Αν το ένα επίπεδο είναι κάθετο στο άλλο, τότε Στερεομετρία. Καθετότητα δύο γραμμών

Εάν ένα από τα δύο επίπεδα διέρχεται από μια ευθεία γραμμή κάθετη στο άλλο επίπεδο, τότε τα δεδομένα επίπεδα είναι κάθετα () (Εικ. 28)

α - αεροπλάνο, σεείναι μια ευθεία κάθετη σε αυτήν, το β είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από μια ευθεία γραμμή σε, και Μεείναι η ευθεία κατά την οποία τέμνονται τα επίπεδα α και β.

Συνέπεια.Εάν ένα επίπεδο είναι κάθετο στη γραμμή τομής δύο δεδομένων επιπέδων, τότε είναι κάθετο σε καθένα από αυτά τα επίπεδα

Εργασία 1. Να αποδείξετε ότι μέσω οποιουδήποτε σημείου μιας ευθείας στο χώρο είναι δυνατό να χαράξουμε δύο ευδιάκριτες ευθείες κάθετες σε αυτό.

Απόδειξη:

Σύμφωνα με το αξίωμα Εγώυπάρχει ένα σημείο που δεν βρίσκεται στη γραμμή ένα.Με το Θεώρημα 2.1 μέσω του σημείου ΣΤΟκαι άμεση ένατο επίπεδο α μπορεί να σχεδιαστεί. (Εικ. 29) Σύμφωνα με το Θεώρημα 2.3 μέσω του σημείου ΑΛΛΑστο επίπεδο α μπορεί κανείς να χαράξει μια ευθεία γραμμή ένα.Σύμφωνα με το αξίωμα Γ 1, υπάρχει ένα σημείο ΑΠΟ, που δεν ανήκει στο α. Με το Θεώρημα 15.1 μέσα από το σημείο ΑΠΟκαι άμεση ένατο επίπεδο β μπορεί να σχεδιαστεί. Στο επίπεδο β, με το Θεώρημα 2.3, μέσω του σημείου α, μπορεί κανείς να χαράξει ευθεία με ένα.Οι γραμμές in και c κατά κατασκευή έχουν μόνο ένα κοινό σημείο ΑΛΛΑκαι τα δύο είναι κάθετα

Εργασία 2.Τα πάνω άκρα δύο κάθετα ορθών πεσσών, που χωρίζονται από απόσταση 3,4 m, συνδέονται με εγκάρσια ράβδο. Το ύψος της μίας κολόνας είναι 5,8 μ. και της άλλης 3,9 μ. Βρείτε το μήκος της εγκάρσιας ράβδου.

ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ= 5,8 μέτρα, BD= 3,9 m, ΑΒ- ? (εικ.30)

AE = AC - CE = AC - BD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (m)

Με το Πυθαγόρειο θεώρημα από το Δ AEBπαίρνουμε:

AB 2 \u003d AE 2 + EB 2 \u003d AE 2 + CD 2 \u003d ( 1,9) 2 + (3,4) 2 \u003d 15,17 (m 2)

ΑΒ== 3,9 (m)

Καθήκοντα

Στόχος. Μάθετε να αναλύετε στις πιο απλές περιπτώσεις αμοιβαία διευθέτησηαντικείμενα στο χώρο, χρησιμοποιήστε επιπεδομετρικά γεγονότα και μεθόδους κατά την επίλυση στερεομετρικών προβλημάτων.

1. Να αποδείξετε ότι μέσω οποιουδήποτε σημείου ευθείας στο χώρο είναι δυνατό να τραβήξετε μια ευθεία κάθετη σε αυτό.

2. Οι ευθείες AB, AC και AD είναι κατά ζεύγη κάθετες. Βρείτε το τμήμα SD αν:

1) ΑΒ = 3 εκ , Κυρ= 7 cm, ΕΝΑ Δ= 1,5 cm;

2) VD= 9 cm, ΕΝΑ Δ= 5 cm, ήλιος= 16 cm;

3) AB = c, BC = a, AD = d;

4) BD = c, BC = a, AD = d

3. Το σημείο Α βρίσκεται σε απόσταση ένααπό τις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά ένα.Να βρείτε την απόσταση από το σημείο Α έως το επίπεδο του τριγώνου.

4. Να αποδείξετε ότι αν μια ευθεία είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο, τότε όλα τα σημεία της βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το επίπεδο.

5. Ένα τηλεφωνικό καλώδιο μήκους 15 m τεντώνεται από έναν τηλεφωνικό στύλο, όπου είναι στερεωμένος σε ύψος 8 m από το έδαφος, σε ένα σπίτι, όπου είναι στερεωμένο σε ύψος 20 m. Βρείτε την απόσταση μεταξύ του σπιτιού και το κοντάρι, υποθέτοντας ότι το σύρμα δεν κρεμάει.

6. Από ένα σημείο σε ένα επίπεδο σχεδιάζονται δύο κεκλιμένες, ίσες με 10 εκ. και 17 εκ. Η διαφορά των προβολών αυτών των κεκλιμένων είναι 9 εκ. Να βρείτε τις προβολές των κεκλιμένων.

7. Από ένα σημείο σε ένα επίπεδο χαράσσονται δύο κεκλιμένες γραμμές, εκ των οποίων η μία είναι 26 cm μεγαλύτερη από την άλλη. Οι προβολές των λοξών είναι 12 εκ. και 40 εκ. Βρείτε τις πλάγιες.

8. Δύο κεκλιμένες γραμμές σχεδιάζονται από ένα σημείο σε ένα επίπεδο. Να βρείτε τα μήκη των λοξών αν είναι σε αναλογία 1:2 και οι προεξοχές των λοξών είναι 1 cm και 7 cm.

9. Δύο κεκλιμένες γραμμές σχεδιάζονται από ένα σημείο σε ένα επίπεδο, ίσες με 23 cm και 33 cm.

την απόσταση από αυτό το σημείο μέχρι το επίπεδο, αν οι προβολές του λοξού λόγου είναι 2:3.

10. Να βρείτε την απόσταση από το μέσο του τμήματος ΑΒ έως ένα επίπεδο που δεν τέμνει αυτό το τμήμα, αν η απόσταση από τα σημεία α και Β στο επίπεδο είναι: 1) 3,2 cm και 5,3 cm· 7,4 cm και 6,1 cm. 3) α και γ.

11. Λύστε το προηγούμενο πρόβλημα, με την προϋπόθεση ότι το τμήμα ΑΒ τέμνει το επίπεδο.

12. Ένα τμήμα μήκους 1 m τέμνει ένα επίπεδο, τα άκρα του αφαιρούνται από το επίπεδο σε απόσταση 0,5 m και 0,3 m. Βρείτε το μήκος της προβολής του τμήματος στο επίπεδο ..

13. Από τα σημεία Α και Β ρίχνονται κάθετοι στο επίπεδο. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β εάν οι κάθετοι είναι 3 m και 2 m, η απόσταση μεταξύ των βάσεων τους είναι 2,4 m και το τμήμα ΑΒ δεν τέμνει το επίπεδο.

14. Από τα σημεία Α και Β, που βρίσκονται σε δύο κάθετα επίπεδα, οι κάθετες AC και BD πέφτουν στη γραμμή τομής των επιπέδων. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΒ αν: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, BD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.

15. Από τις κορυφές Α και Β του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ ορθώνονται οι κάθετες ΑΑ 1 και ΒΒ 1 στο επίπεδο του τριγώνου. Βρείτε την απόσταση από την κορυφή C έως το μέσο του τμήματος A 1 B 1 εάν AB \u003d 2 m, CA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 7 m και το τμήμα A 1 B 1 δεν τέμνει το επίπεδο του τρίγωνο

16. Από κορυφές Α και Β κοφτερών γωνιών ορθογώνιο τρίγωνοΤο ABC επανέφερε τις κάθετες ΑΑ 1 και ΒΒ 1 στο επίπεδο του τριγώνου. Βρείτε την απόσταση από την κορυφή C έως το μέσο του τμήματος A 1 B 1 εάν A 1 C \u003d 4 m, AA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 6 m, BB 1 \u003d 2 m και το τμήμα A Το 1 B 1 δεν τέμνει το επίπεδο του τριγώνου.

Δύο επίπεδα που τέμνονται λέγονται κάθετος, αν το τρίτο επίπεδο, κάθετο στη γραμμή τομής αυτών των δύο επιπέδων, τα τέμνει κατά μήκος κάθετων ευθειών (βλ. σχήμα).

Οποιοδήποτε επίπεδο κάθετο στη γραμμή τομής κάθετα επίπεδατα τέμνει κατά μήκος κάθετων ευθειών.

Σημάδι της καθετότητας των επιπέδων

Θεώρημα 1. Εάν ένα επίπεδο διέρχεται από ευθεία κάθετη σε άλλο επίπεδο, τότε αυτά τα επίπεδα είναι κάθετα (βλ. σχήμα).

Θεώρημα 2. Εάν μια ευθεία που βρίσκεται σε ένα από τα δύο κάθετα επίπεδα είναι κάθετη στην ευθεία της τομής τους, τότε είναι κάθετη και στο δεύτερο επίπεδο (βλ. σχήμα).

Ένα παράδειγμα εφαρμογής του Θεωρήματος 2
Έστω δύο κάθετα επίπεδα και , τα οποία τέμνονται σε ευθεία γραμμή ένα(βλέπε εικόνα). Βρείτε απόσταση από το σημείο ΕΝΑ, που βρίσκεται στο αεροπλάνο και δεν βρίσκεται στο αεροπλάνο , το αεροπλάνο .

Στο επίπεδο κατασκευάζουμε μια κάθετη προς έναμέσα από ένα σημείο ΕΝΑ. Αφήστε το να περάσει έναστο σημείο σι. ΑΒ- επιθυμητή απόσταση.
Δώστε προσοχή σε αυτό.
1. Μέσα από ένα σημείο έξω από το επίπεδο, μπορείτε να σχεδιάσετε πολλά επίπεδα κάθετα σε αυτό το επίπεδο (βλ. σχήμα). (Όμως όλα θα περάσουν από μια ευθεία κάθετη σε αυτό το επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.)

2. Αν ένα επίπεδο είναι κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο, τότε αυτό δεν σημαίνει ότι είναι και κάθετο σε μια αυθαίρετη ευθεία παράλληλη σε αυτό το επίπεδο.
Για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα , και τέμνονται σε ευθεία γραμμή σι, και έναμπαίνει σε ένα από τα αεροπλάνα και . Επομένως, μια ευθεία γραμμή έναταυτόχρονα παράλληλα σε δύο κάθετα επίπεδα.

Η καθετότητα στο χώρο μπορεί να έχει:

1. Δύο ευθείες γραμμές

3. Δύο αεροπλάνα

Ας εξετάσουμε αυτές τις τρεις περιπτώσεις με τη σειρά τους: όλους τους ορισμούς και τις προτάσεις των θεωρημάτων που σχετίζονται με αυτές. Και μετά θα συζητήσουμε ένα πολύ σημαντικό θεώρημα για τρεις κάθετες.

Καθετότητα δύο γραμμών.

Ορισμός:

Μπορείς να πεις: μου άνοιξαν και την Αμερική! Αλλά να θυμάστε ότι στο διάστημα δεν είναι όλα τα ίδια όπως σε ένα αεροπλάνο.

Σε ένα επίπεδο, μόνο τέτοιες ευθείες (τεμνόμενες) μπορούν να είναι κάθετες:

Αλλά η καθετότητα στο διάστημα δύο γραμμών μπορεί να είναι ομοιόμορφη αν δεν τέμνονται. Κοίτα:

Μια ευθεία είναι κάθετη σε μια ευθεία, αν και δεν την τέμνει. Πως και έτσι? Θυμόμαστε τον ορισμό της γωνίας μεταξύ των γραμμών: για να βρείτε τη γωνία μεταξύ λοξών γραμμών και, πρέπει να σχεδιάσετε μια γραμμή μέσω ενός αυθαίρετου σημείου στην ευθεία α. Και τότε η γωνία μεταξύ και (εξ ορισμού!) θα είναι ίσο με τη γωνίαμεταξύ i.

Θυμηθήκατε; Λοιπόν, στην περίπτωσή μας, εάν οι γραμμές και αποδειχθούν κάθετες, τότε οι γραμμές και θα πρέπει να θεωρηθούν κάθετες.

Για να είμαστε απολύτως σαφείς, ας δούμε παράδειγμα.Αφήστε να υπάρχει ένας κύβος. Και σας ζητείται να βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών και. Αυτές οι γραμμές δεν τέμνονται - τέμνονται. Για να βρείτε τη γωνία μεταξύ και, σχεδιάστε.

Λόγω του γεγονότος ότι - ένα παραλληλόγραμμο (και ακόμη και ένα ορθογώνιο!), Αποδεικνύεται ότι. Και λόγω του γεγονότος ότι - ένα τετράγωνο, αποδεικνύεται ότι. Λοιπόν, αυτό σημαίνει.

Καθετότητα ευθείας και επιπέδου.

Ορισμός:

Εδώ είναι η εικόνα:

μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο αν είναι κάθετη σε όλες τις ευθείες σε αυτό το επίπεδο: και, και, και, και άρτια! Και ένα δισεκατομμύριο άλλες γραμμές!

Ναι, αλλά πώς μπορείτε να ελέγξετε γενικά την καθετότητα σε μια ευθεία γραμμή και ένα επίπεδο; Η ζωή λοιπόν δεν είναι αρκετή! Αλλά ευτυχώς για εμάς, οι μαθηματικοί μας έσωσαν από τον εφιάλτη του άπειρου εφευρίσκοντας σημάδι της καθετότητας μιας ευθείας και ενός επιπέδου.

Διατυπώνουμε:

Δείτε πόσο υπέροχο:

εάν υπάρχουν μόνο δύο ευθείες στο επίπεδο στο οποίο η ευθεία είναι κάθετη, τότε αυτή η γραμμή θα αποδειχθεί αμέσως κάθετη στο επίπεδο, δηλαδή σε όλες τις ευθείες σε αυτό το επίπεδο (συμπεριλαμβανομένης κάποιας γραμμής που στέκεται στο πλάι ). Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό θεώρημα, επομένως θα σχεδιάσουμε και τη σημασία του με τη μορφή διαγράμματος.

Και ας το ξανακοιτάξουμε παράδειγμα.

Ας μας δοθεί ένα κανονικό τετράεδρο.

Καθήκον: να το αποδείξετε. Θα πείτε: αυτές είναι δύο ευθείες γραμμές! Τι σχέση έχει η καθετότητα μιας ευθείας και ενός επιπέδου;!

Αλλά κοίτα:

ας σημειώσουμε τη μέση της άκρης και ας σχεδιάσουμε και. Αυτοί είναι οι διάμεσοι στο και. Τα τρίγωνα είναι κανονικά και.

Εδώ είναι, ένα θαύμα: αποδεικνύεται ότι, επίσης. Και περαιτέρω, σε όλες τις ευθείες στο επίπεδο, και ως εκ τούτου, και. Αποδείχθηκαν. Και το πιο σημαντικό σημείο ήταν ακριβώς η χρήση του πρόσημου της καθετότητας μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου.

Όταν τα επίπεδα είναι κάθετα

Ορισμός:

Δηλαδή (για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε το θέμα "διεδρική γωνία"), δύο επίπεδα (α) είναι κάθετα εάν αποδειχθεί ότι η γωνία μεταξύ των δύο καθέτων (ες) προς τη γραμμή τομής αυτών των επιπέδων είναι ίση. Και υπάρχει ένα θεώρημα που συνδέει την έννοια των κάθετων επιπέδων με την έννοια της καθετότητας στο χώρο μιας ευθείας και ενός επιπέδου.

Αυτό το θεώρημα ονομάζεται

Κριτήριο καθετότητας επιπέδων.

Ας διατυπώσουμε:

Όπως πάντα, η αποκωδικοποίηση των λέξεων "τότε και μόνο τότε" μοιάζει με αυτό:

• Αν, τότε διέρχεται από την κάθετη προς.

• Αν διέρχεται από την κάθετη προς, τότε.

(φυσικά, εδώ και είναι αεροπλάνα).

Αυτό το θεώρημα είναι ένα από τα πιο σημαντικά στη στερεομετρία, αλλά, δυστυχώς, ένα από τα πιο δύσκολα στην εφαρμογή.

Πρέπει λοιπόν να είστε πολύ προσεκτικοί!

Η διατύπωση λοιπόν είναι:

Και πάλι, αποκρυπτογραφώντας τις λέξεις «τότε και μόνο τότε». Το θεώρημα δηλώνει δύο πράγματα ταυτόχρονα (δείτε την εικόνα):

Ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε αυτό το θεώρημα για να λύσουμε το πρόβλημα.

Μια εργασία: δίνεται μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών και.

Λύση:

Λόγω του γεγονότος ότι σε μια κανονική πυραμίδα η κορυφή πέφτει στο κέντρο της βάσης κατά την προβολή, αποδεικνύεται ότι η γραμμή είναι η προβολή της γραμμής.

Αλλά το ξέρουμε ότι σε κανονικό εξάγωνο. Εφαρμόζουμε το θεώρημα των τριών καθέτων:

Και γράψε την απάντηση:

ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Καθετότητα δύο γραμμών.

Δύο ευθείες στο διάστημα είναι κάθετες αν η γωνία είναι μεταξύ τους.

Καθετότητα ευθείας και επιπέδου.

Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο εάν είναι κάθετη σε όλες τις ευθείες σε αυτό το επίπεδο.

Επίπεδη καθετότητα.

Τα επίπεδα είναι κάθετα αν η διεδρική γωνία μεταξύ τους είναι ίση.

Κριτήριο καθετότητας επιπέδων.

Δύο επίπεδα είναι κάθετα αν και μόνο αν το ένα από αυτά διέρχεται από την κάθετο στο άλλο επίπεδο.

Θεώρημα τριών καθέτων:

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ cool.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν έχεις διαβάσει μέχρι το τέλος, τότε είσαι στο 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Καταλάβατε τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, είναι ... είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχημένη περνώντας τις εξετάσεις, για εισαγωγή στο ινστιτούτο επί του προϋπολογισμού και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, εφ' όρου ζωής.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Άνθρωποι που έλαβαν μια καλή εκπαίδευση, κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έλαβαν. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολύ περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Αλλά σκέψου μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από τους άλλους στις εξετάσεις και τελικά θα είσαι ... πιο ευτυχισμένος;

ΓΕΜΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στις εξετάσεις δεν θα ερωτηθείτε θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση προβλημάτων εγκαίρως.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΛΑ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα το κάνετε εγκαίρως.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε μια συλλογή όπου θέλετε αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τις προτείνουμε.

Για να μπορέσετε να βοηθήσετε με τη βοήθεια των εργασιών μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο -
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σεμιναρίου - Αγοράστε ένα σχολικό βιβλίο - 899 ρούβλια

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για όλη τη διάρκεια ζωής του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Ξέρω πώς να λύνω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε!

ΚΕΙΜΕΝΟ ΕΞΗΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:

Η ιδέα ενός αεροπλάνου στο διάστημα σάς επιτρέπει να αποκτήσετε, για παράδειγμα, την επιφάνεια ενός τραπεζιού ή ενός τοίχου. Ωστόσο, ένα τραπέζι ή ένας τοίχος έχει πεπερασμένες διαστάσεις και το επίπεδο εκτείνεται πέρα ​​από τα όριά τους στο άπειρο.

Θεωρήστε δύο τεμνόμενα επίπεδα. Όταν τέμνονται σχηματίζουν τέσσερις δίεδρες γωνίες με κοινή άκρη.

Ας θυμηθούμε τι είναι η δίεδρη γωνία.

Στην πραγματικότητα, συναντάμε αντικείμενα που έχουν σχήμα διεδρικής γωνίας: για παράδειγμα, μια μισάνοιχτη πόρτα ή έναν μισάνοιχτο φάκελο.

Στη διασταύρωση δύο επιπέδων άλφα και βήτα, έχουμε τέσσερις διεδρικές γωνίες. Έστω μια από τις δίεδρες γωνίες ίση με (phi), τότε η δεύτερη είναι ίση με (1800 -), η τρίτη, τέταρτη (1800-).

Εξετάστε την περίπτωση που μία από τις διεδρικές γωνίες είναι ίση με 900.

Τότε, όλες οι διεδρικές γωνίες σε αυτή την περίπτωση είναι ίσες με 900.

Ας εισαγάγουμε τον ορισμό των κάθετων επιπέδων:

Δύο επίπεδα λέγονται κάθετα εάν η διεδρική γωνία μεταξύ τους είναι 90°.

Η γωνία μεταξύ των επιπέδων σίγμα και έψιλον είναι 90 μοίρες, που σημαίνει ότι τα επίπεδα είναι κάθετα

Ας δώσουμε παραδείγματα κάθετων επιπέδων.

Τοίχος και οροφή.

Πλαϊνός τοίχος και τραπεζάκι.

Ας διατυπώσουμε ένα πρόσημο καθετότητας δύο επιπέδων:

ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν ένα από τα δύο επίπεδα διέρχεται από μια ευθεία κάθετη στο άλλο επίπεδο, τότε αυτά τα επίπεδα είναι κάθετα.

Ας αποδείξουμε αυτό το χαρακτηριστικό.

Κατά συνθήκη, είναι γνωστό ότι η ευθεία ΑΜ βρίσκεται στο επίπεδο α, η ευθεία ΑΜ είναι κάθετη στο επίπεδο β,

Να αποδείξετε: τα επίπεδα α και β είναι κάθετα.

Απόδειξη:

1) Τα επίπεδα α και β τέμνονται κατά μήκος της ευθείας ΑΡ, ενώ το ΑΜ ΑΡ, αφού το ΑΜ β από την συνθήκη, δηλαδή το ΑΜ είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία που βρίσκεται στο επίπεδο β.

2) Ας χαράξουμε μια ευθεία ΑΤ κάθετη στην ΑΡ στο επίπεδο β.

Παίρνουμε τη γωνία TAM - τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας. Όμως η γωνία ΤΑΜ = 90°, αφού ΜΑ β. Ως εκ τούτου, α β.

Q.E.D.

Από το πρόσημο της καθετότητας δύο επιπέδων, έχουμε μια σημαντική συνέπεια:

ΣΥΝΕΠΕΙΣΗ: Ένα επίπεδο κάθετο σε μια ευθεία κατά μήκος της οποίας τέμνονται δύο επίπεδα είναι κάθετο σε καθένα από αυτά τα επίπεδα.

Δηλαδή: αν α∩β=σ και γ σ, τότε γ α και γ β.

Ας αποδείξουμε αυτό το συμπέρασμα: αν το επίπεδο γάμμα είναι κάθετο στην ευθεία c, τότε, λόγω του παραλληλισμού των δύο επιπέδων, το γάμμα είναι κάθετο στο άλφα. Ομοίως, το γάμμα είναι κάθετο στη βήτα.

Ας επαναδιατυπώσουμε αυτό το συμπέρασμα για μια διεδρική γωνία:

Το επίπεδο που διέρχεται από τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας είναι κάθετο προς την άκρη και τις όψεις αυτής της διεδρικής γωνίας. Με άλλα λόγια, εάν έχουμε κατασκευάσει μια γραμμική γωνία μιας διεδρικής γωνίας, τότε το επίπεδο που διέρχεται από αυτήν είναι κάθετο στην άκρη και τις όψεις αυτής της διεδρικής γωνίας.

Δίνονται: ΔABC, C = 90°, AC βρίσκεται στο επίπεδο α, γωνία μεταξύ των επιπέδων α και ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.

Να βρείτε: απόσταση από το σημείο Β έως το επίπεδο α.

1) Ας κατασκευάσουμε το VC α. Τότε το CS είναι η προβολή του BC σε αυτό το επίπεδο.

2) BC AS (κατά συνθήκη), επομένως, από το θεώρημα των τριών καθέτων (TTP), CS AS. Επομένως, VSK είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας μεταξύ του επιπέδου α και του επιπέδου του τριγώνου ABC. Δηλαδή, WSC = 60°.

3) Από το ΔBCA σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Απάντηση VK ισούται με 6 ρίζες των τριών cm

Πρακτική χρήση (εφαρμοσμένος χαρακτήρας) της καθετότητας δύο επιπέδων.

Διάλεξη με θέμα "Ένα σημάδι της καθετότητας δύο επιπέδων"

Η ιδέα ενός αεροπλάνου στο διάστημα σάς επιτρέπει να αποκτήσετε, για παράδειγμα, την επιφάνεια ενός τραπεζιού ή ενός τοίχου. Ωστόσο, ένα τραπέζι ή ένας τοίχος έχει πεπερασμένες διαστάσεις και το επίπεδο εκτείνεται πέρα ​​από τα όριά τους στο άπειρο.

Θεωρήστε δύο τεμνόμενα επίπεδα. Όταν τέμνονται σχηματίζουν τέσσερις δίεδρες γωνίες με κοινή άκρη.

Ας θυμηθούμε τι είναι η δίεδρη γωνία.

Στην πραγματικότητα, συναντάμε αντικείμενα που έχουν σχήμα διεδρικής γωνίας: για παράδειγμα, μια μισάνοιχτη πόρτα ή έναν μισάνοιχτο φάκελο.

Στη διασταύρωση δύο επιπέδων άλφα και βήτα, έχουμε τέσσερις διεδρικές γωνίες. Έστω μια από τις δίεδρες γωνίες ίση με (phi), τότε η δεύτερη είναι ίση με (180 0 -), τρίτη, τέταρτη (180 0 -).

α καιβ, 0°< 90 °

Εξετάστε την περίπτωση που μία από τις διεδρικές γωνίες είναι ίση με 90 0 .

Τότε, όλες οι διεδρικές γωνίες σε αυτή την περίπτωση είναι ίσες με 90 0 .

διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδωνα καιβ,

90º

Ας εισαγάγουμε τον ορισμό των κάθετων επιπέδων:

Δύο επίπεδα λέγονται κάθετα εάν η διεδρική γωνία μεταξύ τους είναι 90°.

Η γωνία μεταξύ των επιπέδων σίγμα και έψιλον είναι 90 μοίρες, που σημαίνει ότι τα επίπεδα είναι κάθετα

Επειδή =90°

Ας δώσουμε παραδείγματα κάθετων επιπέδων.

Τοίχος και οροφή.

Πλαϊνός τοίχος και τραπεζάκι.

Τοίχος και οροφή

Ας διατυπώσουμε ένα πρόσημο καθετότητας δύο επιπέδων:

ΘΕΩΡΗΜΑ:Αν ένα από τα δύο επίπεδα διέρχεται από μια ευθεία κάθετη στο άλλο επίπεδο, τότε αυτά τα επίπεδα είναι κάθετα.

Ας αποδείξουμε αυτό το χαρακτηριστικό.

Με την υπόθεση, είναι γνωστό ότι η γραμμήΗ ΑΜ βρίσκεται στο επίπεδο α, η ευθεία ΑΜ είναι κάθετη στο επίπεδο β,

Να αποδείξετε: τα επίπεδα α και β είναι κάθετα.

Απόδειξη:

1) Επίπεδα α καιβ τέμνονται κατά μήκος της ευθείας AR, ενώ το AM AR, αφού το AM β από την συνθήκη, δηλαδή το AM είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία βρίσκεται στο επίπεδο β.

2) Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο βΕΝΑΤ κάθετοςΕΝΑR.

Παίρνουμε τη γωνία ΤΕΝΑM είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας. Αλλά η γωνία ΤΕΝΑΜ = 90°, αφού ΜΑ β. Ως εκ τούτου, α β.

Q.E.D.

ΘΕΩΡΗΜΑ:Εάν ένα επίπεδο διέρχεται από μια ευθεία κάθετη σε ένα άλλο επίπεδο, τότε αυτά τα επίπεδα είναι κάθετα.

Δεδομένος:α, β, ΑΜ α, ΑΜβ, ΑΜ∩=Α

Απόδειξη: αβ.

Απόδειξη:

1) α∩β = АР, ενώ το ΑΜ ΑΡ, αφού το ΑΜ β από την συνθήκη, δηλαδή το ΑΜ είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία που βρίσκεται στο επίπεδο β.

2) ΑΤβ,ΕΝΑΤΕΝΑR.

Το TAM είναι η γραμμική γωνία μιας διεδρικής γωνίας. ΤΑΜ = 90°, γιατί ΜΑ β. Ως εκ τούτου, α β.

Q.E.D

Από το πρόσημο της καθετότητας δύο επιπέδων, έχουμε μια σημαντική συνέπεια:

ΣΥΝΕΠΕΙΑ:Ένα επίπεδο κάθετο σε μια ευθεία κατά μήκος της οποίας τέμνονται δύο επίπεδα είναι κάθετο σε καθένα από αυτά τα επίπεδα.

Ας αποδείξουμε αυτό το συμπέρασμα: αν το επίπεδο γάμμα είναι κάθετο στην ευθεία c, τότε, λόγω του παραλληλισμού των δύο επιπέδων, το γάμμα είναι κάθετο στο άλφα. Ομοίως, το γάμμα είναι κάθετο στη βήτα.

Δηλαδή: αν α∩β=σ και γσ, τότε γα και γβ.

επειδήγс και σα από το πρόσημο της καθετότητας γα.

Ομοίως, γ β

Ας επαναδιατυπώσουμε αυτό το συμπέρασμα για μια διεδρική γωνία:

Το επίπεδο που διέρχεται από τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας είναι κάθετο στην άκρη και τις όψεις αυτής της διεδρικής γωνίας. Με άλλα λόγια, εάν έχουμε κατασκευάσει μια γραμμική γωνία μιας διεδρικής γωνίας, τότε το επίπεδο που διέρχεται από αυτήν είναι κάθετο στην άκρη και τις όψεις αυτής της διεδρικής γωνίας.

Μια εργασία.

Δίνεται: ΔABC, C = 90°, το AC βρίσκεται στο επίπεδο α, η γωνία μεταξύ των επιπέδων α καιαλφάβητο= 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.

Να βρείτε: απόσταση από το σημείο Β στο επίπεδο α.

Λύση:

1) Ας κατασκευάσουμε το VC α. Τότε το CS είναι η προβολή του BC σε αυτό το επίπεδο.

2) BC AS (κατά συνθήκη), επομένως, από το θεώρημα των τριών καθέτων (TTP), CS AS. Επομένως, VSK είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας μεταξύ του επιπέδου α και του επιπέδου του τριγώνου ABC. Δηλαδή, WSC = 60°.

3) Από το ΔBCA σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Από το ΔVKS: