Извеждане на общата формула за корените на уравнението tgx a. Урок "Арктангенс и аркустангенс. Решение на уравнения tgx = a, ctgx = a". Решение на уравнението tgx=a в общ вид

По-рано в програмата студентите получиха представа за решението тригонометрични уравнения, се запознаха с понятията аркосинус и аркуссинус, примери за решения на уравненията cos t = a и sin t = a. В този видео урок ще разгледаме решението на уравненията tg x = a и ctg x = a.

В началото на изучаването на тази тема разгледайте уравненията tg x = 3 и tg x = - 3. Ако решим уравнението tg x = 3 с помощта на графика, ще видим, че пресечната точка на графиките на функциите y = tg x и y = 3 има безкраен брой решения, където x = x 1 + πk. Стойността x 1 е координатата x на пресечната точка на графиките на функциите y = tg x и y = 3. Авторът въвежда понятието арктангенс: arctg 3 е число, чието tg е 3 и това число принадлежи на интервалът от -π/2 до π/2. Използвайки концепцията за арктангенс, решението на уравнението tan x = 3 може да бъде записано като x = arctan 3 + πk.

По аналогия се решава уравнението tg x \u003d - 3. Според построените графики на функциите y \u003d tg x и y \u003d - 3 се вижда, че пресечните точки на графиките и следователно решенията от уравненията, ще бъде x \u003d x 2 + πk. Използвайки аркутангенса, решението може да бъде записано като x = arctan (- 3) + πk. На следващата фигура ще видим, че arctg (- 3) = - arctg 3.

Общата дефиниция на аркутангенса е следната: аркустангенса на a е такова число от интервала от -π / 2 до π / 2, чийто тангенс е a. Тогава решението на уравнението tg x = a е x = arctg a + πk.

Авторът дава пример 1. Намерете решение на израза arctg Нека въведем обозначението: аркутангенсът на числото е x, тогава tg x ще бъде равно на даденото число, където x принадлежи на отсечката от -π/ 2 до π/2. Както в примерите в предишните теми, ще използваме таблица със стойности. Според тази таблица тангенсът на това число съответства на стойността x = π/3. Записваме решението на уравнението на аркутангенса на дадено число, равно на π / 3, π / 3 също принадлежи към интервала от -π / 2 до π / 2.

Пример 2 - Изчислете аркутангенса на отрицателно число. Като използвате равенството arctg (- a) = - arctg a, въведете стойността x. Подобно на пример 2, записваме стойността на x, която принадлежи на интервала от -π/2 до π/2. Според таблицата със стойности намираме, че x = π/3, следователно -- tg x = - π/3. Отговорът на уравнението е - π/3.

Разгледайте пример 3. Нека решим уравнението tan x = 1. Нека запишем, че x = arctan 1 + πk. В таблицата стойността на tg 1 съответства на стойността x \u003d π / 4, следователно arctg 1 \u003d π / 4. Заместете тази стойност в оригиналната формула x и запишете отговора x = π/4 + πk.

Пример 4: изчислете tg x = - 4.1. В този случай x = arctg (- 4.1) + πk. защото не е възможно да се намери стойността на arctg в този случай, отговорът ще изглежда като x = arctg (- 4.1) + πk.

Пример 5 разглежда решението на неравенството tg x > 1. За да го решим, начертаваме графиките на функциите y = tg x и y = 1. Както може да се види на фигурата, тези графики се пресичат в точките x = π /4 + πk. защото в този случай, tg x > 1, на графиката избираме областта на тангентоида, която е над графиката y = 1, където x принадлежи на интервала от π/4 до π/2. Записваме отговора като π/4 + πk< x < π/2 + πk.

След това разгледайте уравнението ctg x = a. На фигурата са показани графики на функции y = ctg x, y = a, y = - a, които имат много пресечни точки. Решенията могат да бъдат записани като x = x 1 + πk, където x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, където x 2 = arcctg (- a). Отбелязва се, че x 2 \u003d π - x 1. Това предполага равенството arcctg (- a) = π - arcctg a. Освен това е дадена дефиницията на аркотангенса: аркотангенсът на a е такова число от интервала от 0 до π, чийто котангенс е равен на a. Решението на уравнението сtg x = a се записва така: x = arcctg a + πk.

В края на видео урока се прави още един важен извод - изразът ctg x = a може да се запише като tg x = 1/a, при условие че a не е равно на нула.

ТЪЛКУВАНЕ НА ТЕКСТА:

Помислете за решението на уравненията tg x \u003d 3 и tg x \u003d - 3. Решавайки първото уравнение графично, виждаме, че графиките на функциите y \u003d tg x и y \u003d 3 имат безкрайно много пресечни точки, абсцисите на които записваме във формата

x \u003d x 1 + πk, където x 1 е абсцисата на точката на пресичане на линията y \u003d 3 с главния клон на тангентоида (фиг. 1), за който е измислено обозначението

арктан 3 (арктангенс от три).

Как да разбираме arctg 3?

Това е число, чийто тангенс е 3 и това число принадлежи на интервала (-;). Тогава всички корени на уравнението tg x \u003d 3 могат да бъдат записани по формулата x \u003d arctan 3 + πk.

По същия начин решението на уравнението tg x \u003d - 3 може да бъде записано като x \u003d x 2 + πk, където x 2 е абсцисата на точката на пресичане на правата y \u003d - 3 с главния клон на тангентоид (фиг. 1), за който обозначението arctg (- 3) (арктангенс минус три). Тогава всички корени на уравнението могат да бъдат записани по формулата: x \u003d arctg (-3) + πk. Фигурата показва, че arctg(- 3)= - arctg 3.

Нека формулираме дефиницията на аркутангенса. Арктангенс a е такова число от интервала (-;), чийто тангенс е равен на a.

Често се използва равенството: arctg(-a) = -arctg a, което е валидно за всяко a.

Познавайки дефиницията на аркутангенса, правим общо заключение за решението на уравнението

tg x \u003d a: уравнението tg x \u003d a има решение x \u003d arctg a + πk.

Разгледайте примери.

ПРИМЕР 1. Изчислете arctg.

Решение. Нека arctg = x, тогава tgx = и xϵ (-;). Показване на таблица със стойности Следователно x =, тъй като tg = и ϵ (- ;).

Така че arctg =.

ПРИМЕР 2 Изчислете арктан (-).

Решение. Използвайки равенството arctg (- a) \u003d - arctg a, пишем:

arctg(-) = - arctg. Нека - arctg = x, тогава - tgx = и xϵ (-;). Следователно x =, тъй като tg = и ϵ (- ;). Показване на таблица със стойности

Така че - arctg=- tgх= - .

ПРИМЕР 3. Решете уравнението tgх = 1.

1. Нека запишем формулата на решението: x = arctg 1 + πk.

2. Нека намерим стойносттадъгова допирателна

тъй като tg = . Показване на таблица със стойности

Така че arctg1= .

3. Поставете намерената стойност във формулата на решението:

ПРИМЕР 4. Решете уравнението tgx \u003d - 4.1 (тангенс x е равен на минус четири точка една десета).

Решение. Нека запишем формулата на решението: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

Не можем да изчислим стойността на аркутангенса, така че ще оставим решението на уравнението такова, каквото е.

ПРИМЕР 5. Решете неравенството tgх 1.

Решение. Нека го направим графично.

1. Нека построим тангентоид

y \u003d tgx и права линия y \u003d 1 (фиг. 2). Те се пресичат в точки от вида x = + πk.

2. Изберете интервала на оста x, върху който главният клон на тангентоида е разположен над правата линия y \u003d 1, тъй като според условието tgх 1. Това е интервалът (;).

3. Използваме периодичността на функцията.

Свойство 2. y \u003d tg x - периодична функция с основен период π.

Като вземем предвид периодичността на функцията y \u003d tgx, пишем отговора:

(;). Отговорът може да се запише като двойно неравенство:

Нека да преминем към уравнението ctg x \u003d a. Нека представим графична илюстрация на решението на уравнението за положително и отрицателно a (фиг. 3).

Графики на функции y \u003d ctg x и y \u003d a и

y=ctg x и y=-a

имат безкрайно много общи точки, чиито абсциси имат формата:

x \u003d x 1 +, където x 1 е абсцисата на точката на пресичане на правата y \u003d a с главния клон на тангентоида и

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, където x 2 е абсцисата на пресечната точка на линията

y \u003d - но с главния клон на тангентоида и x 2 \u003d arcсtg (- a).

Обърнете внимание, че x 2 \u003d π - x 1. Така че записваме важното уравнение:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Нека формулираме определението: аркотангенс на a е такова число от интервала (0; π), чийто котангенс е равен на a.

Решението на уравнението ctg x \u003d a се записва като: x \u003d arcсtg a +.

Обърнете внимание, че уравнението ctg x = a може да бъде преобразувано във формата

tg x = , освен когато a = 0.

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем !!!

Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и ние ще разгледаме техните формули по-нататък.

Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека напишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

С `|a| \leq 1` има безкраен бройрешения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синуса, няма решения сред реалните числа.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи за синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Освен това има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синусите:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решението на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• използване, за да го преобразувате в най-простия;
• решете полученото просто уравнение, като използвате горните формули за корените и таблиците.

Нека разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

алгебричен метод.

При този метод се извършва замяната на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Преместете наляво всички членове на равенство: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да приведете това тригонометрично уравнение в една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` за първия случай и на `cos^2 x \ne 0` за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени с помощта на известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, като разделим лявата и дясната му част на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Да въведем замяната `tg x=t`, като резултат `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отидете до половин ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Прилагайки формулите за двоен ъгъл, резултатът е: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение `a sin x + b cos x =c`, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, ние разделяме двете части на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и модулът им не е по-голям от 1. Означаваме ги по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяйки двете страни на уравнението на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Означете `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, в чиито числители и знаменатели има тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на уравнението на „(1+cos x)“. В резултат на това получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравнете числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за изпита, така че опитайте се да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да правите изводи. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.

За успешно решаване тригонометрични уравненияудобен за използване метод на намаляванекъм решени преди това проблеми. Нека да видим каква е същността на този метод?

Във всеки предложен проблем трябва да видите решения по-рано проблем и след това с помощта на последователни еквивалентни трансформации се опитайте да намалите дадения ви проблем до по-прост.

Така че, когато решават тригонометрични уравнения, те обикновено съставляват някаква крайна последователност от еквивалентни уравнения, последната връзка от които е уравнение с очевидно решение. Важно е само да запомните, че ако не се формират умения за решаване на най-простите тригонометрични уравнения, тогава решаването на по-сложни уравнения ще бъде трудно и неефективно.

Освен това, когато решавате тригонометрични уравнения, никога не трябва да забравяте за възможността за съществуването на няколко решения.

Пример 1. Намерете броя на корените на уравнението cos x = -1/2 върху интервала.

Решение:

Аз начин.Нека да начертаем графиките на функциите y = cos x и y = -1/2 и да намерим броя на общите им точки на интервала (фиг. 1).

Тъй като графиките на функциите имат две общи точки на интервала, уравнението съдържа два корена на този интервал.

II начин.Използвайки тригонометричния кръг (фиг. 2), намираме броя на точките, принадлежащи на интервала, в който cos x = -1/2. Фигурата показва, че уравнението има два корена.

III начин.Използвайки формулата на корените на тригонометричното уравнение, решаваме уравнението cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k е цяло число (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k е цяло число (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k е цяло число (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k е цяло число (k ∈ Z).

Корените 2π/3 и -2π/3 + 2π принадлежат на интервала, k е цяло число. Така уравнението има два корена на даден интервал.

Отговор: 2.

В бъдеще тригонометричните уравнения ще се решават по един от предложените методи, което в много случаи не изключва използването на други методи.

Пример 2. Намерете броя на решенията на уравнението tg (x + π/4) = 1 на интервала [-2π; 2π].

Решение:

Използвайки формулата на корените на тригонометричното уравнение, получаваме:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k е цяло число (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k е цяло число (k € Z);

x = πk, k е цяло число (k € Z);

Интервалът [-2π; 2π] принадлежат на числата -2π; -π; 0; π; 2π. И така, уравнението има пет корена на даден интервал.

Отговор: 5.

Пример 3. Намерете броя на корените на уравнението cos 2 x + sin x cos x = 1 на интервала [-π; π].

Решение:

Тъй като 1 = sin 2 x + cos 2 x (основна тригонометрична идентичност), оригиналното уравнение става:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Продуктът е равен на нула, което означава, че поне един от факторите трябва да е равен на нула, следователно:

sin x \u003d 0 или sin x - cos x \u003d 0.

Тъй като стойността на променливата, при която cos x = 0, не са корените на второто уравнение (синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно), тогава разделяме двете части на второто уравнение уравнение по cos x:

sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.

Във второто уравнение използваме факта, че tg x = sin x / cos x, тогава:

sin x = 0 или tg x = 1. Използвайки формули, имаме:

x = πk или x = π/4 + πk, k е цяло число (k ∈ Z).

От първата поредица от корени до интервала [-π; π] принадлежат на числата -π; 0; π. От втората серия: (π/4 – π) и π/4.

Така петте корена на първоначалното уравнение принадлежат на интервала [-π; π].

Отговор: 5.

Пример 4. Намерете сумата от корените на уравнението tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на интервала [-π; 1.1π].

Решение:

Нека пренапишем уравнението в следната форма:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и направете промяна.

Нека tg x + сtgx = a. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Нека разширим скобите:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Тъй като tg x сtgx \u003d 1, тогава tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, което означава

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Сега оригиналното уравнение изглежда така:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Използвайки теоремата на Виета, получаваме, че a = -1 или a = -2.

Правейки обратното заместване, имаме:

tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Да решим получените уравнения.

tgx + 1/tgx = -1 или tgx + 1/tgx = -2.

По свойството на две взаимно реципрочни числа определяме, че първото уравнение няма корени, а от второто уравнение имаме:

tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k е цяло число (k € Z).

Интервалът [-π; 1,1π] принадлежат корените: -π/4; -π/4 + π. Тяхната сума:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Отговор: π/2.

Пример 5. Намерете средноаритметичната стойност на корените на уравнението sin 3x + sin x = sin 2x на интервала [-π; 0,5π].

Решение:

Използваме формулата sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), тогава

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x и уравнението става

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Изваждаме общия множител sin 2x извън скоби

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Нека решим полученото уравнение:

sin 2x \u003d 0 или 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 или cos x = 1/2;

2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k е цяло число (k € Z).

Така имаме корени

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k е цяло число (k € Z).

Интервалът [-π; 0,5π] принадлежат на корените -π; -π/2; 0; π/2 (от първата поредица от корени); π/3 (от втората серия); -π/3 (от трета серия). Тяхното средно аритметично е:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Отговор: -π/6.

Пример 6. Намерете броя на корените на уравнението sin x + cos x = 0 на интервала [-1,25π; 2π].

Решение:

Това уравнение е хомогенно уравнение от първа степен. Разделете двете му части на cosx (стойността на променливата, при която cos x = 0, не са корените на това уравнение, тъй като синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно). Оригиналното уравнение изглежда така:

x = -π/4 + πk, k е цяло число (k € Z).

Празнина [-1,25π; 2π] имат корени -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).

Така три корена на уравнението принадлежат на дадения интервал.

Отговор: 3.

Научете се да правите най-важното - ясно да представите план за решаване на проблема и тогава всяко тригонометрично уравнение ще бъде на рамото ви.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

В този урок ще продължим изучаването на аркутангенса и решаването на уравнения от вида tg x = a за всяко a. В началото на урока ще решим уравнението с таблична стойност и ще илюстрираме решението върху графиката, а след това върху окръжността. След това решаваме уравнението tgx = a в общ вид и извеждаме общата формула за отговора. Илюстрираме изчисленията върху графиката и върху кръга и разглеждаме различни формиотговор. В края на урока ще решим няколко задачи с илюстрация на решенията върху схемата и кръга.

Тема: Тригонометрични уравнения

Урок: Арктангенс и решаване на уравнението tgx=a (продължение)

1. Тема на урока, въведение

В този урок ще разгледаме решението на уравнението за всяко реално число

2. Решение на уравнението tgx=√3

Задача 1. Решете уравнението

Нека намерим решение с помощта на функционални графики (Фиг. 1).

Разгледайте интервала В този интервал функцията е монотонна, което означава, че се достига само при една стойност на функцията.

Отговор:

Нека решим същото уравнение с помощта на числова окръжност (фиг. 2).

Отговор:

3. Решение на уравнението tgx=a в общ вид

Нека решим уравнението в общ вид (фиг. 3).

На интервала уравнението има единствено решение

Най-малкият положителен период

Нека илюстрираме върху числова окръжност (фиг. 4).

4. Разрешаване на проблеми

Задача 2. Решете уравнението

Нека променим променливата

Задача 3. Решете системата:

Решение (фиг. 5):

В точката стойността е следователно решението на системата е само точката

Отговор:

Задача 4. Решете уравнението

Нека решим чрез метода за промяна на променливата:

Задача 5. Намерете броя на решенията на уравнението върху интервала

Нека решим задачата с помощта на графиката (фиг. 6).

Уравнението има три решения на даден интервал.

Ще илюстрираме върху числова окръжност (фиг. 7), въпреки че това не е толкова ясно, колкото на графиката.

Отговор: Три решения.

5. Заключение, заключение

Решихме уравнението за всяко реално, използвайки концепцията за аркутангенс. В следващия урок ще се запознаем с понятието арктангенс.

Библиография

1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Урок за образователни институции (ниво на профил) изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Задачна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математически анализ за 10 клас ( урокза ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика).-М .: Образование, 1996.

4. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Задълбочено изучаване на алгебрата и математическия анализ.-М .: Образование, 1997.

5. Колекция от задачи по математика за кандидати за технически университети (под редакцията на M.I.Skanavi).-M .: Висше училище, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонски В. Б., Якир М. С. Алгебричен симулатор.-К .: А. С. К., 1997.

7. Сахакян С. М., Голдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебра и началото на анализа (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции) - М .: Образование, 2003.

8. A. P. Karp, Колекция от задачи по алгебра и принципи на анализа: Proc. надбавка за 10-11 клетки. с дълбока проучване математика.-М .: Образование, 2006.

Домашна работа

Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Задачна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Допълнителни уеб ресурси

1. Математика.

2. Интернет портал Проблеми. ru.

3. Образователен порталда се подготвят за изпити.