Средната линия на трапеца е винаги. Средната линия на трапеца: на какво е равно, свойства, доказателство на теоремата. Как да намерим средната линия на трапец за равнобедрена фигура

Трапецът е специален случай на четириъгълник, в който една двойка страни е успоредна. Терминът "трапец" идва от гръцката дума τράπεζα, което означава "маса", "маса". В тази статия ще разгледаме видовете трапец и неговите свойства. Освен това ще разберем как да изчислим отделните елементи от този пример, диагоналът на равнобедрен трапец, средната линия, площта и т.н. Материалът е представен в стила на елементарната популярна геометрия, тоест на лесно достъпен форма.

Главна информация

Първо, нека разберем какво е четириъгълник. Тази фигура е специален случай на многоъгълник, съдържащ четири страни и четири върха. Два върха на четириъгълник, които не са съседни, се наричат ​​противоположни. Същото може да се каже и за две несъседни страни. Основните видове четириъгълници са успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат, трапец и делтоид.

И така, обратно към трапеца. Както вече казахме, тази фигура има две страни, които са успоредни. Те се наричат ​​бази. Другите две (непаралелни) са страните. В изпитни материали и разни контролни работимного често можете да срещнете задачи, свързани с трапеци, чието решение често изисква ученикът да има знания, които не са предвидени от програмата. Училищният курс по геометрия запознава учениците със свойствата на ъглите и диагоналите, както и със средната линия на равнобедрен трапец. Но в края на краищата, в допълнение към това, споменатата геометрична фигура има и други характеристики. Но повече за тях по-късно...

Видове трапец

Има много разновидности на тази фигура. Най-често обаче е обичайно да се разглеждат два от тях - равнобедрен и правоъгълен.

1. Правоъгълен трапец е фигура, на която една от страните е перпендикулярна на основите. Има два ъгъла, които винаги са деветдесет градуса.

2. Равнобедреният трапец е геометрична фигура, чиито страни са равни една на друга. Това означава, че ъглите при основите също са равни по двойки.

Основните принципи на методологията за изследване на свойствата на трапец

Основният принцип е използването на така наречения подход на задачите. Всъщност няма нужда да се въвеждат нови свойства на тази фигура в теоретичния курс на геометрията. Те могат да бъдат открити и формулирани в процеса на решаване на различни проблеми (по-добре от системните). В същото време е много важно учителят да знае какви задачи трябва да бъдат поставени на учениците в един или друг момент. учебен процес. Освен това всяко свойство на трапеца може да бъде представено като ключова задача в системата от задачи.

Вторият принцип е така наречената спирална организация на изследването на "забележителните" свойства на трапеца. Това предполага връщане в учебния процес към индивидуалните особености на даденост геометрична фигура. Така е по-лесно за учениците да ги запомнят. Например свойството на четири точки. Може да се докаже както при изследване на подобието, така и впоследствие с помощта на вектори. А равната площ на триъгълници, съседни на страните на фигурата, може да се докаже чрез прилагане не само на свойствата на триъгълници с равни височини, начертани към страните, които лежат на една и съща линия, но и чрез използване на формулата S= 1/2 (ab*sinα). Освен това можете да тренирате върху вписан трапец или правоъгълен триъгълник върху описан трапец и т.н.

Използването на "извънпрограмни" характеристики на геометрична фигура в съдържанието на училищния курс е задача технология за преподаването им. Постоянното обръщане към изучаваните свойства при преминаване през други теми позволява на учениците да придобият по-задълбочени познания за трапеца и гарантира успеха при решаването на задачите. И така, нека започнем да изучаваме тази прекрасна фигура.

Елементи и свойства на равнобедрен трапец

Както вече отбелязахме, страните на тази геометрична фигура са равни. Известен е още като прав трапец. Защо е толкова забележително и защо получи такова име? Характеристиките на тази фигура включват факта, че не само страните и ъглите в основите са равни, но и диагоналите. Освен това сумата от ъглите на равнобедрен трапец е 360 градуса. Но това не е всичко! От всички известни трапеци само около равнобедрен може да се опише окръжност. Това се дължи на факта, че сборът от противоположните ъгли на тази фигура е 180 градуса и само при това условие може да се опише кръг около четириъгълника. Следващото свойство на разглежданата геометрична фигура е, че разстоянието от основния връх до проекцията на противоположния връх върху правата линия, която съдържа тази основа, ще бъде равно на средната линия.

Сега нека да разберем как да намерим ъглите на равнобедрен трапец. Помислете за решение на този проблем, при условие че са известни размерите на страните на фигурата.

Решение

Обикновено четириъгълникът обикновено се обозначава с буквите A, B, C, D, където BS и AD са основите. В равнобедрен трапец страните са равни. Ще приемем, че размерът им е X, а размерите на основите са Y и Z (съответно по-малък и по-голям). За да извършите изчислението, е необходимо да начертаете височина H от ъгъл B. Резултатът е правоъгълен триъгълник ABN, където AB е хипотенузата, а BN и AN са краката. Изчисляваме размера на крака AN: изваждаме по-малката от по-голямата основа и разделяме резултата на 2. Записваме го под формата на формула: (Z-Y) / 2 \u003d F. Сега, за да изчислим остър ъгъл на триъгълника, използваме функцията cos. Получаваме следния запис: cos(β) = Х/F. Сега изчисляваме ъгъла: β=arcos (Х/F). Освен това, знаейки един ъгъл, можем да определим втория, за това извършваме елементарна аритметична операция: 180 - β. Всички ъгли са определени.

Има и второ решение на този проблем. В началото спускаме височината H от ъгъл B. Изчисляваме стойността на крака BN. Знаем, че квадратът на хипотенузата правоъгълен триъгълник е равно на суматаквадрати на краката. Получаваме: BN \u003d √ (X2-F2). След това използваме тригонометричната функция tg. В резултат на това имаме: β = arctg (BN / F). Намерен остър ъгъл. След това определяме по същия начин като първия метод.

Свойство на диагоналите на равнобедрен трапец

Нека първо запишем четири правила. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава:

Височината на фигурата ще бъде равна на сумата от основите, разделена на две;

Неговата височина и средната линия са равни;

Центърът на кръга е точката, където ;

Ако страничната страна е разделена от точката на контакт на сегменти H и M, тогава тя е равна на корен квадратенпродукти от тези сегменти;

Четириъгълникът, образуван от допирателните точки, върха на трапеца и центъра на вписаната окръжност, е квадрат, чиято страна е равна на радиуса;

Площта на фигурата е равна на произведението на основите и произведението на половината от сбора на основите и нейната височина.

Подобни трапеции

Тази тема е много удобна за изучаване на свойствата на тази.Например диагоналите разделят трапеца на четири триъгълника, като прилежащите към основите са подобни, а към страните са равни. Това твърдение може да се нарече свойство на триъгълниците, на които трапецът е разделен от неговите диагонали. Първата част на това твърдение се доказва чрез критерия за подобие в два ъгъла. За доказване на втората част е по-добре да използвате метода, даден по-долу.

Доказателство на теоремата

Приемаме, че фигурата ABSD (AD и BS - основите на трапеца) е разделена на диагоналите VD и AC. Тяхната пресечна точка е O. Получаваме четири триъгълника: AOS - в долната основа, BOS - в горната основа, ABO и SOD отстрани. Триъгълниците SOD и BOS имат обща височина, ако отсечките BO и OD са техните основи. Получаваме, че разликата между техните площи (P) е равна на разликата между тези сегменти: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Следователно PSOD = PBOS / K. По същия начин триъгълниците BOS и AOB имат обща височина. Вземаме отсечките CO и OA за техни бази. Получаваме PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K и PAOB \u003d PBOS / K. От това следва, че PSOD = PAOB.

За да консолидират материала, учениците се съветват да намерят връзка между областите на получените триъгълници, на които трапецът е разделен от неговите диагонали, като решат следната задача. Известно е, че площите на триъгълниците BOS и AOD са равни, необходимо е да се намери площта на трапеца. Тъй като PSOD \u003d PAOB, това означава, че PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. От подобието на триъгълниците BOS и AOD следва, че BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Следователно PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаваме PSOD = √ (PBOS * PAOD). Тогава PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

свойства на подобие

Продължавайки да развиваме тази тема, можем да докажем други интересни функциитрапец. Така че, използвайки подобие, можете да докажете свойството на сегмент, който минава през точка, образувана от пресечната точка на диагоналите на тази геометрична фигура, успоредна на основите. За целта решаваме следната задача: необходимо е да се намери дължината на отсечката RK, която минава през точка O. От подобието на триъгълници AOD и BOS следва, че AO/OS=AD/BS. От сходството на триъгълници AOP и ASB следва, че AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Оттук получаваме това RO \u003d BS * AD / (BS + AD). По същия начин от сходството на триъгълниците DOK и DBS следва, че OK \u003d BS * AD / (BS + AD). От тук получаваме, че RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD). Сегментът, минаващ през точката на пресичане на диагоналите, успоредни на основите и свързващи двете страни, се разделя от точката на пресичане наполовина. Дължината му е средната хармонична стойност на основите на фигурата.

Разгледайте следното свойство на трапец, което се нарича свойство на четири точки. Пресечните точки на диагоналите (O), пресечните точки на продължението на страните (E), както и средните точки на основите (T и W) винаги лежат на една и съща права. Това лесно се доказва чрез метода на подобието. Получените триъгълници BES и AED са подобни, като във всеки от тях медианите ET и EZH разделят ъгъла при върха E на равни части. Следователно точките E, T и W лежат на една и съща права линия. По същия начин на една права линия са разположени точките T, O и G. Всичко това следва от подобието на триъгълниците BOS и AOD. От това заключаваме, че и четирите точки - E, T, O и W - ще лежат на една права линия.

Използвайки подобни трапеци, учениците могат да бъдат помолени да намерят дължината на сегмента (LF), който разделя фигурата на две подобни. Този сегмент трябва да е успореден на основите. Тъй като получените трапеци ALFD и LBSF са подобни, тогава BS/LF=LF/AD. От това следва, че LF=√(BS*BP). Получаваме, че сегментът, който разделя трапеца на два подобни, има дължина, равна на средното геометрично на дължините на основите на фигурата.

Разгледайте следното свойство на подобие. Тя се основава на сегмент, който разделя трапеца на две еднакви по размер фигури. Приемаме, че трапецът ABSD е разделен от отсечката EN на два подобни. От върха B е пропусната височината, която се разделя от отсечката EH на две части - B1 и B2. Получаваме: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 и PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. След това съставяме система, чието първо уравнение е (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 и второто (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. От това следва, че B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Получаваме, че дължината на отсечката, разделяща трапеца на две равни, е равна на средния квадрат на дължините на основите: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Изводи за подобие

Така ние доказахме, че:

1. Отсечката, свързваща средите на страните на трапеца, е успоредна на AD и BS и е равна на средноаритметичното на BS и AD (дължината на основата на трапеца).

2. Правата, минаваща през точката O на пресечната точка на диагоналите, успоредни на AD и BS, ще бъде равна на средната хармонична стойност на числата AD и BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Отсечката, която разделя трапеца на подобни има дължина на средната геометрична на основите BS и AD.

4. Елемент, който разделя фигура на две равни, има дължина на средните квадратични числа AD и BS.

За да консолидира материала и да разбере връзката между разглежданите сегменти, ученикът трябва да ги изгради за конкретен трапец. Той лесно може да покаже средната линия и отсечката, която минава през точката О - пресечната точка на диагоналите на фигурата - успоредни на основите. Но къде ще са третият и четвъртият? Този отговор ще доведе ученика до откриването на желаната връзка между средните стойности.

Отсечка, която свързва средните точки на диагоналите на трапец

Разгледайте следното свойство на тази фигура. Приемаме, че отсечката MH е успоредна на основите и разполовява диагоналите. Нека наречем пресечните точки W и W. Този сегмент ще бъде равен на полуразликата на основите. Нека анализираме това по-подробно. MSH - средната линия на триъгълника ABS, тя е равна на BS / 2. MS - средната линия на триъгълника ABD, тя е равна на AD / 2. Тогава получаваме, че ShShch = MShch-MSh, следователно Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Център на тежестта

Нека да разгледаме как се определя този елемент за дадена геометрична фигура. За да направите това, е необходимо да разширите основите в противоположни посоки. Какво означава? Необходимо е да добавите долната основа към горната основа - към която и да е от страните, например вдясно. И долната част е удължена с дължината на горната вляво. След това ги свързваме с диагонал. Пресечната точка на този сегмент със средната линия на фигурата е центърът на тежестта на трапеца.

Вписани и описани трапеци

Нека изброим характеристиките на такива фигури:

1. Трапецът може да бъде вписан в окръжност само ако е равнобедрен.

2. Трапецът може да се опише около окръжност, при условие че сборът от дължините на техните основи е равен на сбора от дължините на страните.

Последици от вписаната окръжност:

1. Височината на описания трапец винаги е равна на два радиуса.

2. Страничната страна на описания трапец се наблюдава от центъра на окръжността под прав ъгъл.

Първото следствие е очевидно и за доказване на второто е необходимо да се установи, че ъгълът SOD е прав, което всъщност също няма да е трудно. Но познаването на това свойство ще ни позволи да използваме правоъгълен триъгълник при решаване на задачи.

Сега уточняваме тези следствия за равнобедрен трапец, който е вписан в окръжност. Получаваме, че височината е средното геометрично на основите на фигурата: H=2R=√(BS*AD). Упражнявайки основната техника за решаване на задачи за трапеци (принципа на чертане на две височини), ученикът трябва да реши следната задача. Приемаме, че BT е височината на равнобедрената фигура ABSD. Необходимо е да се намерят сегменти AT и TD. Използвайки формулата, описана по-горе, това няма да е трудно да се направи.

Сега нека да разберем как да определим радиуса на окръжност, използвайки площта на описания трапец. Спускаме височината от върха B до основата AD. Тъй като кръгът е вписан в трапец, тогава BS + AD \u003d 2AB или AB \u003d (BS + AD) / 2. От триъгълника ABN намираме sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Получаваме PABSD \u003d (BS + HELL) * R, от което следва, че R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Всички формули на средната линия на трапец

Сега е време да преминем към последния елемент от тази геометрична фигура. Нека разберем на какво е равна средната линия на трапеца (M):

1. През основите: M \u003d (A + B) / 2.

2. Чрез височина, основа и ъгли:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. През височина, диагонали и ъгъл между тях. Например D1 и D2 са диагоналите на трапец; α, β - ъгли между тях:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. През площта и височината: M = P / N.

средна линияфигури в планиметрията - отсечка, свързваща средите на двете страни на дадена фигура. Понятието се използва за следните фигури: триъгълник, четириъгълник, трапец.

Средна линия на триъгълника

Имоти

• средната линия на триъгълник е успоредна на основата и равна на половината от нея.
• средната линия отрязва триъгълник, подобен и хомотетичен на оригиналния с коефициент 1/2; неговата площ е равна на една четвърт от площта на оригиналния триъгълник.
• три средни линии разделят оригиналния триъгълник на четири равен триъгълник. Централният от тези триъгълници се нарича допълнителен или медиален триъгълник.

знаци

• Ако отсечка в триъгълник минава през средата на една от страните му, пресича втората и е успоредна на третата, тогава тази отсечка е средната линия.
• Площта и съответно обемът на триъгълника, отрязан от средната линия, е равен на 1/4 от площта и съответно обема на целия даден триъгълник.

Средна линия на четириъгълника

Средна линия на четириъгълникаОтсечка, която свързва средните точки на противоположните страни на четириъгълник.

Имоти

Първата линия свързва 2 противоположни страни. Вторият свързва 2 други противоположни страни. Третият свързва центровете на двата диагонала (не във всички четириъгълници диагоналите се разполовяват от пресечната точка).

• Ако в изпъкнал четириъгълник се образува средната линия равни ъглис диагоналите на четириъгълник, тогава диагоналите са равни.
• Дължината на средната линия на четириъгълник е по-малка или равна на половината от сбора на другите две страни, ако тези страни са успоредни и само в този случай.
• Средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник. Площта му е равна на половината от площта на четириъгълника, а центърът му е в пресечната точка на средните линии. Този успоредник се нарича успоредник на Вариньон;
• Последната точка означава следното: В изпъкнал четириъгълник четири средни линии от втори вид. Средни линии от втори вид- четири сегмента вътре в четириъгълника, минаващи през средните точки на съседните му страни, успоредни на диагоналите. Четири средни линии от втори видизпъкнал четириъгълник го нарежете на четири триъгълника и един централен четириъгълник. Този централен четириъгълник е успоредникът на Вариньон.
• Пресечната точка на средните линии на четириъгълника е тяхната обща среда и разполовява отсечката, свързваща средите на диагоналите. В допълнение, това е центроидът на върховете на четириъгълника.
• В произволен четириъгълник векторът на средната линия е равен на половината от сбора на основните вектори.

Средна линия на трапеца

Средна линия на трапеца

Средна линия на трапеца- сегмент, свързващ средните точки на страните на този трапец. Отсечката, свързваща средните точки на основите на трапеца, се нарича втора средна линия на трапеца.

Изчислява се по формулата: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), където ADи пр.н.е- основата на трапеца.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общите признаци и свойства на трапеца, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на разглежданите свойства ще ви помогне да подредите нещата в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от страните на която са успоредни една на друга (това са основите). И две не са успоредни - това са страните.

В трапец може да се пропусне височината - перпендикулярна на основите. Начертани са средната линия и диагоналите. И също така от всеки ъгъл на трапеца е възможно да се начертае ъглополовяща.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапец е, че сегментът XT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Пред нас е същият трапец на ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Нека разгледаме триъгълниците AOE и IOC, образувани от отсечките на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство на k триъгълника се изразява чрез съотношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
   Отношението на площите на триъгълниците AOE и IOC се описва с коефициента k 2 .
3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка О. Само този път ще разгледаме триъгълници, които диагоналните сегменти образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са равни – повърхнините им са еднакви.
4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължим страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в някаква точка. След това начертайте права линия през средните точки на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
   Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще съедини точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средните точки на основите на X и T.
5. Чрез точката на пресичане на диагоналите начертаваме сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа на KM, X - на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OH = KM/AE.
6. И сега през точката на пресичане на диагоналите начертаваме сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмент, като използвате формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
2. Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство на ъглополовящата на трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Вземете, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, лесно можете да видите, че ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на трапецовиден ъгъл

1. Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в една двойка винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
2. Свържете средните точки на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на TX сегмента е лесна за изчисляване въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Ако през страните на ъгъла на трапец се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равнобедрен) трапец

1. В равнобедрен трапец ъглите при всяка от основите са равни.
2. Сега изградете отново трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво става въпрос. Погледнете внимателно основата на AE - върхът на противоположната основа на M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрен трапец са равни.
3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
4. Само в близост до равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като предпоставка за това е сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник 180 0 .
5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако около трапец може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапеца: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
7. Начертайте линията TX отново през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец тя е перпендикулярна на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
8. Този път по-ниска до по-голямата основа (да я наречем a) височината от срещуположния връх на трапеца. Ще получите две разфасовки. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a+b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално къде е центърът на окръжността спрямо трапеца. Тук също се препоръчва да не бъдете твърде мързеливи, за да вземете молив и да нарисувате това, което ще бъде обсъдено по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

1. Местоположението на центъра на кръга се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагонал може да излезе от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно по средата (R = ½AE).
2. Диагоналът и страната могат да се срещат и под остър ъгъл – тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
3. Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страничната му страна.
4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл) е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½MY.
5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описаната окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно ще забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. Например, R \u003d AE / 2 * sinAME. По същия начин формулата може да бъде написана за всяка от страните на двата триъгълника.
6. Метод втори: намираме радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да впишете кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

1. Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
2. За трапец ACME, описан около окръжност, сумата от дължините на основите е равна на сумата от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в този трапец може да се впише окръжност, сборът от основите на който е равен на сбора от страните.
4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страничната страна на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
5. И още един имот. За да не се объркате, нарисувайте сами този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. В него са начертани диагонали, пресичащи се в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страните, са правоъгълни.
   Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страните на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца е същата като диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, един от ъглите на който е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

1. Правоъгълният трапец има една от страните, перпендикулярна на основите.
2. Височината и страната на трапеца, съседна на прав ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец ( обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
3. За правоъгълен трапец общите свойства на вече описаните по-горе диагонали на трапеца са от значение.

Доказателства за някои свойства на трапец

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

• Вероятно вече се досетихте, че тук отново се нуждаем от трапец ACME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Където AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапец ACME е равнобедрен:

• Като начало нека начертаем права линия МХ – МХ || KE. Получаваме успоредник KMHE (база - MX || KE и KM || EX).

∆AMH е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM \u003d KE и AE е общата страна на двата триъгълника. А също и MAE \u003d MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а оттам следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за повторение

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страната на KA, равна на 8 cm, образува ъгъл 150 0 с по-малка основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Което означава, че сборът им е 1800. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойството на ъглите на трапеца).

Помислете сега за правоъгълника ∆ANK (мисля, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него намираме височината на трапеца KH - в триъгълник това е катет, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Площта на трапеца се намира по формулата: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички горни свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но сами видяхте, че разликата е огромна.

Сега имате подробно резюме на всички общи имотитрапец. Както и специфични свойства и особености на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Средната линия на трапеца и особено неговите свойства се използват много често в геометрията за решаване на проблеми и доказване на определени теореми.

е четириъгълник само с 2 страни, успоредни една на друга. Паралелните страни се наричат ​​основи (на фигура 1 - ADи пр.н.е), другите две са странични (на фигурата ABи CD).

Средна линия на трапеца- това е сегмент, свързващ средните точки на неговите странични страни (на фигура 1 - KL).

Свойства на средната линия на трапец

Доказателство на теоремата за средната линия на трапеца

Докажиче средната линия на трапец е равна на половината от сбора на неговите основи и е успоредна на тези основи.

Дана трапец ABCDсъс средна линия KL. За доказване на разглежданите свойства е необходимо да се начертае права линия през точките би Л. На фигура 2 това е права линия BQ. И също така продължете основата ADдо пресечната точка с линията BQ.

Помислете за получените триъгълници LBCи LQD:

1. По дефиниция на средната линия KLточка Ле средата на сегмента CD. От това следва, че сегментите CLи LDса равни.
2. ∠BLC = ∠QLDзащото тези ъгли са вертикални.
3. ∠BCL = ∠LDQ, тъй като тези ъгли са напречно разположени на успоредни прави ADи пр.н.еи секанс CD.

От тези 3 равенства следва, че разгледаните по-рано триъгълници LBCи LQDса равни на 1 страна и два ъгъла, съседни на нея (виж фиг. 3). Следователно, ∠ LBC = ∠LQD, BC=DQи най-важното - BL=LQ => KL, която е средната линия на трапеца ABCD, също е средната линия на триъгълника ABQ. Според свойството на средната линия на триъгълник ABQполучаваме.

средна линияфигури в планиметрията - отсечка, свързваща средите на двете страни на дадена фигура. Понятието се използва за следните фигури: триъгълник, четириъгълник, трапец.

Енциклопедичен YouTube

1 / 3

✪ 8 клас, урок 25, Средната линия на триъгълника

✪ геометрия СРЕДНА ЛИНИЯ НА ТРИЪГЪЛНИК Атанасян 8 клас

✪ Средната линия на триъгълника | Геометрия 7-9 клас #62 | информационен урок

субтитри

Средна линия на триъгълника

Имоти

• средната линия на триъгълник е успоредна на основата и равна на половината от нея.
• в пресечната точка и на трите средни линии се образуват 4 равни триъгълника, подобни (дори хомотетични) на първоначалния с коефициент 1/2.
• средната линия отрязва триъгълник, който е подобен на дадения, а неговата площ е равна на една четвърт от площта на оригиналния триъгълник.
• Трите средни линии на триъгълника го разделят на 4 равни (еднакви) триъгълника, подобни на оригиналния триъгълник. Всичките 4 такива еднакви триъгълника се наричат средни триъгълници. Централният от тези 4 еднакви триъгълника се нарича допълнителен триъгълник.

знаци

• ако сегментът е успореден на една от страните на триъгълника и свързва средата на едната страна на триъгълника с точка, разположена от другата страна на триъгълника, тогава това е средната линия.

Средна линия на четириъгълника

Средна линия на четириъгълникаОтсечка, която свързва средните точки на противоположните страни на четириъгълник.

Имоти

Първата линия свързва 2 противоположни страни. Вторият свързва 2 други противоположни страни. Третият свързва центровете на двата диагонала (не във всички четириъгълници диагоналите се разполовяват от пресечната точка).

• Ако в изпъкнал четириъгълник средната линия образува равни ъгли с диагоналите на четириъгълника, тогава диагоналите са равни.
• Дължината на средната линия на четириъгълник е по-малка или равна на половината от сбора на другите две страни, ако тези страни са успоредни и само в този случай.
• Средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник. Площта му е равна на половината от площта на четириъгълника, а центърът му е в пресечната точка на средните линии. Този успоредник се нарича успоредник на Вариньон;
• Последната точка означава следното: В изпъкнал четириъгълник четири средни линии от втори вид. Средни линии от втори вид- четири сегмента вътре в четириъгълника, минаващи през средните точки на съседните му страни, успоредни на диагоналите. Четири средни линии от втори видизпъкнал четириъгълник го нарежете на четири триъгълника и един централен четириъгълник. Този централен четириъгълник е успоредник на Вариньон.
• Пресечната точка на средните линии на четириъгълника е тяхната обща среда и разполовява отсечката, свързваща средите на диагоналите. Освен това тя е