Πώς να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία σε ένα επίπεδο. Εύρεση της γωνίας μεταξύ ευθείας και επιπέδου

Oh-oh-oh-oh-oh ... καλά, είναι τσίγκινο, σαν να διαβάζεις την πρόταση στον εαυτό σου =) Ωστόσο, τότε η χαλάρωση θα βοηθήσει, ειδικά επειδή αγόρασα κατάλληλα αξεσουάρ σήμερα. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω, μέχρι το τέλος του άρθρου να κρατήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Η περίπτωση που η αίθουσα τραγουδάει μαζί σε χορωδία. Δύο γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : θυμηθείτε το μαθηματικό πρόσημο της διασταύρωσης , θα εμφανίζεται πολύ συχνά. Η καταχώρηση σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με την ευθεία στο σημείο.

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο γραμμές συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει τέτοιος αριθμός «λάμδα» που οι ισότητες

Ας εξετάσουμε ευθείες γραμμές και ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάζοντας με -1 (αλλάξτε πρόσημα), και μειώστε όλους τους συντελεστές της εξίσωσης κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές είναι ανάλογοι: , αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι σαφές ότι .

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή "λάμδα" που να πληρούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα συνθέσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές στις μεταβλητές δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σχήμα λύσεων που μόλις εξετάστηκε. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στο μάθημα. Η έννοια της γραμμικής (μη) εξάρτησης διανυσμάτων. Διανυσματική βάση. Αλλά υπάρχει ένα πιο πολιτισμένο πακέτο:

Παράδειγμα 1

Για να μάθετε αμοιβαία διευθέτησηαπευθείας:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με δείκτες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και συνεχίζουν, κατευθείαν στο Kashchei the Deathless =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε ίδιες. Εδώ η ορίζουσα δεν είναι απαραίτητη.

Προφανώς, οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, ενώ .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Με αυτόν τον τρόπο,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Ο παράγοντας αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση (οποιοσδήποτε αριθμός την ικανοποιεί γενικά).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το εξεταζόμενο πρόβλημα προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω κανένα λόγο να προσφέρω κάτι ανεξάρτητη απόφαση, είναι καλύτερο να τοποθετήσετε ένα άλλο σημαντικό τούβλο στο γεωμετρικό θεμέλιο:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού το πιο απλό έργοτιμωρεί αυστηρά τον Αηδόνι τον Ληστή.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Δηλώστε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτό; Η γραμμή διέρχεται από το σημείο. Και αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας «ce» είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας «τε».

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική επαλήθευση αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν είναι σωστά απλοποιημένη, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Η αναλυτική επαλήθευση στις περισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολο να πραγματοποιηθεί προφορικά. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα καταλάβετε γρήγορα πώς οι ευθείες είναι παράλληλες χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για αυτολύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης των κάθε λογής γρίφους.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι πολύ λογικός τρόπος επίλυσης. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Κάναμε μια μικρή δουλειά με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν είναι λίγο ενδιαφέρον, γι' αυτό σκεφτείτε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Εδώ είναι για σας γεωμετρική έννοια ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστουςείναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) ευθείες σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Ο γραφικός τρόπος είναι να σχεδιάσετε απλώς τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σε κάθε εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι η λύση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, εξετάσαμε έναν γραφικό τρόπο επίλυσης συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αισθητά μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης δημοτικού αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να γίνει μια σωστή και ΑΚΡΙΒΗ ζωγραφική. Επιπλέον, ορισμένες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής με την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ορολογικής πρόσθεσης εξισώσεων. Για να αναπτύξετε τις σχετικές δεξιότητες, επισκεφθείτε το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Η επαλήθευση είναι ασήμαντη - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Είναι βολικό να χωρίσετε το πρόβλημα σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλά γεωμετρικά προβλήματα και θα επικεντρωθώ επανειλημμένα σε αυτό.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του σεμιναρίου:

Ένα ζευγάρι παπούτσια δεν έχει ακόμη φθαρεί, καθώς φτάσαμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ των γραμμών

Ας ξεκινήσουμε με μια τυπική και πολύ σημαντική εργασία. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με τη δεδομένη και τώρα η καλύβα στα πόδια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο.

Λύση: Είναι γνωστό με την υπόθεση ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Ας ξεδιπλώσουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Εξάγετε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνσυμπεραίνουμε ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Η επαλήθευση, πάλι, είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών, αν η εξίσωση είναι γνωστή και τελεία.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Υπάρχουν πολλές ενέργειες στην εργασία, επομένως είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Το συναρπαστικό μας ταξίδι συνεχίζεται:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν με τον συντομότερο τρόπο. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία υποδηλώνεται παραδοσιακά με το ελληνικό γράμμα "ro", για παράδειγμα: - η απόσταση από το σημείο "em" έως την ευθεία "de".

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να κάνετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν κάνετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξετάστε μια άλλη εργασία σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο:

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα περιγράψω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματοςεύρημα .

Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης ίση με 2,2 μονάδες.

Εδώ μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς, αλλά στον πύργο ένας μικροϋπολογιστής βοηθάει πολύ, επιτρέποντάς σας να μετράτε κοινά κλάσματα. Το έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα το προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι επίλυσης. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά καλύτερα προσπαθήστε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι καταφέρατε να διασκορπίσετε καλά την εφευρετικότητά σας.

Γωνία μεταξύ δύο γραμμών

Όποια κι αν είναι η γωνία, τότε το τζάμπ:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμένακατακόκκινη γωνία.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να επιτευχθεί ένα αρνητικό αποτέλεσμα και αυτό δεν πρέπει να σας εκπλήξει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για μια αρνητική γωνία, είναι επιτακτική ανάγκη να υποδειχθεί ο προσανατολισμός της (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Λύσηκαι Μέθοδος ένα

Εξετάστε δύο ευθείες γραμμές που δίνονται από εξισώσεις σε γενική μορφή:

Αν ευθεία όχι κάθετη, έπειτα προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ας δώσουμε μεγάλη προσοχή στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου εξαφανίζεται και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των γραμμών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο των κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:
άρα οι γραμμές δεν είναι κάθετες.

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση, είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις ευθείες γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση . Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Μέθοδος συντεταγμένων (απόσταση μεταξύ σημείου και επιπέδου, μεταξύ ευθειών)

Η απόσταση μεταξύ σημείου και επιπέδου.

Η απόσταση μεταξύ ενός σημείου και μιας ευθείας.

Η απόσταση μεταξύ δύο γραμμών.

Το πρώτο χρήσιμο πράγμα που πρέπει να γνωρίζετε είναι πώς να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο:

Τιμές A, B, C, D - συντελεστές του επιπέδου

x, y, z - συντεταγμένες σημείου

Μια εργασία. Βρείτε την απόσταση μεταξύ του σημείου A = (3; 7; −2) και του επιπέδου 4x + 3y + 13z - 20 = 0.

Όλα δίνονται, μπορείτε να αντικαταστήσετε αμέσως τις τιμές στην εξίσωση:

Μια εργασία. Να βρείτε την απόσταση από το σημείο K = (1; −2; 7) μέχρι την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία V = (8; 6; −13) και T = (−1; −6; 7).

1. Βρίσκουμε ένα ευθύγραμμο διάνυσμα.
2. Υπολογίζουμε το διάνυσμα που διέρχεται από το επιθυμητό σημείο και οποιοδήποτε σημείο της ευθείας.
   
3. Ορίζουμε τον πίνακα και βρίσκουμε την ορίζουσα για τα δύο διανύσματα που προέκυψαν στην 1η και 2η παράγραφο.
4. Παίρνουμε την απόσταση όταν Τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των συντελεστών του πίνακα, διαιρέστε με το μήκος του διανύσματος που ορίζει τη γραμμή(Νομίζω ότι δεν είναι ξεκάθαρο, οπότε ας περάσουμε σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα).

1) Τηλεόραση = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Βρίσκουμε το διάνυσμα μέσω των σημείων K και T, αν και θα ήταν επίσης δυνατό μέσω K και V ή οποιοδήποτε άλλο σημείο αυτής της ευθείας.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Παίρνετε έναν πίνακα χωρίς τον συντελεστή D (εδώ δεν χρειάζεται για τη λύση):

4) Το επίπεδο βγήκε με τους συντελεστές A = 80, B = 40, C = 12,

x, y, z - συντεταγμένες του ευθύγραμμου διανύσματος, στην περίπτωση αυτή, το διανυσματικό TV έχει συντεταγμένες (9; 12; −20)

Μια εργασία. Βρείτε την απόσταση μεταξύ της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1) και της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M = (4; −1; 4), L = ( −2;3;0).

1. Ορίζουμε τα διανύσματα και των δύο γραμμών.
2. Βρίσκουμε το διάνυσμα παίρνοντας ένα σημείο από κάθε ευθεία.
3. Γράφουμε έναν πίνακα 3 διανυσμάτων (δύο γραμμές από το 1ο σημείο, μία γραμμή από το 2ο) και βρίσκουμε την αριθμητική του ορίζουσα.
4. Ορίζουμε τον πίνακα των δύο πρώτων διανυσμάτων (στο βήμα 1). Ορίζουμε την πρώτη γραμμή ως x, y, z.
5. Λαμβάνουμε την απόσταση όταν διαιρούμε την τιμή που προκύπτει από το modulo του σημείου 3 με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων του σημείου 4.

Ας περάσουμε στους αριθμούς.

Αυτό το άρθρο μιλάει για το θέμα « απόσταση από σημείο σε γραμμή », Οι ορισμοί της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία εξετάζονται με εικονογραφημένα παραδείγματα με τη μέθοδο των συντεταγμένων. Κάθε μπλοκ θεωρίας στο τέλος έχει δείξει παραδείγματα επίλυσης παρόμοιων προβλημάτων.

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία βρίσκεται με τον προσδιορισμό της απόστασης από ένα σημείο σε ένα σημείο. Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα.

Έστω μια ευθεία α και ένα σημείο Μ 1 που δεν ανήκουν στη δεδομένη ευθεία. Σχεδιάστε μια ευθεία μέσα από αυτό που θα βρίσκεται κάθετα στην ευθεία α. Πάρτε το σημείο τομής των ευθειών ως H 1. Παίρνουμε ότι το M 1 H 1 είναι μια κάθετη, η οποία μειώθηκε από το σημείο M 1 στην ευθεία a.

Ορισμός 1

Απόσταση από το σημείο Μ 1 έως την ευθεία αονομάζεται η απόσταση μεταξύ των σημείων M 1 και H 1 .

Υπάρχουν εγγραφές του ορισμού με το σχήμα του μήκους της καθέτου.

Ορισμός 2

Απόσταση από σημείο σε γραμμήείναι το μήκος της κάθετου που σύρεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία.

Οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Είναι γνωστό ότι η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι η μικρότερη από όλες τις δυνατές. Ας το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Αν πάρουμε το σημείο Q που βρίσκεται στην ευθεία a, που δεν συμπίπτει με το σημείο M 1, τότε παίρνουμε ότι το τμήμα M 1 Q ονομάζεται λοξό, χαμηλωμένο από το M 1 στην ευθεία a. Είναι απαραίτητο να υποδεικνύεται ότι η κάθετη από το σημείο Μ 1 είναι μικρότερη από οποιαδήποτε άλλη λοξή που σύρεται από το σημείο προς την ευθεία.

Για να το αποδείξετε αυτό, θεωρήστε το τρίγωνο M 1 Q 1 H 1 , όπου M 1 Q 1 είναι η υποτείνουσα. Είναι γνωστό ότι το μήκος του είναι πάντα μεγαλύτερο από το μήκος οποιουδήποτε από τα πόδια. Επομένως, έχουμε ότι M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Τα αρχικά δεδομένα για την εύρεση από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή επιτρέπουν τη χρήση πολλών μεθόδων επίλυσης: μέσω του Πυθαγόρειου θεωρήματος, ορισμούς ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης γωνίας και άλλα. Οι περισσότερες εργασίες αυτού του τύπου λύνονται στο σχολείο στα μαθήματα γεωμετρίας.

Όταν, όταν βρίσκετε την απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή, μπορείτε να εισαγάγετε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε χρησιμοποιείται η μέθοδος συντεταγμένων. Σε αυτή την παράγραφο, εξετάζουμε τις κύριες δύο μεθόδους για την εύρεση της επιθυμητής απόστασης από ένα δεδομένο σημείο.

Η πρώτη μέθοδος περιλαμβάνει την εύρεση της απόστασης ως κάθετου από το M 1 στην ευθεία a. Η δεύτερη μέθοδος χρησιμοποιεί την κανονική εξίσωση της ευθείας a για να βρει την απαιτούμενη απόσταση.

Εάν υπάρχει ένα σημείο στο επίπεδο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) που βρίσκεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, μια ευθεία γραμμή a, και πρέπει να βρείτε την απόσταση M 1 H 1, μπορείτε να υπολογίσετε με δύο τρόπους. Ας τα εξετάσουμε.

Πρώτος τρόπος

Εάν υπάρχουν συντεταγμένες του σημείου H 1 ίσες με x 2, y 2, τότε η απόσταση από το σημείο στη γραμμή υπολογίζεται από τις συντεταγμένες από τον τύπο M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - ε 1) 2.

Τώρα ας προχωρήσουμε στην εύρεση των συντεταγμένων του σημείου H 1.

Είναι γνωστό ότι μια ευθεία σε O x y αντιστοιχεί στην εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο. Ας πάρουμε έναν τρόπο να ορίσουμε μια ευθεία γραμμή a γράφοντας μια γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής ή μια εξίσωση με μια κλίση. Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 1 κάθετο σε δεδομένη ευθεία α. Ας συμβολίσουμε τη γραμμή με οξιά b . H 1 είναι το σημείο τομής των ευθειών a και b, επομένως για να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το άρθρο στο οποίο υπό αμφισβήτησηστις συντεταγμένες των σημείων τομής δύο ευθειών.

Μπορεί να φανεί ότι ο αλγόριθμος για την εύρεση της απόστασης από ένα δεδομένο σημείο M 1 (x 1, y 1) στην ευθεία γραμμή a εκτελείται σύμφωνα με τα σημεία:

Ορισμός 3

• βρίσκοντας τη γενική εξίσωση της ευθείας a , που έχει τη μορφή A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ή μια εξίσωση με συντελεστή κλίσης, με τη μορφή y \u003d k 1 x + b 1.
• λαμβάνοντας τη γενική εξίσωση της ευθείας b, η οποία έχει τη μορφή A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ή μια εξίσωση με κλίση y \u003d k 2 x + b 2 αν η ευθεία b τέμνει το σημείο M 1 και είναι κάθετη στη δεδομένη ευθεία a.
• προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες x 2, y 2 του σημείου H 1, που είναι το σημείο τομής a και b, για αυτό, το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων λύνεται A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ή y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• υπολογισμός της απαιτούμενης απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή, χρησιμοποιώντας τον τύπο M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Δεύτερος τρόπος

Το θεώρημα μπορεί να βοηθήσει στην απάντηση στο ερώτημα της εύρεσης της απόστασης από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία σε ένα επίπεδο.

Θεώρημα

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έχει το O x y έχει ένα σημείο M 1 (x 1, y 1), από το οποίο σύρεται μια ευθεία γραμμή a στο επίπεδο, που δίνεται από την κανονική εξίσωση του επιπέδου, που έχει τη μορφή cos α x + cos β y - p \u003d 0, ίση με το modulo της τιμής που λαμβάνεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης της κανονικής ευθείας γραμμής, που υπολογίζεται στο x = x 1, y = y 1, σημαίνει ότι M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Απόδειξη

Η ευθεία a αντιστοιχεί στην κανονική εξίσωση του επιπέδου, η οποία έχει τη μορφή cos α x + cos β y - p = 0, τότε η n → = (cos α , συν β) θεωρείται κανονικό διάνυσμα της ευθείας a στο a απόσταση από την αρχή έως την ευθεία α με p μονάδες . Είναι απαραίτητο να απεικονίσετε όλα τα δεδομένα στο σχήμα, να προσθέσετε ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) , όπου το διάνυσμα ακτίνας του σημείου M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή από ένα σημείο σε μια ευθεία, την οποία θα συμβολίσουμε με M 1 H 1 . Είναι απαραίτητο να εμφανιστούν οι προβολές M 2 και H 2 των σημείων M 1 και H 2 σε ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο O με κατευθυντικό διάνυσμα της μορφής n → = (cos α , cos β) και η αριθμητική προβολή του διανύσματος θα συμβολίζεται ως O M 1 → = (x 1 , y 1) προς την κατεύθυνση n → = (cos α , cos β) ως n p n → O M 1 → .

Οι παραλλαγές εξαρτώνται από τη θέση του ίδιου του σημείου M 1. Εξετάστε το παρακάτω σχήμα.

Διορθώνουμε τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας τον τύπο M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Στη συνέχεια φέρνουμε την ισότητα σε αυτή τη μορφή M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p για να λάβουμε n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Scalar προϊόντα διανύσματα ως αποτέλεσμα δίνει έναν μετασχηματισμένο τύπο της μορφής n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , ο οποίος είναι γινόμενο σε συντεταγμένη μορφή της μορφής n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Επομένως, λαμβάνουμε ότι n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Έπεται ότι M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Καταλαβαίνουμε ότι για να βρούμε την απόσταση από το σημείο M 1 (x 1, y 1) μέχρι την ευθεία γραμμή a στο επίπεδο, πρέπει να γίνουν διάφορες ενέργειες:

Ορισμός 4

• λήψη της κανονικής εξίσωσης της ευθείας a cos α · x + cos β · y - p = 0, με την προϋπόθεση ότι δεν είναι στην εργασία.
• υπολογισμός της έκφρασης cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , όπου η τιμή που προκύπτει παίρνει M 1 H 1 .

Ας εφαρμόσουμε αυτές τις μεθόδους για να λύσουμε προβλήματα εύρεσης της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 1

Να βρείτε την απόσταση από το σημείο με συντεταγμένες M 1 (- 1 , 2) μέχρι την ευθεία 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Λύση

Ας χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο επίλυσης.

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε γενική εξίσωσηευθεία b , που διέρχεται από το δεδομένο σημείο M 1 (- 1 , 2) , κάθετο στην ευθεία 4 x - 3 y + 35 = 0 . Μπορεί να φανεί από τη συνθήκη ότι η ευθεία b είναι κάθετη στην ευθεία a, τότε το διάνυσμα κατεύθυνσής της έχει συντεταγμένες ίσες με (4, - 3) . Έτσι, έχουμε την ευκαιρία να γράψουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας b στο επίπεδο, αφού υπάρχουν συντεταγμένες του σημείου M 1, ανήκει στην ευθεία b. Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας b . Παίρνουμε ότι x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Η προκύπτουσα κανονική εξίσωση πρέπει να μετατραπεί σε γενική. Τότε το καταλαβαίνουμε

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Ας βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των ευθειών, που θα πάρουμε ως προσδιορισμό H 1. Οι μετασχηματισμοί μοιάζουν με αυτό:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Από τα παραπάνω, έχουμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου H 1 είναι (- 5; 5) .

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η απόσταση από το σημείο Μ 1 έως την ευθεία α. Έχουμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων M 1 (- 1, 2) και H 1 (- 5, 5), μετά αντικαθιστούμε στον τύπο για την εύρεση της απόστασης και παίρνουμε ότι

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Η δεύτερη λύση.

Για να λυθεί με άλλο τρόπο, είναι απαραίτητο να ληφθεί η κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Υπολογίζουμε την τιμή του συντελεστή κανονικοποίησης και πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης 4 x - 3 y + 35 = 0 . Από εδώ παίρνουμε ότι ο παράγοντας κανονικοποίησης είναι - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , και η κανονική εξίσωση θα είναι της μορφής - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Σύμφωνα με τον αλγόριθμο υπολογισμού, είναι απαραίτητο να ληφθεί η κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής και να υπολογιστεί με τις τιμές x = - 1 , y = 2 . Τότε το καταλαβαίνουμε

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Από εδώ παίρνουμε ότι η απόσταση από το σημείο M 1 (- 1 , 2) στη δεδομένη ευθεία 4 x - 3 y + 35 = 0 έχει την τιμή - 5 = 5 .

Απάντηση: 5 .

Μπορεί να φανεί ότι σε αυτή τη μέθοδο είναι σημαντικό να χρησιμοποιηθεί η κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, καθώς αυτή η μέθοδος είναι η συντομότερη. Αλλά η πρώτη μέθοδος είναι βολική στο ότι είναι συνεπής και λογική, αν και έχει περισσότερα σημεία υπολογισμού.

Παράδειγμα 2

Στο επίπεδο υπάρχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y με σημείο M 1 (8, 0) και ευθεία γραμμή y = 1 2 x + 1. Βρείτε την απόσταση από ένα δεδομένο σημείο σε μια ευθεία γραμμή.

Λύση

Η λύση με τον πρώτο τρόπο συνεπάγεται την αναγωγή μιας δεδομένης εξίσωσης με συντελεστή κλίσης σε μια γενική εξίσωση. Για απλοποίηση, μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά.

Αν το γινόμενο των κλίσεων των κάθετων ευθειών είναι - 1 , τότε η κλίση της κάθετης ευθείας στο δεδομένο y = 1 2 x + 1 είναι 2 . Τώρα παίρνουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (8, 0) . Έχουμε ότι y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Προχωράμε στην εύρεση των συντεταγμένων του σημείου H 1, δηλαδή των σημείων τομής y \u003d - 2 x + 16 και y \u003d 1 2 x + 1. Συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων και παίρνουμε:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Συνεπάγεται ότι η απόσταση από το σημείο με συντεταγμένες M 1 (8 , 0) μέχρι την ευθεία y = 1 2 x + 1 είναι ίση με την απόσταση από το σημείο έναρξης και το σημείο τερματισμού με τις συντεταγμένες M 1 (8 , 0) και H 1 (6, 4) . Ας υπολογίσουμε και πάρουμε ότι M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Η λύση με τον δεύτερο τρόπο είναι να περάσει από την εξίσωση με συντελεστή στην κανονική της μορφή. Δηλαδή, παίρνουμε y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, τότε η τιμή του παράγοντα κανονικοποίησης θα είναι - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Από αυτό προκύπτει ότι η κανονική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Ας υπολογίσουμε από το σημείο M 1 8 , 0 σε ευθεία γραμμή της μορφής - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Παίρνουμε:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Απάντηση: 2 5 .

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η απόσταση από το σημείο με συντεταγμένες M 1 (- 2 , 4) στις ευθείες γραμμές 2 x - 3 = 0 και y + 1 = 0 .

Λύση

Παίρνουμε την εξίσωση της κανονικής μορφής της ευθείας 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Στη συνέχεια προχωράμε στον υπολογισμό της απόστασης από το σημείο M 1 - 2, 4 έως την ευθεία x - 3 2 = 0. Παίρνουμε:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Η ευθύγραμμη εξίσωση y + 1 = 0 έχει συντελεστή κανονικοποίησης με τιμή -1. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση θα πάρει τη μορφή - y - 1 = 0 . Προχωράμε στον υπολογισμό της απόστασης από το σημείο M 1 (- 2 , 4) στην ευθεία - y - 1 = 0 . Παίρνουμε ότι ισούται με - 4 - 1 = 5.

Απάντηση: 3 1 2 και 5 .

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τον προσδιορισμό της απόστασης από ένα δεδομένο σημείο του επιπέδου έως τους άξονες συντεταγμένων O x και O y.

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο άξονας O y έχει μια εξίσωση ευθείας γραμμής, η οποία είναι ατελής και έχει τη μορφή x \u003d 0 και O x - y \u003d 0. Οι εξισώσεις είναι κανονικές για τους άξονες συντεταγμένων, τότε είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση από το σημείο με συντεταγμένες M 1 x 1 , y 1 έως τις ευθείες γραμμές. Αυτό γίνεται με βάση τους τύπους M 1 H 1 = x 1 και M 1 H 1 = y 1 . Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την απόσταση από το σημείο M 1 (6, - 7) έως τις γραμμές συντεταγμένων που βρίσκονται στο επίπεδο O x y.

Λύση

Δεδομένου ότι η εξίσωση y \u003d 0 αναφέρεται στη γραμμή O x, μπορείτε να βρείτε την απόσταση από το M 1 με δεδομένες συντεταγμένες σε αυτήν τη γραμμή χρησιμοποιώντας τον τύπο. Παίρνουμε ότι 6 = 6 .

Δεδομένου ότι η εξίσωση x \u003d 0 αναφέρεται στη γραμμή O y, μπορείτε να βρείτε την απόσταση από το M 1 σε αυτήν τη γραμμή χρησιμοποιώντας τον τύπο. Τότε παίρνουμε ότι - 7 = 7 .

Απάντηση:η απόσταση από το M 1 στο O x έχει τιμή 6 και από το M 1 στο O y έχει τιμή 7.

Όταν στον τρισδιάστατο χώρο έχουμε ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1, z 1), είναι απαραίτητο να βρούμε την απόσταση από το σημείο Α έως την ευθεία α.

Εξετάστε δύο τρόπους που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή a που βρίσκεται στο διάστημα. Η πρώτη περίπτωση εξετάζει την απόσταση από το σημείο Μ 1 έως την ευθεία, όπου το σημείο της ευθείας ονομάζεται Η 1 και είναι η βάση της κάθετου που σύρεται από το σημείο Μ 1 προς την ευθεία α. Η δεύτερη περίπτωση προτείνει ότι τα σημεία αυτού του επιπέδου πρέπει να αναζητηθούν ως το ύψος του παραλληλογράμμου.

Πρώτος τρόπος

Από τον ορισμό, έχουμε ότι η απόσταση από το σημείο M 1 που βρίσκεται στην ευθεία α είναι το μήκος της κάθετης M 1 H 1, τότε παίρνουμε ότι με τις ευρεθείσες συντεταγμένες του σημείου H 1, τότε βρείτε την απόστασημεταξύ M 1 (x 1, y 1, z 1) και H 1 (x 1, y 1, z 1) με βάση τον τύπο M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Καταλαβαίνουμε ότι ολόκληρη η λύση πηγαίνει στην εύρεση των συντεταγμένων της βάσης της κάθετου που σύρεται από το M 1 στην ευθεία a. Αυτό γίνεται ως εξής: H 1 είναι το σημείο όπου η ευθεία α τέμνεται με το επίπεδο που διέρχεται από το δεδομένο σημείο.

Αυτό σημαίνει ότι ο αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της απόστασης από το σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) στην ευθεία γραμμή a του χώρου συνεπάγεται πολλά σημεία:

Ορισμός 5

• συντάσσοντας την εξίσωση του επιπέδου χ ως εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο στην ευθεία.
• Προσδιορισμός των συντεταγμένων (x 2 , y 2 , z 2) που ανήκουν στο σημείο H 1 που είναι το σημείο τομής της ευθείας a και του επιπέδου χ .
• υπολογισμός της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία χρησιμοποιώντας τον τύπο M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Δεύτερος τρόπος

Από τη συνθήκη έχουμε ευθεία a, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης a → = a x, a y, a z με συντεταγμένες x 3, y 3, z 3 και ένα ορισμένο σημείο M 3 που ανήκει στην ευθεία a. Δίνονται οι συντεταγμένες των σημείων M 1 (x 1 , y 1) και M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → μπορεί να υπολογιστεί:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Είναι απαραίτητο να αναβάλετε τα διανύσματα a → \u003d a x, a y, a z και M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 από το σημείο M 3, συνδέστε και λάβετε ένα παραλληλόγραμμο σχήμα. M 1 H 1 είναι το ύψος του παραλληλογράμμου.

Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Έχουμε ότι το ύψος M 1 H 1 είναι η επιθυμητή απόσταση, τότε πρέπει να το βρείτε χρησιμοποιώντας τον τύπο. Δηλαδή ψάχνουμε για M 1 H 1 .

Υποδηλώστε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με το γράμμα S, το οποίο βρίσκεται με τον τύπο χρησιμοποιώντας το διάνυσμα a → = (a x , a y , a z) και M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Ο τύπος περιοχής έχει τη μορφή S = a → × M 3 M 1 → . Επίσης, το εμβαδόν του σχήματος είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των πλευρών του και του ύψους, παίρνουμε ότι S \u003d a → M 1 H 1 με ένα → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, που είναι το μήκος του διανύσματος a → \u003d (a x, a y, a z) , το οποίο είναι ίσο με την πλευρά του παραλληλογράμμου. Ως εκ τούτου, M 1 H 1 είναι η απόσταση από το σημείο στην ευθεία. Βρίσκεται με τον τύπο M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Για να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1, z 1) σε μια ευθεία γραμμή a στο διάστημα, πρέπει να εκτελέσετε πολλά σημεία του αλγορίθμου:

Ορισμός 6

• προσδιορισμός του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας a - a → = (a x , a y , a z) ;
• υπολογισμός του μήκους του διανύσματος κατεύθυνσης a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• λήψη των συντεταγμένων x 3 , y 3 , z 3 που ανήκουν στο σημείο M 3 που βρίσκεται στην ευθεία a.
• υπολογισμός των συντεταγμένων του διανύσματος M 3 M 1 → ;
• βρίσκοντας το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων a → (a x, a y, a z) και M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ως → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 για να λάβετε το μήκος σύμφωνα με τον τύπο a → × M 3 M 1 → ;
• υπολογισμός της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Επίλυση προβλημάτων εύρεσης της απόστασης από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία στο χώρο

Να βρείτε την απόσταση από το σημείο με συντεταγμένες M 1 2 , - 4 , - 1 μέχρι την ευθεία x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Λύση

Η πρώτη μέθοδος ξεκινά με τη συγγραφή της εξίσωσης του επιπέδου χ που διέρχεται από το M 1 και είναι κάθετο σε ένα δεδομένο σημείο. Παίρνουμε μια έκφραση όπως:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Η 1, που είναι το σημείο τομής με το επίπεδο χ προς την ευθεία που δίνει η συνθήκη. Είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε από την κανονική μορφή στην τέμνουσα. Τότε παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το σύστημα x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 με τη μέθοδο του Cramer, τότε παίρνουμε ότι:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Άρα έχουμε ότι H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Η δεύτερη μέθοδος πρέπει να ξεκινήσει με αναζήτηση συντεταγμένων στην κανονική εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, δώστε προσοχή στους παρονομαστές του κλάσματος. Τότε a → = 2 , - 1 , 5 είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το μήκος χρησιμοποιώντας τον τύπο a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Είναι σαφές ότι η ευθεία x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 τέμνει το σημείο M 3 (- 1 , 0 , - 5), επομένως έχουμε ότι το διάνυσμα με αρχή M 3 (- 1 , 0 , - 5) και το άκρο του στο σημείο M 1 2 , - 4 , - 1 είναι M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο a → = (2, - 1, 5) και M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Παίρνουμε μια έκφραση της μορφής a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

παίρνουμε ότι το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου είναι ένα → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Έχουμε όλα τα δεδομένα για να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της απόστασης από ένα σημείο για μια ευθεία γραμμή, οπότε τον εφαρμόζουμε και παίρνουμε:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Απάντηση: 11 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία. Στην περιγραφική γεωμετρία, προσδιορίζεται γραφικά σύμφωνα με τον παρακάτω αλγόριθμο.

Αλγόριθμος

1. Η ευθεία μεταφέρεται σε μια θέση στην οποία θα είναι παράλληλη με οποιοδήποτε επίπεδο προβολής. Για να το κάνετε αυτό, εφαρμόστε τις μεθόδους μετασχηματισμού των ορθογώνιων προβολών.
2. Σχεδιάστε μια κάθετη από ένα σημείο σε μια ευθεία. Αυτή η κατασκευή βασίζεται στο θεώρημα της ορθής γωνίας προβολής.
3. Το μήκος μιας καθέτου προσδιορίζεται μετατρέποντας τις προεξοχές της ή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του ορθογωνίου τριγώνου.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει σύνθετο σχέδιοτο σημείο Μ και η ευθεία β δίνονται από το τμήμα CD. Πρέπει να βρείτε την απόσταση μεταξύ τους.

Σύμφωνα με τον αλγόριθμό μας, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να μετακινήσουμε τη γραμμή σε θέση παράλληλη προς το επίπεδο προβολής. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι μετά τους μετασχηματισμούς, η πραγματική απόσταση μεταξύ του σημείου και της γραμμής δεν πρέπει να αλλάξει. Γι' αυτό είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε εδώ τη μέθοδο αντικατάστασης επιπέδου, η οποία δεν περιλαμβάνει κινούμενες φιγούρες στο χώρο.

Τα αποτελέσματα του πρώτου σταδίου των κατασκευών φαίνονται παρακάτω. Το σχήμα δείχνει πώς ένα πρόσθετο μετωπικό επίπεδο P 4 εισάγεται παράλληλα στο b. ΣΤΟ νέο σύστημα(P 1 , P 4) τα σημεία C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τον άξονα Χ 1 με τα C"", D"", M"" από τον άξονα Χ.

Εκτελώντας το δεύτερο μέρος του αλγορίθμου, από το M"" 1 χαμηλώνουμε την κάθετη M"" 1 N"" 1 στην ευθεία b"" 1, αφού η ορθή γωνία MND μεταξύ b και MN προβάλλεται στο επίπεδο P 4 in πλήρες μέγεθος. Καθορίζουμε τη θέση του σημείου Ν" κατά μήκος της γραμμής επικοινωνίας και σχεδιάζουμε την προβολή Μ"Ν" του τμήματος ΜΝ.

Στο τελικό στάδιοείναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή του τμήματος MN από τις προβολές του M"N" και M"" 1 N"" 1 . Για αυτό χτίζουμε ορθογώνιο τρίγωνο M"" 1 N"" 1 N 0 , του οποίου το πόδι N"" 1 N 0 ισούται με τη διαφορά (Y M 1 – Y N 1) της αφαίρεσης των σημείων M" και N" από τον άξονα X 1. Το μήκος της υποτείνουσας M"" 1 N 0 του τριγώνου M"" 1 N"" 1 N 0 αντιστοιχεί στην επιθυμητή απόσταση από το M στο b.

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης

• Παράλληλα με το CD εισάγουμε ένα νέο μετωπικό επίπεδο П 4 . Τέμνει το P 1 κατά μήκος του άξονα X 1 και το X 1 ∥C"D". Σύμφωνα με τη μέθοδο αντικατάστασης των επιπέδων, προσδιορίζουμε τις προβολές των σημείων C "" 1, D"" 1 και M"" 1, όπως φαίνεται στο σχήμα.
• Κάθετα στο C "" 1 D "" 1 χτίζουμε ένα πρόσθετο οριζόντιο επίπεδο P 5 στο οποίο η ευθεία γραμμή b προβάλλεται στο σημείο C" 2 \u003d b" 2.
• Η απόσταση μεταξύ του σημείου M και της ευθείας b προσδιορίζεται από το μήκος του τμήματος M "2 C" 2 που σημειώνεται με κόκκινο χρώμα.

Σχετικές εργασίες:

Εξετάστε την εφαρμογή των μεθόδων που αναλύθηκαν για την εύρεση της απόστασης από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία σε ένα επίπεδο κατά την επίλυση ενός παραδείγματος.

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία:

Αρχικά, ας λύσουμε το πρόβλημα με τον πρώτο τρόπο.

Στην συνθήκη του προβλήματος, μας δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας α της μορφής:

Ας βρούμε τη γενική εξίσωση της ευθείας b, που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο στην ευθεία:

Εφόσον η ευθεία b είναι κάθετη στην ευθεία a, το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας b είναι το κανονικό διάνυσμα της δεδομένης ευθείας:

δηλαδή το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας b έχει συντεταγμένες. Τώρα μπορούμε να γράψουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας b στο επίπεδο, αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου M 1 από το οποίο διέρχεται η ευθεία b και τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας b:

Από τη λαμβανόμενη κανονική εξίσωση της ευθείας b, περνάμε στη γενική εξίσωση της ευθείας:

Τώρα ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών a και b (ας το συμβολίσουμε H 1) λύνοντας το σύστημα εξισώσεων που αποτελείται από τις γενικές εξισώσεις των ευθειών a και b (αν χρειάζεται, ανατρέξτε στα συστήματα επίλυσης άρθρου γραμμικών εξισώσεων):

Έτσι, το σημείο H 1 έχει συντεταγμένες.

Απομένει να υπολογίσουμε την επιθυμητή απόσταση από το σημείο M 1 στην ευθεία a ως την απόσταση μεταξύ των σημείων και:

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης του προβλήματος.

Λαμβάνουμε την κανονική εξίσωση της δεδομένης ευθείας. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε την τιμή του συντελεστή κανονικοποίησης και πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της αρχικής γενικής εξίσωσης της ευθείας με αυτόν:

(Μιλήσαμε για αυτό στην ενότητα για τη μεταφορά της γενικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής σε κανονική μορφή).

Ο παράγοντας ομαλοποίησης είναι ίσος με

τότε η κανονική εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή:

Τώρα παίρνουμε την παράσταση στην αριστερή πλευρά της προκύπτουσας κανονικής εξίσωσης της ευθείας γραμμής και υπολογίζουμε την τιμή της για:

Η επιθυμητή απόσταση από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία:

ισούται με την απόλυτη τιμή της λαμβανόμενης τιμής, δηλαδή πέντε ().

απόσταση από σημείο σε γραμμή:

Προφανώς, το πλεονέκτημα της μεθόδου εύρεσης της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία σε ένα επίπεδο, με βάση τη χρήση της κανονικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής, είναι μια σχετικά μικρότερη ποσότητα υπολογιστικής εργασίας. Με τη σειρά του, ο πρώτος τρόπος εύρεσης της απόστασης από ένα σημείο σε μια γραμμή είναι διαισθητικός και διακρίνεται από συνέπεια και λογική.

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy είναι σταθερό στο επίπεδο, δίνεται ένα σημείο και μια ευθεία:

Βρείτε την απόσταση από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία.

Πρώτος τρόπος.

Μπορείτε να μεταβείτε από μια δεδομένη εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με κλίση στη γενική εξίσωση αυτής της ευθείας γραμμής και να προχωρήσετε με τον ίδιο τρόπο όπως στο παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω.

Αλλά μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά.

Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των κλίσεων των κάθετων ευθειών είναι ίσο με 1 (βλ. άρθρο κάθετες ευθείες, καθετότητα ευθειών). Επομένως, η κλίση μιας ευθείας που είναι κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία:

είναι ίση με 2. Τότε η εξίσωση μιας ευθείας κάθετης σε μια δεδομένη ευθεία και που διέρχεται από ένα σημείο έχει τη μορφή:

Τώρα ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου H 1 - το σημείο τομής των ευθειών:

Έτσι, η επιθυμητή απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία:

ίση με την απόσταση μεταξύ των σημείων και:

Ο δεύτερος τρόπος.

Ας περάσουμε από τη δεδομένη εξίσωση μιας ευθείας με κλίση στην κανονική εξίσωση αυτής της ευθείας:

ο παράγοντας κανονικοποίησης είναι ίσος με:

Επομένως, η κανονική εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας έχει τη μορφή:

Τώρα υπολογίζουμε την απαιτούμενη απόσταση από το σημείο στη γραμμή:

Υπολογίστε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία:

και στην ευθεία:

Παίρνουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας:

Τώρα υπολογίστε την απόσταση από το σημείο μέχρι τη γραμμή:

Ομαλοποιητικός παράγοντας για μια ευθεία εξίσωση:

ισούται με 1. Τότε η κανονική εξίσωση αυτής της ευθείας έχει τη μορφή:

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία:

είναι ίσο.

Απάντηση: και 5.

Συμπερασματικά, θα εξετάσουμε χωριστά πώς βρίσκεται η απόσταση από ένα δεδομένο σημείο του επιπέδου έως τις γραμμές συντεταγμένων Ox και Oy.

Στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy, η ευθεία συντεταγμένων Oy δίνεται από την ημιτελή γενική εξίσωση της ευθείας x=0 και η γραμμή συντεταγμένων Ox δίνεται από την εξίσωση y=0. Αυτές οι εξισώσεις είναι κανονικές εξισώσεις των γραμμών Oy και Ox, επομένως, η απόσταση από ένα σημείο σε αυτές τις ευθείες υπολογίζεται από τους τύπους:

αντίστοιχα.

Εικόνα 5

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy εισάγεται στο επίπεδο. Βρείτε τις αποστάσεις από το σημείο έως τις γραμμές συντεταγμένων.

Η απόσταση από το δεδομένο σημείο Μ 1 έως την ευθεία συντεταγμένων Ox (δίνεται από την εξίσωση y=0) ισούται με το δομοστοιχείο της τεταγμένης του σημείου Μ 1, δηλαδή .

Η απόσταση από το δεδομένο σημείο M 1 έως την ευθεία συντεταγμένων Oy (αντιστοιχεί στην εξίσωση x=0) ισούται με την απόλυτη τιμή της τετμημένης του σημείου M 1: .

Απάντηση: η απόσταση από το σημείο M 1 έως την ευθεία Ox είναι 6 και η απόσταση από το δεδομένο σημείο έως την ευθεία συντεταγμένων Oy είναι ίση.