Теорема за сумата от ъглите на триъгълник. Каква е сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник Колко е сумата от ъглите

Доказателство

Позволявам ABC" е произволен триъгълник. Да преминем отгоре б права линия, успоредна на права линия AC (такава права линия се нарича евклидова права линия). Маркирайте точка върху негод така че точкитеА ид лежат от противоположните страни на права линия пр.н.е.Ъгли DBCи ACBравен като вътрешен кръст, лежащ от секуща пр.н.ес успоредни линии ACи BD. Следователно сумата от ъглите на триъгълник при върховете би ОТравен на ъгъла ABD.Сборът от трите ъгъла на триъгълника е равен на сбора от ъглите ABDи BAC. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранни за успоредни ACи BDпри секанс AB, тогава техният сбор е 180°. Теоремата е доказана.

Последствия

От теоремата следва, че всеки триъгълник има два остри ъгъла. Наистина, прилагайки доказателството от противно, да предположим, че триъгълникът има само един остър ъгъл или изобщо няма остри ъгли. Тогава този триъгълник има поне два ъгъла, всеки от които е най-малко 90°. Сумата от тези ъгли е не по-малка от 180°. Но това е невъзможно, тъй като сборът от всички ъгли на триъгълника е 180°. Q.E.D.

Обобщение към симплексната теория

Къде е ъгълът между лицата i и j на симплекса.

Бележки

• На сфера сумата от ъглите на триъгълник винаги надвишава 180 °, разликата се нарича сферичен излишък и е пропорционална на площта на триъгълника.
• В равнината на Лобачевски сумата от ъглите на триъгълника винаги е по-малка от 180°. Разликата също е пропорционална на площта на триъгълника.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте каква е "Теоремата за сумата от ъглите на триъгълник" в други речници:

Свойство на многоъгълниците в евклидовата геометрия: Сумата от ъглите n на многоъгълник е 180°(n 2). Съдържание 1 Доказателство 2 Забележка ... Wikipedia

Питагоровата теорема е една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Съдържание 1 ... Уикипедия

Питагоровата теорема е една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Съдържание 1 Твърдения 2 Доказателства ... Wikipedia

Косинусовата теорема е обобщение на Питагоровата теорема. Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни, без да се удвоява произведението на тези страни по косинуса на ъгъла между тях. За плосък триъгълник с страни a,b,cи ъгъл α ... ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Триъгълник (значения). Триъгълник (в евклидовото пространство) е геометрична фигура, образувана от три отсечки, които свързват три нелинейни точки. Три точки, ... ... Уикипедия

Стандартна нотация Триъгълникът е най-простият многоъгълник, който има 3 върха (ъгли) и 3 страни; част от равнина, ограничена от три точки, които не лежат на една и съща права линия, и три отсечки, свързващи тези точки по двойки. Върховете на триъгълник ... Wikipedia

Древногръцки математик. Работил в Александрия през III век. пр.н.е д. Основен труд"Начала" (15 книги), съдържащи основите на древната математика, елементарна геометрия, теория на числата, обща теорияотношения и метод за определяне на площи и обеми, ... ... енциклопедичен речник

- (починал между 275 и 270 г. пр.н.е.) древногръцки математик. Информация за времето и мястото на неговото раждане не е достигнала до нас, но е известно, че Евклид е живял в Александрия и разцветът на неговата дейност пада върху управлението на Птолемей I в Египет ... ... Голям енциклопедичен речник

Геометрия, подобна на геометрията на Евклид по това, че определя движението на фигурите, но се различава от евклидовата геометрия по това, че един от нейните пет постулата (вторият или петият) е заменен с нейното отрицание. Отричане на един от постулатите на Евклид ... ... Енциклопедия на Collier

(основно резюме)

Нагледна геометрия 7 клас. Справочен конспект № 4 Сумата от ъглите на триъгълник.

Велик френски учен от 17 век Блез Паскал като дете той обичаше да бърника с геометрични фигури. Той беше запознат с транспортира и знаеше как да измерва ъгли. Младият изследовател забеляза, че за всички триъгълници сборът от три ъгъла е еднакъв - 180 °. „Как можете да го докажете? — помисли си Паскал. „В крайна сметка не можете да проверите сумата от ъглите на всички триъгълници - има безкраен брой от тях.“ След това отряза с ножица два ъгъла на триъгълника и ги прикрепи към третия ъгъл. Оказа се развит ъгъл, който, както знаете, е равен на 180 °. Това беше първото му собствено откритие. По-нататъшната съдба на момчето вече беше предопределена.

В тази тема ще научите пет характеристики на равенството на правоъгълен триъгълник и може би най-популярното свойство на 30° правоъгълен триъгълник. Звучи така: крак, разположен под ъгъл от 30 °, половинатахипотенуза. Разделяйки равностранен триъгълник с височина, веднага получаваме доказателство за това свойство.

ТЕОРЕМА. Сборът от ъглите на триъгълник е 180°. За да докажем това, начертаваме права през върха, успоредна на основата. Тъмните ъгли са равни, а сивите ъгли са равни, тъй като лежат на успоредни линии. Тъмният ъгъл, сивият ъгъл и ъгълът на върха образуват прав ъгъл, сборът им е 180°. От теоремата следва, че ъглите на равностранен триъгълник са по 60°, а сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90°.

външен ъгълтриъгълник се нарича ъгълът, прилежащ към ъгъла на триъгълника. Следователно понякога ъглите на самия триъгълник се наричат ​​вътрешни ъгли.

ТЕОРЕМА за външния ъгъл на триъгълник. Външният ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него. Наистина, един външен ъгъл и два вътрешни, които не са съседни на него, допълват запълнения ъгъл до 180°. От теоремата следва, че външен ъгъл е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е съседен на него.

ТЕОРЕМА за връзките между страни и ъгли на триъгълник. В триъгълник по-голямата страна е срещу по-големия ъгъл, а по-голямата страна е срещу по-големия ъгъл. От това следва: 1) Кракът е по-малък от хипотенузата. 2) Перпендикулярът е по-малък от наклона.

Разстояние от точка до линия . Тъй като перпендикулярът е по-малък от всеки наклонен, изтеглен от същата точка, неговата дължина се приема като разстоянието от точката до правата.

неравенство на триъгълник . Дължината на която и да е страна на триъгълник е по-малка от сбора на другите му две страни, т.е. а< b + с , b< а + с , с< а + b . Последица. Дължината на полилинията е по-голяма от отсечката, свързваща нейните краища.

ЗНАЦИ ЗА РАВЕНСТВО
ПРАВОЪГЪЛНИ ТРИЪГЪЛНИЦИ

На два крака. Ако два катета на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на два катета на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

По крака и прилежащия остър ъгъл. Ако катетът и острият ъгъл, прилежащ към него на един правоъгълен триъгълник, са съответно равни на катета и острият ъгъл, прилежащ към него на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

По протежение на крака и срещуположния остър ъгъл. Ако катетът и противоположният остър ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на катета и срещуположният остър ъгъл на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Чрез хипотенуза и остър ъгъл. Ако хипотенузата и острия ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенузата и острия ъгъл на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Доказателството на тези критерии веднага се свежда до един от критериите за равенство на триъгълници.

По катет и хипотенуза. Ако катетът и хипотенузата на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на катета и хипотенузата на друг правоъгълен триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Доказателство. Прилагаме триъгълници с равни крака. Получаваме равнобедрен триъгълник. Неговата височина, изтеглена от върха, също ще бъде медианата. Тогава вторите крака на триъгълниците са равни, а триъгълниците са равни по три страни.

ТЕОРЕМА върху свойството на катет, лежащ срещу ъгъл от 30°. Кракът срещу ъгъла 30° е равен на половината от хипотенузата. Доказва се чрез допълване на триъгълника до равностранен.

ТЕОРЕМА за свойството на ъглополовящите точки. Всяка точка от ъглополовящата на ъгъл е на еднакво разстояние от неговите страни. Ако една точка е на еднакво разстояние от страните на ъгъл, тогава тя лежи върху ъглополовящата на ъгъла. Доказва се чрез начертаване на два перпендикуляра към страните на ъгъла и разглеждане на правоъгълни триъгълници.

Втора страхотна точка . Симетралите на триъгълник се пресичат в една точка.

Разстояние между успоредни прави. ТЕОРЕМА. Всички точки на всяка от двете успоредни прави са на еднакво разстояние от другата права. Дефиницията на разстоянието между успоредни прави следва от теоремата.

Определение. Разстоянието между две успоредни прави е разстоянието от всяка точка на една от успоредните прави до другата права.

Подробни доказателства на теореми

Това е справочният конспект №4 по геометрия за 7 клас. Изберете следващите стъпки:

Триъгълникът е многоъгълник с три страни (три ъгъла). Най-често страните се обозначават с малки букви, съответстващи на главните букви, които обозначават противоположни върхове. В тази статия ще се запознаем с видовете тези геометрични фигури, теорема, която определя каква е сумата от ъглите на триъгълника.

Видове по големина на ъглите

Има следните видове многоъгълници с три върха:

• остър ъгъл, в който всички ъгли са остри;
• правоъгълен, имащ един прав ъгъл, с неговите образуващи, наречени крака, и страната, която е поставена срещуположно прав ъгъл, се нарича хипотенуза;
• тъп, когато е сам;
• равнобедрен, в който две страни са равни и се наричат ​​странични, а третата е основата на триъгълника;
• равностранен, имащ и трите равни страни.

Имоти

Разпределете основните свойства, които са характерни за всеки тип триъгълник:

• срещу по-голямата страна винаги има по-голям ъгъл и обратното;
• противоположните страни с еднакъв размер са равни ъгли, и обратно;
• всеки триъгълник има два остри ъгъла;
• външен ъгъл е по-голям в сравнение с всеки вътрешен ъгъл, който не е съседен на него;
• сумата от всеки два ъгъла винаги е по-малка от 180 градуса;
• Външен ъгъл е равен на сбора от другите два ъгъла, които не се пресичат с него.

Теорема за сбора на ъглите на триъгълник

Теоремата гласи, че ако съберем всички ъгли на дадено геометрична фигура, който се намира на евклидовата равнина, тогава сборът им ще бъде 180 градуса. Нека се опитаме да докажем тази теорема.

Нека имаме произволен триъгълник с върхове на KMN.

Начертайте KN през върха M (тази права се нарича още Евклидова линия). Маркираме точка A върху него по такъв начин, че точките K и A да са разположени от различни страни на правата MN. Получаваме равни ъгли AMN и KNM, които, подобно на вътрешните, лежат на кръст и се образуват от секущата MN заедно с правите KH и MA, които са успоредни. От това следва, че сумата от ъглите на триъгълника, разположени във върховете M и H, е равна на размера на ъгъла KMA. И трите ъгъла съставляват сбора, който е равен на сбора от ъглите KMA и MKN. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранни по отношение на успоредни прави KN и MA със секуща KM, сборът им е 180 градуса. Теоремата е доказана.

Последица

От доказаната по-горе теорема следва следното: всеки триъгълник има два остри ъгъла. За да докажем това, нека приемем, че дадена геометрична фигура има само един остър ъгъл. Може също да се приеме, че нито един от ъглите не е остър. В този случай трябва да има поне два ъгъла, които са равни или по-големи от 90 градуса. Но тогава сумата от ъглите ще бъде по-голяма от 180 градуса. Но това не може да бъде, защото според теоремата сумата от ъглите на триъгълник е 180 ° - не повече и не по-малко. Ето това трябваше да се докаже.

Външен ъглов имот

Каква е сумата от ъглите на триъгълник, които са външни? На този въпрос може да се отговори по един от двата начина. Първото е, че е необходимо да се намери сумата от ъглите, които са взети по един във всеки връх, тоест три ъгъла. Второто предполага, че трябва да намерите сумата от всичките шест ъгъла при върховете. Първо, нека се справим с първия вариант. И така, триъгълникът съдържа шест външни ъгъла - по два във всеки връх.

Всяка двойка има равни ъгли, защото са вертикални:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Освен това е известно, че външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от два вътрешни, които не се пресичат с него. Следователно,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

От това се оказва, че сумата от външните ъгли, които се вземат един по един близо до всеки връх, ще бъде равна на:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Като се има предвид, че сборът от ъглите е равен на 180 градуса, може да се твърди, че ∟A + ∟B + ∟C = 180°. И това означава, че ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Ако се използва вторият вариант, тогава сборът от шестте ъгъла ще бъде съответно два пъти по-голям. Тоест сумата от външните ъгли на триъгълника ще бъде:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Правоъгълен триъгълник

Какъв е сборът от ъглите на правоъгълен триъгълник, които са остри? Отговорът на този въпрос отново следва от теоремата, която гласи, че сборът на ъглите в триъгълника е 180 градуса. И нашето изявление (свойство) звучи така: правоъгълен триъгълникострите ъгли се събират до 90 градуса. Нека докажем, че е истина.

Нека ни е даден триъгълник KMN, в който ∟Н = 90°. Необходимо е да се докаже, че ∟K + ∟M = 90°.

И така, според теоремата за сумата на ъглите, ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Нашето условие гласи, че ∟Н = 90°. Оказва се, че ∟K + ∟M + 90° = 180°. Тоест ∟K + ∟M = 180° - 90° = 90°. Точно това трябваше да докажем.

В допълнение към горните свойства на правоъгълен триъгълник можете да добавите следното:

• ъглите, които лежат срещу краката, са остри;
• хипотенузата е триъгълна повече от всеки от краката;
• сборът на краката е по-голям от хипотенузата;
• катетът на триъгълника, който лежи срещу ъгъла от 30 градуса, е половината от хипотенузата, тоест е равен на половината от нея.

Като друго свойство на тази геометрична фигура може да се разграничи Питагоровата теорема. Тя заявява, че в триъгълник с ъгъл 90 градуса (правоъгълен) сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.

Сборът от ъглите на равнобедрен триъгълник

По-рано казахме, че многоъгълник с три върха и две равни страни се нарича равнобедрен. Това свойство на дадена геометрична фигура е известно: ъглите в основата й са равни. Нека го докажем.

Вземете триъгълника KMN, който е равнобедрен, KN е неговата основа.

От нас се изисква да докажем, че ∟K = ∟H. И така, нека кажем, че MA е ъглополовяща на нашия триъгълник KMN. ICA триъгълник с първи знак за равенство равно на триъгълник MNA. А именно, по условие е дадено, че KM = NM, MA е обща страна, ∟1 = ∟2, тъй като MA е ъглополовяща. Използвайки факта, че тези два триъгълника са равни, можем да твърдим, че ∟K = ∟Н. Така че теоремата е доказана.

Но ни интересува каква е сумата от ъглите на триъгълник (равнобедрен). Тъй като в това отношение тя няма свои собствени особености, ще започнем от теоремата, разгледана по-рано. Тоест можем да кажем, че ∟K + ∟M + ∟H = 180°, или 2 x ∟K + ∟M = 180° (тъй като ∟K = ∟H). Няма да доказваме това свойство, тъй като самата теорема за сумата от ъгли на триъгълник беше доказана по-рано.

В допълнение към разгледаните свойства за ъглите на триъгълник, има и такива важни твърдения:

• в който е бил спуснат до основата, е едновременно медианата, ъглополовящата на ъгъла, който е между равни страни, както и неговата основа;
• медианите (ъглополовящи, височини), които са начертани към страните на такава геометрична фигура, са равни.

Равностранен триъгълник

Нарича се още прав, това е триъгълникът, в който всички страни са равни. Следователно ъглите също са равни. Всеки от тях е 60 градуса. Нека докажем това свойство.

Да кажем, че имаме триъгълник KMN. Знаем, че KM = NM = KN. А това означава, че според свойството на ъглите, разположени в основата в равнобедрен триъгълник, ∟K = ∟M = ∟H. Тъй като според теоремата сборът от ъглите на триъгълника е ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 x ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ Н = 60°. Така твърдението е доказано.

Както може да се види от горното доказателство, базирано на теоремата, сборът от ъглите, както сборът от ъглите на всеки друг триъгълник, е 180 градуса. Няма нужда да доказваме отново тази теорема.

Има и такива свойства, характерни за равностранен триъгълник:

• медианата, ъглополовящата, височината в такава геометрична фигура са еднакви, а дължината им се изчислява като (a x √3): 2;
• ако опишете кръг около даден многоъгълник, тогава неговият радиус ще бъде равен на (a x √3): 3;
• ако впишете кръг в равностранен триъгълник, тогава неговият радиус ще бъде (a x √3): 6;
• площта на тази геометрична фигура се изчислява по формулата: (a2 x √3): 4.

тъп триъгълник

По дефиниция един от неговите ъгли е между 90 и 180 градуса. Но като се има предвид, че другите два ъгъла на тази геометрична фигура са остри, можем да заключим, че те не надвишават 90 градуса. Следователно теоремата за сбора от ъгли на триъгълник работи при изчисляване на сбора от ъгли в тъп триъгълник. Оказва се, че можем спокойно да кажем, въз основа на гореспоменатата теорема, че сборът от ъглите на тъп триъгълник е 180 градуса. Отново, тази теорема не се нуждае от повторно доказване.

Раздели: Математика

Презентация . (Слайд 1)

Тип урок:уроци изучаване на нов материал.

Цели на урока:

• Образователни:
  • разгледайте теоремата за сбора на триъгълните ъгли,
  • покажете приложението на теоремата при решаване на задачи.
• Образователни:
  • възпитаване на положително отношение на учениците към знанието,
  • вдъхнете увереност на учениците чрез урок.
• Образователни:
  • развитие на аналитично мислене,
  • развитие на „умения за учене“: да се използват знания, умения и способности в учебен процес,
  • развитие логично мисленеспособността ясно да формулира своите мисли.

Оборудване:интерактивна дъска, презентация, карти.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

аз Организиране на времето

- Днес в урока ще си припомним определенията за правоъгълен, равнобедрен, равностранен триъгълник. Нека повторим свойствата на ъглите на триъгълниците. Използвайки свойствата на вътрешните едностранни и вътрешните кръстосани ъгли, ще докажем теоремата за сбора от ъглите на триъгълник и ще се научим да я прилагаме при решаване на задачи.

II. Устно(Слайд 2)

1) Намерете на фигурите правоъгълни, равнобедрени, равностранни триъгълници.
2) Дефинирайте тези триъгълници.
3) Формулирайте свойствата на ъглите на равностранен и равнобедрен триъгълник.

4) На фигурата KE II NH. (слайд 3)

– Посочете секущи за тези редове
– Намерете вътрешни едностранни ъгли, вътрешни напречни ъгли, назовете свойствата им

III. Обяснение на нов материал

Теорема.Сборът от ъглите на триъгълник е 180o

Според формулировката на теоремата, момчетата изграждат чертеж, записват условието, заключение. Отговаряйки на въпросите, независимо докажете теоремата.

дадени: Докажи:

Доказателство:

1. Начертайте права BD II AC през върха B на триъгълника.
2. Посочете секущи за успоредни прави.
3. Какво може да се каже за ъглите CBD и ACB? (направи запис)
4. Какво знаем за ъглите CAB и ABD? (направи запис)
5. Заменете ъгъл CBD с ъгъл ACB
6. Направете заключение.

IV. Завършете офертата.(Слайд 4)

1. Сборът от ъглите на триъгълник е ...
2. В триъгълник един от ъглите е равен, другият, третият ъгъл на триъгълника е равен на ...
3. Сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е ...
4. Ъглите на равнобедрен правоъгълен триъгълник са равни на ...
5. Ъглите на равностранен триъгълник са равни ...
6. Ако ъгълът между страните на равнобедрен триъгълник е 1000, тогава ъглите при основата са ...

V. Малко история.(Слайдове 5-7)

Доказателство:

• Даден е триъгълник ABC.
• Начертайте права DK през върха B, успоредна на основата AC.
• \ъгъл CBK= \ъгъл C като вътрешен напречно лежащ с успоредни DK и AC, и секуща BC.
• \angle DBA = \angle Вътрешна напречно разположена в DK \успоредна AC и секуща AB. Ъгъл DBK е прав и равен на
• \ъгъл DBK = \ъгъл DBA + \ъгъл B + \ъгъл CBK
• Тъй като правият ъгъл е 180 ^\circ и \angle CBK = \angle C и \angle DBA = \angle A , получаваме 180 ^\circ = \ъгъл A + \ъгъл B + \ъгъл C.

Теоремата е доказана

Следствия от теоремата за сумата от ъглите на триъгълник:

1. Сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90°.
2. В равнобедрен правоъгълен триъгълник всеки остър ъгъл е 45°.
3. В равностранен триъгълник всеки ъгъл е 60°.
4. Във всеки триъгълник или всички ъгли са остри, или два ъгъла са остри, а третият е тъп или прав.
5. Външен ъгъл на триъгълник е равен на сумата от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.

Теорема за външния ъгъл на триъгълника

Външен ъгъл на триъгълник е равен на сумата от двата останали ъгъла на триъгълника, които не са съседни на този външен ъгъл.

Доказателство:

• Даден е триъгълник ABC, където BCD е външният ъгъл.
• \ъгъл BAC + \ъгъл ABC +\ъгъл BCA = 180^0
• От равенствата, ъгълът \ъгъл BCD + \ъгъл BCA = 180^0
• Получаваме \ъгъл BCD = \ъгъл BAC+\ъгъл ABC.