Тема 1 алгебрични дроби аритметични действия. Задачи за събиране и изваждане на дроби. Изчисляване на стойността на алгебрична дроб и две основни задачи за дроби

Въпроси за офсет

• 
  Формулирайте основното свойство на дроб.
• 
  Формулирайте
  1. 
     Алгоритъм за намиране на допълнителен множител към алгебрична дроб.
  2. 
     Правила за събиране и изваждане на алгебрични дроби с еднакви знаменатели.
  3. 
     Алгоритъм за намиране на общия знаменател на няколко дроби
  4. 
     Правилото за събиране (изваждане) на алгебрични дроби с различни знаменатели.
  5. 
     Правило за умножение на алгебрични дроби
  6. 
     Правилото за деление на алгебрични дроби.
  7. 
     Правилото за повдигане на алгебрична дроб на степен.

Този урок обсъжда концепцията за алгебрична дроб. Човек се сблъсква с дроби в най-простите житейски ситуации: когато е необходимо да се раздели обект на няколко части, например да се нареже една торта за десет души. Очевидно всеки ще получи парче от тортата. В този случай се сблъскваме с концепцията за числена фракция, но е възможна ситуация, когато даден обект е разделен на неизвестен брой части, например с x. В този случай възниква концепцията за дробен израз. Вече се запознахте с целочислени изрази (несъдържащи разделяне на изрази с променливи) и техните свойства в 7 клас. След това ще разгледаме концепцията за рационална дроб, както и допустимите стойности на променливите.

Тема:Алгебрични дроби. Аритметични действия върху алгебрични дроби

Урок:Основни понятия

1. Определение и примери за алгебрични дроби

Рационалните изрази се делят на цели и дробни изрази.

Определение. рационална дробе дробен израз на формата , където са полиноми. - числител знаменател.

Примери рационални изрази:- дробни изрази; са цели числа. В първия израз, например, числителят е , а знаменателят е .

Значение алгебрична дроб, като всеки алгебричен израз, зависи от числовата стойност на променливите, които са включени в него. По-специално, в първия пример стойността на фракцията зависи от стойностите на променливите и , а във втория само от стойността на променливата .

2. Изчисляване на стойността на алгебрична дроб и две основни задачи върху дроби

Помислете за първата типична задача: изчисляване на стойността рационална дробза различни стойности на включените в него променливи.

Пример 1. Изчислете стойността на дроб за a), b), c)

Решение. Заменете стойностите на променливите в посочената фракция: a), b), c) - не съществува (защото не можете да разделите на нула).

Отговор: 3; един; не съществува.

Както можете да видите, има два типични проблема за всяка дроб: 1) изчисляване на дробта, 2) намиране валидни и невалидни стойностибуквални променливи.

Определение. Валидни стойности на променливиса стойностите на променливите, за които изразът има смисъл. Множеството от всички допустими стойности на променливите се нарича ОДЗили домейн.

3. Допустими (ODZ) и невалидни стойности на променливи във фракции с една променлива

Стойността на литералните променливи може да е невалидна, ако знаменателят на дробта за тези стойности е нула. Във всички останали случаи стойностите на променливите са валидни, тъй като фракцията може да бъде изчислена.

Пример 2. Определете при какви стойности на променливата фракцията няма смисъл.

Решение. За да има смисъл този израз, е необходимо и достатъчно знаменателят на дробта да не е равен на нула. По този начин само тези стойности на променливата, за които знаменателят ще бъде равен на нула, ще бъдат невалидни. Знаменателят на дробта, така че решаваме линейното уравнение:

Следователно за стойността на променливата дробта няма смисъл.

От решението на примера следва правилото за намиране на невалидни стойности на променливи - знаменателят на дробта е равен на нула и се намират корените на съответното уравнение.

Нека да разгледаме няколко подобни примера.

Пример 3. Определете при какви стойности на променливата фракцията няма смисъл.

Решение. .

Пример 4. Определете при какви стойности на променливата фракцията няма смисъл.

решение..

Има и други постановки на този проблем - да се намери домейнили диапазон от валидни стойности на израз (ODZ). Това означава - намерете всички валидни стойности на променливите. В нашия пример това са всички стойности с изключение на . Областта на дефиниция е удобно изобразена на цифровата ос.

За да направите това, ще изрежем точка върху него, както е показано на фигурата:

Поради това, дробна областще бъдат всички числа с изключение на 3.

Пример 5. Определете при какви стойности на променливата фракцията няма смисъл.

решение..

Нека изобразим полученото решение на числовата ос:

4. Графично представяне на зоната на допустимите (ODZ) и невалидните стойности на променливите във фракции

Пример 6. Определете при какви стойности на променливите фракцията няма смисъл.

Решение.. Получихме равенството на две променливи, ще дадем числени примери: или и т.н.

Нека начертаем това решение върху графика в декартовата координатна система:

Ориз. 3. Графика на функция.

Координатите на всяка точка, лежаща на тази графика, не са включени в зоната на допустимите стойности на фракцията.

5. Случай като "деление на нула"

В разглежданите примери се сблъскахме със ситуация, при която се получи деление на нула. Сега разгледайте случая, при който възниква по-интересна ситуация с разделянето на типа.

Пример 7. Определете при какви стойности на променливите фракцията няма смисъл.

решение..

Оказва се, че дробта няма смисъл, когато . Но може да се твърди, че това не е така, защото: .

Може да изглежда, че ако крайният израз е равен на 8 за , тогава оригиналният израз също може да бъде изчислен и следователно има смисъл за . Ако обаче го заместим в оригиналния израз, получаваме - няма смисъл.

За да разберем този пример по-подробно, решаваме следния проблем: за какви стойности посочената фракция е равна на нула?

(дробта е нула, когато нейният числител е нула) . Но е необходимо да се реши първоначалното уравнение с дроб и няма смисъл за , защото при тази стойност на променливата знаменателят е нула. Така че това уравнение има само един корен.

6. Правилото за намиране на ОДЗ

По този начин можем да формулираме точното правило за намиране на обхвата на допустимите стойности на дроб: да намерим ОДЗдробие необходимо и достатъчно знаменателят му да се приравни на нула и да се намерят корените на полученото уравнение.

Разгледахме две основни задачи: изчисляване на стойността на дробза посочените стойности на променливите и намиране на областта на допустимите стойности на дроб.

Нека сега разгледаме още няколко проблема, които могат да възникнат при работа с дроби.

7. Разни задачи и изводи

Пример 8. Докажете, че за всякакви стойности на променливата дробта .

Доказателство. Числителят е положително число. . В резултат на това и числителят, и знаменателят са положителни числа, следователно дробта също е положително число.

Доказано.

Пример 9. Известно е, че , намерете .

Решение. Нека разделим дробта член по член. Имаме право да намалим с, като вземем предвид това, което е невалидна стойност на променливата за тази дроб.

В този урок разгледахме основните понятия, свързани с дробите. В следващия урок ще разгледаме основно свойство на дроб.

Библиография

1. Башмаков М. I. Алгебра 8 клас. - М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др., Алгебра 8. - 5-то изд. - М.: Образование, 2010.

3. Николски С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 клас. Урок за образователни институции. - М.: Образование, 2006.

1. Фестивал на педагогическите идеи.

2. Старо училище.

3. Интернет портал lib2.podelise. ru.

Домашна работа

1. № 4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др., Алгебра 8. - 5-то изд. - М.: Образование, 2010.

2. Запишете рационална дроб, чиято област е: а) множество, б) множество, в) цялата числова ос.

3. Докажете, че за всички допустими стойности на променливата стойността на фракцията е неотрицателна.

4. Намерете обхвата на израза. Съвет: разгледайте два случая поотделно: когато знаменателят на долната дроб е равен на нула и когато знаменателят на първоначалната дроб е равен на нула.

Тема:

Урок: Преобразуване на рационални изрази

1. Рационално изразяване и метод за неговото опростяване

Нека първо си припомним определението за рационален израз.

Определение. рационално изразяване- алгебричен израз, който не съдържа корени и включва само операциите събиране, изваждане, умножение и деление (степенуване).

Под термина "трансформиране на рационален израз" имаме предвид преди всичко неговото опростяване. И това се извършва в реда на известните ни действия: първо, действия в скоби, след това произведение на числата(степенуване), деление на числа и след това операции за събиране / изваждане.

2. Опростяване на рационални изрази със сбор/разлика на дроби

Основната цел на днешния урок ще бъде придобиването на опит в решаването на по-сложни задачи за опростяване на рационални изрази.

Пример 1

Решение.Първоначално може да изглежда, че тези дроби могат да бъдат намалени, тъй като изразите в числителите на дробите са много подобни на формулите за пълните квадрати на съответните им знаменатели. В този случай е важно да не бързате, а отделно да проверите дали това е така.

Нека проверим числителя на първата дроб: . Сега вторият числител: .

Както можете да видите, нашите очаквания не се оправдаха и изразите в числителите не са идеални квадрати, тъй като нямат удвояване на продукта. Такива изрази, ако си спомняте курса за 7 клас, се наричат ​​непълни квадрати. В такива случаи трябва да бъдете много внимателни, защото объркването на формулата за пълен квадрат с непълна е много често срещана грешка и такива примери тестват вниманието на ученика.

Тъй като намаляването е невъзможно, ще извършим събиране на дроби. Знаменателите нямат общи множители, така че те просто се умножават, за да се получи най-малкият общ знаменател, а допълнителният множител за всяка дроб е знаменателят на другата дроб.

Разбира се, тогава можете да отворите скобите и след това да въведете подобни членове, но в този случай можете да се справите с по-малко усилия и да забележите, че в числителя първият член е формулата за сбора на кубовете, а вторият за разлика от кубчета. За удобство си припомняме тези формули в общ вид:

В нашия случай изразите в числителя са сгънати, както следва:

, вторият израз е подобен. Ние имаме:

Отговор..

Пример 2Опростете рационалното изразяване .

Решение.Този пример е подобен на предишния, но веднага става ясно, че в числителите на дробите има непълни квадрати, така че редуцирането в началния етап на решението е невъзможно. Подобно на предишния пример, добавяме дроби:

Тук ние, подобно на метода, посочен по-горе, забелязахме и свихме изрази според формулите за сумата и разликата на кубовете.

Отговор..

Пример 3Опростете рационалното изразяване.

Решение.Можете да видите, че знаменателят на втората дроб се разлага на множители според формулата за сбора на кубовете. Както вече знаем, разлагането на знаменатели е полезно за по-нататъшно намиране на най-малкия общ знаменател на дроби.

Нека посочим най-малкия общ знаменател на дробите, той е равен на: 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

Отговор.

3. Опростяване на рационални изрази със сложни "многоетажни" дроби

Помислете за по-сложен пример с "многоетажни" фракции.

Пример 4Докажете самоличността" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Доказано.

В следващия урок ще разгледаме по-отблизо по-сложни примери за трансформиране на рационални изрази.

Тема: Алгебрични дроби. Аритметични действия върху алгебрични дроби

Урок: Преобразуване на по-сложни рационални изрази

1. Пример за доказване на идентичност с помощта на трансформации на рационални изрази

В този урок ще разгледаме преобразуването на по-сложни рационални изрази. Първият пример ще бъде посветен на доказването на самоличността.

Пример 1

Докажи самоличност: .

Доказателство:

На първо място, при преобразуване на рационални изрази е необходимо да се определи редът на действията. Спомнете си, че първо се изпълняват операциите в скоби, след това умножение и деление, а след това събиране и изваждане. Следователно в този пример процедурата ще бъде следната: първо изпълнете действието в първите скоби, след това във вторите скоби, след това разделете резултатите и след това добавете дроб към получения израз. В резултат на тези действия, както и на опростяване, трябва да се получи израз.

Секция по математика. Чрез линия.

• 
  Числа и изчисления
• 
  Изрази и трансформации

• 
  Алгебрична дроб.
• 
  Намаляване на фракцията.
• 
  Действия с алгебрични дроби.

• 
  Научете как да редуцирате алгебрични дроби.
• 
  

• 
  Да може да извършва основни операции с алгебрични дроби.
• 
  Да могат да изпълняват комбинирани упражнения за действия с алгебрични дроби.

Тема 2. Квадратна функция. функция . (18 часа)

 Функция

Задължително минимално съдържание образователна областматематика

програма. Контрол върху изпълнението му

Изисквания към математическата подготовка

Нивото на задължително обучение на ученика

Нивото на възможна подготовка на ученика

Тема 3 Функция . Свойства на квадратния корен (11 часа)

Секция по математика. през линия

• 
  Числа и изчисления
• 
  Изрази и трансформации
• 
  Функции

 Корен квадратен от число. Аритметичен квадратен корен.

 Концепцията за ирационално число. Ирационалността на числото.

 Реални числа.

 Свойства квадратни корении приложението им в компютърната техника.

 Функция.

програма. Контрол върху изпълнението му

^ Изисквания към математическата подготовка

Нивото на задължително обучение на ученика

 Намерете в прости случаи стойностите на корените.

 Познаване на определението и свойствата на функция , можете да го начертаете.

 Да може да прилага свойствата на аритметичните корени квадратни за изчисляване на стойности и прости трансформации на числови изрази, съдържащи корени квадратни.

Нивото на възможна подготовка на ученика

 Познаване на понятието аритметичен квадратен корен.

 Да може да прилага свойствата на аритметичния квадратен корен при преобразуване на изрази.

 Да може да използва свойствата на функция при решаване на практически задачи.

 Да има представа за ирационални и реални числа.

^ Тема 4 Квадратни уравнения (21 часа)

Секция по математика. през линия

 Уравнения и неравенства

Задължително минимално съдържание на образователно направление математика

 Квадратно уравнение: Формулата за корените на квадратно уравнение.

 Решаване на рационални уравнения.

 Решаване на текстови задачи с помощта на квадратни и дробни рационални уравнения.

програма. Контрол върху изпълнението му

^ Изисквания към математическата подготовка

Нивото на задължително обучение на ученика

 Да може да решава квадратни уравнения, прости рационални и ирационални уравнения.

 Да може да решава прости текстови задачи с помощта на уравнения.

Нивото на възможна подготовка на ученика

• 
  Разберете, че уравненията са математически апарат за решаване на различни проблеми от математиката, свързани области на знанието и практиката.
• 
  Да може да решава квадратни уравнения, рационални и ирационални уравнения, които се свеждат до квадратни.
• 
  Да може да прилага квадратни уравнения и рационални уравнения при решаване на задачи.

В този урок ще продължим да разглеждаме най-простите операции с алгебрични дроби - тяхното събиране и изваждане. Днес ще се съсредоточим върху разглеждането на примери, в които най-важната част от решението ще бъде разлагането на знаменателя на множители по всички начини, които познаваме: с премахване на общ фактор, метод на групиране, избор на пълен квадрат, използване формулите за намалено умножение. В хода на урока ще бъдат разгледани няколко доста сложни задачи върху дроби.

Тема:Алгебрични дроби. Аритметични действия върху алгебрични дроби

Урок:Задачи за събиране и изваждане на дроби

В урока ще разгледаме и обобщим всички случаи на събиране и изваждане на дроби: с еднакви и с различни знаменатели. Като цяло ще решаваме задачи от вида:

По-рано видяхме, че при добавяне или изваждане на алгебрични дроби една от най-важните операции е разлагането на знаменателите. Подобна процедура се прави в случай на обикновени дроби. Още веднъж си спомнете как трябва да работите с обикновени дроби.

Пример 1Изчисли .

Решение.Използваме, както и преди, основната теорема на аритметиката, че всяко число може да се разложи на прости множители: .

Нека определим най-малкото общо кратно на знаменателите: - това ще бъде общият знаменател на дробите и въз основа на него ще определим допълнителните множители за всяка от дробите: за първата дроб , за втората фракция , за третата фракция .

Отговор..

В този пример използвахме основната теорема на аритметиката, за да факторизираме числата. Освен това, когато полиномите действат като знаменатели, те ще трябва да бъдат разложени на множители по следните известни методи: изваждане на общ множител, метод на групиране, подчертаване на пълния квадрат, използване на формули за съкратено умножение.

Пример 2Събиране и изваждане на дроби .

Решение.Знаменателите и на трите дроби са сложни изрази, които трябва да бъдат разложени на множители, след което да се намери най-малкият общ знаменател за тях и да се посочат допълнителни множители за всяка от дробите. Нека направим всички тези стъпки поотделно и след това да заместим резултатите в оригиналния израз.

В първия знаменател изваждаме общия множител: - след като извадим общия множител, можете да видите, че изразът в скоби се свива според формулата за сбор на квадрат.

Във втория знаменател изваждаме общия множител: - след като извадим общия множител, прилагаме формулата за разликата на квадратите.

В третия знаменател изваждаме общия множител: .

След като разложите третия знаменател, можете да видите, че във втория знаменател можете да изберете фактор за по-удобно търсене на най-малкия общ знаменател на дробите, ще направим това, като поставим минуса извън скоби, във втората скоба сменихме условията за по-удобна форма на запис.

Дефинираме най-малкия общ знаменател на дроби като израз, който е разделен на всички знаменатели едновременно, той ще бъде равен на:.

Посочваме допълнителни фактори: за първата фракция , за втората фракция - минусът, изваден в знаменателя, не се взема предвид, защото го записваме на цялата дроб, за третата дроб .

Сега нека извършим действия с дроби, като не забравяме да променим знака преди втората дроб:

На последния етап от решението донесохме подобни членове и ги записахме в низходящ ред на степените за променливата.

Отговор..

В горния пример ние отново, както в предишните уроци, демонстрирахме алгоритъма за добавяне / изваждане на дроби, който е както следва: факторизираме знаменателите на дроби, намираме най-малкия общ знаменател, допълнителни фактори, изпълняваме процедурата за събиране / изваждане и , ако е възможно, опростете израза и намалете. Ще използваме този алгоритъм по-нататък. Нека сега разгледаме по-прости примери.

Пример 3изваждане на дроби .

Решение.В този пример е важно да се види възможността за намаляване на първата дроб, преди да се доведе до общ знаменател с втората дроб. За да направим това, разлагаме числителя и знаменателя на първата дроб на множители.

Числител: - в първата стъпка част от израза се разлага по формулата на разликата на квадратите, а във втората се изважда общият множител.

Знаменател: - в първата стъпка част от израза се разлага по формулата на квадрата на разликата, а във втората се изважда общият множител. Заместете получените числител и знаменател в оригиналния израз и намалете първата дроб с общ множител:

Отговор:.

Пример 4Изпълнение на действия .

Решение.В този пример, както и в предишния, е важно да забележите и приложите намаляването на фракцията, преди да извършите действията. Нека разложим числителя и знаменателя на множители.