Βρείτε την ίση τιμή της έκφρασης. Εύρεση της αξίας μιας έκφρασης, παραδείγματα, λύσεις. Εκφράσεις με δυνάμεις

Έτσι, εάν μια αριθμητική παράσταση αποτελείται από αριθμούς και σημεία +, −, · και:, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση και μετά πρόσθεση και αφαίρεση, που θα σας επιτρέψουν να βρείτε το επιθυμητό αξία της έκφρασης.

Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα για διευκρίνιση.

Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 14−2·15:6−3 .

Απόφαση.

Για να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης, πρέπει να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες που καθορίζονται σε αυτήν σύμφωνα με την αποδεκτή σειρά εκτέλεσης αυτών των ενεργειών. Αρχικά, με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, κάνουμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση, παίρνουμε 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Τώρα, με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, εκτελούμε τις υπόλοιπες ενέργειες: 14−5−3=9−3=6 . Βρήκαμε λοιπόν την τιμή της αρχικής έκφρασης, είναι ίση με 6 .

Απάντηση:

14−2 15:6−3=6 .

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Απόφαση.

Σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει πρώτα να εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό 2 (−7) και τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό στην παράσταση. Θυμόμαστε πώς , βρίσκουμε 2 (−7)=−14 . Και να εκτελέσετε ενέργειες στην έκφραση, πρώτα , έπειτα και εκτελέστε: .

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική έκφραση: .

Τι γίνεται όμως όταν υπάρχει μια αριθμητική έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας; Για να λάβετε την τιμή μιας τέτοιας ρίζας, πρέπει πρώτα να βρείτε την τιμή της έκφρασης ρίζας, ακολουθώντας την αποδεκτή σειρά πράξεων. Για παράδειγμα, .

Στις αριθμητικές εκφράσεις, οι ρίζες πρέπει να γίνονται αντιληπτές ως ορισμένοι αριθμοί και συνιστάται να αντικαταστήσετε αμέσως τις ρίζες με τις τιμές τους και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της προκύπτουσας έκφρασης χωρίς ρίζες, εκτελώντας ενέργειες στην αποδεκτή ακολουθία.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή της έκφρασης με ρίζες.

Απόφαση.

Αρχικά, βρείτε την τιμή της ρίζας . Για να γίνει αυτό, πρώτα, υπολογίζουμε την τιμή της ριζικής έκφρασης, έχουμε −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Και δεύτερον, βρίσκουμε την αξία της ρίζας.

Τώρα ας υπολογίσουμε την τιμή της δεύτερης ρίζας από την αρχική έκφραση: .

Τέλος, μπορούμε να βρούμε την τιμή της αρχικής έκφρασης αντικαθιστώντας τις ρίζες με τις τιμές τους: .

Απάντηση:

Πολύ συχνά, για να μπορέσετε να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης με ρίζες, πρέπει πρώτα να τη μετατρέψετε. Ας δείξουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Ποιο είναι το νόημα της έκφρασης .

Απόφαση.

Δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη ρίζα του τριών με την ακριβή τιμή της, κάτι που δεν μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω. Ωστόσο, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης εκτελώντας απλούς μετασχηματισμούς. Εφαρμόσιμος τύπος διαφοράς τετραγώνων: . Λαμβάνοντας υπόψη, παίρνουμε . Άρα η τιμή της αρχικής έκφρασης είναι 1 .

Απάντηση:

.

Με πτυχία

Εάν η βάση και ο εκθέτης είναι αριθμοί, τότε η τιμή τους υπολογίζεται με τον ορισμό του βαθμού, για παράδειγμα, 3 2 =3 3=9 ή 8 −1 =1/8 . Υπάρχουν επίσης καταχωρήσεις όταν η βάση ή/και ο εκθέτης είναι κάποιες εκφράσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να βρείτε την τιμή της παράστασης στη βάση, την τιμή της παράστασης στον εκθέτη και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ίδιου του βαθμού.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης με δυνάμεις της φόρμας 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Απόφαση.

Η αρχική παράσταση έχει δύο δυνάμεις 2 3 4−10 και (1−1/2) 3,5−2 1/4 . Οι τιμές τους πρέπει να υπολογιστούν πριν εκτελέσετε τα υπόλοιπα βήματα.

Ας ξεκινήσουμε με την ισχύ 2 3·4−10 . Ο δείκτης του περιέχει μια αριθμητική παράσταση, ας υπολογίσουμε την τιμή της: 3·4−10=12−10=2 . Τώρα μπορείτε να βρείτε την τιμή του ίδιου του βαθμού: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Υπάρχουν εκφράσεις στη βάση και τον εκθέτη (1−1/2) 3,5−2 1/4, υπολογίζουμε τις τιμές τους για να βρούμε την τιμή του βαθμού αργότερα. Εχουμε (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Τώρα επιστρέφουμε στην αρχική έκφραση, αντικαθιστούμε τις μοίρες σε αυτήν με τις τιμές τους και βρίσκουμε την τιμή της έκφρασης που χρειαζόμαστε: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Απάντηση:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν πιο συχνές περιπτώσεις που ενδείκνυται η διεξαγωγή προκαταρκτικής εξέτασης απλοποίηση της έκφρασης με δυνάμειςστη βάση.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Απόφαση.

Κρίνοντας από τους εκθέτες σε αυτήν την έκφραση, δεν μπορούν να ληφθούν οι ακριβείς τιμές των βαθμών. Ας προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε την αρχική έκφραση, ίσως βοηθήσει να βρεθεί η αξία της. Εχουμε

Απάντηση:

.

Οι δυνάμεις στις εκφράσεις συμβαδίζουν συχνά με τους λογάριθμους, αλλά θα μιλήσουμε για την εύρεση των τιμών των παραστάσεων με λογάριθμους σε έναν από τους.

Εύρεση της τιμής μιας παράστασης με κλάσματα

Οι αριθμητικές εκφράσεις στην εγγραφή τους μπορεί να περιέχουν κλάσματα. Όταν απαιτείται να βρεθεί η τιμή μιας τέτοιας έκφρασης, κλάσματα εκτός από συνηθισμένα κλάσματα, θα πρέπει να τα αντικαταστήσετε με τις τιμές τους πριν εκτελέσετε τα υπόλοιπα βήματα.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής των κλασμάτων (που διαφέρουν από τα συνηθισμένα κλάσματα) μπορεί να περιέχει και ορισμένους αριθμούς και εκφράσεις. Για να υπολογίσετε την τιμή ενός τέτοιου κλάσματος, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης στον αριθμητή, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης στον παρονομαστή και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ίδιου του κλάσματος. Αυτή η σειρά εξηγείται από το γεγονός ότι το κλάσμα a/b, όπου a και b είναι κάποιες εκφράσεις, είναι στην πραγματικότητα πηλίκο της μορφής (a):(b) , αφού .

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την τιμή μιας παράστασης με κλάσματα .

Απόφαση.

Στην αρχική αριθμητική έκφραση, τρία κλάσματα και . Για να βρούμε την τιμή της αρχικής έκφρασης, χρειαζόμαστε πρώτα αυτά τα κλάσματα και να τα αντικαταστήσουμε με τις τιμές τους. Ας το κάνουμε.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι αριθμοί. Για να βρούμε την τιμή ενός τέτοιου κλάσματος, αντικαθιστούμε την κλασματική γραμμή με ένα σύμβολο διαίρεσης και εκτελούμε αυτήν την ενέργεια: .

Ο αριθμητής του κλάσματος περιέχει την παράσταση 7−2 3 , η τιμή του είναι εύκολο να βρεθεί: 7−2 3=7−6=1 . Ετσι, . Μπορείτε να προχωρήσετε στην εύρεση της τιμής του τρίτου κλάσματος.

Το τρίτο κλάσμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή περιέχει αριθμητικές εκφράσεις, επομένως, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τις τιμές τους και αυτό θα σας επιτρέψει να βρείτε την τιμή του ίδιου του κλάσματος. Εχουμε .

Απομένει να αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση και να εκτελέσουμε τα υπόλοιπα βήματα: .

Απάντηση:

.

Συχνά, όταν βρίσκετε τις τιμές των παραστάσεων με κλάσματα, πρέπει να εκτελέσετε απλοποίηση κλασματικών εκφράσεων, με βάση την εκτέλεση ενεργειών με κλάσματα και στη μείωση των κλασμάτων.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Απόφαση.

Η ρίζα του πέντε δεν έχει εξαχθεί πλήρως, οπότε για να βρούμε την τιμή της αρχικής έκφρασης, ας την απλοποιήσουμε πρώτα. Για αυτό απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστήπρώτο κλάσμα: . Μετά από αυτό, η αρχική έκφραση θα πάρει τη μορφή . Αφού αφαιρέσουμε τα κλάσματα, οι ρίζες θα εξαφανιστούν, κάτι που θα μας επιτρέψει να βρούμε την τιμή της αρχικά δοθείσας έκφρασης:.

Απάντηση:

.

Με λογάριθμους

Εάν η αριθμητική παράσταση περιέχει και εάν είναι δυνατό να απαλλαγούμε από αυτά, τότε αυτό γίνεται πριν από την εκτέλεση άλλων ενεργειών. Για παράδειγμα, όταν βρίσκουμε την τιμή της έκφρασης log 2 4+2 3 , ο λογάριθμος του log 2 4 αντικαθίσταται από την τιμή του 2 , μετά την οποία οι υπόλοιπες πράξεις εκτελούνται με τη συνήθη σειρά, δηλαδή log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Όταν υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου ή/και στη βάση του, τότε βρίσκονται πρώτα οι τιμές τους και μετά υπολογίζεται η τιμή του λογαρίθμου. Για παράδειγμα, θεωρήστε μια έκφραση με λογάριθμο της φόρμας . Στη βάση του λογάριθμου και κάτω από το πρόσημο του υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις, βρίσκουμε τις τιμές τους: . Τώρα βρίσκουμε τον λογάριθμο, μετά τον οποίο ολοκληρώνουμε τους υπολογισμούς: .

Εάν οι λογάριθμοι δεν υπολογίζονται επακριβώς, τότε η προκαταρκτική απλοποίηση του χρησιμοποιώντας . Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να έχετε καλή γνώση του υλικού του άρθρου. μετασχηματισμός λογαριθμικών παραστάσεων.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας παράστασης με λογάριθμους .

Απόφαση.

Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας το log 2 (log 2 256) . Αφού 256=2 8 , τότε log 2 256=8 , επομένως log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Οι λογάριθμοι log 6 2 και log 6 3 μπορούν να ομαδοποιηθούν. Το άθροισμα των λογαρίθμων log 6 2+log 6 3 είναι ίσο με το λογάριθμο του γινομένου log 6 (2 3) , οπότε log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Τώρα ας ασχοληθούμε με τα κλάσματα. Αρχικά, θα ξαναγράψουμε τη βάση του λογάριθμου στον παρονομαστή ως ένα συνηθισμένο κλάσμα ως 1/5, μετά από το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων, οι οποίες θα μας επιτρέψουν να πάρουμε την τιμή του κλάσματος:
.

Απομένει μόνο να αντικαταστήσουμε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται στην αρχική έκφραση και να ολοκληρώσουμε την εύρεση της τιμής της:

Απάντηση:

Πώς να βρείτε την τιμή μιας τριγωνομετρικής παράστασης;

Όταν μια αριθμητική παράσταση περιέχει ή κ.λπ., τότε οι τιμές τους υπολογίζονται πριν από την εκτέλεση άλλων ενεργειών. Εάν υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις κάτω από το πρόσημο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τότε υπολογίζονται πρώτα οι τιμές τους, μετά τις οποίες βρίσκονται οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Απόφαση.

Περνώντας στο άρθρο, καταλαβαίνουμε και cosπ=−1 . Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην αρχική έκφραση, παίρνει τη μορφή . Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε εκπτώσεις και, στη συνέχεια, να ολοκληρώσετε τους υπολογισμούς: .

Απάντηση:

.

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο υπολογισμός των τιμών των εκφράσεων με ημίτονο, συνημίτονο κ.λπ. συχνά απαιτεί προηγούμενη μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών εκφράσεων.

Παράδειγμα.

Ποια είναι η τιμή της τριγωνομετρικής παράστασης .

Απόφαση.

Ας μετασχηματίσουμε την αρχική έκφραση χρησιμοποιώντας , σε αυτήν την περίπτωση χρειαζόμαστε τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας και τον τύπο συνημιτόνου αθροίσματος:

Οι μετασχηματισμοί που έγιναν μας βοήθησαν να βρούμε την αξία της έκφρασης.

Απάντηση:

.

Γενική περίπτωση

Στη γενική περίπτωση, μια αριθμητική έκφραση μπορεί να περιέχει ρίζες, μοίρες, κλάσματα και οποιεσδήποτε συναρτήσεις και αγκύλες. Η εύρεση των τιμών τέτοιων εκφράσεων συνίσταται στην εκτέλεση των ακόλουθων ενεργειών:

• πρώτες ρίζες, μοίρες, κλάσματα κ.λπ. αντικαθίστανται από τις αξίες τους,
• περαιτέρω ενέργειες σε παρένθεση,
• και με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, εκτελούνται οι υπόλοιπες πράξεις - πολλαπλασιασμός και διαίρεση, ακολουθούμενες από πρόσθεση και αφαίρεση.

Οι παραπάνω ενέργειες εκτελούνται μέχρι να ληφθεί το τελικό αποτέλεσμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Απόφαση.

Η μορφή αυτής της έκφρασης είναι μάλλον περίπλοκη. Σε αυτήν την έκφραση, βλέπουμε ένα κλάσμα, ρίζες, μοίρες, ημίτονο και λογάριθμο. Πώς να βρείτε το νόημά του;

Προχωρώντας κατά μήκος της εγγραφής από αριστερά προς τα δεξιά, συναντάμε ένα κλάσμα της φόρμας . Το γνωρίζουμε όταν έχουμε να κάνουμε με κλάσματα σύνθετου τύπου, πρέπει να υπολογίσουμε χωριστά την τιμή του αριθμητή, ξεχωριστά - τον παρονομαστή και, τέλος, να βρούμε την τιμή του κλάσματος.

Στον αριθμητή έχουμε μια ρίζα της φόρμας . Για να προσδιορίσετε την τιμή του, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την τιμή της ριζικής έκφρασης . Εδώ υπάρχει ένα ημίτονο. Μπορούμε να βρούμε την τιμή του μόνο αφού υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης . Αυτό μπορούμε να κάνουμε: . Τότε από πού και .

Με τον παρονομαστή όλα είναι απλά: .

Ετσι, .

Αφού αντικατασταθεί αυτό το αποτέλεσμα στην αρχική έκφραση, θα πάρει τη μορφή . Η έκφραση που προκύπτει περιέχει τον βαθμό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει πρώτα να βρείτε την τιμή του δείκτη, έχουμε .

Ετσι, .

Απάντηση:

.

Εάν δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός των ακριβών τιμών των ριζών, των βαθμών κ.λπ., τότε μπορείτε να προσπαθήσετε να απαλλαγείτε από αυτές χρησιμοποιώντας τυχόν μετασχηματισμούς και, στη συνέχεια, να επιστρέψετε στον υπολογισμό της τιμής σύμφωνα με το καθορισμένο σχήμα.

Ορθολογικοί τρόποι για τον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων

Ο υπολογισμός των τιμών των αριθμητικών παραστάσεων απαιτεί συνέπεια και ακρίβεια. Ναι, είναι απαραίτητο να τηρείτε τη σειρά των ενεργειών που καταγράφηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, αλλά αυτό δεν πρέπει να γίνεται τυφλά και μηχανικά. Με αυτό εννοούμε ότι είναι συχνά δυνατό να εξορθολογίσουμε τη διαδικασία εύρεσης της αξίας μιας έκφρασης. Για παράδειγμα, ορισμένες ιδιότητες ενεργειών με αριθμούς σάς επιτρέπουν να επιταχύνετε και να απλοποιήσετε σημαντικά την εύρεση της τιμής μιας έκφρασης.

Για παράδειγμα, γνωρίζουμε αυτή την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: εάν ένας από τους παράγοντες του γινόμενου είναι μηδέν, τότε η τιμή του γινομένου είναι μηδέν. Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι η τιμή της έκφρασης 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) είναι μηδέν. Εάν ακολουθούσαμε την τυπική σειρά πράξεων, τότε θα έπρεπε πρώτα να υπολογίσουμε τις τιμές των περίπλοκων εκφράσεων σε αγκύλες και αυτό θα έπαιρνε πολύ χρόνο και το αποτέλεσμα θα εξακολουθούσε να είναι μηδέν.

Είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα της αφαίρεσης ίσων αριθμών: εάν αφαιρέσετε έναν ίσο αριθμό από έναν αριθμό, τότε το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να εξεταστεί ευρύτερα: η διαφορά δύο όμοιων αριθμητικών παραστάσεων είναι ίση με μηδέν. Για παράδειγμα, χωρίς να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων σε αγκύλες, μπορείτε να βρείτε την τιμή της παράστασης (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ισούται με μηδέν, αφού η αρχική έκφραση είναι η διαφορά πανομοιότυπων παραστάσεων.

Οι ίδιοι μετασχηματισμοί μπορούν να συμβάλουν στον ορθολογικό υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων. Για παράδειγμα, μια ομαδοποίηση όρων και παραγόντων μπορεί να είναι χρήσιμη, αλλά όχι λιγότερο συχνά είναι η αφαίρεση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων. Έτσι, η τιμή της παράστασης 53 5+53 7−53 11+5 είναι πολύ εύκολο να βρεθεί αφού αφαιρέσουμε τον παράγοντα 53 εκτός παρενθέσεων: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Ο άμεσος υπολογισμός θα απαιτούσε πολύ περισσότερο χρόνο.

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, ας δώσουμε προσοχή στην ορθολογική προσέγγιση για τον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων με κλάσματα - μειώνονται οι ίδιοι παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος. Για παράδειγμα, αναγωγή των ίδιων παραστάσεων στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος σας επιτρέπει να βρείτε αμέσως την τιμή του, που είναι 1/2 .

Εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές

Η τιμή μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές βρίσκεται για συγκεκριμένες δεδομένες τιμές γραμμάτων και μεταβλητών. Αυτό είναι, μιλαμεσχετικά με την εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης για δεδομένες τιμές γραμμάτων ή σχετικά με την εύρεση της τιμής μιας έκφρασης με μεταβλητές για επιλεγμένες τιμές μεταβλητών.

κανόναςΗ εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης ή μιας έκφρασης με μεταβλητές για δεδομένες τιμές γραμμάτων ή επιλεγμένες τιμές μεταβλητών έχει ως εξής: στην αρχική έκφραση, πρέπει να αντικαταστήσετε τις δεδομένες τιμές γραμμάτων ή μεταβλητών και υπολογίστε την τιμή της αριθμητικής έκφρασης που προκύπτει, είναι η επιθυμητή τιμή.

Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 0,5 x−y για x=2,4 και y=5 .

Απόφαση.

Για να βρείτε την απαιτούμενη τιμή της παράστασης, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε αυτές τις μεταβλητές τιμές στην αρχική έκφραση και στη συνέχεια να εκτελέσετε τις ακόλουθες ενέργειες: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .

Απάντηση:

−3,8 .

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι μερικές φορές ο μετασχηματισμός κυριολεκτικών εκφράσεων και εκφράσεων με μεταβλητές σάς επιτρέπει να λαμβάνετε τις τιμές τους, ανεξάρτητα από τις τιμές των γραμμάτων και των μεταβλητών. Για παράδειγμα, η έκφραση x+3−x μπορεί να απλοποιηθεί για να γίνει 3. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τιμή της παράστασης x + 3 - x είναι ίση με 3 για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής x από το εύρος των αποδεκτών τιμών της (ODZ) . Ένα άλλο παράδειγμα: η τιμή της έκφρασης είναι 1 για όλα θετικές αξίες x , επομένως το εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x στην αρχική έκφραση είναι το σύνολο των θετικών αριθμών και η ισότητα λαμβάνει χώρα σε αυτό το εύρος.

Βιβλιογραφία.

• Μαθηματικά: σπουδές. για 5 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: εικ. ISBN 5-346-00699-0.
• Μαθηματικά. 6η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., Rev. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 7 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 17η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 240 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Αλγεβρα: 9η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2009. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 σελ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Αυτό το άρθρο συζητά πώς να βρείτε τις τιμές των μαθηματικών παραστάσεων. Ας ξεκινήσουμε με απλές αριθμητικές εκφράσεις και στη συνέχεια θα εξετάσουμε περιπτώσεις καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητά τους. Στο τέλος δίνουμε μια έκφραση που περιέχει χαρακτηρισμούς γραμμάτων, αγκύλες, ρίζες, ειδικά μαθηματικά σημάδια, μοίρες, συναρτήσεις κ.λπ. Η όλη θεωρία, σύμφωνα με την παράδοση, θα παρέχεται με άφθονα και λεπτομερή παραδείγματα.

Πώς να βρείτε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης;

Οι αριθμητικές εκφράσεις, μεταξύ άλλων, βοηθούν στην περιγραφή της κατάστασης του προβλήματος στη μαθηματική γλώσσα. Γενικά, οι μαθηματικές εκφράσεις μπορεί να είναι είτε πολύ απλές, αποτελούμενες από ένα ζεύγος αριθμών και αριθμητικών σημείων, είτε πολύ σύνθετες, που περιέχουν συναρτήσεις, μοίρες, ρίζες, αγκύλες κ.λπ. Ως μέρος της εργασίας, είναι συχνά απαραίτητο να βρεθεί η αξία μιας έκφρασης. Πώς να το κάνετε αυτό θα συζητηθεί παρακάτω.

Οι πιο απλές περιπτώσεις

Αυτές είναι περιπτώσεις όπου η έκφραση δεν περιέχει τίποτα άλλο εκτός από αριθμούς και αριθμητική. Για να βρείτε με επιτυχία τις τιμές τέτοιων παραστάσεων, θα χρειαστείτε γνώση της σειράς με την οποία εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις χωρίς αγκύλες, καθώς και τη δυνατότητα εκτέλεσης πράξεων με διαφορετικούς αριθμούς.

Αν η παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς και αριθμητικά πρόσημα " + " , " · " , " - " , " ÷ " , τότε οι πράξεις εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά με την εξής σειρά: πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση. Ας δώσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας είναι απαραίτητο να βρούμε τις τιμές της έκφρασης 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Ας κάνουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Παίρνουμε:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Τώρα αφαιρούμε και παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Παράδειγμα 2. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Αρχικά, πραγματοποιούμε τη μετατροπή των κλασμάτων, τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Τώρα ας κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση. Ας ομαδοποιήσουμε τα κλάσματα και ας τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Βρίσκεται η επιθυμητή τιμή.

Εκφράσεις με αγκύλες

Εάν μια παράσταση περιέχει αγκύλες, τότε καθορίζουν τη σειρά των ενεργειών σε αυτήν την έκφραση. Πρώτα, εκτελούνται οι ενέργειες σε αγκύλες και στη συνέχεια όλες οι υπόλοιπες. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 3. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Βρείτε την τιμή της παράστασης 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Η έκφραση περιέχει αγκύλες, οπότε πρώτα εκτελούμε την πράξη αφαίρεσης σε αγκύλες και μόνο μετά τον πολλαπλασιασμό.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Η τιμή των εκφράσεων που περιέχουν αγκύλες σε αγκύλες βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή.

Παράδειγμα 4. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε την τιμή 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Θα εκτελέσουμε ενέργειες ξεκινώντας από τις πιο εσωτερικές αγκύλες, προχωρώντας στις εξωτερικές.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Κατά την εύρεση των τιμών των εκφράσεων με αγκύλες, το κύριο πράγμα είναι να ακολουθήσετε την ακολουθία των ενεργειών.

Εκφράσεις με ρίζες

Οι μαθηματικές εκφράσεις των οποίων τις τιμές πρέπει να βρούμε μπορεί να περιέχουν ρίζες. Επιπλέον, η ίδια η έκφραση μπορεί να βρίσκεται κάτω από το σημάδι της ρίζας. Πώς να είσαι σε αυτή την περίπτωση; Πρώτα πρέπει να βρείτε την τιμή της έκφρασης κάτω από τη ρίζα και, στη συνέχεια, να εξαγάγετε τη ρίζα από τον αριθμό που προκύπτει. Εάν είναι δυνατόν, είναι καλύτερο να απαλλαγείτε από τις ρίζες στις αριθμητικές εκφράσεις, αντικαθιστώντας το από με αριθμητικές τιμές.

Παράδειγμα 5. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης με ρίζες - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Αρχικά, υπολογίζουμε τις ριζικές εκφράσεις.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή ολόκληρης της παράστασης.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Συχνά, για να βρεθεί η αξία μιας έκφρασης με ρίζες, είναι συχνά απαραίτητο να μεταμορφωθεί πρώτα η αρχική έκφραση. Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα άλλο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Τι είναι 3 + 1 3 - 1 - 1

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν έχουμε τη δυνατότητα να αντικαταστήσουμε τη ρίζα με μια ακριβή τιμή, γεγονός που περιπλέκει τη διαδικασία μέτρησης. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να εφαρμόσετε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Ετσι:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Εκφράσεις με δυνάμεις

Εάν η έκφραση περιέχει δυνάμεις, οι τιμές τους πρέπει να υπολογιστούν πριν προχωρήσετε σε όλες τις άλλες ενέργειες. Συμβαίνει ο ίδιος ο εκθέτης ή η βάση του βαθμού να είναι εκφράσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, υπολογίζεται πρώτα η τιμή αυτών των παραστάσεων και μετά η τιμή του βαθμού.

Παράδειγμα 7. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Βρείτε την τιμή της παράστασης 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Αρχίζουμε να υπολογίζουμε με τη σειρά.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Απομένει μόνο να εκτελέσετε τη λειτουργία προσθήκης και να μάθετε την αξία της έκφρασης:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Συχνά συνιστάται επίσης η απλοποίηση της έκφρασης χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού.

Παράδειγμα 8. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε την τιμή της παρακάτω παράστασης: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Οι εκθέτες είναι και πάλι τέτοιοι που δεν μπορούν να ληφθούν οι ακριβείς αριθμητικές τους τιμές. Απλοποιήστε την αρχική έκφραση για να βρείτε την τιμή της.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Εκφράσεις με κλάσματα

Εάν μια παράσταση περιέχει κλάσματα, τότε κατά τον υπολογισμό μιας τέτοιας έκφρασης, όλα τα κλάσματα σε αυτήν πρέπει να αντιπροσωπεύονται ως συνηθισμένα κλάσματα και οι τιμές τους να υπολογίζονται.

Εάν υπάρχουν εκφράσεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος, τότε υπολογίζονται πρώτα οι τιμές αυτών των παραστάσεων και καταγράφεται η τελική τιμή του ίδιου του κλάσματος. Οι αριθμητικές πράξεις εκτελούνται με την τυπική σειρά. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα 9. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας βρούμε την τιμή της παράστασης που περιέχει κλάσματα: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν τρία κλάσματα στην αρχική έκφραση. Ας υπολογίσουμε πρώτα τις τιμές τους.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας και ας υπολογίσουμε την τιμή της:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Συχνά, όταν βρίσκουμε τις τιμές των εκφράσεων, είναι βολικό να μειώνουμε τα κλάσματα. Υπάρχει ένας άρρητος κανόνας: πριν βρείτε την τιμή του, είναι καλύτερο να απλοποιήσετε οποιαδήποτε έκφραση στο μέγιστο, μειώνοντας όλους τους υπολογισμούς στις απλούστερες περιπτώσεις.

Παράδειγμα 10. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε την παράσταση 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Δεν μπορούμε να εξαγάγουμε εντελώς τη ρίζα του πέντε, αλλά μπορούμε να απλοποιήσουμε την αρχική έκφραση μέσω μετασχηματισμών.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Η αρχική έκφραση έχει τη μορφή:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Ας υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Εκφράσεις με λογάριθμους

Όταν υπάρχουν λογάριθμοι σε μια παράσταση, η τιμή τους, αν είναι δυνατόν, υπολογίζεται από την αρχή. Για παράδειγμα, στην έκφραση log 2 4 + 2 4, μπορείτε να γράψετε αμέσως την τιμή αυτού του λογαρίθμου αντί για το αρχείο καταγραφής 2 4 και στη συνέχεια να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες. Παίρνουμε: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Αριθμητικές εκφράσεις μπορούν επίσης να βρεθούν κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και στη βάση του. Σε αυτή την περίπτωση, το πρώτο βήμα είναι να βρείτε τις αξίες τους. Ας πάρουμε την έκφραση log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Εχουμε:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Εάν είναι αδύνατο να υπολογιστεί η ακριβής τιμή του λογάριθμου, η απλοποίηση της έκφρασης βοηθά στην εύρεση της τιμής του.

Παράδειγμα 11. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Βρείτε την τιμή της παράστασης log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Σύμφωνα με την ιδιότητα των λογαρίθμων:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Εφαρμόζοντας πάλι τις ιδιότητες των λογαρίθμων, για το τελευταίο κλάσμα της παράστασης παίρνουμε:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε στον υπολογισμό της τιμής της αρχικής έκφρασης.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Εκφράσεις με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Συμβαίνει στην έκφραση να υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης, καθώς και συναρτήσεις που είναι αντίστροφες προς αυτές. Από την τιμή υπολογίζονται πριν εκτελεστούν όλες οι άλλες αριθμητικές πράξεις. Διαφορετικά, η έκφραση απλοποιείται.

Παράδειγμα 12. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Να βρείτε την τιμή της παράστασης: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Αρχικά, υπολογίζουμε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στην έκφραση.

αμαρτία - 5 π 2 \u003d - 1

Αντικαταστήστε τις τιμές στην παράσταση και υπολογίστε την τιμή της:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Βρίσκεται η τιμή της έκφρασης.

Συχνά, για να βρεθεί η τιμή μιας παράστασης με τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πρέπει πρώτα να μετατραπεί. Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 13. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή της έκφρασης cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Για τον μετασχηματισμό θα χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικούς τύπουςσυνημίτονο της διπλής γωνίας και συνημίτονο του αθροίσματος.

cos 2 π 8 - αμαρτία 2 π 8 συν 5 π 36 συν π 9 - αμαρτία 5 π 36 αμαρτία π 9 - 1 = συν 2 π 8 συν 5 π 36 + π 9 - 1 = συν π 4 συν π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Γενική περίπτωση αριθμητικής έκφρασης

Γενικά τριγωνομετρική έκφρασημπορεί να περιέχει όλα τα παραπάνω στοιχεία: αγκύλες, μοίρες, ρίζες, λογάριθμους, συναρτήσεις. Ας διατυπώσουμε γενικός κανόναςβρίσκοντας τις τιμές τέτοιων εκφράσεων.

Πώς να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

1. Ρίζες, δυνάμεις, λογάριθμοι κ.λπ. αντικαθίστανται από τις αξίες τους.
2. Εκτελούνται οι ενέργειες σε παρένθεση.
3. Τα υπόλοιπα βήματα εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Πρώτα - πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά - πρόσθεση και αφαίρεση.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 14. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε ποια είναι η τιμή της παράστασης - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Η έκφραση είναι αρκετά περίπλοκη και δυσκίνητη. Δεν είναι τυχαίο που επιλέξαμε ακριβώς ένα τέτοιο παράδειγμα, προσπαθώντας να χωρέσουμε σε αυτό όλες τις περιπτώσεις που περιγράφονται παραπάνω. Πώς να βρείτε την αξία μιας τέτοιας έκφρασης;

Είναι γνωστό ότι κατά τον υπολογισμό της τιμής μιας σύνθετης κλασματικής μορφής, πρώτα οι τιμές του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος βρίσκονται χωριστά, αντίστοιχα. Θα μετασχηματίσουμε και θα απλοποιήσουμε διαδοχικά αυτήν την έκφραση.

Πρώτα απ 'όλα, υπολογίζουμε την τιμή της ριζικής έκφρασης 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε την τιμή του ημιτόνου και την έκφραση που είναι το όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Τώρα μπορείτε να μάθετε την αξία του ημιτονοειδούς:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = αμαρτία π 6 + 2 π = αμαρτία π 6 = 1 2 .

Υπολογίζουμε την τιμή της ριζικής έκφρασης:

2 αμαρτία π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 αμαρτία π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Με τον παρονομαστή ενός κλάσματος, όλα είναι πιο εύκολα:

Τώρα μπορούμε να γράψουμε την τιμή ολόκληρου του κλάσματος:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Έχοντας αυτό υπόψη, γράφουμε ολόκληρη την έκφραση:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Τελικό αποτέλεσμα:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορέσαμε να υπολογίσουμε ακριβείς τιμές για ρίζες, λογάριθμους, ημίτονο και ούτω καθεξής. Εάν αυτό δεν είναι δυνατό, μπορείτε να προσπαθήσετε να απαλλαγείτε από αυτά με μαθηματικούς μετασχηματισμούς.

Υπολογισμός εκφράσεων με ορθολογικούς τρόπους

Οι αριθμητικές τιμές πρέπει να υπολογίζονται με συνέπεια και ακρίβεια. Αυτή η διαδικασία μπορεί να εξορθολογιστεί και να επιταχυνθεί χρησιμοποιώντας διάφορες ιδιότητες πράξεων με αριθμούς. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Δεδομένης αυτής της ιδιότητας, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι η έκφραση 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 είναι ίση με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να εκτελέσετε τα βήματα με τη σειρά που περιγράφεται στο παραπάνω άρθρο.

Είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα της αφαίρεσης ίσων αριθμών. Χωρίς να εκτελέσετε καμία ενέργεια, μπορείτε να διατάξετε ότι η τιμή της παράστασης 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 είναι επίσης ίση με μηδέν.

Μια άλλη τεχνική που σας επιτρέπει να επιταχύνετε τη διαδικασία είναι η χρήση πανομοιότυπων μετασχηματισμών, όπως η ομαδοποίηση όρων και παραγόντων και η αφαίρεση του κοινού παράγοντα από αγκύλες. Μια ορθολογική προσέγγιση για τον υπολογισμό παραστάσεων με κλάσματα είναι η μείωση των ίδιων παραστάσεων στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε την έκφραση 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Χωρίς να κάνουμε ενέργειες σε αγκύλες, αλλά μειώνοντας το κλάσμα, μπορούμε να πούμε ότι η τιμή της παράστασης είναι 1 3 .

Εύρεση των τιμών των παραστάσεων με μεταβλητές

Η τιμή μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές βρίσκεται για συγκεκριμένες δεδομένες τιμές γραμμάτων και μεταβλητών.

Εύρεση των τιμών των παραστάσεων με μεταβλητές

Για να βρείτε την τιμή μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές, πρέπει να αντικαταστήσετε τις δεδομένες τιμές των γραμμάτων και των μεταβλητών στην αρχική έκφραση και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής έκφρασης που προκύπτει.

Παράδειγμα 15. Η τιμή μιας παράστασης με μεταβλητές

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης 0 , 5 x - y δεδομένου x = 2 , 4 και y = 5 .

Αντικαθιστούμε τις τιμές των μεταβλητών στην έκφραση και υπολογίζουμε:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

Μερικές φορές είναι δυνατό να μετασχηματιστεί μια έκφραση με τέτοιο τρόπο ώστε να ληφθεί η τιμή της ανεξάρτητα από τις τιμές των γραμμάτων και των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτήν. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να απαλλαγούμε από γράμματα και μεταβλητές στην έκφραση, αν είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, ιδιότητες αριθμητικών πράξεων και όλες τις πιθανές άλλες μεθόδους.

Για παράδειγμα, η παράσταση x + 3 - x έχει προφανώς την τιμή 3 και δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την τιμή του x για να υπολογίσουμε αυτήν την τιμή. Η τιμή αυτής της έκφρασης είναι ίση με τρεις για όλες τις τιμές της μεταβλητής x από το εύρος των έγκυρων τιμών της.

Ένα ακόμη παράδειγμα. Η τιμή της παράστασης x x είναι ίση με ένα για όλα τα θετικά x.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Στο μάθημα της άλγεβρας της 7ης τάξης, ασχοληθήκαμε με τον μετασχηματισμό ακέραιων παραστάσεων, δηλαδή εκφράσεων που αποτελούνται από αριθμούς και μεταβλητές χρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού, καθώς και διαίρεση με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν. Έτσι, οι εκφράσεις είναι ακέραιοι

Αντίθετα, εκφράσεις

εκτός από τη δράση της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού, περιέχουν διαίρεση με μια παράσταση με μεταβλητές. Τέτοιες εκφράσεις ονομάζονται κλασματικές εκφράσεις.

Οι ακέραιες και οι κλασματικές εκφράσεις ονομάζονται ορθολογικές εκφράσεις.

Μια ακέραια έκφραση έχει νόημα για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτήν, αφού για να βρείτε την τιμή μιας ολόκληρης έκφρασης, πρέπει να εκτελέσετε ενέργειες που είναι πάντα δυνατές.

Μια κλασματική έκφραση για ορισμένες τιμές μεταβλητών μπορεί να μην έχει νόημα. Για παράδειγμα, η έκφραση - δεν έχει νόημα για το a = 0. Για όλες τις άλλες τιμές του a, αυτή η έκφραση έχει νόημα. Η έκφραση έχει νόημα για αυτές τις τιμές των x και y όταν x ≠ y.

Οι μεταβλητές τιμές για τις οποίες η έκφραση έχει νόημα ονομάζονται έγκυρες τιμές μεταβλητής.

Μια έκφραση της μορφής ονομάζεται, όπως γνωρίζετε, κλάσμα.

Ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα λέγεται ορθολογικό κλάσμα.

Τα κλάσματα είναι παραδείγματα ορθολογικών κλασμάτων.

Σε ένα ορθολογικό κλάσμα, οι τιμές των μεταβλητών είναι αποδεκτές για τις οποίες ο παρονομαστής του κλάσματος δεν εξαφανίζεται.

Παράδειγμα 1Ας βρούμε τις έγκυρες τιμές της μεταβλητής στο κλάσμα

ΑπόφασηΓια να βρείτε σε ποιες τιμές του a εξαφανίζεται ο παρονομαστής του κλάσματος, πρέπει να λύσετε την εξίσωση a (a - 9) \u003d 0. Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: 0 και 9. Επομένως, όλοι οι αριθμοί εκτός από το 0 και το 9 είναι έγκυρες τιμές για τη μεταβλητή a.

Παράδειγμα 2Σε ποια τιμή του x είναι η τιμή του κλάσματος ίσο με μηδέν;

ΑπόφασηΈνα κλάσμα είναι μηδέν αν και μόνο αν το a είναι 0 και το b ≠ 0.