Αριθμητική πρόοδος. Μάθημα άλγεβρας «Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους» (9η τάξη) Παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύση 9

Μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο που προστίθεται στον ίδιο αριθμό για μια δεδομένη ακολουθία, ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Ο αριθμός που προστίθεται στον προηγούμενο αριθμό κάθε φορά καλείται διαφορά αριθμητικής προόδουκαι ορίζεται από την επιστολή ρε.

Άρα, η αριθμητική ακολουθία είναι 1. Α2; α 3? α 4? α 5? ... και το n θα είναι μια αριθμητική πρόοδος εάν a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d;

Λένε ότι δίνεται αριθμητική πρόοδος με κοινό όρο και ν. Γράψτε: δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (α ν).

Μια αριθμητική πρόοδος θεωρείται ορισμένη εάν είναι γνωστός ο πρώτος όρος της Α'1και διαφορά ρε.

Παραδείγματα αριθμητικής προόδου

Παράδειγμα 1. 1; 3; 5; 7; 9;...Εδώ Α'1 = 1; ρε = 2.

Παράδειγμα 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Ορίστε Α'1 = 8; ρε =-3.

Παράδειγμα 3.-16; -12; -8; -4;... Εδώ Α'1 = -16; ρε = 4.

Σημειώστε ότι κάθε όρος της προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών του όρων.

Σε 1 παράδειγμαδεύτερη περίοδος 3 =(1+5): 2 ; εκείνοι. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; τρίτο μέλος 5 =(3+7): 2;

δηλ. a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Άρα ισχύει ο τύπος:

Αλλά, στην πραγματικότητα, κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο όχι μόνο των γειτονικών μελών του, αλλά και αυτός που απέχει εξίσουαπό τα μέλη του, δηλ.

Ας γυρίσουμε παράδειγμα 2. Αριθμός -1 είναι ο τέταρτος όρος μιας αριθμητικής προόδου και απέχει εξίσου από τον πρώτο και τον έβδομο όρο (a 1 = 8 και 7 = -10).

Σύμφωνα με τον τύπο (**) έχουμε:

Ας βγάλουμε τον τύπο n-ο όρος μιας αριθμητικής προόδου.

Έτσι, παίρνουμε τον δεύτερο όρο της αριθμητικής προόδου αν προσθέσουμε τη διαφορά στον πρώτο ρε; παίρνουμε τον τρίτο όρο αν προσθέσουμε τη διαφορά στον δεύτερο ρεή προσθέστε δύο διαφορές στον πρώτο όρο ρε; παίρνουμε τον τέταρτο όρο αν προσθέσουμε τη διαφορά στον τρίτο ρεή προσθέστε τρεις διαφορές στην πρώτη ρεκαι ούτω καθεξής.

Το μαντέψατε: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Ο τύπος που προκύπτει a n = ένα 1 + (n-1) ρε (***)

που ονομάζεται τύποςnο όρος μιας αριθμητικής προόδου.

Τώρα ας μιλήσουμε για το πώς να βρούμε το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου. Ας υποδηλώσουμε αυτό το ποσό με S n.

Η αναδιάταξη των θέσεων των όρων δεν αλλάζει την αξία του αθροίσματος, επομένως μπορεί να γραφτεί με δύο τρόπους.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n και

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Ας προσθέσουμε αυτές τις δύο ισότητες ανά όρο:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

Οι τιμές στις παρενθέσεις είναι ίσες μεταξύ τους, αφού είναι τα αθροίσματα των όρων της σειράς σε ίσες αποστάσεις, που σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε: 2S n = n· (a 1 + a n).

Παίρνουμε τον τύπο τα ποσά του πρώτουnόρους μιας αριθμητικής προόδου.

Αν αντικαταστήσουμε ένα n με την τιμή a 1 + (n-1) d χρησιμοποιώντας τον τύπο (***), παίρνουμε έναν άλλο τύπο για το άθροισμα του πρώτου nόρους μιας αριθμητικής προόδου.

Τα μαθηματικά έχουν τη δική τους ομορφιά, όπως η ζωγραφική και η ποίηση.

Ο Ρώσος επιστήμονας, μηχανικός Ν.Ε. Ζουκόφσκι

Πολύ συχνά προβλήματα στις εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά είναι προβλήματα που σχετίζονται με την έννοια της αριθμητικής προόδου. Για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοια προβλήματα, πρέπει να έχετε καλή γνώση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου και να έχετε ορισμένες δεξιότητες στην εφαρμογή τους.

Ας θυμηθούμε πρώτα τις βασικές ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου και ας παρουσιάσουμε τους πιο σημαντικούς τύπους, σχετίζονται με αυτή την έννοια.

Ορισμός. Αριθμητική ακολουθία, στην οποία κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό, ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμόςονομάζεται διαφορά προόδου.

Για μια αριθμητική πρόοδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

, (1)

Οπου . Ο τύπος (1) ονομάζεται τύπος του γενικού όρου μιας αριθμητικής προόδου και ο τύπος (2) αντιπροσωπεύει την κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου: κάθε όρος της προόδου συμπίπτει με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών όρων και .

Σημειώστε ότι ακριβώς λόγω αυτής της ιδιότητας η υπό εξέταση πρόοδος ονομάζεται «αριθμητική».

Οι παραπάνω τύποι (1) και (2) γενικεύονται ως εξής:

(3)

Για να υπολογίσετε το ποσόπρώτα όρους μιας αριθμητικής προόδουσυνήθως χρησιμοποιείται ο τύπος

(5) πού και .

Αν λάβουμε υπόψη τον τύπο (1), τότε από τον τύπο (5) προκύπτει

Αν δηλώνουμε , τότε

Οπου . Επειδή , οι τύποι (7) και (8) είναι μια γενίκευση των αντίστοιχων τύπων (5) και (6).

Συγκεκριμένα , από τον τύπο (5) προκύπτει, Τι

Ελάχιστα γνωστή στους περισσότερους μαθητές είναι η ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, που διατυπώνεται μέσω του παρακάτω θεωρήματος.

Θεώρημα.Αν τότε

Απόδειξη.Αν τότε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Για παράδειγμα , χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορεί να αποδειχθεί ότι

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση τυπικών παραδειγμάτων επίλυσης προβλημάτων στο θέμα «Αριθμητική πρόοδος».

Παράδειγμα 1.Ας είναι. Εύρημα .

Λύση.Εφαρμόζοντας τον τύπο (6), παίρνουμε . Αφού και , τότε ή .

Παράδειγμα 2.Έστω τρεις φορές μεγαλύτερο, και όταν διαιρεθεί με το πηλίκο, το αποτέλεσμα είναι 2 και το υπόλοιπο είναι 8. Προσδιορίστε και .

Λύση.Από τις συνθήκες του παραδείγματος ακολουθεί το σύστημα των εξισώσεων

Αφού , , και , τότε από το σύστημα των εξισώσεων (10) λαμβάνουμε

Η λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων είναι και .

Παράδειγμα 3.Βρείτε αν και .

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε ή . Ωστόσο, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα (9), λαμβάνουμε .

Αφού και , τότε από την ισότητα ακολουθεί η εξίσωσηή .

Παράδειγμα 4.Βρείτε αν.

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε

Ωστόσο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορούμε να γράψουμε

Από εδώ και από τον τύπο (11) παίρνουμε .

Παράδειγμα 5. Δόθηκαν: . Εύρημα .

Λύση.Από τότε. Ωστόσο, επομένως.

Παράδειγμα 6.Αφήστε , και . Εύρημα .

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον τύπο (9), παίρνουμε . Επομένως, εάν , τότε ή .

Αφού και τότε εδώ έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Λύνοντας ποια, παίρνουμε και .

Φυσική ρίζα της εξίσωσηςείναι .

Παράδειγμα 7.Βρείτε αν και .

Λύση.Εφόσον σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε ότι , τότε το σύστημα των εξισώσεων προκύπτει από τις συνθήκες του προβλήματος

Αν αντικαταστήσουμε την έκφρασηστη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, τότε παίρνουμε ή .

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναιΚαι .

Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις.

1. Αφήστε , τότε . Από και , τότε .

Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με τον τύπο (6), έχουμε

2. Αν , τότε , και

Απάντηση: και.

Παράδειγμα 8.Είναι γνωστό ότι και. Εύρημα .

Λύση.Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5) και την συνθήκη του παραδείγματος, γράφουμε και .

Αυτό συνεπάγεται το σύστημα των εξισώσεων

Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος επί 2 και στη συνέχεια την προσθέσουμε στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε

Σύμφωνα με τον τύπο (9) έχουμε. Από την άποψη αυτή, προκύπτει από το (12)ή .

Από και , τότε .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 9.Βρείτε αν και .

Λύση.Αφού , και κατά συνθήκη , τότε ή .

Από τον τύπο (5) είναι γνωστό, Τι . Από τότε.

Ως εκ τούτου , εδώ έχουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Από εδώ παίρνουμε και . Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (8), γράφουμε .

Παράδειγμα 10.Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Από τη δεδομένη εξίσωση προκύπτει ότι . Ας υποθέσουμε ότι , , και . Σε αυτήν την περίπτωση .

Σύμφωνα με τον τύπο (1), μπορούμε να γράψουμε ή .

Αφού , τότε η εξίσωση (13) έχει τη μόνη κατάλληλη ρίζα .

Παράδειγμα 11.Βρείτε τη μέγιστη τιμή με την προϋπόθεση ότι και .

Λύση.Από τότε, η αριθμητική πρόοδος που εξετάζεται μειώνεται. Από αυτή την άποψη, η έκφραση παίρνει τη μέγιστη τιμή της όταν είναι ο αριθμός του ελάχιστου θετικού όρου της προόδου.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1) και το γεγονός, αυτό και . Τότε παίρνουμε ότι ή .

Από τότε ή . Ωστόσο, σε αυτή την ανισότηταμεγαλύτερο φυσικό αριθμό, Να γιατί .

Εάν οι τιμές των , και αντικατασταθούν στον τύπο (6), παίρνουμε .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 12.Προσδιορίστε το άθροισμα όλων των διψήφιων φυσικών αριθμών που, όταν διαιρεθούν με τον αριθμό 6, αφήνουν υπόλοιπο 5.

Λύση.Ας υποδηλώσουμε με το σύνολο όλων των διψήφιων φυσικών αριθμών, δηλ. . Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε ένα υποσύνολο που θα αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία (αριθμούς) του συνόλου που, όταν διαιρεθούν με τον αριθμό 6, δίνουν ένα υπόλοιπο 5.

Εύκολο στην εγκατάσταση, Τι . Προφανώς , ότι τα στοιχεία του συνόλουσχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο, στο οποίο και .

Για να καθορίσουμε την καρδινάτητα (αριθμός στοιχείων) του συνόλου, υποθέτουμε ότι . Δεδομένου ότι και , προκύπτει από τον τύπο (1) ή . Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5), παίρνουμε .

Τα παραπάνω παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων δεν μπορούν σε καμία περίπτωση να ισχυριστούν ότι είναι εξαντλητικά. Αυτό το άρθρο είναι γραμμένο με βάση μια ανάλυση σύγχρονων μεθόδων για την επίλυση τυπικών προβλημάτων σε ένα δεδομένο θέμα. Για μια πιο εις βάθος μελέτη των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την αριθμητική πρόοδο, συνιστάται να ανατρέξετε στη λίστα της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.

1. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους στα κολέγια / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – Μ.: Ειρήνη και Παιδεία, 2013. – 608 σελ.

2. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: πρόσθετες ενότητες του σχολικού προγράμματος. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 σελ.

3. Medynsky M.M. Ένα πλήρες μάθημα στοιχειωδών μαθηματικών σε προβλήματα και ασκήσεις. Βιβλίο 2: Ακολουθίες αριθμών και προόδους. – Μ.: Editus, 2015. – 208 σελ.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις;

Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Προεπισκόπηση:

Θέμα

Αριθμητική πρόοδος

ΣΤΟΧΟΣ:

• διδάσκουν να αναγνωρίζουν μια αριθμητική πρόοδο χρησιμοποιώντας τον ορισμό και το πρόσημά της.
• διδάξτε πώς να λύσετε προβλήματα χρησιμοποιώντας έναν ορισμό, ένα σημάδι, έναν τύπο για τον γενικό όρο μιας προόδου.

ΣΤΟΧΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:

δώστε έναν ορισμό της αριθμητικής προόδου, αποδείξτε ένα σημάδι αριθμητικής προόδου και διδάξτε πώς να τις χρησιμοποιείτε στην επίλυση προβλημάτων.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:

επικαιροποίηση των γνώσεων των μαθητών, ανεξάρτητη εργασία, ατομική εργασία, δημιουργία προβληματικής κατάστασης.

ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ:

ΤΠΕ, μάθηση βάσει προβλημάτων, διαφοροποιημένη μάθηση, τεχνολογίες εξοικονόμησης υγείας.

ΠΛΑΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ:

1. Στο τελευταίο μάθημα μυηθήκαμε στην έννοια της «Ακολουθίας».

Σήμερα θα συνεχίσουμε να μελετάμε τις ακολουθίες αριθμών, να ορίζουμε μερικές από αυτές και να εξοικειωθούμε με τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά τους.

1. Απαντήστε στις ερωτήσεις: Τι είναι η ακολουθία;

Τι ακολουθίες υπάρχουν;

Με ποιους τρόπους μπορείτε να ορίσετε τη σειρά;

Τι είναι η αριθμητική ακολουθία;

Ποιες μεθόδους προσδιορισμού μιας ακολουθίας αριθμών γνωρίζετε; Ποιος τύπος ονομάζεται επαναλαμβανόμενος;

1. Δίνονται αριθμητικές ακολουθίες:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Βρείτε το μοτίβο κάθε ακολουθίας και ονομάστε τους επόμενους τρεις όρους της καθεμιάς.

1. a n = a n -1 +1
2. a n = a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n = a n -1 + 0,5

Δώστε τον τύπο επανάληψης για κάθε ακολουθία.

Διαφάνεια 1

Μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το προηγούμενο μέλος που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό, ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.

Ο αριθμός d ονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία, επομένως μπορεί να είναι αύξουσα, φθίνουσα ή σταθερή. Δώστε παραδείγματα τέτοιων ακολουθιών, ονομάστε τη διαφορά μεταξύ κάθε εξέλιξης και βγάλτε ένα συμπέρασμα.

Ας εξαγάγουμε τον τύπο για τον γενικό όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Στον πίνακα: αφήστε α 1 είναι ο πρώτος όρος της προόδου, d είναι η διαφορά του, λοιπόν

a 2 =a 1 +d

a 3 =(a 1 +d)+d=a 1 +2d

a 4 =(a 1 +2d)+d=a 1 +3d

a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d

a n =a 1 +d (n-1) - τύπος του ν ου όρου μιας αριθμητικής προόδου.

Λύστε το πρόβλημα: Σε μια αριθμητική πρόοδο, ο πρώτος όρος είναι 5 και η διαφορά είναι 4.

Βρείτε τον 22ο όρο αυτής της προόδου.

Ο μαθητής αποφασίζει στον πίνακα: α n =a 1 +d(n-1)

A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89

Λεπτό φυσικής αγωγής.

Σηκωθήκαμε.

Τα χέρια στη ζώνη. Κλίση αριστερά, δεξιά, (2 φορές).

Λυγίστε προς τα εμπρός, προς τα πίσω (2 φορές).

Σηκώστε τα χέρια σας ψηλά, πάρτε μια βαθιά ανάσα, χαμηλώστε τα χέρια σας προς τα κάτω, εκπνεύστε. (2 φορές)

Κούνησαν τα χέρια τους. Ευχαριστώ.

Καθίσαμε. Ας συνεχίσουμε το μάθημα.

Επιλύουμε προβλήματα χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον γενικό όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Στους μαθητές προσφέρονται οι ακόλουθες εργασίες:

1. Σε μια αριθμητική πρόοδο, ο πρώτος όρος είναι -2, d=3, a n =118.

Εύρεση n.

1. Σε μια αριθμητική πρόοδο, ο πρώτος όρος είναι 7, ο δέκατος πέμπτος όρος είναι –35. Βρές την διαφορά.
2. Είναι γνωστό ότι σε αριθμητική πρόοδο d=-2, a39=83. Βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου.

Οι μαθητές χωρίζονται σε ομάδες. Η εργασία δίνεται για 5 λεπτά. Στη συνέχεια, οι 3 πρώτοι μαθητές που έλυσαν τα προβλήματα τα λύνουν στον πίνακα. Η λύση αντιγράφεται στις διαφάνειες.

Ας εξετάσουμε τις χαρακτηριστικές ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου.

Σε αριθμητική πρόοδο

a n -d=a (n-1)

a n +d=a (n+1)

Ας προσθέσουμε αυτές τις δύο ισότητες ανά όρο, παίρνουμε: 2α n =a (n+1) +a (n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2

Αυτό σημαίνει ότι κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, εκτός από το πρώτο και το τελευταίο, είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

ΘΕΩΡΗΜΑ:

Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος εάν και μόνο εάν κάθε μέλος της, εκτός από το πρώτο (και το τελευταίο στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών (μια χαρακτηριστική ιδιότητα ενός αριθμητική πρόοδος).