Как да намерите площта на триъгълник са известни страни. Как да изчислим площта на триъгълник

Повече от 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник могат да бъдат намерени в интернет.Много от тях се използват в задачи с известни партиии ъглите на триъгълника. Има обаче редица сложни примери, при които според условието на заданието са известни само една страна и ъгли на триъгълника или радиусът на описаната или вписана окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула.

Формулите по-долу ще решат 95 процента от задачите, в които трябва да намерите площта на триъгълник.
Нека да преминем към разглеждането на формулите за обща площ.
Помислете за триъгълника, изобразен на фигурата по-долу

На фигурата и по-нататък във формулите са въведени класическите обозначения на всички негови характеристики
a,b,c са страните на триъгълника,
R е радиусът на описаната окръжност,
r е радиусът на вписаната окръжност,
h[b],h[a],h[c] - височини, начертани в съответствие със страни a,b,c.
алфа, бета, хама - ъгли близо до върховете.

Основни формули за площта на триъгълник

1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника и височината, спусната до тази страна. На формулен език тази дефиниция може да бъде написана като

Така, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери площта.
Между другото, една полезна връзка между височините може да бъде извлечена от тази формула

2. Ако вземем предвид, че височината на триъгълника през съседната страна се изразява чрез зависимостта

След това от първата формула на областта следват същия тип на втората

Разгледайте внимателно формулите - лесно се запомнят, защото произведението има две страни и ъгъл между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както на фигурата по-горе), получаваме две страни a,b а ъгълът е свързан с третия C (хамма).

3. За ъглите на триъгълник отношението

Зависимостта ви позволява да прилагате следните формули за площта на триъгълник в изчисленията

Примерите за тази зависимост са изключително редки, но трябва да запомните, че има такава формула.

4. Ако страната и двата съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата

5. Формулата за площта по отношение на страна и котангенс на съседни ъгли е както следва

Чрез пренареждане на индексите можете да получите зависимости за другите страни.

6. Формулата за площ по-долу се използва в задачи, когато върховете на триъгълник са дадени на равнината с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминантата по модул.

7. Формула на Херонизползвани в примери с известни страни на триъгълник.
Първо намерете полупериметъра на триъгълника

И след това определете площта по формулата

или

Често се използва в кода на калкулаторните програми.

8. Ако всички височини на триъгълника са известни, то площта се определя по формулата

Трудно е да се изчисли на калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "едно две".

9. Следните формули използват известни радиуси на вписани и описани окръжности.

По-специално, ако радиусът и страните на триъгълник или неговият периметър са известни, тогава площта се изчислява по формулата

10. В примери, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата

11. Следната формула определя площта на триъгълник по отношение на страната и ъглите на триъгълника.

И накрая - специални случаи:
Квадрат правоъгълен триъгълник с крака a и b е равно на половината от произведението им

Формулата за площта на равностранен (правилен) триъгълник=

\u003d една четвърт от произведението на квадрата на страната и корена от трите.

В процес на разглеждане триъгълник ABC, при което ъгъл С- прав.

Страните на този триъгълник са съседни на прав ъгъл(тези. страни AC и BC) са наречени крака, и страната срещу правия ъгъл (т.е. страна AB) — хипотенуза.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако краката са известни

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката му.

Примери.

В триъгълник ABC (ъгъл C \u003d 90º), кракът AC е 5 cm, а кракът BC е 3 cm.Площта на триъгълника ABC е:

SABC = 0,5 5 3 = 7,5 cm2.

В триъгълник MNP (ъгъл N = 90º) катетът PN е 102 mm, а катетът MN е 76 mm. Площта на триъгълника MNP е:

SABC = 0,5 102 76 = 3876 mm2.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако са известни две страни

Необходимо е да разберете кои конкретни страни на правоъгълен триъгълник са известни: два крака или хипотенузата и един от краката, т.к. подходът към решението ще бъде напълно различен. Случаят, когато са известни дължините на два крака, е разгледан по-горе. По-долу разглеждаме случая, когато е известна дължината на хипотенузата и един от краката.

Площ на правоъгълен триъгълник по крака и хипотенузата

Последователността на решението е следната:

Пример.

В триъгълника ABC (ъгъл C \u003d 90º) кракът AC е 6 cm, а хипотенузата AB е 9,22 cm. Дължината на втория крак е

BC \u003d КОРЕН от (9.222 - 62) \u003d 7 cm.

Сега за две известни крака(AC \u003d 6 cm, BC \u003d 7 cm) можете да определите площта на триъгълника:

SABC = 0,5 6 7 = 21 cm2.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако е известна хипотенузата

Невъзможно е да се намери площта на триъгълник само като се знае дължината на хипотенузата му, тъй като хипотенузата не дефинира еднозначно правоъгълен триъгълник. В крайна сметка няколко триъгълника могат да имат еднаква дължина на хипотенузата, но напълно различни дължини на краката и съответно различни области.

Например:

• хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 6 cm, BC = 8 cm, площ S = 0,5 6 8 = 24 cm2;
• хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 5 cm, BC = 8,66 cm, площ S = 0,5 5 8,66 = 21,65 cm2;
• хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 4 cm, BC = 9,165 cm, площ S = 0,5 4 9,165 = 18,33 cm2.

В допълнение към дължината на хипотенузата, за да се определи еднозначно триъгълник, е необходимо да се знае или дължината на един от краката, или стойността на един от острите ъгли.

Определянето на площта на правоъгълен триъгълник от хипотенузата и един от краката е обсъдено по-горе.

Площ на правоъгълен триъгълник, дадена хипотенуза и ъгъл

Знаейки дължината на хипотенузата и стойността на един от острите й ъгли, можете да намерите дължините на двата крака - съседни на този остър ъгъл и противоположни на този ъгъл. Освен това, знаейки дължините на двата крака, можете лесно да определите площта на триъгълника.

Квадрат геометрична фигура - числена характеристика на фигура, показваща размера на тази фигура в квадратни единици. Стандартното обозначение за област е буквата S.

Формули за площ на триъгълник

1. Формулата за площта на триъгълник по отношение на страната и височината.
Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на дължината на страната на триъгълника и дължината на надморската височина, начертана към тази страна.

2. Формулата за площта на триъгълник от три страни.Формула на чапла.

Площта на триъгълник е равна на корен квадратен от произведението, където един от факторите е полупериметърът, а другите три са разликата на полупериметъра от всяка страна на триъгълника.

S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

3. Формулата за площта на триъгълник от двете страни и ъгъла между тях.
Площта на триъгълник е половината от произведението на двете му страни, умножено по синуса на ъгъла между тях.

S = 1/2 a b sin γ

4. Формулата за площта на триъгълник от трите страни и радиуса на описаната окръжност.

Площта на триъгълника е равна на произведението на всичките му страни, разделено на четирите радиуса на описаната около него окръжност.

5. Формулата за площта на триъгълник от трите страни и радиуса на вписания кръг.
Площта на триъгълника е равна на произведението на полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписания кръг.

Обозначения:

S е площта на триъгълника,
a, b, c са дължините на страните на триъгълника,
h е височината на триъгълника,
γ е ъгълът между страни a и b,
r е радиусът на вписаната окръжност,
R е радиусът на описаната окръжност,

p = (a + b + c)/2 е полупериметърът на триъгълника.

Формули за квадратна площ

1. Формулата за площта на квадрат по дължината на страната.
Площта на квадрат е равна на квадрата на дължината на неговата страна.

2. Формулата за площта на квадрат по дължината на диагонала.
Площта на квадрат е половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.

Обозначения:

S е площта на квадрата,
a е дължината на страната на квадрата,
d е дължината на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

Площта на правоъгълник е равна на произведението на дължините на двете му съседни страни.

Обозначения:

S е площта на правоъгълника,
a, b са дължините на страните на правоъгълника.

Формули за площта на успоредник

1. Формулата за площта на успоредник по отношение на дължината на страната и височината.
Площта на успоредник е равна на произведението на дължината на неговата страна и дължината, спусната до тази страна на височината.

S=ах

2. Формулата за площта на успоредник от двете страни и ъгъла между тях.
Площта на успоредник е равна на произведението от дължините на страните му по синуса на ъгъла между тях.

S = a b sinα

3. Формулата за площта на паралелограма по отношение на два диагонала и ъгъла между тях.
Площта на успоредник е равна на половината от произведението на дължините на неговите диагонали, умножени по синуса на ъгъла между тях.

S = 1/2 d 1 d 2 sin γ

Обозначения:

S е площта на успоредника,
a, b са дължините на страните на успоредника,
h е дължината на височината на успоредника,
d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника,
α е ъгълът между страните на успоредника,

γ е ъгълът между диагоналите на успоредника.

Формули за площта на ромба

1. Формулата за площта на ромба по отношение на дължината и височината на страната.
Площта на ромба е равна на произведението от дължината на неговата страна и дължината, паднала до тази страна на височината.

S=ах

2. Формулата за площта на ромба по отношение на дължината на страната и ъгъла.
Площта на ромба е равна на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.

S = a 2 sin α

3. Формулата за площта на ромб по дължините на неговите диагонали.
Площта на ромба е половината от произведението на дължините на неговите диагонали.

S = 1/2 d 1 d 2

Обозначения:

S е площта на ромба,
a е дължината на страната на ромба,
h е дължината на височината на ромба,
α е ъгълът между страните на ромба,
d 1 , d 2 са дължините на диагоналите.

Формули за площ на трапец

1. Формулата за площта на трапец според дължината на основите и височината.
Площта на трапеца е половината от сбора от неговите основи и неговата височина.

S = 1/2 (a + b) h

2. Формула на Херон за трапец.

S = (a + b)/4|a - b| √(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)

Обозначения:

S е площта на трапеца,
a, b са дължините на основите на трапеца,
c, d са дължините на страните на трапеца,

p = a + b + c + d е полупериметърът на трапеца.

Формули за площта на изпъкнал четириъгълник

1. Формулата за площта на четириъгълник по дължината на диагоналите и ъгъла между тях.
Площта на изпъкнал четириъгълник е половината от произведението на неговите диагонали, умножени по синуса на ъгъла между тях.

S = 1/2 d 1 d 2 sin α

Обозначения:

S е площта на четириъгълника,
d 1, d 2 са дължините на диагоналите на четириъгълника,
α е ъгълът между диагоналите на четириъгълника.

2. Формулата за площта на описания четириъгълник (по дължината на периметъра и радиуса на вписания кръг).
Площта на изпъкнал четириъгълник е равна на произведението на полупериметъра и радиуса на вписания кръг.

3. Формулата за площта на четириъгълник по дължината на страните и стойността на противоположните ъгли.

S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 θ

4. Формулата за площта на четириъгълник, около която може да се опише окръжност.

S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)

Обозначения:

S е площта на четириъгълника,
a, b, c, d са дължините на страните на четириъгълника,
p = (a + b + c + d)/2 е полупериметърът на четириъгълника,
θ = (α + β)/2 е полусумата на два противоположни ъгъла на четириъгълника.

Формули за площ на окръжност

1. Формулата за площта на кръг по отношение на радиуса.
Площта на кръга е равна на произведението на квадрата на радиуса и pi.

2. Формулата за площта на кръг по отношение на диаметъра.
Площта на кръга е една четвърт от произведението на квадрата на диаметъра и pi.

S = 1/4 π d2

Обозначения:

S е площта на кръга,
r е дължината на радиуса на окръжността,
d е дължината на диаметъра на кръга;

Формула за площ на елипса

Площта на елипсата е равна на произведението на дължините на голямата и малката полуос на елипсата и числото pi.

Обозначения:

S е площта на елипсата,
a е дължината на голямата полуос на елипсата,
b е дължината на малката полуос на елипсата;

източници:

• ru.onlinemschool.com - формули за площта на геометричните фигури;