Wyprowadzenie ogólnego wzoru na pierwiastki równania tgx a. Lekcja „Arc tangens i arc tangens. Rozwiązanie równań tgx = a, ctgx = a”. Rozwiązanie równania tgx=a w postaci ogólnej

Wcześniej w programie studenci wpadli na pomysł rozwiązania równania trygonometryczne zapoznał się z pojęciami arcus cosinus i arcsinus, przykładami rozwiązań równań cos t = a oraz sin t = a. W tym samouczku wideo rozważymy rozwiązanie równań tg x = a i ctg x = a.

Na początku opracowania tego tematu rozważmy równania tg x = 3 i tg x = - 3. Jeśli rozwiążemy równanie tg x = 3 za pomocą wykresu, zobaczymy, że przecięcie wykresów funkcji y = tg x i y = 3 ma nieskończoną liczbę rozwiązań, gdzie x = x 1 + πk. Wartość x 1 jest współrzędną x punktu przecięcia wykresów funkcji y = tg x i y = 3. Autor wprowadza pojęcie arcus tangens: arctg 3 to liczba, której tg wynosi 3, a liczba ta należy do przedział od -π/2 do π/2. Korzystając z pojęcia arcus tangens, rozwiązanie równania tan x = 3 można zapisać jako x = arctan 3 + πk.

Analogicznie rozwiązano równanie tg x \u003d - 3. Zgodnie ze skonstruowanymi wykresami funkcji y \u003d tg x i y \u003d - 3 można zauważyć, że punkty przecięcia wykresów, a zatem rozwiązania równań wyniesie x \u003d x 2 + πk. Używając arc tangens, rozwiązanie można zapisać jako x = arctan (- 3) + πk. Na poniższym rysunku zobaczymy, że arctg (- 3) = - arctg 3.

Ogólna definicja arc tangensa jest następująca: arcus tangens a jest liczbą z przedziału od -π / 2 do π / 2, której tangens jest a. Wtedy rozwiązaniem równania tg x = a jest x = arctg a + πk.

Autor podaje przykład 1. Znajdź rozwiązanie wyrażenia arctg Wprowadźmy zapis: arcus tangens liczby jest równy x, wtedy tg x będzie równe danej liczbie, gdzie x należy do odcinka od -π /2 do π/2. Podobnie jak w przykładach w poprzednich tematach, posłużymy się tabelą wartości. Zgodnie z tą tabelą tangens tej liczby odpowiada wartości x = π/3. Piszemy rozwiązanie równania arcus tangens danej liczby równej π / 3, π / 3 również należy do przedziału od -π / 2 do π / 2.

Przykład 2 - Oblicz arcus tangens liczby ujemnej. Używając równości arctg (- a) = - arctg a, wprowadź wartość x. Podobnie jak w przykładzie 2 zapisujemy wartość x, która należy do przedziału od -π/2 do π/2. Zgodnie z tabelą wartości stwierdzamy, że x = π/3, a więc -- tg x = - π/3. Odpowiedź na równanie to - π/3.

Rozważmy przykład 3. Rozwiążmy równanie tan x = 1. Napiszmy, że x = arctan 1 + πk. W tabeli wartość tg 1 odpowiada wartości x \u003d π / 4, a zatem arctg 1 \u003d π / 4. Podstaw tę wartość do oryginalnego wzoru x i zapisz odpowiedź x = π/4 + πk.

Przykład 4: oblicz tg x = - 4.1. W tym przypadku x = arctg (- 4,1) + πk. Dlatego w tym przypadku nie można znaleźć wartości arctg, odpowiedź będzie wyglądać tak: x = arctg (-4,1) + πk.

Przykład 5 rozważa rozwiązanie nierówności tg x > 1. Aby ją rozwiązać, wykreślamy wykresy funkcji y = tg x i y = 1. Jak widać na rysunku, te wykresy przecinają się w punktach x = π /4 + πk. Dlatego w tym przypadku tg x > 1, na wykresie wybieramy obszar stycznej, który znajduje się nad wykresem y = 1, gdzie x należy do przedziału od π/4 do π/2. Piszemy odpowiedź jako π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Następnie rozważmy równanie ctg x = a. Rysunek przedstawia wykresy funkcji y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, które mają wiele punktów przecięcia. Rozwiązania można zapisać jako x = x 1 + πk, gdzie x 1 = arcctg a i x = x 2 + πk, gdzie x 2 = arcctg (- a). Należy zauważyć, że x 2 \u003d π - x 1. Oznacza to równość arcctg (- a) = π - arcctg a. Dalej podana jest definicja arcus cotangens: arcus cotangens a jest taką liczbą z przedziału od 0 do π, której cotangens jest równy a. Rozwiązanie równania сtg x = a jest zapisane jako: x = arcctg a + πk.

Pod koniec lekcji wideo dochodzimy do kolejnego ważnego wniosku – wyrażenie ctg x = a można zapisać jako tg x = 1/a pod warunkiem, że a nie jest równe zeru.

INTERPRETACJA TEKSTU:

Rozważ rozwiązanie równań tg x \u003d 3 i tg x \u003d - 3. Rozwiązując pierwsze równanie graficznie, widzimy, że wykresy funkcji y \u003d tg x i y \u003d 3 mają nieskończenie wiele punktów przecięcia, odcięte o których piszemy w formie

x \u003d x 1 + πk, gdzie x 1 jest odciętą punktu przecięcia linii y \u003d 3 z główną gałęzią stycznej (ryc. 1), dla której wymyślono oznaczenie

arctan 3 (arc tangens z trzech).

Jak rozumieć arctg 3?

Jest to liczba, której tangens wynosi 3 i ta liczba należy do przedziału (-;). Następnie wszystkie pierwiastki równania tg x \u003d 3 można zapisać wzorem x \u003d arctan 3 + πk.

Podobnie rozwiązanie równania tg x \u003d - 3 można zapisać jako x \u003d x 2 + πk, gdzie x 2 jest odciętą punktu przecięcia linii y \u003d - 3 z główną gałęzią styczna (ryc. 1), dla której oznaczenie arctg (- 3) (arct tangens minus trzy). Następnie wszystkie pierwiastki równania można zapisać wzorem: x \u003d arctg (-3) + πk. Rysunek pokazuje, że arctg(- 3)= - arctg 3.

Sformułujmy definicję arcus tangens. Arc tangens a to taka liczba z przedziału (-;), której tangens jest równy a.

Często używa się równości: arctg(-a) = -arctg a, która obowiązuje dla dowolnego a.

Znając definicję arcus tangens, wyciągamy ogólny wniosek dotyczący rozwiązania równania

tg x \u003d a: równanie tg x \u003d a ma rozwiązanie x \u003d arctg a + πk.

Rozważ przykłady.

PRZYKŁAD 1. Oblicz arctg.

Rozwiązanie. Niech arctg = x, potem tgx = i xϵ (-;). Pokaż tabelę wartości Dlatego x =, ponieważ tg = i ϵ (- ;).

Więc arctg =.

PRZYKŁAD 2 Oblicz arctan (-).

Rozwiązanie. Używając równości arctg (- a) \u003d - arctg a, piszemy:

arctg(-) = - arctg . Niech - arctg = x, potem - tgx = i xϵ (-;). Dlatego x =, ponieważ tg = i ϵ (- ;). Pokaż tabelę wartości

A więc - arctg=- tgх= - .

PRZYKŁAD 3. Rozwiąż równanie tgх = 1.

1. Zapiszmy wzór na rozwiązanie: x = arctg 1 + πk.

2. Znajdźmy wartośćłuk styczny

ponieważ tg = . Pokaż tabelę wartości

Więc arctg1= .

3. Umieść znalezioną wartość we wzorze rozwiązania:

PRZYKŁAD 4. Rozwiąż równanie tgx \u003d - 4,1 (styczna x jest równa minus cztery przecinek jedna dziesiąta).

Rozwiązanie. Zapiszmy wzór rozwiązania: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Nie możemy obliczyć wartości arcus tangens, więc pozostawimy rozwiązanie równania bez zmian.

PRZYKŁAD 5. Rozwiąż nierówność tgх 1.

Rozwiązanie. Zróbmy to graficznie.

1. Zbudujmy tangentoidę

y \u003d tgx i linia prosta y \u003d 1 (ryc. 2). Przecinają się w punktach postaci x = + πk.

2. Wybierz przedział osi x, na którym główna gałąź stycznej znajduje się powyżej linii prostej y \u003d 1, ponieważ zgodnie z warunkiem tgх 1. Jest to przedział (;).

3. Korzystamy z okresowości funkcji.

Właściwość 2. y \u003d tg x - funkcja okresowa z okresem podstawowym π.

Biorąc pod uwagę okresowość funkcji y \u003d tgx, piszemy odpowiedź:

(;). Odpowiedź można zapisać jako podwójna nierówność:

Przejdźmy do równania ctg x \u003d a. Przedstawmy graficzną ilustrację rozwiązania równania dla dodatniego i ujemnego a (rys. 3).

Wykresy funkcji y \u003d ctg x i y \u003d a and

y=ctg x i y=-a

mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, których odcięte mają postać:

x \u003d x 1 +, gdzie x 1 jest odciętą punktu przecięcia linii y \u003d a z główną gałęzią stycznej i

x 1 = arcctg;

x \u003d x 2 +, gdzie x 2 jest odciętą punktu przecięcia linii

y \u003d - ale z główną gałęzią stycznej i x 2 \u003d arcсtg (- a).

Zauważ, że x 2 \u003d π - x 1. Zapisujemy więc ważne równanie:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Sformułujmy definicję: arcus cotangens a to taka liczba z przedziału (0; π), której cotangens jest równy a.

Rozwiązanie równania ctg x \u003d a jest zapisane jako: x \u003d arcсtg a +.

Zauważ, że równanie ctg x = a można przekształcić w postać

tg x = , z wyjątkiem sytuacji, gdy a = 0.

Możesz zamówić szczegółowe rozwiązanie swojego problemu !!!

Równość zawierająca niewiadomą pod znakiem funkcji trygonometrycznej (`sin x, cos x, tg x` lub `ctg x`) nazywa się równaniem trygonometrycznym, a ich wzory rozważymy dalej.

Najprostsze równania to `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdzie `x` jest kątem do znalezienia, `a` jest dowolną liczbą. Napiszmy dla każdego z nich formuły pierwiastkowe.

1. Równanie „sin x=a”.

Dla `|a|>1` nie ma rozwiązań.

Z `|a| \leq 1` ma nieskończona liczba rozwiązania.

Wzór na pierwiastek: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Równanie `cos x=a`

Dla `|a|>1` - jak w przypadku sinusa, nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych.

Z `|a| \leq 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Wzór pierwiastka: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Szczególne przypadki dla sinusa i cosinusa w wykresach.

3. Równanie `tg x=a`

Ma nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości „a”.

Wzór na pierwiastek: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Równanie `ctg x=a`

Posiada również nieskończoną ilość rozwiązań dla dowolnych wartości „a”.

Wzór na pierwiastek: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Wzory na pierwiastki równań trygonometrycznych w tabeli

Zatok:
Dla cosinusa:
Dla stycznej i cotangensa:
Wzory do rozwiązywania równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych

Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów:

• za pomocą przekonwertować go na najprostszy;
• rozwiąż powstałe proste równanie, korzystając z powyższych wzorów dla pierwiastków i tabel.

Rozważmy główne metody rozwiązania na przykładach.

metoda algebraiczna.

W tej metodzie dokonuje się zamiany zmiennej i jej podstawienia na równość.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

dokonaj zamiany: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, następnie `2y^2-3y+1=0`,

znajdujemy pierwiastki: `y_1=1, y_2=1/2`, z których wynikają dwa przypadki:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpowiedź: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoryzacja.

Przykład. Rozwiąż równanie: `sin x+cos x=1`.

Rozwiązanie. Przesuń w lewo wszystkie warunki równości: `sin x+cos x-1=0`. Używając , przekształcamy i rozkładamy na czynniki lewą stronę:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2=\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpowiedź: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcja do równania jednorodnego

Najpierw musisz sprowadzić to równanie trygonometryczne do jednej z dwóch postaci:

`a sin x+b cos x=0` (jednorodne równanie pierwszego stopnia) lub `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (jednorodne równanie drugiego stopnia).

Następnie podziel obie części przez `cos x \ne 0` dla pierwszego przypadku i przez `cos^2 x \ne 0` dla drugiego. Otrzymujemy równania dla `tg x`: `a tg x+b=0` oraz `a tg^2 x + b tg x +c =0`, które należy rozwiązać znanymi metodami.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rozwiązanie. Zapiszmy prawą stronę jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Jest to jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia, dzieląc jego lewą i prawą stronę przez `cos^2 x \ne 0`, otrzymujemy:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Wprowadźmy zamiennik `tg x=t`, w wyniku czego `t^2 + t - 2=0`. Pierwiastki tego równania to „t_1=-2” i „t_2=1”. Następnie:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \w Z`.

Odpowiadać. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \w Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \w Z`.

Idź do połowy rogu

Przykład. Rozwiąż równanie: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rozwiązanie. Stosując formuły podwójnego kąta, wynik jest następujący: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Stosując opisaną powyżej metodę algebraiczną otrzymujemy:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpowiadać. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Wprowadzenie kąta pomocniczego

W równaniu trygonometrycznym `a sin x + b cos x =c`, gdzie a,b,c są współczynnikami, a x jest zmienną, dzielimy obie części przez `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))".

Współczynniki po lewej stronie mają właściwości sinusa i cosinusa, a mianowicie suma ich kwadratów wynosi 1, a ich moduł wynosi co najwyżej 1. Oznaczmy je następująco: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , następnie:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Przyjrzyjmy się bliżej następującemu przykładowi:

Przykład. Rozwiąż równanie: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rozwiązanie. Dzieląc obie strony równania przez `sqrt (3^2+4^2)` ​​otrzymujemy:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Oznaczmy `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Ponieważ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` przyjmujemy `\varphi=arcsin 4/5` jako kąt pomocniczy. Następnie zapisujemy naszą równość w postaci:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Stosując wzór na sumę kątów dla sinusa, zapisujemy naszą równość w postaci:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsw 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \w Z`.

Odpowiadać. `x=(-1)^n arcsw 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \w Z`.

Ułamkowo-racjonalne równania trygonometryczne

Są to równości z ułamkami, w których licznikach i mianownikach znajdują się funkcje trygonometryczne.

Przykład. Rozwiązać równanie. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rozwiązanie. Pomnóż i podziel prawą stronę równania przez `(1+cos x)`. W rezultacie otrzymujemy:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Biorąc pod uwagę, że mianownik nie może wynosić zero, otrzymujemy `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Przyrównaj licznik ułamka do zera: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Następnie „sin x=0” lub „1-sin x=0”.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Biorąc pod uwagę, że ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rozwiązaniami są `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \w Z`.

Odpowiadać. `x=2\pi n`, `n \w Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \w Z`.

Trygonometria, aw szczególności równania trygonometryczne, są używane w prawie wszystkich dziedzinach geometrii, fizyki i inżynierii. Nauka zaczyna się w 10 klasie, zawsze są zadania do egzaminu, więc postaraj się zapamiętać wszystkie wzory równań trygonometrycznych - na pewno Ci się przydadzą!

Jednak nie musisz ich nawet zapamiętywać, najważniejsze jest zrozumienie istoty i umiejętność wywnioskowania. Nie jest to takie trudne, jak się wydaje. Przekonaj się sam, oglądając wideo.

Aby pomyślnie rozwiązać równania trygonometryczne wygodny w użyciu metoda redukcji do wcześniej rozwiązanych problemów. Zobaczmy, jaka jest istota tej metody?

W każdym zaproponowanym problemie trzeba zobaczyć poprzednio rozwiązany problem, a następnie, używając kolejnych przekształceń równoważnych, spróbować zredukować zadany problem do prostszego.

Tak więc przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych zwykle tworzą pewną skończoną sekwencję równań równoważnych, których ostatnim ogniwem jest równanie z oczywistym rozwiązaniem. Ważne jest tylko, aby pamiętać, że jeśli nie zostaną utworzone umiejętności rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych, rozwiązywanie bardziej złożonych równań będzie trudne i nieefektywne.

Ponadto przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych nigdy nie należy zapominać o możliwości istnienia kilku rozwiązań.

Przykład 1. Znajdź liczbę pierwiastków równania cos x = -1/2 na przedziale.

Rozwiązanie:

Ja tak. Narysujmy wykresy funkcji y = cos x i y = -1/2 i znajdźmy liczbę ich wspólnych punktów na przedziale (rys. 1).

Ponieważ wykresy funkcji mają dwa wspólne punkty na przedziale, równanie zawiera dwa pierwiastki na tym przedziale.

II sposób. Korzystając z okręgu trygonometrycznego (rys. 2), znajdujemy liczbę punktów należących do przedziału, w którym cos x = -1/2. Rysunek pokazuje, że równanie ma dwa pierwiastki.

III sposób. Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania trygonometrycznego, rozwiązujemy równanie cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k ∈ Z).

Pierwiastki 2π/3 i -2π/3 + 2π należą do przedziału, k jest liczbą całkowitą. Zatem równanie ma dwa pierwiastki na danym przedziale.

Odpowiedź: 2.

W przyszłości równania trygonometryczne będą rozwiązywane jedną z proponowanych metod, co w wielu przypadkach nie wyklucza zastosowania innych metod.

Przykład 2. Znajdź liczbę rozwiązań równania tg (x + π/4) = 1 na przedziale [-2π; 2π].

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania trygonometrycznego, otrzymujemy:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z);

x = πk, k jest liczbą całkowitą (k ∈ Z);

Przedział [-2π; 2π] należą do liczb -2π; -π; 0; π; 2π. Zatem równanie ma pięć pierwiastków na danym przedziale.

Odpowiedź: 5.

Przykład 3. Znajdź liczbę pierwiastków równania cos 2 x + sin x cos x = 1 na przedziale [-π; π].

Rozwiązanie:

Ponieważ 1 = sin 2 x + cos 2 x (podstawowa identyczność trygonometryczna), pierwotne równanie staje się:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

grzech 2 x - grzech x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Iloczyn jest równy zero, co oznacza, że ​​przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero, a zatem:

sin x \u003d 0 lub sin x - cos x \u003d 0.

Ponieważ wartość zmiennej, przy której cos x = 0 nie są pierwiastkami drugiego równania (sinus i cosinus tej samej liczby nie mogą być jednocześnie równe zero), to dzielimy obie części drugiego równanie przez cos x:

sin x = 0 lub sin x / cos x - 1 = 0.

W drugim równaniu korzystamy z faktu, że tg x = sin x / cos x, wtedy:

sin x = 0 lub tg x = 1. Używając wzorów mamy:

x = πk lub x = π/4 + πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z).

Od pierwszego szeregu pierwiastków do przedziału [-π; π] należą do liczb -π; 0; π. Z drugiej serii: (π/4 – π) i π/4.

Zatem pięć pierwiastków pierwotnego równania należy do przedziału [-π; π].

Odpowiedź: 5.

Przykład 4. Znajdź sumę pierwiastków równania tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 na przedziale [-π; 1,1π].

Rozwiązanie:

Zapiszmy równanie w następującej postaci:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 i dokonaj zmiany.

Niech tg x + сtgx = a. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Rozwińmy nawiasy:

tg 2 x + 2 tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Ponieważ tg x сtgx \u003d 1, to tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, co oznacza

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Teraz oryginalne równanie wygląda tak:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Używając twierdzenia Viety, otrzymujemy, że a = -1 lub a = -2.

Dokonując odwrotnego podstawienia mamy:

tg x + сtgx = -1 lub tg x + сtgx = -2. Rozwiążmy otrzymane równania.

tgx + 1/tgx = -1 lub tgx + 1/tgx = -2.

Na podstawie własności dwóch wzajemnie odwrotnych liczb określamy, że pierwsze równanie nie ma pierwiastków, a z drugiego równania mamy:

tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z).

Przedział [-π; 1,1π] pierwiastki należą: -π/4; -π/4 + π. Ich suma:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Odpowiedź: π/2.

Przykład 5. Znajdź średnią arytmetyczną pierwiastków równania sin 3x + sin x = sin 2x na przedziale [-π; 0,5π].

Rozwiązanie:

Używamy wzoru sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), to

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x i równanie staje się

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Wyciągamy wspólny czynnik sin 2x z nawiasów

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Rozwiążmy otrzymane równanie:

grzech 2x \u003d 0 lub 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 lub cos x = 1/2;

2x = πk lub x = ±π/3 + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z).

W ten sposób mamy korzenie

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z).

Przedział [-π; 0,5π] należą do pierwiastków -π; -π/2; 0; π/2 (z pierwszego szeregu pierwiastków); π/3 (z drugiej serii); -π/3 (z trzeciej serii). Ich średnia arytmetyczna to:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Odpowiedź: -π/6.

Przykład 6. Znajdź liczbę pierwiastków równania sin x + cos x = 0 na przedziale [-1,25π; 2π].

Rozwiązanie:

Równanie to jest równaniem jednorodnym pierwszego stopnia. Podziel obie jego części przez cosx (wartość zmiennej, przy której cos x = 0, nie są pierwiastkami tego równania, ponieważ sinus i cosinus tej samej liczby nie mogą być jednocześnie równe zero). Oryginalne równanie wygląda tak:

x = -π/4 + πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z).

Szczelina [-1,25π; 2π] mają pierwiastki -π/4; (-π/4 + π); oraz (-π/4 + 2π).

Zatem do danego przedziału należą trzy pierwiastki równania.

Odpowiedź: 3.

Naucz się robić najważniejszą rzecz - jasno przedstawić plan rozwiązania problemu, a wtedy każde równanie trygonometryczne będzie na twoim ramieniu.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

W tej lekcji będziemy kontynuować badanie łuku stycznego i rozwiązywanie równań postaci tg x = a dla dowolnego a. Na początku lekcji rozwiążemy równanie wartością tabelaryczną i zilustrujemy rozwiązanie na wykresie, a następnie na kole. Następnie rozwiązujemy równanie tgx = a w postaci ogólnej i wyprowadzamy ogólny wzór na odpowiedź. Obliczenia ilustrujemy na wykresie i na kole i rozważamy różne formy odpowiedź. Na koniec lekcji rozwiążemy kilka problemów z ilustracją rozwiązań na wykresie i na kole.

Temat: Równania trygonometryczne

Lekcja: Arcus tangens i rozwiązanie równania tgx=a (ciąg dalszy)

1. Temat lekcji, wprowadzenie

W tej lekcji rozważymy rozwiązanie równania dla dowolnej rzeczywistej

2. Rozwiązanie równania tgx=√3

Zadanie 1. Rozwiąż równanie

Znajdźmy rozwiązanie za pomocą wykresów funkcji (rys. 1).

Rozważ przedział Na tym przedziale funkcja jest monotoniczna, co oznacza, że ​​jest osiągana tylko przy jednej wartości funkcji.

Odpowiadać:

Rozwiążmy to samo równanie za pomocą koła liczbowego (ryc. 2).

Odpowiadać:

3. Rozwiązanie równania tgx=a w postaci ogólnej

Rozwiążmy równanie w postaci ogólnej (ryc. 3).

Na przedziale równanie ma unikalne rozwiązanie

Najmniejszy pozytywny okres

Zilustrujmy na okręgu numerycznym (rys. 4).

4. Rozwiązywanie problemów

Zadanie 2. Rozwiąż równanie

Zmieńmy zmienną

Zadanie 3. Rozwiąż system:

Rozwiązanie (rys. 5):

W punkcie wartość jest zatem rozwiązaniem układu jest tylko punktem

Odpowiadać:

Zadanie 4. Rozwiąż równanie

Rozwiążmy metodą zmiany zmiennej:

Zadanie 5. Znajdź liczbę rozwiązań równania na przedziale

Rozwiążmy problem za pomocą wykresu (rys. 6).

Równanie ma trzy rozwiązania na danym przedziale.

Zilustrujemy to na okręgu liczbowym (rys. 7), choć nie jest to tak wyraźne jak na wykresie.

Odpowiedź: Trzy rozwiązania.

5. Wniosek, wniosek

Rozwiązaliśmy równanie dla dowolnej rzeczywistej używając pojęcia arc tangensa. W kolejnej lekcji zapoznamy się z pojęciem arc tangensa.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, ocena 10 (w dwóch częściach). Samouczek dla instytucje edukacyjne (poziom profilu) wyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, ocena 10 (w dwóch częściach). Zeszyt zadań dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 ( instruktaż dla uczniów szkół i klas z dogłębną nauką matematyki).-M.: Edukacja, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Dogłębne badanie algebry i analizy matematycznej.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na uczelnie techniczne (pod redakcją M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Symulator algebraiczny.-K.: A. S. K., 1997.

7. Saakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Zadania w algebrze i początki analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 instytucji kształcenia ogólnego) - M .: Edukacja, 2003.

8. A. P. Karp, Zbiór problemów algebry i zasady analizy: Proc. dodatek na 10-11 komórek. z głębokim nauka matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra and the Beginnings of Analysis, klasa 10 (w dwóch częściach). Zeszyt zadań dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Dodatkowe zasoby internetowe

1. Matematyka.

2. Problemy z portalem internetowym. ru.

3. Portal edukacyjny przygotować się do egzaminów.