Разработка на урока "степен с натурален показател". Свойства на степени, формулировки, доказателства, примери II. Съобщение за тема, поставяне на цел на урока

Преглед:

ОБЩИНСКО БЮДЖЕТНО ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНО ЗАВЕДЕНИЕ

СРЕДНО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧИЛИЩЕ № 11

ОБЩИНА ГРАД - КУРОРТ АНАПА

Номинация "Физико-математически науки (математика)"

План - обобщение на урока по темата:

7 клас

Разработено от: Бикова Е.А., учител по математика от най-висока квалификационна категория

Анапа, 2013 г

Открит урок по алгебра в 7. клас на тема:

"Свойства на степен с естествен показател"

Цели на урока:

Образователни:- развиване на умения за систематизиране, обобщаване на знания за степента с естествен показател, консолидиране и подобряване на уменията за най-прости трансформации на изрази, съдържащи степени с естествен показател.

Образователни: - възпитание на познавателна активност, чувство за отговорност, култура на общуване, култура на диалог.

Разработване: - развитие на визуална памет, математически грамотна реч, логично мислене, съзнателно възприятие учебен материал.

Задачи:

1. Предмет: повтарят, обобщават и систематизират знания по темата, създават условия за контрол (взаимоконтрол) на усвояването на знания и умения; продължи формирането на мотивацията на учениците да изучават предмета.

2. Метасубект: развиват оперативен стил на мислене, насърчават придобиването на комуникативни умения от учениците, когато работят заедно, активират ги креативно мислене; продължи формирането на определени компетенции на учениците, които ще допринесат за тяхната ефективна социализация, умения за самообразование и самообразование

3. Лични: възпитават културата, насърчават формирането лични качестванасочени към добронамерено, толерантно отношение към хората, живота; да култивира инициативност и независимост в дейностите; водят до разбиране на необходимостта от изучаваната тема за успешна подготовкадо държавно окончателно атестиране.

Тип урок: общ урок по темата.

Тип урок: комбинирани.

Структура на урока:

1. Организационен момент.

2. Съобщаване на темата, целите и задачите на урока.

3. Възпроизвеждане на наученото и прилагането му в стандартни ситуации.

4. Трансфер на придобитите знания, тяхното първично приложение в нови или променени условия, с цел формиране на умения.

5. Елементи на здравеопазващи технологии.

6. Самостоятелно изпълнение от учениците на задачи под ръководството на учител.

7. Обобщаване на урока и поставяне на домашна работа.

Оборудване: мултимедиен проектор, компютър.

Презентация в Програма на Microsoft Office Power Point 2007(Приложение 1)

План на урока:

Литература:

1. Алгебра: учеб. за 7 клетки. общо образование институции / Ю.Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк и др.; редактиран от S.A. Теляковски. – М.: Просвещение, 2008.

2. Звавич Л.И., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. Дидактически материали по алгебра за 7 клас. – М.: Просвещение, 2009.

3. Сборник тестови задачи за тематичен и заключителен контрол. Алгебра 7 клас./ С.А. Пушкин, И.Л. Гусев. - М .: "Интелект", 2013 г.

4. Т.Ю.Дюмина, А.А.Махонина, „Алгебра. Планове на уроци." - Волгоград: "Учител", 2013 г

По време на часовете

1. Организационен момент.

2. Проверка на домашните

3. Темата на урока. Цели и задачи на урока.

Математика, приятели,

Абсолютно всеки има нужда от него.

Работете здраво в клас

И успехът ви очаква!

4. Устна работа.

а) Повторение на свойствата на степен с натурален показател. Дадена маса. В лявата колона попълнете липсващите места, в дясната - допълнете задачите.

б) Изпълнявайки задачи за преобразуване на изрази, съдържащи степени, ученикът направи следните грешки:(пише на дъската)

1) а) ; б) ;

в) ; G) ;

2) а) ; б) ;

в) ; G) ;

3) а) ; б) ;

в) .

Какви определения, свойства, правила ученикът не знае?

5. Тренировъчни упражнения.

No 447 - на дъска и в тетрадки с подробни коментари, като се използват свойствата на степените;

No 450 (а, в) - на дъска и в тетрадки;

No 445 - устно.

6. Физическа минутка

Бързо стана, усмихна се,

Издърпан по-високо.

Е, изправете рамене

Повдигнете, спуснете.

Завийте надясно, завийте наляво

Докоснете ръцете си с коленете.

Седни, стани, седни, стани

И хукнаха на място.

Младостта се учи с вас

Развивайте както воля, така и изобретателност.

7. Индивидуална контролна работа.

Всеки ученик изпълнява задачи, те са придружени от ключ, в който се използва цялата азбука, за да се изключи отгатването на отговорите по букви. В случай на правилното решение - точната дума.

Задачите за всеки ред са индивидуални.

Ключ

Резултатите от работата се показват на слайд за самопроверка:

Математика

8. Обобщение на урока:

Обобщаване на урока, оценяване.

- Избройте свойствата на степента с естествен показател.

Оценките за урока ще бъдат поставени след проверка на работата с тестове, като се вземат предвид отговорите на онези ученици, които са отговорили по време на урока.

Познай кръстословицата

Вертикално:

1. Той разделя
2. Елементарна фигура в самолета
3. Истинско равенство
4. Едно с девет нули
5. Той е подреден с подобен
6. Две на степен три

Хоризонтално:

2. Брой страни в триъгълник

4. Сбор от мономи

5. Обобщавайте

7. Отсечка, свързваща точка от окръжност с нейния център

8. Има числител и знаменател

9. Домашна работа:

Степента на число a с естествен показател n се нарича ____________ n ____________, всяка от които е равна на a. 1. Изразете произведението като степен: а). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; б). (x-y)* (x-y) * (x-y) * (x-y) * ; 2. Повдигнете на степен: 3 4 ; (-0,2) 3; (2 /3) 2 Назовете основата и показателя на записаните степени. Когато се умножават степени с една и съща основа, ___________ остава същото и се добавя ___________. Направете следното: a 4 * a 12; a 6 * a 9 * a; 3 2 * 3 3 При деление на степени с еднакви основи, ___________ остава същото, а от __________ числителя _________ __________ знаменателя. Следвайте тези стъпки: a 12: a 4; p 9: p 3: p; 3 5: 3 2 При повишаване на степен на степен, _______________ остава същото и __________ се умножава. Следвай тези стъпки: ; (m3) 7; (k 4) 5; (4 2) 3 При повдигане на степен продуктите се повдигат на тази степен _____________ ____________ и резултатите се умножават. Извършете степенуване: (-2 a 3 b 2) 5 ; (1 /3p 2 q 3) 3 Степен на ненулево a с експонента е равно Изчислете: 3 x 0 с x = 2,6 Повторете!

Мозъчна атака

Бързо станаха, усмихнаха се, Издърпаха се все по-високо и по-високо. Е, изправете раменете си, повдигнете, спуснете. Обърнете се надясно, завъртете се наляво, Докоснете ръцете си с коленете. Седнаха, станаха, седнаха, станаха, И хукнаха на място. Младостта се учи с теб Да развиваш и воля, и изобретателност.

Индивидуална контролна работа № п / п Задача 1 ред № п / п Задача 2 ред № п / п Задача 3 ред 1 m 3 * m 2 * m 8 1 a 4 * a 3 * a 2 1 a 4 * a * a 3 * a 2 p 20: p 17 2 (2 4) 5: (2 7) 2 2 (7x) 2 3 c 5: c 0 3 3 * 3 2 * 3 0 3 p * p 2 * p 0 4 (3a) 3 4 (2y) 5 4 c * c 3 * c 5 m * m 5 * m 3 * m 0 5 (m 2) 4 * m 5 m * m 4 * (m 2) 2 * m 0 6 2 14 : 2 8 6 (2 3) 2 6 (2 3) 7: (2 5) 3 7 (-x) 3 * x 4 7 (-x 3) * (- x) 4 7 -x 3 * (-x ) 4 8 (p * p 3) : p 5 8 (p 2 * p 5) : p 4 * p 0 8 (p 2) 4: p 5 9 3 7 * (3 2) 3: 3 10 9 (3 5) 2*3 7:3 14 9 (3 4) 2*(3 2) 3:3 11

Проверете себе си! Ключ! A B C D E F G I J m 9 32y 5 81 a 9 x 3 49x 2 m 5 p 4 c 5 27a 3 L M N O P R S T U V 64 3 4 p 3 27 2 5 x 7 p 6 m 3 m 13 a 8 X C W W Y b s E Yu 81a 3 c 7 16a 4 25 10y 5 9y 7 -x 7 a 2 32x 5 49y 3 I x 5

математика

ПОЗНАЙТЕ КРЪСТОСЛОВИЦАТА Вертикално: 1. Дели делителя 2. Елементарна фигура на равнината 3. Истинско равенство 4. Едно с девет нули 5. Добавя се към подобно 6. Две на степен три Хоризонтално: 2. брой страни в триъгълника 4. Сборните мономи 5. Обобщаване 7. Отсечка, свързваща точка от окръжност с центъра 8. Има числител и знаменател

Обобщение на урока Оценяване Задача за домашна работа Отговорете на въпросите стр. 101, № 450 (б, г), № 534, № 453.

По-рано вече говорихме какво е степен на число. Тя има определени свойства, полезни при решаването на проблеми: ще анализираме тях и всички възможни показатели в тази статия. Ще демонстрираме и с примери как те могат да бъдат доказани и правилно приложени на практика.

Нека си припомним концепцията за степен с естествен показател, която вече формулирахме по-рано: това е продуктът на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на a. Също така трябва да запомним как правилно да умножаваме реални числа. Всичко това ще ни помогне да формулираме следните свойства за степен с естествен показател:

Определение 1

1. Основното свойство на степента: a m a n = a m + n

Може да се обобщи до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Свойството частно за степени, които имат една и съща основа: a m: a n = a m − n

3. Свойство степен продукт: (a b) n = a n b n

Равенството може да се разшири до: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Свойство на естествена степен: (a: b) n = a n: b n

5. Повдигаме степента на степен: (a m) n = a m n,

Може да се обобщи до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Сравнете степента с нула:

• ако a > 0, тогава за всяко естествено n, a n ще бъде по-голямо от нула;
• с a равно на 0, a n също ще бъде равно на нула;
• за< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• за< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Равенство a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенството a m > a n ще бъде вярно, при условие че m и n са естествени числа, m е по-голямо от n и a е по-голямо от нула и не по-малко от единица.

В резултат на това получихме няколко равенства; ако отговаряте на всички условия, посочени по-горе, тогава те ще бъдат идентични. За всяко от равенствата, например за основното свойство, можете да размените дясната и лявата част: a m · a n = a m + n - същото като a m + n = a m · a n . В тази форма често се използва при опростяване на изрази.

1. Нека започнем с основното свойство на степента: равенството a m · a n = a m + n ще бъде вярно за всяко естествено m и n и реално a . Как да докажем това твърдение?

Основната дефиниция на степени с естествен показател ще ни позволи да преобразуваме равенството в произведение на множителите. Ще получим запис като този:

Това може да бъде съкратено до (припомнете си основните свойства на умножението). В резултат на това получихме степента на числото a с естествен показател m + n. Така a m + n , което означава, че основното свойство на степента е доказано.

Да анализираме конкретен примерпотвърждавайки това.

Пример 1

Така че имаме две степени с основа 2. Натуралните им показатели са съответно 2 и 3. Получихме равенството: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Нека изчислим стойностите, за да проверим правилността на това равенство.

Ние ще извършим необходимото математически операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

В резултат на това получихме: 2 2 2 3 = 2 5 . Имотът е доказан.

Поради свойствата на умножението, можем да обобщим свойството, като го формулираме като три и Повече ▼степени, чиито степени са естествени числа и чиито основи са еднакви. Ако означим броя на естествените числа n 1, n 2 и т.н. с буквата k, получаваме правилното равенство:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Пример 2

2. След това трябва да докажем следното свойство, което се нарича частно свойство и е присъщо на степени с еднакви основи: това е равенството a m: a n = a m − n, което е валидно за всякакви естествени m и n (и m е по-голямо от n)) и всяко ненулево реално a .

Като начало, нека обясним какво точно е значението на условията, които се споменават във формулировката. Ако вземем равно на нула, тогава в крайна сметка ще получим деление на нула, което не може да се направи (в края на краищата 0 n = 0). Условието, че числото m трябва да е по-голямо от n, е необходимо, за да можем да останем в рамките на естествените показатели: като извадим n от m, получаваме естествено число. Ако условието не е изпълнено, ще получим отрицателно число или нула и отново ще надхвърлим изучаването на степени с естествени показатели.

Сега можем да преминем към доказателството. От изученото по-рано си припомняме основните свойства на дробите и формулираме равенството по следния начин:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

От него можем да изведем: a m − n a n = a m

Припомнете си връзката между деление и умножение. От това следва, че a m − n е частно на степени a m и a n . Това е доказателството за свойство от втора степен.

Пример 3

Заменете конкретни числа за яснота в индикаторите и означете основата на степента π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. След това ще анализираме свойството на степента на произведението: (a · b) n = a n · b n за всяко реално a и b и естествено n.

Съгласно основната дефиниция на степен с естествен показател, можем да преформулираме равенството, както следва:

Спомняйки си свойствата на умножението, пишем: . Означава същото като a n · b n.

Пример 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Ако имаме три или повече фактора, тогава това свойство се отнася и за този случай. Въвеждаме обозначението k за броя на факторите и записваме:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Пример 5

С конкретни числа получаваме следното правилно равенство: (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. След това ще се опитаме да докажем свойството частно: (a: b) n = a n: b n за всяко реално a и b, ако b не е равно на 0 и n е естествено число.

За доказателство можем да използваме свойството на предишната степен. Ако (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n и (a: b) n b n = a n, тогава следва, че (a: b) n е частно от деленето на a n на b n.

Пример 6

Нека преброим примера: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Пример 7

Нека започнем веднага с пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

А сега формулираме верига от равенства, които ще ни докажат правилността на равенството:

Ако имаме степени на степени в примера, тогава това свойство е вярно и за тях. Ако имаме естествени числа p, q, r, s, тогава ще е вярно:

a p q y s = a p q y s

Пример 8

Нека добавим подробности: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Друго свойство на степените с естествен показател, което трябва да докажем, е свойството за сравнение.

Първо, нека сравним експонентата с нула. Защо a n > 0, при условие че a е по-голямо от 0?

Ако умножим едно положително число по друго, също ще получим положително число. Знаейки този факт, можем да кажем, че това не зависи от броя на факторите - резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа е положително число. И какво е степен, ако не резултат от умножаване на числа? Тогава за всяка степен a n с положителна основа и естествен показател това ще е вярно.

Пример 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0

Също така е очевидно, че степен с основа равна на нула сама по себе си е нула. На каквато и степен да повдигнем нула, така ще си остане.

Пример 10

0 3 = 0 и 0 762 = 0

Ако основата на степента е отрицателно число, тогава доказателството е малко по-сложно, тъй като концепцията за четен / нечетен показател става важна. Нека започнем със случая, когато показателят е четен и го означим с 2 · m, където m е естествено число.

Нека си спомним как правилно да умножаваме отрицателни числа: продуктът a · a е равен на произведението на модулите и следователно ще бъде положително число. Тогава и степента a 2 · m също са положителни.

Пример 11

Например (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0

Ами ако показателят с отрицателна основа е нечетно число? Нека го означим с 2 · m − 1 .

Тогава

Всички произведения a · a , според свойствата на умножението, са положителни, както и произведението им. Но ако го умножим по единственото останало число a, тогава крайният резултат ще бъде отрицателен.

Тогава получаваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Как да го докажа?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Пример 12

Например верни са неравенствата: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Остава да докажем последното свойство: ако имаме две степени, чиито основи са еднакви и положителни, а експонентите са естествени числа, то тази от тях е по-голяма, чийто показател е по-малък; а от две степени с естествени показатели и еднакви основи по-големи от единица, по-голяма е степента, чийто показател е по-голям.

Нека докажем тези твърдения.

Първо трябва да се уверим, че m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Изваждаме a n от скоби, след което нашата разлика ще приеме формата a n · (am − n − 1) . Резултатът му ще бъде отрицателен (тъй като резултатът от умножаването на положително число по отрицателно е отрицателен). Действително, според началните условия m − n > 0, тогава a m − n − 1 е отрицателно, а първият фактор е положителен, като всяка естествена степен с положителна основа.

Оказа се, че a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Остава да докажем втората част от формулираното по-горе твърдение: a m > a е вярно за m > n и a > 1 . Посочваме разликата и изваждаме n от скобите: (a m - n - 1) Степента на n с по-голямо от едно ще даде положителен резултат; и самата разлика също ще се окаже положителна поради началните условия, а при a > 1 степента на a m − n е по-голяма от единица. Оказва се, че a m − a n > 0 и a m > a n , което трябваше да докажем.

Пример 13

Пример с конкретни числа: 3 7 > 3 2

Основни свойства на степените с цели показатели

За степени с положителни цели показатели свойствата ще бъдат подобни, тъй като положителните числа са естествени числа, което означава, че всички равенства, доказани по-горе, са валидни и за тях. Те са подходящи и за случаи, когато експонентите са отрицателни или равни на нула (при условие, че основата на самата степен е различна от нула).

По този начин свойствата на степените са едни и същи за всякакви основи a и b (при условие, че тези числа са реални и не са равни на 0) и всички показатели m и n (при условие, че са цели числа). Записваме ги накратко под формата на формули:

Определение 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n с цяло положително число n, положително a и b, a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ако основата на степента е равна на нула, тогава записите a m и a n имат смисъл само в случай на естествени и положителни m и n. В резултат откриваме, че формулировките по-горе са подходящи и за случаи със степен с нулева основа, ако всички други условия са изпълнени.

Доказателствата за тези свойства в този случай са прости. Ще трябва да си припомним какво е степен с естествен и цяло число, както и свойствата на действията с реални числа.

Нека анализираме свойството на степента в степента и докажем, че то е вярно както за положителни цели, така и за неположителни числа. Започваме с доказване на равенствата (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) и (a − p) − q = a (− p) (−q)

Условия: p = 0 или естествено число; q - подобно.

Ако стойностите на p и q са по-големи от 0, тогава получаваме (a p) q = a p · q. Вече сме доказвали подобно равенство преди. Ако p = 0 тогава:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Следователно (a 0) q = a 0 q

За q = 0 всичко е абсолютно същото:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Резултат: (a p) 0 = a p 0 .

Ако и двата индикатора са нула, тогава (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 0 = a 0 = 1, тогава (a 0) 0 = a 0 0 .

Припомнете си свойството на частното в доказаната по-горе степен и напишете:

1 a p q = 1 q a p q

Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q , тогава 1 q a p q = 1 a p q

Можем да преобразуваме тази нотация по силата на основните правила за умножение в a (− p) · q .

Също така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Останалите свойства на степента могат да бъдат доказани по подобен начин чрез трансформиране на съществуващите неравенства. Няма да се спираме на това подробно, ще посочим само трудните точки.

Доказателство за предпоследното свойство: припомнете си, че a − n > b − n е вярно за всякакви отрицателни цели числа на n и всякакви положителни a и b, при условие че a е по-малко от b .

Тогава неравенството може да се трансформира, както следва:

1 a n > 1 b n

Записваме дясната и лявата част като разлика и извършваме необходимите трансформации:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Припомнете си, че в условието a е по-малко от b , тогава, според дефиницията на степен с естествен показател: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n в крайна сметка е положително число, защото неговите множители са положителни. В резултат на това имаме дроб b n - a n a n · b n , която в крайна сметка също дава положителен резултат. Оттук 1 a n > 1 b n откъдето a − n > b − n , което трябваше да докажем.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва подобно на свойството на степени с естествени показатели.

Основни свойства на степените с рационални показатели

В предишни статии обсъдихме какво е степен с рационален (дробен) показател. Техните свойства са същите като тези на степените с цели числа. нека напишем:

Определение 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за a > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (степени на свойството на продукта със същата основа).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ако a > 0 (свойство частно).

3. a b m n = a m n b m n за a > 0 и b > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство на продукта в дробна степен).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n за a > 0 и b > 0 и ако m n > 0, тогава за a ≥ 0 и b > 0 (свойство на частното към дробна степен).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 за a > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (свойство на степен в градуси).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ако p< 0 - a p >b p (свойството за сравняване на степени с равни рационални показатели).

7.ап< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

За да докажем тези твърдения, трябва да си припомним с каква диплома дробен индикатор, какви са свойствата на аритметичен корен от n-та степен и какви са свойствата на степен с цели показатели. Нека да разгледаме всеки имот.

Според какво е степен с дробен показател, получаваме:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 и a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, следователно, a m 1 n 1 a m 2 n 2 = am 1 n 1 a m 2 n 2

Свойствата на корена ще ни позволят да изведем равенства:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

От това получаваме: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Нека трансформираме:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Показателят може да се запише като:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Това е доказателството. Второто свойство се доказва по абсолютно същия начин. Нека запишем веригата от равенства:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Доказателства за останалите равенства:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Следващо свойство: нека докажем, че за всякакви стойности на a и b по-големи от 0, ако a е по-малко от b, ще се изпълни a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Нека представим рационално число p като m n . В този случай m е цяло число, n е естествено число. Тогава условията p< 0 и p >0 ще бъде удължен до m< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Използваме свойството корени и извеждаме: a m n< b m n

Като вземем предвид положителността на стойностите a и b, пренаписваме неравенството като a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

По същия начин за m< 0 имеем a a m >b m, получаваме a m n > b m n, така че a m n > b m n и a p > b p.

Остава да докажем последното свойство. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p > q при 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 би било вярно a p > a q .

Рационалните числа p и q могат да се сведат до общ знаменател и да се получат дроби m 1 n и m 2 n

Тук m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. Ако p > q, тогава m 1 > m 2 (като се вземе предвид правилото за сравняване на дроби). След това на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – неравенство a 1 m > a 2 m .

Те могат да бъдат пренаписани в следната форма:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

След това можете да направите трансформации и да получите като резултат:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

За да обобщим: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Основни свойства на степените с ирационални показатели

Всички свойства, описани по-горе, които степен с рационални показатели притежава, могат да бъдат разширени до такава степен. Това следва от самото му определение, което дадохме в една от предишните статии. Нека формулираме накратко тези свойства (условия: a > 0, b > 0, показателите p и q са ирационални числа):

Определение 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ап< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, тогава a p > a q.

Така всички степени, чиито показатели p и q са реални числа, при условие че a > 0, имат едни и същи свойства.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

След като се определи степента на числото, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на числото, като същевременно ще се докоснем до всички възможни показатели. Тук ще дадем доказателства за всички свойства на степента и ще покажем как тези свойства се прилагат при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степени с естествени показатели

По дефиниция на степен с естествен показател, степента на a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a . Въз основа на това определение и използването свойства за умножение на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:

1. основното свойство на степента a m ·a n =a m+n , нейното обобщение ;
2. свойството на частични степени с еднакви основи a m:a n =a m−n ;
3. продукт степен свойство (a b) n =a n b n, неговото разширение;
4. частно свойство в натура (a:b) n =a n:b n ;
5. степенуване (a m) n =a m n, неговото обобщение (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. сравняване на степен с нула:
   • ако a>0, тогава a n >0 за всяко естествено n;
   • ако a=0, тогава a n =0;
   • ако<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ако a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ако a и b са положителни числа и a
8. ако m и n са естествени числа, така че m>n, тогава при 0 0 неравенството a m >a n е вярно.

Веднага отбелязваме, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия, като дясната и лявата им част могат да се сменят. Например, основното свойство на фракцията a m a n = a m + n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n = a m a n .

Сега нека разгледаме подробно всеки от тях.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен показател, произведението на степени с еднакви основи от формата a m a n може да бъде записано като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като и този продукт е степента на a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, който потвърждава основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, според основното свойство на степента можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Нека проверим неговата валидност, за което изчисляваме стойностите на изразите 2 2 ·2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32и 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, тъй като се получават равни стойности, тогава равенството 2 2 2 3 \u003d 2 5 е правилно и потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степен, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за всяко число k от естествените числа n 1 , n 2 , …, n k равенството a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Например, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можете да преминете към следващото свойство на градусите с естествен показател - свойството на частични правомощия със същите основи: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n , е вярно равенството a m:a n =a m−n.

Преди да дадем доказателство за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да се избегне деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с делението, се съгласихме, че е невъзможно да се дели на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените показатели. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n), или отрицателно число (което се случва за m

Доказателство. Основното свойство на дробта ни позволява да напишем равенството a m−n a n =a (m−n)+n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и от него следва, че a m−n е частно на степени на a m и a n . Това доказва свойството на частични степени с еднакви бази.

Да вземем пример. Да вземем две степени с еднакви бази π и естествени експоненти 5 и 2, разглежданото свойство на степента съответства на равенството π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Сега помислете продукт степен свойство: естествената степен n на произведението на всеки две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a b) n =a n b n.

Наистина, по дефиниция на степен с естествен показател, имаме . Последният продукт, базиран на свойствата на умножението, може да бъде пренаписан като , което е равно на a n b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Това означава, че естественото свойство на мощността n на произведението от k фактора се записва като (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n.

За по-голяма яснота показваме това свойство с пример. За произведението на три фактора на степен 7 имаме .

Следващият имот е естествена собственост: частното на реалните числа a и b, b≠0 спрямо естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n.

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а равенството (a:b) n b n =a n предполага, че (a:b) n е частното от a n, делено на b n.

Нека напишем това свойство, използвайки примера на конкретни числа: .

Сега нека глас степенно свойство: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на a с показател m·n , тоест (a m) n =a m·n .

Например (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Доказателството за степенното свойство в степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен в степен в степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Започваме с доказване на сравнителното свойство на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека обосновем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението ни позволяват да твърдим, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента на a n е положително число. По силата на доказаното свойство 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0 .

Нека да преминем към отрицателните основи.

Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, означим го като 2 m , където m е естествено число. Тогава . За всяко от произведенията на формата a·a е равно на произведението на модулите на числата a и a, следователно е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен. и степен a 2 m . Ето примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата на a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и неговото умножение по оставащото отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Обръщаме се към свойството за сравняване на степени с еднакви естествени показатели, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, и повече от тази, чиято основа е по-голяма. Нека го докажем.

Неравенство a n свойства на неравенстватадоказваното неравенство от вида a n (2,2) 7 и .

Остава да докажем и последното от изброените свойства на степените с естествен показател. Нека го формулираме. От двете степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малко от една, степента е по-голяма, чийто показател е по-малък; а от две степени с естествени показатели и еднакви основи по-големи от единица, по-голяма е степента, чийто показател е по-голям. Обръщаме се към доказателството за това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0 0 поради началното условие m>n , откъдето следва, че при 0

Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1, a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента на a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1, степента на m−n е по-голяма от единица. Следователно a m − a n >0 и a m >a n , което трябваше да се докаже. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2 .

Свойства на степените с цели показатели

Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф.

Дефинирахме степента с отрицателно цяло число, както и степента с нулев показател, така че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, остават валидни. Следователно всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всички реални и различни от нула числа a и b, както и за всички цели числа m и n, са верни следните свойства на степени с цели показатели:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n;
6. ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a b-n;
7. ако m и n са цели числа и m>n, тогава при 0 1 е изпълнено неравенството a m >a n.

За a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Не е трудно да се докаже всяко от тези свойства, за това е достатъчно да се използват дефинициите на степента с естествен и цял показател, както и свойствата на действията с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството степен е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направим това, трябва да покажем, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) и (a−p)−q =a (−p) (−q). Хайде да го направим.

За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния подраздел. Ако p=0 , тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0 q =a 0 =1 , откъдето (a 0) q =a 0 q . По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p 0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p 0 . Ако и двете p=0 и q=0 , тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0 0 =a 0 =1 , откъдето (a 0) 0 =a 0 0 .

Нека сега докажем, че (a −p) q =a (−p) q . По дефиниция на степен с отрицателен показател цяло число , тогава . По свойството на частното в степента имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p q) , която по силата на правилата за умножение може да бъде записана като a (−p) q .

по същия начин .

И .

По същия принцип могат да се доказват всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n , което е вярно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които условието a . Тъй като по условие а 0 . Произведението a n ·b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно от положителните числа b n − a n и a n b n . Следователно, откъдето a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин, както аналогичното свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степента с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степени с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

Доказателството за свойствата на степени с дробен показател се основава на дефиницията на степен с дробен показател, върху и върху свойствата на степен с цяло число. Нека дадем доказателство.

По дефиниция на степента с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степента с цяло число, получаваме , откъдето, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят на получената степен може да се преобразува както следва: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно същия начин:

Останалите равенства се доказват по подобни принципи:

Обръщаме се към доказателството за следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b , a b p . Записваме рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условия стр<0 и p>0 в този случай ще бъде еквивалентно на условията m<0 и m>0 съответно. За m>0 и a

По същия начин за m<0 имеем a m >b m , откъдето , тоест и a p >b p .

Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p>q за 0 0 – неравенство a p >a q . Винаги можем да намалим рационалните числа p и q до общ знаменател, нека получим обикновени дроби и, където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от . След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели при 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Тези неравенства по отношение на свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като и . А определението за степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. От това правим окончателното заключение: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От това как се дефинира степен с ирационален показател може да се заключи, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. за всякакви положителни числа a и b , a 0 неравенството a p b p ;
7. за ирационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства.

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика Ж за 5 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

Технологична карта на урока

7 клас Урок №38

Тема: Степен с натурален показател

1. Осигурете повторение, обобщение и систематизиране на знанията по темата, консолидирайте и подобрете уменията за най-простите трансформации на изрази, съдържащи степени с естествен показател, създайте условия за наблюдение на усвояването на знания и умения;

2. Да допринесе за формирането на умения за прилагане на методите на обобщение, сравнение, подчертаване на основното, да насърчи възпитанието на интерес към прехвърляне на знания в нова ситуация, развитието на математически хоризонти, реч, внимание и памет, развитие на учебно-познавателна дейност;

3. Насърчаване на възпитанието на интерес към математиката, активност, организация, култивиране на умения за взаимен и самоконтрол на техните дейности, формиране на положителна мотивация за учене, култура на общуване.

Основни понятия на урока

Степен, основа на степен, показател, свойства на степен, произведение на степен, деление на степени, повдигане на степен на степен.

Планиран резултат

Те ще се научат да оперират с концепцията за степен, да разберат значението на записването на число като степен, да извършват прости трансформации на изрази, съдържащи степени с естествен показател.

Те ще имат възможност да се научат как да извършват трансформации на цели числа, съдържащи степен с естествен показател

Умения за предмет, UUD

Личен UUD:

способността за самооценка въз основа на критерия за успех на образователните дейности.

Когнитивно UUD:

способността да се ориентира в своята система от знания и умения: да разграничава новото от вече известното с помощта на учител; намерете отговори на въпроси, като използвате информацията, научена в урока.

Обобщаване и систематизиране на учебен материал, работа със символен запис на степента, замествания, възпроизвеждане от паметта на информацията, необходима за решаване на образователния проблем

Тема UUD:

Прилагайте свойства на степента към преобразуване на изрази, съдържащи степени с естествен показател

Регулаторен UUD:

Умение за определяне и формулиране на целта в урока с помощта на учителя; оценете работата си в клас.Да упражняват взаимен контрол и самоконтрол при изпълнение на задачите

Комуникативен UUD:
Умейте да формулирате мислите си устно и писмено, да слушате и разбирате речта на другите

Метапредметни отношения

Физика, астрономия, медицина, ежедневие

Тип урок

Повторения, обобщения и прилагане на знания и умения.

Форми на работа и методи на работа

Фронтална, парна баня, индивидуална. Обяснително - илюстративно, словесно, проблемна ситуация, семинар, взаимопроверка, контрол

Ресурсна поддръжка

Компоненти на учебните материали Макаричева Учебник, проектор, екран, компютър, презентация, задачи за ученици, листове за самооценка

Технологии, използвани в обучението

Технология на семантичното четене, проблемно обучение, индивидуален и диференциран подход, ИКТ

Мотивирайте учениците за работа, мобилизирайте вниманието

Добър ден момчета. Добър ден, уважаеми колеги! Поздравявам всички, които се събраха днес открит урок. Момчета, искам да ви пожелая ползотворна работа в урока, внимателно обмислете отговорите на поставените въпроси, отделете време, не прекъсвайте, уважавайте съучениците си и техните отговори. И пожелавам на всички да получавате само добри оценки. Късмет!

Включен в деловия ритъм на урока

Проверяват наличието на всичко необходимо за работа в урока, точността на местоположението на Обектите. Способност да се организирате, да се настройвате на работа.

2. Актуализиране на опорни знания и навлизане в темата на урока

3. Устна работа

Момчета, всеки от вас има листове с резултати на бюрото си.По тях ще оценявате работата си в урока.Днес в урока ви се дава възможност да получите не една, а две оценки: за работа в урока и за самостоятелна работа.
Вашите правилни, пълни отговори също ще бъдат оценени с "+", но аз ще поставя този знак в друга колона.

На екрана виждате пъзели, в които ключовите думи от днешния урок са криптирани. Разрешете ги. (Слайд 1)

степен

повторение

обобщение

Момчета, правилно отгатнахте пъзелите. Тези думи са степен, повторение и обобщение. А сега, използвайки познатите думи - подсказки, формулирайте темата на днешния урок.

Правилно. Отворете тетрадките и запишете номера и темата на урока „Повторение и обобщение по темата „Свойства на степен с естествен показател“ (Слайд 2)

Определихме темата на урока, но какво мислите, какво ще правим в урока, какви цели ще си поставим? (Слайд 3)

Повторете и обобщете знанията си по тази тема, попълнете пропуските, подгответе се за изучаването на следващата тема „Мономинали“.

Момчета, свойствата на степен с естествен експонент доста често се използват при намиране на стойностите на изрази, при преобразуване на изрази. Скоростта на изчисленията и трансформациите, свързани със свойствата на степен с естествен показател, също се диктува от въвеждането на USE.

И така, днес ще прегледаме и обобщим вашите знания и умения по тази тема. Устно трябва да решите редица задачи и да запомните словесното групиране на свойства и дефиниции на степента с естествен показател.

Епиграф към поуката от думите на великия руски учен М. В. Ломоносов „Нека някой се опита да изтрие степени по математика и ще види, че без тях няма да стигнете далеч“

(Слайд 4)

Мислите ли, че ученият е прав?

Защо се нуждаем от дипломи?

Къде се използват широко? (по физика, астрономия, медицина)

Точно така, а сега да повторим какво е степен?

Какви са имената на инв записа за степен?

Какви действия могат да се извършват със степени? (Слайдове 5-11)

А сега нека обобщим. Имате ли работни листове на бюрото си? .

1. Отляво са началото на определенията, отдясно са окончанията на определенията. Свържете правилните твърдения с линии (Слайд 12)

Свържете с линии съответните части на определението.

а) При умножаване на степени с една и съща основа...

1) основна степен

б) При деление на степени с еднакви основи ....

2) експонента

в) Извиква се числото a

3) произведението на n фактора, всеки от които е равен на a.

г) При повишаване на степен на степен...

4) ... базата остава същата, а показателите се сумират.

д) Нарича се степен на число a с естествен показател n, по-голям от 1

5) ... базата остава същата, а показателите се умножават.

д)НомернНаречен

6) Степен

и)Израз а нНаречен

7) ... базата остава същата, а показателите се изваждат.

2.Сега разменете документи с вашия колега по бюрото, оценете работата му и го оценете. Поставете този резултат във вашия лист с резултати.

Сега нека проверим дали сте изпълнили задачата правилно.

Отгатване на пъзели, идентифициране на думи - подсказки.

Те се опитват да определят темата на урока.

Запишете датата и темата на урока в тетрадката си.

Отговори на въпросите

Работят по двойки. Прочетете задачата, запомнете.

Свържете части от дефиниции

Разменят тетрадки.

Извършете взаимна проверка на резултатите, дайте оценки на съседа на бюрото ..

4. Физкултурна минутка

Вдигнати и разклатени ръце -

това са дърветата в гората,

Свити ръце, разклатени четки -

Вятърът откъсва листата.

Отстрани на ръката, леко помахайте -

Птиците летят на юг

Докато седят, тихо показват -

Сгънати ръце така!

Извършвайте дейности паралелно с учителя

5. Трансферът на придобитите знания, тяхното първично приложение в нови или променени условия с цел формиране на умения.

1. Предлагам ви следната работа: имате карти на бюрата си. Трябва да изпълнявате задачи, т.е. напишете отговора под формата на степен с основа c и ще разберете фамилното и собственото име на великия френски математик, който въвежда общоприетото в момента обозначение на степените.(Слайд 14)

5

ОТ 8 : ОТ 6

(ОТ 4 ) 3 ОТ

(ОТ 4 ) 3

ОТ 4 ОТ 5 ОТ 0

ОТ 5 ОТ 3 : ОТ 6

ОТ 16 : ОТ 8

ОТ 14 ОТ 8

10.

(ОТ 3 ) 5

Отговор: Рене Декарт.

Разказ за биографията на Рене Декарт (Слайдове 15 - 17)

Момчета, сега да изпълним следващата задача.

2. Относно определи кои отговори са верни и кои грешни. (Слайд 18 - 19)

Задайте верен отговор на 1, грешен отговор на 0.

след като получите подреден набор от единици и нули, ще разберете правилния отговор и ще определите името и фамилията на първата руска жена - математик.

а) х 2 х 3 =x 5

b) с 3 с 5 с 8 = с 16

в) х 7 : х 4 = х 28

G) (° С+ д) 8 : ( ° С+ д) 7 = ° С+ д

д) (х 5 ) 6 = х 30

Изберете нейното име от четири имена на известни жени, всяко от които отговаря на набор от единици и нули:

Ада Августа Лавлейс - 11001

Софи Жермен - 10101

Екатерина Дашкова - 11101

София Ковалевская - 11011

От биографията на София Ковалевская (Слайд 20)

Изпълнете задачата, определете фамилията и името на френския математик

Слушане и разглеждане на слайдове

Те отбелязват верните и грешните отговори, записват получения код, който определя името на първата рускиня - математик.

6. Контрол и оценка на знанията Самостоятелно изпълнение на задачите от учениците под ръководството на учителя.

И сега трябва да направите работа по проверка. Пред вас са карти със задачи в различни цветове. Цветът съответства на нивото на трудност на задачата (с "3", с "4", с "5") Изберете сами задачата, за която оценка ще изпълнявате и се захващайте за работа. (Слайд 21)

на "3"

1. Изразете продукта като сила:

а) ; б) ;

в) ; G) .

2. Следвай тези стъпки:

( м 3 ) 7 ; ( к 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( м 3 ) 2 ; ( а х ) г

На "4"

1. Представете продукта като степен.

а) х 5 х 8 ; буу 2 при 9 ; във 2 6 2 4 ; G)м 2 м 5 м 4 ;

д)х 6 ∙ х 3 ∙ х 7 ; е) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Изразете частното като степен:

а)х 8 : х 4 ; б) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

в) х 5 : Х 3 ; д) 10 : u 10 ; D 2 6 : 2 4 ; д) ;

до "5"

1. Следвайте стъпките:

а) а 4 · а · а 3 а б) (7 х ) 2 в) r · Р 2 · Р 0

г) с · с 3 · c e) t · T 4 · ( T 2 ) 2 · T 0

д) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 и) -х 3 · (– х ) 4

з) (Р 2 ) 4 : Р 5 i)(3 4 ) 2 (3 2 ) 3 : 3 11

2. Опростете:

а) х 3 ( х 2 ) 5 в) ( а 2 ) 3 ( а 4 ) 2

б) ( а 3) 2 а 5 g) ( х 2 ) 5 ( х 5 )

Самостоятелна работа

Изпълнение на задачи в тетрадки

7. Обобщение на урока

Обобщаване на информацията, получена в урока.Проверка на работата, оценяване. Идентифициране на трудностите, възникнали в урока

8. Рефлексия

Какво се случи с концепцията за степен вXVIIвек, вие и аз можем да предскажем сами. За да направите това, опитайте се да отговорите на въпроса: възможно ли е число да се повдигне на отрицателна степен или на дробна? Но това е предмет на нашето бъдещо изследване.

Оценки на урока

Момчета, искам да завърша нашия урок със следната притча.

Притча. Вървял мъдър човек, а към него вървели трима души, които под жаркото слънце пренасяли колички с камъни за градеж. Мъдрецът спрял и задал на всеки по един въпрос. Той попита първия: "Какво прави цял ден?" А той с усмивка отвърна, че цял ден носи прокълнати камъни. Мъдрецът попитал втория: „Какво си правил през целия ден“, а той отговорил: „А аз съвестно си свърших работата“. А третият се усмихна, лицето му грейна от радост и удоволствие: „И аз участвах в строежа на храма!“

Момчета, отговорете, какво направихте в урока днес? Просто го направете на листа за самооценка. Заградете с кръгче твърдението във всяка колона, което се отнася за вас.

В листа за самооценка трябва да подчертаете фразите, които характеризират работата на ученика в урока в три области.

Нашият урок приключи. Благодаря на всички за упоритата работа в клас!

Отговори на въпросите

Оценете работата си в клас.

Маркирайте на картата фрази, които характеризират работата им в урока.

Тема на урока: Степен с натурален показател

Тип урок: урок за обобщаване и систематизиране на знанията

Тип урок: комбинирани

Форми на работа: индивидуална, фронтална, работа по двойки

Оборудване: компютър, медиен продукт (представяне в програматаMicrosoftофисpower point 2007); карти със задачи за самоподготовка

Цели на урока:

Образователни : развиване на умения за систематизиране, обобщаване на знания за степента с естествен показател, консолидиране и подобряване на уменията за най-прости трансформации на изрази, съдържащи степени с естествен показател.

- развиващи се: насърчаване на формирането на умения за прилагане на методите за обобщение, сравнение, подчертаване на основното, развитието на математически хоризонти, мислене, реч, внимание и памет.

- образователни: насърчаване на образованието на интерес към математиката, активност, организация, формиране на положителен мотив за учене, развитие на умения за образователна и познавателна дейност

Обяснителна бележка.

Този урок се провежда в общообразователен клас със средно ниво на математическа подготовка. Основната задача на урока е да се развият уменията за систематизиране, обобщаване на знанията за степента с естествен показател, което се реализира в процеса на изпълнение на различни упражнения.

Развиващият характер се проявява в подбора на упражнения. Използването на мултимедиен продукт ви позволява да спестите време, да направите материала по-визуален, да покажете образци на дизайнерски решения.Урокът използва различни видоведейства, което облекчава умората на децата.

Структура на урока:

1. Организиране на времето.

2. Теми за съобщения, поставяне на цели на урока.

4. устна работа.

5. Систематизиране на основните знания.

6. Елементи на здравеопазващи технологии.

7. Изпълнение на тестова задача

9. Резултати от урока.

10. Домашна работа.

По време на часовете:

аз.Организиране на времето

Учител: Здравейте момчета! Радвам се да ви приветствам в нашия урок днес. Седни. Надявам се, че днес в урока ще имаме и успех, и радост. И ние, работейки в екип, ще покажем нашия талант.

Бъдете внимателни по време на урока. Мислете, питайте, предлагайте – тъй като заедно ще вървим по пътя към истината.

Отворете тетрадките и запишете числото, работа в клас

II. Съобщение за тема, поставяне на цел на урока

1) Темата на урока. Епиграф на урока.(Слайд 2.3)

„Нека някой се опита да зачеркне математиката

степен и той ще види, че без тях няма да стигнете далеч” M.V. Ломоносов

2) Поставяне на целите на урока.

Учител: И така, в урока ще повторим, обобщим и въведем изучения материал в системата. Вашата задача е да покажете знанията си за свойствата на степен с естествен показател и способността да ги прилагате при изпълнение на различни задачи.

III. Повторение на основните понятия на темата, свойства на степента с естествен показател

1) разгадайте анаграмата: (слайд 4)

Nspete (степен)

блудство (разрез)

Ованиосне (база)

Касапотел (индикатор)

Умножение (умножение)

2) Какво е степен с натурален показател?(Слайд 5)

(по силата на числото а с естествен показател н , по-голямо от 1, се нарича израз а н равно на произведението н множители, всеки от които е равен на а а-основа н -индекс)

3) Прочетете израза, назовете основата и степента: (Слайд 6)

4) Основни свойства на степента (добавете дясната страна на равенството)(Слайд 7)

• а н а м =

• а н :а м =

• (а н ) м =

• (аб) н =

• ( а / b ) н =

• а 0 =

• а 1 =

IV При стная работа

1) устна сметка (слайд 8)

Учител: А сега нека проверим как можете да приложите тези формули при решаването.

1)x 5 х 7 ; 2) а 4 а 0 ;

3) към 9 : да се 7 ; 4) r н : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- b )(- b ) 3 (- b );

7) с 4 : С; 8) 7 3 : 49;

9) 4 при 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13) sss 3 ; 14) а 2 н а н ;

15) x 9 : Х м ; 16) при н : u

2) играта "Изключете излишъка" ((-1) 2 )(слайд9)

-1

Много добре. Свършиха добра работа. След това решаваме следните примери.

VСистематизиране на основните знания

1. Свържете съответстващите един на друг изрази с линии:(слайд 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Подредете във възходящ ред числата:(слайд 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3. Изпълнение на задачата с последваща самопроверка(слайд 12)

• A1 представя продукта под формата на степен:

а) а) х 5 х 4 ; б) 3 7 3 9 ; на 4) 3 (-4) 8 .

• И 2 опростете израза:

а) х 3 х 7 х 8 ; б) 2 21 :2 19 2 3

• И 3 степенувам:

а) (а 5 ) 3 ; б) (-в 7 ) 2

VIЕлементи на здравословни технологии (слайд 13)

Физическо възпитание: повторение на степента на числата 2 и 3

VIIТестова задача (слайд 14)

Отговорите на теста са написани на дъската: 1 d 2 o 3b 4s 5 h 6a (извличане)

VIII Самостоятелна работа върху карти

На всяко бюро карти със задача по вариант, след приключване на работата се подават за проверка

Опция 1

1) Опростете изразите:

а) б)

в) G)

а) б)

в) G)

Вариант 2

1) Опростете изразите:

а) б)

в) G)

2) Намерете стойността на израза:

а)б)

в) G)

3) Покажете със стрелка дали стойността на израза е равна на нула, положително или отрицателно число:

IX Обобщение на урока

№ п / стр

Вид работа

самочувствие

Оценка на учителя

1

анаграма

2

Прочетете израза

3

правила

4

Устно броене

5

Свържете се с линии

6

Подредете във възходящ ред

7

Задачи за самопроверка

8

Тест

9

Самостоятелна работа върху карти

X Домашна работа

Тестови карти

A1. Намерете стойността на израза: .