Как да умножим две числа с различни степени. Формули на степени и корени. Продължете да решавате типични проблеми

Очевидно числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един по един със знаците им.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефициенти същите степени на едни и същи променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Също така е очевидно, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им към техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са нито два пъти квадрат на a, а два пъти куб на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданестепени се извършва по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахенда трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Степенно умножение

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степени с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито показатели са - отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равно на суматаили разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепен.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Разделение на властите

Числата на степента могат да бъдат разделени като други числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им във формата на дроб.

Така че a 3 b 2 делено на b 2 е a 3 .

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac(a^5)(a^3)$. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели на делимите числа.

При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото е валидно и за числа с отрицателенградусни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необходимо е много добре да се овладеят умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac(5a^4)(3a^2)$ Отговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете експонентите в $\frac(6x^6)(3x^5)$. Отговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

9. Разделете (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Ако трябва да повдигнете конкретно число на степен, можете да използвате . Сега ще разгледаме по-отблизо свойства на степените.

Експоненциални числаотварят големи възможности, те ни позволяват да преобразуваме умножението в събиране, а събирането е много по-лесно от умножението.

Например, трябва да умножим 16 по 64. Продуктът от умножението на тези две числа е 1024. Но 16 е 4x4, а 64 е 4x4x4. И така, 16 по 64=4x4x4x4x4, което също е 1024.

Числото 16 може да се представи и като 2x2x2x2, а 64 като 2x2x2x2x2x2 и ако умножим, отново получаваме 1024.

Сега нека използваме правилото. 16=4 2, или 2 4, 64=4 3, или 2 6, докато 1024=6 4 =4 5, или 2 10.

Следователно нашата задача може да се напише по друг начин: 4 2 x4 3 =4 5 или 2 4 x2 6 =2 10 и всеки път получаваме 1024.

Можем да решим редица подобни примери и да видим, че умножението на числа със степени се свежда до добавяне на експоненти, или степенна степен, разбира се, при условие че основите на факторите са равни.

Така можем, без да умножаваме, веднага да кажем, че 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Това правило е вярно и при деление на числа със степени, но в този случай, напр показателят на делителя се изважда от показателя на дивидента. Така 2 5:2 3 =2 2 , което в обикновените числа е равно на 32:8=4, тоест 2 2 . Нека обобщим:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, където m и n са цели числа.

На пръв поглед може да изглежда така умножение и деление на числа със степенине е много удобно, защото първо трябва да представите числото в експоненциална форма. Не е трудно да се представят числата 8 и 16 в този вид, тоест 2 3 и 2 4, но как да стане това с числата 7 и 17? Или какво да правим в случаите, когато числото може да бъде представено в експоненциална форма, но основите на експоненциалните изрази на числата са много различни. Например 8×9 е 2 3 x 3 2 , в който случай не можем да сумираме показателите. Нито 2 5, нито 3 5 е отговорът, нито е отговорът между двете.

Тогава струва ли си изобщо да се занимавате с този метод? Определено си заслужава. Той предоставя огромни предимства, особено за сложни и отнемащи време изчисления.

В предишната статия говорихме какво представляват мономите. В този материал ще анализираме как да решаваме примери и задачи, в които се използват. Тук ще разгледаме такива операции като изваждане, събиране, умножение, деление на мономи и повишаването им на степен с естествен показател. Ще покажем как се определят такива операции, ще посочим основните правила за тяхното изпълнение и какъв трябва да бъде резултатът. Всички теоретични положения, както обикновено, ще бъдат илюстрирани с примери за проблеми с описания на решения.

Най-удобно е да работите със стандартната нотация на мономи, така че представяме всички изрази, които ще бъдат използвани в статията, в стандартна форма. Ако първоначално са зададени по различен начин, препоръчително е първо да ги доведете до общоприета форма.

Правила за събиране и изваждане на мономи

Най-простите операции, които могат да се извършват с мономи, са изваждане и събиране. В общия случай резултатът от тези действия ще бъде полином (моном е възможен в някои специални случаи).

Когато събираме или изваждаме мономи, първо записваме съответния сбор и разлика в общоприетия вид, след което опростяваме получения израз. Ако има подобни термини, те трябва да бъдат дадени, скобите трябва да бъдат отворени. Нека обясним с пример.

Пример 1

Състояние:съберете мономите − 3 · x и 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Решение

Нека запишем сумата на оригиналните изрази. Добавете скоби и поставете знак плюс между тях. Ще получим следното:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Когато разгънем скобите, получаваме - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Това е полином, записан в стандартна форма, който ще бъде резултат от събирането на тези мономи.

Отговор:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Ако имаме дадени три, четири или повече термина, извършваме това действие по същия начин.

Пример 2

Състояние:плъзнете навътре правилен редопределени операции с полиноми

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Решение

Нека започнем с отваряне на скоби.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Виждаме, че полученият израз може да бъде опростен чрез редуциране на подобни членове:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Имаме полином, който ще бъде резултат от това действие.

Отговор: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

По принцип можем да извършим събиране и изваждане на два монома, с някои ограничения, така че да получим моном. За да направите това, е необходимо да се спазват някои условия относно членовете и извадените мономи. Ще опишем как става това в отделна статия.

Правила за умножение на мономи

Действието умножение не налага никакви ограничения върху умножителите. Мономите, които трябва да се умножат, не трябва да отговарят на никакви допълнителни условия, за да бъде резултатът моном.

За да извършите умножение на мономи, трябва да изпълните следните стъпки:

1. Запишете парчето правилно.
2. Разгънете скобите в получения израз.
3. Групирайте, ако е възможно, фактори с еднакви променливи и числови фактори поотделно.
4. Извършете необходимите действия с числа и приложете свойството за умножение на степени с еднакви основи към останалите множители.

Нека да видим как това се прави на практика.

Пример 3

Състояние:умножете мономите 2 · x 4 · y · z и - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Решение

Да започнем с композицията на произведението.

Отваряме скобите в него и получаваме следното:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Всичко, което трябва да направим, е да умножим числата в първите скоби и да приложим свойството степен към вторите. В резултат на това получаваме следното:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Отговор: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Ако имаме три или повече полинома в условието, ние ги умножаваме, като използваме абсолютно същия алгоритъм. Ще разгледаме въпроса за умножението на мономи по-подробно в отделен материал.

Правила за повдигане на моном на степен

Знаем, че произведението на определен брой еднакви множители се нарича степен с естествен показател. Техният брой се обозначава с цифрата в индикатора. Съгласно тази дефиниция, повишаването на моном на степен е еквивалентно на умножаването на посочения брой еднакви мономи. Да видим как се прави.

Пример 4

Състояние:повдигнете монома − 2 · a · b 4 на степен 3 .

Решение

Можем да заменим степенуването с умножение на 3 монома − 2 · a · b 4 . Нека запишем и получим желания отговор:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

Отговор:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Но какво да кажем, когато степента има голям показател? Записването на голям брой умножители е неудобно. Тогава, за да решим такава задача, трябва да приложим свойствата на степента, а именно свойството на степента на произведението и свойството на степента в степента.

Нека решим задачата, която цитирахме по-горе, по посочения начин.

Пример 5

Състояние:повдигнете − 2 · a · b 4 на трета степен.

Решение

Познавайки свойството на степента в степента, можем да продължим към израз на следната форма:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

След това повдигаме на степен - 2 и прилагаме свойството на степента:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Отговор:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Отделна статия посветихме и на повдигането на моном на степен.

Правила за деление на мономи

Последното действие с мономи, което ще анализираме в този материал, е разделянето на моном на моном. В резултат на това трябва да получим рационална (алгебрична) дроб (в някои случаи е възможно да се получи моном). Нека изясним веднага, че делението на нула моном не е дефинирано, тъй като делението на 0 не е дефинирано.

За да извършим деление, трябва да запишем посочените мономи под формата на дроб и да я съкратим, ако е възможно.

Пример 6

Състояние:разделете монома − 9 x 4 y 3 z 7 на − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Решение

Нека започнем, като запишем мономите под формата на дроб.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Тази фракция може да бъде намалена. След като направим това, получаваме:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Отговор:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Условията, при които в резултат на разделяне на мономи, получаваме мономи, са дадени в отделна статия.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

По-рано вече говорихме какво е степен на число. Тя има определени свойства, полезни при решаването на проблеми: ще анализираме тях и всички възможни показатели в тази статия. Ще демонстрираме и с примери как те могат да бъдат доказани и правилно приложени на практика.

Нека си припомним концепцията за степен с естествен показател, която вече формулирахме по-рано: това е произведението на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на a. Също така трябва да запомним как правилно да умножаваме реални числа. Всичко това ще ни помогне да формулираме следните свойства за степен с естествен показател:

Определение 1

1. Основното свойство на степента: a m a n = a m + n

Може да се обобщи до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Свойството частно за степени, които имат една и съща основа: a m: a n = a m − n

3. Свойство степен продукт: (a b) n = a n b n

Равенството може да се разшири до: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Свойство на естествена степен: (a: b) n = a n: b n

5. Повдигаме степента на степен: (a m) n = a m n,

Може да се обобщи до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Сравнете степента с нула:

• ако a > 0, тогава за всяко естествено n, a n ще бъде по-голямо от нула;
• с a равно на 0, a n също ще бъде равно на нула;
• за< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• за< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Равенство a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенството a m > a n ще бъде вярно, при условие че m и n са естествени числа, m е по-голямо от n и a е по-голямо от нула и не по-малко от единица.

В резултат на това получихме няколко равенства; ако отговаряте на всички условия, посочени по-горе, тогава те ще бъдат идентични. За всяко от равенствата, например за основното свойство, можете да размените дясната и лявата част: a m · a n = a m + n - същото като a m + n = a m · a n . В тази форма често се използва при опростяване на изрази.

1. Нека започнем с основното свойство на степента: равенството a m · a n = a m + n ще бъде вярно за всяко естествено m и n и реално a . Как да докажем това твърдение?

Основната дефиниция на степени с естествен показател ще ни позволи да преобразуваме равенството в произведение на множителите. Ще получим запис като този:

Това може да бъде съкратено до (припомнете си основните свойства на умножението). В резултат на това получихме степента на числото a с естествен показател m + n. Така a m + n , което означава, че основното свойство на степента е доказано.

Да анализираме конкретен примерпотвърждавайки това.

Пример 1

Така че имаме две степени с основа 2. Натуралните им показатели са съответно 2 и 3. Получихме равенството: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Нека изчислим стойностите, за да проверим правилността на това равенство.

Ние ще извършим необходимото математически операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

В резултат на това получихме: 2 2 2 3 = 2 5 . Имотът е доказан.

Поради свойствата на умножението, можем да обобщим свойството, като го формулираме като три и Повече ▼степени, чиито степени са естествени числа и чиито основи са еднакви. Ако означим броя на естествените числа n 1, n 2 и т.н. с буквата k, получаваме правилното равенство:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Пример 2

2. След това трябва да докажем следното свойство, което се нарича частно свойство и е присъщо на степени с еднакви основи: това е равенството a m: a n = a m − n, което е валидно за всякакви естествени m и n (и m е по-голямо от n)) и всяко ненулево реално a .

Като начало, нека обясним какво точно е значението на условията, които се споменават във формулировката. Ако вземем равно на нула, тогава в крайна сметка ще получим деление на нула, което не може да се направи (в края на краищата 0 n = 0). Условието, че числото m трябва да е по-голямо от n, е необходимо, за да можем да останем в рамките на естествените показатели: като извадим n от m, получаваме естествено число. Ако условието не е изпълнено, ще получим отрицателно число или нула и отново ще надхвърлим изучаването на степени с естествени показатели.

Сега можем да преминем към доказателството. От изученото по-рано си припомняме основните свойства на дробите и формулираме равенството по следния начин:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

От него можем да изведем: a m − n a n = a m

Припомнете си връзката между деление и умножение. От това следва, че a m − n е частно на степени a m и a n . Това е доказателството за свойство от втора степен.

Пример 3

Заменете конкретни числа за яснота в индикаторите и означете основата на степента π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. След това ще анализираме свойството на степента на произведението: (a · b) n = a n · b n за всяко реално a и b и естествено n.

Съгласно основната дефиниция на степен с естествен показател, можем да преформулираме равенството, както следва:

Спомняйки си свойствата на умножението, пишем: . Означава същото като a n · b n.

Пример 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Ако имаме три или повече фактора, тогава това свойство се отнася и за този случай. Въвеждаме обозначението k за броя на факторите и записваме:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Пример 5

С конкретни числа получаваме следното правилно равенство: (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. След това ще се опитаме да докажем свойството частно: (a: b) n = a n: b n за всяко реално a и b, ако b не е равно на 0 и n е естествено число.

За доказателство можем да използваме свойството на предишната степен. Ако (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n и (a: b) n b n = a n, тогава следва, че (a: b) n е частно от деленето на a n на b n.

Пример 6

Нека преброим примера: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Пример 7

Нека започнем веднага с пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

А сега формулираме верига от равенства, които ще ни докажат правилността на равенството:

Ако имаме степени на степени в примера, тогава това свойство е вярно и за тях. Ако имаме естествени числа p, q, r, s, тогава ще е вярно:

a p q y s = a p q y s

Пример 8

Нека добавим подробности: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Друго свойство на степените с естествен показател, което трябва да докажем, е свойството за сравнение.

Първо, нека сравним експонентата с нула. Защо a n > 0, при условие че a е по-голямо от 0?

Ако умножим едно положително число по друго, също ще получим положително число. Знаейки този факт, можем да кажем, че това не зависи от броя на факторите - резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа е положително число. И какво е степен, ако не резултат от умножаване на числа? Тогава за всяка степен a n с положителна основа и естествен показател това ще е вярно.

Пример 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0

Също така е очевидно, че степен с основа равна на нула сама по себе си е нула. На каквато и степен да повдигнем нула, тя ще остане нула.

Пример 10

0 3 = 0 и 0 762 = 0

Ако основата на степента е отрицателно число, тогава доказателството е малко по-сложно, тъй като концепцията за четен / нечетен показател става важна. Нека започнем със случая, когато показателят е четен и го означим с 2 · m, където m е естествено число.

Нека си спомним как правилно да умножаваме отрицателни числа: продуктът a · a е равен на произведението на модулите и следователно ще бъде положително число. Тогава и степента a 2 · m също са положителни.

Пример 11

Например (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0

Ами ако показателят с отрицателна основа е нечетно число? Нека го означим с 2 · m − 1 .

Тогава

Всички произведения a · a , според свойствата на умножението, са положителни, както и произведението им. Но ако го умножим по единственото останало число a, тогава крайният резултат ще бъде отрицателен.

Тогава получаваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Как да го докажа?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Пример 12

Например верни са неравенствата: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Остава да докажем последното свойство: ако имаме две степени, чиито основи са еднакви и положителни, а експонентите са естествени числа, то тази от тях е по-голяма, чийто показател е по-малък; и от две степени с естествени показатели и еднакви основи, по-големи от една, степента е по-голяма, показателят на която е по-голям.

Нека докажем тези твърдения.

Първо трябва да се уверим, че m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Изваждаме a n от скоби, след което нашата разлика ще приеме формата a n · (am − n − 1) . Резултатът му ще бъде отрицателен (тъй като резултатът от умножаването на положително число по отрицателно е отрицателен). Действително, според началните условия m − n > 0, тогава a m − n − 1 е отрицателно, а първият фактор е положителен, като всяка естествена степен с положителна основа.

Оказа се, че a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Остава да докажем втората част от формулираното по-горе твърдение: a m > a е вярно за m > n и a > 1 . Посочваме разликата и изваждаме n от скобите: (a m - n - 1) Степента на n с по-голямо от едно ще даде положителен резултат; и самата разлика също ще се окаже положителна поради началните условия, а при a > 1 степента на a m − n е по-голяма от единица. Оказва се, че a m − a n > 0 и a m > a n , което трябваше да докажем.

Пример 13

Пример с конкретни числа: 3 7 > 3 2

Основни свойства на степените с цели показатели

За степени с положителни цели числа свойствата ще бъдат подобни, тъй като положителните числа са естествени, което означава, че всички равенства, доказани по-горе, са валидни и за тях. Те са подходящи и за случаи, когато експонентите са отрицателни или равни на нула (при условие, че основата на самата степен е различна от нула).

По този начин свойствата на степените са едни и същи за всякакви основи a и b (при условие, че тези числа са реални и не са равни на 0) и всички показатели m и n (при условие, че са цели числа). Записваме ги накратко под формата на формули:

Определение 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n с цяло положително число n, положително a и b, a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ако основата на степента е равна на нула, тогава записите a m и a n имат смисъл само в случай на естествени и положителни m и n. В резултат откриваме, че формулировките по-горе са подходящи и за случаи със степен с нулева основа, ако всички други условия са изпълнени.

Доказателствата за тези свойства в този случай са прости. Ще трябва да си припомним какво е степен с естествен и цяло число, както и свойствата на действията с реални числа.

Нека анализираме свойството на степента в степента и докажем, че то е вярно както за положителни цели, така и за неположителни числа. Започваме с доказване на равенствата (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) и (a − p) − q = a (− p) (−q)

Условия: p = 0 или естествено число; q - подобно.

Ако стойностите на p и q са по-големи от 0, тогава получаваме (a p) q = a p · q. Вече сме доказвали подобно равенство преди. Ако p = 0 тогава:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Следователно (a 0) q = a 0 q

За q = 0 всичко е абсолютно същото:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Резултат: (a p) 0 = a p 0 .

Ако и двата индикатора са нула, тогава (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 0 = a 0 = 1, тогава (a 0) 0 = a 0 0 .

Припомнете си свойството на частното в доказаната по-горе степен и напишете:

1 a p q = 1 q a p q

Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q , тогава 1 q a p q = 1 a p q

Можем да преобразуваме тази нотация по силата на основните правила за умножение в a (− p) · q .

Също така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Останалите свойства на степента могат да бъдат доказани по подобен начин чрез трансформиране на съществуващите неравенства. Няма да се спираме на това подробно, ще посочим само трудните точки.

Доказателство за предпоследното свойство: припомнете си, че a − n > b − n е вярно за всякакви отрицателни цели числа на n и всякакви положителни a и b, при условие че a е по-малко от b .

Тогава неравенството може да се трансформира, както следва:

1 a n > 1 b n

Записваме дясната и лявата част като разлика и извършваме необходимите трансформации:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Припомнете си, че в условието a е по-малко от b , тогава, според дефиницията на степен с естествен показател: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n в крайна сметка е положително число, защото неговите множители са положителни. В резултат на това имаме дроб b n - a n a n · b n , която в крайна сметка също дава положителен резултат. Оттук 1 a n > 1 b n откъдето a − n > b − n , което трябваше да докажем.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва подобно на свойството на степени с естествени показатели.

Основни свойства на степените с рационални показатели

В предишни статии обсъдихме какво е степен с рационален (дробен) показател. Техните свойства са същите като тези на степените с цели числа. нека напишем:

Определение 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за a > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (степени на свойството на продукта със същата основа).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ако a > 0 (свойство частно).

3. a b m n = a m n b m n за a > 0 и b > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство на продукта в дробна степен).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n за a > 0 и b > 0, и ако m n > 0, тогава за a ≥ 0 и b > 0 (свойство на частно до дробна степен).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 за a > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (свойство на степен в градуси).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ако p< 0 - a p >b p (свойството за сравняване на степени с равни рационални показатели).

7.ап< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

За да докажем тези разпоредби, трябва да си спомним какво е степен с дробен показател, какви са свойствата на аритметичния корен на n-та степен и какви са свойствата на степен с цяло число. Нека да разгледаме всеки имот.

Според какво е степен с дробен показател, получаваме:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 и a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, следователно, a m 1 n 1 a m 2 n 2 = am 1 n 1 a m 2 n 2

Свойствата на корена ще ни позволят да изведем равенства:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

От това получаваме: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Нека трансформираме:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Показателят може да се запише като:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Това е доказателството. Второто свойство се доказва по абсолютно същия начин. Нека запишем веригата от равенства:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Доказателства за останалите равенства:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Следващо свойство: нека докажем, че за всякакви стойности на a и b по-големи от 0, ако a е по-малко от b, ще се изпълни a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Нека представим рационално число p като m n . В този случай m е цяло число, n е естествено число. Тогава условията p< 0 и p >0 ще бъде удължен до m< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Използваме свойството корени и извеждаме: a m n< b m n

Като вземем предвид положителността на стойностите a и b, пренаписваме неравенството като a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

По същия начин за m< 0 имеем a a m >b m, получаваме a m n > b m n, така че a m n > b m n и a p > b p.

Остава да докажем последното свойство. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p > q за 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 би било вярно a p > a q .

Рационалните числа p и q могат да се сведат до общ знаменател и да се получат дроби m 1 n и m 2 n

Тук m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. Ако p > q, тогава m 1 > m 2 (като се вземе предвид правилото за сравняване на дроби). След това на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – неравенство a 1 m > a 2 m .

Те могат да бъдат пренаписани в следната форма:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

След това можете да направите трансформации и да получите като резултат:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

За да обобщим: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Основни свойства на степените с ирационални показатели

Всички свойства, описани по-горе, които степен с рационални показатели притежава, могат да бъдат разширени до такава степен. Това следва от самото му определение, което дадохме в една от предишните статии. Нека формулираме накратко тези свойства (условия: a > 0, b > 0, показателите p и q са ирационални числа):

Определение 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ап< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, тогава a p > a q.

Така всички степени, чиито показатели p и q са реални числа, при условие че a > 0, имат едни и същи свойства.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Как да умножим правомощията? Кои мощности могат да се умножават и кои не? Как се умножава число по степен?

В алгебрата можете да намерите произведението на степените в два случая:

1) ако степените имат една и съща основа;

2) ако степените са с еднакви показатели.

Когато се умножават степени с една и съща основа, основата трябва да остане същата, а показателите трябва да се добавят:

При умножаване на градуси с едни и същи показатели общият индикатор може да бъде изваден от скоби:

Помислете как да умножавате степени с конкретни примери.

Единицата в експонента не е написана, но при умножаване на степените се вземат предвид:

При умножаване броят на градусите може да бъде произволен. Трябва да се помни, че не можете да напишете знака за умножение преди буквата:

В изразите първо се извършва степенуване.

Ако трябва да умножите число по степен, първо трябва да извършите степенуване и едва след това - умножение:

www.algebraclass.ru

Събиране, изваждане, умножение и деление на степени

Събиране и изваждане на степени

Очевидно числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един по един със знаците им.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4.

Коефициенти същите степени на едни и същи променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Също така е очевидно, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им към техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са нито два пъти квадрат на a, а два пъти куб на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданестепени се извършва по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахенда трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Степенно умножение

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степени с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито показатели са − отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепен.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Разделение на властите

Числата на степента могат да бъдат разделени като други числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им във формата на дроб.

Така че a 3 b 2 делено на b 2 е a 3 .

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac $. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели на делимите числа.

При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото е валидно и за числа с отрицателенградусни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необходимо е много добре да се овладеят умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac $ Отговор: $\frac $.

2. Намалете експонентите в $\frac$. Отговор: $\frac $ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

степенни свойства

Напомняме ви, че в този урок разбираме степенни свойствас натурални показатели и нула. Степените с рационални показатели и техните свойства ще бъдат разгледани в уроците за 8 клас.

Експонента с естествен показател има няколко важни свойства, които ви позволяват да опростите изчисленията в примери за степен.

Имот #1
Продукт на мощности

При умножаване на степени с една и съща основа, основата остава непроменена, а показателите се добавят.

a m a n \u003d a m + n, където "a" е произволно число, а "m", "n" са произволни естествени числа.

Това свойство на степените също засяга произведението на три или повече степени.

Моля, обърнете внимание, че в посоченото свойство става дума само за умножаване на степени с еднакви бази.. Не се отнася за добавянето им.

Не можете да замените сбора (3 3 + 3 2) с 3 5 . Това е разбираемо, ако
пресметнете (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243

Имот №2
Частни степени

При деление на степени с една и съща основа основата остава непроменена и показателят на делителя се изважда от показателя на делителя.

Изчисли.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Пример. Решете уравнението. Използваме свойството на частичните степени.
3 8: t = 3 4

Отговор: t = 3 4 = 81

Използвайки свойства № 1 и № 2, можете лесно да опростявате изрази и да извършвате изчисления.

Пример. Опростете израза.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на степента.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Моля, обърнете внимание, че свойство 2 се занимава само с разделението на правомощията със същите основи.

Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1 . Това е разбираемо, ако изчислите (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4

Имот #3
степенуване

При повишаване на степен на степен основата на степента остава непроменена, а показателите се умножават.

(a n) m \u003d a n m, където "a" е произволно число, а "m", "n" са произволни естествени числа.

Моля, обърнете внимание, че свойство № 4, подобно на други свойства на степените, също се прилага в обратен ред.

(a n b n)= (a b) n

Тоест, за да умножите степени с едни и същи показатели, можете да умножите основите и да оставите степента непроменена.

В по-сложни примери може да има случаи, когато умножението и делението трябва да се извършват на степени с различни основи и различни степени. В този случай ви съветваме да направите следното.

Например 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Пример за степенуване на десетична дроб.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = четири

Свойства 5
Степен на частното (дроби)

За да повдигнете частно на степен, можете да повдигнете дивидент и делител поотделно на тази степен и да разделите първия резултат на втория.

(a: b) n \u003d a n: b n, където "a", "b" са произволни рационални числа, b ≠ 0, n е всяко естествено число.

Напомняме ви, че частното може да бъде представено като дроб. Затова ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен на следващата страница.

Степени и корени

Операции с мощности и корени. Степен с минус ,

нула и дробна индикатор. За изрази, които нямат смисъл.

Операции със степени.

1. При умножаване на степени с една и съща основа, техните показатели се сумират:

a m · a n = a m + n.

2. При деление на степени с една и съща основа техните показатели изваден .

3. Степента на произведението на два или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори.

4. Степента на съотношението (фракция) е равна на съотношението на степените на дивидента (числител) и делителя (знаменател):

(а/б) n = a n / b n.

5. При повишаване на степен на степен техните показатели се умножават:

Всички горепосочени формули се четат и изпълняват в двете посоки отляво надясно и обратно.

ПРИМЕР (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корени. Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен(радикалното изражение е положително).

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равно на произведениетокорените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на корените на дивидента и делителя:

3. При повдигане на корен на степен е достатъчно да се повдигне на тази степен номер на корен:

4. Ако увеличите степента на корена с m пъти и едновременно с това повишите числото на корена до m -та степен, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена с m пъти и в същото време извлечете корена на m-тата степен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с натурален показател; но операциите с мощности и корени също могат да доведат до отрицателен, нулаи дробенпоказатели. Всички тези експоненти изискват допълнителна дефиниция.

Степен с отрицателен показател. Степента на определено число с отрицателен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на отрицателния показател:

Сега формулата a m : a n = м-нможе да се използва не само за м, повече от н, но и при м, по-малко от н .

ПРИМЕР а 4: а 7 = а 4 — 7 = а — 3 .

Ако искаме формулата a m : a n = a m — нбеше справедлив при m = n, имаме нужда от дефиниция на нулевата степен.

Степен с нулев показател. Степента на всяко ненулево число с нулев показател е 1.

ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степен с дробен показател. За да повдигнете реално число a на степен m / n, трябва да извлечете корена на n-та степен от m-та степен на това число a:

За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.

където а ≠ 0 , не съществува.

Наистина, ако приемем, че хе определено число, тогава, в съответствие с дефиницията на операцията за деление, имаме: а = 0· х, т.е. а= 0, което противоречи на условието: а ≠ 0

— произволен брой.

Наистина, ако приемем, че този израз е равен на някакво число х, то според дефиницията на операцията деление имаме: 0 = 0 х. Но това равенство важи за всяко число x, което трябваше да се докаже.

0 0 — произволен брой.

Решение Разгледайте три основни случая:

1) х = 0 – тази стойност не удовлетворява това уравнение

2) когато х> 0 получаваме: x / x= 1, т.е. 1 = 1, откъдето следва,

Какво х- всякакъв брой; но като се има предвид това

нашия случай х> 0 , отговорът е х > 0 ;

Правила за умножение на степени с различни основи

СТЕПЕН С РАЦИОНАЛЕН ПОКАЗАТЕЛ,

СИЛОВА ФУНКЦИЯ IV

§ 69. Умножение и деление на степени с еднакви основи

Теорема 1.За да умножите степени с еднакви основи, е достатъчно да добавите степените и да оставите основата същата, т.е.

Доказателство.По определение на степен

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Разгледахме произведението на две степени. Всъщност доказаното свойство е вярно за произволен брой степени с еднакви бази.

Теорема 2.За да разделите степени с еднакви бази, когато показателят на делителя е по-голям от показателя на делителя, достатъчно е да извадите показателя на делителя от показателя на дивидента и да оставите основата същата, т.е. при t > n

(а =/= 0)

Доказателство.Припомнете си, че частното при деление на едно число на друго е числото, което, когато се умножи по делител, дава дивидента. Следователно, докажете формулата , където а =/= 0, това е като доказване на формулата

Ако t > n , след това числото t - p ще бъде естествено; следователно, по теорема 1

Теорема 2 е доказана.

Имайте предвид, че формулата

доказано от нас само при предположението, че t > n . Следователно от това, което е доказано, все още не е възможно да се направят например следните заключения:

Освен това все още не сме разглеждали степени с отрицателни експоненти и все още не знаем какво значение може да се даде на израза 3 - 2 .

Теорема 3. За да повдигнете степен на степен, достатъчно е да умножите показателите, оставяйки основата на степента същата, това е

Доказателство.Използвайки определението за степен и теорема 1 от този раздел, получаваме:

Q.E.D.

Например (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Устно.) Определете х от уравненията:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 х ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 х ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 х ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 х .

519. (Коригирано) Опростете:

520. (Коригирано) Опростете:

521. Представете тези изрази като степени с еднакви основи:

1) 32 и 64; 3) 85 и 163; 5) 4 100 и 32 50;

2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150.