ถ้าระนาบหนึ่งตั้งฉากกับอีกระนาบ ดังนั้น สเตอริโอเมทรี เส้นตั้งฉากสองเส้น
หากระนาบหนึ่งในสองระนาบผ่านเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบที่กำหนดจะตั้งฉาก () (รูปที่ 28)
α - เครื่องบิน ในเป็นเส้นตรงตั้งฉากกับมัน β เป็นระนาบที่ผ่านเส้นตรง ใน, และ กับคือ เส้นตรงที่ระนาบ α และ β ตัดกัน
ผลที่ตามมาถ้าระนาบตั้งฉากกับเส้นตัดของระนาบที่กำหนดสองระนาบ มันจะตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้แต่ละระนาบ
งาน 1. พิสูจน์ว่าสามารถลากเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้
การพิสูจน์:
ตามสัจธรรม ฉันมีจุดไม่อยู่บนเส้น ก.โดยทฤษฎีบท 2.1 ผ่านจุด ที่และกำกับ เอระนาบ α สามารถวาดได้ (รูปที่ 29) ตามทฤษฎีบท 2.3 ผ่านจุด แต่ในระนาบ α หนึ่งสามารถวาดเส้นตรงได้ ก.ตามสัจพจน์ C 1 มีจุด จากที่ไม่ใช่ของ α โดยทฤษฎีบท 15.1 ผ่านจุด จากและกำกับ เอระนาบ β สามารถวาดได้ ในระนาบ β โดยทฤษฎีบท 2.3 ผ่านจุด a เราสามารถลากเส้นด้วย ก.เส้นเข้าและ c โดยการก่อสร้างมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว แต่และทั้งสองตั้งฉากกัน
ภารกิจที่ 2ปลายบนของเสาตั้งในแนวตั้งสองเสา คั่นด้วยระยะ 3.4 ม. เชื่อมต่อกันด้วยคานประตู ความสูงของเสาหนึ่งคือ 5.8 ม. และอีกอันคือ 3.9 ม. จงหาความยาวของคานประตู
AC= 5.8m, BD= 3.9 ม. AB- ? (รูปที่.30)
AE = AC - CE = AC - BD= 5.8 - 3.9 = 1.9 (ม.)
โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก ∆ เออีบีเราได้รับ:
AB 2 \u003d AE 2 + EB 2 \u003d AE 2 + CD 2 \u003d ( 1.9) 2 + (3.4) 2 \u003d 15.17 (ม. 2)
AB== 3.9 (ม.)
งาน
เป้า. เรียนรู้การวิเคราะห์ในกรณีที่ง่ายที่สุด การจัดการร่วมกันวัตถุในอวกาศ ใช้ข้อเท็จจริงและวิธีการในการแก้ปัญหาแบบสามมิติ.
1. พิสูจน์ว่าสามารถลากเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงใดก็ได้ในอวกาศ
2. เส้น AB, AC และ AD เป็นเส้นตั้งฉากคู่ ค้นหากลุ่ม SD หาก:
1) AB = 3cm , ดวงอาทิตย์= 7 ซม. AD= 1.5 ซม.
2) VD= 9 ซม. AD= 5 ซม. ดวงอาทิตย์= 16 ซม.
3) AB = c, BC = a, AD = d;
4) BD = c, BC = a, AD = d
3. จุด A อยู่ไกล เอจากจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน ก.จงหาระยะทางจากจุด A ถึงระนาบของสามเหลี่ยม
4. พิสูจน์ว่าถ้าเส้นขนานกับระนาบ จุดทั้งหมดจะอยู่ห่างจากระนาบเท่ากัน
5. สายโทรศัพท์ยาว 15 ม. ลากจากเสาโทรศัพท์ที่ต่อจากพื้นสูง 8 ม. มาที่บ้านซึ่งติดไว้ที่ความสูง 20 ม. จงหาระยะห่างระหว่างบ้าน และเสาโดยถือว่าลวดไม่หย่อนคล้อย
6. จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งบนระนาบ ให้ลากเส้นเอียงสองอัน เท่ากับ 10 ซม. และ 17 ซม. ความแตกต่างในการคาดคะเนของส่วนที่เอียงเหล่านี้คือ 9 ซม. ค้นหาการคาดคะเนของส่วนที่เอียง
7. เส้นเอียงสองเส้นลากจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ โดยเส้นหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกเส้นหนึ่งถึง 26 ซม. ส่วนที่ยื่นออกมาของส่วนเอียงคือ 12 ซม. และ 40 ซม. ให้หาส่วนที่เอียง
8. ลากเส้นเอียงสองเส้นจากจุดหนึ่งไปยังอีกระนาบ จงหาความยาวของส่วนเฉียงหากอยู่ในอัตราส่วน 1:2 และส่วนยื่นของส่วนเอียงคือ 1 ซม. และ 7 ซม.
9. เส้นเอียงสองเส้นลากจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ เท่ากับ 23 ซม. และ 33 ซม. ค้นหา
ระยะห่างจากจุดนี้ไปยังระนาบ ถ้าเส้นโครงของอัตราส่วนเฉียงเป็น 2:3
10. จงหาระยะทางจากกึ่งกลางของส่วน AB ถึงระนาบที่ไม่ตัดกับส่วนนี้ หากระยะห่างจากจุด a และ B ถึงระนาบคือ 1) 3.2 ซม. และ 5.3 ซม. 7.4 ซม. และ 6.1 ซม. 3) และค
11. แก้ปัญหาก่อนหน้านี้ โดยที่ส่วน AB ตัดกับระนาบ
12. ส่วนที่ยาว 1 ม. ตัดกับระนาบ ปลายของมันจะถูกลบออกจากระนาบที่ระยะ 0.5 ม. และ 0.3 ม. ค้นหาความยาวของการฉายภาพของส่วนบนระนาบ ..
13. จากจุด A และ B เส้นตั้งฉากจะหล่นลงมาที่ระนาบ จงหาระยะห่างระหว่างจุด A และ B ถ้าเส้นตั้งฉากคือ 3 ม. และ 2 ม. ระยะห่างระหว่างฐานของจุดทั้งสองคือ 2.4 ม. และส่วน AB ไม่ตัดกับระนาบ
14. จากจุด A และ B ซึ่งอยู่ในระนาบตั้งฉากสองระนาบ เส้นตั้งฉาก AC และ BD จะถูกทิ้งไปที่เส้นตัดของระนาบ ค้นหาความยาวของเซ็กเมนต์ AB ถ้า: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 ม., BD = 4 ม., ซีดี = 12 ม.; 3) AD = 4 ม., BC = 7 ม., ซีดี = 1 ม.; 4) AD = BC = 5 ม., ซีดี = 1 ม.; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c
15. จากจุดยอด A และ B ของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC จะตั้งฉาก AA 1 และ BB 1 กับระนาบของสามเหลี่ยม ค้นหาระยะทางจากจุดยอด C ถึงกึ่งกลางของส่วน A 1 B 1 ถ้า AB \u003d 2 ม., CA 1 \u003d 3 ม., CB 1 \u003d 7 ม. และส่วน A 1 B 1 ไม่ตัดกันระนาบของ สามเหลี่ยม
16. จากจุดยอด A และ B ของมุมแหลม สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC คืนค่าฉากตั้งฉาก AA 1 และ BB 1 ไปยังระนาบของสามเหลี่ยม ค้นหาระยะทางจากยอด C ถึงกึ่งกลางของส่วน A 1 B 1 ถ้า A 1 C \u003d 4 ม., AA 1 \u003d 3 ม., CB 1 \u003d 6 ม., BB 1 \u003d 2 ม. และส่วน A 1 B 1 ไม่ตัดระนาบของสามเหลี่ยม
เครื่องบินสองลำที่ตัดกันเรียกว่า ตั้งฉากถ้าระนาบที่สามตั้งฉากกับเส้นตัดของระนาบทั้งสองนี้ ตัดกันตามเส้นตั้งฉาก (ดูรูป)ระนาบใด ๆ ตั้งฉากกับแนวแยก ระนาบตั้งฉากตัดกันไปตามเส้นตั้งฉาก
เครื่องหมายความตั้งฉากของระนาบ
ทฤษฎีบทที่ 1 หากระนาบผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉาก (ดูรูป) 
ทฤษฎีบทที่ 2 หากเส้นที่อยู่ในระนาบตั้งฉากหนึ่งในสองระนาบตั้งฉากกับเส้นตัดของพวกมัน มันก็จะตั้งฉากกับระนาบที่สองด้วย (ดูรูป)
ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบท 2
ให้มีระนาบตั้งฉากสองระนาบ และ ซึ่งตัดกันเป็นเส้นตรง เอ(ดูรูป). ค้นหาระยะทางจากจุด อาซึ่งอยู่ในระนาบและไม่อยู่ในระนาบคือระนาบ
ในระนาบเราสร้างเส้นตั้งฉากกับ เอผ่านจุด อา. ให้มันข้ามไป เอณ จุดนั้น บี. AB- ระยะทางที่ต้องการ
ให้ความสนใจกับเรื่องนี้
1. ผ่านจุดนอกระนาบ คุณสามารถวาดระนาบหลายระนาบตั้งฉากกับระนาบนี้ได้ (ดูรูป) (แต่พวกเขาจะผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบนี้ที่ผ่านจุดที่กำหนด)
2. หากระนาบตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด นี่ไม่ได้หมายความว่ามันจะตั้งฉากกับเส้นตรงที่ขนานกับระนาบนี้ด้วย
ตัวอย่างเช่น ในรูปด้านล่าง และตัดกันเป็นเส้นตรง ข, และ เอเข้าสู่เครื่องบินลำหนึ่งและ . ดังนั้น เส้นตรง เอในเวลาเดียวกันขนานกับระนาบตั้งฉากสองระนาบ
ความตั้งฉากในอวกาศสามารถมี:
1. เส้นตรงสองเส้น
3. เครื่องบินสองลำ
ลองพิจารณาทั้งสามกรณีนี้กัน: คำจำกัดความและข้อความทั้งหมดของทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกัน จากนั้นเราจะพูดถึงทฤษฎีบทที่สำคัญมากเกี่ยวกับสามฉากตั้งฉาก
เส้นตั้งฉากของสองเส้น
คำนิยาม:
คุณสามารถพูดได้ว่าพวกเขาเปิดอเมริกาให้ฉันด้วย! แต่จำไว้ว่าในอวกาศทุกอย่างไม่เหมือนกับบนเครื่องบิน
บนเครื่องบิน เส้นดังกล่าว (ตัดกัน) เท่านั้นที่สามารถตั้งฉากได้:
แต่ความตั้งฉากในช่องว่างของเส้นตรงสองเส้นสามารถเป็นได้แม้ว่าเส้นจะไม่ตัดกัน ดู:
เส้นตั้งฉากกับเส้นตรง แม้ว่าจะไม่ได้ตัดกัน ได้อย่างไร? เราจำคำจำกัดความของมุมระหว่างเส้นได้: เพื่อหามุมระหว่างเส้นเอียงและคุณต้องลากเส้นผ่านจุดใดก็ได้บนเส้น a แล้วมุมระหว่าง และ (ตามคำจำกัดความ!) จะเป็น เท่ากับมุมระหว่างฉัน
จำได้ไหม ในกรณีของเราถ้าเส้นและกลายเป็นตั้งฉากแล้วเส้นและควรพิจารณาตั้งฉาก
เพื่อความชัดเจน มาดูกันเลย ตัวอย่าง.ให้มีลูกบาศก์ และขอให้คุณหามุมระหว่างเส้นกับ เส้นเหล่านี้ไม่ตัดกัน - ตัดกัน เพื่อหามุมระหว่าง และ ให้วาด
เนื่องจากความจริงที่ว่า - สี่เหลี่ยมด้านขนาน (และแม้แต่สี่เหลี่ยมผืนผ้า!) ปรากฎว่า และเนื่องจากความจริงที่ว่า - สี่เหลี่ยม ปรากฎว่า ก็หมายความว่า
ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ
คำนิยาม:
นี่คือภาพ:
เส้นจะตั้งฉากกับระนาบถ้ามันตั้งฉากกับเส้นทั้งหมดในระนาบนี้: และ และ และ และแม้กระทั่ง! และสายอื่นๆ อีกเป็นพันล้านสาย!
ได้ แต่โดยทั่วไปแล้วคุณจะตรวจสอบความตั้งฉากในเส้นตรงและระนาบได้อย่างไร ดังนั้นชีวิตยังไม่พอ! แต่โชคดีสำหรับเราที่นักคณิตศาสตร์ช่วยเราให้พ้นจากฝันร้ายของอนันต์ด้วยการประดิษฐ์ เครื่องหมายความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ.
เรากำหนด:
ตรวจสอบว่าดีแค่ไหน:
หากมีเพียงสองเส้นในระนาบที่เส้นนั้นตั้งฉาก เส้นนี้จะกลายเป็นแนวตั้งฉากกับระนาบทันที นั่นคือ ทุกเส้นในระนาบนี้ (รวมถึงเส้นบางเส้นที่ยืนอยู่ด้านข้าง ). นี่เป็นทฤษฎีบทที่สำคัญมาก ดังนั้นเราจะวาดความหมายในรูปแบบของแผนภาพด้วย
แล้วมาดูกันใหม่ ตัวอย่าง.
ให้เราได้รับจัตุรมุขปกติ
ภารกิจ: เพื่อพิสูจน์ว่า คุณจะพูดว่า: นี่เป็นเส้นตรงสองเส้น! ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบเกี่ยวข้องอะไรกับมัน!
แต่ดู:
มาทำเครื่องหมายตรงกลางขอบแล้ววาดและ นี่คือค่ามัธยฐานในและ สามเหลี่ยมเป็นปกติและ.
นี่คือปาฏิหาริย์: ปรากฎว่าเช่นกัน และยิ่งไปกว่านั้น ไปยังเส้นตรงทั้งหมดบนระนาบ และด้วยเหตุนี้ และ พิสูจน์แล้ว และจุดที่สำคัญที่สุดคือการใช้เครื่องหมายตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบอย่างแม่นยำ
เมื่อระนาบตั้งฉาก
คำนิยาม:
นั่นคือ (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อ "มุมไดฮีดรัล") ระนาบสองระนาบตั้งฉากหากปรากฎว่ามุมระหว่างฉากตั้งฉากทั้งสองกับเส้นตัดของระนาบเหล่านี้เท่ากัน และมีทฤษฎีบทหนึ่งที่เชื่อมโยงแนวคิดของระนาบตั้งฉากกับแนวคิดเรื่องความตั้งฉากในอวกาศของเส้นตรงและระนาบ
ทฤษฎีบทนี้เรียกว่า
เกณฑ์ความตั้งฉากของระนาบ
มากำหนด:
และเช่นเคย การถอดรหัสของคำว่า "แล้วแล้วเท่านั้น" จะมีลักษณะดังนี้:
- ถ้า แล้ว ผ่าน ตั้งฉากกับ
- ถ้าผ่านในแนวตั้งฉากแล้ว
(โดยธรรมชาตินี่คือเครื่องบิน)
ทฤษฎีบทนี้เป็นหนึ่งในทฤษฎีที่สำคัญที่สุดในมิติภาพสามมิติ แต่น่าเสียดาย ทฤษฎีหนึ่งที่ประยุกต์ใช้ยากที่สุด
ดังนั้นคุณต้องระวังให้มาก!
ดังนั้นถ้อยคำคือ:
และอีกครั้งถอดรหัสคำว่า "แล้วเท่านั้น" ทฤษฎีบทระบุสองสิ่งพร้อมกัน (ดูรูป):
ลองใช้ทฤษฎีบทนี้เพื่อแก้ปัญหา
งาน: ให้พีระมิดหกเหลี่ยมปกติ หามุมระหว่างเส้นกับ
วิธีการแก้:
เนื่องจากในพีระมิดปกติจุดยอดตกลงไปที่ศูนย์กลางของฐานระหว่างการฉายภาพ ปรากฎว่าเส้นนั้นเป็นเส้นโครงของเส้น
แต่เรารู้ว่าใน หกเหลี่ยมปกติ. เราใช้ทฤษฎีบทตั้งฉากสามประการ:
และเขียนคำตอบว่า
ความตั้งฉากของเส้นในอวกาศ สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN
เส้นตั้งฉากของสองเส้น
เส้นสองเส้นในอวกาศจะตั้งฉากถ้ามุมอยู่ระหว่างเส้นทั้งสอง
ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ
เส้นจะตั้งฉากกับระนาบ ถ้าเส้นนั้นตั้งฉากกับเส้นทั้งหมดในระนาบนั้น
ระนาบตั้งฉาก
ระนาบจะตั้งฉากถ้ามุมไดฮีดรัลระหว่างพวกมันเท่ากัน
เกณฑ์ความตั้งฉากของระนาบ
ระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อหนึ่งในนั้นผ่านฉากตั้งฉากกับระนาบอื่น
สามทฤษฎีบทตั้งฉาก:
เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก
เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!
ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด
คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว
ปัญหาคือแค่นี้อาจไม่เพียงพอ ...
เพื่ออะไร?
เพื่อความสำเร็จ สอบผ่านสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต
ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...
คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมัน นี่คือสถิติ
แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ
สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...
แต่คิดเอาเอง...
ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?
กรอกมือของคุณเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้
ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี
คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.
และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไข (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา
เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน
ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยการแก้ปัญหาการวิเคราะห์รายละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!
คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน
เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่
ยังไง? มีสองตัวเลือก:
- ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
- ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - ซื้อตำราเรียน - 899 รูเบิล
ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที
การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์
สรุปแล้ว...
หากคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี
“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง
พบปัญหาและแก้ไข!
คำอธิบายข้อความของบทเรียน:
แนวคิดเรื่องเครื่องบินในอวกาศช่วยให้คุณได้พื้นผิวของโต๊ะหรือผนัง อย่างไรก็ตาม โต๊ะหรือผนังมีขนาดจำกัด และระนาบขยายเกินขอบเขตจนไม่มีที่สิ้นสุด
พิจารณาระนาบสองระนาบที่ตัดกัน เมื่อพวกมันตัดกัน พวกมันจะสร้างมุมไดฮีดรัลสี่มุมที่มีขอบร่วม
จำไว้ว่ามุมไดฮีดรัลคืออะไร
ในความเป็นจริง เราพบวัตถุที่มีรูปร่างเป็นมุมไดฮีดรัล เช่น ประตูแง้มหรือโฟลเดอร์ที่เปิดอยู่ครึ่งหนึ่ง
ที่จุดตัดของระนาบอัลฟาและเบตาสองระนาบ เราได้มุมไดฮีดรัลสี่มุม ให้หนึ่งในมุมไดฮีดรัลเท่ากับ (พี) จากนั้นมุมที่สองเท่ากับ (1800 -) มุมที่สาม สี่ (1800-)
พิจารณากรณีที่มุมไดฮีดรัลมุมหนึ่งเท่ากับ 900
จากนั้น มุมไดฮีดรัลทั้งหมดในกรณีนี้จะเท่ากับ 900
ให้เราแนะนำคำจำกัดความของระนาบตั้งฉาก:
กล่าวกันว่าระนาบสองระนาบจะตั้งฉากถ้ามุมไดฮีดรัลระหว่างพวกมันคือ 90°
มุมระหว่างระนาบซิกมาและเอปซิลอนคือ 90 องศา ซึ่งหมายความว่าระนาบตั้งฉาก
ให้เรายกตัวอย่างระนาบตั้งฉาก
ผนังและฝ้าเพดาน.
ผนังด้านข้างและท็อปโต๊ะ
ให้เรากำหนดเครื่องหมายตั้งฉากของระนาบสองระนาบ:
ทฤษฎีบท: หากระนาบหนึ่งในสองระนาบผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉาก
มาพิสูจน์คุณสมบัตินี้กัน
ตามเงื่อนไข เป็นที่ทราบกันว่าเส้น AM อยู่ในระนาบ α เส้น AM ตั้งฉากกับระนาบ β
พิสูจน์: ระนาบ α และ β ตั้งฉาก
การพิสูจน์:
1) เครื่องบิน α และ β ตัดกันตามเส้นตรง АР ในขณะที่ AM АР เนื่องจาก AM β โดยเงื่อนไข นั่นคือ AM ตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบ β
2) ให้เราลากเส้น AT ตั้งฉากกับ AP ในระนาบ β
เราได้มุม TAM - มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล แต่มุม TAM = 90° เนื่องจาก MA β ดังนั้น α β
คิวอีดี
จากเครื่องหมายของการตั้งฉากของระนาบสองระนาบ เรามีผลลัพธ์ที่สำคัญ:
ผลที่ตามมา: ระนาบตั้งฉากกับเส้นที่ระนาบสองระนาบตัดกันนั้นตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้แต่ละระนาบ
นั่นคือ: ถ้า α∩β=с และ γ с แล้ว γ α และ γ β
ให้เราพิสูจน์ผลสืบเนื่องนี้: ถ้าระนาบแกมมาตั้งฉากกับเส้นตรง c ดังนั้นเนื่องจากการขนานกันของระนาบทั้งสอง แกมมาจะตั้งฉากกับอัลฟา ในทำนองเดียวกัน แกมมาตั้งฉากกับเบตา
ให้เราสร้างผลลัพธ์ใหม่สำหรับมุมไดฮีดรัล:
ระนาบที่ผ่านมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลจะตั้งฉากกับขอบและหน้าของมุมไดฮีดรัลนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราสร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล แล้วระนาบที่ผ่านมันจะตั้งฉากกับขอบและใบหน้าของมุมไดฮีดรัลนี้
กำหนด: ΔABC, C = 90°, AC อยู่ในระนาบ α, มุมระหว่างระนาบ α และ ABC = 60°, AC = 5 ซม., AB = 13 ซม.
ค้นหา: ระยะทางจากจุด B ถึงระนาบ α
1) ให้เราสร้าง VC α แล้ว CS คือเส้นโครงของ BC บนระนาบนี้
2) BC AS (ตามเงื่อนไข) ดังนั้นโดยทฤษฎีบทตั้งฉากสามประการ (TTP), CS AS ดังนั้น VSK คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ α และระนาบของสามเหลี่ยม ABC นั่นคือ WSC = 60 °
3) จาก ΔBCA ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
ตอบ VK เท่ากับ 6 รากของสาม cm
การใช้งานจริง (อักขระประยุกต์) ของความตั้งฉากของระนาบสองระนาบ
บรรยายในหัวข้อ "สัญลักษณ์ความตั้งฉากของระนาบสองระนาบ"
แนวคิดเรื่องเครื่องบินในอวกาศช่วยให้คุณได้พื้นผิวของโต๊ะหรือผนัง อย่างไรก็ตาม โต๊ะหรือผนังมีขนาดจำกัด และระนาบขยายเกินขอบเขตจนไม่มีที่สิ้นสุดพิจารณาระนาบสองระนาบที่ตัดกัน เมื่อพวกมันตัดกัน พวกมันจะสร้างมุมไดฮีดรัลสี่มุมที่มีขอบร่วม
จำไว้ว่ามุมไดฮีดรัลคืออะไร
ในความเป็นจริง เราพบวัตถุที่มีรูปร่างเป็นมุมไดฮีดรัล เช่น ประตูแง้มหรือโฟลเดอร์ที่เปิดอยู่ครึ่งหนึ่ง
ที่จุดตัดของระนาบอัลฟาและเบตาสองระนาบ เราได้มุมไดฮีดรัลสี่มุม ให้มุมไดฮีดรัลด้านหนึ่งเท่ากับ (พี) จากนั้นมุมที่สองจะเท่ากับ (180 0 -), ที่สาม, ที่สี่ (180 0 -).
α และβ, 0°< 90 °
พิจารณากรณีที่มุมไดฮีดรัลมุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ90 0 .
จากนั้น มุมไดฮีดรัลทั้งหมดในกรณีนี้จะเท่ากับ 90 0 .
มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบα และβ,
90º
ให้เราแนะนำคำจำกัดความของระนาบตั้งฉาก:
กล่าวกันว่าระนาบสองระนาบจะตั้งฉากถ้ามุมไดฮีดรัลระหว่างพวกมันคือ 90°
มุมระหว่างระนาบซิกมาและเอปซิลอนคือ 90 องศา ซึ่งหมายความว่าระนาบตั้งฉาก
เพราะ =90°
ให้เรายกตัวอย่างระนาบตั้งฉาก
ผนังและฝ้าเพดาน.
ผนังด้านข้างและท็อปโต๊ะ
ผนังและฝ้าเพดาน
ให้เรากำหนดเครื่องหมายตั้งฉากของระนาบสองระนาบ:
ทฤษฎีบท:หากระนาบหนึ่งในสองระนาบผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉาก
มาพิสูจน์คุณสมบัตินี้กัน
โดยสมมติฐานเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเส้นAM อยู่ในระนาบ α เส้น AM ตั้งฉากกับระนาบ β
พิสูจน์: ระนาบ α และ β ตั้งฉาก
การพิสูจน์:
1) เครื่องบิน α และβ ตัดกันตามเส้น AR ในขณะที่ AM AR ตั้งแต่ AM β โดยเงื่อนไขนั่นคือ AM ตั้งฉากกับเส้นใด ๆ ที่อยู่ในระนาบβ
2) ลากเส้นตรงในระนาบ βอาT ตั้งฉากอาร.
เราได้มุม TอาM คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล แต่มุม TอาM = 90° เนื่องจาก MA β ดังนั้น α β
คิวอีดี
ทฤษฎีบท:หากเครื่องบินผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉาก
ที่ให้ไว้:α, β, AM α, AMβ, AM∩=A
พิสูจน์: αβ.
การพิสูจน์:
1) α∩β = АР ในขณะที่ AM АР เนื่องจาก AM β โดยเงื่อนไข นั่นคือ AM จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบ β
2) ATβอาตู่อาร.
TAM คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล TAM = 90° เพราะ แมสซาชูเซต ดังนั้น α β
คิวอีดี
จากเครื่องหมายของการตั้งฉากของระนาบสองระนาบ เรามีผลลัพธ์ที่สำคัญ:
ผลที่ตามมา:ระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงที่ระนาบสองระนาบตัดกันจะตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้แต่ละระนาบ
ให้เราพิสูจน์ผลสืบเนื่องนี้: หากระนาบแกมมาตั้งฉากกับเส้นตรง c ดังนั้นเนื่องจากการขนานกันของระนาบทั้งสอง แกมมาจะตั้งฉากกับอัลฟา ในทำนองเดียวกัน แกมมาตั้งฉากกับเบตา
นั่นคือ: ถ้า α∩β=с และ γс แล้ว γα และ γβ
เพราะγс และ сα จากเครื่องหมายของการตั้งฉาก γα
ในทำนองเดียวกัน γ β
ให้เราสร้างผลลัพธ์ใหม่สำหรับมุมไดฮีดรัล:
ระนาบที่ผ่านมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลจะตั้งฉากกับขอบและหน้าของมุมไดฮีดรัลนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราสร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล แล้วระนาบที่ผ่านมันจะตั้งฉากกับขอบและใบหน้าของมุมไดฮีดรัลนี้
งาน.
กำหนด: ΔABC, C = 90°, AC อยู่ในระนาบ α, มุมระหว่างระนาบ α และABC= 60°, AC = 5 ซม., AB = 13 ซม.
ค้นหา: ระยะทางจากจุด B ถึงระนาบ α
วิธีการแก้:
1) ให้เราสร้าง VC α แล้ว CS คือเส้นโครงของ BC บนระนาบนี้
2) BC AS (ตามเงื่อนไข) ดังนั้นโดยทฤษฎีบทตั้งฉากสามประการ (TTP), CS AS ดังนั้น VSK คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ α และระนาบของสามเหลี่ยม ABC นั่นคือ WSC = 60 °
3) จาก ΔBCA ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
จาก ΔVKS: 