Теорема за площта на триъгълника, синусова и косинусова теореми. Теорема за площта на триъгълника, синусова и косинусова теореми Каква е площта на триъгълник през синуса

Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на страните му и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство:

Да разгледаме произволен триъгълник ABC. Нека страна BC = a в него, страна CA = b и S е площта на този триъгълник. Това е необходимо да се докаже S = (1/2)*a*b*sin(C).

Като начало въвеждаме правоъгълна координатна система и поставяме началото в точка C. Нека позиционираме нашата координатна система така, че точка B да лежи в положителната посока на оста Cx, а точка A да има положителна ордината.

Ако всичко е направено правилно, трябва да получите следната фигура.

Площта на даден триъгълник може да се изчисли по следната формула: S = (1/2)*a*h, където h е височината на триъгълника. В нашия случай височината на триъгълника h е равна на ординатата на точка A, т.е. h \u003d b * sin (C).

Като се имат предвид получените резултати, формулата за площта на триъгълник може да бъде пренаписана, както следва: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Разрешаване на проблем

Задача 1. Намерете лицето на триъгълник ABC, ако a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, ъгъл A = 60 градуса b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, ъгъл B= 45 градуса c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, ъгъл C = 48 градуса.

Съгласно доказаната по-горе теорема площта S на триъгълник ABC е равна на:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Нека направим изчисленията:

а) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Изчисляваме стойността на синуса на ъгъла на калкулатор или използваме стойностите от таблицата със стойности на тригонометричните ъгли. Отговор:

а) 12*√6 cm^2.

в) приблизително 36,41 cm^2.

Задача 2. Площта на триъгълник ABC е 60 cm^2. Намерете страната AB, ако AC = 15 cm, ъгъл A = 30˚.

Нека S е площта на триъгълника ABC. По теоремата за площта на триъгълника имаме:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Заместете стойностите, които имаме в него:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

От тук изразяваме дължината на страната AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачи

По-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълниккоито са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картинка, тук има обяснения за приложението или обосновка на тяхната коректност. Освен това на отделна фигура е показано съответствието на буквените символи във формулите и графичните символи на чертежа.

Забележка . Ако триъгълникът има специални свойства(равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:

• "Формули за площта на равностранен триъгълник"

Формули за площ на триъгълник

Обяснения към формулите:
a, b, c- дължините на страните на триъгълника, чиято площ искаме да намерим
r- радиусът на окръжността, вписана в триъгълника
Р- радиусът на описаната окръжност около триъгълника
ч- височината на триъгълника, спусната отстрани
стр- полупериметър на триъгълник, 1/2 от сбора на страните му (периметър)
α - ъгълът срещу страната a на триъгълника
β - ъгълът срещу страната b на триъгълника
γ - ъгълът срещу страната c на триъгълника
ч а, ч b , ч ° С- височината на триъгълника, спусната до страната a, b, c

Моля, обърнете внимание, че дадената нотация съответства на фигурата по-горе, така че при решаване на реален проблем в геометрията ще ви бъде визуално по-лесно да замените правилните стойности на правилните места във формулата.

• Площта на триъгълника е половината от произведението на височината на триъгълник и дължината на страната, върху която тази височина е спусната(Формула 1). Правилността на тази формула може да се разбере логично. Височината, спусната до основата, ще раздели произволен триъгълник на два правоъгълни. Ако завършим всеки от тях до правоъгълник с размери b и h, тогава очевидно площта на тези триъгълници ще бъде равна точно на половината от площта на правоъгълника (Spr = bh)
• Площта на триъгълника е половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях(Формула 2) (вижте пример за решаване на задача с помощта на тази формула по-долу). Въпреки факта, че изглежда различен от предишния, той лесно може да се трансформира в него. Ако намалим височината от ъгъл B към страна b, се оказва, че произведението на страна a и синуса на ъгъл γ от свойствата на синуса в правоъгълен триъгълникравна на височината на начертания от нас триъгълник, което ще ни даде предишната формула
• Може да се намери площта на произволен триъгълник през работаполовината от радиуса на вписана в нея окръжност от сумата от дължините на всичките й страни(Формула 3), с други думи, трябва да умножите полупериметъра на триъгълника по радиуса на вписания кръг (по-лесно е да запомните по този начин)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери, като продуктът на всичките му страни се раздели на 4 радиуса на описаната около него окръжност (Формула 4)
• Формула 5 намира площта на триъгълник по отношение на дължините на страните му и неговия полупериметър (половината от сбора на всичките му страни)
• Формулата на Херон(6) е представяне на същата формула без използване на концепцията за полупериметър, само чрез дължините на страните
• Площта на произволен триъгълник е равна на произведението на квадрата на страната на триъгълника и синусите на ъглите, съседни на тази страна, разделени на двойния синус на ъгъла, противоположен на тази страна (Формула 7)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери като произведение на два квадрата на окръжност, описана около него, и синусите на всеки от неговите ъгли. (Формула 8)
• Ако дължината на едната страна и големината на двата ъгъла, съседни на нея, са известни, тогава площта на триъгълника може да се намери като квадрат на тази страна, разделен на двойната сума на котангенсите на тези ъгли (Формула 9)
• Ако е известна само дължината на всяка от височините на триъгълник (Формула 10), тогава площта на такъв триъгълник е обратно пропорционална на дължините на тези височини, както по формулата на Heron
• Формула 11 ви позволява да изчислявате площ на триъгълник според координатите на неговите върхове, които са дадени като (x;y) стойности за всеки от върховете. Моля, обърнете внимание, че получената стойност трябва да се вземе по модул, тъй като координатите на отделни (или дори всички) върхове могат да бъдат в областта на отрицателните стойности

Забележка. Следват примери за решаване на задачи в геометрията за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите задача по геометрия, подобна на която не е тук - пишете за това във форума. В решенията вместо символа " Корен квадратен" може да се използва функцията sqrt(), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.Понякога символът може да се използва за прости радикални изрази √

Задача. Намерете площта на дадените две страни и ъгъла между тях

Страните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълник.

Решение.

За решаването на тази задача използваме формула номер две от теоретичната част на урока.
Площта на триъгълник може да се намери чрез дължините на двете страни и синуса на ъгъла между тях и ще бъде равна на
S=1/2 ab sin γ

Тъй като имаме всички необходими данни за решението (според формулата), можем само да заместим стойностите от формулировката на проблема във формулата:
S=1/2*5*6*sin60

В таблицата със стойности на тригонометричните функции намираме и заместваме в израза стойността на синуса 60 градуса. Ще бъде равно на корен от три по две.
S = 15 √3 / 2

Отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно е възможно да оставите 15 √3/2)

Задача. Намерете площта на равностранен триъгълник

Намерете лицето на равностранен триъгълник със страна 3 cm.

Решение .

Площта на триъгълник може да се намери с помощта на формулата на Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Тъй като a \u003d b \u003d c, формулата за площта на равностранен триъгълник ще приеме формата:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Отговор: 9 √3 / 4.

Задача. Промяна в площта при промяна на дължината на страните

Колко пъти ще се увеличи площта на триъгълник, ако страните му се учетворят?

Решение.

Тъй като размерите на страните на триъгълника не са ни известни, за решаване на задачата ще приемем, че дължините на страните са съответно равни на произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса на проблема, намираме площта на този триъгълник и след това намираме площта на триъгълник, чиито страни са четири пъти по-големи. Отношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговора на задачата.

След това даваме текстово обяснение на решението на проблема в стъпки. Но в самия край същото решение е представено в по-удобна за възприемане графична форма. Желаещите могат веднага да пуснат решението.

За решаване използваме формулата на Heron (вижте по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте първия ред на снимката по-долу)

Дължините на страните на произволен триъгълник са дадени от променливите a, b, c.
Ако страните се увеличат 4 пъти, тогава площта на новия триъгълник c ще бъде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(вижте втория ред на снимката по-долу)

Както можете да видите, 4 е общ множител, който може да бъде изваден от скоби от всичките четири израза според Общи правиламатематика.
Тогава

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третия ред на картината
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвърти ред

От числото 256 квадратният корен е идеално извлечен, така че ще го извадим изпод корена
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте петия ред на фигурата по-долу)

За да отговорим на въпроса, поставен в задачата, е достатъчно да разделим площта на получения триъгълник на площта на първоначалния.
Определяме съотношенията на площите, като разделяме изразите един на друг и намаляваме получената дроб.

Теорема за площта на триъгълника

Теорема 1

Площта на триъгълник е половината от произведението на двете страни по синуса на ъгъла между тези страни.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Нека означим дължините на страните на този триъгълник като $BC=a$, $AC=b$. Нека въведем декартова координатна система, така че точката $C=(0,0)$, точката $B$ да лежи на дясната полуос $Ox$, а точката $A$ да лежи в първия координатен квадрант. Начертайте височина $h$ от точка $A$ (фиг. 1).

Фигура 1. Илюстрация на теорема 1

Следователно височината $h$ е равна на ординатата на точката $A$

Синусова теорема

Теорема 2

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Нека означим дължините на страните на този триъгълник като $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (фиг. 2).

Фигура 2.

Нека докажем това

По теорема 1 имаме

Приравнявайки ги по двойки, получаваме това

Косинусова теорема

Теорема 3

Страничен квадрат на триъгълник е равно на суматаквадрати на другите две страни на триъгълника, без да се удвоява произведението на тези страни по косинуса на ъгъла между тези страни.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Означете дължините на страните му като $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Нека въведем декартова координатна система, така че точката $A=(0,0)$, точката $B$ да лежи на положителната полуос $Ox$, а точката $C$ да лежи в първия координатен квадрант (фиг. 3).

Фигура 3

Нека докажем това

В тази координатна система получаваме това

Намерете дължината на страната $BC$, като използвате формулата за разстоянието между точките

Пример за задача, използваща тези теореми

Пример 1

Докажете, че диаметърът на описаната окръжност на произволен триъгълник е равен на отношението на която и да е страна на триъгълника към синуса на ъгъла срещу тази страна.

Решение.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. $R$ - радиус на описаната окръжност. Начертайте диаметъра $BD$ (фиг. 4).

Ако в задачата са дадени дължините на две страни на триъгълник и ъгълът между тях, тогава можете да приложите формулата за площта на триъгълника през синуса.

Пример за изчисляване на площта на триъгълник с помощта на синуса. Дадени са страни a = 3, b = 4 и ъгъл γ= 30°. Синусът на ъгъл от 30° е 0,5

Площта на триъгълника ще бъде 3 кв. см.

Площта ще бъде равна на половината от квадрата на страната, умножена по фракцията. В числителя му е произведението на синусите на съседните ъгли, а в знаменателя е синусът на срещуположния ъгъл. Сега изчисляваме площта, като използваме следните формули:

Например, даден е триъгълник със страна a=3 и ъгли γ=60°, β=60°. Изчислете третия ъгъл:
Заместване на данните във формулата
Получаваме, че площта на триъгълника е 3,87 квадратни метра. см.

II. Площ на триъгълник по косинус

За да намерите площта на триъгълник, трябва да знаете дължините на всички страни. По косинусовата теорема можете да намерите неизвестни страни и едва тогава да използвате .
Според закона за косинусите квадратът на неизвестната страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на останалите страни минус удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.

От теоремата извличаме формули за намиране на дължината на неизвестната страна:

Знаейки как да намерите липсващата страна, като имате две страни и ъгъл между тях, можете лесно да изчислите площта. Формулата за площта на триъгълник по косинус ви помага бързо и лесно да намерите решение на различни проблеми.

Пример за изчисляване на формулата за площта на триъгълник през косинус
Даден е триъгълник с известни партии a = 3, b = 4 и ъгъл γ = 45°. Нека първо намерим липсващата част. с. По косинус 45°=0,7. За да направим това, заместваме данните в уравнението, получено от косинусовата теорема.
Сега използвайки формулата, намираме