο μια σειρά από προβλήματα πέφτουν εκτός οπτικού πεδίου, στα οποία εισάγονται ορισμένες προϋποθέσεις στους συντελεστές της εξίσωσης που τα περιορίζουν. Επιπλέον, μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων όπως «Επίλυση εξίσωσης σε φυσικούς ή ακέραιους αριθμούς» αγνοούνται επίσης, αν και σε ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΤΕ υλικάκαι στις εισαγωγικές εξετάσεις αυτού του είδους προβλήματα συναντώνται όλο και πιο συχνά.

Ποια εξίσωση θα ονομαστεί εξίσωση με δύο μεταβλητές;

Έτσι, για παράδειγμα, οι εξισώσεις 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ή xy = 12 είναι εξισώσεις δύο μεταβλητών.

Θεωρήστε την εξίσωση 2x - y = 1. Μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα σε x = 2 και y = 3, επομένως αυτό το ζεύγος μεταβλητών τιμών είναι η λύση της εξίσωσης που εξετάζουμε.

Έτσι, η λύση οποιασδήποτε εξίσωσης με δύο μεταβλητές είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (x; y), οι τιμές των μεταβλητών που αυτή η εξίσωση μετατρέπει σε αληθινή αριθμητική ισότητα.

Μια εξίσωση με δύο άγνωστους μπορεί:

ΕΝΑ) έχουν μια λύση.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + 5y 2 = 0 έχει μια μοναδική λύση (0; 0).

σι) έχουν πολλαπλές λύσεις.Για παράδειγμα, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 έχει 4 λύσεις: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) δεν έχουν λύσεις.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + y 2 + 1 = 0 δεν έχει λύσεις.

ΣΟΛ) έχουν άπειρες λύσεις.Για παράδειγμα, x + y = 3. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης θα είναι αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι 3. Το σύνολο των λύσεων αυτής της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως (k; 3 - k), όπου k είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Οι κύριες μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές είναι μέθοδοι που βασίζονται σε παραγοντοποιητικές παραστάσεις, τονίζοντας το πλήρες τετράγωνο, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, περιορισμένες εκφράσεις και μεθόδους αξιολόγησης. Η εξίσωση, κατά κανόνα, μετατρέπεται σε μια μορφή από την οποία μπορεί να ληφθεί ένα σύστημα εύρεσης αγνώστων.

Παραγοντοποίηση

Παράδειγμα 1

Λύστε την εξίσωση: xy - 2 = 2x - y.

Λύση.

Ομαδοποιούμε τους όρους για σκοπούς Factoring:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Βγάλτε τον κοινό παράγοντα από κάθε παρένθεση:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Έχουμε:

y = 2, x είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός ή x = -1, y είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Ετσι, η απάντηση είναι όλα τα ζεύγη της μορφής (x; 2), x € R και (-1; y), y € R.

Ισότητα με μηδέν μη αρνητικών αριθμών

Παράδειγμα 2

Λύστε την εξίσωση: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Λύση.

Ομαδοποίηση:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Τώρα κάθε παρένθεση μπορεί να συμπτυχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο τετραγωνικής διαφοράς.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Το άθροισμα δύο μη αρνητικών παραστάσεων είναι μηδέν μόνο αν 3x - 2 = 0 και 2y - 3 = 0.

Άρα x = 2/3 και y = 3/2.

Απάντηση: (2/3; 3/2).

Μέθοδος Αξιολόγησης

Παράδειγμα 3

Λύστε την εξίσωση: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Λύση.

Σε κάθε παρένθεση, επιλέξτε το πλήρες τετράγωνο:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Εκτίμηση τη σημασία των εκφράσεων σε αγκύλες.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 και (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα τουλάχιστον 2. Η ισότητα είναι δυνατή αν:

(x + 1) 2 + 1 = 1 και (y - 2) 2 + 2 = 2, άρα x = -1, y = 2.

Απάντηση: (-1; 2).

Ας γνωρίσουμε μια άλλη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων με δύο μεταβλητές δευτέρου βαθμού. Αυτή η μέθοδος είναι ότι η εξίσωση θεωρείται ως τετράγωνο σε σχέση με κάποια μεταβλητή.

Παράδειγμα 4

Λύστε την εξίσωση: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Λύση.

Ας λύσουμε την εξίσωση ως τετραγωνική ως προς το x. Ας βρούμε το διαχωριστικό:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Η εξίσωση θα έχει λύση μόνο όταν D = 0, δηλ. αν y = 4. Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε ότι x = 3.

Απάντηση: (3; 4).

Συχνά σε εξισώσεις με δύο άγνωστα δείχνουν περιορισμούς στις μεταβλητές.

Παράδειγμα 5

Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Λύση.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει, όταν διαιρείται με το 5, δίνει ένα υπόλοιπο 2. Επομένως, το x 2 δεν διαιρείται με το 5. Αλλά το τετράγωνο ενός αριθμού που δεν διαιρείται με το 5 δίνει υπόλοιπο 1 ή 4. Έτσι η ισότητα είναι αδύνατη και δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Παράδειγμα 6

Λύστε την εξίσωση: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Λύση.

Ας επιλέξουμε τα πλήρη τετράγωνα σε κάθε παρένθεση:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 3. Η ισότητα είναι δυνατή εάν |x| – 2 = 0 και y + 3 = 0. Έτσι, x = ± 2, y = -3.

Απάντηση: (2; -3) και (-2; -3).

Παράδειγμα 7

Για κάθε ζεύγος αρνητικών ακεραίων (x; y) που ικανοποιεί την εξίσωση
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, υπολογίστε το άθροισμα (x + y). Απαντήστε στο μικρότερο ποσό.

Λύση.

Επιλέξτε πλήρη τετράγωνα:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Εφόσον τα x και y είναι ακέραιοι, τα τετράγωνά τους είναι επίσης ακέραιοι. Το άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων, ίσο με 37, παίρνουμε αν προσθέσουμε 1 + 36. Επομένως:

(x - y) 2 = 36 και (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 και (y + 2) 2 = 36.

Λύνοντας αυτά τα συστήματα και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα x και y είναι αρνητικά, βρίσκουμε λύσεις: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Απάντηση: -17.

Μην απελπίζεστε αν αντιμετωπίζετε δυσκολίες όταν λύνετε εξισώσεις με δύο άγνωστα. Με λίγη εξάσκηση, θα μπορέσετε να κατακτήσετε οποιαδήποτε εξίσωση.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε εξισώσεις με δύο μεταβλητές;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η τάξη, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a , b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώνουμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

1. Δεν έχουν ρίζες.
2. Έχουν ακριβώς μια ρίζα.
3. Έχουν δύο διαφορετικές ρίζες.

Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ τετραγωνικών και γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac .

Αυτή η φόρμουλα πρέπει να είναι γνωστή από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:

1. Αν ο Δ< 0, корней нет;
2. Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
3. Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Γράφουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα, η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Η διάκριση ισούται με μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι έχουν γραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό - αλλά δεν θα μπερδεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειάζεται πλέον να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνεις τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σου. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι τόσο πολλές.

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ο βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - παίρνετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετράτε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα όταν οι αρνητικοί συντελεστές αντικαθίστανται στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, ζωγραφίστε κάθε βήμα - και απαλλαγείτε από τα λάθη πολύ σύντομα.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να δούμε ότι λείπει ένας από τους όρους σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τη διάκριση. Ας εισαγάγουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μια ενιαία ρίζα: x \u003d 0.

Ας εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις. Έστω b \u003d 0, τότε παίρνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε ελαφρώς:

Διότι αριθμητική Τετραγωνική ρίζαυπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο για (−c /a ) ≥ 0. Συμπέρασμα:

1. Αν μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιεί την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
2. Αν (−c / a )< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, η διάκριση δεν ήταν απαραίτητη - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή του x 2 και να δούμε τι βρίσκεται στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας ασχοληθούμε τώρα με εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:

Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί το τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

( (3 * x - 1) = 0;

-(3 * x - 1) = 0;

Από εδώ παίρνουμε ότι υπάρχει μια εξίσωση 3 * x - 1 = 0.

Πήραμε μια γραμμική εξίσωση με τη μορφή 3 * x - 1 = 0

Για να λύσουμε την εξίσωση, προσδιορίζουμε ποιες ιδιότητες έχει η εξίσωση:

• Η εξίσωση είναι γραμμική και γράφεται ως * x + b = 0, όπου a και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
• Για a = b = 0, η εξίσωση έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
• Αν a = 0, b ≠ 0, η εξίσωση δεν έχει λύση.
• Αν a ≠ 0, b = 0, η εξίσωση έχει λύση: x = 0;
• Αν οι a και b είναι αριθμοί διαφορετικοί από το 0, τότε η ρίζα βρίσκεται με τον ακόλουθο τύπο x = - b/a.

Από εδώ παίρνουμε ότι a \u003d 3, b \u003d - 1, που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Έλεγχος λύσης εξίσωσης

Αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε x = 1/3 στην αρχική παράσταση |3 * x - 1| = 0, τότε παίρνουμε:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Για να βρούμε την τιμή μιας παράστασης, πρώτα, με τη σειρά μας, υπολογίζουμε τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση και μετά εκτελούνται οι πράξεις πρόσθεσης ή αφαίρεσης. Δηλαδή παίρνουμε:

Άρα x = 1/3 είναι η ρίζα της εξίσωσης |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Η ενότητα επεκτείνεται με το σύμβολο συν και πλην. Παίρνουμε 2 εξισώσεις:

1) 3 * x - 1 = 0;

Μεταφέρουμε τις γνωστές τιμές στη μία πλευρά και τις άγνωστες στην άλλη. Κατά τη μεταφορά τιμών, τα πρόσημά τους αλλάζουν στο αντίθετο πρόσημο. Δηλαδή παίρνουμε:
3 * x = 0 + 1;
3*x=1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Ανοίγουμε τις αγκύλες. Δεδομένου ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, όταν ανοίγει, τα σημάδια των τιμών αλλάζουν στο αντίθετο πρόσημο. Δηλαδή παίρνουμε:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Απάντηση: x = 1/3.

Ι. Γραμμικές Εξισώσεις

II. Τετραγωνικές εξισώσεις

τσεκούρι 2 + bx +ντο= 0, ένα≠ 0, διαφορετικά η εξίσωση γίνεται γραμμική

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης μπορούν να υπολογιστούν διαφορετικοί τρόποι, Για παράδειγμα:

Είμαστε καλοί στην επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. Πολλές εξισώσεις υψηλότερων βαθμών μπορούν να αναχθούν σε δευτεροβάθμιες.

III. Εξισώσεις Αναγώγιμες σε Τετραγωνικές.

αλλαγή μεταβλητής: α) διτετραγωνική εξίσωση τσεκούρι 2n + bx n+ ντο = 0,ένα ≠ 0,n ≥ 2

2) συμμετρική εξίσωση του 3ου βαθμού - μια εξίσωση της μορφής

3) συμμετρική εξίσωση του 4ου βαθμού - μια εξίσωση της μορφής

τσεκούρι 4 + bx 3 + cx 2 +bx + ένα = 0, ένα≠ 0, συντελεστές α β γ β α ή

τσεκούρι 4 + bx 3 + cx 2 –bx + ένα = 0, ένα≠ 0, συντελεστές α β γ (–β) α

Επειδή Χ= 0 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε είναι δυνατό να διαιρεθούν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης με Χ 2 , τότε παίρνουμε: .

Αφού κάνουμε την αντικατάσταση, λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση ένα(t 2 – 2) + bt + ντο = 0

Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση Χ 4 – 2Χ 3 – Χ 2 – 2Χ+ 1 = 0, διαιρέστε και τα δύο μέρη με Χ 2 ,

, μετά την αντικατάσταση παίρνουμε την εξίσωση t 2 – 2t – 3 = 0

Η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

4) Μια εξίσωση της μορφής ( χ-α)(x-b)(x-c)(XD) = Τσεκούρι 2 , συντελεστές ab=cd

Για παράδειγμα, ( x+2)(x+3)(x + 8)(x+12) = 4x 2. Πολλαπλασιάζοντας 1-4 και 2-3 παρενθέσεις, παίρνουμε ( Χ 2 + 14Χ+ 24)(Χ 2 +11Χ + 24) = 4Χ 2 , διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με Χ 2, παίρνουμε:

Εχουμε ( t+ 14)(t + 11) = 4.

5) Ομογενής εξίσωση του 2ου βαθμού - μια εξίσωση της μορφής P(x, y) = 0, όπου P(x, y) είναι ένα πολυώνυμο, κάθε όρος του οποίου έχει βαθμό 2.

Απάντηση: -2; -0,5; 0

IV. Όλες οι παραπάνω εξισώσεις είναι αναγνωρίσιμες και τυπικές, αλλά τι γίνεται με τις εξισώσεις αυθαίρετης μορφής;

Έστω ένα πολυώνυμο Π n ( Χ) = ένα n Χ n+ ένα n-1 Χ n-1 + ...+ ένα 1x+ ένα 0, όπου ένα n ≠ 0

Εξετάστε τη μέθοδο μείωσης του βαθμού μιας εξίσωσης.

Είναι γνωστό ότι αν οι συντελεστές έναείναι ακέραιοι και ένα n = 1 , τότε οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης Π n ( Χ) = 0 είναι μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου ένα 0 . Για παράδειγμα, Χ 4 + 2Χ 3 – 2Χ 2 – 6Χ+ 5 = 0, οι διαιρέτες του αριθμού 5 είναι οι αριθμοί 5. -5; 1; -1. Επειτα Π 4 (1) = 0, δηλ. Χ= 1 είναι η ρίζα της εξίσωσης. Χαμηλώστε το βαθμό της εξίσωσης Π 4 (Χ) = 0 διαιρώντας τη «γωνία» του πολυωνύμου με τον παράγοντα x –1, παίρνουμε

Π 4 (Χ) = (Χ – 1)(Χ 3 + 3Χ 2 + Χ – 5).

Επίσης, Π 3 (1) = 0, τότε Π 4 (Χ) = (Χ – 1)(Χ – 1)(Χ 2 + 4Χ+5), δηλ. την εξίσωση Π 4 (x) = 0 έχει ρίζες Χ 1 = Χ 2 = 1. Ας δείξουμε μια συντομότερη λύση αυτής της εξίσωσης (χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner).

Που σημαίνει, Χ 1 = 1 σημαίνει Χ 2 = 1.

Ετσι, ( Χ– 1) 2 (Χ 2 + 4Χ + 5) = 0

Τι κάναμε; Χαμήλωσε το επίπεδο της εξίσωσης.

V. Θεωρήστε συμμετρικές εξισώσεις 3ου και 5ου βαθμού.

ΕΝΑ) τσεκούρι 3 + bx 2 + bx + ένα= 0 προφανώς Χ= –1 είναι η ρίζα της εξίσωσης, στη συνέχεια χαμηλώστε το βαθμό της εξίσωσης στο δύο.

σι) τσεκούρι 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + ένα= 0 προφανώς Χ= –1 είναι η ρίζα της εξίσωσης, στη συνέχεια χαμηλώστε το βαθμό της εξίσωσης στο δύο.

Για παράδειγμα, ας δείξουμε τη λύση της εξίσωσης 2 Χ 5 + 3Χ 4 – 5Χ 3 – 5Χ 2 + 3Χ + = 0

Χ = –1

Παίρνουμε ( Χ – 1) 2 (Χ + 1)(2Χ 2 + 5Χ+ 2) = 0. Επομένως, οι ρίζες της εξίσωσης: 1; 1; -1; –2; -0,5.

VI. Εδώ είναι μια λίστα με διάφορες εξισώσεις για επίλυση στην τάξη και στο σπίτι.

Καλώ τον αναγνώστη να λύσει τις εξισώσεις 1-7 για τον εαυτό του και να πάρει απαντήσεις ...