Πώς να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς με διαφορετικές δυνάμεις. Τύποι δυνάμεων και ριζών. Συνέχισε την επίλυση τυπικών προβλημάτων

Προφανώς, οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να προστεθούν όπως και άλλες ποσότητες , προσθέτοντάς τα ένα προς ένα με τα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα των a 3 και b 2 είναι a 3 + b 2 .
Το άθροισμα ενός 3 - b n και του h 5 - d 4 είναι 3 - b n + h 5 - d 4 .

Πιθανότητα τις ίδιες δυνάμεις των ίδιων μεταβλητώνμπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί.

Άρα, το άθροισμα των 2a 2 και 3a 2 είναι 5a 2 .

Είναι επίσης προφανές ότι αν πάρουμε δύο τετράγωνα a, ή τρία τετράγωνα a, ή πέντε τετράγωνα a.

Αλλά πτυχία διάφορες μεταβλητέςκαι διάφορους βαθμούς πανομοιότυπες μεταβλητές, πρέπει να προστεθούν προσθέτοντάς τα στα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα ενός 2 και ενός 3 είναι το άθροισμα ενός 2 + a 3 .

Είναι προφανές ότι το τετράγωνο του α και ο κύβος του α δεν είναι ούτε διπλάσιο του τετραγώνου του α, αλλά διπλάσιο του κύβου του α.

Το άθροισμα του a 3 b n και του 3a 5 b 6 είναι a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Αφαίρεσηοι εξουσίες εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση, εκτός από το ότι τα σημάδια του υπόστρωμα πρέπει να αλλάξουν ανάλογα.

Ή:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Πολλαπλασιασμός ισχύος

Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν όπως και άλλες ποσότητες γράφοντάς τους ο ένας μετά τον άλλο, με ή χωρίς το πρόσημο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους.

Άρα, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του a 3 με το b 2 είναι a 3 b 2 ή aaabb.

Ή:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Το αποτέλεσμα στο τελευταίο παράδειγμα μπορεί να ταξινομηθεί προσθέτοντας τις ίδιες μεταβλητές.
Η έκφραση θα έχει τη μορφή: a 5 b 5 y 3 .

Συγκρίνοντας πολλούς αριθμούς (μεταβλητές) με δυνάμεις, μπορούμε να δούμε ότι αν πολλαπλασιαστούν δύο από αυτούς, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός (μεταβλητή) με δύναμη ίση με άθροισμαβαθμούς των όρων.

Άρα, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Εδώ 5 είναι η δύναμη του αποτελέσματος του πολλαπλασιασμού, ίση με 2 + 3, το άθροισμα των δυνάμεων των όρων.

Άρα, a n .a m = a m+n .

Για ένα n, το a λαμβάνεται ως παράγοντας τόσες φορές όσες είναι η ισχύς του n.

Και το a m , λαμβάνεται ως παράγοντας όσες φορές είναι ίσος με τον βαθμό m.

Να γιατί, οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν προσθέτοντας τους εκθέτες.

Άρα, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Και x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ή:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Πολλαπλασιάστε (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Απάντηση: x 4 - y 4.
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για αριθμούς των οποίων οι εκθέτες είναι - αρνητικός.

1. Άρα, a -2 .a -3 = a -5 . Αυτό μπορεί να γραφτεί ως (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Αν τα a + b πολλαπλασιαστούν με a - b, το αποτέλεσμα θα είναι a 2 - b 2: δηλαδή

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο αριθμών ισούται με το άθροισμαή διαφορά των τετραγώνων τους.

Αν το άθροισμα και η διαφορά δύο αριθμών αυξηθεί σε τετράγωνο, το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά αυτών των αριθμών σε τέταρτοςβαθμός.

Άρα, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Καταμερισμός εξουσιών

Οι αριθμοί ισχύος μπορούν να διαιρεθούν όπως άλλοι αριθμοί αφαιρώντας από τον διαιρέτη ή τοποθετώντας τους σε μορφή κλάσματος.

Άρα ένα 3 b 2 διαιρούμενο με το b 2 είναι ένα 3 .

Ή:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Η εγγραφή ενός 5 διαιρεμένου με ένα 3 μοιάζει με $\frac(a^5)(a^3)$. Αυτό όμως ισούται με 2. Σε μια σειρά αριθμών
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με έναν άλλο και ο εκθέτης θα είναι ίσος με διαφοράδείκτες διαιρετών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται..

Άρα, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Δηλαδή, $\frac(εεε)(εε) = y$.

Και a n+1:a = a n+1-1 = a n . Δηλαδή, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ή:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Ο κανόνας ισχύει και για αριθμούς με αρνητικόςτιμές πτυχίου.
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός -5 με ένα -3 είναι ένα -2.
Επίσης, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ή $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε πολύ καλά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων, καθώς τέτοιες πράξεις χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως στην άλγεβρα.

Παραδείγματα επίλυσης παραδειγμάτων με κλάσματα που περιέχουν αριθμούς με δυνάμεις

1. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac(5a^4)(3a^2)$ Απάντηση: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac(6x^6)(3x^5)$. Απάντηση: $\frac(2x)(1)$ ή 2x.

3. Μειώστε τους εκθέτες a 2 / a 3 και a -3 / a -4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
a 2 .a -4 είναι ένας πρώτος αριθμητής -2.
a 3 .a -3 είναι 0 = 1, ο δεύτερος αριθμητής.
a 3 .a -4 είναι το -1, ο κοινός αριθμητής.
Μετά την απλοποίηση: a -2 /a -1 και 1/a -1 .

4. Μειώστε τους εκθέτες 2a 4 /5a 3 και 2 /a 4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
Απάντηση: 2a 3 / 5a 7 και 5a 5 / 5a 7 ή 2a 3 / 5a 2 και 5/5a 2.

5. Πολλαπλασιάστε (a 3 + b)/b 4 με (a - b)/3.

6. Πολλαπλασιάστε (a 5 + 1)/x 2 με (b 2 - 1)/(x + a).

7. Πολλαπλασιάστε b 4 /a -2 με h -3 /x και a n /y -3 .

8. Διαιρέστε ένα 4 /y 3 με ένα 3 /y 2 . Απάντηση: α/υ.

9. Διαιρέστε (h 3 - 1)/d 4 με (d n + 1)/h.

Εάν χρειάζεται να αυξήσετε έναν συγκεκριμένο αριθμό σε μια ισχύ, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το . Τώρα θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά ιδιότητες των βαθμών.

Εκθετικοί αριθμοίανοίγουν μεγάλες δυνατότητες, μας επιτρέπουν να μετατρέψουμε τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση και η πρόσθεση είναι πολύ πιο εύκολη από τον πολλαπλασιασμό.

Για παράδειγμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 16 με το 64. Το γινόμενο του πολλαπλασιασμού αυτών των δύο αριθμών είναι 1024. Αλλά το 16 είναι 4x4 και το 64 είναι 4x4x4. Άρα 16 φορές 64=4x4x4x4x4 που είναι επίσης 1024.

Ο αριθμός 16 μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως 2x2x2x2 και το 64 ως 2x2x2x2x2x2, και αν πολλαπλασιάσουμε, παίρνουμε πάλι 1024.

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα. 16=4 2 , ή 2 4 , 64=4 3 , ή 2 6 , ενώ 1024=6 4 =4 5 , ή 2 10 .

Επομένως, το πρόβλημά μας μπορεί να γραφτεί με άλλο τρόπο: 4 2 x4 3 =4 5 ή 2 4 x2 6 =2 10, και κάθε φορά παίρνουμε 1024.

Μπορούμε να λύσουμε μια σειρά από παρόμοια παραδείγματα και να δούμε ότι ο πολλαπλασιασμός των αριθμών με δυνάμεις μειώνεται σε προσθήκη εκθετών, ή εκθέτη, φυσικά, με την προϋπόθεση ότι οι βάσεις των παραγόντων είναι ίσες.

Έτσι, μπορούμε, χωρίς να πολλαπλασιάσουμε, να πούμε αμέσως ότι 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης κατά τη διαίρεση αριθμών με δυνάμεις, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, π.χ ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος. Έτσι, 2 5:2 3 =2 2 , που σε συνηθισμένους αριθμούς ισούται με 32:8=4, δηλαδή 2 2 . Ας συνοψίσουμε:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, όπου m και n είναι ακέραιοι αριθμοί.

Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμών με δυνάμειςδεν είναι πολύ βολικό, γιατί πρώτα πρέπει να αναπαραστήσετε τον αριθμό σε εκθετική μορφή. Δεν είναι δύσκολο να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς 8 και 16 σε αυτή τη μορφή, δηλαδή 2 3 και 2 4, αλλά πώς να το κάνουμε αυτό με τους αριθμούς 7 και 17; Ή τι να κάνετε σε εκείνες τις περιπτώσεις που ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί σε εκθετική μορφή, αλλά οι βάσεις των εκθετικών εκφράσεων των αριθμών είναι πολύ διαφορετικές. Για παράδειγμα, το 8×9 είναι 2 3 x 3 2, οπότε δεν μπορούμε να αθροίσουμε τους εκθέτες. Ούτε το 2 5 ούτε το 3 5 είναι η απάντηση, ούτε η απάντηση μεταξύ των δύο.

Τότε αξίζει να ασχοληθείτε καθόλου με αυτή τη μέθοδο; Σίγουρα αξίζει τον κόπο. Παρέχει τεράστια πλεονεκτήματα, ειδικά για πολύπλοκους και χρονοβόρους υπολογισμούς.

Στο προηγούμενο άρθρο, μιλήσαμε για το τι είναι τα μονώνυμα. Σε αυτό το υλικό, θα αναλύσουμε πώς να λύσουμε παραδείγματα και προβλήματα στα οποία χρησιμοποιούνται. Εδώ θα εξετάσουμε πράξεις όπως αφαίρεση, πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση μονωνύμων και ανύψωσή τους σε δύναμη με φυσικός δείκτης. Θα δείξουμε πώς ορίζονται τέτοιες λειτουργίες, θα αναφέρουμε τους βασικούς κανόνες για την εφαρμογή τους και ποιο θα πρέπει να είναι το αποτέλεσμα. Όλες οι θεωρητικές διατάξεις, ως συνήθως, θα επεξηγηθούν με παραδείγματα προβλημάτων με περιγραφές λύσεων.

Είναι πιο βολικό να εργάζεστε με την τυπική σημείωση μονωνύμων, επομένως παρουσιάζουμε όλες τις εκφράσεις που θα χρησιμοποιηθούν στο άρθρο σε τυπική μορφή. Εάν αρχικά έχουν ρυθμιστεί διαφορετικά, συνιστάται να τα φέρετε πρώτα σε μια γενικά αποδεκτή μορφή.

Κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης μονωνύμων

Οι απλούστερες πράξεις που μπορούν να γίνουν με μονώνυμα είναι η αφαίρεση και η πρόσθεση. Στη γενική περίπτωση, το αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών θα είναι ένα πολυώνυμο (ένα μονώνυμο είναι δυνατό σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις).

Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε μονώνυμα, καταγράφουμε πρώτα το αντίστοιχο άθροισμα και τη διαφορά στη γενικά αποδεκτή μορφή και μετά απλοποιούμε την έκφραση που προκύπτει. Αν υπάρχουν παρόμοιοι όροι, πρέπει να δοθούν, να ανοίξουν οι αγκύλες. Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση:προσθέστε τα μονώνυμα − 3 · x και 2, 72 · x 3 · y 5 · z.

Λύση

Ας γράψουμε το άθροισμα των αρχικών εκφράσεων. Προσθέστε παρενθέσεις και βάλτε ένα σύμβολο συν ανάμεσά τους. Θα λάβουμε τα εξής:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Όταν επεκτείνουμε τις αγκύλες, παίρνουμε - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Αυτό είναι ένα πολυώνυμο, γραμμένο σε τυπική μορφή, το οποίο θα είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης αυτών των μονοωνύμων.

Απάντηση:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Εάν έχουμε τρεις, τέσσερις ή περισσότερους όρους, εκτελούμε αυτήν την ενέργεια με τον ίδιο τρόπο.

Παράδειγμα 2

Κατάσταση:σύρετε προς τα μέσα σωστή σειράκαθορισμένες πράξεις με πολυώνυμα

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Λύση

Ας ξεκινήσουμε ανοίγοντας παρενθέσεις.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Βλέπουμε ότι η προκύπτουσα έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί με μείωση παρόμοιων όρων:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Έχουμε ένα πολυώνυμο, το οποίο θα είναι το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας.

Απάντηση: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Κατ' αρχήν μπορούμε να κάνουμε την πρόσθεση και την αφαίρεση δύο μονωνύμων, με κάποιους περιορισμούς, ώστε να καταλήξουμε σε μονώνυμα. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να τηρηθούν ορισμένες προϋποθέσεις σχετικά με τους όρους και τα αφαιρούμενα μονοώνυμα. Θα περιγράψουμε πώς γίνεται αυτό σε ξεχωριστό άρθρο.

Κανόνες πολλαπλασιασμού μονοωνύμων

Η ενέργεια πολλαπλασιασμού δεν επιβάλλει περιορισμούς στους πολλαπλασιαστές. Τα μονώνυμα που πρόκειται να πολλαπλασιαστούν δεν πρέπει να πληρούν καμία πρόσθετη προϋπόθεση προκειμένου το αποτέλεσμα να είναι μονώνυμο.

Για να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό μονωνύμων, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1. Ηχογραφήστε σωστά το κομμάτι.
2. Αναπτύξτε τις αγκύλες στην παράσταση που προκύπτει.
3. Ομαδοποιήστε, εάν είναι δυνατόν, παράγοντες με τις ίδιες μεταβλητές και αριθμητικούς παράγοντες ξεχωριστά.
4. Εκτελέστε τις απαραίτητες ενέργειες με αριθμούς και εφαρμόστε την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις στους υπόλοιπους συντελεστές.

Ας δούμε πώς γίνεται αυτό στην πράξη.

Παράδειγμα 3

Κατάσταση:πολλαπλασιάστε τα μονώνυμα 2 · x 4 · y · z και - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Λύση

Ας ξεκινήσουμε με τη σύνθεση του έργου.

Ανοίγοντας τις αγκύλες σε αυτό και παίρνουμε τα εξής:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς στις πρώτες αγκύλες και να εφαρμόσουμε την ιδιότητα power στη δεύτερη. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τα εξής:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Απάντηση: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Αν έχουμε τρία ή περισσότερα πολυώνυμα στη συνθήκη, τα πολλαπλασιάζουμε χρησιμοποιώντας ακριβώς τον ίδιο αλγόριθμο. Θα εξετάσουμε το ζήτημα του πολλαπλασιασμού των μονωνύμων με περισσότερες λεπτομέρειες σε ξεχωριστό υλικό.

Κανόνες για την ανύψωση ενός μονωνύμου σε δύναμη

Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο ενός ορισμένου αριθμού πανομοιότυπων παραγόντων ονομάζεται βαθμός με φυσικό εκθέτη. Ο αριθμός τους υποδεικνύεται από τον αριθμό στην ένδειξη. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, η αύξηση ενός μονωνύμου σε δύναμη ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό του υποδεικνυόμενου αριθμού πανομοιότυπων μονωνύμων. Ας δούμε πώς γίνεται.

Παράδειγμα 4

Κατάσταση:σηκώστε το μονώνυμο − 2 · a · b 4 στη δύναμη του 3 .

Λύση

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την εκθετικότητα με πολλαπλασιασμό 3 μονοωνύμων − 2 · a · b 4 . Ας γράψουμε και πάρουμε την επιθυμητή απάντηση:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

Απάντηση:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Τι γίνεται όμως όταν το πτυχίο έχει μεγάλο εκθέτη; Η καταγραφή μεγάλου αριθμού πολλαπλασιαστών δεν είναι βολική. Στη συνέχεια, για να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα, πρέπει να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες του βαθμού, δηλαδή την ιδιότητα του βαθμού του προϊόντος και την ιδιότητα του βαθμού στον βαθμό.

Ας λύσουμε το πρόβλημα που αναφέραμε παραπάνω με τον υποδεικνυόμενο τρόπο.

Παράδειγμα 5

Κατάσταση:σηκώστε − 2 · a · b 4 στην τρίτη δύναμη.

Λύση

Γνωρίζοντας την ιδιότητα του πτυχίου στο πτυχίο, μπορούμε να προχωρήσουμε σε μια έκφραση της ακόλουθης μορφής:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Μετά από αυτό, ανεβάζουμε στην ισχύ - 2 και εφαρμόζουμε την ιδιότητα εκθέτη:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Απάντηση:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Αφιερώσαμε επίσης ένα ξεχωριστό άρθρο στην ανάδειξη ενός μονωνύμου σε μια εξουσία.

Κανόνες για τη διαίρεση μονοωνύμων

Η τελευταία ενέργεια με μονώνυμα που θα αναλύσουμε σε αυτό το υλικό είναι η διαίρεση ενός μονωνύμου με ένα μονώνυμο. Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να λάβουμε ένα ορθολογικό (αλγεβρικό) κλάσμα (σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι δυνατό να ληφθεί ένα μονώνυμο). Ας διευκρινίσουμε αμέσως ότι η διαίρεση με το μηδέν μονώνυμο δεν ορίζεται, αφού η διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται.

Για να πραγματοποιήσουμε διαίρεση, πρέπει να γράψουμε τα υποδεικνυόμενα μονώνυμα με τη μορφή κλάσματος και να τα μειώσουμε, αν είναι δυνατόν.

Παράδειγμα 6

Κατάσταση:διαιρέστε το μονώνυμο − 9 x 4 y 3 z 7 με − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Λύση

Ας ξεκινήσουμε γράφοντας τα μονώνυμα σε μορφή κλάσματος.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί. Αφού το κάνουμε αυτό, παίρνουμε:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Απάντηση:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Οι συνθήκες κάτω από τις οποίες, ως αποτέλεσμα της διαίρεσης μονωνύμων, παίρνουμε ένα μονώνυμο δίνονται σε ξεχωριστό άρθρο.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Νωρίτερα μιλήσαμε για το τι είναι η δύναμη ενός αριθμού. Αυτή έχει ορισμένες ιδιότητες, χρήσιμο στην επίλυση προβλημάτων: θα τα αναλύσουμε και όλους τους πιθανούς εκθέτες σε αυτό το άρθρο. Θα δείξουμε επίσης με παραδείγματα πώς μπορούν να αποδειχθούν και να εφαρμοστούν σωστά στην πράξη.

Ας θυμηθούμε την έννοια του βαθμού με φυσικό εκθέτη που έχουμε ήδη διατυπώσει προηγουμένως: αυτή είναι το γινόμενο του nου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Πρέπει επίσης να θυμόμαστε πώς να πολλαπλασιάζουμε σωστά τους πραγματικούς αριθμούς. Όλα αυτά θα μας βοηθήσουν να διατυπώσουμε τις ακόλουθες ιδιότητες για ένα πτυχίο με φυσικό δείκτη:

Ορισμός 1

1. Η κύρια ιδιότητα του βαθμού: a m a n = a m + n

Μπορεί να γενικευτεί σε: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Η ιδιότητα πηλίκου για δυνάμεις που έχουν την ίδια βάση: a m: a n = a m − n

3. Ιδιότητα βαθμού προϊόντος: (a b) n = a n b n

Η ισότητα μπορεί να επεκταθεί σε: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

4. Ιδιότητα φυσικού βαθμού: (a: b) n = a n: b n

5. Ανεβάζουμε την ισχύ στην ισχύ: (a m) n = a m n ,

Μπορεί να γενικευτεί σε: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k

6. Συγκρίνετε το βαθμό με το μηδέν:

• Εάν a > 0, τότε για οποιοδήποτε φυσικό n, το a n θα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
• με ίσο με 0, ένα n θα είναι επίσης ίσο με μηδέν.
• για ένα< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• για ένα< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Ισότητα α ν< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Η ανίσωση a m > a n θα είναι αληθής με την προϋπόθεση ότι m και n είναι φυσικοί αριθμοί, ο m είναι μεγαλύτερος από n και ο a είναι μεγαλύτερος από το μηδέν και όχι μικρότερος από ένα.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε αρκετές ισότητες. εάν πληροίτε όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παραπάνω, τότε θα είναι πανομοιότυπες. Για καθεμία από τις ισότητες, για παράδειγμα, για την κύρια ιδιότητα, μπορείτε να ανταλλάξετε το δεξί και το αριστερό μέρος: a m · a n = a m + n - το ίδιο με το a m + n = a m · a n . Σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιείται συχνά κατά την απλοποίηση εκφράσεων.

1. Ας ξεκινήσουμε με την κύρια ιδιότητα του βαθμού: η ισότητα a m · a n = a m + n θα ισχύει για κάθε φυσικό m και n και πραγματικό a . Πώς να αποδείξετε αυτή τη δήλωση;

Ο βασικός ορισμός των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες θα μας επιτρέψει να μετατρέψουμε την ισότητα σε προϊόν παραγόντων. Θα λάβουμε μια καταχώριση όπως αυτή:

Αυτό μπορεί να συντομευτεί σε (θυμηθείτε τις βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού). Ως αποτέλεσμα, πήραμε το βαθμό του αριθμού a με φυσικό εκθέτη m + n. Έτσι, a m + n , που σημαίνει ότι αποδεικνύεται η κύρια ιδιότητα του βαθμού.

Ας αναλύσουμε συγκεκριμένο παράδειγμαεπιβεβαιώνοντας αυτό.

Παράδειγμα 1

Άρα έχουμε δύο δυνάμεις με βάση 2. Οι φυσικοί τους δείκτες είναι 2 και 3, αντίστοιχα. Πήραμε την ισότητα: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Ας υπολογίσουμε τις τιμές για να ελέγξουμε την ορθότητα αυτής της ισότητας.

Θα πραγματοποιήσουμε τα απαραίτητα μαθηματικές πράξεις: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 και 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Ως αποτέλεσμα, πήραμε: 2 2 2 3 = 2 5 . Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

Λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να γενικεύσουμε την ιδιότητα διατυπώνοντάς την ως τρία και περισσότεροδυνάμεις των οποίων οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί και των οποίων οι βάσεις είναι ίδιες. Αν συμβολίσουμε τον αριθμό των φυσικών αριθμών n 1, n 2 κ.λπ. με το γράμμα k, παίρνουμε τη σωστή ισότητα:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Παράδειγμα 2

2. Στη συνέχεια, πρέπει να αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα, η οποία ονομάζεται ιδιότητα πηλίκου και είναι εγγενής σε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις: αυτή είναι η ισότητα a m: a n = a m − n , η οποία ισχύει για κάθε φυσικό m και n (και m είναι μεγαλύτερο από n)) και κάθε μη μηδενικό πραγματικό a .

Αρχικά, ας εξηγήσουμε ποια ακριβώς είναι η έννοια των συνθηκών που αναφέρονται στη διατύπωση. Αν πάρουμε ένα ίσο με το μηδέν, τότε στο τέλος θα πάρουμε μια διαίρεση με το μηδέν, η οποία δεν μπορεί να γίνει (εξάλλου, 0 n = 0). Η προϋπόθεση ότι ο αριθμός m πρέπει να είναι μεγαλύτερος από n είναι απαραίτητη για να μπορούμε να μείνουμε εντός των φυσικών εκθετών: αφαιρώντας το n από το m, παίρνουμε έναν φυσικό αριθμό. Εάν δεν πληρούται η προϋπόθεση, θα πάρουμε αρνητικό αριθμό ή μηδέν και πάλι θα υπερβούμε τη μελέτη των πτυχίων με φυσικούς δείκτες.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην απόδειξη. Από τα προηγούμενα μελετημένα, υπενθυμίζουμε τις βασικές ιδιότητες των κλασμάτων και διατυπώνουμε την ισότητα ως εξής:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε: a m − n a n = a m

Θυμηθείτε τη σύνδεση μεταξύ διαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Από αυτό προκύπτει ότι a m − n είναι ένα πηλίκο των δυνάμεων a m και a n . Αυτή είναι η απόδειξη της ιδιότητας δεύτερου βαθμού.

Παράδειγμα 3

Αντικαταστήστε συγκεκριμένους αριθμούς για τη σαφήνεια στους δείκτες και υποδηλώστε τη βάση του βαθμού π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Στη συνέχεια, θα αναλύσουμε την ιδιότητα του βαθμού του γινομένου: (a · b) n = a n · b n για κάθε πραγματικό a και b και φυσικό n .

Σύμφωνα με τον βασικό ορισμό ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη, μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε την ισότητα ως εξής:

Θυμόμαστε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, γράφουμε: . Σημαίνει το ίδιο με ένα n · b n .

Παράδειγμα 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Αν έχουμε τρεις ή περισσότερους παράγοντες, τότε αυτή η ιδιότητα ισχύει και για αυτήν την περίπτωση. Εισάγουμε τον συμβολισμό k για τον αριθμό των παραγόντων και γράφουμε:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Παράδειγμα 5

Με συγκεκριμένους αριθμούς, παίρνουμε την ακόλουθη σωστή ισότητα: (2 (- 2 , 3) ​​α) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. Μετά από αυτό, θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε την ιδιότητα του πηλίκου: (a: b) n = a n: b n για κάθε πραγματικό a και b εάν το b δεν είναι ίσο με 0 και το n είναι φυσικός αριθμός.

Για την απόδειξη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη ιδιότητα πτυχίου. Αν (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , και (a: b) n b n = a n , τότε προκύπτει ότι (a: b) n είναι πηλίκο διαίρεσης του a n με το b n .

Παράδειγμα 6

Ας μετρήσουμε το παράδειγμα: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Παράδειγμα 7

Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα παράδειγμα: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Και τώρα διατυπώνουμε μια αλυσίδα ισοτήτων που θα μας αποδείξουν την ορθότητα της ισότητας:

Αν έχουμε βαθμούς μοιρών στο παράδειγμα, τότε αυτή η ιδιότητα ισχύει και για αυτούς. Αν έχουμε φυσικούς αριθμούς p, q, r, s, τότε θα ισχύει:

a p q y s = a p q y s

Παράδειγμα 8

Ας προσθέσουμε συγκεκριμένα: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Μια άλλη ιδιότητα των μοιρών με φυσικό εκθέτη που πρέπει να αποδείξουμε είναι η ιδιότητα σύγκρισης.

Αρχικά, ας συγκρίνουμε τον εκθέτη με το μηδέν. Γιατί a n > 0 με την προϋπόθεση ότι το a είναι μεγαλύτερο από 0;

Αν πολλαπλασιάσουμε έναν θετικό αριθμό με έναν άλλο, θα πάρουμε και έναν θετικό αριθμό. Γνωρίζοντας αυτό το γεγονός, μπορούμε να πούμε ότι αυτό δεν εξαρτάται από τον αριθμό των παραγόντων - το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε αριθμού θετικών αριθμών είναι ένας θετικός αριθμός. Και τι είναι ένας βαθμός, αν όχι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών; Τότε για οποιαδήποτε δύναμη a n με θετική βάση και φυσικό εκθέτη, αυτό θα ισχύει.

Παράδειγμα 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 και 34 9 13 51 > 0

Είναι επίσης προφανές ότι μια ισχύς με βάση ίση με μηδέν είναι η ίδια μηδέν. Σε όποια δύναμη ανεβάζουμε το μηδέν, θα παραμείνει μηδέν.

Παράδειγμα 10

0 3 = 0 και 0 762 = 0

Εάν η βάση του βαθμού είναι αρνητικός αριθμός, τότε η απόδειξη είναι λίγο πιο περίπλοκη, αφού η έννοια του άρτιου / περιττού εκθέτη γίνεται σημαντική. Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση που ο εκθέτης είναι άρτιος και να τον συμβολίσουμε με 2 · m , όπου m είναι φυσικός αριθμός.

Ας θυμηθούμε πώς να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους αρνητικούς αριθμούς: το γινόμενο a · a είναι ίσο με το γινόμενο των μονάδων και, επομένως, θα είναι θετικός αριθμός. Επειτα και ο βαθμός a 2 · m είναι επίσης θετικοί.

Παράδειγμα 11

Για παράδειγμα, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 και - 2 9 6 > 0

Τι γίνεται αν ο εκθέτης με αρνητική βάση είναι περιττός αριθμός; Ας το συμβολίσουμε 2 · m − 1 .

Επειτα

Όλα τα γινόμενα a · a , σύμφωνα με τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, είναι θετικά, το ίδιο και το γινόμενο τους. Αλλά αν το πολλαπλασιάσουμε με τον μόνο αριθμό που απομένει a , τότε το τελικό αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Τότε παίρνουμε: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Πώς να το αποδείξετε;

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Παράδειγμα 12

Για παράδειγμα, οι ανισότητες είναι αληθείς: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Μένει να αποδείξουμε την τελευταία ιδιότητα: εάν έχουμε δύο μοίρες, οι βάσεις των οποίων είναι ίδιες και θετικές, και οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί, τότε ο ένας από αυτούς είναι μεγαλύτερος, ο εκθέτης του οποίου είναι μικρότερος. και δύο μοιρών με φυσικούς δείκτες και τις ίδιες βάσεις μεγαλύτερους του ενός, ο βαθμός είναι μεγαλύτερος, ο δείκτης του οποίου είναι μεγαλύτερος.

Ας αποδείξουμε αυτούς τους ισχυρισμούς.

Πρώτα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι ένα m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Βγάζουμε ένα n από αγκύλες, μετά το οποίο η διαφορά μας θα πάρει τη μορφή a n · (am − n − 1) . Το αποτέλεσμά του θα είναι αρνητικό (αφού το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ενός θετικού αριθμού με έναν αρνητικό είναι αρνητικό). Πράγματι, σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες, m − n > 0, τότε a m − n − 1 είναι αρνητικό και ο πρώτος παράγοντας είναι θετικός, όπως κάθε φυσική δύναμη με θετική βάση.

Αποδείχθηκε ότι a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Απομένει να αποδειχθεί το δεύτερο μέρος της δήλωσης που διατυπώθηκε παραπάνω: a m > a ισχύει για m > n και a > 1 . Δείχνουμε τη διαφορά και βγάζουμε ένα n από αγκύλες: (a m - n - 1) Η δύναμη ενός n με μεγαλύτερο από ένα θα δώσει θετικό αποτέλεσμα. και η ίδια η διαφορά θα αποδειχθεί επίσης θετική λόγω των αρχικών συνθηκών, και για a > 1 ο βαθμός του a m − n είναι μεγαλύτερος από ένα. Αποδεικνύεται ότι a m − a n > 0 και a m > a n , το οποίο έπρεπε να αποδείξουμε.

Παράδειγμα 13

Παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: 3 7 > 3 2

Βασικές ιδιότητες μοιρών με ακέραιους εκθέτες

Για βαθμούς με θετικούς ακέραιους εκθέτες, οι ιδιότητες θα είναι παρόμοιες, επειδή οι θετικοί ακέραιοι είναι φυσικοί, πράγμα που σημαίνει ότι όλες οι ισότητες που αποδείχθηκαν παραπάνω ισχύουν και για αυτούς. Είναι επίσης κατάλληλα για περιπτώσεις όπου οι εκθέτες είναι αρνητικοί ή ίσοι με μηδέν (με την προϋπόθεση ότι η βάση του ίδιου του βαθμού είναι μη μηδενική).

Έτσι, οι ιδιότητες των δυνάμεων είναι ίδιες για οποιεσδήποτε βάσεις a και b (με την προϋπόθεση ότι αυτοί οι αριθμοί είναι πραγματικοί και όχι ίσοι με 0) και για τυχόν εκθέτες m και n (υπό την προϋπόθεση ότι είναι ακέραιοι). Τα γράφουμε εν συντομία με τη μορφή τύπων:

Ορισμός 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (πμ) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n με θετικό ακέραιο n , θετικό a και b , a< b

7 π.μ< a n , при условии целых m и n , m >n και 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Αν η βάση του βαθμού είναι ίση με μηδέν, τότε τα λήμματα a m και a n έχουν νόημα μόνο στην περίπτωση των φυσικών και θετικών m και n. Ως αποτέλεσμα, διαπιστώνουμε ότι τα παραπάνω σκευάσματα είναι κατάλληλα και για περιπτώσεις με βαθμό με μηδενική βάση, εάν πληρούνται όλες οι άλλες προϋποθέσεις.

Οι αποδείξεις αυτών των ιδιοτήτων σε αυτή την περίπτωση είναι απλές. Θα πρέπει να θυμόμαστε τι είναι ένας βαθμός με φυσικό και ακέραιο εκθέτη, καθώς και τις ιδιότητες των ενεργειών με πραγματικούς αριθμούς.

Ας αναλύσουμε την ιδιότητα του βαθμού στο βαθμό και ας αποδείξουμε ότι ισχύει τόσο για θετικούς ακέραιους όσο και για μη θετικούς ακέραιους. Ξεκινάμε αποδεικνύοντας τις ισότητες (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) και (a − p) − q = a (− p) (−q)

Συνθήκες: p = 0 ή φυσικός αριθμός. q - ομοίως.

Εάν οι τιμές των p και q είναι μεγαλύτερες από 0, τότε παίρνουμε (a p) q = a p · q . Έχουμε ήδη αποδείξει μια παρόμοια ισότητα στο παρελθόν. Αν p = 0 τότε:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Επομένως, (a 0) q = a 0 q

Για q = 0 όλα είναι ακριβώς τα ίδια:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Αποτέλεσμα: (a p) 0 = a p 0 .

Εάν και οι δύο δείκτες είναι μηδέν, τότε (a 0) 0 = 1 0 = 1 και a 0 0 = a 0 = 1, τότε (a 0) 0 = a 0 0 .

Θυμηθείτε την ιδιότητα του πηλίκου στη δύναμη που αποδείχθηκε παραπάνω και γράψτε:

1 a p q = 1 q a p q

Αν 1 p = 1 1 … 1 = 1 και a p q = a p q , τότε 1 q a p q = 1 a p q

Μπορούμε να μετατρέψουμε αυτόν τον συμβολισμό βάσει των βασικών κανόνων πολλαπλασιασμού σε a (− p) · q .

Επίσης: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

ΚΑΙ (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Οι υπόλοιπες ιδιότητες του βαθμού μπορούν να αποδειχθούν με παρόμοιο τρόπο μετασχηματίζοντας τις υπάρχουσες ανισότητες. Δεν θα σταθούμε λεπτομερώς σε αυτό, θα αναφέρουμε μόνο τα δύσκολα σημεία.

Απόδειξη της προτελευταίας ιδιότητας: υπενθυμίζουμε ότι το a − n > b − n ισχύει για οποιεσδήποτε αρνητικές ακέραιες τιμές του n και κάθε θετικό a και b, με την προϋπόθεση ότι το a είναι μικρότερο από το b .

Τότε η ανισότητα μπορεί να μετατραπεί ως εξής:

1 a n > 1 b n

Γράφουμε το δεξί και το αριστερό μέρος ως διαφορά και κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Θυμηθείτε ότι στη συνθήκη a είναι μικρότερο από b , τότε, σύμφωνα με τον ορισμό του βαθμού με φυσικό εκθέτη: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

Το a n · b n καταλήγει να είναι θετικός αριθμός επειδή οι συντελεστές του είναι θετικοί. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα κλάσμα b n - a n a n · b n , το οποίο στο τέλος δίνει και ένα θετικό αποτέλεσμα. Εξ ου και 1 a n > 1 b n από όπου a − n > b − n , που έπρεπε να αποδείξουμε.

Η τελευταία ιδιότητα των μοιρών με ακέραιους εκθέτες αποδεικνύεται παρόμοια με την ιδιότητα των μοιρών με φυσικούς εκθέτες.

Βασικές ιδιότητες μοιρών με λογικούς εκθέτες

Σε προηγούμενα άρθρα, συζητήσαμε τι είναι ένας βαθμός με ορθολογικό (κλασματικό) εκθέτη. Οι ιδιότητές τους είναι ίδιες με αυτές των μοιρών με ακέραιους εκθέτες. Ας γράψουμε:

Ορισμός 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 για > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για ≥ 0 (δυνάμεις ιδιοτήτων προϊόντος με την ίδια βάση).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 εάν a > 0 (ιδιότητα πηλίκου).

3. a b m n = a m n b m n για a > 0 και b > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για a ≥ 0 και (ή) b ≥ 0 (ιδιότητα προϊόντος σε κλασματικό βαθμό).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n για a > 0 και b > 0, και αν m n > 0, τότε για a ≥ 0 και b > 0 (ιδιότητα ενός πηλίκου σε κλασματικό βαθμό).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 για > 0, και αν m 1 n 1 > 0 και m 2 n 2 > 0, τότε για ≥ 0 (ιδιότητα βαθμού σε βαθμούς).

6.απ< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; αν σελ< 0 - a p >b p (η ιδιότητα της σύγκρισης βαθμών με ίσους ορθολογικούς εκθέτες).

7.απ< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q στο 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Για να αποδείξουμε αυτές τις διατάξεις, πρέπει να θυμόμαστε τι είναι ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη, ποιες είναι οι ιδιότητες της αριθμητικής ρίζας του nου βαθμού και ποιες είναι οι ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη. Ας ρίξουμε μια ματιά σε κάθε ακίνητο.

Σύμφωνα με το τι είναι ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη, παίρνουμε:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 και a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, επομένως, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Οι ιδιότητες της ρίζας θα μας επιτρέψουν να εξαγάγουμε ισότητες:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Από αυτό παίρνουμε: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Ας μεταμορφώσουμε:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Ο εκθέτης μπορεί να γραφτεί ως:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Αυτή είναι η απόδειξη. Η δεύτερη ιδιότητα αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Ας γράψουμε την αλυσίδα των ισοτήτων:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Αποδείξεις για τις υπόλοιπες ισότητες:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (α: β) m n = (α: β) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Επόμενη ιδιότητα: ας αποδείξουμε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των a και b μεγαλύτερες από 0 , εάν το a είναι μικρότερο από το b, θα εκτελεστεί ένα p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Ας αναπαραστήσουμε έναν ρητό αριθμό p ως m n . Σε αυτήν την περίπτωση, το m είναι ένας ακέραιος αριθμός, ο n είναι ένας φυσικός αριθμός. Τότε οι προϋποθέσεις σελ< 0 и p >0 θα επεκταθεί σε m< 0 и m >0 . Για m > 0 και a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών και παράγουμε: a m n< b m n

Λαμβάνοντας υπόψη τη θετικότητα των τιμών a και b, ξαναγράφουμε την ανισότητα ως m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Με τον ίδιο τρόπο, για το m< 0 имеем a a m >b m , παίρνουμε a m n > b m n άρα a m n > b m n και a p > b p .

Μένει να αποδείξουμε την τελευταία περιουσία. Ας αποδείξουμε ότι για τους ρητούς αριθμούς p και q, p > q για το 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 θα ήταν αληθές a p > a q .

Οι ορθολογικοί αριθμοί p και q μπορούν να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή και να πάρουν κλάσματα m 1 n και m 2 n

Εδώ τα m 1 και m 2 είναι ακέραιοι αριθμοί και το n είναι φυσικός αριθμός. Αν p > q, τότε m 1 > m 2 (λαμβάνοντας υπόψη τον κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων). Μετά στο 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – ανισότητα a 1 m > a 2 m .

Μπορούν να ξαναγραφτούν με την ακόλουθη μορφή:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Στη συνέχεια, μπορείτε να κάνετε μετασχηματισμούς και να έχετε ως αποτέλεσμα:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Συνοψίζοντας: για p > q και 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Βασικές ιδιότητες μοιρών με παράλογους εκθέτες

Όλες οι ιδιότητες που περιγράφηκαν παραπάνω που διαθέτει ένας βαθμός με λογικούς εκθέτες μπορούν να επεκταθούν σε τέτοιο βαθμό. Αυτό προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό του, τον οποίο δώσαμε σε ένα από τα προηγούμενα άρθρα. Ας διατυπώσουμε εν συντομία αυτές τις ιδιότητες (συνθήκες: a > 0 , b > 0 , οι δείκτες p και q είναι παράλογοι αριθμοί):

Ορισμός 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (α β) p = a p b p

4. (α: β) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.απ< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.απ< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , μετά a p > a q .

Έτσι, όλες οι δυνάμεις των οποίων οι εκθέτες p και q είναι πραγματικοί αριθμοί, με την προϋπόθεση ότι a > 0, έχουν τις ίδιες ιδιότητες.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Πώς να πολλαπλασιάσετε τις δυνάμεις; Ποιες δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν και ποιες όχι; Πώς πολλαπλασιάζεις έναν αριθμό με μια δύναμη;

Στην άλγεβρα, μπορείτε να βρείτε το γινόμενο των δυνάμεων σε δύο περιπτώσεις:

1) αν τα πτυχία έχουν την ίδια βάση?

2) αν τα πτυχία έχουν τους ίδιους δείκτες.

Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση πρέπει να παραμένει η ίδια και οι εκθέτες πρέπει να προστίθενται:

Όταν πολλαπλασιάζονται οι μοίρες με τους ίδιους δείκτες, ο συνολικός δείκτης μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες:

Εξετάστε πώς να πολλαπλασιάσετε τις δυνάμεις, με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Η μονάδα στον εκθέτη δεν γράφεται, αλλά κατά τον πολλαπλασιασμό των μοιρών, λαμβάνουν υπόψη:

Κατά τον πολλαπλασιασμό, ο αριθμός των μοιρών μπορεί να είναι οποιοσδήποτε. Θα πρέπει να θυμάστε ότι δεν μπορείτε να γράψετε το σύμβολο πολλαπλασιασμού πριν από το γράμμα:

Στις εκφράσεις, εκτελείται πρώτα η εκθετικότητα.

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με μια ισχύ, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε εκθετικό ρυθμό και μόνο τότε - πολλαπλασιασμό:

www.algebraclass.ru

Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση δυνάμεων

Πρόσθεση και αφαίρεση δυνάμεων

Προφανώς, οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να προστεθούν όπως και άλλες ποσότητες , προσθέτοντάς τα ένα προς ένα με τα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα των a 3 και b 2 είναι a 3 + b 2 .
Το άθροισμα ενός 3 - b n και του h 5 - d 4 είναι 3 - b n + h 5 - d 4.

Πιθανότητα τις ίδιες δυνάμεις των ίδιων μεταβλητώνμπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί.

Άρα, το άθροισμα των 2a 2 και 3a 2 είναι 5a 2 .

Είναι επίσης προφανές ότι αν πάρουμε δύο τετράγωνα a, ή τρία τετράγωνα a, ή πέντε τετράγωνα a.

Αλλά πτυχία διάφορες μεταβλητέςκαι διάφορους βαθμούς πανομοιότυπες μεταβλητές, πρέπει να προστεθούν προσθέτοντάς τα στα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα ενός 2 και ενός 3 είναι το άθροισμα ενός 2 + a 3 .

Είναι προφανές ότι το τετράγωνο του α και ο κύβος του α δεν είναι ούτε διπλάσιο του τετραγώνου του α, αλλά διπλάσιο του κύβου του α.

Το άθροισμα του a 3 b n και του 3a 5 b 6 είναι a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Αφαίρεσηοι εξουσίες εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση, εκτός από το ότι τα σημάδια του υπόστρωμα πρέπει να αλλάξουν ανάλογα.

Ή:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Πολλαπλασιασμός ισχύος

Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν όπως και άλλες ποσότητες γράφοντάς τους ο ένας μετά τον άλλο, με ή χωρίς το πρόσημο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους.

Άρα, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του a 3 με το b 2 είναι a 3 b 2 ή aaabb.

Ή:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Το αποτέλεσμα στο τελευταίο παράδειγμα μπορεί να ταξινομηθεί προσθέτοντας τις ίδιες μεταβλητές.
Η έκφραση θα έχει τη μορφή: a 5 b 5 y 3 .

Συγκρίνοντας πολλούς αριθμούς (μεταβλητές) με δυνάμεις, μπορούμε να δούμε ότι αν πολλαπλασιαστούν δύο από αυτούς, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός (μεταβλητή) με δύναμη ίση με άθροισμαβαθμούς των όρων.

Άρα, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Εδώ 5 είναι η δύναμη του αποτελέσματος του πολλαπλασιασμού, ίση με 2 + 3, το άθροισμα των δυνάμεων των όρων.

Άρα, a n .a m = a m+n .

Για ένα n, το a λαμβάνεται ως παράγοντας τόσες φορές όσες είναι η ισχύς του n.

Και το a m , λαμβάνεται ως παράγοντας όσες φορές είναι ίσος με τον βαθμό m.

Να γιατί, οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν προσθέτοντας τους εκθέτες.

Άρα, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Και x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ή:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Πολλαπλασιάστε (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Απάντηση: x 4 - y 4.
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για αριθμούς των οποίων οι εκθέτες είναι − αρνητικός.

1. Άρα, a -2 .a -3 = a -5 . Αυτό μπορεί να γραφτεί ως (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Αν τα a + b πολλαπλασιαστούν με a - b, το αποτέλεσμα θα είναι a 2 - b 2: δηλαδή

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά των τετραγώνων τους.

Αν το άθροισμα και η διαφορά δύο αριθμών αυξηθεί σε τετράγωνο, το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά αυτών των αριθμών σε τέταρτοςβαθμός.

Άρα, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Καταμερισμός εξουσιών

Οι αριθμοί ισχύος μπορούν να διαιρεθούν όπως άλλοι αριθμοί αφαιρώντας από τον διαιρέτη ή τοποθετώντας τους σε μορφή κλάσματος.

Άρα ένα 3 b 2 διαιρούμενο με το b 2 είναι ένα 3 .

Η εγγραφή ενός 5 διαιρεμένου με ένα 3 μοιάζει με $\frac $. Αυτό όμως ισούται με 2. Σε μια σειρά αριθμών
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με έναν άλλο και ο εκθέτης θα είναι ίσος με διαφοράδείκτες διαιρετών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται..

Άρα, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Δηλαδή, $\frac = y$.

Και a n+1:a = a n+1-1 = a n . Δηλαδή, $\frac = a^n$.

Ή:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Ο κανόνας ισχύει και για αριθμούς με αρνητικόςτιμές πτυχίου.
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός -5 με ένα -3 είναι ένα -2.
Επίσης, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ή $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε πολύ καλά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων, καθώς τέτοιες πράξεις χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως στην άλγεβρα.

Παραδείγματα επίλυσης παραδειγμάτων με κλάσματα που περιέχουν αριθμούς με δυνάμεις

1. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac $ Απάντηση: $\frac $.

2. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac$. Απάντηση: $\frac $ ή 2x.

3. Μειώστε τους εκθέτες a 2 / a 3 και a -3 / a -4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
a 2 .a -4 είναι ένας πρώτος αριθμητής -2.
a 3 .a -3 είναι 0 = 1, ο δεύτερος αριθμητής.
a 3 .a -4 είναι το -1, ο κοινός αριθμητής.
Μετά την απλοποίηση: a -2 /a -1 και 1/a -1 .

4. Μειώστε τους εκθέτες 2a 4 /5a 3 και 2 /a 4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
Απάντηση: 2a 3 / 5a 7 και 5a 5 / 5a 7 ή 2a 3 / 5a 2 και 5/5a 2.

5. Πολλαπλασιάστε (a 3 + b)/b 4 με (a - b)/3.

6. Πολλαπλασιάστε (a 5 + 1)/x 2 με (b 2 - 1)/(x + a).

7. Πολλαπλασιάστε b 4 /a -2 με h -3 /x και a n /y -3 .

8. Διαιρέστε ένα 4 /y 3 με ένα 3 /y 2 . Απάντηση: α/υ.

ιδιότητες βαθμού

Σας υπενθυμίζουμε ότι σε αυτό το μάθημα καταλαβαίνουμε ιδιότητες βαθμούμε φυσικούς δείκτες και μηδέν. Τα πτυχία με ορθολογικούς δείκτες και οι ιδιότητές τους θα συζητηθούν στα μαθήματα για την 8η τάξη.

Ένας εκθέτης με φυσικό εκθέτη έχει πολλές σημαντικές ιδιότητες που σας επιτρέπουν να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς σε παραδείγματα εκθέτη.

Ακίνητο #1
Προϊόν των δυνάμεων

Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες προστίθενται.

a m a n \u003d a m + n, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.

Αυτή η ιδιότητα των δυνάμεων επηρεάζει επίσης το γινόμενο τριών ή περισσότερων δυνάμεων.

Λάβετε υπόψη ότι στην υποδεικνυόμενη ιδιότητα επρόκειτο μόνο για πολλαπλασιασμό δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις.. Δεν ισχύει για την προσθήκη τους.

Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε το άθροισμα (3 3 + 3 2) με 3 5 . Αυτό είναι κατανοητό αν
υπολογίστε (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 και 3 5 = 243

Ακίνητο #2
Ιδιωτικά πτυχία

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος.

Υπολογίζω.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των μερικών μοιρών.
3 8: t = 3 4

Απάντηση: t = 3 4 = 81

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες Νο. 1 και Νο. 2, μπορείτε εύκολα να απλοποιήσετε εκφράσεις και να εκτελέσετε υπολογισμούς.

Παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης χρησιμοποιώντας ιδιότητες βαθμού.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Λάβετε υπόψη ότι η ιδιοκτησία 2 αφορούσε μόνο την κατανομή εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.

Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε τη διαφορά (4 3 −4 2) με 4 1 . Αυτό είναι κατανοητό αν υπολογίσετε (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 και 4 1 = 4

Ακίνητο #3
Εκθεσιμότητα

Κατά την αύξηση μιας ισχύος σε μια ισχύ, η βάση της ισχύος παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

(a n) m \u003d a n m, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.

Σημειώστε ότι η ιδιότητα Νο. 4, όπως και άλλες ιδιότητες πτυχίων, εφαρμόζεται επίσης με αντίστροφη σειρά.

(a n b n)= (a b) n

Δηλαδή, για να πολλαπλασιάσετε μοίρες με τους ίδιους εκθέτες, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τις βάσεις και να αφήσετε τον εκθέτη αμετάβλητο.

Σε πιο σύνθετα παραδείγματα, μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση πρέπει να εκτελεστούν σε δυνάμεις με διαφορετικές βάσεις και διαφορετικούς εκθέτες. Σε αυτή την περίπτωση, σας συμβουλεύουμε να κάνετε τα εξής.

Για παράδειγμα, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Παράδειγμα εκθέσεως δεκαδικού κλάσματος.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = τέσσερα

Ιδιότητες 5
Δύναμη του πηλίκου (κλάσματα)

Για να αυξήσετε ένα πηλίκο σε μια δύναμη, μπορείτε να αυξήσετε το μέρισμα και τον διαιρέτη ξεχωριστά σε αυτήν την ισχύ και να διαιρέσετε το πρώτο αποτέλεσμα με το δεύτερο.

(α: β) n \u003d a n: b n, όπου "a", "b" είναι οποιοιδήποτε ρητός αριθμός, b ≠ 0, n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

Υπενθυμίζουμε ότι ένα πηλίκο μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Ως εκ τούτου, θα σταθούμε στο θέμα της αύξησης ενός κλάσματος σε μια ισχύ με περισσότερες λεπτομέρειες στην επόμενη σελίδα.

Πτυχία και Ρίζες

Λειτουργίες με δυνάμεις και ρίζες. Πτυχίο με αρνητικό ,

μηδενικό και κλασματικό δείκτης. Για εκφράσεις που δεν βγάζουν νόημα.

Επιχειρήσεις με πτυχία.

1. Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, αθροίζονται οι δείκτες τους:

είμαι · a n = a m + n .

2. Κατά τη διαίρεση μοιρών με την ίδια βάση, τους δείκτες τους αφαιρείται .

3. Ο βαθμός του γινομένου δύο ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων.

4. Ο βαθμός του λόγου (κλάσμα) είναι ίσος με τον λόγο των βαθμών του μερίσματος (αριθμητής) και του διαιρέτη (παρονομαστής):

(α/β) n = a n / b n .

5. Κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, οι δείκτες τους πολλαπλασιάζονται:

Όλοι οι παραπάνω τύποι διαβάζονται και εκτελούνται και προς τις δύο κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Επεμβάσεις με ρίζες. Σε όλους τους παρακάτω τύπους, το σύμβολο σημαίνει αριθμητική ρίζα(η ριζοσπαστική έκφραση είναι θετική).

1. Η ρίζα του προϊόντος πολλών παραγόντων είναι ίσο με το γινόμενοοι ρίζες αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα του λόγου είναι ίση με την αναλογία των ριζών του μερίσματος και του διαιρέτη:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε μια δύναμη, αρκεί να αυξήσετε σε αυτή τη δύναμη αριθμός ρίζας:

4. Εάν αυξήσετε τον βαθμό της ρίζας κατά m φορές και ταυτόχρονα αυξήσετε τον αριθμό της ρίζας στον m -ο βαθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Εάν μειώσετε τον βαθμό της ρίζας κατά m φορές και ταυτόχρονα εξαγάγετε τη ρίζα του m-ου βαθμού από τον ριζικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Επέκταση της έννοιας του πτυχίου. Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει πτυχία μόνο με φυσικό δείκτη. αλλά οι επιχειρήσεις με δυνάμεις και ρίζες μπορούν επίσης να οδηγήσουν σε αρνητικός, μηδένκαι κλασματικόςδείκτες. Όλοι αυτοί οι εκθέτες απαιτούν έναν πρόσθετο ορισμό.

Βαθμός με αρνητικό εκθέτη. Ο βαθμός ενός ορισμένου αριθμού με αρνητικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τον βαθμό του ίδιου αριθμού με εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του αρνητικού εκθέτη:

Τώρα η φόρμουλα είμαι : a n = ένα m-nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ, περισσότερο από n, αλλά και στο Μ, λιγότερο από n .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ένα 4: ένα 7 = α 4 — 7 = α — 3 .

Αν θέλουμε τον τύπο είμαι : a n = είμαι — nήταν δίκαιος στο m = n, χρειαζόμαστε έναν ορισμό του μηδενικού βαθμού.

Βαθμός με μηδενικό εκθέτη. Ο βαθμός οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με μηδενικό εκθέτη είναι 1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Βαθμός με κλασματικό εκθέτη. Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό a στην ισχύ m / n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του nου βαθμού από τη mth δύναμη αυτού του αριθμού a:

Για εκφράσεις που δεν βγάζουν νόημα. Υπάρχουν πολλές τέτοιες εκφράσεις.

όπου ένα ≠ 0 , δεν υπάρχει.

Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι Χείναι ένας ορισμένος αριθμός, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της πράξης διαίρεσης, έχουμε: ένα = 0· Χ, δηλ. ένα= 0, που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη: ένα ≠ 0

— οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.

Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι αυτή η έκφραση είναι ίση με κάποιον αριθμό Χ, τότε σύμφωνα με τον ορισμό της πράξης διαίρεσης έχουμε: 0 = 0 Χ. Αλλά αυτή η ισότητα ισχύει οποιονδήποτε αριθμό x, που έπρεπε να αποδειχτεί.

0 0 — οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.

Λύση. Εξετάστε τρεις κύριες περιπτώσεις:

1) Χ = 0 – αυτή η τιμή δεν ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση

2) πότε Χ> 0 παίρνουμε: x / x= 1, δηλ. 1 = 1, από όπου ακολουθεί,

τι Χ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ; αλλά λαμβάνοντας υπόψη ότι

η περίπτωσή μας Χ> 0 , η απάντηση είναι Χ > 0 ;

Κανόνες πολλαπλασιασμού δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις

ΠΤΥΧΙΟ ΜΕ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΟ ΔΕΙΚΤΗ,

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΙΣΧΥΟΣ IV

§ 69. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις

Θεώρημα 1.Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, αρκεί να προσθέσουμε τους εκθέτες και να αφήσουμε τη βάση ίδια, δηλαδή

Απόδειξη.Εξ ορισμού πτυχίου

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Έχουμε εξετάσει το γινόμενο δύο δυνάμεων. Στην πραγματικότητα, η αποδεδειγμένη ιδιότητα ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.

Θεώρημα 2.Για να διαιρέσετε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, όταν ο δείκτης του μερίσματος είναι μεγαλύτερος από τον δείκτη του διαιρέτη, αρκεί να αφαιρέσετε τον δείκτη του διαιρέτη από τον δείκτη του μερίσματος και να αφήσετε τη βάση ίδια, δηλαδή στο t > n

(ένα =/= 0)

Απόδειξη.Θυμηθείτε ότι το πηλίκο της διαίρεσης ενός αριθμού με έναν άλλο είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με έναν διαιρέτη, δίνει το μέρισμα. Επομένως, αποδείξτε τον τύπο , όπου ένα =/= 0, είναι σαν να αποδεικνύεις τον τύπο

Αν ένα t > n , μετά τον αριθμό t - p θα είναι φυσικό? επομένως, από το Θεώρημα 1

Το θεώρημα 2 αποδεικνύεται.

Σημειώστε ότι ο τύπος

αποδείχθηκε από εμάς μόνο με την υπόθεση ότι t > n . Επομένως, από όσα έχουν αποδειχθεί, δεν είναι ακόμη δυνατό να εξαχθούν, για παράδειγμα, τα ακόλουθα συμπεράσματα:

Επιπλέον, δεν έχουμε ακόμη εξετάσει βαθμούς με αρνητικούς εκθέτες και δεν γνωρίζουμε ακόμη τι νόημα μπορεί να δοθεί στην έκφραση 3 - 2 .

Θεώρημα 3. Για να αυξήσετε μια δύναμη σε μια ισχύ, αρκεί να πολλαπλασιάσετε τους εκθέτες, αφήνοντας τη βάση του εκθέτη ίδια, αυτό είναι

Απόδειξη.Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του βαθμού και το Θεώρημα 1 αυτής της ενότητας, παίρνουμε:

Q.E.D.

Για παράδειγμα, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Προφορικά.) Προσδιορίστε Χ από τις εξισώσεις:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 Χ ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 Χ ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 Χ ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 Χ .

519. (Προσαρμοσμένο) Απλοποίηση:

520. (Προσαρμοσμένο) Απλοποίηση:

521. Παρουσιάστε αυτές τις εκφράσεις ως μοίρες με τις ίδιες βάσεις:

1) 32 και 64. 3) 85 και 163. 5) 4 100 και 32 50;

2) -1000 και 100; 4) -27 και -243; 6) 81 75 8 200 και 3 600 4 150.