Παράδειγμα διέλευσης γραμμών σε κύβο. Τύποι γραμμών. Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία χώρου κάθετη σε ένα δεδομένο

Σε λιγότερο από ένα λεπτό, δημιούργησα ένα νέο αρχείο Verdov και συνέχισα σε ένα τόσο συναρπαστικό θέμα. Πρέπει να πιάσετε τις στιγμές της εργασιακής διάθεσης, οπότε δεν θα υπάρχει στιχουργική εισαγωγή. Θα υπάρξουν πεζό χτύπημα =)

Οι δύο ευθύγραμμοι χώροι μπορούν:

1) διασταύρωση?

2) τέμνονται στο σημείο ?

3) να είναι παράλληλη?

4) ταιριάζουν.

Η περίπτωση #1 είναι θεμελιωδώς διαφορετική από τις άλλες περιπτώσεις. Δύο ευθείες τέμνονται αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.. Σηκώστε το ένα χέρι προς τα πάνω και τεντώστε το άλλο χέρι προς τα εμπρός - εδώ είναι ένα παράδειγμα τεμνόμενων γραμμών. Στα σημεία 2-4, οι γραμμές αναγκαστικά βρίσκονται σε ένα αεροπλάνο.

Πώς να μάθετε τη σχετική θέση των γραμμών στο διάστημα;

Εξετάστε δύο ευθύγραμμα κενά:

είναι μια ευθεία γραμμή που δίνεται από ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα.
είναι μια ευθεία που ορίζεται από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης .

Για καλύτερη κατανόηση, ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο:

Το σχέδιο δείχνει λοξές γραμμές ως παράδειγμα.

Πώς να αντιμετωπίσετε αυτές τις γραμμές;

Δεδομένου ότι τα σημεία είναι γνωστά, είναι εύκολο να βρεθεί το διάνυσμα.

Αν ευθεία διασταυρώ γένη, μετά τα διανύσματα όχι ομοεπίπεδη(δείτε μάθημα Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση), που σημαίνει ότι η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες τους είναι μη μηδενική. Ή, που είναι στην πραγματικότητα το ίδιο, θα είναι διαφορετικό από το μηδέν: .

Στις περιπτώσεις Νο 2-4 η κατασκευή μας «πέφτει» σε ένα επίπεδο, ενώ τα διανύσματα ομοεπίπεδη, και το μικτό γινόμενο των γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν: .

Επεκτείνουμε περαιτέρω τον αλγόριθμο. Ας το προσποιηθούμε , επομένως, οι ευθείες είτε τέμνονται είτε είναι παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Αν τα διανύσματα κατεύθυνσης συγγραμμική, τότε οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν. Ως τελικό καρφί, προτείνω την ακόλουθη τεχνική: παίρνουμε οποιοδήποτε σημείο μιας ευθείας γραμμής και αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση της δεύτερης ευθείας. εάν οι συντεταγμένες "πλησίασαν", τότε οι γραμμές συμπίπτουν, εάν "δεν πλησίασαν", τότε οι γραμμές είναι παράλληλες.

Η πορεία του αλγορίθμου είναι ανεπιτήδευτη, αλλά τα πρακτικά παραδείγματα εξακολουθούν να μην παρεμβαίνουν:

Παράδειγμα 11

Βρείτε τη σχετική θέση δύο γραμμών

Λύση: όπως σε πολλά προβλήματα γεωμετρίας, είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο:

1) Εξάγουμε σημεία και διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις:

2) Βρείτε το διάνυσμα:

Έτσι, τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα, που σημαίνει ότι οι ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και μπορούν να τέμνονται, να είναι παράλληλες ή να συμπίπτουν.

4) Ελέγξτε τα διανύσματα κατεύθυνσης για συγγραμμικότητα.

Ας συνθέσουμε ένα σύστημα από τις αντίστοιχες συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:

Από ΟλοιΗ εξίσωση υπονοεί ότι, επομένως, το σύστημα είναι συνεπές, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι ανάλογες και τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

Συμπέρασμα: οι γραμμές είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.

5) Μάθετε αν οι γραμμές έχουν κοινά σημεία. Ας πάρουμε ένα σημείο που ανήκει στην πρώτη ευθεία και ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του στις εξισώσεις της ευθείας:

Έτσι, οι γραμμές δεν έχουν κοινά σημεία και δεν τους μένει παρά να είναι παράλληλες.

Απάντηση:

Ενδιαφέρον παράδειγμαΓια ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 12

Μάθετε τη σχετική θέση των γραμμών

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Σημειώστε ότι η δεύτερη γραμμή έχει το γράμμα ως παράμετρο. Λογικά. Στη γενική περίπτωση, πρόκειται για δύο διαφορετικές γραμμές, επομένως κάθε γραμμή έχει τη δική της παράμετρο.

Και πάλι σας προτρέπω να μην παρακάμψετε παραδείγματα, θα πω ότι οι εργασίες που προτείνω δεν είναι καθόλου τυχαίες ;-)

Προβλήματα με ευθεία γραμμή στο διάστημα

Στο τελευταίο μέρος του μαθήματος, θα προσπαθήσω να εξετάσω μέγιστο ποσόδιάφορα προβλήματα με χωρικές γραμμές. Σε αυτήν την περίπτωση, θα τηρηθεί η αρχική σειρά της ιστορίας: πρώτα θα εξετάσουμε προβλήματα με τεμνόμενες γραμμές, μετά με τεμνόμενες γραμμές και στο τέλος θα μιλήσουμε για παράλληλες γραμμές στο διάστημα. Ωστόσο, πρέπει να πω ότι ορισμένες από τις εργασίες αυτού του μαθήματος μπορούν να διατυπωθούν για πολλές περιπτώσεις ευθειών γραμμών ταυτόχρονα, και από αυτή την άποψη, η διαίρεση της ενότητας σε παραγράφους είναι κάπως αυθαίρετη. Υπάρχουν περισσότερα απλά παραδείγματα, υπάρχουν πιο σύνθετα παραδείγματα, και ελπίζω ο καθένας να βρει αυτό που χρειάζεται.

Διασταυρούμενες γραμμές

Σας υπενθυμίζω ότι οι γραμμές τέμνονται αν δεν υπάρχει επίπεδο στο οποίο βρίσκονται και οι δύο. Όταν σκεφτόμουν την εξάσκηση, μου ήρθε στο μυαλό μια εργασία τέρας και τώρα χαίρομαι που παρουσιάζω στην προσοχή σας έναν δράκο με τέσσερα κεφάλια:

Παράδειγμα 13

Δίνονται ευθείες γραμμές. Απαιτείται:

α) να αποδείξετε ότι οι ευθείες τέμνονται.

β) να βρείτε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο που είναι κάθετο στις δεδομένες ευθείες.

γ) να συνθέσετε τις εξισώσεις μιας ευθείας που περιέχει κοινή κάθετητεμνόμενες γραμμές?

δ) βρείτε την απόσταση μεταξύ των γραμμών.

Λύση: Τον δρόμο θα τον κυριεύσει ο πεζός:

α) Ας αποδείξουμε ότι οι ευθείες τέμνονται. Ας βρούμε τα σημεία και τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των ευθειών:

Ας βρούμε το διάνυσμα:

Υπολογίζω μικτό γινόμενο διανυσμάτων:

Οι φορείς λοιπόν όχι ομοεπίπεδη, που σημαίνει ότι οι γραμμές τέμνονται, κάτι που έπρεπε να αποδειχτεί.

Πιθανώς, όλοι έχουν από καιρό παρατηρήσει ότι για τις λοξές γραμμές, ο αλγόριθμος επαλήθευσης αποδεικνύεται ο συντομότερος.

β) Ας βρούμε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη στις ευθείες. Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο:

Για ποικιλία, δημοσίευσα ένα direct ΠΙΣΩευθείες, δείτε πώς διαγράφεται ελαφρώς στα σημεία διέλευσης. Διασταυρώσεις; Ναι, στη γενική περίπτωση, η γραμμή "de" θα τέμνεται με τις αρχικές γραμμές. Αν και δεν μας ενδιαφέρει αυτή η στιγμή, χρειάζεται απλώς να φτιάξουμε μια κάθετη γραμμή και τέλος.

Τι είναι γνωστό για το άμεσο «ντε»; Το σημείο που του ανήκει είναι γνωστό. Το διάνυσμα κατεύθυνσης λείπει.

Κατά συνθήκη, η ευθεία πρέπει να είναι κάθετη στις ευθείες, πράγμα που σημαίνει ότι το διάνυσμα κατεύθυνσής της θα είναι ορθογώνιο ως προς τα διανύσματα κατεύθυνσης. Το μοτίβο που είναι ήδη γνωστό από το Παράδειγμα Νο. 9, ας βρούμε το διανυσματικό γινόμενο:

Ας συνθέσουμε τις εξισώσεις της ευθείας "de" κατά το σημείο και το κατευθυντικό διάνυσμα:

Ετοιμος. Κατ' αρχήν, μπορεί κανείς να αλλάξει τα σημάδια στους παρονομαστές και να γράψει την απάντηση στη φόρμα , αλλά δεν χρειάζεται κάτι τέτοιο.

Για να ελέγξετε, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σημείου στις ληφθείσες εξισώσεις της ευθείας γραμμής, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνβεβαιωθείτε ότι το διάνυσμα είναι πραγματικά ορθογώνιο στα διανύσματα κατεύθυνσης "pe one" και "pe two".

Πώς να βρείτε τις εξισώσεις μιας ευθείας που περιέχει μια κοινή κάθετο;

γ) Αυτό το πρόβλημα είναι πιο δύσκολο. Συνιστώ στα ανδρείκελα να παραλείψουν αυτήν την παράγραφο, δεν θέλω να ψυχραίνω την ειλικρινή σας συμπάθεια για την αναλυτική γεωμετρία =) Παρεμπιπτόντως, είναι μάλλον καλύτερο να περιμένουν και οι πιο προετοιμασμένοι αναγνώστες, γεγονός είναι ότι το παράδειγμα πρέπει να τεθεί τελευταίο στο άρθρο ως προς την πολυπλοκότητα, αλλά σύμφωνα με τη λογική της παρουσίασης θα πρέπει να βρίσκεται εδώ.

Άρα, απαιτείται να βρεθούν οι εξισώσεις της ευθείας, που περιέχει την κοινή κάθετο των λοξών ευθειών.

είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τις δεδομένες γραμμές και είναι κάθετο στις δεδομένες ευθείες:

Εδώ είναι ο όμορφος άντρας μας: - κοινή κάθετη τεμνόμενων γραμμών. Είναι ο μόνος. Δεν υπάρχει άλλο σαν αυτό. Πρέπει επίσης να συνθέσουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας που περιέχει ένα δεδομένο τμήμα.

Τι είναι γνωστό για το άμεσο «εεε»; Το διάνυσμα κατεύθυνσής του είναι γνωστό, που βρέθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Όμως, δυστυχώς, δεν γνωρίζουμε ούτε ένα σημείο που να ανήκει στην ευθεία «εμ», δεν γνωρίζουμε τα άκρα της κάθετης - σημεία. Πού τέμνει αυτή η κάθετη ευθεία τις δύο αρχικές ευθείες; Αφρική, Ανταρκτική; Από την αρχική ανασκόπηση και ανάλυση της κατάστασης, δεν είναι καθόλου σαφές πώς να λυθεί το πρόβλημα .... Αλλά υπάρχει μια δύσκολη κίνηση που σχετίζεται με τη χρήση παραμετρικών εξισώσεων μιας ευθείας γραμμής.

Ας πάρουμε μια απόφαση σημείο προς σημείο:

1) Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις της πρώτης ευθείας σε παραμετρική μορφή:

Ας εξετάσουμε ένα σημείο. Δεν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες. ΑΛΛΑ. Αν ένα σημείο ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του αντιστοιχούν σε , συμβολίστε το με . Τότε οι συντεταγμένες του σημείου θα γραφούν ως:

Η ζωή γίνεται καλύτερη, ένας άγνωστος - τελικά όχι τρεις άγνωστοι.

2) Η ίδια αγανάκτηση πρέπει να γίνει και στο δεύτερο σημείο. Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις της δεύτερης ευθείας σε παραμετρική μορφή:

Αν ένα σημείο ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, τότε με πολύ συγκεκριμένο νόημαΟι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν τις παραμετρικές εξισώσεις:

Ή:

3) Το διάνυσμα, όπως το διάνυσμα που βρέθηκε προηγουμένως, θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της γραμμής. Το πώς να συνθέσετε ένα διάνυσμα από δύο σημεία θεωρήθηκε από αμνημονεύτων χρόνων στο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελα. Τώρα η διαφορά είναι ότι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων γράφονται με άγνωστες τιμές παραμέτρων. Και λοιπόν? Κανείς δεν απαγορεύει την αφαίρεση των αντίστοιχων συντεταγμένων της αρχής του διανύσματος από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος.

Υπάρχουν δύο σημεία: .

Εύρεση διανύσματος:

4) Εφόσον τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά, τότε το ένα διάνυσμα εκφράζεται γραμμικά μέσω του άλλου με κάποιο συντελεστή αναλογικότητας "λάμδα":

Ή συντονισμένα:

Αποδείχθηκε ότι ήταν το πιο συνηθισμένο σύστημα γραμμικών εξισώσεωνμε τρία άγνωστα, τα οποία είναι τυπικά επιλύσιμα, για παράδειγμα, Η μέθοδος του Cramer. Αλλά εδώ υπάρχει μια ευκαιρία να βγούμε με λίγο αίμα, από την τρίτη εξίσωση θα εκφράσουμε το "λάμδα" και θα το αντικαταστήσουμε στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση:

Ετσι: , και «λάμδα» δεν χρειαζόμαστε. Το γεγονός ότι οι τιμές των παραμέτρων αποδείχτηκαν ίδιες είναι καθαρή τύχη.

5) Ο ουρανός καθαρίζει εντελώς, αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στις τοποθεσίες μας:

Το διάνυσμα κατεύθυνσης δεν χρειάζεται ιδιαίτερα, αφού το αντίστοιχο του έχει ήδη βρεθεί.

Μετά από ένα μακρύ ταξίδι, είναι πάντα ενδιαφέρον να κάνετε έναν έλεγχο.

:

Προκύπτουν οι σωστές ισότητες.

Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου στις εξισώσεις :

Προκύπτουν οι σωστές ισότητες.

6) Η τελική χορδή: θα συνθέσουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής για ένα σημείο (μπορείτε να πάρετε) και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Κατ 'αρχήν, μπορείτε να επιλέξετε ένα "καλό" σημείο με ακέραιες συντεταγμένες, αλλά αυτό είναι καλλυντικό.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών;

δ) Κόβουμε το τέταρτο κεφάλι του δράκου.

Μέθοδος ένα. Ούτε καν τρόπος, αλλά μια μικρή ειδική περίπτωση. Η απόσταση μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών είναι ίση με το μήκος της κοινής τους καθέτου: .

Ακραία σημεία της κοινής καθέτου που βρέθηκε στην προηγούμενη παράγραφο και η εργασία είναι στοιχειώδης:

Μέθοδος δεύτερη. Στην πράξη, τις περισσότερες φορές τα άκρα της κοινής καθέτου είναι άγνωστα, επομένως χρησιμοποιείται διαφορετική προσέγγιση. Είναι δυνατό να σχεδιάσουμε παράλληλα επίπεδα μέσω δύο τεμνόμενων γραμμών και η απόσταση μεταξύ των δεδομένων επιπέδων είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δεδομένων γραμμών. Συγκεκριμένα, μια κοινή κάθετη προεξέχει μεταξύ αυτών των επιπέδων.

Κατά τη διάρκεια της αναλυτικής γεωμετρίας, από τις παραπάνω σκέψεις, προέκυψε ένας τύπος για την εύρεση της απόστασης μεταξύ λοξών γραμμών:
(αντί για τα σημεία μας "εμ ένα, δύο" μπορούμε να πάρουμε αυθαίρετα σημεία ευθειών).

Μικτό γινόμενο διανυσμάτωνβρέθηκε ήδη στην παράγραφο "α": .

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτωνπου βρίσκεται στην παράγραφο "be": , υπολογίστε το μήκος του:

Ετσι:

Δώστε περήφανα τα τρόπαια σε μια σειρά:

Απάντηση:
ΕΝΑ) , επομένως, οι ευθείες τέμνονται, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.
σι) ;
V) ;
ΣΟΛ)

Τι άλλο μπορεί να ειπωθεί για τις τεμνόμενες γραμμές; Μεταξύ τους ορίζεται μια γωνία. Αλλά εξετάστε τον τύπο καθολικής γωνίας στην επόμενη παράγραφο:

Οι τεμνόμενες ευθείες βρίσκονται αναγκαστικά στο ίδιο επίπεδο:

Η πρώτη σκέψη είναι να ακουμπήσετε στο σημείο διασταύρωσης με όλη σας τη δύναμη. Και αμέσως σκέφτηκα, γιατί να αρνηθείς στον εαυτό σου τις σωστές επιθυμίες;! Ας το πηδήξουμε αμέσως!

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των χωρικών γραμμών;

Παράδειγμα 14

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις των γραμμών σε παραμετρική μορφή:

Αυτή η εργασία εξετάστηκε λεπτομερώς στο Παράδειγμα Νο. 7 αυτού του μαθήματος (βλ. Εξισώσεις ευθείας στο χώρο). Και οι ίδιες οι ευθείες, παρεμπιπτόντως, πήρα από το Παράδειγμα Νο. 12. Δεν θα πω ψέματα, είμαι πολύ τεμπέλης για να εφεύρω νέες.

Η λύση είναι τυπική και έχει ήδη συναντηθεί όταν επεξεργαστήκαμε τις εξισώσεις της κοινής κάθετου των λοξών γραμμών.

Το σημείο τομής των ευθειών ανήκει στην ευθεία, επομένως οι συντεταγμένες της ικανοποιούν τις παραμετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας και αντιστοιχούν σε μια πολύ συγκεκριμένη τιμή παραμέτρου:

Αλλά το ίδιο σημείο ανήκει στη δεύτερη γραμμή, επομένως:

Εξισώνουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις και κάνουμε απλοποιήσεις:

Λαμβάνεται ένα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Εάν οι ευθείες τέμνονται (όπως αποδεικνύεται στο Παράδειγμα 12), τότε το σύστημα είναι απαραίτητα συνεπές και έχει μια μοναδική λύση. Μπορεί να λυθεί Μέθοδος Gauss, αλλά δεν θα αμαρτήσουμε με τέτοιο φετιχισμό νηπιαγωγείου, ας το κάνουμε πιο εύκολα: από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το "te zero" και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση:

Οι δύο τελευταίες εξισώσεις αποδείχθηκαν ουσιαστικά ίδιες και από αυτές προκύπτει ότι . Επειτα:

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκε της παραμέτρου στις εξισώσεις:

Απάντηση:

Για έλεγχο, αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε της παραμέτρου στις εξισώσεις:
Λήφθηκαν οι ίδιες συντεταγμένες όπως απαιτείται να ελεγχθούν. Οι σχολαστικοί αναγνώστες μπορούν να αντικαταστήσουν τις συντεταγμένες του σημείου στις αρχικές κανονικές εξισώσεις των γραμμών.

Παρεμπιπτόντως, ήταν δυνατό να γίνει το αντίθετο: βρείτε το σημείο μέσω του "es zero" και ελέγξτε το μέσω του "te zero".

Ένα γνωστό μαθηματικό σημάδι λέει: όπου συζητείται η τομή των ευθειών, υπάρχει πάντα μια μυρωδιά καθέτων.

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία χώρου κάθετη σε μια δεδομένη;

(ευθείες τέμνονται)

Παράδειγμα 15

α) Να συνθέσετε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από σημείο κάθετο στην ευθεία (ευθείες τέμνονται).

β) Να βρείτε την απόσταση από το σημείο μέχρι την ευθεία.

Σημείωση : ρήτρα "γραμμές τέμνονται" - ουσιώδης. Μέσα από την τελεία
είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε άπειρο αριθμό κάθετων ευθειών που θα τέμνονται με την ευθεία «ελ». Η μόνη λύση εμφανίζεται όταν μια ευθεία χαράσσεται μέσα από ένα δεδομένο σημείο κάθετο προς δύοδίνονται ευθείες γραμμές (βλ. Παράδειγμα αρ. 13, παράγραφος "β").

ΕΝΑ) Λύση: Συμβολίστε την άγνωστη γραμμή με . Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο:

Τι είναι γνωστό για τη γραμμή; Κατά συνθήκη, δίνεται ένας βαθμός. Για να συνθέσουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, είναι απαραίτητο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης. Ως τέτοιο διάνυσμα, το διάνυσμα είναι αρκετά κατάλληλο και θα το αντιμετωπίσουμε. Ακριβέστερα, ας πάρουμε το άγνωστο άκρο του διανύσματος από το scruff.

1) Θα εξαγάγουμε το κατευθυντικό του διάνυσμα από τις εξισώσεις της ευθείας "el" και θα ξαναγράψουμε τις ίδιες τις εξισώσεις σε παραμετρική μορφή:

Πολλοί μάντευαν ότι τώρα για τρίτη φορά κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα πάρει ο μάγος λευκός κύκνοςαπό ένα καπέλο. Θεωρήστε ένα σημείο με άγνωστες συντεταγμένες. Αφού το σημείο , τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας "el" και αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη τιμή παραμέτρου:

Ή σε μία γραμμή:

2) Κατά συνθήκη, οι ευθείες πρέπει να είναι κάθετες, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσής τους είναι ορθογώνια. Και αν τα διανύσματα είναι ορθογώνια, τότε τα δικά τους κλιμακωτό προϊόνισούται με μηδέν:

Τι συνέβη? Η απλούστερη γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο:

3) Η τιμή της παραμέτρου είναι γνωστή, ας βρούμε το σημείο:

Και το διάνυσμα κατεύθυνσης:
.

4) Θα συνθέσουμε τις εξισώσεις της ευθείας με το σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Οι παρονομαστές της αναλογίας αποδείχθηκαν κλασματικοί, και αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν είναι σκόπιμο να απαλλαγούμε από τα κλάσματα. Απλώς θα τα πολλαπλασιάσω με -2:

Απάντηση:

Σημείωση : μια πιο αυστηρή κατάληξη της λύσης συντάσσεται ως εξής: συνθέτουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα . Πράγματι, εάν ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής, τότε το διάνυσμα που είναι συγγραμμικό προς αυτό φυσικά θα είναι επίσης ένα κατευθυντικό διάνυσμα αυτής της ευθείας γραμμής.

Η επαλήθευση αποτελείται από δύο στάδια:

1) ελέγξτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών για ορθογωνικότητα.

2) αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στις εξισώσεις κάθε ευθείας, πρέπει να «ταιριάζουν» και εδώ και εκεί.

Έγινε πολύς λόγος για τυπικές ενέργειες, οπότε έκανα έναν έλεγχο σε ένα προσχέδιο.

Παρεμπιπτόντως, ξέχασα μια άλλη μόδα - να χτίσω ένα σημείο "sue" συμμετρικό στο σημείο "en" σε σχέση με την ευθεία γραμμή "el". Ωστόσο, υπάρχει ένα καλό "επίπεδο ανάλογο", το οποίο μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο. Εδώ, όλη η διαφορά θα είναι στην πρόσθετη συντεταγμένη "Z".

Πώς να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία στο διάστημα;

σι) Λύση: Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία.

Μέθοδος ένα. Η απόσταση αυτή είναι ακριβώς ίση με το μήκος της κάθετου: . Η λύση είναι προφανής: αν τα σημεία είναι γνωστά , Οτι:

Μέθοδος δεύτερη. Σε πρακτικά προβλήματα, η βάση της κάθετης είναι συχνά ένα μυστήριο, επομένως είναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται ένας έτοιμος τύπος.

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία εκφράζεται με τον τύπο:
, όπου είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας "el", και - αυθαίρετοςένα σημείο σε μια δεδομένη ευθεία.

1) Από τις εξισώσεις της ευθείας παίρνουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης και το πιο προσιτό σημείο .

2) Το σημείο είναι γνωστό από τη συνθήκη, ακονίστε το διάνυσμα:

3) Ας βρούμε διανυσματικό προϊόνκαι να υπολογίσετε το μήκος του:

4) Υπολογίστε το μήκος του διανύσματος κατεύθυνσης:

5) Έτσι, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία:

ΑΓ.40. Απόσταση μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών

Σε συντεταγμένες

FMP.3. ΠΛΗΡΗΣ ΑΥΞΗΣΗ

συναρτήσεις πολλών μεταβλητών - η αύξηση που αποκτάται από τη συνάρτηση όταν όλα τα ορίσματα λαμβάνουν (γενικά, μη μηδενικές) αυξήσεις. Πιο συγκεκριμένα, ας οριστεί η συνάρτηση f σε μια γειτονιά του σημείου

n-διάστατος χώρος μεταβλητών x 1,. . ., x σελ.Αύξηση

συνάρτηση f στο σημείο x (0) , όπου

που ονομάζεται πλήρης αύξηση εάν θεωρείται ως συνάρτηση n πιθανών αυξήσεων D x 1, . . ., Δ x nεπιχειρήματα x 1, . .., x p,υπό την προϋπόθεση μόνο ότι το σημείο x (0) + Dx ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μαζί με τις γραμμικές αυξήσεις των συναρτήσεων, θεωρούμε μερικές αυξήσεις D x k fσυνάρτηση f στο σημείο x (0) της μεταβλητής x k,δηλ. τέτοιες αυξήσεις Df, για τις οποίες Dx yj =0, j=1, 2, . . ., κ- 1, k+1, . . ., n, k -σταθερό (k=1, 2, . . ., n).

FMP.4. Α: Η μερική αύξηση της συνάρτησης z \u003d (x, y) ως προς το x είναι η διαφορά με τη μερική αύξηση ως προς το

Α: Η μερική παράγωγος ως προς το x της συνάρτησης z \u003d (x, y) είναι το όριο του λόγου της μερικής αύξησης προς την αύξηση Ax όταν η τελευταία τείνει στο μηδέν:

Άλλοι προσδιορισμοί: Ομοίως για μεταβλητές

noah u.

Παρατηρώντας ότι προσδιορίζεται στη σταθερά y και - στη σταθερά x, μπορούμε να διατυπώσουμε τον κανόνα: η μερική παράγωγος ως προς το x της συνάρτησης z \u003d (x, y) είναι η συνήθης παράγωγος ως προς το x, που υπολογίζεται σύμφωνα με το υπόθεση ότι το y \u003d συνεχίζει. Ομοίως, για να υπολογίσουμε τη μερική παράγωγο ως προς το y, πρέπει να λάβουμε υπόψη το x = const. Έτσι, οι κανόνες για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων είναι οι ίδιοι όπως στην περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.

FMP.5. Συνέχεια λειτουργιών. Προσδιορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης

Η συνάρτηση , ονομάζεται συνεχής στο σημείο , εάν ικανοποιείται μία από τις ισοδύναμες συνθήκες:

2) για μια αυθαίρετη ακολουθία ( x n) τιμές, συγκλίνουσες σε n→ ∞ σε ένα σημείο Χ 0 , η αντίστοιχη ακολουθία ( φά(x n)) οι τιμές της συνάρτησης συγκλίνει για n→ ∞ προς φά(Χ 0);

3) ή φά(Χ) - φά(Χ 0) → 0 για Χ - Χ 0 → 0;

4) έτσι ώστε ή, που είναι το ίδιο,

φά: ]Χ 0 - δ , Χ 0 + δ [ → ]φά(Χ 0) - ε , φά(Χ 0) + ε [.

Από τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης φάστο σημείο Χ 0 προκύπτει ότι

Εάν η συνάρτηση φάσυνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος ] ένα, σι[, μετά η συνάρτηση φάπου ονομάζεται συνεχής σε αυτό το διάστημα.

FMP.6. Στη μαθηματική ανάλυση, μερική παράγωγο- μία από τις γενικεύσεις της έννοιας της παραγώγου στην περίπτωση συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Ρητά, η μερική παράγωγος της συνάρτησης φάορίζεται ως εξής:

Γράφημα συνάρτησης z = Χ² + xy + y². Μερική παράγωγος στο σημείο (1, 1, 3) σε σταθερά yαντιστοιχεί στη γωνία κλίσης της εφαπτομένης ευθείας παράλληλης στο επίπεδο xz.

Τμήματα του γραφήματος που φαίνονται παραπάνω από ένα επίπεδο y= 1

Σημειώστε ότι ο συμβολισμός πρέπει να γίνει κατανοητός ως ολόκληροςσύμβολο, σε αντίθεση με τη συνήθη παράγωγο μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, η οποία μπορεί να αναπαρασταθεί ως ο λόγος των διαφορικών της συνάρτησης και του ορίσματος. Ωστόσο, η μερική παράγωγος μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως λόγος διαφορικών, αλλά σε αυτήν την περίπτωση είναι απαραίτητο να υποδειχθεί με ποια μεταβλητή αυξάνεται η συνάρτηση: , όπου δ x στείναι το μερικό διαφορικό της συνάρτησης f ως προς τη μεταβλητή x. Συχνά η παρανόηση του γεγονότος της ακεραιότητας του χαρακτήρα είναι η αιτία σφαλμάτων και παρεξηγήσεων, όπως η μείωση της έκφρασης. (για λεπτομέρειες, βλέπε Fikhtengolts, «Πορεία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού»).

Γεωμετρικά, η μερική παράγωγος είναι η παράγωγος κατά την κατεύθυνση ενός από τους άξονες συντεταγμένων. Μερική παράγωγος συνάρτησης φάσε ένα σημείο κατά μήκος μιας συντεταγμένης x kείναι ίση με την παράγωγο ως προς την κατεύθυνση, όπου βρίσκεται η μονάδα κ-η θέση.

ΛΑ 76) Συστ. ur-tion ονομάζεται Cramer's εάν ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων.

ΛΑ 77-78) Συστ. ονομάζεται άρθρωση εάν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασύμβατη διαφορετικά.

LA 79-80) Κοινό σύστημα. λέγεται οριστική αν έχει μόνο μία λύση και αόριστο διαφορετικά.

LA 81) ... η ορίζουσα του συστήματος Cramer ήταν διαφορετική από το μηδέν

LA 169) Για να είναι το σύστημα συνεπές, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα = .

LA 170) Εάν η ορίζουσα του συστήματος Cramer είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σύστημα ορίζεται και η λύση του μπορεί να βρεθεί από τους τύπους

LA 171) 1. Να βρείτε τη λύση του συστήματος εξισώσεων Cramer με τη μέθοδο του πίνακα. 2.. Ας γράψουμε το σύστημα σε μορφή μήτρας. 3. Υπολογίστε την ορίζουσα του συστήματος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές του: 4. Στη συνέχεια σημειώστε τον αντίστροφο πίνακα A-1. 5. Επομένως

LA 172) Ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων AX = 0. Το ομογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές επειδή έχει τουλάχιστον μία λύση

LA 173) Αν τουλάχιστον μία από τις ορίζουσες , , δεν είναι ίση με μηδέν, τότε όλες οι λύσεις του συστήματος (1) θα προσδιορίζονται από τους τύπους , , , όπου t είναι ένας αυθαίρετος αριθμός. Κάθε μεμονωμένη λύση λαμβάνεται σε κάποια συγκεκριμένη τιμή t.

ΛΑ 174) Το σύνολο των διαλυμάτων είναι ομοιογενές. Τα συστήματα ονομάζονται θεμελιώδες σύστημα λύσεων εάν: 1) είναι γραμμικά ανεξάρτητα. 2) οποιαδήποτε λύση του συστήματος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός λύσεων.

AG118. Η γενική εξίσωση του αεροπλάνου είναι…

Καλείται η εξίσωση του επιπέδου προβολής γενική εξίσωσηεπίπεδο.

AG119.Αν το επίπεδο a περιγράφεται με την εξίσωση Ax+D=0, τότε...

PR 10.Τι είναι μια απειροελάχιστη τιμή και ποιες οι κύριες ιδιότητες της;

OL 11. Τι λέγεται απείρως μεγάλο; Ποια είναι η σχέση της

με ένα απειροελάχιστο;

PR12.KΠοια περιοριστική σχέση ονομάζεται πρώτο αξιοσημείωτο όριο; Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο είναι η σχέση ορίου

OL 13Ποια περιοριστική σχέση ονομάζεται δεύτερο αξιοσημείωτο όριο;

OL 14Ποια ζεύγη ισοδύναμων συναρτήσεων γνωρίζετε;

CR64Τι είναι η αρμονική σειρά; Κάτω από ποιες συνθήκες συγκλίνει;

Η σειρά ενός είδους ονομάζεται αρμονικός.

CR 65.Ποιο είναι το άθροισμα μιας άπειρης φθίνουσας προόδου;

CH66.Ποια δήλωση εννοείται με το πρώτο θεώρημα σύγκρισης;

Αφήστε να υπάρχουν δύο θετικές σειρές

Εάν, τουλάχιστον από ένα ορισμένο σημείο (ας πούμε, για ), ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: , τότε η σύγκλιση της σειράς συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς ή, που είναι το ίδιο, η απόκλιση της σειράς προκύπτει από την απόκλιση της σειρά.

CR67. Ποια δήλωση εννοείται με το δεύτερο θεώρημα σύγκρισης;

Ας το προσποιηθούμε. Αν υπάρχει όριο

τότε και οι δύο σειρές συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα.

CR 45Να διατυπώσετε το απαιτούμενο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς.

Αν η σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα, τότε ονομάζεται συγκλίνουσα.

CR 29Μια αρμονική σειρά είναι μια σειρά της μορφής…. Συγκλίνει όταν

Η σειρά ενός είδους ονομάζεται αρμονικός.Έτσι, η αρμονική σειρά συγκλίνει και αποκλίνει στο .

AG 6. Ένα διατεταγμένο σύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία (σε ένα δεδομένο επίπεδο, στο διάστημα) ονομάζεται βάση σε αυτήν την ευθεία (σε αυτό το επίπεδο, στο διάστημα), εάν οποιοδήποτε διάνυσμα βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία (στο ένα δεδομένο επίπεδο, χώρος) ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αυτού του γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος.

Οποιοδήποτε ζεύγος μη γραμμικών διανυσμάτων βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο αποτελεί τη βάση σε αυτό το επίπεδο.

AG 7. Ένα διατεταγμένο σύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία (σε ένα δεδομένο επίπεδο, στο διάστημα) ονομάζεται βάση σε αυτήν την ευθεία (σε αυτό το επίπεδο, στο διάστημα), εάν οποιοδήποτε διάνυσμα βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία (στο ένα δεδομένο επίπεδο, χώρος) ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αυτού του γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος.

Οποιοδήποτε τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων σχηματίζει μια βάση στο χώρο.

ΑΓ 8, Οι συντελεστές στην επέκταση ενός διανύσματος ως βάσης ονομάζονται συντεταγμένες αυτού του διανύσματος σε μια δεδομένη βάση. Για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος με δεδομένη αρχή και τέλος, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τις συντεταγμένες της αρχής του από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος: αν , , τότε .

ΑΓ 9.α)Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα (ένα διάνυσμα, με αρχή στο σημείο και τέλος στο σημείο, λέγεται διάνυσμα ακτίνας σημείου ).

ΑΓ 10. Όχι γιατί το ακτινικό μέτρο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων περικλείεται πάντα μεταξύ και

ΑΓ 11. Κλιμακωτής είναι κάθε πραγματικός αριθμός. Προϊόν με τελείεςδύο διανύσματα και ονομάζεται αριθμός ίσος με το γινόμενο των μονάδων τους και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

ΑΓ 12. μπορούμε να υπολογίσουμεαπόσταση μεταξύ σημείων, διανύσματα βάσης, γωνία μεταξύ διανυσμάτων.

ΑΓ 13. Το διασταυρούμενο γινόμενο ενός διανύσματος από ένα διάνυσμα είναι το τρίτο διάνυσμα που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Το μήκος του είναι

Το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο που περιέχει τα διανύσματα και

Εάν δύο ευθείες στο χώρο έχουν ένα κοινό σημείο, τότε αυτές οι δύο ευθείες λέγεται ότι τέμνονται. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες α και β τέμνονται στο σημείο Α. Οι ευθείες α και γ δεν τέμνονται.

Οποιεσδήποτε δύο γραμμές είτε έχουν μόνο ένα κοινό σημείο είτε δεν έχουν κοινά σημεία.

Παράλληλες γραμμές

Δύο ευθείες στο διάστημα ονομάζονται παράλληλες αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Για να ορίσετε παράλληλες γραμμές χρησιμοποιήστε ένα ειδικό εικονίδιο - ||.

Ο συμβολισμός a||b σημαίνει ότι η ευθεία a είναι παράλληλη με την ευθεία b. Στο παραπάνω σχήμα, οι ευθείες a και c είναι παράλληλες.

Θεώρημα παράλληλων γραμμών

Μέσα από οποιοδήποτε σημείο του χώρου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μια ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη ευθεία και, επιπλέον, μόνο μία.

Διασταυρούμενες γραμμές

Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο μπορούν είτε να τέμνονται είτε να είναι παράλληλες. Αλλά στο διάστημα, δύο ευθείες δεν χρειάζεται να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Μπορούν να τοποθετηθούν σε δύο διαφορετικά επίπεδα.

Προφανώς, οι ευθείες που βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα δεν τέμνονται και δεν είναι παράλληλες ευθείες. Δύο ευθείες που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ονομάζονται διέλευση των γραμμών.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει δύο τεμνόμενες ευθείες a και b που βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα.

Θεώρημα πρόσημου και λοξών γραμμών

Αν μία από τις δύο ευθείες βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο και η άλλη ευθεία τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τότε αυτές οι γραμμές είναι λοξές.

Θεώρημα γραμμών διέλευσης: από καθεμία από τις δύο τεμνόμενες ευθείες διέρχεται ένα επίπεδο παράλληλο με την άλλη ευθεία και επιπλέον μόνο μία.

Έτσι, τα έχουμε εξετάσει όλα πιθανές περιπτώσεις σχετική θέσηευθείες γραμμές στο χώρο. Υπάρχουν μόνο τρεις από αυτούς.

1. Οι ευθείες τέμνονται. (Δηλαδή, έχουν μόνο ένα κοινό σημείο.)

2. Οι ευθείες είναι παράλληλες. (Δηλαδή, δεν έχουν κοινά σημεία και βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.)

3. Οι ευθείες γραμμές τέμνονται. (Δηλαδή, βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα.)

Σε αυτό το άρθρο, θα ορίσουμε πρώτα τη γωνία μεταξύ των λοξών γραμμών και θα δώσουμε μια γραφική απεικόνιση. Στη συνέχεια, απαντάμε στην ερώτηση: "Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ λοξών γραμμών εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων"; Συμπερασματικά, θα εξασκηθούμε στην εύρεση της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών κατά την επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Γωνία μεταξύ λοξών γραμμών - ορισμός.

Σταδιακά θα προσεγγίσουμε τον ορισμό της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Ας θυμηθούμε πρώτα τον ορισμό των λοξών γραμμών: δύο γραμμές σε τρισδιάστατο χώρο ονομάζονται διασταύρωσηαν δεν κείτονται στο ίδιο επίπεδο. Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι οι λοξές γραμμές δεν τέμνονται, δεν είναι παράλληλες και, επιπλέον, δεν συμπίπτουν, διαφορετικά θα βρίσκονταν και οι δύο σε κάποιο επίπεδο.

Παρουσιάζουμε μερικά επιπλέον βοηθητικά επιχειρήματα.

Έστω δύο τεμνόμενες ευθείες a και b σε τρισδιάστατο χώρο. Ας κατασκευάσουμε τις ευθείες a 1 και b 1 έτσι ώστε να είναι παράλληλες με τις λοξές ευθείες a και b, αντίστοιχα, και να διέρχονται από κάποιο σημείο του χώρου M 1 . Έτσι, θα πάρουμε δύο τεμνόμενες ευθείες a 1 και b 1 . Έστω η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a 1 και b 1 ίσο με τη γωνία. Τώρα ας κατασκευάσουμε ευθείες a 2 και b 2 , παράλληλες με τις λοξές γραμμές a και b, αντίστοιχα, που διέρχονται από το σημείο M 2 , το οποίο είναι διαφορετικό από το σημείο M 1 . Η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a 2 και b 2 θα είναι επίσης ίση με τη γωνία. Αυτή η δήλωση είναι αληθής, αφού οι ευθείες a 1 και b 1 θα συμπίπτουν με τις ευθείες a 2 και b 2, αντίστοιχα, εάν εκτελέσετε μια παράλληλη μεταφορά, στην οποία το σημείο M 1 πηγαίνει στο σημείο M 2. Έτσι, το μέτρο της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται στο σημείο Μ, αντίστοιχα, παράλληλες προς τις δεδομένες λοξές γραμμές, δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου Μ.

Τώρα είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε τη γωνία μεταξύ λοξών γραμμών.

Ορισμός.

Γωνία μεταξύ λοξών γραμμώνείναι η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών που είναι αντίστοιχα παράλληλες με τις δεδομένες λοξές γραμμές.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η γωνία μεταξύ των λοξών γραμμών δεν θα εξαρτάται επίσης από την επιλογή του σημείου M . Επομένως, ως σημείο M, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει σε μία από τις λοξές γραμμές.

Δίνουμε μια απεικόνιση του ορισμού της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών.

Εύρεση της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών.

Εφόσον η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών καθορίζεται μέσω της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών, η εύρεση της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών μειώνεται στην εύρεση της γωνίας μεταξύ των αντίστοιχων τεμνόμενων γραμμών στον τρισδιάστατο χώρο.

Αναμφίβολα, οι μέθοδοι που μελετήθηκαν στα μαθήματα γεωμετρίας στο Λύκειο. Δηλαδή, έχοντας ολοκληρώσει τις απαραίτητες κατασκευές, είναι δυνατή η σύνδεση της επιθυμητής γωνίας με οποιαδήποτε γωνία γνωστή από την συνθήκη, με βάση την ισότητα ή την ομοιότητα των σχημάτων, σε ορισμένες περιπτώσεις θα βοηθήσει θεώρημα συνημιτόνου, και μερικές φορές οδηγεί στο αποτέλεσμα ορισμός ημιτόνου, συνημίτονος και εφαπτομένης γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

Ωστόσο, είναι πολύ βολικό να λυθεί το πρόβλημα της εύρεσης της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Αυτό θα εξετάσουμε.

Αφήστε το Oxyz να εισαχθεί στον τρισδιάστατο χώρο (ωστόσο, σε πολλά προβλήματα πρέπει να εισαχθεί ανεξάρτητα).

Ας θέσουμε στον εαυτό μας το καθήκον: να βρούμε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b, που αντιστοιχούν σε ορισμένες εξισώσεις της ευθείας στο χώρο στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz.

Ας το λύσουμε.

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο του τρισδιάστατου χώρου M και ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες a 1 και b 1 διέρχονται από αυτό, παράλληλες προς τις τεμνόμενες ευθείες a και b, αντίστοιχα. Τότε η απαιτούμενη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a και b είναι εξ ορισμού ίση με τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών a 1 και b 1.

Έτσι, μένει να βρούμε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a 1 και b 1 . Για να εφαρμόσουμε τον τύπο για την εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών στο διάστημα, πρέπει να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης των ευθειών a 1 και b 1 .

Πώς μπορούμε να τα αποκτήσουμε; Και είναι πολύ απλό. Ο ορισμός του κατευθυντικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής μας επιτρέπει να δηλώσουμε ότι τα σύνολα κατευθυνόμενων διανυσμάτων των παράλληλων ευθειών συμπίπτουν. Επομένως, ως διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a 1 και b 1, μπορούμε να πάρουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης Και ευθείες α και β, αντίστοιχα.

Ετσι, Η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών a και b υπολογίζεται από τον τύπο
, Οπου Και είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a και b, αντίστοιχα.

Τύπος εύρεσης του συνημίτονος της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμώνα και β έχουν τη μορφή .

Σας επιτρέπει να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών εάν το συνημίτονο είναι γνωστό: .

Μένει να αναλύσουμε τις λύσεις των παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των λοξών γραμμών a και b , οι οποίες ορίζονται στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz από τις εξισώσεις Και .

Λύση.

Οι κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε αμέσως τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος αυτής της ευθείας γραμμής - δίνονται με αριθμούς στους παρονομαστές των κλασμάτων, δηλαδή, . Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο καθιστούν επίσης δυνατή την άμεση καταγραφή των συντεταγμένων του διανύσματος κατεύθυνσης - είναι ίσες με τους συντελεστές μπροστά από την παράμετρο, δηλαδή, - διάνυσμα κατεύθυνσης ευθεία . Έτσι, έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για να εφαρμόσουμε τον τύπο με τον οποίο υπολογίζεται η γωνία μεταξύ λοξών γραμμών:

Απάντηση:

Η γωνία μεταξύ των δεδομένων λοξών γραμμών είναι .

Παράδειγμα.

Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των λοξών γραμμών στις οποίες βρίσκονται οι ακμές AD και BC της πυραμίδας ABCD, εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών της:.

Λύση.

Τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών διέλευσης AD και BC είναι τα διανύσματα και . Ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες τους ως τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων τέλους και έναρξης του διανύσματος:

Σύμφωνα με τον τύπο μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των δοθέντων λοξών γραμμών:

Τώρα υπολογίζουμε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των λοξών γραμμών:

Απάντηση:

Συμπερασματικά, εξετάζουμε τη λύση ενός προβλήματος στο οποίο απαιτείται να βρεθεί η γωνία μεταξύ λοξών γραμμών και το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων πρέπει να εισαχθεί ανεξάρτητα.

Παράδειγμα.

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, στο οποίο AB=3 , AD=2 και AA 1 =7 μονάδες. Το σημείο Ε βρίσκεται στην άκρη ΑΑ 1 και το διαιρεί σε αναλογία 5 προς 2 μετρώντας από το σημείο Α. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των λοξών γραμμών BE και A 1 C.

Λύση.

Γιατί τα πλευρά κυβοειδέςσε μια κορυφή είναι αμοιβαία κάθετες, είναι βολικό να εισαχθεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και να προσδιοριστεί η γωνία μεταξύ των υποδεικνυόμενων τεμνόμενων γραμμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων μέσω της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών.

Ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz ως εξής: ας συμπίπτει η αρχή με την κορυφή A, ο άξονας Ox συμπίπτει με την ευθεία AD, ο άξονας Oy με την ευθεία AB και ο άξονας Oz με την ευθεία AA 1.

Τότε το σημείο Β έχει συντεταγμένες, το σημείο Ε - (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο), το σημείο Α 1 - και το σημείο Γ -. Από τις συντεταγμένες αυτών των σημείων, μπορούμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και . Εχουμε , .

Απομένει να εφαρμόσουμε τον τύπο για την εύρεση της γωνίας μεταξύ των λοξών γραμμών σύμφωνα με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Απάντηση:

Βιβλιογραφία.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 του Λυκείου.
• Pogorelov A.V., Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 7-11 εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.

ΚΕΙΜΕΝΟ ΕΞΗΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:

Γνωρίζετε ήδη δύο περιπτώσεις αμοιβαίας διάταξης γραμμών στο διάστημα:

1. τεμνόμενες γραμμές.

2. παράλληλες ευθείες.

Ας δούμε τους ορισμούς τους.

Ορισμός. Οι ευθείες στο χώρο ονομάζονται τεμνόμενες αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και έχουν ένα κοινό σημείο

Ορισμός. Οι ευθείες στο χώρο ονομάζονται παράλληλες αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.

Το κοινό που έχουν αυτοί οι ορισμοί είναι ότι οι γραμμές βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Αυτό δεν συμβαίνει πάντα στο διάστημα. Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε πολλά αεροπλάνα, και δεν θα βρίσκονται κάθε δύο γραμμές στο ίδιο επίπεδο.

Για παράδειγμα, οι άκρες του κύβου ABCDA1B1C1D1

Τα AB και A1D1 βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα.

Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται τεμνόμενες αν δεν υπάρχει τέτοιο επίπεδο που θα διέρχεται από αυτές τις ευθείες. Από τον ορισμό είναι σαφές ότι αυτές οι ευθείες δεν τέμνονται και δεν είναι παράλληλες.

Ας αποδείξουμε ένα θεώρημα που εκφράζει το πρόσημο των λοξών γραμμών.

Θεώρημα (σημείο λοξών γραμμών).

Εάν μία από τις ευθείες βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο και η άλλη γραμμή τέμνει αυτό το επίπεδο σε ένα σημείο που δεν ανήκει σε αυτήν την ευθεία, τότε αυτές οι ευθείες είναι λοξές.

Η ευθεία ΑΒ βρίσκεται στο επίπεδο α. Η ευθεία CD τέμνει το επίπεδο α σε σημείο C όχι στην ευθεία ΑΒ.

Να αποδείξετε ότι οι ευθείες AB και DC τέμνονται.

Απόδειξη

Η απόδειξη θα γίνει με αντίφαση.

Ας πούμε ότι το ΑΒ και το CD βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, ας το συμβολίσουμε με β.

Τότε το επίπεδο β διέρχεται από την ευθεία ΑΒ και το σημείο Γ.

Σύμφωνα με το συμπέρασμα των αξιωμάτων, μπορεί κανείς να σχεδιάσει ένα επίπεδο μέσα από την ευθεία ΑΒ και ένα σημείο Γ που δεν βρίσκεται πάνω του, και επιπλέον, μόνο ένα.

Αλλά έχουμε ήδη ένα τέτοιο επίπεδο - το επίπεδο α.

Επομένως, τα επίπεδα β και α συμπίπτουν.

Αυτό όμως είναι αδύνατο, γιατί Η γραμμή CD τέμνει το α, αλλά δεν βρίσκεται σε αυτό.

Φτάσαμε σε μια αντίφαση, επομένως η υπόθεση μας είναι λανθασμένη. Το AB και το CD βρίσκονται μέσα

διαφορετικά επίπεδα και τέμνονται.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Έτσι, υπάρχουν τρεις πιθανοί τρόποι αμοιβαίας διάταξης των γραμμών στο χώρο:

Α) Οι ευθείες τέμνονται, δηλαδή έχουν μόνο ένα κοινό σημείο.

Β) Οι ευθείες είναι παράλληλες, δηλ. βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.

Γ) Οι ευθείες τέμνονται, δηλ. μην ξαπλώνετε στο ίδιο επίπεδο.

Εξετάστε ένα άλλο θεώρημα σχετικά με τις λοξές γραμμές

Θεώρημα. Μέσα από κάθε μία από τις δύο τεμνόμενες ευθείες διέρχεται ένα επίπεδο παράλληλο με την άλλη ευθεία και επιπλέον μόνο μία.

AB και CD - τεμνόμενες γραμμές

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα επίπεδο α τέτοιο ώστε η ευθεία ΑΒ να βρίσκεται στο επίπεδο α και η ευθεία CD να είναι παράλληλη στο επίπεδο α.

Απόδειξη

Ας αποδείξουμε την ύπαρξη ενός τέτοιου αεροπλάνου.

1) Σχεδιάστε μια ευθεία ΑΕ μέσω του σημείου Α παράλληλη προς το CD.

2) Εφόσον οι ευθείες ΑΕ και ΑΒ τέμνονται, μπορεί να τραβηχτεί ένα επίπεδο μέσα από αυτές. Να το συμβολίσετε με α.

3) Εφόσον η ευθεία CD είναι παράλληλη προς την ΑΕ, και η ΑΕ βρίσκεται στο επίπεδο α, τότε η ευθεία CD ∥ το επίπεδο α (από το θεώρημα της καθετότητας της ευθείας και του επιπέδου).

Το επίπεδο α είναι το επιθυμητό επίπεδο.

Ας αποδείξουμε ότι το επίπεδο α είναι το μόνο που ικανοποιεί την συνθήκη.

Οποιοδήποτε άλλο επίπεδο που διέρχεται από την ευθεία ΑΒ θα τέμνει την ΑΕ, και επομένως την ευθεία CD παράλληλη προς αυτήν. Δηλαδή, οποιοδήποτε άλλο επίπεδο διέρχεται από το ΑΒ τέμνει την ευθεία CD, επομένως δεν είναι παράλληλο με αυτήν.

Επομένως, το επίπεδο α είναι μοναδικό. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.