Решаване на тригонометрични уравнения еге задача 13 ларин. Тригонометрични уравнения - формули, решения, примери. Видео колекции и онлайн курсове

Подготовка за профилно ниво на единния държавен изпитматематика. Полезни материали по тригонометрия, големи теоретични видео лекции, видео анализ на задачи и подбор на задачи от минали години.

Полезни материали

Видео колекции и онлайн курсове

Тригонометрични формули

Геометрична илюстрация на тригонометрични формули

Дъгови функции. Най-простите тригонометрични уравнения

Тригонометрични уравнения

1. Необходима теория за решаване на проблеми.
2. а) Решете уравнението $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2)\right]$.
3. а) Решете уравнението $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -3\pi; -\pi\right]$.
4. Решете уравнението $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$.
5. а) Решете уравнението $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
6. a) Решете уравнението $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$.
   
7. Решете уравнението $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$.
8. Решете уравнението $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$.
9. 
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\right)$.
10. а) Решете уравнението $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
11. a) Решете уравнението $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \right]$.

Видео анализ на задачите

b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20)\right]$.

b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$.

b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30)\right]$.

а) Решете уравнението $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\right)$.

а) Решете уравнението $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi\right]$.

b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

a) Решете уравнението $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$.
b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi\right]$.

а) Решете уравнението $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

a) Решете уравнението $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi\right]$.

a) Решете уравнението $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

а) Решете уравнението $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$.

Подбор на задачи от минали години

1. a) Решете уравнението $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (USE-2018. Ранна вълна)
2. а) Решете уравнението $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30)\right]$. (USE-2018. Ранна вълна, резервен ден)
3. a) Решете уравнението $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Основна вълна)
4. a) Решете уравнението $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ 3\pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Основна вълна)
5. a) Решете уравнението $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \right]$. (USE-2018. Основна вълна)
6. а) Решете уравнението $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2018. Основна вълна)
7. a) Решете уравнението $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
   
8. a) Решете уравнението $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ 2\pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Основна вълна)
9. a) Решете уравнението $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
   b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi\right]$. (USE-2018. Основна вълна)
10. a) Решете уравнението $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi\надясно]$. (USE-2018. Основна вълна)
11. a) Решете уравнението $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\right]$. (USE-2018. Основна вълна)
12. a) Решете уравнението $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2018. Основна вълна)
13. 
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Основна вълна)
14. 
    
15. a) Решете уравнението $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Основна вълна, резервен ден)
16. а) Решете уравнението $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \right]$. (USE-2018. Основна вълна, резервен ден)
17. а) Решете уравнението $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (USE-2018. Основна вълна, резервен ден)
18. a) Решете уравнението $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2018. Основна вълна, резервен ден)
19. а) Решете уравнението $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$.
    b) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20)\right]$. (USE-2018. Основна вълна, резервен ден)
20. а) Решете уравнението $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (USE-2017, основна вълна, резервен ден)
21. а) Решете уравнението $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на отсечката $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (USE-2017, основна вълна, резервен ден)
22. а) Решете уравнението $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (USE-2017, основна вълна, резервен ден)
23. а) Решете уравнението $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2017, основна вълна)
24. а) Решете уравнението $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (USE-2017, основна вълна)
25. a) Решете уравнението $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (USE-2017, основна вълна)
26. а) Решете уравнението $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2017, основна вълна)
27. а) Решете уравнението $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2017, основна вълна)
28. а) Решете уравнението $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (USE-2017, ранна вълна)
29. а) Решете уравнението $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (USE-2016, основна вълна, резервен ден)
30. а) Решете уравнението $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$. (USE-2016, основна вълна, резервен ден)
31. а) Решете уравнението $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2016, основна вълна, резервен ден)
32. a) Решете уравнението $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (USE-2016, основна вълна)
33. а) Решете уравнението $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2016, основна вълна)
34. а) Решете уравнението $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (USE-2016, ранна вълна)
35. a) Решете уравнението $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2016, ранна вълна)
36. а) Решете уравнението $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2016, ранна вълна)
37. a) Решете уравнението $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$.
    б) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на отсечката $\left$. (USE-2015, основна вълна)
38. а) Решете уравнението $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на отсечката $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (USE-2015, основна вълна)
39. а) Решете уравнението $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2015, основна вълна)
40. а) Решете уравнението $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2015, основна вълна)
41. a) Решете уравнението $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2015, ранна вълна)
42. а) Решете уравнението $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
    b) Намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (USE-2015, ранна вълна)
43. a) Решете уравнението $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$.
    b) Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \4\pi\right]$. (USE-2014, основна вълна)
44. a) Решете уравнението $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$.
    b) Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \3\pi\right]$. (USE-2014, основна вълна)
45. a) Решете уравнението $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$.
    б) Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -3\pi; \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2014, основна вълна)
46. a) Решете уравнението $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
    b) Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \6\pi\right]$. (USE-2014, ранна вълна)
47. a) Решете уравнението $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$.
    b) Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2013, основна вълна)
48. а) Решете уравнението $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$.
    б) Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на сегмента $\left[ -5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (USE-2012, втора вълна)

а)Решете уравнението 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Решение

а)Отваряйки скобите и премествайки всички членове вляво, получаваме уравнението 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Като се има предвид, че \cos x \neq 0, членът 2 \sin x може да бъде заменен с 2 tg x \cos x, получаваме уравнението 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0,което чрез групиране може да се сведе до формата (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tgx=0, tanx=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б)С помощта на числова окръжност избираме корените, принадлежащи на интервала \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Отговор

а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi)4.

Състояние

а)Решете уравнението (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

б)Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Решение

а) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

Оригиналното уравнение на ODZ е еквивалентно на набора от уравнения

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \край (масив)\надясно.

Нека решим първото уравнение. За да направите това, ние ще заменим \cos 4x=t, t \in [-1; един].Тогава \sin^24x=1-t^2. Получаваме:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; един].

\cos4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Нека решим второто уравнение.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Използвайки единичната окръжност, намираме решения, които удовлетворяват ODZ.

Със знак "+" се отбелязват 1-ва и 3-та четвърти, в които tg x>0.

Получаваме: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

б)Нека намерим корените, принадлежащи на интервала \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi)(12); x=\pi; x=\frac(13\pi)(12); x=\frac(17\pi )(12).

Отговор

а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) \pi; \frac\pi(12); \frac(5\pi)(12); \frac(13\pi)(12); \frac(17\pi )(12).

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. Ниво на профил". Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

а)Решете уравнението: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б)Посочете всички корени, принадлежащи на интервала \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Решение

а)защото \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,тогава \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,следователно даденото уравнение е еквивалентно на уравнението \cos^2x=\cos ^22x, което от своя страна е еквивалентно на уравнението \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)и

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, така че уравнението става

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тогава или 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0 или 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Решаване на първото уравнение като квадратно уравнениепо отношение на \cos x, получаваме:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Следователно или \cos x=1, или \cosx=-\frac12.Ако \cos x=1, тогава x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Ако \cosx=-\frac12,тогава x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

По подобен начин, решавайки второто уравнение, получаваме или \cos x=-1, или \cosx=\frac12.Ако \cos x=-1, тогава корените x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Ако \cosx=\frac12,тогава x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Нека комбинираме получените решения:

x=m\pi, m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б)Избираме корените, които попадат в дадения интервал, като използваме числова окръжност.

Получаваме: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi )3.

Отговор

а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac(11\pi )3, 4\pi, \frac(13\pi )3.

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

а)Решете уравнението 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

б)Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\надясно).

Решение

а) 1. Според формулата за намаляване, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.Домейнът на уравнението ще бъде x стойности, така че \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Трансформираме уравнението, като използваме формулата за двоен ъглов косинус 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.Получаваме уравнението: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

забележи това \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),така че уравнението става: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).Оттук \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.

2. Трансформирайте \sin x+\cos x, като използвате формулата за редукция и формулата за сумата от косинуси: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Оттук \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.означава, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Ето защо x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Намерените стойности на x принадлежат към областта на дефиницията.

б)Нека първо открием къде попадат корените на уравнението при k=0 и t=0. Това ще бъдат съответно числата a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5и b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Нека докажем едно спомагателно неравенство:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Наистина ли, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Обърнете внимание и на това \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, означава \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. От неравенства (1) по свойството на аркосинуса получаваме:

аркос 1

0

Оттук \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

по същия начин, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

С k=-1 и t=-1 получаваме корените на уравнението a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).При което -2\pi

2\pi Така че тези корени принадлежат на дадения интервал \left(-2\pi, -\frac(3\pi)2\right).

За други стойности на k и t корените на уравнението не принадлежат към дадения интервал.

Наистина, ако k\geqslant 1 и t\geqslant 1, тогава корените са по-големи от 2\pi. Ако k\leqslant -2 и t\leqslant -2, тогава корените са по-малко -\frac(7\pi )2.

Отговор

а) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

а)Решете уравнението \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б)Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на интервала ;

Решение

а)Нека трансформираме уравнението:

\cosx=-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2\sin x)=0,

\cosx=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2\sinx=0,

\sinx=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Намираме корените, принадлежащи на сегмента, използвайки единичната окръжност.

Посоченият интервал съдържа едно число \frac\pi 2.

Отговор

а) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

означава, \sin x \neq 1.

Разделете двете страни на уравнението на коефициента (\sinx-1),различен от нула. Получаваме уравнението \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).Прилагайки формулата за редукция от лявата страна и формулата за редукция от дясната страна, получаваме уравнението 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Това е уравнението, използващо заместването \cosx=t,където -1 \leqslant t \leqslant 1на квадрат: 2t^2+t-1=0,чиито корени t_1=-1и t_2=\frac12.Връщайки се към променливата x, получаваме \cos x = \frac12или \cosx=-1,където x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Решете неравенства

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , м, н, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Няма цели числа, принадлежащи на интервала \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\десен].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Това неравенство е изпълнено от k=-1, тогава x=-\pi.

Отговор

а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, м, н, k \in \mathbb Z;

б) -\pi .

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем !!!

Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и ние ще разгледаме техните формули по-нататък.

Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека напишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синуса, няма решения сред реалните числа.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи за синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Освен това има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синусите:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решението на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• използване, за да го преобразувате в най-простия;
• решете полученото просто уравнение, като използвате горните формули за корените и таблиците.

Нека разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

алгебричен метод.

При този метод се извършва замяната на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Преместете наляво всички членове на равенство: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да приведете това тригонометрично уравнение в една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` за първия случай и на `cos^2 x \ne 0` за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени с помощта на известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, като разделим лявата и дясната му част на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Да въведем замяната `tg x=t`, като резултат `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отидете до половин ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Прилагайки формулите за двоен ъгъл, резултатът е: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение `a sin x + b cos x =c`, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, ние разделяме двете части на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и модулът им не е по-голям от 1. Означаваме ги по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяйки двете страни на уравнението на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Означете `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, в чиито числители и знаменатели има тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на уравнението на „(1+cos x)“. В резултат на това получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравнете числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за изпита, така че опитайте се да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да правите изводи. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.

Задача №1

Логиката е проста: ще правим както преди, въпреки факта, че тригонометричните функции вече имат по-сложен аргумент!

Ако решим уравнение от вида:

Тогава бихме написали следния отговор:

или (защото)

Но сега играем следния израз:

След това можете да напишете:

Нашата цел с вас е да направим така, че да стоите отляво просто, без никакви "примеси"!

Да се ​​отървем от тях!

Първо премахнете знаменателя при: за да направите това, умножете нашето равенство по:

Сега се отърваваме от, като разделяме двете части на него:

Сега нека се отървем от осемте:

Полученият израз може да бъде записан като 2 серии от решения (по аналогия с квадратно уравнение, където добавяме или изваждаме дискриминанта)

Трябва да намерим най-големия отрицателен корен! Ясно е, че е необходимо да се сортира.

Нека първо да разгледаме първата серия:

Ясно е, че ако вземем, тогава в резултат ще получим положителни числа, но те не ни интересуват.

Така че трябва да се приеме отрицателно. Позволявам.

Кога коренът ще бъде вече:

И трябва да намерим най-големия негатив!! Така че вървенето в отрицателна посока тук вече няма смисъл. И най-големият отрицателен корен за тази редица ще бъде равен.

Сега помислете за втората серия:

И отново заместваме: , след това:

Не се интересувам!

Тогава вече няма смисъл да го увеличавате! Да намалим! Нека тогава:

пасва!

Позволявам. Тогава

След това - най-големият отрицателен корен!

Отговор:

Задача №2

Отново решаваме, независимо от комплексния косинус аргумент:

Сега изразяваме отново отляво:

Умножете двете страни по

Разделете двете страни

Всичко, което остава, е да го преместите надясно, променяйки знака му от минус на плюс.

Отново получаваме 2 серии от корени, едната с и другата с.

Трябва да намерим най-големия отрицателен корен. Помислете за първата серия:

Ясно е, че ще получим първия отрицателен корен при, той ще бъде равен и ще бъде най-големият отрицателен корен в серия 1.

За втората серия

Първият отрицателен корен също ще бъде получен при и ще бъде равен на. Тъй като, тогава е най-големият отрицателен корен на уравнението.

Отговор: .

Задача №3

Ние решаваме, независимо от сложния аргумент на допирателната.

Изглежда, че не е нищо сложно, нали?

Както преди, изразяваме от лявата страна:

Е, това е страхотно, като цяло има само една серия корени! Отново намерете най-големия минус.

Ясно е, че се оказва, ако поставим . И този корен е равен.

Отговор:

Сега се опитайте да разрешите следните проблеми сами.

Домашна работа или 3 задачи за самостоятелно решаване.

1. Ре-ши-те уравнение.
   
2. Ре-ши-те уравнение.
   В from-ve-te on-pi-shi-te най-малкият корен in-lo-zhi-tel-ny.
3. Ре-ши-те уравнение.
   В from-ve-te on-pi-shi-te най-малкият корен in-lo-zhi-tel-ny.

Готов? Проверяваме. Няма да описвам подробно целия алгоритъм на решението, струва ми се, че вече му беше обърнато достатъчно внимание по-горе.

Е, всичко наред ли е? Ох, тези гадни синуси, с тях винаги има проблеми!

Е, сега можете да решавате най-простите тригонометрични уравнения!

Вижте решенията и отговорите:

Задача №1

Експрес

Най-малкият положителен корен се получава, ако поставим, тъй като, тогава

Отговор:

Задача №2

Най-малкият положителен корен ще бъде получен при.

Той ще бъде равен.

Отговор: .

Задача №3

Когато получим, когато имаме.

Отговор: .

Това знание ще ви помогне да решите много от проблемите, с които ще се сблъскате на изпита.

Ако кандидатствате за оценка "5", тогава просто трябва да продължите към четене на статията за средно ниво,който ще бъде посветен на решаването на по-сложни тригонометрични уравнения (задача C1).

СРЕДНО НИВО

В тази статия ще опиша решение на тригонометрични уравнения от по-сложен типи как да изберете техните корени. Тук ще се съсредоточа върху следните теми:

1. Тригонометрични уравнения за входно ниво (виж по-горе).

По-сложните тригонометрични уравнения са в основата на проблеми с повишена сложност. Те изискват както решаване на самото уравнение в обща форма, така и намиране на корените на това уравнение, които принадлежат към даден интервал.

Решаването на тригонометричните уравнения се свежда до две подзадачи:

1. Решение на уравнението
2. Избор на корен

Трябва да се отбележи, че второто не винаги е задължително, но все пак в повечето примери се изисква да се направи избор. И ако не се изисква, тогава можете по-скоро да съчувствате - това означава, че уравнението е доста сложно само по себе си.

Моят опит с анализа на C1 задачи показва, че те обикновено се разделят на следните категории.

Четири категории задачи с повишена сложност (бивш C1)

1. Уравнения, които се свеждат до факторизация.
2. Уравнения, които се свеждат до вида.
3. Уравнения, решавани чрез промяна на променлива.
4. Уравнения, изискващи допълнителен избор на корени поради ирационалност или знаменател.

Казано по-просто: ако получите един от първите три вида уравнениятогава се считайте за късметлия. За тях, като правило, е необходимо допълнително да се изберат корените, принадлежащи към определен интервал.

Ако срещнете уравнение от тип 4, тогава сте по-малко щастливи: трябва да се занимавате с него по-дълго и по-внимателно, но доста често не изисква допълнителен избор на корени. Въпреки това ще анализирам този тип уравнения в следващата статия, а тази ще посветя на решаването на уравнения от първите три типа.

Редуциране на уравнения до факторизиране

Най-важното нещо, което трябва да запомните, за да решавате уравнения от този тип, е

Както показва практиката, като правило това знание е достатъчно. Нека да разгледаме някои примери:

Пример 1. Уравнение, което се свежда до факторизиране с помощта на формулите за редукция и синуса на двоен ъгъл

• Ре-ши-те уравнение
• Намерете-ди-тези всички корени на това уравнение

Тук, както обещах, формулите за кастинг работят:

Тогава моето уравнение ще изглежда така:

Тогава моето уравнение ще приеме следната форма:

Един късоглед студент може да каже: а сега ще намаля и двете части, ще получа най-простото уравнение и ще се радвам на живота! И горчиво ще сгреши!

И така, какво да правя? Да, всичко е просто, прехвърлете всичко в една посока и извадете общия фактор:

Е, изчислихме го, ура! Сега решаваме:

Първото уравнение има корени:

И второто:

Това завършва първата част от проблема. Сега трябва да изберем корените:

Разликата е следната:

Или може да се напише и така:

Е, нека вземем корените:

Първо, нека да работим с първата серия (и най-малкото е по-лесно!)

Тъй като нашият интервал е изцяло отрицателен, няма нужда да вземаме неотрицателни, те пак ще дадат неотрицателни корени.

Да вземем тогава - малко прекалено, не става.

Нека, тогава - отново не удари.

Още един опит - тогава - там, удар! Първият открит корен!

Пак стрелям: после - пак удар!

Е, още веднъж: - това вече е полет.

Така че от първата серия 2 корена принадлежат на интервала: .

Работим с втората серия (изграждаме на степен според правилото):

Подстрелване!

Отново липсва!

Отново недостиг!

Схванах го!

Полет!

По този начин следните корени принадлежат на моя диапазон:

Ще използваме този алгоритъм за решаване на всички други примери. Нека практикуваме още един пример заедно.

Пример 2. Уравнение, което се свежда до факторизиране с помощта на формули за редукция

• Решете уравнението

Решение:

Отново прословутите кастинг формули:

Отново, не се опитвайте да режете!

Първото уравнение има корени:

И второто:

Сега отново търсенето на корени.

Ще започна с втората серия, вече знам всичко за нея от предишния пример! Погледнете и се уверете, че корените, принадлежащи на празнината, са както следва:

Сега първата серия и е по-проста:

Ако - подходящо

Ако - също добре

Ако - вече полет.

Тогава корените ще бъдат:

Самостоятелна работа. 3 уравнения.

Е, разбирате ли техниката? Решаването на тригонометрични уравнения вече не изглежда толкова трудно? След това бързо решете следните задачи сами и след това вие и аз ще решим други примери:

1. Решете уравнението
   Намерете всички корени на това уравнение, които са свързани с празнината.
2. Ре-ши-те уравнение
   Посочете корените на уравнението, които са прикрепени към разреза
3. Ре-ши-те уравнение
   Find-di-those всички корени на това уравнение, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Уравнение 1

И отново формулата за кастинг:

Първа серия от корени:

Втора серия от корени:

Започваме селекцията за интервала

Отговор: , .

Уравнение 2 Проверка на самостоятелна работа.

Доста сложно групиране в множители (ще използвам формулата за синус на двоен ъгъл):

тогава или

Това е общо решение. Сега трябва да вземем корените. Проблемът е, че не можем да кажем точната стойност на ъгъл, чийто косинус е равен на една четвърт. Следователно не мога просто да се отърва от аркосинуса - такава неприятност!

Това, което мога да направя, е да разбера това от тогава.

Нека направим таблица: interval:

Е, чрез болезнени търсения стигнахме до разочароващото заключение, че нашето уравнение има един корен в посочения интервал: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Уравнение 3. Проверка на самостоятелна работа.

Плашещо уравнение. Въпреки това, той се решава доста просто чрез прилагане на формулата за синуса на двоен ъгъл:

Нека го намалим с 2:

Групираме първия член с втория и третия с четвъртия и изваждаме общите множители:

Ясно е, че първото уравнение няма корени и сега разгледайте второто:

Като цяло щях да се спра на решаването на такива уравнения малко по-късно, но тъй като се оказа, нямаше какво да правим, трябваше да решим ...

Уравнения от вида:

Това уравнение се решава чрез разделяне на двете страни на:

Така нашето уравнение има една поредица от корени:

Трябва да намерите онези от тях, които принадлежат на интервала: .

Нека изградим таблицата отново, както направих преди:

Отговор: .

Уравнения, които се свеждат до вида:

Е, сега е време да преминем към втората част от уравненията, особено след като вече изтърсих в какво се състои решението на новия тип тригонометрични уравнения. Но няма да е излишно да повторим, че уравнението на формата

Решава се чрез разделяне на двете части на косинуса:

1. Ре-ши-те уравнение
   Посочете корените на уравнението, които са прикрепени към границата.
2. Ре-ши-те уравнение
   Посочете корените на уравнението, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Пример 1

Първият е доста прост. Преместете се надясно и приложете формулата за двоен ъглов косинус:

Аха! Тип уравнение: . Разделям двете части на

Извършваме премахване на корени:

празнина:

Отговор:

Пример 2

Всичко също е доста тривиално: нека отворим скобите вдясно:

Основна тригонометрична идентичност:

Синус на двоен ъгъл:

Накрая получаваме:

Пресяване на корени: празнина.

Отговор: .

Е, как ви харесва техниката, не е ли много сложна? Надявам се не. Веднага можем да направим резервация: в чист вид уравненията, които веднага се свеждат до уравнение за допирателната, са доста редки. Обикновено този преход (разделяне на косинус) е само част от по-голям проблем. Ето един пример за практикуване:

• Ре-ши-те уравнение
• Намерете-ди-тези всички корени на това уравнение, в-горе-le-zha-schie от-изрязани.

Да проверим:

Уравнението се решава веднага, достатъчно е да разделите двете части на:

Пресяване на корени:

Отговор: .

По един или друг начин все още не сме срещали уравнения от вида, който току-що обсъдихме. Все още обаче е твърде рано да приключим: има още един „слой“ от уравнения, които не сме анализирали. Така:

Решаване на тригонометрични уравнения чрез замяна на променлива

Тук всичко е прозрачно: разглеждаме внимателно уравнението, опростяваме го колкото е възможно повече, правим замяна, решаваме, правим обратна замяна! С думи всичко е много лесно. Нека го видим в действие:

Пример.

• Решете уравнението: .
• Намерете-ди-тези всички корени на това уравнение, в-горе-le-zha-schie от-изрязани.

Е, тук самият заместител се предлага в нашите ръце!

Тогава нашето уравнение става следното:

Първото уравнение има корени:

А второто е така:

Сега нека намерим корените, които принадлежат на интервала

Отговор: .

Нека да разгледаме един малко по-сложен пример заедно:

• Ре-ши-те уравнение
• Посочете корените на даденото уравнение, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Тук замяната не се вижда веднага, освен това не е много очевидна. Нека първо да помислим: какво можем да направим?

Можем например да си представим

И в същото време

Тогава моето уравнение става:

А сега внимание, фокус:

Нека разделим двете страни на уравнението на:

Изведнъж ти и аз получихме квадратно уравнение за! Нека направим заместване, тогава получаваме:

Уравнението има следните корени:

Неприятна втора серия корени, но няма какво да се направи! Правим селекция от корени на интервала.

Трябва да вземем предвид и това

От и тогава

Отговор:

За консолидиране, преди да решите проблемите сами, ето още едно упражнение за вас:

• Ре-ши-те уравнение
• Find-di-those всички корени на това уравнение, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Тук трябва да си отваряте очите: имаме знаменатели, които могат да бъдат нула! Затова трябва да сте особено внимателни към корените!

Първо, трябва да трансформирам уравнението, за да мога да направя подходящо заместване. Не мога да измисля нищо по-добро в момента от това да пренапиша тангенса по отношение на синус и косинус:

Сега ще премина от косинус към синус според основната тригонометрична идентичност:

И накрая ще доведа всичко до общ знаменател:

Сега мога да премина към уравнението:

Но при (т.е. при).

Сега всичко е готово за подмяна:

Тогава или

Имайте предвид обаче, че ако, тогава в същото време!

Кой страда от това? Проблемът е с тангенса, той не е дефиниран, когато косинусът е нула (получава се деление на нула).

Така че корените на уравнението са:

Сега отсяваме корените в интервала:

Така нашето уравнение има един корен в интервала и той е равен.

Виждате: появата на знаменателя (както и тангенса води до определени трудности с корените! Тук трябва да сте по-внимателни!).

Е, вие и аз почти приключихме анализа на тригонометричните уравнения, остава много малко - да решим две задачи сами. Ето ги и тях.

1. Решете уравнението
   Намерете-ди-тези всички корени на това уравнение, в-горе-le-zha-schie от-изрязани.
2. Ре-ши-те уравнение
   Посочете корените на това уравнение, които са прикрепени към разреза.

Реших? Не е много трудно? Да проверим:

1. Ние работим по формулите за намаление:

   Заместваме в уравнението:

   Нека пренапишем всичко по отношение на косинусите, така че да е по-удобно да направим замяната:

   Сега е лесно да направите замяната:

   Ясно е, че това е външен корен, тъй като уравнението няма решения. Тогава:

   Търсим корените, от които се нуждаем на интервала

   Отговор: .

2. 
   Тук веднага се вижда замяната:

   Тогава или

   	- пасва!	- пасва!
   	- пасва!	- пасва!
   	- много!	- също много!

   Отговор:

Е, сега всичко! Но решаването на тригонометричните уравнения не свършва дотук, оставихме най-трудните случаи: когато има ирационалност или различни видове „комплексни знаменатели“ в уравненията. Как да решаваме такива задачи, ще разгледаме в статия за напреднало ниво.

НАПРЕДНАЛО НИВО

В допълнение към тригонометричните уравнения, разгледани в предишните две статии, ние разглеждаме друг клас уравнения, които изискват още по-внимателен анализ. Тези тригонометрични примери съдържат или ирационалност, или знаменател, което прави анализа им по-труден.. Възможно е обаче да срещнете тези уравнения в част C на изпитната работа. Има обаче сребърна подплата: за такива уравнения, като правило, вече не се повдига въпросът кои от неговите корени принадлежат към даден интервал. Нека не се лутаме, а само тригонометрични примери.

Пример 1

Решете уравнението и намерете онези корени, които принадлежат на отсечката.

Решение:

Имаме знаменател, който не трябва да е равен на нула! Тогава решаването на това уравнение е същото като решаването на системата

Нека решим всяко от уравненията:

А сега второто:

Сега нека да разгледаме серията:

Ясно е, че опцията не ни подхожда, тъй като в този случай знаменателят е зададен на нула (вижте формулата за корените на второто уравнение)

Ако - значи всичко е наред и знаменателят не е равен на нула! Тогава корените на уравнението са: , .

Сега избираме корените, принадлежащи на интервала.

Тогава корените са:

Виждате ли, дори появата на малка намеса под формата на знаменател значително повлия на решението на уравнението: изхвърлихме поредица от корени, които анулират знаменателя. Нещата могат да станат още по-сложни, ако попаднете на тригонометрични примери, които имат ирационалност.

Пример 2

Решете уравнението:

Решение:

Е, поне не е нужно да избирате корените и това е добре! Нека първо решим уравнението, независимо от ирационалността:

И какво, това ли е всичко? Не, уви, това би било твърде лесно! Трябва да се помни, че само неотрицателни числа могат да стоят под корена. Тогава:

Решение на това неравенство:

Сега остава да разберем дали част от корените на първото уравнение не са попаднали по невнимание на място, където неравенството не важи.

За да направите това, можете отново да използвате таблицата:

Така един от корените ми „изпадна“! Оказва се, ако поставите . Тогава отговорът може да бъде написан по следния начин:

Отговор:

Виждате ли, коренът изисква още по-голямо внимание! Нека да усложним: нека сега имам тригонометрична функция под корена.

Пример 3

Както досега: първо ще решаваме всеки поотделно, а след това ще мислим какво сме направили.

Сега второто уравнение:

Сега най-трудното нещо е да разберете дали под аритметичния корен са получени отрицателни стойности, ако заместим корените от първото уравнение там:

Числото трябва да се разбира като радиани. Тъй като един радиан е около градуси, радианите са около градуси. Това е ъгълът на втората четвърт. Какъв е знакът на косинуса на втората четвърт? Минус. Какво ще кажете за синуса? Плюс. И така, какво ще кажете за израза:

По-малко от нула е!

Така че - не е коренът на уравнението.

Сега обърни.

Нека сравним това число с нула.

Котангенсът е функция, намаляваща на 1 четвърт (колкото по-малък е аргументът, толкова по-голям е котангенсът). радианите са около градуси. В същото време

тъй като, тогава и следователно
,

Отговор: .

Може ли да е още по-трудно? Моля те! Ще бъде по-трудно, ако коренът все още е тригонометрична функция, а втората част на уравнението отново е тригонометрична функция.

Колкото повече тригонометрични примери, толкова по-добре, погледнете по-нататък:

Пример 4

Коренът не е подходящ поради ограничения косинус

Сега второто:

В същото време, по дефиниция на корена:

Трябва да запомним единичната окръжност: а именно тези четвъртини, където синусът е по-малък от нула. Какви са тези квартали? Трети и четвърти. Тогава ще се интересуваме от онези решения на първото уравнение, които лежат в третия или четвъртия квадрант.

Първата серия дава корени, разположени на пресечната точка на третата и четвъртата четвърт. Втората серия е диаметрално противоположна на нея и поражда корени, лежащи на границата на първата и втората четвърт. Следователно този сериал не ни подхожда.

Отговор: ,

И отново тригонометрични примери с "трудна ирационалност". Не само, че отново имаме тригонометрична функция под корена, но сега тя е и в знаменателя!

Пример 5

Е, няма какво да се направи - действаме както досега.

Сега работим със знаменателя:

Не искам да решавам тригонометричното неравенство и затова ще го направя сложно: ще взема и ще заменя моята поредица от корени в неравенството:

Ако е четно, тогава имаме:

тъй като тогава всички ъгли на видимост лежат в четвъртата четвърт. И отново свещеният въпрос: какъв е знакът на синуса в четвъртата четвърт? Отрицателна. След това неравенството

Ако е странно, тогава:

В каква четвърт е ъгълът? Това е ъгълът на втората четвърт. Тогава всички ъгли отново са ъглите на втората четвърт. Синусът е положителен. Точно това, от което се нуждаете! Значи серията е:

пасва!

Справяме се с втората серия от корени по същия начин:

Заместете в нашето неравенство:

Ако е четен, тогава

Ъгли на първата четвърт. Синусът там е положителен, така че серията е подходяща. Сега, ако е странно, тогава:

пасва също!

Е, сега записваме отговора!

Отговор:

Е, това беше може би най-трудоемкият случай. Сега ви предлагам задачи за самостоятелно решаване.

Тренировка

1. Решете и намерете всички корени на уравнението, които принадлежат на отсечката.

Решения:

1. 
   Първо уравнение:
   или
   Корен ODZ:

   Второ уравнение:

   Избор на корени, които принадлежат на интервала

   Отговор:

Или
или
Но

Обмисли: . Ако е четен, тогава
- не пасва!
Ако - странно, : - пасва!
Така че нашето уравнение има следната поредица от корени:
или
Избор на корени на интервала:

	- неподходящ	- пасва
	- пасва	- много
	- пасва	много

Отговор: , .

Или
Тъй като, тогава, когато допирателната не е дефинирана. Незабавно изхвърлете тази серия от корени!

Втора част:

В същото време ОДЗ го изисква

Проверяваме корените, намерени в първото уравнение:

Ако знак:

Ъгли на първата четвърт, където тангентата е положителна. Неподходящ!
Ако знак:

Четвърта четвърт ъгъл. Там тангенсът е отрицателен. Пасва. Запишете отговора:

Отговор: , .

Разбихме заедно сложни тригонометрични примери в тази статия, но трябва да можете да решавате уравненията сами.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Тригонометрично уравнение е уравнение, в което неизвестното е строго под знака на тригонометричната функция.

Има два начина за решаване на тригонометрични уравнения:

Първият начин е използването на формули.

Вторият начин е чрез тригонометричен кръг.

Позволява ви да измервате ъгли, да намирате техните синуси, косинуси и др.