Решение на квадратни уравнения. Решете уравнения с две променливи Решете уравнение 3 1

В курса по математика за 7 клас първо се срещат с уравнения с две променливи, но те се изучават само в контекста на системи от уравнения с две неизвестни. Ето защо от полезрението изпадат редица задачи, в които се въвеждат определени условия върху ограничаващите ги коефициенти на уравнението. В допълнение, методи за решаване на проблеми като „Решаване на уравнение в естествени или цели числа“ също се игнорират, въпреки че в ИЗПОЛЗВАЙТЕ материалии на приемните изпити проблеми от този род се срещат все по-често.

Кое уравнение ще се нарече уравнение с две променливи?

Така например уравненията 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 са уравнения с две променливи.

Помислете за уравнението 2x - y = 1. То се превръща в истинско равенство при x = 2 и y = 3, така че тази двойка променливи стойности е решението на разглежданото уравнение.

По този начин решението на всяко уравнение с две променливи е наборът от подредени двойки (x; y), стойностите на променливите, които това уравнение превръща в истинско числово равенство.

Уравнение с две неизвестни може:

а) има едно решение.Например уравнението x 2 + 5y 2 = 0 има уникално решение (0; 0);

б) имат множество решения.Например (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 има 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

в) нямат решения.Например уравнението x 2 + y 2 + 1 = 0 няма решения;

G) имат безкрайно много решения.Например x + y = 3. Решенията на това уравнение ще бъдат числа, чиято сума е 3. Наборът от решения на това уравнение може да бъде записан като (k; 3 - k), където k е всяко реално число.

Основните методи за решаване на уравнения с две променливи са методи, базирани на факторизиране на изрази, подчертаване на пълния квадрат, използване на свойствата на квадратно уравнение, ограничени изрази и методи за оценка. Уравнението, като правило, се трансформира във форма, от която може да се получи система за намиране на неизвестни.

Факторизация

Пример 1

Решете уравнението: xy - 2 = 2x - y.

Решение.

Групираме условията за целите на факторинг:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Извадете общия множител от всяка скоба:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Имаме:

y = 2, x е всяко реално число или x = -1, y е всяко реално число.

По този начин, отговорът е всички двойки от формата (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство на нула на неотрицателни числа

Пример 2

Решете уравнението: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Решение.

Групиране:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Сега всяка скоба може да се свие с помощта на формулата за квадратна разлика.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Сумата от два неотрицателни израза е нула само ако 3x - 2 = 0 и 2y - 3 = 0.

Така че x = 2/3 и y = 3/2.

Отговор: (2/3; 3/2).

Метод на оценка

Пример 3

Решете уравнението: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Решение.

Във всяка скоба изберете целия квадрат:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Приблизителна оценка значението на изразите в скоби.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, тогава лявата страна на уравнението винаги е поне 2. Равенството е възможно, ако:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y - 2) 2 + 2 = 2, така че x = -1, y = 2.

Отговор: (-1; 2).

Нека се запознаем с още един метод за решаване на уравнения с две променливи от втора степен. Този метод е, че уравнението се разглежда като квадрат по отношение на някаква променлива.

Пример 4

Решете уравнението: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Решение.

Нека решим уравнението като квадратно спрямо x. Нека намерим дискриминанта:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Уравнението ще има решение само когато D = 0, т.е. ако y = 4. Заместваме стойността на y в оригиналното уравнение и откриваме, че x = 3.

Отговор: (3; 4).

Често в уравнения с две неизвестни се посочва ограничения върху променливите.

Пример 5

Решете уравнението в цели числа: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Решение.

Нека пренапишем уравнението във формата x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Дясната страна на полученото уравнение, когато се раздели на 5, дава остатък от 2. Следователно x 2 не се дели на 5. Но квадратът на число, което не се дели на 5, дава остатък 1 или 4. Следователно равенството е невъзможно и няма решения.

Отговор: няма корени.

Пример 6

Решете уравнението: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Нека изберем пълните квадратчета във всяка скоба:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Лявата страна на уравнението винаги е по-голяма или равна на 3. Равенството е възможно, ако |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Следователно x = ± 2, y = -3.

Отговор: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7

За всяка двойка цели отрицателни числа (x; y), удовлетворяващи уравнението
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, пресметнете сбора (x + y). Отговорете най-малката сума.

Решение.

Изберете цели квадрати:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Тъй като x и y са цели числа, техните квадрати също са цели числа. Сумата от квадратите на две цели числа, равна на 37, получаваме, ако съберем 1 + 36. Следователно:

(x - y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решавайки тези системи и като вземем предвид, че x и y са отрицателни, намираме решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Отговор: -17.

Не се отчайвайте, ако имате затруднения при решаването на уравнения с две неизвестни. С малко практика ще можете да овладеете всяко уравнение.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате уравнения с две променливи?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е от съществено значение.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Те имат точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Тази формула трябва да се знае наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: чрез знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е равен на нула - коренът ще бъде единица.

Имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да объркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да пишете всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не са толкова много.

Корените на квадратно уравнение

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основната формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, нарисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Лесно се вижда, че един от членовете липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не трябва да изчисляват дискриминанта. Така че нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 \u003d 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x \u003d 0.

Да разгледаме други случаи. Нека b \u003d 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c \u003d 0. Нека леко го трансформираме:

Защото аритметиката Корен квадратенсъществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c /a ) ≥ 0. Заключение:

1. Ако непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c / a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от формата ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да факторизираме полинома:

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Няма корени, т.к квадратът не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

((3 * x - 1) = 0;

-(3 * x - 1) = 0;

От тук получаваме, че има едно уравнение 3 * x - 1 = 0.

Получаваме линейно уравнение във формата 3 * x - 1 = 0

За да решим уравнението, определяме какви свойства има уравнението:

• Уравнението е линейно и се записва като a * x + b = 0, където a и b са произволни числа;
• За a = b = 0 уравнението има безкраен брой решения;
• Ако a = 0, b ≠ 0, уравнението няма решение;
• Ако a ≠ 0, b = 0, уравнението има решение: x = 0;
• Ако a и b са числа, различни от 0, тогава коренът се намира по следната формула x = - b/a.

Оттук получаваме, че a \u003d 3, b \u003d - 1, което означава, че уравнението има един корен.

Проверка на решението на уравнението

Заместете намерената стойност x = 1/3 в оригиналния израз |3 * x - 1| = 0, тогава получаваме:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

За да намерим стойността на израз, първо на свой ред изчисляваме умножението или делението, след което се извършват операциите за добавяне или изваждане. Тоест получаваме:

Така че x = 1/3 е коренът на уравнението |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Модулът се разширява със знак плюс и минус. Получаваме 2 уравнения:

1) 3 * x - 1 = 0;

Прехвърляме известните стойности от едната страна, а неизвестните от другата страна. При прехвърляне на стойности знаците им се променят на противоположния знак. Тоест получаваме:
3 * x = 0 + 1;
3*x=1;
х = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Отваряме скобите. Тъй като пред скобите има знак минус, когато се отвори, знаците на стойностите се променят на противоположния знак. Тоест получаваме:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
х = 1/3;
Отговор: x = 1/3.

I. Линейни уравнения

II. Квадратни уравнения

брадва 2 + bx +° С= 0, а≠ 0, в противен случай уравнението става линейно

Могат да се изчислят корените на квадратно уравнение различни начини, например:

Добри сме в решаването на квадратни уравнения. Много уравнения от по-високи степени могат да бъдат сведени до квадратни.

III. Уравнения, сводими до квадратни.

промяна на променлива: а) биквадратно уравнение брадва 2n+ bx n+ ° С = 0,а ≠ 0,н ≥ 2

2) симетрично уравнение от 3-та степен - уравнение от вида

3) симетрично уравнение от 4-та степен - уравнение от вида

брадва 4 + bx 3 + cx 2 +bx + а = 0, а≠ 0, коефициенти a b c b a или

брадва 4 + bx 3 + cx 2 –bx + а = 0, а≠ 0, коефициенти a b c (–b) a

защото х= 0 не е корен на уравнението, тогава е възможно двете страни на уравнението да се разделят на х 2 , тогава получаваме: .

След като направим заместването, решаваме квадратното уравнение а(T 2 – 2) + bt + ° С = 0

Например, нека решим уравнението х 4 – 2х 3 – х 2 – 2х+ 1 = 0, разделете двете части на х 2 ,

, след замяната получаваме уравнението T 2 – 2T – 3 = 0

Уравнението няма корени.

4) Уравнение от формата ( х-а)(х-б)(х-в)(х-д) = брадва 2 , коеф ab=cd

Например, ( х+2)(х+3)(х + 8)(х+12) = 4x 2. Умножавайки 1–4 и 2–3 скоби, получаваме ( х 2 + 14х+ 24)(х 2 +11х + 24) = 4х 2 , разделяме двете страни на уравнението на х 2, получаваме:

Ние имаме ( T+ 14)(T + 11) = 4.

5) Хомогенно уравнение от 2-ра степен - уравнение от вида P(x, y) = 0, където P(x, y) е полином, всеки член от който има степен 2.

Отговор: -2; -0,5; 0

IV. Всички горни уравнения са разпознаваеми и типични, но какво да кажем за уравнения с произволна форма?

Нека е даден полином Пн ( х) = ан х n+ а n-1 х n-1 + ...+ а 1x+ а 0, където а n ≠ 0

Разгледайте метода за понижаване на степента на уравнение.

Известно е, че ако коеф аса цели числа и а n = 1, тогава целите корени на уравнението Пн ( х) = 0 са сред делителите на свободния член а 0 . Например, х 4 + 2х 3 – 2х 2 – 6х+ 5 = 0, делителите на числото 5 са ​​числата 5; -5; един; -един. Тогава П 4 (1) = 0, т.е. х= 1 е коренът на уравнението. Намалете степента на уравнението П 4 (х) = 0, като разделим „ъгъла“ на полинома на коефициента x –1, получаваме

П 4 (х) = (х – 1)(х 3 + 3х 2 + х – 5).

по същия начин, П 3 (1) = 0, тогава П 4 (х) = (х – 1)(х – 1)(х 2 + 4х+5), т.е. уравнението П 4 (x) = 0 има корени х 1 = х 2 = 1. Нека покажем по-кратко решение на това уравнение (използвайки схемата на Horner).

означава, х 1 = 1 означава х 2 = 1.

Така, ( х– 1) 2 (х 2 + 4х + 5) = 0

какво направихме Намали нивото на уравнението.

V. Разгледайте симетрични уравнения от 3-та и 5-та степен.

а) брадва 3 + bx 2 + bx + а= 0 очевидно х= –1 е коренът на уравнението, след това намалете степента на уравнението до две.

б) брадва 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + а= 0 очевидно х= –1 е коренът на уравнението, след това намалете степента на уравнението до две.

Например, нека покажем решението на уравнение 2 х 5 + 3х 4 – 5х 3 – 5х 2 + 3х + = 0

х = –1

Получаваме ( х – 1) 2 (х + 1)(2х 2 + 5х+ 2) = 0. Следователно корените на уравнението: 1; един; -един; –2; -0,5.

VI. Ето списък с различни уравнения за решаване в класната стая и у дома.

Каня читателя сам да реши уравнения 1-7 и да получи отговори ...