У дома

Y sin x увеличава приема най-голямата стойност. Функции y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x. Синусови задачи за самостоятелно решение

В този урок ще разгледаме подробно функцията y \u003d sin x, нейните основни свойства и графика. В началото на урока ще дадем дефиницията на тригонометричната функция y \u003d sin t върху координатната окръжност и ще разгледаме графиката на функцията върху окръжността и правата. Нека да покажем периодичността на тази функция на графиката и да разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим няколко прости задачи, като използваме графиката на функцията и нейните свойства.

Тема: Тригонометрични функции

Урок: Функция y=sinx, нейните основни свойства и графика

Когато разглеждате функция, важно е да свържете една стойност на функцията с всяка стойност на аргумента. Това закон на кореспонденциятаи се нарича функция.

Нека дефинираме закона за съответствие за .

Всяко реално число съответства на една точка от единичната окръжност, която има една ордината, която се нарича синус на числото (фиг. 1).

На всяка стойност на аргумент се присвоява една стойност на функцията.

Очевидни свойства следват от определението на синуса.

Фигурата показва това защото е ординатата на точка от единичната окръжност.

Разгледайте графиката на функцията. Нека си припомним геометричната интерпретация на аргумента. Аргументът е централният ъгъл, измерен в радиани. На оста ще начертаем реални числа или ъгли в радиани, по оста - съответните стойности на функцията.

Например ъгълът върху единичната окръжност съответства на точка от графиката (фиг. 2)

Получихме графиката на функцията на сайта.Но знаейки периода на синуса, можем да изобразим графиката на функцията върху цялата област на дефиниция (фиг.3).

Основният период на функцията е Това означава, че графиката може да бъде получена на сегмент и след това да продължи към цялата област на дефиниция.

Разгледайте свойствата на функцията:

1) Област на дефиниция:

2) Диапазон от стойности:

3) Нечетна функция:

4) Най-малкият положителен период:

5) Координати на точките на пресичане на графиката с оста x:

6) Координати на пресечната точка на графиката с оста y:

7) Интервали, на които функцията приема положителни стойности:

8) Интервали, при които функцията приема отрицателни стойности:

9) Увеличаване на интервалите:

10) Низходящи интервали:

11) Ниски точки:

12) Минимални характеристики:

13) Високи точки:

14) Максимални характеристики:

Разгледахме свойствата на функция и нейната графика. Свойствата ще се използват многократно при решаване на проблеми.

Библиография

1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Урок за образователни институции (ниво на профил) изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Задачна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас ( урокза ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика).-М .: Образование, 1996.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.

5. Колекция от задачи по математика за кандидати за технически университети (под редакцията на M.I.Skanavi).-M .: Висше училище, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Учебник по алгебра.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебра и началото на анализа (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции).-М .: Образование, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и началото на анализа: учебник. надбавка за 10-11 клетки. с дълбока проучване математика.-М .: Образование, 2006.

Домашна работа

Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Задачна книга за образователни институции (ниво на профил), изд.

А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Допълнителни уеб ресурси

3. Образователен порталза подготовка за изпити ().

Открихме, че поведението на тригонометричните функции и функциите y = sin x по-специално, на цялата числова линия (или за всички стойности на аргумента х) се определя изцяло от поведението му в интервала 0 < х < π / 2 .

Следователно, първо ще начертаем функцията y = sin x точно в този интервал.

Нека направим следната таблица със стойности на нашата функция;

Като маркираме съответните точки на координатната равнина и ги съединим с гладка линия, получаваме кривата, показана на фигурата

Получената крива може също да бъде конструирана геометрично, без да се съставя таблица със стойности на функцията y = sin x .

1. Първата четвърт на окръжност с радиус 1 е разделена на 8 равни части.Ординатите на точките на деление на окръжността са синусите на съответните ъгли.

2. Първата четвърт на кръга съответства на ъгли от 0 до π / 2 . Следователно, на ос хВземете сегмент и го разделете на 8 равни части.

3.Нека начертаем прави линии, успоредни на оста х, а от точките на разделяне възстановяваме перпендикулярите до пресечната точка с хоризонталните линии.

4. Свържете пресечните точки с гладка линия.

Сега нека да разгледаме интервала π / 2 < х < π .
Стойност на всеки аргумент хот този интервал може да се представи като

х = π / 2 + φ

където 0 < φ < π / 2 . Според формулите за намаляване

грях( π / 2 + φ ) = cos φ = грях ( π / 2 - φ ).

Точки на осите хс абсцисата π / 2 + φ и π / 2 - φ симетрични една спрямо друга спрямо точката на оста хс абсцисата π / 2 , а синусите в тези точки са еднакви. Това ви позволява да получите графика на функцията y = sin x в интервала [ π / 2 , π ] чрез просто симетрично показване на графиката на тази функция в интервала спрямо правата линия х = π / 2 .

Сега използва имота странна функция y \u003d sin x,

грях (- х) = -грех х,

лесно е да начертаете тази функция в интервала [- π , 0].

Функцията y \u003d sin x е периодична с период 2π ;. Следователно, за да се изгради цялата графика на тази функция, е достатъчно да продължите кривата, показана на фигурата, наляво и надясно периодично с период 2π .

Получената крива се нарича синусоида . Това е графиката на функцията y = sin x.

Фигурата добре илюстрира всички тези свойства на функцията y = sin x , които преди това бяха доказани от нас. Припомнете си тези свойства.

1) Функция y = sin x определени за всички стойности х , така че неговата област е множеството от всички реални числа.

2) Функция y = sin x ограничено. Всички стойности, които приема, са между -1 и 1, включително тези две числа. Следователно диапазонът на тази функция се определя от неравенството -1 < при < 1. Кога х = π / 2 + 2k π функцията приема най-големите стойности, равни на 1, а за x = - π / 2 + 2k π - най-малките стойности, равни на - 1.

3) Функция y = sin x е нечетен (синусоидата е симетрична спрямо началото).

4) Функция y = sin x периодичен с период 2 π .

5) В интервали 2n π < х < π + 2n π (n е всяко цяло число) то е положително и в интервали π + 2k π < х < 2π + 2k π (k е всяко цяло число) то е отрицателно. За x = k π функцията отива на нула. Следователно тези стойности на аргумента x (0; ± π ; ±2 π ; ...) се наричат нули на функцията y = sin x

6) На интервали - π / 2 + 2n π < х < π / 2 + 2n π функция y = грях х нараства монотонно и на интервали π / 2 + 2k π < х < 3π / 2 + 2k π тя монотонно намалява.

Обърнете специално внимание на поведението на функцията y = sin x близо до точката х = 0 .

Например, sin 0,012 ≈ 0,012; грях (-0,05) ≈ -0,05;

sin2° = sin π 2 / 180=грях π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Трябва обаче да се отбележи, че за всякакви стойности на x

| грях х| < | x | . (1)

Наистина, нека радиусът на кръга, показан на фигурата, е равен на 1,
а / AOB = х.

Тогава грях х= AC. Но AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Дължината на тази дъга очевидно е равна на х, тъй като радиусът на окръжността е равен на 1. И така, за 0< х < π / 2

грях х< х.

Следователно, поради странността на функцията y = sin x лесно е да се покаже, че когато - π / 2 < х < 0

| грях х| < | x | .

Накрая при х = 0

| грях x | = | x |.

По този начин за | х | < π / 2 неравенство (1) е доказано. Всъщност това неравенство е вярно и за | х | > π / 2 поради факта, че | | грях х | < 1, а π / 2 > 1

Упражнения

1.Според функционалния график y = sin x определете: а) грях 2; б) грях 4; в) грях (-3).

2. Функция за график y = sin x определете кое число от интервала
[ - π / 2 , π / 2 ] има синус, равен на: а) 0,6; б) -0,8.

3. Функция по график y = sin x определи кои числа имат синус,
равно на 1/2.

4. Намерете приблизително (без да използвате таблици): а) sin 1°; б) грях 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2°30").

Как да начертая функцията y=sin x? Първо, разгледайте графиката на синуса върху интервала.

Взимаме един сегмент с дължина 2 клетки от тетрадка. Маркираме единицата на оста Oy.

За удобство закръгляме числото π/2 до 1,5 (а не до 1,6, както се изисква от правилата за закръгляване). В този случай сегмент с дължина π/2 съответства на 3 клетки.

На оста Ox маркираме не единични сегменти, а сегменти с дължина π / 2 (на всеки 3 клетки). Съответно сегмент с дължина π съответства на 6 клетки, сегмент с дължина π/6 съответства на 1 клетка.

При този избор на един сегмент графиката, изобразена на лист от тетрадка в кутия, съответства максимално на графиката на функцията y=sin x.

Нека направим таблица със синусови стойности на интервала:

Получените точки се отбелязват на координатната равнина:

Тъй като y=sin x е нечетна функция, синусовата графика е симетрична по отношение на началото - точка O(0;0). Като вземем предвид този факт, продължаваме да начертаваме графиката вляво, след това точките -π:

Функцията y=sin x е периодична с период T=2π. Следователно графиката на функцията, взета на интервала [-π; π], се повтаря безкраен бройпъти надясно и наляво.

Видео урокът „Функция y = sinx, нейните свойства и графика“ представя визуален материал по тази тема, както и коментари по нея. По време на демонстрацията се разглеждат вида на функцията, нейните свойства, поведението на различни сегменти от координатната равнина, подробно се описват характеристиките на графиката, описва се пример за графично решение тригонометрични уравнениясъдържаща синуса. С помощта на видео урок е по-лесно за учителя да формира концепцията на ученика за тази функция, да научи как да решава проблеми графично.

Видео урокът използва инструменти, които улесняват запаметяването и разбирането образователна информация. При представянето на графики и при описанието на решението на проблемите се използват анимационни ефекти, които помагат да се разбере поведението на функцията, да се представи последователно напредъкът на решението. Също така, озвучаването на материала го допълва с важни коментари, които заместват обяснението на учителя. По този начин този материал може да се използва и като визуална помощ. И като самостоятелна част от урока вместо обяснението на учителя по нова тема.

Демонстрацията започва с представяне на темата на урока. Представена е функцията синус, чието описание е маркирано в поле за памет - s=sint, в което аргументът t може да бъде всяко реално число. Описанието на свойствата на тази функция започва с обхвата. Отбелязва се, че областта на дефиниране на функцията е цялата числена ос на реални числа, тоест D(f)=(- ∞;+∞). Второто свойство е нечетността на функцията синус. Напомняме на учениците, че това свойство е изучавано в 9 клас, когато е отбелязано, че за нечетна функция е валидно равенството f(-x)=-f(x). За синуса потвърждението на нечетността на функцията се демонстрира върху единична окръжност, разделена на четвъртинки. Знаейки какъв знак приема функцията в различни четвърти на координатната равнина, се отбелязва, че за аргументи с противоположни знаци, използвайки примера на точките L(t) и N(-t) за синус, нечетното условие е изпълнено. Следователно s=sint е странна функция. Това означава, че графиката на функцията е симетрична спрямо началото.

Третото свойство на синуса показва интервалите на нарастване и намаляване на функцията. Той отбелязва, че тази функция нараства на интервала и намалява на интервала [π/2;π]. Свойството е показано на фигурата, която показва единична окръжност и при движение от точка А обратно на часовниковата стрелка ординатата се увеличава, тоест стойността на функцията нараства до π/2. При преминаване от точка B към C, т.е. когато ъгълът се промени от π / 2 до π, стойността на ординатата намалява. В третата четвърт на окръжността, когато се движите от точка C до точка D, ординатата намалява от 0 до -1, тоест стойността на синуса намалява. В последната четвърт, когато се движите от точка D до точка A, стойността на ординатата се увеличава от -1 до 0. По този начин можете да направите общо заключениеза поведението на функцията. Екранът показва изхода, който sint се увеличава на сегмента [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], намаляваща на интервала [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] за всяко цяло число k.

Четвъртото свойство на синуса разглежда ограничеността на функцията. Отбелязва се, че функцията sint е ограничена както отгоре, така и отдолу. На учениците се припомня информацията от 9 клас по алгебра, когато са се запознали с понятието ограниченост на функция. Екранът показва условието на функция, ограничена отгоре, за която има някакво число, за което неравенството f(x)>=M е изпълнено във всяка точка на функцията. Припомняме си и условието на функция, ограничена отдолу, за която съществува число m, по-малко от всяка точка на функцията. За sint условието е -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Петото свойство разглежда най-малките и най-големите стойности на функцията. Отбелязано е постигането на най-малка стойност -1 във всяка точка t=-(π/2)+2πk, а най-голяма - в точките t=(π/2)+2πk.

Въз основа на разгледаните свойства се изгражда графиката на функцията sint върху интервала . За да се конструира функцията, се използват табличните стойности на синуса на съответните точки. Върху координатната равнина са отбелязани координатите на точките π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. След като маркираме табличните стойности на функцията в тези точки и ги свързваме с гладка линия, изграждаме графика.

За да се начертае функцията sint върху сегмента [-π; π], се използва свойството за симетрия на функцията по отношение на началото. Фигурата показва как линията, получена в резултат на конструкцията, се прехвърля плавно симетрично спрямо началото на сегмента [-π; 0].

Използвайки свойството на функцията sint, изразено във формулата за редукция sin (x + 2π) \u003d sin x, се отбелязва, че на всеки 2π синусовата графика се повтаря. Така на сегмента [π; 3π] графиката ще бъде същата като на [-π;π]. По този начин графиката на тази функция е повтарящи се фрагменти [-π; π] в цялата област на дефиниция. Отделно се отбелязва, че такава функционална графика се нарича синусоида. Въвежда се и понятието синусоидна вълна - фрагмент от графика, изградена върху сегмента [-π; π], и синусоидална дъга, построена върху сегмента . Тези фрагменти се показват отново за запаметяване.

Отбелязва се, че функцията sint е непрекъсната функция в цялата област на дефиниция и също така, че диапазонът на функцията е в набора от стойности на интервала [-1;1].

В края на видео урока се разглежда графично решение на уравнението sin x \u003d x + π. Очевидно графичното решение на уравнението ще бъде пресечната точка на графиката на функцията, дадена от израза от лявата страна, и функцията, дадена от израза от дясната страна. За да се реши задачата, се конструира координатна равнина, върху която се очертава съответната синусоида y \u003d sin x и се конструира права линия, съответстваща на графиката на функцията y \u003d x + π. Построените графики се пресичат в една точка В(-π;0). Следователно x \u003d - π ще бъде решението на уравнението.

Видео урокът "Функция y = sinx, нейните свойства и графика" ще помогне за повишаване на ефективността на урока на традиционния урок по математика в училище. Можете да използвате и нагледен материал при дистанционно обучение. Ръководството може да помогне за усвояване на темата за ученици, които се нуждаят от допълнителни часове за по-задълбочено разбиране на материала.

ПОЯСНЕНИЕ НА ТЕКСТА:

Темата на нашия урок е "Функция y \u003d sin x, нейните свойства и графика."

По-рано вече се запознахме с функцията s = sin t, където tϵR (es е равно на синуса от te, където te принадлежи към множеството от реални числа). Нека разгледаме свойствата на тази функция:

ИНДИВИДУАЛЕН 1. Областта на дефиниране е множеството от реални числа R (er), тоест D (f) = (-; +) (de от ef представлява интервала от минус безкрайност до плюс безкрайност).

СВОЙСТВО 2. Функцията s = sin t е нечетна.

В уроците в 9 клас научихме, че функцията y \u003d f (x), x ϵX (y е равно на eff от x, където x принадлежи на множеството x е голямо) се нарича странно, ако за всяка стойност x от множеството X равенството

f (- x) \u003d - f (x) (ef от минус x е равно на минус ef от x).

И тъй като ординатите на точките L и N, които са симетрични спрямо абсцисната ос, са противоположни, тогава sin (- t) = -sint.

Тоест s \u003d sin t е нечетна функция и графиката на функцията s \u003d sin t е симетрична спрямо началото в правоъгълна координатна система tos(те о ес).

Разгледайте СВОЙСТВО 3. На сегмента [ 0; ] (от нула до pi с две) функцията s = sin t нараства и намалява на сегмента [; ] (от пи с две до пи).

Това ясно се вижда на фигурите: когато точка се движи по числовата окръжност от нула до pi с две (от точка A до B), ординатата постепенно се увеличава от 0 до 1, а когато се движи от pi с две до pi (от точка B до C), ординатата постепенно намалява от 1 до 0.

Когато точката се движи по третата четвърт (от точка C към точка D), ординатата на движещата се точка намалява от нула до минус едно, а при движение по четвъртата четвърт ординатата се увеличава от минус едно до нула. Следователно можем да направим общо заключение: функцията s = sin t нараства на сегмента

(от минус pi с две плюс два пика до pi с две плюс два пика) и намалява на сегмента [; (от pi по две плюс две pi ka до три pi по две плюс две pi ka), където

(ka принадлежи на множеството от цели числа).

СВОЙСТВО 4. Функцията s = sin t е ограничена отгоре и отдолу.

От курса за 9-ти клас, нека си припомним определението за ограниченост: функция y \u003d f (x) се нарича ограничена отдолу, ако всички стойности на функцията не са по-малки от някакво число м мтака че за всяка стойност x от областта на функцията неравенството f (x) ≥ м(ef от x е по-голямо или равно на em). Функцията y \u003d f (x) се нарича ограничена отгоре, ако всички стойности на функцията не са по-големи от някакво число М, което означава, че има число Мтака че за всяка стойност x от областта на функцията неравенството f (x) ≤ М(ef от x е по-малко или равно на em) Една функция се нарича ограничена, ако е ограничена както отдолу, така и отгоре.

Да се върнем към нашата функция: ограничеността следва от факта, че за всяко te неравенството е вярно - 1 ≤ sint ≤ 1. (синус от te е по-голям или равен на минус едно, но по-малък или равен на едно).

СВОЙСТВО 5. Най-малката стойност на функцията е равна на минус едно и функцията достига тази стойност във всяка точка от формата t = (te е равно на минус pi с два плюс два пика, а най-голямата стойност на функцията е равна до едно и се достига от функцията във всяка точка от формата t = (te е равно на pi по две плюс две pi ka).

Най-голямата и най-малката стойност на функцията s = sin t означават s min. и s макс. .

Използвайки получените свойства, ще начертаем функцията y \u003d sin x (y е равно на синус x), тъй като сме по-запознати с нотацията y \u003d f (x), а не s \u003d f (t).

Като начало, нека изберем мащаб: по ординатната ос вземаме един сегмент, две клетки, а по абсцисната ос, две клетки - това е пи по три (защото ≈ 1). Първо, нека изградим графика на функцията y \u003d sin x върху сегмента. Нуждаем се от таблица с функционални стойности на този сегмент, за да я изградим, ще използваме таблицата със стойности за съответните косинусови и синусови ъгли:

По този начин, за да се изгради таблица със стойности на аргументи и функции, е необходимо да запомните това х(x) е числото, съответно равно на ъгъла върху интервала от нула до pi, и при(Гръцки) Стойността на синуса на този ъгъл.

Нека отбележим тези точки на координатната равнина. По ИМОТ 3 на сегмента

[0; ] (от нула до pi с две) функцията y \u003d sin x нараства, но намалява на сегмента [; ] (от pi с две до pi) и свързвайки получените точки с гладка линия, получаваме част от графиката (фиг. 1)

Използвайки симетрията на графиката на нечетна функция по отношение на произхода, получаваме графиката на функцията y \u003d sin x вече на сегмента

[-π; π ] (от минус пи до пи). (Фиг. 2)

Припомнете си, че sin(x + 2π)= sinx

(синус от х плюс две пи е равно на синус от х). Това означава, че в точката x + 2π функцията y = sin x приема същата стойност като в точката x. И тъй като (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x плюс две pi принадлежи на сегмента от pi до три pi), ако xϵ[-π; π ], след това на интервала [π; 3π ] графиката на функцията изглежда точно както на интервала [-π; π]. По същия начин върху отсечките , , [-3π; -π] и така нататък, графиката на функцията y \u003d sin x изглежда същата като на сегмента

[-π; π] (фиг. 3)

Линията, която е графиката на функцията y \u003d sin x, се нарича синусоида. Частта от синусоидата, показана на фигура 2, се нарича синусоида, а на фигура 1 се нарича дъга на синусоида или полувълна.

Използвайки построената графика, ще запишем още няколко свойства на тази функция.

СВОЙСТВО 6. Функцията y \u003d sin x е непрекъсната функция. Това означава, че графиката на функцията е непрекъсната, тоест няма скокове и пробиви.

СВОЙСТВО 7. Диапазонът на функцията y \u003d sin x е сегментът [-1; 1] (от минус едно към едно) или може да се запише по следния начин: (e от eff е равно на сегмента от минус едно към едно).

Помислете за ПРИМЕР. Решете графично уравнението sin x \u003d x + π (синус x е равен на x плюс pi).

Решение. Нека изградим графики на функции y=грях хи y = x + π.

Графиката на функцията y \u003d sin x е синусоида.

y \u003d x + π е линейна функция, чиято графика е права линия, минаваща през точки с координати (0; π) и (- π; 0).

Построените графики имат една пресечна точка - точка B (- π; 0) (да бъде с координати минус pi, нула). Това означава, че това уравнение има само един корен - абсцисата на точка B - -π. Отговор: х = - π.