Повърхнината и обемът на призма са примери. Всичко, което трябва да знаете за призмата за успешно полагане на изпита по математика (2019). Как да намерите площта на куб

Призмени елементи

Име	Определение	Обозначения на чертежа	рисуване
Основи	Две лица, които са еднакви многоъгълници, лежащи в успоредни равнини.	Аб° Сдд , КЛМнП
Странични лица	Всички лица с изключение на основите. Всяка странична страна е задължително успоредник.	АбЛК , б° СМЛ , ° СднМ , ддПн , дАКП
Странична повърхност	Сливане на странични лица.
Пълна повърхност	Съединение на основи и странична повърхност.
Странични ребра	Общи страни на страничните лица.	АК , бЛ , ° СМ , дн , дП
Височина	Отсечка, свързваща основите на призма и перпендикулярна на тях.	КР
Диагонал	Отсечка, свързваща два върха на призма, които не принадлежат на едно и също лице.	бП
Диагонална равнина	Равнината, минаваща през страничния ръб на призмата и диагонала на основата.
Диагонално сечение	Пресечната точка на призма и диагонална равнина. В сечението се образува успоредник, включително частните му случаи - ромб, правоъгълник, квадрат.	дбЛП
Перпендикулярно сечение	Пресечната точка на призма и равнина, перпендикулярна на нейния страничен ръб.

Свойства на призмата

• 1. Основите на призмата са равни многоъгълници.
• 2. Страничните стени на призмата са успоредници.
• 3. Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.
• 4. Обем на призмата е равно на произведениетонейната височина спрямо основната площ:

• 5. Квадрат пълна повърхностпризмата е равна на сумата от площта на нейната странична повърхност и удвоената площ на основата.

Видове призми

Призмите са прави косо.

права призма- призма, в която всички странични ръбове са перпендикулярни на основата.

Площ на страничната повърхностправа призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината.

наклонена призма- призма, в която поне един страничен ръб не е перпендикулярен на основата.

Площ на страничната повърхностна наклонена призма е равна на произведението от периметъра на перпендикулярното сечение и дължината на страничното ребро. Обем на наклонена призмае равно на произведението на площта на перпендикулярното сечение и страничния ръб.

Правилна призмае права призма, чиято основа е правилен многоъгълник.

Свойства на правилната призма

• 1. Основите на правилната призма са правилни многоъгълници.
• 2. Страничните стени на правилната призма са равни правоъгълници.
• 3. Страничните ръбове на правилна призма са равни.

Вижте също

Връзки

Многостени
правилно (Платонови тела)
Правилен неконвексен	Звездообразен полиедър (Звездообразен октаедър, Звездообразен додекаедър, Звездообразен икосаедър, Звездообразен икозидодекаедър)
изпъкнал
Формули, теореми, теории
други

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Призма (математика)" в други речници:

- (начало) "Математика в девет книги" (традиционен китайски 九章算術 ... Уикипедия

Дял от математиката, който изучава свойствата на различни форми (точки, линии, ъгли, двуизмерни и триизмерни обекти), техните размери и относителна позиция. За удобство на преподаването геометрията е разделена на планиметрия и плътна геометрия. НА…… Енциклопедия на Collier

Земляков, Александър Николаевич Файл: Zemlyakov.jpg Александър Николаевич Земляков (17 април 1950 г. (19500417), Бологое 1 януари 2005 г., Черноголовка) математик, изключителен съветски и руски учител, автор на образователни педагогически ... ... Wikipedia

Александър Николаевич Земляков (17 април 1950 г. (19500417), Бологое 1 януари 2005 г., Черноголовка) математик, изключителен съветски и руски учител, автор на образователна и педагогическа литература. Биография Завършва през 1967 г. със златен медал ... ... Wikipedia

Додекаедър Правилен полиедър или Платоново тяло е изпъкнал многостен, състоящ се от еднакви правилни многоъгълници и имащ пространствена симетрия ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Пирамидацу (значения). Надеждността на този раздел от статията е поставена под въпрос. Необходимо е да се провери точността на фактите, посочени в този раздел. Може да има обяснения на страницата за разговори ... Wikipedia

Определение.

Това е шестоъгълник, чиито основи са два равни квадрата, а страничните стени са равни правоъгълници.

Странично реброе общата страна на две съседни странични лица

Височина на призматае отсечка, перпендикулярна на основите на призмата

Диагонал на призмата- сегмент, свързващ два върха на основите, които не принадлежат на едно и също лице

Диагонална равнина- равнина, която минава през диагонала на призмата и нейните странични ръбове

Диагонално сечение- границите на пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник

Перпендикулярно сечение (ортогонално сечение)- това е пресечната точка на призма и равнина, начертана перпендикулярно на нейните странични ръбове

Елементи на правилна четириъгълна призма

Фигурата показва две правилни четириъгълни призми, които са маркирани със съответните букви:

• Основите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са равни и успоредни една на друга
• Странични лица AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, всяка от които е правоъгълник
• Странична повърхност - сумата от площите на всички странични повърхности на призмата
• Обща повърхност - сумата от площите на всички основи и странични лица (сумата от площта на страничната повърхност и основите)
• Странични ребра AA 1, BB 1, CC 1 и DD 1.
• Диагонал B 1 D
• Диагонал на основата BD
• Диагонално сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярно сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства на правилната четириъгълна призма

• Основите са два равни квадрата
• Основите са успоредни една на друга
• Страните са правоъгълници.
• Страничните лица са равни една на друга
• Страничните лица са перпендикулярни на основите
• Страничните ребра са успоредни едно на друго и равни
• Перпендикулярно сечение, перпендикулярно на всички странични ребра и успоредно на основите
• Ъгли на перпендикулярно сечение - прав
• Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник
• Перпендикуляр (ортогонално сечение), успореден на основите

Формули за правилна четириъгълна призма

Инструкции за решаване на проблеми

При решаване на проблеми по темата " правилна четириъгълна призма“ означава, че:

Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Тоест правилната четириъгълна призма съдържа в основата си квадрат. (вижте по-горе свойствата на правилната четириъгълна призма) Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (раздел плътна геометрия - призма). Ето и задачите, чието решаване е трудно. Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук - пишете за това във форума. За да посочи действието на извличане корен квадратенсимвол се използва при решаване на проблеми√ .

Задача.

В правилна четириъгълна призма площта на основата е 144 см 2, а височината е 14 см. Намерете диагонала на призмата и общата повърхност.

Решение.
Правилен четириъгълник е квадрат.
Съответно страната на основата ще бъде равна на

√144 = 12 см.
Откъдето диагоналът на основата на правилна правоъгълна призма ще бъде равен на
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагоналът на правилна призма образува с диагонала на основата и височината на призмата правоъгълен триъгълник. Съответно, според теоремата на Питагор, диагоналът на дадена правилна четириъгълна призма ще бъде равен на:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Отговор: 22 см

Задача

Намерете общата площ на правилна четириъгълна призма, ако нейният диагонал е 5 cm, а диагоналът на страничната повърхност е 4 cm.

Решение.
Тъй като основата на правилната четириъгълна призма е квадрат, тогава страната на основата (означена като a) се намира от Питагоровата теорема:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Тогава височината на страничната повърхност (означена като h) ще бъде равна на:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Общата повърхност ще бъде равна на сумата от страничната повърхност и удвоената площ на основата

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Отговор: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

призмасе нарича многостен, чиито две лица са равни n-ъгълници (основание) , лежащи в успоредни равнини, а останалите n лица са успоредници (странични ръбове) . Странично ребро призмата е страната на страничната страна, която не принадлежи на основата.

Нарича се призма, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основите прав призма (фиг. 1). Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на равнините на основите, тогава призмата се нарича косо . правилно Призма е права призма, чиито основи са правилни многоъгълници.

Височинапризма се нарича разстоянието между равнините на основите. Диагонал Призма е сегмент, свързващ два върха, които не принадлежат на едно и също лице. диагонално сечение Нарича се сечение на призма с равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице. Перпендикулярно сечение се нарича сечение на призмата с равнина, перпендикулярна на страничния ръб на призмата.

Площ на страничната повърхност призмата е сумата от площите на всички странични лица. Пълна площ се нарича сумата от площите на всички лица на призмата (т.е. сумата от площите на страничните лица и площите на основите).

За произволна призма формулите са верни:

където ле дължината на страничното ребро;

з- височина;

П

Q

S страна

S пълен

S основене площта на основите;

Vе обемът на призмата.

За права призма са верни следните формули:

където стр- периметъра на основата;

ле дължината на страничното ребро;

з- височина.

паралелепипедНарича се призма, чиято основа е успоредник. Нарича се паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основите директен (фиг. 2). Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основите, тогава се нарича паралелепипед косо . Нарича се прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник правоъгълен. Нарича се правоъгълен паралелепипед, в който всички ръбове са равни куб.

Лицата на паралелепипед, които нямат общи върхове, се наричат противоположност . Дължините на ръбовете, излизащи от един връх, се наричат измервания паралелепипед. Тъй като кутията е призма, нейните основни елементи са дефинирани по същия начин, както са дефинирани за призмите.

Теореми.

1. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и го разполовяват.

2. В правоъгълен паралелепипед квадратът на дължината на диагонала е равно на суматаквадрати на неговите три измерения:

3. И четирите диагонала кубоидса равни помежду си.

За произволен паралелепипед са верни следните формули:

където ле дължината на страничното ребро;

з- височина;

Пе периметърът на перпендикулярното сечение;

Q– Площ на перпендикулярно сечение;

S странае площта на страничната повърхност;

S пълене общата площ на повърхността;

S основене площта на основите;

Vе обемът на призмата.

За прав паралелепипед са верни следните формули:

където стр- периметъра на основата;

ле дължината на страничното ребро;

зе височината на десния паралелепипед.

За правоъгълен паралелепипед са верни следните формули:

(3)

където стр- периметъра на основата;

з- височина;

д- диагонал;

a,b,c– измервания на паралелепипед.

Правилните формули за куб са:

където ае дължината на реброто;

де диагоналът на куба.

Пример 1Диагоналът на правоъгълен паралелепипед е 33 dm и неговите размери са свързани като 2 : 6 : 9. Намерете размерите на кубоида.

Решение.За да намерим размерите на паралелепипеда, използваме формула (3), т.е. фактът, че квадратът на хипотенузата на кубоид е равен на сумата от квадратите на неговите измерения. Означаваме с ккоефициент на пропорционалност. Тогава размерите на паралелепипеда ще бъдат равни на 2 к, 6ки 9 к. Записваме формула (3) за данните на проблема:

Решаване на това уравнение за к, получаваме:

Следователно размерите на паралелепипеда са 6 dm, 18 dm и 27 dm.

Отговор: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Пример 2Намерете обем на наклонена триъгълна призма, чиято основа е равностранен триъгълник със страна 8 cm, ако страничният ръб е равен на страната на основата и е наклонен под ъгъл 60º спрямо основата.

Решение . Да направим чертеж (фиг. 3).

За да намерите обема на наклонена призма, трябва да знаете площта на нейната основа и височина. Площта на основата на тази призма е площта на равностранен триъгълник със страна 8 см. Изчислете я:

Височината на призмата е разстоянието между нейните основи. От върха НО 1 на горната основа спускаме перпендикуляра към равнината на долната основа НО 1 д. Дължината му ще бъде височината на призмата. Помислете за D НО 1 AD: тъй като това е ъгълът на наклон на страничното ребро НО 1 НОкъм базовата равнина НО 1 НО= 8 см. От този триъгълник намираме НО 1 д:

Сега изчисляваме обема по формула (1):

Отговор: 192 cm3.

Пример 3Страничният ръб на правилна шестоъгълна призма е 14 см. Площта на най-голямото диагонално сечение е 168 см 2. Намерете общата повърхност на призмата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 4)

Най-големият диагонален участък е правоъгълник АА 1 DD 1 , тъй като диагоналът AD правилен шестоъгълник А Б В Г Д Ее най-големият. За да се изчисли страничната повърхност на призмата, е необходимо да се знае страната на основата и дължината на страничното ребро.

Познавайки площта на диагоналното сечение (правоъгълник), намираме диагонала на основата.

От тогава

От тогава AB= 6 см.

Тогава периметърът на основата е:

Намерете площта на страничната повърхност на призмата:

Площта на правилен шестоъгълник със страна 6 cm е:

Намерете общата повърхност на призмата:

Отговор:

Пример 4Основата на прав паралелепипед е ромб. Площите на диагоналните сечения са 300 cm 2 и 875 cm 2. Намерете площта на страничната повърхност на паралелепипеда.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 5).

Означете страната на ромба с а, диагоналите на ромба д 1 и д 2, височината на кутията ч. За да намерите страничната повърхност на прав паралелепипед, е необходимо да умножите периметъра на основата по височината: (формула (2)). Периметър на основата p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, защото ABCD- ромб. Н = АА 1 = ч. Че. Трябва да се намери аи ч.

Помислете за диагонални секции. АА 1 СС 1 - правоъгълник, едната страна на който е диагонал на ромб AC = д 1 , втори - страничен ръб АА 1 = ч, тогава

По същия начин за секцията BB 1 DD 1 получаваме:

Използвайки свойството на успоредник, че сумата от квадратите на диагоналите е равна на сумата от квадратите на всичките му страни, получаваме равенството. Получаваме следното.

AT училищна програмав хода на твърдата геометрия изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - призмен полиедър. Ролята на неговите основи се изпълняват от 2 равни многоъгълника, лежащи в успоредни равнини. Специален случай е правилната четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредници (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата

Правилната четириъгълна призма е хексаедър, в основите на който има 2 квадрата, а страничните стени са представени от правоъгълници. Друго име за това геометрична фигура- прав паралелепипед.

Фигурата, която изобразява четириъгълна призма, е показана по-долу.

Виждате и на снимката най-важните елементи, които изграждат геометрично тяло . Те обикновено се наричат:

Понякога в задачи по геометрия можете да намерите понятието сечение. Дефиницията ще звучи така: разрезът е всички точки на обемно тяло, които принадлежат на режещата равнина. Разрезът е перпендикулярен (пресича краищата на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се взема предвид и диагонално сечение ( максимална сумасечения, които могат да се изграждат - 2) преминаващи през 2 ръба и диагонали на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че режещата равнина не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

Използват се различни съотношения и формули за намиране на редуцирани призматични елементи. Някои от тях са известни от курса на планиметрията (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да си припомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призма с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sprim h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a² h

Ако говорим за куб - правилна призма с равни дължина, ширина и височина, обемът се изчислява по следния начин:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейния размах.

От чертежа се вижда, че странична повърхностсъставен от 4 равни правоъгълника. Площта му се изчислява като произведение от периметъра на основата и височината на фигурата:

Sстрана = Поз h

Тъй като периметърът на квадрат е P = 4a,формулата приема формата:

Sстрана = 4a h

За куб:

Sстрана = 4a²

За да изчислите общата повърхност на призма, добавете 2 основни площи към страничната площ:

Пълна = Sстрана + 2Sоснова

Приложена към четириъгълна правилна призма, формулата има формата:

Пълен = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълен = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на призмени елементи

Често има задачи, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формули:

• дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
• височина или дължина на странично ребро: h = Sстрана / 4a = V / a²;
• основна площ: Sprim = V / h;
• странична лицева зона: отстрани gr = Sстрана / 4.

За да определите колко площ има диагоналното сечение, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:

Sdiag = ah√2

За изчисляване на диагонала на призмата се използва формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите горните съотношения, можете да практикувате и да решите няколко прости задачи.

Примери за задачи с решения

Ето част от задачите, които се явяват на държавните зрелостни изпити по математика.

Упражнение 1.

Пясъкът се изсипва в кутия с форма на правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с дължина на основата 2 пъти по-голяма?

Трябва да се аргументира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да определите дължината на основата като а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Тъй като V₁ = V₂, изразите могат да бъдат приравнени:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

В резултат на това новото ниво на пясък ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че основата е квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същата стойност, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известния диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата повърхност се намира по формулата за куба:

Пълно = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята е в ремонт. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 м² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, тоест правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни хоризонтални повърхности, можем да заключим, че това е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на стаята е a = √9 = 3м.

Площадът ще бъде облепен с тапети Sстрана = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапетите за тази стая ще бъде 50 30 = 1500рубли.

По този начин, за да решите задачи върху правоъгълна призма, е достатъчно да можете да изчислите площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.

Как да намерите площта на куб

Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешен преминаване на изпитапо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 профилен изпитматематика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.