Dom

Y sin x wzrosty przyjmuje największą wartość. Funkcje y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x. Problemy sinusowe do samodzielnego rozwiązania

W tej lekcji szczegółowo omówimy funkcję y \u003d sin x, jej główne właściwości i wykres. Na początku lekcji podamy definicję funkcji trygonometrycznej y \u003d sin t na okręgu współrzędnych i rozważymy wykres funkcji na okręgu i linii. Pokażmy okresowość tej funkcji na wykresie i rozważmy jej główne właściwości. Na końcu lekcji rozwiążemy kilka prostych problemów za pomocą wykresu funkcji i jej właściwości.

Temat: Funkcje trygonometryczne

Lekcja: Funkcja y=sinx, jej główne własności i wykres

Rozważając funkcję, ważne jest, aby powiązać pojedynczą wartość funkcji z każdą wartością argumentu. Ten prawo korespondencji i nazywana jest funkcją.

Zdefiniujmy prawo korespondencyjne dla .

Dowolna liczba rzeczywista odpowiada pojedynczemu punktowi na okręgu jednostkowym, który ma pojedynczą rzędną, którą nazywamy sinusem liczby (rys. 1).

Każdej wartości argumentu przypisywana jest pojedyncza wartość funkcji.

Oczywiste właściwości wynikają z definicji sinusa.

Rysunek pokazuje, że dlatego jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym.

Rozważ wykres funkcji. Przypomnijmy geometryczną interpretację argumentu. Argumentem jest kąt środkowy mierzony w radianach. Na osi wykreślimy liczby rzeczywiste lub kąty w radianach, wzdłuż osi odpowiednie wartości funkcji.

Na przykład kąt na okręgu jednostkowym odpowiada punktowi na wykresie (rys. 2)

Otrzymaliśmy wykres funkcji na stronie, ale znając okres sinusa, możemy zobrazować wykres funkcji na całej dziedzinie definicji (rys. 3).

Główny okres funkcji to Oznacza to, że wykres można uzyskać na odcinku, a następnie przejść do całej dziedziny definicji.

Rozważ właściwości funkcji:

1) Dziedzina definicji:

2) Zakres wartości:

3) Funkcja nieparzysta:

4) Najmniejszy pozytywny okres:

5) Współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią x:

6) Współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią y:

7) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

8) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

9) Zwiększanie interwałów:

10) Interwały malejące:

11) Niskie punkty:

12) Minimalne cechy:

13) Najważniejsze punkty:

14) Maksymalne cechy:

Rozważaliśmy właściwości funkcji i jej wykresu. Właściwości będą wielokrotnie wykorzystywane w rozwiązywaniu problemów.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, ocena 10 (w dwóch częściach). Samouczek dla instytucje edukacyjne (poziom profilu) wyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, ocena 10 (w dwóch częściach). Zeszyt zadań dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov OS, Shvartsburd S.I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 ( instruktaż dla uczniów szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki).-M.: Edukacja, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dogłębne badanie algebry i analizy matematycznej.-M .: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów matematycznych dla kandydatów na uczelnie techniczne (pod redakcją M.I.Skanavi).-M.: Szkoła Wyższa, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Trener algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zadania w algebrze i początki analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych).-M.: Edukacja, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów z algebry i początki analizy: podręcznik. dodatek na 10-11 komórek. z głębokim nauka matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra and the Beginnings of Analysis, klasa 10 (w dwóch częściach). Zeszyt zadań dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatkowe zasoby internetowe

3. Portal edukacyjny przygotować się do egzaminów ().

Odkryliśmy, że zachowanie funkcji trygonometrycznych i funkcji y = grzech x w szczególności, na całej osi liczbowej (lub dla wszystkich wartości argumentu) X) jest całkowicie zdeterminowany jego zachowaniem w przedziale 0 < X < π / 2 .

Dlatego przede wszystkim wykreślimy funkcję y = grzech x dokładnie w tym przedziale.

Zróbmy poniższą tabelę wartości naszej funkcji;

Zaznaczając odpowiednie punkty na płaszczyźnie współrzędnych i łącząc je płynną linią, otrzymujemy krzywą pokazaną na rysunku

Otrzymaną krzywą można również skonstruować geometrycznie bez kompilowania tabeli wartości funkcji y = grzech x .

1. Pierwsza ćwiartka okręgu o promieniu 1 jest podzielona na 8 równych części.Rzędnymi punktów podziału okręgu są sinusy odpowiednich kątów.

2. Pierwsza ćwiartka koła odpowiada kątom od 0 do π / 2 . Dlatego na osi X Weź segment i podziel go na 8 równych części.

3. Narysujmy proste linie równoległe do osi X, a z punktów podziału przywracamy prostopadłe do przecięcia z liniami poziomymi.

4. Połącz punkty przecięcia delikatną linią.

Spójrzmy teraz na interwał π / 2 < X < π .
Każda wartość argumentu X z tego przedziału można przedstawić jako

x = π / 2 + φ

gdzie 0 < φ < π / 2 . Zgodnie z formułami redukcyjnymi

grzech( π / 2 + φ ) = cos φ = grzech ( π / 2 - φ ).

Punkty osi X z odciętymi π / 2 + φ oraz π / 2 - φ symetryczne względem siebie względem punktu osi X z odciętymi π / 2 , a sinusy w tych punktach są takie same. Pozwala to uzyskać wykres funkcji y = grzech x w przedziale [ π / 2 , π ] po prostu wyświetlając symetrycznie wykres tej funkcji w przedziale względem linii prostej X = π / 2 .

Teraz korzystam z nieruchomości nieparzysta funkcja y \u003d grzech x,

grzech(- X) = -sin X,

łatwo jest wykreślić tę funkcję w przedziale [- π , 0].

Funkcja y \u003d sin x jest okresowa z okresem 2π ;. Dlatego, aby zbudować cały wykres tej funkcji, wystarczy okresowo kontynuować krzywą pokazaną na rysunku po lewej i prawej stronie z kropką 2π .

Powstała krzywa nazywa się sinusoida . To jest wykres funkcji y = grzech x.

Rysunek dobrze ilustruje wszystkie te właściwości funkcji y = grzech x , które wcześniej zostały przez nas sprawdzone. Przypomnij sobie te właściwości.

1) funkcja y = grzech x zdefiniowany dla wszystkich wartości X , tak aby jego domeną był zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

2) Funkcja y = grzech x ograniczony. Wszystkie przyjmowane wartości mieszczą się w przedziale od -1 do 1, łącznie z tymi dwiema liczbami. Dlatego zakres tej funkcji jest określony przez nierówność -1 < w < 1. Kiedy X = π / 2 + 2k π funkcja przyjmuje największe wartości równe 1, a dla x = - π / 2 + 2k π - najmniejsze wartości równe - 1.

3) Funkcja y = grzech x jest nieparzysta (sinusoida jest symetryczna względem początku).

4) Funkcja y = grzech x okresowo z okresem 2 π .

5) W interwałach 2n π < x < π + 2n π (n jest dowolną liczbą całkowitą) jest dodatnia i w przedziałach π + 2k π < X < 2π + 2k π (k jest dowolną liczbą całkowitą) jest ujemna. Dla x = k π funkcja dochodzi do zera. Dlatego te wartości argumentu x (0; ± π ; ±2 π ; ...) nazywane są zerami funkcji y = sinx

6) W odstępach - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkcjonować y = grzech x wzrasta monotonicznie i interwałowo π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π zmniejsza się monotonicznie.

Zwróć szczególną uwagę na zachowanie funkcji y = sinx blisko punktu X = 0 .

Na przykład grzech 0,012 ≈ 0,012; grzech (-0,05) ≈ -0,05;

grzech2° = grzech π 2 / 180=grzech π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Należy jednak zauważyć, że dla dowolnych wartości x

| grzech x| < | x | . (1)

Rzeczywiście, niech promień okręgu pokazanego na rysunku będzie równy 1,
a / AOB = X.

Wtedy grzech x= AC. Ale AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Długość tego łuku jest oczywiście równa X, ponieważ promień okręgu wynosi 1. Czyli dla 0< X < π / 2

grzech x< х.

Stąd, ze względu na niezwykłość funkcji y = sinx łatwo to pokazać, kiedy - π / 2 < X < 0

| grzech x| < | x | .

Wreszcie w x = 0

| grzech x | = | x |.

Tak więc dla | X | < π / 2 udowodniono nierówność (1). W rzeczywistości ta nierówność dotyczy również | x | > π / 2 ze względu na fakt, że | | grzech X | < 1, a π / 2 > 1

Ćwiczenia

1. Zgodnie z harmonogramem funkcji y = sinx ustalić: a) grzech 2; b) grzech 4; c) grzech (-3).

2. Funkcja harmonogramu y = sinx określić, która liczba z przedziału
[ - π / 2 , π / 2 ] ma sinus równy: a) 0,6; b) -0,8.

3. Zaplanowana funkcja y = sinx określić, które liczby mają sinus,
równy 1 / 2 .

4. Znajdź w przybliżeniu (bez używania tabel): a) sin 1°; b) grzech 0,03;
c) grzech (-0,015); d) grzech (-2°30").

Jak wykreślić funkcję y = sin x? Najpierw rozważmy wykres sinusa na przedziale.

Bierzemy pojedynczy segment o długości 2 komórek notatnika. Zaznaczamy jednostkę na osi Oy.

Dla wygody zaokrąglamy liczbę π/2 do 1,5 (a nie do 1,6, jak wymagają zasady zaokrąglania). W tym przypadku odcinek o długości π/2 odpowiada trzem komórkom.

Na osi Wół zaznaczamy nie pojedyncze odcinki, ale odcinki o długości π/2 (co 3 komórki). Odpowiednio, odcinek o długości π odpowiada 6 komórkom, odcinek o długości π/6 odpowiada 1 komórce.

Przy takim wyborze pojedynczego segmentu wykres przedstawiony na kartce zeszytu w ramce odpowiada w jak największym stopniu wykresowi funkcji y=sin x.

Zróbmy tabelę wartości sinusów na przedziale:

Wynikowe punkty są zaznaczone na płaszczyźnie współrzędnych:

Ponieważ y=sin x jest funkcją nieparzystą, wykres sinusoidalny jest symetryczny względem punktu początkowego - punktu O(0;0). Biorąc pod uwagę ten fakt, kontynuujemy kreślenie wykresu po lewej stronie, a następnie punkty -π:

Funkcja y=sin x jest okresowa z okresem T=2π. Dlatego wykres funkcji, wzięty na przedziale [-π; π], jest powtarzany nieskończona liczba razy w prawo i w lewo.

Samouczek wideo „Funkcja y = sinx, jej właściwości i wykres” przedstawia materiał wizualny na ten temat, a także komentarze do niego. Podczas demonstracji rozważa się rodzaj funkcji, jej właściwości, zachowanie na różnych odcinkach płaszczyzny współrzędnych, szczegółowo opisano cechy wykresu, opisano przykład rozwiązania graficznego równania trygonometryczne zawierające sinus. Za pomocą lekcji wideo nauczycielowi łatwiej jest sformułować koncepcję tej funkcji ucznia, nauczyć graficznie rozwiązywania problemów.

Samouczek wideo wykorzystuje narzędzia ułatwiające zapamiętywanie i rozumienie Informacja edukacyjna. W prezentacji wykresów oraz w opisie rozwiązania problemów wykorzystywane są efekty animacji, które pomagają zrozumieć zachowanie funkcji, sekwencyjnie prezentować postęp rozwiązania. Również udźwiękowienie materiału uzupełnia go ważnymi uwagami, które zastępują wyjaśnienia nauczyciela. Dzięki temu materiał ten może być również używany jako pomoc wizualna. I jako samodzielna część lekcji zamiast wyjaśnienia nauczyciela na nowy temat.

Demonstracja rozpoczyna się wprowadzeniem tematu lekcji. Prezentowana jest funkcja sinus, której opis jest podświetlony w ramce pamięci - s=sint, w której argumentem t może być dowolna liczba rzeczywista. Opis właściwości tej funkcji zaczyna się od zakresu. Należy zauważyć, że dziedziną definicji funkcji jest cała oś liczbowa liczb rzeczywistych, czyli D(f)=(- ∞;+∞). Drugą własnością jest nieparzystość funkcji sinus. Uczniom przypomina się, że ta właściwość była badana w klasie 9, kiedy zauważono, że dla funkcji nieparzystej zachodzi równość f(-x)=-f(x). Dla sinusa potwierdzenie nieparzystości funkcji jest pokazane na okręgu jednostkowym podzielonym na ćwiartki. Wiedząc, jaki znak funkcja przyjmuje w różnych ćwiartkach płaszczyzny współrzędnych, można zauważyć, że dla argumentów o przeciwnych znakach, na przykładzie punktów L(t) i N(-t) dla sinusa, spełniony jest warunek nieparzysty. Dlatego s=sint jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku.

Trzecia właściwość sinusa przedstawia przedziały wzrostu i spadku funkcji. Zauważa, że funkcja ta rośnie na przedziale, a maleje na przedziale [π/2;π]. Własność jest pokazana na rysunku, który przedstawia okrąg jednostkowy, a przy przejściu z punktu A w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara rzędna wzrasta, czyli wartość funkcji wzrasta do π/2. Przy przejściu z punktu B do C, czyli przy zmianie kąta z π/2 na π, wartość rzędnej maleje. W trzeciej ćwiartce koła przy przejściu z punktu C do punktu D rzędna maleje od 0 do -1, czyli wartość sinusa maleje. W ostatnim kwartale, przechodząc z punktu D do punktu A, wartość rzędnych wzrasta od -1 do 0. W ten sposób możesz zrobić ogólny wniosek o zachowaniu funkcji. Ekran wyświetla wynik, który wzrasta na odcinku [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], malejąc na przedziale [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] dla dowolnej liczby całkowitej k.

Czwarta własność sinusa uwzględnia granicę funkcji. Należy zauważyć, że funkcja sint jest ograniczona zarówno powyżej, jak i poniżej. Uczniom przypomina się informacje z algebry klasy 9, gdy zapoznają się z pojęciem ograniczoności funkcji. Na ekranie wyświetlany jest warunek funkcji ograniczonej od góry, dla której istnieje pewna liczba, dla której nierówność f(x)>=M jest spełniona w dowolnym punkcie funkcji. Przypominamy również warunek funkcji ograniczonej poniżej, dla której istnieje liczba m mniejsza niż każdy punkt funkcji. Dla sintu warunek to -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Piąta właściwość uwzględnia najmniejsze i największe wartości funkcji. Odnotowuje się osiągnięcie najmniejszej wartości -1 w każdym punkcie t=-(π/2)+2πk, a największej - w punktach t=(π/2)+2πk.

Na podstawie rozważanych właściwości wykreśla się wykres funkcji sintu na przedziale . Do skonstruowania funkcji używa się tabelarycznych wartości sinusa odpowiednich punktów. Na płaszczyźnie współrzędnych zaznaczono współrzędne punktów π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Po zaznaczeniu tabelarycznych wartości funkcji w tych punktach i połączeniu ich gładką linią budujemy wykres.

Do wykreślenia funkcji sint na odcinku [-π;π] wykorzystuje się właściwość symetrii funkcji względem początku. Na rysunku pokazano, w jaki sposób uzyskana w wyniku budowy prosta przechodzi płynnie symetrycznie względem początku do odcinka [-π;0].

Wykorzystując właściwość funkcji sint wyrażoną we wzorze redukcyjnym sin (x + 2π) \u003d sin x, należy zauważyć, że co 2π wykres sinusoidalny się powtarza. Tak więc na odcinku [π; Wykres 3π] będzie taki sam jak na [-π;π]. Zatem wykres tej funkcji jest powtarzającymi się fragmentami [-π; π] w całej dziedzinie definicji. Oddzielnie zauważono, że taki wykres funkcji nazywa się sinusoidą. Wprowadzono również pojęcie fali sinusoidalnej - fragment wykresu zbudowanego na odcinku [-π; π] oraz łuk sinusoidalny zbudowany na odcinku . Te fragmenty są ponownie pokazane do zapamiętania.

Należy zauważyć, że funkcja sint jest funkcją ciągłą w całej dziedzinie definicji, a także, że zakres funkcji leży w zbiorze wartości odcinka [-1;1].

Na końcu samouczka wideo rozważane jest graficzne rozwiązanie równania sin x \u003d x + π. Oczywiście, graficznym rozwiązaniem równania będzie przecięcie wykresu funkcji podanej przez wyrażenie po lewej stronie i funkcji podanej przez wyrażenie po prawej stronie. Aby rozwiązać problem, konstruowana jest płaszczyzna współrzędnych, na której zarysowana jest odpowiednia sinusoida y \u003d sin x, i konstruowana jest linia prosta odpowiadająca wykresowi funkcji y \u003d x + π. Zbudowane wykresy przecinają się w jednym punkcie В(-π;0). Dlatego x \u003d - π będzie rozwiązaniem równania.

Lekcja wideo „Funkcja y = sinx, jej właściwości i wykres” pomoże zwiększyć efektywność lekcji tradycyjnej lekcji matematyki w szkole. Możesz także wykorzystać materiały wizualne podczas nauczania na odległość. Podręcznik może pomóc w opanowaniu tematu uczniom, którzy potrzebują dodatkowych zajęć dla głębszego zrozumienia materiału.

INTERPRETACJA TEKSTU:

Tematem naszej lekcji jest „Funkcja y \u003d sin x, jej właściwości i wykres”.

Wcześniej poznaliśmy już funkcję s = sin t, gdzie tϵR (es jest równe sinusowi te, gdzie te należy do zbioru liczb rzeczywistych). Zbadajmy właściwości tej funkcji:

INDYWIDUALNE 1. Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych R (er), czyli D (f) = (-; +) (de od ef oznacza przedział od minus nieskończoności do plus nieskończoności).

WŁASNOŚĆ 2. Funkcja s = sin t jest nieparzysta.

Na lekcjach w klasie 9 dowiedzieliśmy się, że funkcja y \u003d f (x), x ϵX (y jest równe eff z x, gdzie x należy do zbioru x jest duże) jest nazywana nieparzystą, jeśli dla dowolnej wartości x z zbiór X równość

f (- x) \u003d - f (x) (ef od minus x jest równe minus ef od x).

A ponieważ rzędne punktów L i N, które są symetryczne względem osi odciętej, są przeciwne, to sin (-t) = -sint.

Oznacza to, że s \u003d sin t jest funkcją nieparzystą, a wykres funkcji s \u003d sin t jest symetryczny względem początku w prostokątnym układzie współrzędnych tos(tea).

Rozważ WŁAŚCIWOŚĆ 3. Na segmencie [ 0; ] (od zera do pi przez dwa) funkcja s = sin t rośnie i maleje na odcinku [; ](od pi przez dwa do pi).

Widać to wyraźnie na rysunkach: gdy punkt przesuwa się po okręgu liczbowym od zera do pi o dwa (od punktu A do B), rzędna stopniowo wzrasta od 0 do 1, a podczas przesuwania się od pi o dwa do pi (od punkt B do C), rzędna stopniowo maleje od 1 do 0.

Gdy punkt porusza się po trzeciej ćwiartce (od punktu C do punktu D), rzędna poruszającego się punktu zmniejsza się od zera do minus jedynki, a przy poruszaniu się po czwartej ćwiartce rzędna wzrasta od minus jeden do zera. Możemy zatem wyciągnąć ogólny wniosek: funkcja s = sin t rośnie na odcinku

(od minus pi o dwa plus dwa piki do pi o dwa plus dwa piki) i maleje na przedziale [; (od pi przez dwa plus dwa pi ka do trzech pi przez dwa plus dwa pi ka), gdzie

(ka należy do zbioru liczb całkowitych).

WŁASNOŚĆ 4. Funkcja s = sin t jest ograniczona od góry i od dołu.

Z kursu 9 klasy przypomnij sobie definicję ograniczenia: funkcja y \u003d f (x) jest wywoływana ograniczona od dołu, jeśli wszystkie wartości funkcji są nie mniejsze niż pewna liczba m m tak, że dla dowolnej wartości x z dziedziny funkcji nierówność f(x) ≥ m(ef od x jest większe lub równe em). Funkcja y \u003d f (x) jest wywoływana ograniczona od góry, jeśli wszystkie wartości funkcji nie są większe niż pewna liczba M, co oznacza, że istnieje liczba M tak, że dla dowolnej wartości x z dziedziny funkcji nierówność f(x) ≤ M(ef od x jest mniejsze lub równe em) Funkcja jest nazywana ograniczoną, jeśli jest ograniczona zarówno od dołu, jak i od góry.

Wróćmy do naszej funkcji: ograniczenie wynika z faktu, że dla dowolnego te nierówność jest prawdziwa - 1 ≤ sint ≤ 1. (sinus te jest większy lub równy minus jeden, ale mniejszy lub równy jeden).

WŁASNOŚĆ 5. Najmniejsza wartość funkcji jest równa minus jeden i funkcja osiąga tę wartość w dowolnym punkcie postaci t = (te jest równe minus pi przez dwa plus dwa piki, a największa wartość funkcji jest równa do jednego i jest osiągana przez funkcję w dowolnym punkcie postaci t = (te jest równe pi przez dwa plus dwa pi ka).

Największa i najmniejsza wartość funkcji s = sin t oznacza s min. i s max. .

Korzystając z uzyskanych właściwości, wykreślimy funkcję y \u003d sin x (y jest równe sinusowi x), ponieważ lepiej znamy notację y \u003d f (x), a nie s \u003d f (t).

Na początek wybierzmy skalę: wzdłuż osi rzędnych bierzemy jeden odcinek, dwie komórki, a wzdłuż osi odciętej dwie komórki - to jest pi na trzy (ponieważ ≈ 1). Najpierw zbudujmy wykres funkcji y \u003d sin x na segmencie. Potrzebujemy tabeli wartości funkcji na tym segmencie, do jej zbudowania użyjemy tabeli wartości dla odpowiednich kątów cosinus i sinus:

Aby więc zbudować tabelę wartości argumentów i funkcji, należy pamiętać, że X(x) jest liczbą odpowiednio równą kątowi w przedziale od zera do pi, a w(grecki) Wartość sinusa tego kąta.

Zaznaczmy te punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Według WŁAŚCIWOŚCI 3 na segmencie

[0; ] (od zera do pi o dwa) funkcja y \u003d sin x wzrasta, ale maleje w segmencie [; ] (od pi przez dwa do pi) i łącząc uzyskane punkty linią gładką, otrzymujemy część wykresu (rys. 1)

Korzystając z symetrii wykresu funkcji nieparzystej w odniesieniu do pochodzenia, otrzymujemy wykres funkcji y \u003d sin x już w segmencie

[-π; π ] (od minus pi do pi) (rys. 2)

Przypomnijmy, że sin(x + 2π)= sinx

(sinus x plus dwa pi równa się sinusowi x). Oznacza to, że w punkcie x + 2π funkcja y = sin x przyjmuje taką samą wartość jak w punkcie x. A ponieważ (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus dwa pi należy do odcinka od pi do trzech pi), jeśli xϵ[-π; π ], a następnie na przedziale [π; 3π ] wykres funkcji wygląda dokładnie tak samo jak na przedziale [-π; π]. Podobnie na odcinkach , , [-3π; -π] i tak dalej, wykres funkcji y \u003d sin x wygląda tak samo jak na odcinku

[-π; π] (rys. 3)

Linia będąca wykresem funkcji y \u003d sin x nazywana jest sinusoidą. Część przebiegu sinusoidalnego pokazana na rysunku 2 nazywana jest sinusoidą, a na rysunku 1 łukiem fali sinusoidalnej lub półfalą.

Korzystając ze skonstruowanego wykresu, napiszemy jeszcze kilka własności tej funkcji.

WŁAŚCIWOŚĆ 6. Funkcja y \u003d sin x jest funkcją ciągłą. Oznacza to, że wykres funkcji jest ciągły, czyli nie ma skoków i przebić.

WŁAŚCIWOŚĆ 7. Zakres funkcji y \u003d sin x to odcinek [-1; 1] (od minus jeden do jednego) lub można to zapisać w następujący sposób: (e od eff jest równe odcinkowi od minus jeden do jednego).

Rozważ PRZYKŁAD. Rozwiąż graficznie równanie sin x \u003d x + π (sinus x jest równy x plus pi).

Rozwiązanie. Zbudujmy wykresy funkcji y= grzech X oraz y = x + π.

Wykres funkcji y \u003d sin x jest sinusoidą.

y \u003d x + π to funkcja liniowa, której wykres jest linią prostą przechodzącą przez punkty o współrzędnych (0; π) i (- π; 0).

Zbudowane wykresy mają jeden punkt przecięcia - punkt B (- π; 0) (mają współrzędne minus pi, zero). Oznacza to, że równanie to ma tylko jeden pierwiastek - odciętą punktu B - -π. Odpowiadać: X = - π.