Паралелограмът е половината от произведението на неговите диагонали. Площта на успоредник. Задачи за самостоятелно решаване

Теорема 1.Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височината:

Теорема 2.Диагоналите на трапеца го разделят на четири триъгълника, два от които са подобни, а другите два имат еднаква площ:

Теорема 3.Площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината, спусната към дадената основа, или произведението на двете страни и синуса на ъгъла между тях:

Теорема 4.В успоредника сборът от квадратите на диагоналите е равен на сбора от квадратите на неговите страни:

Теорема 5.Площта на произволен изпъкнал четириъгълник е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях:

Теорема 6.Площта на четириъгълник, описан около кръг, е равна на произведението от полупериметъра на този четириъгълник и радиуса на дадения кръг:

Теорема 7.Четириъгълник, чиито върхове са средните точки на страните на произволен изпъкнал четириъгълник, е успоредник, чиято площ е равна на половината от площта на оригиналния четириъгълник:

Теорема 8.Ако диагоналите на изпъкнал четириъгълник са взаимно перпендикулярни, тогава сумите от квадратите на противоположните страни на този четириъгълник са:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Статията е публикувана с подкрепата на компанията "DKROST". Пързалки за деца, къщи, пясъчници и много други - производство и продажба на детски площадки на едро и дребно. Най-ниски цени, отстъпки, кратки срокове за изработка, извозване и консултация със специалист, гаранция за качество. Можете да научите повече за компанията, да разгледате продуктовия каталог, цени и контакти на уебсайта, който се намира на адрес: http://dkrost.ru/.

Доказателства на някои теореми

Доказателство на теорема 2. Нека ABCD е даден трапец, AD и BC неговите основи, O пресечната точка на диагонали AC и BD на този трапец. Нека докажем, че триъгълниците AOB и COD имат една и съща площ. За да направим това, нека пуснем перпендикуляри BP и CQ от точки B и C към права AD. Тогава площта на триъгълника ABD е

И площта на триъгълника ACD е

Тъй като BP = CQ, тогава S∆ABD = S∆ACD. Но площта на триъгълника AOB е разликата между площите на триъгълниците ABD и AOD, а площта на триъгълника COD е разликата между площите на триъгълниците ACD и AOD. Следователно площите на триъгълниците AOB и COD са равни, което трябваше да се докаже.

Доказателство на теорема 4. Нека ABCD е успоредник, AB = CD = а, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Нека приложим косинусовата теорема към триъгълника ABD:

Прилагайки сега косинусовата теорема към триъгълника ACD, получаваме:

Добавяйки равенства член по член, получаваме това Q.E.D.

Доказателство на теорема 5. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, E е пресечната точка на неговите диагонали, AE = а, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Ние имаме:

Q.E.D.

Доказателство на теорема 6. Нека ABCD е произволен четириъгълник, описан около окръжност, O е центърът на тази окръжност, OK, OL, OM и ON са перпендикулярите, пуснати от точката O съответно на правите AB, BC, CD и AD. Ние имаме:

където r е радиусът на окръжността, а p е полупериметърът на четириъгълника ABCD.

Доказателство на теорема 7. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, K, L, M и N са средите съответно на страните AB, BC, CD и AD. Тъй като KL е средната линия на триъгълник ABC, правата KL е успоредна на правата AC и по същия начин правата MN е успоредна на правата AC и следователно KLMN е успоредник. Да разгледаме триъгълника KBL. Неговата площ е равна на една четвърт от площта на триъгълника ABC. Площта на триъгълника MDN също е равна на една четвърт от площта на триъгълника ACD. Следователно,

по същия начин,

Означава, че

откъдето следва, че

Доказателство на теорема 8. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни, нека E е пресечната точка на неговите диагонали,
AE= а, BE = b, CE = c, DE = d. Приложете Питагоровата теорема към триъгълници ABE и CDE:
AB2=AE2+BE2= а 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
Следователно,
AB2+CD2= а 2 + b2 + c2 + d2.
Прилагайки сега Питагоровата теорема към триъгълници ADE и BCE, получаваме:
AD2=AE2+DE2= а 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
откъдето следва, че
AD2+BC2= а 2 + b2 + c2 + d2.
Следователно AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , което трябваше да се докаже.

Разрешаване на проблем

Задача 1. Близо до окръжността е описан трапец с ъгли при основата α и β. Намерете съотношението на площта на трапеца към площта на кръга.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB и CD са неговите основи, DK и CM са перпендикулярите, пуснати от точки C и D към правата AB. Желаното съотношение не зависи от радиуса на кръга. Следователно приемаме, че радиусът е 1. Тогава площта на кръга е π, намираме площта на трапеца. Тъй като триъгълникът ADK е правоъгълен триъгълник,

По същия начин, от правоъгълен триъгълник BCM намираме, че Тъй като окръжност може да бъде вписана в даден трапец, тогава сумите на противоположните страни са равни:
AB + CD = AD + BC,
къде намираме

Така че площта на трапеца е

и желаното съотношение е
Отговор:

Задача 2. В изпъкнал четириъгълник ABCD ъгъл A е 90°, а ъгъл C не надвишава 90°. Перпендикулярите BE и DF са спуснати от върховете B и D към диагонала AC. Известно е, че AE = CF. Докажете, че ъгъл C е прав ъгъл.

Доказателство. Тъй като ъгъл А е 90°,
и ъгъл C не надвишава 90°, тогава точките E и F лежат на диагонала AC. Без загуба на общост, можем да приемем, че AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Достатъчно е да докажем, че α + β + γ + δ = π. защото

откъдето получаваме това, което трябваше да се докаже.

Задача 3. Периметърът на равнобедрен трапец, описан около окръжност, е p. Намерете радиуса на тази окръжност, ако е известно, че острият ъгъл при основата на трапеца е α.
Решение. Нека ABCD е даден равнобедрен трапец с основи AD и BC, нека BH е височината на този трапец от върха B.
Тъй като в даден трапец може да се впише окръжност, тогава

Следователно,

От правоъгълния триъгълник ABH намираме,

Отговор:

Задача 4. Даден е трапец ABCD с основи AD и BC. Диагоналите AC и BD се пресичат в точка O, а правите AB и CD се пресичат в точка K. Правата KO пресича страните BC и AD съответно в точки M и N, а ъгъл BAD е 30°. Известно е, че в трапеца ABMN и NMCD може да се впише окръжност. Намерете отношението на повърхнините на триъгълник BKC и трапец ABCD.

Решение. Както знаете, за произволен трапец, линията, свързваща пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на удълженията на страничните страни, разделя всяка от основите наполовина. Така че BM = MC и AN = ND. Освен това, тъй като кръг може да бъде вписан в трапеца ABMN и NMCD, тогава
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
От това следва, че AB = CD, тоест трапецът ABCD е равнобедрен. Желаното съотношение на площта не зависи от мащаба, така че можем да приемем, че KN = x, KM = 1. От правоъгълни триъгълници AKN и BKM получаваме, че Записвайки отново релацията, която вече беше използвана по-горе
BM + AN = AB + MN ⇔

Трябва да изчислим съотношението:

Тук сме използвали факта, че площите на триъгълниците AKD и BKC се отнасят като квадратите на страните KN и KM, т.е. като x2.

Отговор:

Задача 5.В изпъкнал четириъгълник ABCD точките E, F, H, G са среди съответно на страните AB, BC, CD, DA, а O е пресечната точка на отсечките EH и FG. Известно е, че EH = а, FG = b, Намерете дължините на диагоналите на четириъгълника.

Решение. Известно е, че ако свържете последователно средите на страните на произволен четириъгълник, ще получите успоредник. В нашия случай EFHG е успоредник и O е пресечната точка на неговите диагонали. Тогава

Приложете косинусовата теорема към триъгълника FOH:

Тъй като FH е средната линия на триъгълник BCD, тогава

По подобен начин, прилагайки косинусовата теорема към триъгълник EFO, получаваме това

Отговор:

Задача 6.Страните на трапеца са 3 и 5. Известно е, че в трапец може да се впише окръжност. средна линиятрапец го разделя на две части, чието отношение на площите е равно на Намерете основите на трапеца.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB = 3 и CD = 5 - страните му, точките K и M - среди съответно на страните AB и CD. Нека, за определеност, AD> BC, тогава площта на трапеца AKMD ще бъде по-голяма от площта на трапеца KBCM. Тъй като KM е средната линия на трапеца ABCD, трапецът AKMD и KBCM имат равни височини. Тъй като площта на трапец е равна на произведението на половината от сумата на основите и височината, тогава е вярно следното равенство:

Освен това, тъй като окръжност може да бъде вписана в трапеца ABCD, тогава AD + BC = AB + CD = 8. Тогава KM = 4 като средната линия на трапеца ABCD. Нека BC = x, тогава AD = 8 - x. Ние имаме:
Така че BC = 1 и AD = 7.

Отговор: 1 и 7.

Задача 7. Основата AB на трапеца ABCD е два пъти по-дълга от основата CD и два пъти по-дълга от страничната страна AD. Дължината на диагонала AC е а, а дължината на страничната страна BC е равна на b. Намерете площта на трапеца.

Решение. Нека E е пресечната точка на продълженията на страните на трапеца и CD = x, тогава AD = x, AB = 2x. Отсечката CD е успоредна на отсечката AB и два пъти по-къса, така че CD е средната линия на триъгълник ABE. Следователно CE = BC = b и DE = AD = x, откъдето AE = 2x. Така че триъгълникът ABE е равнобедрен (AB = AE) и AC е неговата медиана. Следователно AC също е височината на този триъгълник и следователно

Тъй като триъгълник DEC е подобен на триъгълник AEB с коефициент на подобие, тогава

Отговор:

Задача 8. Диагоналите на трапеца ABCD се пресичат в точка E. Намерете лицето на триъгълника BCE, ако дължините на основите на трапеца са AB = 30, DC = 24, дължините на страните AD = 3 и ъгълът DAB е 60 °.

Решение. Нека DH е височината на трапеца. От триъгълника ADH намираме това

Тъй като височината на триъгълник ABC, паднала от върха C, е равна на височината DH на трапеца, имаме:

Отговор:

Задача 9. В трапеца средната линия е 4, а ъглите при една от основите са 40° и 50°. Намерете основите на трапеца, ако отсечката, свързваща средите на основите, е 1.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB и CD неговите основи (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Нека удължим страните DA и CB до пресечната точка в точка E. Да разгледаме триъгълник ABE, където ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
следователно ∠AEB = 90°. Медиана EM на този триъгълник, изтеглена от върха прав ъгъл, равно на половината от хипотенузата: EM = AM. Нека EM = x, тогава AM = x, DN = 4 – x. Съгласно условието на задачата MN = 1, следователно,
EN = x + 1. От подобието на триъгълници AEM и DEN имаме:

Това означава, че AB = 3 и CD = 5.

Отговор: 3 и 5.

Задача 10. Изпъкнал четириъгълник ABCD е описан около окръжност с център точка O, като AO = OC = 1, BO = OD = 2. Намерете периметъра на четириъгълника ABCD.

Решение. Нека K, L, M, N са точките на допиране на окръжността съответно със страните AB, BC, CD, DA, r - радиусът на окръжността. Тъй като допирателната към окръжността е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт, триъгълниците AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO са правоъгълни. Прилагайки Питагоровата теорема към тези триъгълници, получаваме това

Следователно AB = BC = CD = DA, тоест ABCD е ромб. Диагоналите на ромба са перпендикулярни един на друг, а точката на тяхното пресичане е центърът на вписаната окръжност. От тук лесно намираме, че страната на ромба е равна и следователно периметърът на ромба е равен на

Отговор:

Задачи за самостоятелно решаване

С-1.Равнобедрен трапец ABCD е описан около окръжност с радиус r. Нека E и K са точките на допир на тази окръжност със страните на трапеца. Ъгълът между основата AB и страната AD на трапеца е 60°. Докажете, че EK е успореден на AB и намерете лицето на трапеца ABEK.
С-2.В трапец диагоналите са 3 и 5, а сегментът, свързващ средните точки на основите, е 2. Намерете площта на трапеца.
С-3. Възможно ли е да се опише окръжност около четириъгълника ABCD, ако ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
С-4.В трапеца ABCD (AB е основата) стойностите на ъглите DAB, BCD, ADC, ABD и ADB образуват аритметична прогресия (в реда, в който са записани). Намерете разстоянието от върха C до диагонала BD, ако височината на трапеца е h.
С-5.Даден е равнобедрен трапец, в който е вписана окръжност и около която е описана окръжност. Отношението на височината на трапеца към радиуса на описаната окръжност е Намерете ъглите на трапеца.
С-6.Площта на правоъгълника ABCD е 48, а дължината на диагонала е 10. В равнината, в която се намира правоъгълникът, е избрана точка O, така че OB = OD = 13. Намерете разстоянието от точката O към върха на най-отдалечения от него правоъгълник.
С-7. Периметърът на успоредника ABCD е 26. Ъгълът ABC е 120°. Радиусът на окръжност, вписана в триъгълник BCD, е Намерете дължините на страните на успоредника, ако е известно, че AD > AB.
С-8.Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с център точка O. Радиусът OA е перпендикулярен на радиуса OB, а радиусът OC е перпендикулярен на радиуса OD. Дължината на перпендикуляра, пуснат от точка C до правата AD, е 9. Дължината на отсечката BC е половината от дължината на отсечката AD. Намерете площта на триъгълника AOB.
С-9.В изпъкнал четириъгълник ABCD върховете A и C са срещуположни, а дължината на страната AB е 3. Ъгъл ABC е равен на ъгъла BCD е Намерете дължината на страната AD, ако е известна площта на четириъгълника

С-10.Изпъкналият четириъгълник ABCD има диагонали AC и BD. Известно е, че
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, а разстоянието между пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник ABD и пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник ACD е Намерете дължината на страната BC.
С-11.Нека M е пресечната точка на диагоналите на изпъкнал четириъгълник ABCD, в който страните AB, AD и BC са равни. Намерете ъгъла CMD, ако е известно, че DM = MC,
и ∠CAB ≠ ∠DBA.
С-12.В четириъгълника ABCD знаем, че ∠A = 74°, ∠D = 120°. Намерете ъгъла между ъглополовящите на ъгли B и C.
С-13.В четириъгълника ABCD може да се впише окръжност. Нека K е пресечната точка на неговите диагонали. Известно е, че AB > BC > KC, а периметърът и лицето на триъгълника BKC са съответно 14 и 7. Намерете DC.
С-14.В трапец, описан около окръжност, е известно, че BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Намерете AB, ако лицето на трапеца ABCD е 10.
С-15.В трапеца ABCD с основи AB и CD е известно, че ∠CAB = 2∠DBA. Намерете площта на трапеца.
С-16.В успоредника ABCD знаем, че AC = а, ∠CAB = 60°. Намерете площта на успоредника.
S-17. В четириъгълника ABCD диагоналите AC и BD се пресичат в точка K. Точките L и M са съответно среди на страните BC и AD. Отсечката LM съдържа точка K. Четириъгълникът ABCD е такъв, че в него може да се впише окръжност. Намерете радиуса на тази окръжност, ако AB=3 и LK:KM=1:3.
С-18.Изпъкналият четириъгълник ABCD има диагонали AC и BD. В този случай ∠BAC =
= ∠BDC, а площта на окръжността, описана около триъгълника BDC, е равна на
а) Намерете радиуса на окръжността, описана около триъгълника ABC.
б) Като знаете, че BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, намерете лицето на четириъгълника ABCD.

При решаване на задачи по тази тема, в допълнение към основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:

1. Ъглополовящата на вътрешния ъгъл на успоредник отрязва равнобедрен триъгълник от него
2. Симетрали на вътрешни ъгли, съседни на една от страните на успоредник, са взаимно перпендикулярни
3. Симетрали, идващи от противоположни вътрешни ъгли на успоредник, успоредни един на друг или лежащи на една права линия
4. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
5. Площта на успоредник е половината от произведението на диагоналите по синуса на ъгъла между тях.

Нека разгледаме задачите, при решаването на които се използват тези свойства.

Задача 1.

Симетралата на ъгъл C на успоредника ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.

Решение.

1. Триъгълник CMD равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.

2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Периметър ABCD = 20 cm.

Отговор. 20 см

Задача 2.

В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че дадения четириъгълник е успоредник.

Решение.

1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условието на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.

2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна на правата AD. BE = CF. Следователно линията BC || AD. (*)

3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условието на задачата лицата на триъгълниците са равни и имат обща основа CD, то и височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.

4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна на правата CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)

5. Условията (*), (**) означават, че ABCD е успоредник.

Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.

Задача 3.

Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точките M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,

Решение.

1. В триъгълника DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. В правоъгълен триъгълник DHC
(

Тогава<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Тъй като в правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от 30 o, е равен на половината от хипотенузата).

Но CD = AB. Тогава AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Отговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Приложете синусовата теорема към триъгълника AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е φ.

1. Нека преброим две различни
начини от своята област.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки съотношението между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Да направим система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Умножете второто уравнение на системата по 2 и го добавете към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45o. Намерете площта на успоредника.

Решение.

1. От триъгълника AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD.

Отчитаме това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забележка:В тази и в предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се предвиди, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал.

Решение.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 15 sin VAD. Следователно sin VAD = 4/5.

2. Намерете cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Според условието на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът BD ще бъде по-малък, ако ъгъл BAD е остър. Тогава cos BAD = 3/5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Отговор: 145.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Формула за площта на успоредник

Площта на успоредник е равна на произведението на неговата страна и височината, спусната към тази страна.

Доказателство

Ако успоредникът е правоъгълник, тогава равенството е изпълнено от теоремата за площта на правоъгълника. Освен това приемаме, че ъглите на успоредника не са прави.

Нека $\angle BAD$ е остър ъгъл в успоредник $ABCD$ и $AD > AB$. В противен случай ще преименуваме върховете. Тогава височината $BH$ от върха $B$ до правата $AD$ се пада върху страната $AD$, тъй като катетът $AH$ е по-къс от хипотенузата $AB$ и $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Нека сравним площта на успоредника $ABCD$ и площта на правоъгълника $HBCK$. Площта на успоредника е по-голяма от площта $\триъгълник ABH$, но по-малка от площта $\триъгълник DCK$. Тъй като тези триъгълници са еднакви, техните площи също са еднакви. Това означава, че площта на успоредник е равна на площта на правоъгълник с дълги страни и височината на успоредника.

Формула за площта на успоредник по отношение на страни и синус

Площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство

Височината на успоредника $ABCD$, спусната към страната $AB$, е равна на произведението на отсечката $BC$ и синуса на ъгъла $\angle ABC$. Остава да приложим предишното твърдение.

Формула за площта на успоредник по диагонали

Площта на успоредника е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство

Нека диагоналите на успоредника $ABCD$ се пресичат в точка $O$ под ъгъл $\alpha$. Тогава $AO=OC$ и $BO=OD$ по свойството на успоредник. Синусите на ъглите, които се събират до $180^\circ$ са $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Следователно синусите на ъглите при пресичане на диагоналите са равни на $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\триъгълник AOB) + S_(\триъгълник BOC) + S_(\триъгълник COD) + S_(\триъгълник AOD)$

според аксиомата за измерване на площ. Приложете формулата за площ на триъгълник $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ за тези триъгълници и ъгли, когато диагоналите се пресичат. Страните на всеки са равни на половината от диагоналите, синусите също са равни. Следователно площите на четирите триъгълника са $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Обобщавайки всичко по-горе, получаваме

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

При решаване на задачи по тази тема, в допълнение към основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:

1. Ъглополовящата на вътрешния ъгъл на успоредник отрязва равнобедрен триъгълник от него
2. Симетрали на вътрешни ъгли, съседни на една от страните на успоредник, са взаимно перпендикулярни
3. Симетрали, идващи от противоположни вътрешни ъгли на успоредник, успоредни един на друг или лежащи на една права линия
4. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
5. Площта на успоредник е половината от произведението на диагоналите по синуса на ъгъла между тях.

Нека разгледаме задачите, при решаването на които се използват тези свойства.

Задача 1.

Симетралата на ъгъл C на успоредника ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.

Решение.

1. Триъгълник CMD равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.

2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Периметър ABCD = 20 cm.

Отговор. 20 см

Задача 2.

В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че дадения четириъгълник е успоредник.

Решение.

1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условието на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.

2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна на правата AD. BE = CF. Следователно линията BC || AD. (*)

3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условието на задачата лицата на триъгълниците са равни и имат обща основа CD, то и височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.

4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна на правата CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)

5. Условията (*), (**) означават, че ABCD е успоредник.

Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.

Задача 3.

Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точките M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,

Решение.

1. В триъгълника DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. В правоъгълен триъгълник DHC
(

Тогава<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Тъй като в правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от 30 o, е равен на половината от хипотенузата).

Но CD = AB. Тогава AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Отговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Приложете синусовата теорема към триъгълника AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е φ.

1. Нека преброим две различни
начини от своята област.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки съотношението между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Да направим система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Умножете второто уравнение на системата по 2 и го добавете към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45o. Намерете площта на успоредника.

Решение.

1. От триъгълника AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD.

Отчитаме това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забележка:В тази и в предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се предвиди, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал.

Решение.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 15 sin VAD. Следователно sin VAD = 4/5.

2. Намерете cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Според условието на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът BD ще бъде по-малък, ако ъгъл BAD е остър. Тогава cos BAD = 3/5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Отговор: 145.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (раздел успоредник). Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук - пишете за това във форума. За да се обозначи действието за извличане на квадратен корен при решаване на задачи, се използва символът √ или sqrt (), а радикалният израз е посочен в скоби.

Теоретичен материал

Обяснения към формулите за намиране на площта на успоредник:

1. Площта на успоредник е равна на произведението на дължината на една от страните му и височината на тази страна.
2. Площта на успоредника е равна на произведението на двете му съседни страни и синуса на ъгъла между тях
3. Площта на успоредника е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях

Задачи за намиране на лицето на успоредник

Задача.
В успоредник по-малката височина и по-малката страна са съответно 9 см и коренът от 82. Най-дългият диагонал е 15 см. Намерете лицето на успоредника.

Решение.
Нека означим с BK по-малката височина на успоредника ABCD, спусната от точка B към по-голямата основа AD.
Намерете стойността на катета на правоъгълен триъгълник ABK, образуван от по-малка височина, по-малка страна и част от по-голяма основа. Според теоремата на Питагор:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Нека разширим горната основа на успоредника BC и пуснем върху нея височината AN от долната му основа. AN = BK като страни на правоъгълника ANBK. В получения правоъгълен триъгълник ANC намираме катета NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Сега нека намерим по-голямата основа BC на успоредника ABCD.
BC=NC-NB
Тогава вземаме предвид, че NB = AK като страни на правоъгълника
BC=12 - 1=11

Площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината на тази основа.
S=ах
S=BC * BK
S=11*9=99

Отговор: 99 см2.

Задача

В успоредника ABCD перпендикулярът BO е спуснат на диагонала AC. Намерете лицето на успоредника, ако AO=8, OS=6 и BO=4.

Решение.
Нека пуснем още един перпендикуляр DK върху диагонала AC.
Съответно триъгълниците AOB и DKC, COB и AKD са еднакви по двойки. Една от страните е срещуположната страна на успоредника, един от ъглите е прав, тъй като е перпендикулярен на диагонала, а един от останалите ъгли е вътрешен кръст, лежащ за успоредните страни на успоредника и секущата на диагонала.

По този начин площта на успоредника е равна на площта на посочените триъгълници. Това е
Спарал = 2S AOB +2S BOC

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката. Където
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Отговор: 56 см2.