Определените интеграли са площта на ограничена фигура. Как да изчислим площта на равнинна фигура с помощта на двойния интеграл? VII. Домашна работа

Използвайки определен интеграл, можете да изчислите площите на равнинни фигури, тъй като този проблем винаги се свежда до изчисляване на площите на криволинейни трапеци.

Площта на всяка фигура в правоъгълна координатна система може да бъде съставена от областите на криволинейни трапеци, съседни на оста оили към оста OU.

Удобно е да се решават задачи за изчисляване на площите на равнинни фигури по следния план:

1. Според условието на задачата направете схематичен чертеж

2. Представете желаната площ като сбор или разлика от площите на криволинейни трапеци. От условията на задачата и чертежа се определят границите на интегриране за всяка компонента на криволинейния трапец.

3. Запишете всяка функция като y = f(x).

4. Изчислете площта на всеки криволинеен трапец и площта на желаната фигура.

Обмислете няколко варианта за местоположението на фигурите.

един). Нека върху сегмента [ а; b] функция f(x)приема неотрицателни стойности. След това графиката на функцията y = f(x)разположен над оста о.

S=

2). Нека върху сегмента [ а; b] неположителна непрекъсната функция f(x).След това графиката на функцията y = f(x)разположен под оста о:

Площта на такава фигура се изчислява по формулата: S=-

Площта на такава фигура се изчислява по формулата: S=

четири). Нека върху сегмента [ а; b] функция f(x)приема както положителни, така и отрицателни стойности. Тогава сегментът [ а; b] трябва да бъдат разделени на такива части, във всяка от които функцията не променя знака, след което, използвайки горните формули, изчислете областите, съответстващи на тези части, и добавете намерените области.

S 1 \u003d S 2 \u003d - S f \u003d S 1 + S 2

Всъщност, за да намерите площта на фигура, не се нуждаете от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата "изчислете площта с помощта на определен интеграл" винаги включва изграждането на чертеж, така че вашите знания и умения за рисуване ще бъдат много по-подходящ въпрос. В тази връзка е полезно да опресните паметта на графиките на основните елементарни функции и като минимум да можете да изграждате права линия и хипербола.

Криволинейният трапец е плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графика на непрекъсната функция върху сегмент, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоабсциса:

Тогава площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение.

От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩТА.

Това е,определеният интеграл (ако съществува) съответства геометрично на площта на някаква фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Подинтегралната функция определя крива на равнината, която се намира над оста (желаещите могат да допълнят чертежа), а самият определен интеграл е числено равна на площсъответстващ криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типична постановка на задача. Първият и най-важен момент от решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде изграден ДЯСНО.

Когато изграждате план, препоръчвам следния ред: първипо-добре е да конструирате всички линии (ако има такива) и само след- параболи, хиперболи, графики на други функции. Функционалните графики са по-изгодни за изграждане точково.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека направим чертеж (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

На сегмента е разположена графиката на функцията над ос, Ето защо:

Отговор:

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай "на око" преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, около 9 ще бъдат въведени, изглежда вярно. Съвсем ясно е, че ако имахме, да речем, отговора: 20 квадратни единици, значи явно някъде е допусната грешка - 20 клетки явно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът се окаже отрицателен, значи задачата също е решена неправилно.

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим рисунка:

Ако се намира криволинейният трапец под ос(или поне не по-високададена ос), тогава неговата площ може да се намери по формулата:

В такъв случай:

внимание! Не бъркайте двата типа задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що разгледаната формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии, .

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от пресечните точки на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен. Решаваме уравнението:

Следователно, долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.

Най-добре е да не използвате този метод, ако е възможно..

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линиите точка по точка, докато границите на интеграция се откриват сякаш „от само себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на границите все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или нишковата конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщаме се към нашата задача: по-рационално е първо да изградим права линия и едва след това парабола. Да направим чертеж:

А сега и работещата формула: Ако има някаква непрекъсната функция на интервала по-голямо или равнонякаква непрекъсната функция, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии, може да се намери по формулата:

Тук вече не е необходимо да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, има значение коя графика е ГОРЕ(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършването на решението може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

Пример 4

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Нека първо направим чертеж:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо.(внимателно погледнете състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва „бъг“, че трябва да намерите областта на фигурата, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че в него площта на фигурата се изчислява с помощта на два определени интеграла.

Наистина ли:

1) На сегмента над оста има графика с права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Инструкция

При начертаване на две зададени функции в областта на тяхното пресичане се образува затворена фигура, ограничена от тези криви и две прави x=a и x=b, където a и b са краищата на разглеждания интервал. Тази фигура е визуално показана с черта. Площта му може да се изчисли чрез интегриране на разликата на функциите.

Функцията, разположена по-високо на графиката, е по-голяма стойност, следователно във формулата нейният израз ще бъде първият: S = ∫f1 - ∫f2, където f1 > f2 на интервала [a, b]. Въпреки това, като се има предвид, че количественото отношение на всеки геометричен обект е положителна стойност, можете да изчислите площта на фигурата, графиките на функциите, модулно:
S = |∫f1 – ∫f2|.

Тази опция е още по-удобна, ако няма възможност или време за изграждане на графика. При изчисляване се използва правилото на Нютон-Лайбниц, което включва заместване на граничните стойности на интервала в крайния резултат. Тогава площта на фигурата е равна на разликата между двете стойности на антипроизводната, открити на етапа на интегриране, от по-голямата F(b) и по-малката F(a).

Понякога затворена фигура на даден интервал се образува от пълно пресичане, т.е. краищата на интервала са точки, принадлежащи на двете криви. Например: намерете пресечните точки на линиите y \u003d x / 2 + 5 и y \u003d 3 x - x² / 4 + 3 и изчислете площта.

Решение.
За да намерите пресечните точки, напишете уравнението:
x / 2 + 5 \u003d 3 x - x² / 4 + 3 → x² - 10 x + 8 \u003d 0
D \u003d 100 - 64 \u003d 36 → x1,2 \u003d (10 ± 6) / 2.

И така, намерихте краищата на интеграционния интервал:
S \u003d |∫ (3 x - x² / 4 + 3 - x / 2 - 5)dx | \u003d | (5 x² / 4 - x³ / 12 - 2 x) | ≈ 59.

Помислете за друг пример: y1 = √(4 x + 5); y2 \u003d x и е дадено уравнението на правата x \u003d 3.
В тази задача е даден само един край на интервала x=3. Това означава, че втората стойност трябва да се намери от графиката. Начертайте линиите, дадени от функциите y1 и y2. Очевидно x=3 е горна граница, така че трябва да се определи долна граница. За да направите това, приравнете изразите:
√(4 x + 5) = x²
4 x + 5 = x² → x² - 4 x - 5 = 0

Намерете корените на уравнението:
D \u003d 16 + 20 \u003d 36 → x1 \u003d 5; х2 = -1.
Погледнете графиката, долната стойност на интервала е -1. Тъй като y1 се намира над y2, тогава:
S \u003d ∫ (√ (4 x + 5) - x) dx на интервала [-1; 3].
S \u003d (1/3 √ ((4 x + 5) ³) - x² / 2) \u003d 19.

източници:

• намерете площта на фигура, ограничена от графика на функция

Съвет 2: Как да изчислим площта на фигура, ограничена от линии

Инструкция

Изчислете пресечните точки на тези прави. За да направите това, имате нужда от техните функции, където y ще бъде изразено чрез x1 и x2. Напишете система от уравнения и я решете. x1 и x2, които намерихте, са абсцисите на точките, от които се нуждаете. Заменете ги в оригинала за всеки x и намерете стойностите на ординатите. Сега имате точките на пресичане на линиите.

Конструирайте пресичащи се прави според техните функции. Ако фигурата се окаже отворена, тогава в повечето случаи тя също е ограничена от абсцисната или ординатната ос, или от двете координатни оси наведнъж (в зависимост от получената фигура).

Засенчете получената форма. Това е стандартна техника за справяне с подобни задачи. Щриховката се извършва от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл с линии на еднакво разстояние. На пръв поглед изглежда изключително трудно, но ако се замислите, винаги е едно и също и като ги запомните, по-късно можете да се отървете от проблемите, свързани с изчисляването на площта.

Изчислете площта на фигура в зависимост от нейната. Ако формата е проста (като квадрат, триъгълник, ромб и други), тогава използвайте основните формули от курса по геометрия. Бъдете внимателни, когато изчислявате, защото неправилните изчисления няма да дадат желания резултат и цялата работа може да бъде напразна.

Извършете сложни формулни изчисления, ако цифрата не е стандартна. За да формулирате формула, изчислете интеграла от разликата на формулите на функцията. За да намерите интеграла, можете да използвате формулата на Нютон-Лайбниц или основната теорема на анализа. То се състои в следното: ако функция f е непрекъсната на отсечка от a до b и ɸ е нейната производна на тази отсечка, тогава е валидно следното равенство: интегралът от a до b на f(x)dx = F(b ) - F(a) .

Геометричният смисъл на определен интеграл е площта на криволинейния трапец. За да се намери площта на фигура, ограничена от линии, се използва едно от свойствата на интеграла, което се състои в адитивността на областите, интегрирани в същия сегмент от функции.

Инструкция

Тогава площта на фигурата може да се изрази с формула, интегрираща разликата на функциите на интервала. Интегралът се изчислява в съответствие със закона на Нютон-Лайбниц, според който резултатът е равен на разликата на функцията на производната от граничните стойности на интервала.

Пример1.
Намерете площта на фигура, ограничена от прави линии y = -1/3 x - ½, x = 1, x = 4 и парабола y = -x² + 6 x - 5.

Решение.
Начертайте всички линии. Можете да видите, че линията на параболата е над правата линия y = -1/3 x - ½. Следователно под знака на интеграла в този случай трябва да стои разликата между уравнението на параболата и дадената права линия. Интервалът на интегриране съответно е между точките x = 1 и x = 4:
S \u003d ∫ (-x² + 6 x - 5 - (-1/3 x - 1/2)) dx \u003d (-x² + 19/3 x - 9/2) dx върху сегмента.

Намерете първоизводната за получения интегранд:
F(-x² + 19/3x - 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² - 9/2x.

Заменете стойностите на краищата на сегмента:
S = (-1/3 4³ + 19/6 4² - 9/2 4) - (-1/3 1³ + 19/6 1² - 9/2 1) = 13.

Пример2.
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = √(x + 2), y = x и правата x = 7.

Решение.
Тази задача е по-трудна от предишната, защото няма втора права, успоредна на оста x. Това означава, че втората гранична стойност на интеграла е неопределена. Следователно трябва да се намери от графиката. Изградете дадените линии.

Ще видите, че правата линия y = x минава диагонално по отношение на координатните оси. А графиката на коренната функция е положителната половина на параболата. Очевидно линиите на графиката се пресичат, така че пресечната точка ще бъде долната граница на интегриране.

Намерете пресечната точка, като решите уравнението:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 → x² - x - 2 = 0.

Определете корени квадратно уравнениеизползвайки дискриминанта:
D = 9 → x1 = 2; х2 = -1.

Очевидно стойността -1 не е подходяща, тъй като абсцисата на пресичащите се токове е положителна стойност. Следователно втората граница на интегриране е x = 2. Функцията y = x на графиката е по-висока от функцията y = √(x + 2), така че ще бъде първата в интеграла.
Интегрирайте получения израз върху интервала и намерете площта на фигурата:
S = ∫(x - √(x + 2))dx = (x²/2 – 2/3 (x + 2)^(3/2)).

Заместващи интервални стойности:
S \u003d (7² / 2 - 2/3 9 ^ (3/2)) - (2² / 2 - 2/3 4 ^ (3/2)) \u003d 59/6.

източници:

• намерете областта, оградена от линиите

Съвет 4: Как да изчислим площта на фигура, ограничена от парабола

От училищния курс също е известно, че за да се намерят площите на фигурите в координатната равнина, е необходимо познаване на такова понятие като интеграл. За да го използвате, за да определите площите на криволинейните трапеци - точно така се наричат ​​тези фигури - достатъчно е да знаете определени алгоритми.

клас: 11

Презентация към урока

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока:изведе формула за изчисляване на площите на плоски фигури с помощта на определен интеграл; да се формира умението за изчисляване на площите на плоски фигури с помощта на определен интеграл; повторете известната и докладвайте нова информация от историята на интегралното смятане; подготовка за изпит; продължете да работите върху развитието на вниманието, речта, логично мислене, точност при записване; подобряване на графичната култура; продължете работата по разработката креативностстуденти; повишаване на интереса към изучаването на математика;

Оборудване:мултимедиен проектор, екран, презентация по темата, разработена в среда на Power Point.

По време на часовете

I. Организационен момент, послание на темата и целта на урока.

II. Проверка на домашните.

Проверка на допълнителна домашна работа (учителят показва решението на предварително подготвен чертеж, решението е на гърба на дъската):

Изчислете площта на фигурата, ограничена от графиките на функциите y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0

III. Актуализиране на основни знания.

1. Устна работа(Слайдове 3-4)

1. Изразете, като използвате интеграла на площта на фигурите, показани на фигурите:
2. Изчислете интеграли:

2. Малко история. (Слайдове 5-9)

Фрагмент от компютърен проект на студенти по темата "От историята на интегралното смятане."

1 ученик

Интеграл- едно от най-важните понятия на математиката, възникнало във връзка с необходимостта, от една страна, да се намерят функции чрез техните производни, а от друга страна, да се измерят площи, обеми, дължини на дъги, работата на силите над определен период от време и др.

Измислена е самата дума интеграл И. Бернули(1690). Произлиза от лат цяло число, се превежда като възстановяване на предишното състояние, възстановяване.

Други термини, свързани с интегралното смятане, които знаете, се появяват много по-късно. Името се използва сега противопроизводна функциязамени предишния "примитивна функция"въведен от Джоузеф Луис Лагранж(1797). латинска дума примитивуссе превежда като "начален".

Появата на проблемите на интегралното смятане е свързана с намирането на площи и обеми. Редица проблеми от този вид са решени от математиците древна Гърция. Първият известен метод за изчисляване на интеграли е методът на изчерпване на Евдокс ( относно 370 пр.н.е пр. н. е.), който се опита да намери области и обеми, като ги раздели на безкраен брой части, за които площта или обемът вече са известни. Този метод е подбран и разработен от Архимед и е използван за изчисляване на площите на параболите и приблизително площта на кръг.

Въпреки това, Архимед не отдели общото съдържание на интегралните методи и концепции за интеграла и още повече не създаде алгоритъм за интегрално смятане.

Трудовете на Архимед, създадени за първи път през 1544 г., са една от най-важните отправни точки за развитието на интегралното смятане.

2 ученик

Концепцията за интеграл е пряко свързана с интегралното смятане - дял от математиката, който изучава интегралите, техните свойства и методи за изчисляване.

По-близък и по-точен до концепцията за интеграла Исак Нютон. Той беше първият, който изгради диференциално и интегрално смятане и го нарече „Метод на флуксиите...“ (1670-1671, публикуван. 1736). Променливите величини, наречени от Нютон fluents(текущи стойности, от лат. fluo - поток). Скоростта на промяна на флуента на Нютон е потоци, а безкрайно малките плавни промени, необходими за изчисляване на флуктуациите, са " моменти"(Лайбниц ги нарече диференциали). По този начин Нютон постави основата на понятията за потоци (производна) и флуенти (противопроизводна или неопределен интеграл).

Това веднага направи възможно решаването на голямо разнообразие от математически и физически проблеми.

Едновременно с Нютон друг изключителен учен стига до подобни идеи - Готфрид Вилхелм Лайбниц.

Размишлявайки върху философски и математически въпроси, Лайбниц се убеждава, че математиката може да стане най-надеждното средство за търсене и намиране на истината в науката. Интегралният знак (∫) е използван за първи път от Лайбниц в края на 17 век. Този символ е образуван от буквата S - съкращение на думата лат. сума(сума).

Нютон и Лайбниц развиват две интерпретации на концепцията за обикновен определен интеграл.

Нютон интерпретира определения интеграл като разликата между съответните стойности на антипроизводната функция:

,
където F`(x)=f(x).

За Лайбниц определеният интеграл е сумата от всички безкрайно малки диференциали.

Формулата, която Нютон и Лайбниц независимо откриват, се нарича Формула на Нютон-Лайбниц.

По този начин понятието интеграл се свързва с имената на известни учени: Нютон, Лайбниц, Бернули, които полагат основите на съвременния математически анализ.

IV. Обяснение на нов материал.

Използвайки интеграла, можете да изчислите площта не само на криволинейни трапеци, но и на равнинни фигури от по-сложен тип.

Нека фигурата Пограничен до прав х = а, х = bи функционални графики г = f(х) и г = ж(х), и на сегмента [ а;b] ж(х)f(х).

За да изчислим площта на фигура, ще аргументираме следното. Извършете паралелен превод на фигурата Пна мединици нагоре, така че фигурата Псе оказа, че се намира в координатната равнина над оста x.

Сега тя е ограничена отгоре и отдолу от функционални графики г = f(х)+ми

г = ж(х)+ми двете функции са непрекъснати и неотрицателни на сегмента [ а;b].

Нека обозначим получената фигура ABCD. Площта му може да се намери като разликата между площите на фигурите:

S ABCD = S aDCb - S aABb = =
=

По този начин площта на фигурата S, ограничена от прави линии х = а, х = bи функционални графики г = f(х) и г = ж(х), непрекъснат на интервала [ а;b] и такива, че за всички хот сегмента [ а;b] ж(х)f(х), се изчислява по формулата

Пример.(Слайд 11) Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии г = х, г = 5 – х, х = 1, х = 2.

Изберете от тези формули за изчисляване на площта на фигурата тази, която отговаря на един от шестте чертежа. (Слайд 14)

Задача 3.(Слайд 15) Изчислете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията г = 0,5х 2+ 2, допирателна към тази графика в точката с абсцисата х= -2 и директно х = 0.

1. Съставете уравнението на допирателната към графиката на функцията г = 0,5х 2+ 2 в точката с абсцисата х = -2:

г = f(x0) + f"(x0)(х-х0)
f(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
f"(х) = (0,5х 2 + 2)"= х
f"(-2) = -2
г = 4 – 2(х + 2)
г = -2х

2. Да построим графики на функции.

3. Намерете площта на фигурата ABC.

VI. Обобщаване.

• формула за изчисляване на площите на равнинни фигури;
• писане на формули за площите на плоски фигури с помощта на определен интеграл;
• повторение на уравнението на допирателната към графиката на функцията и решение на уравнението с модула;
• класиране на учениците.

VII. Домашна работа.

1. с. 4 с. 228-230;
2. #1025(c, d), #1037(c, d), #1038(c, d)

учебник: А. Г. Мордкович "Алгебра и началото на анализа 10–11"

26. Изчисляване на площите на равнинни фигури с помощта на определен интеграл

Определение 1.Криволинеен трапецгенерирани от графиката на неотрицателна функция fвърху сегмент се нарича фигура, ограничена от сегмент
абсцисната ос, прави сегменти
,
и функционална графика
на
.

1. Нека разделим сегмента
точки в частични сегменти.

2. Във всеки сегмент
(където к=1,2,...,н) изберете произволна точка .

3. Изчислете повърхнините на правоъгълници, чиято основа има отсечки
абсцисни оси, а височините имат дължини
. Тогава площта на стъпаловидната фигура, образувана от тези правоъгълници, е равна на
.

Обърнете внимание, че колкото по-малка е дължината на частичните сегменти, толкова по-близо до даден криволинеен трапец е стъпаловидната фигура. Затова е естествено да се даде следното определение.

Определение 2.Площта на криволинейния трапец,генерирани от графиката на неотрицателна функция fна сегмента
, границата се нарича (тъй като дължините на всички частични сегменти клонят към 0) на площите на стъпаловидни фигури, ако:

1) тази граница съществува и е крайна;

2) не зависи от метода на разделяне на сегмента
на частични сегменти;

3) не зависи от избора на точки
.

Теорема 1.Ако функцията
непрекъснат и неотрицателен на сегмента
, след това криволинейния трапецЕ,генерирани от графиката на функциятаfна
, има площ, която се изчислява по формулата
.

С помощта на определен интеграл можете да изчислите площите на плоски фигури и по-сложна форма.

Ако fи ж- непрекъснат и неотрицателен на сегмента
функции и за всички хот сегмента
неравенството
, след това площта на фигурата Е, ограничени с прави линии
,
и функционални графики
,
, се изчислява по формулата
.

Коментирайте.Ако отхвърлим условието за неотрицателност на функциите fи ж, последната формула остава вярна.

Тема 9. Диференциални уравнения

27. Понятието диференциално уравнение. Общо и частно решение. Проблем с Коши. Проблемът за изграждане на математически модел на демографския процес

Теорията на диференциалните уравнения възниква в края на 17 век под влияние на нуждите на механиката и другите естествени науки, по същество едновременно с интегралното и диференциалното смятане.

Определение 1.н-та поръчкае уравнение във вида, в който
- неизвестна функция.

Определение 2.функция
се нарича решения на диференциалното уравнение на интервала аз, ако, когато тази функция и нейните производни се заместят, диференциалното уравнение се превръща в идентичност.

Решете диференциално уравнениее да се намерят всички негови решения.

Определение 3.Графиката за решаване на диференциално уравнение се нарича интегрална кривадиференциално уравнение.

Определение 4.Обикновено диференциално уравнение 1-та поръчкасе нарича уравнение от вида
.

Определение 5.Типово уравнение
Наречен диференциално уравнение 1-та поръчка,позволено по отношение на деривата.

По правило всяко диференциално уравнение има безкрайно много решения. За да се отдели едно решение от съвкупността от всички решения, трябва да се наложат допълнителни условия.

Определение 6.Добро състояние
, наложена върху решението на диференциалното уравнение от 1-ви ред, се нарича начално състояние, или Състояние на Коши.

Геометрично това означава, че съответната интегрална крива минава през точката
.

Определение 7.Общо решениеДиференциално уравнение от 1-ви ред
на равна площ дсе нарича еднопараметрично семейство от функции
, отговарящи на условията:

1) за всякакви
функция
е решение на уравнението;

2) за всяка точка
има стойност на параметър
че съответната функция
е решение на уравнението, което удовлетворява началното условие
.

Определение 8.Решението, получено от общото решение за някаква стойност на параметъра, се нарича частно решениедиференциално уравнение.

Определение 9.специално решениеДиференциално уравнение е всяко решение, което не може да бъде получено от общото решение за която и да е стойност на параметъра.

Решаването на диференциални уравнения е много трудна задача и най-общо казано, колкото по-висок е редът на уравнението, толкова по-трудно е да се посочат начини за решаване на уравнението. Дори за диференциални уравнения от първи ред е възможно само в малък брой специални случаи да се посочат методи за намиране на общо решение. Освен това в тези случаи желаното решение не винаги е елементарна функция.

Един от основните проблеми в теорията на диференциалните уравнения, изследван за първи път от О. Коши, е да се намери решение на диференциално уравнение, което да отговаря на дадени начални условия.

Например винаги ли има решение на диференциалното уравнение
, отговарящи на началното условие
, и дали ще е единственият? Най-общо казано, отговорът е не. Наистина, уравнението
, чиято дясна страна е непрекъсната в цялата равнина, има решения г=0 и г=(х+° С) 3 ,° СР . Следователно, през всяка точка на оста O хпреминава през две интегрални криви.

Следователно функцията трябва да отговаря на някои изисквания. Следващата теорема съдържа един от вариантите на достатъчни условия за съществуване и уникалност на решение на диференциалното уравнение
, отговарящи на началното условие
.