Намерете равната стойност на израза. Намиране стойността на израз, примери, решения. Изрази със степени

Така че, ако числовият израз е съставен от числа и знаци +, −, · и:, тогава в ред отляво надясно трябва първо да извършите умножение и деление, а след това събиране и изваждане, което ще ви позволи да намерите желаното стойност на израза.

Нека да разгледаме някои примери за пояснение.

Пример.

Пресметнете стойността на израза 14−2·15:6−3 .

Решение.

За да намерите стойността на израз, трябва да извършите всички действия, посочени в него, в съответствие с приетия ред за извършване на тези действия. Първо, в ред отляво надясно, извършваме умножение и деление, получаваме 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Сега, в ред отляво надясно, изпълняваме останалите действия: 14−5−3=9−3=6 . Така че намерихме стойността на оригиналния израз, тя е равна на 6.

Отговор:

14−2 15:6−3=6 .

Пример.

Намерете стойността на израза.

Решение.

В този пример първо трябва да извършим умножението 2 (−7) и делението с умножение в израза. Спомняйки си как , намираме 2 (−7)=−14 . И за извършване на действия в израза, първо , тогава и изпълнете: .

Заместваме получените стойности в оригиналния израз: .

Но какво да кажем, когато под знака за корен има числов израз? За да получите стойността на такъв корен, първо трябва да намерите стойността на коренния израз, като следвате приетия ред на операциите. Например, .

В числовите изрази корените трябва да се възприемат като някои числа и е препоръчително незабавно да замените корените с техните стойности и след това да намерите стойността на получения израз без корени, като извършвате действия в приетата последователност.

Пример.

Намерете стойността на израза с корени.

Решение.

Първо, намерете стойността на корена . За да направим това, първо изчисляваме стойността на радикалния израз, който имаме −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. И второ, намираме стойността на корена.

Сега нека изчислим стойността на втория корен от оригиналния израз: .

И накрая, можем да намерим стойността на оригиналния израз, като заменим корените с техните стойности: .

Отговор:

Доста често, за да можете да намерите стойността на израз с корени, първо трябва да го преобразувате. Нека покажем примерно решение.

Пример.

Какво е значението на израза .

Решение.

Не можем да заменим корен от три с точната му стойност, което не ни позволява да изчислим стойността на този израз по описания по-горе начин. Въпреки това можем да изчислим стойността на този израз чрез извършване на прости трансформации. Приложимо формула за разлика на квадратите: . Като се има предвид, получаваме . Така че стойността на оригиналния израз е 1.

Отговор:

.

С дипломи

Ако основата и степента са числа, тогава тяхната стойност се изчислява по дефиницията на степента, например 3 2 =3 3=9 или 8 −1 =1/8 . Има и записи, когато основата и/или степента са някои изрази. В тези случаи трябва да намерите стойността на израза в основата, стойността на израза в експонентата и след това да изчислите стойността на самата степен.

Пример.

Намерете стойността на израз със степени на формата 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Решение.

Оригиналният израз има две степени 2 3 4−10 и (1−1/2) 3,5−2 1/4 . Техните стойности трябва да бъдат изчислени преди извършване на останалите стъпки.

Нека започнем със степента 2 3·4−10 . Индикаторът му съдържа числов израз, нека изчислим стойността му: 3·4−10=12−10=2 . Сега можете да намерите стойността на самата степен: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Има изрази в основата и експонента (1−1/2) 3,5−2 1/4, ние изчисляваме техните стойности, за да намерим стойността на степента по-късно. Ние имаме (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Сега се връщаме към оригиналния израз, заместваме градусите в него с техните стойности и намираме стойността на израза, от който се нуждаем: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Отговор:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

Струва си да се отбележи, че има по-чести случаи, когато е препоръчително да се проведе предварителен преглед опростяване на израза с правомощиявърху основата.

Пример.

Намерете стойността на израз .

Решение.

Съдейки по експонентите в този израз, точните стойности на градусите не могат да бъдат получени. Нека се опитаме да опростим оригиналния израз, може би това ще помогне да намерим стойността му. Ние имаме

Отговор:

.

Степените в изразите често вървят ръка за ръка с логаритмите, но ние ще говорим за намирането на стойностите на изрази с логаритми в един от.

Намиране на стойността на израз с дроби

Числовите изрази в техния запис могат да съдържат дроби. Когато се изисква да се намери стойността на такъв израз, дроби, различни от обикновени дроби, трябва да ги замените с техните стойности, преди да изпълните останалите стъпки.

Числителят и знаменателят на дробите (които са различни от обикновените дроби) могат да съдържат както някои числа, така и изрази. За да изчислите стойността на такава дроб, трябва да изчислите стойността на израза в числителя, да изчислите стойността на израза в знаменателя и след това да изчислите стойността на самата дроб. Този ред се обяснява с факта, че дробта a/b, където a и b са някои изрази, всъщност е частно от формата (a):(b) , тъй като .

Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Намерете стойността на израз с дроби .

Решение.

В оригиналния числен израз три дроби и . За да намерим стойността на оригиналния израз, първо се нуждаем от тези дроби и ги заместваме с техните стойности. Хайде да го направим.

Числителят и знаменателят на дробта са числа. За да намерим стойността на такава дроб, заместваме дробната лента със знак за деление и изпълняваме това действие: .

Числителят на дробта съдържа израза 7−2 3 , стойността му се намира лесно: 7−2 3=7−6=1 . По този начин, . Можете да продължите към намиране на стойността на третата дроб.

Третата дроб в числителя и знаменателя съдържа числови изрази, следователно първо трябва да изчислите техните стойности и това ще ви позволи да намерите стойността на самата дроб. Ние имаме .

Остава да замените намерените стойности в оригиналния израз и да изпълните останалите стъпки: .

Отговор:

.

Често, когато намирате стойностите на изрази с дроби, трябва да изпълнявате опростяване на дробни изрази, въз основа на изпълнението на действия с дроби и на намаляването на дроби.

Пример.

Намерете стойността на израз .

Решение.

Коренът от пет не е напълно извлечен, така че за да намерим стойността на оригиналния израз, нека първо го опростим. За това отървете се от ирационалността в знаменателяпърва дроб: . След това оригиналният израз ще приеме формата . След изваждането на дробите корените ще изчезнат, което ще ни позволи да намерим стойността на първоначално дадения израз:.

Отговор:

.

С логаритми

Ако числовият израз съдържа и ако е възможно да се отървете от тях, тогава това се прави преди извършване на други действия. Например, когато се намира стойността на израза log 2 4+2 3 , логаритъма на log 2 4 се заменя с неговата стойност 2 , след което останалите операции се извършват в обичайния ред, т.е. log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Когато под знака на логаритъма и/или в основата му има числови изрази, първо се намират техните стойности, след което се изчислява стойността на логаритъма. Например, разгледайте израз с логаритъм на формата . В основата на логаритъма и под неговия знак са числови изрази, намираме техните стойности: . Сега намираме логаритъма, след което завършваме изчисленията: .

Ако логаритмите не са изчислени точно, тогава предварителното му опростяване с помощта на . В този случай трябва да владеете добре материала на статията. преобразуване на логаритмични изрази.

Пример.

Намерете стойността на израз с логаритми .

Решение.

Нека започнем с изчисляване на log 2 (log 2 256) . Тъй като 256=2 8 , тогава log 2 256=8 , следователно log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Логаритмите log 6 2 и log 6 3 могат да бъдат групирани. Сумата от логаритмите log 6 2+log 6 3 е равна на логаритъма от произведението log 6 (2 3), така че log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Сега нека се занимаваме с дроби. Като начало ще пренапишем основата на логаритъма в знаменателя като обикновена дроб като 1/5, след което ще използваме свойствата на логаритмите, които ще ни позволят да получим стойността на дробта:
.

Остава само да замените получените резултати в оригиналния израз и да завършите намирането на неговата стойност:

Отговор:

Как да намерим стойността на тригонометричен израз?

Когато числов израз съдържа или и т.н., тогава техните стойности се изчисляват преди извършване на други действия. Ако има числови изрази под знака на тригонометричните функции, тогава първо се изчисляват техните стойности, след което се намират стойностите на тригонометричните функции.

Пример.

Намерете стойността на израз .

Решение.

Обръщайки се към статията, получаваме и cosπ=−1 . Ние заместваме тези стойности в оригиналния израз, той приема формата . За да намерите стойността му, първо трябва да извършите степенуване и след това да завършите изчисленията: .

Отговор:

.

Трябва да се отбележи, че изчисляването на стойностите на изрази със синуси, косинуси и др. често изисква предварително трансформации на тригонометрични изрази.

Пример.

Каква е стойността на тригонометричния израз .

Решение.

Нека трансформираме оригиналния израз с помощта на , в този случай се нуждаем от формулата за косинус на двоен ъгъл и формулата за косинус на сумата:

Извършените трансформации ни помогнаха да намерим стойността на израза.

Отговор:

.

Общ случай

В общия случай числовият израз може да съдържа корени, степени, дроби и всякакви функции и скоби. Намирането на стойностите на такива изрази се състои в извършване на следните действия:

• първи корени, степени, дроби и др. се заменят с техните ценности,
• допълнителни действия в скоби,
• и в ред отляво надясно се извършват останалите операции - умножение и деление, последвани от събиране и изваждане.

Горните действия се извършват до получаване на крайния резултат.

Пример.

Намерете стойността на израз .

Решение.

Формата на този израз е доста сложна. В този израз виждаме дроб, корени, градуси, синус и логаритъм. Как да открием значението му?

Движейки се по записа отляво надясно, попадаме на част от формата . Знаем, че когато работим с дроби сложен тип, трябва отделно да изчислим стойността на числителя, отделно - знаменателя и накрая да намерим стойността на дробта.

В числителя имаме корен от формата . За да определите стойността му, първо трябва да изчислите стойността на радикалния израз . Тук има синус. Можем да намерим стойността му само след като изчислим стойността на израза . Ето какво можем да направим: . Тогава откъде и .

Със знаменателя всичко е просто: .

По този начин, .

След заместване на този резултат в оригиналния израз, той ще приеме формата . Полученият израз съдържа степента. За да намерите стойността му, първо трябва да намерите стойността на индикатора, който имаме .

Така, .

Отговор:

.

Ако не е възможно да се изчислят точните стойности на корени, градуси и т.н., тогава можете да опитате да се отървете от тях с помощта на всякакви трансформации и след това да се върнете към изчисляването на стойността според посочената схема.

Рационални начини за изчисляване на стойности на изрази

Изчисляването на стойностите на числови изрази изисква последователност и точност. Да, необходимо е да се придържате към последователността от действия, записани в предишните параграфи, но това не трябва да се прави сляпо и механично. С това имаме предвид, че често е възможно да се рационализира процесът на намиране на стойността на израз. Например, някои свойства на действия с числа ви позволяват значително да ускорите и опростите намирането на стойността на израз.

Например, знаем това свойство на умножението: ако един от множителите в продукта е нула, тогава стойността на продукта е нула. Използвайки това свойство, можем веднага да кажем, че стойността на израза 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) е нула. Ако следвахме стандартния ред на операциите, тогава първо ще трябва да изчислим стойностите на тромавите изрази в скоби и това ще отнеме много време, а резултатът пак ще бъде нула.

Също така е удобно да използвате свойството за изваждане на равни числа: ако извадите равно число от число, тогава резултатът ще бъде нула. Това свойство може да се разглежда по-широко: разликата на два еднакви числови израза е равна на нула. Например, без да изчислявате стойността на изразите в скоби, можете да намерите стойността на израза (54 6−12 47362:3)-(54 6−12 47362:3), то е равно на нула, тъй като оригиналният израз е разликата на еднакви изрази.

Идентичните трансформации могат да допринесат за рационалното изчисляване на стойностите на изразите. Например, групирането на термини и фактори може да бъде полезно, но не по-рядко е премахването на общия фактор извън скобите. Така че стойността на израза 53 5+53 7−53 11+5 е много лесна за намиране след изваждане на фактора 53 извън скоби: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Директното изчисление би отнело много повече време.

В заключение на този параграф, нека обърнем внимание на рационалния подход за изчисляване на стойностите на изрази с дроби - същите фактори в числителя и знаменателя на фракцията се намаляват. Например намаляване на едни и същи изрази в числителя и знаменателя на дроб ви позволява веднага да намерите стойността му, която е 1/2.

Намиране на стойността на буквен израз и израз с променливи

Стойността на буквален израз и израз с променливи се намира за конкретни зададени стойности на букви и променливи. Това е, говорим сиза намиране на стойността на буквален израз за дадени стойности на букви или за намиране на стойността на израз с променливи за избрани стойности на променлива.

правилонамирането на стойността на буквален израз или израз с променливи за дадени стойности на букви или избрани стойности на променливи е както следва: в оригиналния израз трябва да замените дадените стойности на букви или променливи и изчислете стойността на получения числов израз, това е желаната стойност.

Пример.

Изчислете стойността на израза 0,5 x−y за x=2,4 и y=5 .

Решение.

За да намерите необходимата стойност на израза, първо трябва да замените тези променливи стойности в оригиналния израз и след това да изпълните следните действия: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .

Отговор:

−3,8 .

В заключение отбелязваме, че понякога трансформацията на буквални изрази и изрази с променливи ви позволява да получите техните стойности, независимо от стойностите на буквите и променливите. Например, изразът x+3−x може да бъде опростен, за да стане 3 . От това можем да заключим, че стойността на израза x + 3 - x е равна на 3 за всякакви стойности на променливата x от неговия диапазон от приемливи стойности (ODZ) . Друг пример: стойността на израза е 1 за всички положителни стойности x , така че диапазонът от приемливи стойности за променливата x в оригиналния израз е набор от положителни числа и равенството се извършва в този диапазон.

Библиография.

• Математика: проучвания. за 5 клетки. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: учебник. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро изд., Рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Тази статия обсъжда как да намерите стойностите на математически изрази. Нека започнем с прости числови изрази и след това ще разгледаме случаите с нарастването на тяхната сложност. Накрая даваме израз, съдържащ буквени обозначения, скоби, корени, специални математически знаци, степени, функции и др. Цялата теория, по традиция, ще бъде снабдена с изобилие и подробни примери.

Как да намеря стойността на числов израз?

Числовите изрази, наред с други неща, помагат да се опише състоянието на проблема на математически език. Като цяло математическите изрази могат да бъдат или много прости, състоящи се от двойка числа и аритметични знаци, или много сложни, съдържащи функции, степени, корени, скоби и т.н. Като част от задачата често е необходимо да се намери стойността на израз. Как да направите това ще бъде обсъдено по-долу.

Най-простите случаи

Това са случаи, в които изразът не съдържа нищо освен числа и аритметика. За да намерите успешно стойностите на такива изрази, ще ви трябват познания за реда, в който се извършват аритметичните операции без скоби, както и способността да извършвате операции с различни числа.

Ако изразът съдържа само числа и аритметични знаци " + " , " · " , " - " , " ÷ " , тогава операциите се извършват отляво надясно в следния ред: първо умножение и деление, след това събиране и изваждане. Да дадем примери.

Пример 1. Стойността на числов израз

Нека е необходимо да се намерят стойностите на израза 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Нека първо направим умножението и делението. Получаваме:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Сега изваждаме и получаваме крайния резултат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Пример 2. Стойността на числов израз

Нека изчислим: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Първо извършваме преобразуване на дроби, деление и умножение:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Сега нека направим събиране и изваждане. Нека групираме дробите и ги доведем до общ знаменател:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Желаната стойност е намерена.

Изрази със скоби

Ако изразът съдържа скоби, тогава те определят реда на действията в този израз. Първо се изпълняват действията в скоби, а след това всички останали. Нека покажем това с пример.

Пример 3. Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Изразът съдържа скоби, така че първо извършваме операцията изваждане в скоби и едва след това умножението.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Стойността на изразите, съдържащи скоби в скоби, се намира по същия принцип.

Пример 4. Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Ще извършим действия, започвайки от най-вътрешните скоби, преминавайки към външните.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

При намирането на стойностите на изрази със скоби, основното е да следвате последователността от действия.

Изрази с корени

Математически изрази, чиито стойности трябва да намерим, могат да съдържат коренни знаци. Освен това самият израз може да бъде под знака на корена. Как да бъдем в такъв случай? Първо трябва да намерите стойността на израза под корена и след това да извлечете корена от полученото число. Ако е възможно, по-добре е да се отървете от корените в числови изрази, като замените от с числови стойности.

Пример 5. Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността на израза с корени - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Първо, изчисляваме радикалните изрази.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Сега можем да изчислим стойността на целия израз.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Често, за да се намери стойността на израз с корени, често е необходимо първо да се трансформира оригиналният израз. Нека обясним това с друг пример.

Пример 6. Стойността на числов израз

Колко е 3 + 1 3 - 1 - 1

Както можете да видите, ние нямаме възможност да заменим корена с точна стойност, което усложнява процеса на броене. В този случай обаче можете да приложите формулата за съкратено умножение.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

По този начин:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Изрази със степени

Ако изразът съдържа степени, техните стойности трябва да бъдат изчислени, преди да продължите с всички други действия. Случва се самият показател или основата на степента да са изрази. В този случай първо се изчислява стойността на тези изрази, а след това стойността на степента.

Пример 7. Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Започваме да изчисляваме по ред.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Остава само да извършите операцията за добавяне и да разберете стойността на израза:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Също така често се препоръчва да се опрости изразът, като се използват свойствата на степента.

Пример 8. Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността на следния израз: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Показателите отново са такива, че точните им числени стойности не могат да бъдат получени. Опростете оригиналния израз, за ​​да намерите неговата стойност.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Изрази с дроби

Ако изразът съдържа дроби, тогава при изчисляването на такъв израз всички дроби в него трябва да бъдат представени като обикновени дроби и техните стойности да бъдат изчислени.

Ако има изрази в числителя и знаменателя на фракцията, първо се изчисляват стойностите на тези изрази и се записва крайната стойност на самата дроб. Аритметичните операции се извършват в стандартния ред. Нека разгледаме примерно решение.

Пример 9. Стойността на числов израз

Нека намерим стойността на израза, съдържащ дроби: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Както можете да видите, има три дроби в оригиналния израз. Нека първо изчислим техните стойности.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Нека пренапишем нашия израз и изчислим стойността му:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Често, когато намирате стойностите на изразите, е удобно да намалите дробите. Има едно негласно правило: преди да се намери стойността му, всеки израз е най-добре да се опрости до максимум, като се сведат всички изчисления до най-простите случаи.

Пример 10. Стойността на числов израз

Нека пресметнем израза 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Не можем напълно да извлечем корен от пет, но можем да опростим оригиналния израз чрез трансформации.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Оригиналният израз приема формата:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Нека изчислим стойността на този израз:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Изрази с логаритми

Когато в израз присъстват логаритми, тяхната стойност, ако е възможно, се изчислява от самото начало. Например в израза log 2 4 + 2 4 можете веднага да запишете стойността на този логаритъм вместо log 2 4 и след това да изпълните всички действия. Получаваме: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Числовите изрази могат да бъдат намерени и под знака на логаритъма и в неговата основа. В този случай първата стъпка е да се намерят техните стойности. Нека вземем израза log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Ние имаме:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Ако е невъзможно да се изчисли точната стойност на логаритъма, опростяването на израза помага да се намери неговата стойност.

Пример 11. Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Според свойството на логаритмите:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Отново прилагайки свойствата на логаритмите, за последната дроб в израза получаваме:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Сега можете да продължите към изчисляването на стойността на оригиналния израз.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Изрази с тригонометрични функции

Случва се в израза да има тригонометрични функции на синус, косинус, тангенс и котангенс, както и функции, които са обратни на тях. От стойността се изчисляват, преди да бъдат извършени всички други аритметични операции. В противен случай изразът е опростен.

Пример 12. Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Първо, изчисляваме стойностите на тригонометричните функции, включени в израза.

грях - 5 π 2 \u003d - 1

Заменете стойностите в израза и изчислете стойността му:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Стойността на израза е намерена.

Често, за да се намери стойността на израз с тригонометрични функции, той трябва първо да бъде преобразуван. Нека обясним с пример.

Пример 13. Стойността на числов израз

Необходимо е да се намери стойността на израза cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

За трансформацията, която ще използваме тригонометрични формуликосинус на двойния ъгъл и косинус на сумата.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Общ случай на числово изразяване

Общо взето тригонометричен изразможе да съдържа всички горни елементи: скоби, степени, корени, логаритми, функции. Да формулираме общо правилонамиране на стойностите на такива изрази.

Как да намерим стойността на израз

1. Корени, степени, логаритми и др. се заменят с техните стойности.
2. Действията в скоби се изпълняват.
3. Останалите стъпки се изпълняват в ред отляво надясно. Първо - умножение и деление, след това - събиране и изваждане.

Да вземем пример.

Пример 14. Стойността на числов израз

Нека изчислим каква е стойността на израза - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Изразът е доста сложен и тромав. Неслучайно избрахме точно такъв пример, опитвайки се да вместим в него всички случаи, описани по-горе. Как да намерим стойността на такъв израз?

Известно е, че при изчисляване на стойността на сложна дробна форма първо се намират съответно отделно стойностите на числителя и знаменателя на дробта. Ние последователно ще трансформираме и опростяваме този израз.

Първо, изчисляваме стойността на радикалния израз 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. За да направите това, трябва да намерите стойността на синуса и израза, който е аргумент на тригонометричната функция.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Сега можете да разберете стойността на синуса:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Изчисляваме стойността на радикалния израз:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Със знаменателя на дроб всичко е по-лесно:

Сега можем да запишем стойността на цялата дроб:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Имайки това предвид, ние записваме целия израз:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Краен резултат:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

В този случай успяхме да изчислим точните стойности за корени, логаритми, синуси и т.н. Ако това не е възможно, можете да се опитате да се отървете от тях чрез математически трансформации.

Изчисляване на изрази по рационални начини

Числените стойности трябва да се изчисляват последователно и точно. Този процес може да бъде рационализиран и ускорен чрез използване на различни свойства на операциите с числа. Например, известно е, че произведението е равно на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Имайки предвид това свойство, можем веднага да кажем, че изразът 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 е равен на нула. В този случай изобщо не е необходимо да изпълнявате стъпките в реда, описан в статията по-горе.

Също така е удобно да се използва свойството за изваждане на равни числа. Без да извършвате каквито и да е действия, е възможно да наредите стойността на израза 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 също да е равна на нула.

Друга техника, която ви позволява да ускорите процеса, е използването на идентични трансформации, като групиране на термини и фактори и изваждане на общия фактор извън скоби. Рационален подход за изчисляване на изрази с дроби е да се намалят същите изрази в числителя и знаменателя.

Например, нека вземем израза 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Без да извършваме действия в скоби, но като намалим дробта, можем да кажем, че стойността на израза е 1 3 .

Намиране на стойностите на изрази с променливи

Стойността на буквален израз и израз с променливи се намира за конкретни зададени стойности на букви и променливи.

Намиране на стойностите на изрази с променливи

За да намерите стойността на буквален израз и израз с променливи, трябва да замените дадените стойности на букви и променливи в оригиналния израз и след това да изчислите стойността на получения числов израз.

Пример 15. Стойността на израз с променливи

Изчислете стойността на израза 0, 5 x-y при дадени x = 2, 4 и y = 5.

Заместваме стойностите на променливите в израза и изчисляваме:

0.5 x - y = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.

Понякога е възможно да се трансформира израз по такъв начин, че да се получи неговата стойност, независимо от стойностите на буквите и променливите, включени в него. За да направите това, е необходимо да се отървете от букви и променливи в израза, ако е възможно, като използвате идентични трансформации, свойства на аритметични операции и всички възможни други методи.

Например, изразът x + 3 - x очевидно има стойност 3 и не е необходимо да се знае стойността на x, за да се изчисли тази стойност. Стойността на този израз е равна на три за всички стойности на променливата x от неговия диапазон от валидни стойности.

Още един пример. Стойността на израза x x е равна на единица за всички положителни x.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В курса по алгебра за 7-ми клас се занимавахме с преобразуване на цели числа, т.е. изрази, съставени от числа и променливи с помощта на операции събиране, изваждане и умножение, както и деление с число, различно от нула. Следователно изразите са цели числа

За разлика от изразите

в допълнение към действието събиране, изваждане и умножение, те съдържат деление с израз с променливи. Такива изрази се наричат ​​дробни изрази.

Целочислените и дробните изрази се наричат ​​рационални изрази.

Цяло числов израз има смисъл за всякакви стойности на променливите, включени в него, тъй като за да намерите стойността на цял израз, трябва да извършите действия, които винаги са възможни.

Дробен израз за някои стойности на променливи може да няма смисъл. Например изразът - няма смисъл за a = 0. За всички други стойности на a този израз има смисъл. Изразът има смисъл за тези стойности на x и y, когато x ≠ y.

Стойностите на променливите, за които изразът има смисъл, се наричат ​​валидни стойности на променливи.

Изразът на формата се нарича, както знаете, дроб.

Дроб, чийто числител и знаменател са полиноми, се нарича рационална дроб.

Дроби са примери за рационални дроби.

В рационална дроб са допустими тези стойности на променливи, за които знаменателят на дробта не се равнява на нула.

Пример 1Нека намерим валидните стойности на променливата във фракцията

РешениеЗа да намерите при какви стойности на a знаменателят на дробта изчезва, трябва да решите уравнението a (a - 9) \u003d 0. Това уравнение има два корена: 0 и 9. Следователно всички числа с изключение на 0 и 9 са валидни стойности за променливата a.

Пример 2При каква стойност на x е стойността на дробта равно на нула?

РешениеЕдна дроб е нула тогава и само ако a е 0 и b ≠ 0.