Υπολογίστε το ολοκλήρωμα κατά μήκος της ευθείας που συνδέει τα σημεία. Εργασία που γίνεται με τη δύναμη F όταν κινείται κατά μήκος ενός τόξου μιας γραμμής. παραδείγματα εργασιών

Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών

Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα

Κατευθυντήριες γραμμές

Βόλγκογκραντ

UDC 517.373(075)

Κριτής:

Ανώτερη Λέκτορας του Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Ν.Ι. Κολτσόβα

Εκδόθηκε με απόφαση του συντακτικού και εκδοτικού συμβουλίου

Κρατικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Βόλγκογκραντ

Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα: μέθοδος. οδηγίες / σύντ. M.I Andreeva,

Ο Ο.Ε. Γκριγκόριεβα; Κρατικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Βόλγα. – Volgograd, 2011. – 26 σελ.

Οι οδηγίες είναι ένας οδηγός για την ολοκλήρωση μεμονωμένων εργασιών με θέμα «Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα και οι εφαρμογές τους στη θεωρία πεδίου».

Το πρώτο μέρος των οδηγιών περιέχει το απαραίτητο θεωρητικό υλικό για την ολοκλήρωση μεμονωμένων εργασιών.

Το δεύτερο μέρος εξετάζει παραδείγματα εκτέλεσης όλων των τύπων εργασιών που περιλαμβάνονται σε μεμονωμένες εργασίες σχετικά με το θέμα, γεγονός που συμβάλλει στην καλύτερη οργάνωση της ανεξάρτητης εργασίας των μαθητών και στην επιτυχή κατάκτηση του θέματος.

Οι οδηγίες προορίζονται για φοιτητές πρώτου και δεύτερου έτους.

© Πολιτεία του Βόλγκογκραντ

Πολυτεχνείο, 2011

1. ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1ΟΥ ΕΙΔΟΥΣ

Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 1ου είδους

Αφήστε È ΑΒ– τόξο επίπεδης ή χωρικής τμηματικά λείας καμπύλης μεγάλο, φά(Π) είναι μια συνεχής συνάρτηση που ορίζεται σε αυτό το τόξο, ΕΝΑ 0 = ΕΝΑ, ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, A n – 1 , A n = σι ΑΒΚαι Πι– αυθαίρετα σημεία σε μερικά τόξα È A i – 1 A i, των οποίων τα μήκη είναι D l i (Εγώ = 1, 2, …, n

στο n® ¥ και μέγιστο D l i® 0, το οποίο δεν εξαρτάται από τη μέθοδο κατάτμησης του τόξου È ΑΒαποσιωπητικά A i, ούτε από την επιλογή των σημείων Πισε μερικά τόξα È A i – 1 A i (Εγώ = 1, 2, …, n). Αυτό το όριο ονομάζεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 1ου είδους της συνάρτησης φά(Π) κατά μήκος της καμπύλης μεγάλοκαι ορίζεται

Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 1ου είδους

Ο υπολογισμός ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 1ου είδους μπορεί να μειωθεί στον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας διαφορετικές μεθόδους προσδιορισμού της καμπύλης ολοκλήρωσης.

Αν τόξο È ΑΒη επίπεδη καμπύλη δίνεται παραμετρικά από τις εξισώσεις όπου Χ(t) Και y(t t, και Χ(t 1) = x Α, Χ(t 2) = x Β, Οτι

Οπου - διαφορικό του μήκους τόξου της καμπύλης.

Ένας παρόμοιος τύπος λαμβάνει χώρα στην περίπτωση μιας παραμετρικής προδιαγραφής μιας χωρικής καμπύλης μεγάλο. Αν τόξο È ΑΒανέντιμος μεγάλοδίνεται από τις εξισώσεις , και Χ(t), y(t), z(t) – συνεχείς διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της παραμέτρου t, Οτι

όπου είναι το διαφορικό του μήκους τόξου της καμπύλης.

σε καρτεσιανές συντεταγμένες

Αν τόξο È ΑΒεπίπεδη καμπύλη μεγάλοδίνεται από την εξίσωση Οπου y(Χ

και ο τύπος για τον υπολογισμό του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος είναι:

Κατά τον καθορισμό ενός τόξου È ΑΒεπίπεδη καμπύλη μεγάλοόπως και Χ= Χ(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
Οπου Χ(y) είναι μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση,

και το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τον τύπο

(1.4)

Καθορισμός καμπύλης ολοκλήρωσης με πολική εξίσωση

Αν η καμπύλη είναι επίπεδη μεγάλοδίνεται από την εξίσωση στο πολικό σύστημα συντεταγμένων r = r(j), j О , όπου r(ι) είναι μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, λοιπόν

Και

(1.5)

Εφαρμογές καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 1ου είδους

Χρησιμοποιώντας ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 1ου είδους, υπολογίζονται τα εξής: το μήκος του τόξου μιας καμπύλης, το εμβαδόν τμήματος μιας κυλινδρικής επιφάνειας, η μάζα, οι στατικές ροπές, οι ροπές αδράνειας και οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός καμπύλη υλικού με δεδομένη γραμμική πυκνότητα.

1. Μήκος μεγάλοεπίπεδη ή χωρική καμπύλη μεγάλοβρίσκεται από τον τύπο

2. Εμβαδόν τμήματος κυλινδρικής επιφάνειας παράλληλου προς τον άξονα ΟΖ generatrix και βρίσκεται στο επίπεδο XOYοδηγός μεγάλο, που περικλείεται ανάμεσα στο αεροπλάνο XOYκαι την επιφάνεια που δίνεται από την εξίσωση z = φά(Χ; y) (φά(Π) ³ 0 σε Π Î μεγάλο), είναι ίσο με

(1.7)

3. Βάρος Μκαμπύλη υλικού μεγάλομε γραμμική πυκνότητα m( Π) καθορίζεται από τον τύπο

(1.8)

4. Στατικές ροπές γύρω από τους άξονες ΒόδιΚαι Oyκαι συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας καμπύλης επίπεδου υλικού μεγάλομε γραμμική πυκνότητα m( Χ; y) είναι αντίστοιχα ίσα:

(1.9)

5. Στατικές στιγμές για αεροπλάνα Oxy, Oxz, Oyzκαι συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας καμπύλης χωρικού υλικού με γραμμική πυκνότητα m( Χ; y; z) καθορίζονται από τους τύπους:

(1.11)

6. Για επίπεδη καμπύλη υλικού μεγάλομε γραμμική πυκνότητα m( Χ; y) ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες Βόδι, Oyκαι η αρχή των συντεταγμένων είναι αντίστοιχα ίσες:

(1.13)

7. Ροπές αδράνειας καμπύλης χωρικού υλικού μεγάλομε γραμμική πυκνότητα m( Χ; y; z) σε σχέση με τα επίπεδα συντεταγμένων υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους

(1.14)

και οι ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες συντεταγμένων είναι ίσες με:

(1.15)

2. ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 2ου ΕΙΔΟΥΣ

Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους

Αφήστε È ΑΒ– τόξο τμηματικά ομαλής προσανατολισμένης καμπύλης μεγάλο, = (ένα x(Π); ένα υ(Π); a z(Π)) είναι μια συνεχής διανυσματική συνάρτηση που ορίζεται σε αυτό το τόξο, ΕΝΑ 0 = ΕΝΑ, ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, A n – 1 , A n = σι– αυθαίρετη διάσπαση τόξου ΑΒΚαι Πι– αυθαίρετα σημεία σε μερικά τόξα A i – 1 A i. Έστω ένα διάνυσμα με συντεταγμένες D x i, Δ y i, Δ z i(Εγώ = 1, 2, …, n), και είναι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και ( Εγώ = 1, 2, …, n). Τότε υπάρχει ένα όριο της ακολουθίας των ολοκληρωτικών αθροισμάτων

στο n® ¥ και max ÷ ç ® 0, που δεν εξαρτάται από τη μέθοδο διαίρεσης του τόξου ΑΒαποσιωπητικά A i, ούτε από την επιλογή των σημείων Πισε μερικά τόξα È A i – 1 A i
(Εγώ = 1, 2, …, n). Αυτό το όριο ονομάζεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους της συνάρτησης ( Π) κατά μήκος της καμπύλης μεγάλοκαι ορίζεται

Στην περίπτωση που η διανυσματική συνάρτηση καθορίζεται σε μια επίπεδη καμπύλη μεγάλο, ομοίως έχουμε:

Όταν η κατεύθυνση της ολοκλήρωσης αλλάζει, το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους αλλάζει πρόσημο.

Τα καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα του πρώτου και του δεύτερου είδους σχετίζονται με τη σχέση

(2.2)

όπου είναι το μοναδιαίο διάνυσμα της εφαπτομένης στην προσανατολισμένη καμπύλη.

Χρησιμοποιώντας ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους, μπορείτε να υπολογίσετε το έργο μιας δύναμης όταν μετακινείτε ένα υλικό σημείο κατά μήκος του τόξου μιας καμπύλης ΜΕΓΑΛΟ:

(2.3)

Θετική κατεύθυνση διέλευσης κλειστής καμπύλης ΜΕ,που οριοθετούν μια απλά συνδεδεμένη περιοχή σολ, θεωρείται η αριστερόστροφη διέλευση.

Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους πάνω από κλειστή καμπύλη ΜΕλέγεται κυκλοφορία και συμβολίζεται

(2.4)

Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους

Ο υπολογισμός ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 2ου είδους ανάγεται στον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

Παραμετρικός ορισμός της καμπύλης ολοκλήρωσης

Αν È ΑΒη προσανατολισμένη επίπεδη καμπύλη δίνεται παραμετρικά από τις εξισώσεις όπου Χ(t) Και y(t) – συνεχείς διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της παραμέτρου t, και μετά

(2.5)

Ένας παρόμοιος τύπος λαμβάνει χώρα στην περίπτωση μιας παραμετρικής προδιαγραφής μιας καμπύλης προσανατολισμένης στο χώρο μεγάλο. Αν τόξο È ΑΒανέντιμος μεγάλοδίνεται από τις εξισώσεις , και – Συναρτήσεις συνεχούς διαφοροποίησης της παραμέτρου t, Οτι

(2.6)

Ρητός προσδιορισμός μιας καμπύλης ολοκλήρωσης επιπέδου

Αν τόξο È ΑΒ μεγάλοδίνεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες από την εξίσωση όπου y(Χ) είναι μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, λοιπόν

(2.7)

Κατά τον καθορισμό ενός τόξου È ΑΒεπίπεδο προσανατολισμένη καμπύλη μεγάλοόπως και
Χ= Χ(y), y Î [ y 1 ; y 2 ], όπου Χ(y) είναι μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, ο τύπος είναι έγκυρος

(2.8)

Αφήστε τις συναρτήσεις είναι συνεχείς μαζί με τα παράγωγά τους

σε μια επίπεδη κλειστή περιοχή σολ, που οριοθετείται από μια τμηματικά λεία κλειστή αυτοδιαχωριζόμενη θετικά προσανατολισμένη καμπύλη ΜΕ+ . Τότε ισχύει ο τύπος του Green:

Αφήνω σολ– επιφανειακά απλά συνδεδεμένη περιοχή και

= (ένα x(Π); ένα υ(Π); a z(Π))

είναι ένα διανυσματικό πεδίο που καθορίζεται σε αυτήν την περιοχή. Πεδίο ( Π) ονομάζεται δυναμικό εάν υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση U(Π), Τι

(Π) = βαθμός U(Π),

Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη δυνατότητα ενός διανυσματικού πεδίου ( Π) έχει τη μορφή:

σήψη ( Π) = , όπου (2.10)

(2.11)

Εάν το διανυσματικό πεδίο είναι δυναμικό, τότε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους δεν εξαρτάται από την καμπύλη ολοκλήρωσης, αλλά εξαρτάται μόνο από τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του τόξου Μ 0 Μ. Δυνητικός U(Μ) του διανυσματικού πεδίου προσδιορίζεται μέχρι έναν σταθερό όρο και βρίσκεται από τον τύπο

(2.12)

Οπου Μ 0 Μ– μια αυθαίρετη καμπύλη που συνδέει ένα σταθερό σημείο Μ 0 και μεταβλητό σημείο Μ. Για να απλοποιηθούν οι υπολογισμοί, μπορεί να επιλεγεί μια διακεκομμένη γραμμή ως διαδρομή ολοκλήρωσης Μ 0 Μ 1 Μ 2 Μμε συνδέσμους παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων, για παράδειγμα:

3. παραδείγματα ολοκλήρωσης εργασιών

Ασκηση 1

Υπολογίστε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πρώτου είδους

όπου L είναι το τόξο της καμπύλης, 0 ≤ Χ ≤ 1.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.3) για την αναγωγή ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του πρώτου είδους σε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα στην περίπτωση μιας καμπύλης ομαλού επιπέδου που ορίζεται ρητά:

Οπου y = y(Χ), Χ 0 ≤ Χ ≤ Χ 1 – εξίσωση τόξου μεγάλοκαμπύλη ολοκλήρωσης. Στο υπό εξέταση παράδειγμα Βρείτε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης

και τη διαφορά μήκους τόξου της καμπύλης μεγάλο

,

στη συνέχεια, αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση αντί y, παίρνουμε

Ας μετατρέψουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα σε ορισμένο ολοκλήρωμα:

Υπολογίζουμε αυτό το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας αντικατάσταση. Επειτα
t 2 = 1 + Χ, Χ = t 2 – 1, dx = 2t dt; στο x = 0 t= 1; ΕΝΑ Χ= 1 αντιστοιχεί σε . Μετά από μεταμορφώσεις παίρνουμε

Εργασία 2

Υπολογίστε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 1ου είδους κατά μήκος ενός τόξου μεγάλοανέντιμος μεγάλο:Χ= cos 3 t, y= αμαρτία 3 t, .

Λύση.Επειδή μεγάλοείναι ένα τόξο μιας καμπύλης ομαλού επιπέδου, που δίνεται σε παραμετρική μορφή, στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο (1.1) για την αναγωγή ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 1ου είδους σε ορισμένο:

.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα

Ας βρούμε τη διαφορά μήκους τόξου

Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις που βρέθηκαν στον τύπο (1.1) και υπολογίζουμε:

Εργασία 3

Να βρείτε τη μάζα του τόξου της ευθείας μεγάλομε γραμμικό επίπεδο m.

Λύση.Βάρος Μτόξα μεγάλομε πυκνότητα m( Π) υπολογίζεται με τον τύπο (1.8)

.

Αυτό είναι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 1ου είδους πάνω από ένα παραμετρικά καθορισμένο λείο τόξο μιας καμπύλης στο χώρο, επομένως υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.2) για την αναγωγή ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 1ου είδους σε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα:

Ας βρούμε παράγωγα

και διαφορικό μήκους τόξου

Αντικαθιστούμε αυτές τις εκφράσεις στον τύπο για τη μάζα:

Εργασία 4

Παράδειγμα 1.Υπολογίστε καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους

κατά μήκος ενός τόξου μεγάλοκαμπύλη 4 Χ + y 2 = 4 από το σημείο ΕΝΑ(1; 0) στο σημείο σι(0; 2).

Λύση.Επίπεδο τόξο μεγάλοπροσδιορίζεται σιωπηρά. Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, είναι πιο βολικό να εκφραστεί Χδιά μέσου y:

και βρείτε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.8) για το μετασχηματισμό ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 2ου είδους σε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα σε μια μεταβλητή y:

Οπου ένα x(Χ; y) = xy – 1, ένα υ(Χ; y) = xy 2 .

Λαμβάνοντας υπόψη τις προδιαγραφές της καμπύλης

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.8) παίρνουμε

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους

Οπου μεγάλο- σπασμένη γραμμή αλφάβητο, ΕΝΑ(1; 2), σι(3; 2), ντο(2; 1).

Λύση. Με την ιδιότητα της προσθετικότητας ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος

Καθένας από τους ακέραιους όρους υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.7)

Οπου ένα x(Χ; y) = Χ 2 + y, ένα υ(Χ; y) = –3xy.

Εξίσωση ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ: y = 2, y¢ = 0, Χ 1 = 1, Χ 2 = 3. Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στον τύπο (2.7), λαμβάνουμε:

Για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

ας φτιάξουμε μια εξίσωση ευθείας ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.σύμφωνα με τον τύπο

Οπου x Β, y Β, xC, y Γ– συντεταγμένες σημείων σιΚαι ΜΕ. Παίρνουμε

y – 2 = Χ – 3, y = Χ – 1, y¢ = 1.

Αντικαθιστούμε τις παραστάσεις που προκύπτουν στον τύπο (2.7):

Εργασία 5

Υπολογίστε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους κατά μήκος ενός τόξου μεγάλο

0 ≤ t ≤ 1.

Λύση. Αφού η καμπύλη ολοκλήρωσης δίνεται παραμετρικά από τις εξισώσεις x = x(t), y = y(t), t Î [ t 1 ; t 2 ], όπου Χ(t) Και y(t) – Συναρτήσεις που διαφοροποιούνται συνεχώς tστο t Î [ t 1 ; t 2 ], τότε για να υπολογίσουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους χρησιμοποιούμε τον τύπο (2.5) μειώνοντας το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα σε αυτό που ορίζεται για ένα επίπεδο παραμετρικά δεδομένη καμπύλη

Στο υπό εξέταση παράδειγμα ένα x(Χ; y) = y; ένα υ(Χ; y) = –2Χ.

Λαμβάνοντας υπόψη τη ρύθμιση της καμπύλης μεγάλοπαίρνουμε:

Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις που βρέθηκαν στον τύπο (2.5) και υπολογίζουμε το οριστικό ολοκλήρωμα:

Εργασία 6

Παράδειγμα 1. ντο + Οπου ΜΕ : y 2 = 2Χ, y = Χ – 4.

Λύση.Ονομασία ντοΤο + δείχνει ότι το κύκλωμα διασχίζεται προς τη θετική κατεύθυνση, δηλαδή αριστερόστροφα.

Ας ελέγξουμε ότι για να λύσουμε το πρόβλημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Green (2.9)

Δεδομένου ότι οι λειτουργίες ένα x (Χ; y) = 2y – Χ 2 ; ένα υ (Χ; y) = 3Χ + yκαι τα επιμέρους παράγωγά τους συνεχής σε μια επίπεδη κλειστή περιοχή σολ, περιορίζεται από το περίγραμμα ντο, τότε ισχύει ο τύπος του Green.

Για να υπολογίσουμε το διπλό ολοκλήρωμα, απεικονίζουμε την περιοχή σολ, έχοντας προηγουμένως καθορίσει τα σημεία τομής των τόξων των καμπυλών y 2 = 2ΧΚαι
y = Χ– 4, σχηματίζοντας το περίγραμμα ντο.

Θα βρούμε τα σημεία τομής λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι ισοδύναμη με την εξίσωση Χ 2 – 10Χ+ 16 = 0, εξ ου και Χ 1 = 2, Χ 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Άρα, τα σημεία τομής των καμπυλών: ΕΝΑ(2; –2), σι(8; 4).

Από την περιοχή σολ– διορθώστε προς την κατεύθυνση του άξονα Βόδι, στη συνέχεια για να μειώσουμε το διπλό ολοκλήρωμα σε επαναλαμβανόμενο, προβάλλουμε την περιοχή σολανά άξονα OYκαι χρησιμοποιήστε τον τύπο

.

Επειδή ένα = –2, σι = 4, Χ 2 (y) = 4+y, Οτι

Παράδειγμα 2.Υπολογίστε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους κατά μήκος ενός κλειστού περιγράμματος Οπου ΜΕ– περίγραμμα τριγώνου με κορυφές ΕΝΑ(0; 0), σι(1; 2), ντο(3; 1).

Λύση.Ο χαρακτηρισμός σημαίνει ότι το περίγραμμα του τριγώνου διασχίζεται δεξιόστροφα. Στην περίπτωση που το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα λαμβάνεται σε ένα κλειστό περίγραμμα, ο τύπος του Green παίρνει τη μορφή

Ας απεικονίσουμε την περιοχή σολ, που περιορίζεται από ένα δεδομένο περίγραμμα.

Λειτουργίες και μερικά παράγωγα Και συνεχής στην περιοχή σολ, οπότε μπορεί να εφαρμοστεί ο τύπος του Green. Επειτα

Περιοχή σολδεν είναι σωστό προς την κατεύθυνση κανενός από τους άξονες. Ας σχεδιάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα Χ= 1 και φανταστείτε σολόπως και σολ = σολ 1 È σολ 2 όπου σολ 1 και σολ 2 περιοχές σωστές στην κατεύθυνση του άξονα Oy.

Επειτα

Για να μειωθεί κάθε ένα από τα διπλά ολοκληρώματα κατά σολ 1 και σολ 2 για να επαναλάβουμε θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

Οπου [ ένα; σι] – προβολή περιοχής ρεανά άξονα Βόδι,

y = y 1 (Χ) – εξίσωση της καμπύλης κάτω ορίου,

y = y 2 (Χ) – εξίσωση της άνω οριακής καμπύλης.

Ας γράψουμε τις εξισώσεις των ορίων πεδίου σολ 1 και βρείτε

ΑΒ: y = 2Χ, 0 ≤ Χ ≤ 1; ΕΝΑ Δ: , 0 ≤ Χ ≤ 1.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για το όριο ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.περιοχή σολ 2 χρησιμοποιώντας τον τύπο

ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.: όπου 1 ≤ Χ ≤ 3.

DC: 1 ≤ Χ ≤ 3.

Εργασία 7

Παράδειγμα 1.Βρείτε το έργο της δύναμης μεγάλο: y = Χ 3 από το σημείο Μ(0; 0) στο σημείο Ν(1; 1).

Λύση. Εργασία που εκτελείται από μια μεταβλητή δύναμη όταν μετακινείται ένα υλικό σημείο κατά μήκος ενός τόξου μιας καμπύλης μεγάλοπροσδιορίζεται από τον τύπο (2.3) (ως καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους συνάρτησης κατά μήκος της καμπύλης μεγάλο) .

Εφόσον η διανυσματική συνάρτηση δίνεται από την εξίσωση και το τόξο της καμπύλης με επίπεδο προσανατολισμό ορίζεται ρητά από την εξίσωση y = y(Χ), Χ Î [ Χ 1 ; Χ 2 ], όπου y(Χ) είναι μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, κατόπιν με τον τύπο (2.7)

Στο υπό εξέταση παράδειγμα y = Χ 3 , , Χ 1 = x Μ = 0, Χ 2 = xN= 1. Επομένως

Παράδειγμα 2. Βρείτε το έργο της δύναμης όταν μετακινείτε ένα υλικό σημείο κατά μήκος μιας γραμμής μεγάλο: Χ 2 + y 2 = 4 από το σημείο Μ(0; 2) στο σημείο Ν(–2; 0).

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.3), παίρνουμε

.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, το τόξο της καμπύλης μεγάλο(È MN) είναι ένα τέταρτο του κύκλου που δίνεται από την κανονική εξίσωση Χ 2 + y 2 = 4.

Για να υπολογίσετε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους, είναι πιο βολικό να πάτε στον παραμετρικό ορισμό ενός κύκλου: Χ = Rσυν t, y = Rαμαρτία tκαι χρησιμοποιήστε τον τύπο (2.5)

Επειδή Χ= 2κοσ t, y= 2 αμαρτία t, , , παίρνουμε

Εργασία 8

Παράδειγμα 1. Υπολογίστε το συντελεστή κυκλοφορίας ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος του περιγράμματος σολ:

Λύση.Για τον υπολογισμό της κυκλοφορίας ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος ενός κλειστού περιγράμματος σολΑς χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (2.4)

Αφού δίνεται το χωρικό διανυσματικό πεδίο και χωροταξικό κλειστό βρόχο σολ, μετά περνώντας από τη διανυσματική μορφή γραφής του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στη μορφή συντεταγμένων, λαμβάνουμε

Καμπύλη σολορίζεται ως η τομή δύο επιφανειών: ενός υπερβολικού παραβολοειδούς z = x 2 – y 2 + 2 και κύλινδροι Χ 2 + y 2 = 1. Για τον υπολογισμό του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος είναι βολικό να πάμε στις παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης σολ.

Η εξίσωση μιας κυλινδρικής επιφάνειας μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Χ=κοσ t, y= αμαρτία t, z = z. Έκφραση για zστις παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης προκύπτει με υποκατάσταση Χ=κοσ t, y= αμαρτία tστην εξίσωση ενός υπερβολικού παραβολοειδούς z = 2 + συν 2 t– αμαρτία 2 t= 2 + συν 2 t. Ετσι, σολ: Χ=κοσ t,
y= αμαρτία t, z= 2 + συν 2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

Αφού αυτά που περιλαμβάνονται στις παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης σολλειτουργίες
Χ(t) = κοσ t, y(t) = αμαρτία t, z(t) = 2 + συν 2 tείναι συνεχώς διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της παραμέτρου tστο tО , τότε βρίσκουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.6)

1ο είδος.

1.1.1. Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 1ου είδους

Αφήστε στο αεροπλάνο Oxyδεδομένη καμπύλη (ΜΕΓΑΛΟ).Αφήστε για οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης (ΜΕΓΑΛΟ)καθορισμένη συνεχής συνάρτηση f(x;y).Ας σπάσουμε το τόξο ΑΒγραμμές (ΜΕΓΑΛΟ)αποσιωπητικά A=P 0, P 1, P n = Bεπί nαυθαίρετα τόξα P i -1 P iμε μήκη ( i = 1, 2, n) (Εικ. 27)

Ας επιλέξουμε σε κάθε τόξο P i -1 P iαυθαίρετο σημείο M i (x i ; y i) ,ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης f(x;y)στο σημείο Μ ι. Ας κάνουμε ένα αναπόσπαστο άθροισμα

Άσε που.

λ→0 (n→∞), ανεξάρτητα από τη μέθοδο κατάτμησης της καμπύλης ( μεγάλο)στα στοιχειώδη μέρη, ούτε από την επιλογή σημείων Μ ι καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 1ου είδουςαπό τη λειτουργία f(x;y)(καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα κατά μήκος του τόξου) και δηλώνουν:

Σχόλιο. Ο ορισμός του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος της συνάρτησης εισάγεται με παρόμοιο τρόπο f(x;y;z)κατά μήκος της χωρικής καμπύλης (ΜΕΓΑΛΟ).

Φυσική σημασία ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 1ου είδους:

Αν (ΜΕΓΑΛΟ)-επίπεδη καμπύλη με γραμμικό επίπεδο, τότε η μάζα της καμπύλης βρίσκεται με τον τύπο:

1.1.2. Βασικές ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 1ου είδους:

3. Εάν η διαδρομή ολοκλήρωσηςχωρίζεται σε μέρη έτσι ώστε , και έχουν ένα ενιαίο κοινό σημείο, τότε .

4. Το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 1ου είδους δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση ολοκλήρωσης:

5. , όπου είναι το μήκος της καμπύλης.

1.1.3. Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 1ου είδους.

Ο υπολογισμός ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος ανάγεται στον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

1. Αφήστε την καμπύλη (ΜΕΓΑΛΟ)δίνεται από την εξίσωση . Επειτα

Δηλαδή, το διαφορικό τόξου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Παράδειγμα

Υπολογίστε τη μάζα ενός ευθύγραμμου τμήματος από ένα σημείο A(1;1)μέχρι κάποιο σημείο Β(2;4),Αν .

Λύση

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: .

Τότε η εξίσωση της ευθείας ( ΑΒ): , .

Ας βρούμε την παράγωγο.

Επειτα . = .

2. Αφήστε την καμπύλη (ΜΕΓΑΛΟ)καθορίζεται παραμετρικά: .

Στη συνέχεια, δηλαδή, το διαφορικό τόξου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Για τη χωρική περίπτωση προσδιορισμού καμπύλης: Τότε

Δηλαδή, το διαφορικό τόξου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Παράδειγμα

Βρείτε το μήκος τόξου της καμπύλης, .

Λύση

Βρίσκουμε το μήκος του τόξου χρησιμοποιώντας τον τύπο: .

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το διαφορικό τόξου.

Ας βρούμε τις παραγώγους , , Τότε το μήκος του τόξου: .

3. Αφήστε την καμπύλη (ΜΕΓΑΛΟ)καθορίζεται στο πολικό σύστημα συντεταγμένων: . Επειτα

Δηλαδή, το διαφορικό τόξου θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Παράδειγμα

Υπολογίστε τη μάζα του ευθύγραμμου τόξου, 0≤ ≤ αν .

Λύση

Βρίσκουμε τη μάζα του τόξου χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το διαφορικό τόξου.

Ας βρούμε την παράγωγο.

1.2. Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους

1.2.1. Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους

Αφήστε στο αεροπλάνο Oxyδεδομένη καμπύλη (ΜΕΓΑΛΟ). Άσε (ΜΕΓΑΛΟ)δίνεται μια συνεχής συνάρτηση f(x;y).Ας σπάσουμε το τόξο ΑΒγραμμές (ΜΕΓΑΛΟ)αποσιωπητικά A = P 0 , P 1 , P n = Bπρος την κατεύθυνση από το σημείο ΕΝΑμέχρι κάποιο σημείο ΣΕεπί nαυθαίρετα τόξα P i -1 P iμε μήκη ( i = 1, 2, n) (Εικ. 28).

Ας επιλέξουμε σε κάθε τόξο P i -1 P iαυθαίρετο σημείο M i (x i ; y i), ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης f(x;y)στο σημείο Μ ι. Ας κάνουμε ένα αναπόσπαστο άθροισμα, όπου - μήκος προβολής τόξου P i -1 P iανά άξονα Ω. Αν η φορά κίνησης κατά μήκος της προβολής συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ω, τότε εξετάζεται η προβολή των τόξων θετικός, σε διαφορετική περίπτωση - αρνητικός.

Άσε που.

Αν υπάρχει όριο στο ακέραιο άθροισμα στο λ→0 (n→∞), ανεξάρτητα από τη μέθοδο κατάτμησης της καμπύλης (ΜΕΓΑΛΟ)σε στοιχειώδη μέρη, ούτε από την επιλογή των σημείων Μ ισε κάθε στοιχειώδες μέρος, τότε αυτό το όριο ονομάζεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδουςαπό τη λειτουργία f(x;y)(καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από τη συντεταγμένη Χ) και δηλώνουν:

Σχόλιο.Το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από τη συντεταγμένη y εισάγεται με παρόμοιο τρόπο:

Σχόλιο.Αν (ΜΕΓΑΛΟ)είναι μια κλειστή καμπύλη, τότε συμβολίζεται το ολοκλήρωμα πάνω της

Σχόλιο.Αν ενεργοποιηθεί ( μεγάλο) δίνονται τρεις συναρτήσεις ταυτόχρονα και από αυτές τις συναρτήσεις υπάρχουν ολοκληρώματα , , ,

τότε καλείται η έκφραση: + + γενικό καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδουςκαι γράψε:

1.2.2. Βασικές ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους:

3. Όταν αλλάζει η κατεύθυνση της ολοκλήρωσης, το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους αλλάζει πρόσημο.

4. Εάν η διαδρομή ολοκλήρωσης χωρίζεται σε μέρη έτσι ώστε , και έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, τότε

5. Εάν η καμπύλη ( μεγάλο) βρίσκεται στο αεροπλάνο:

Κάθετος άξονας Ω, τότε =0;

Κάθετος άξονας Oy, Οτι ;

Κάθετος άξονας Οζ, τότε =0.

6. Ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους πάνω από μια κλειστή καμπύλη δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου εκκίνησης (εξαρτάται μόνο από την κατεύθυνση διέλευσης της καμπύλης).

1.2.3. Φυσική έννοια καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους.

Εργασία Αδυνάμεις όταν μετακινείται ένα υλικό σημείο μοναδιαίας μάζας από ένα σημείο Μακριβώς Νκατά μήκος ( MN) είναι ίσο με:

1.2.4. Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους.

Ο υπολογισμός ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 2ου είδους ανάγεται στον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

1. Αφήστε την καμπύλη ( μεγάλο) δίνεται από την εξίσωση .

Παράδειγμα

Υπολογίστε πού ( μεγάλο) - σπασμένη γραμμή ΟΑΒ: Ο(0;0), Α(0;2), Β(2;4).

Λύση

Αφού (Εικ. 29), λοιπόν

1) Εξίσωση (ΟΑ): , ,

2) Εξίσωση ευθείας (ΑΒ): .

2. Αφήστε την καμπύλη (ΜΕΓΑΛΟ)καθορίζεται παραμετρικά: .

Σχόλιο.Στη χωρική περίπτωση:

Παράδειγμα

Υπολογίζω

Οπου ( ΑΒ)-τμήμα από A(0;0;1)πριν Β(2;-2;3).

Λύση

Ας βρούμε την εξίσωση της ευθείας ( ΑΒ):

Ας περάσουμε στην παραμετρική καταγραφή της εξίσωσης μιας ευθείας (AB). Επειτα .

Σημείο A(0;0;1)αντιστοιχεί στην παράμετρο tίσος: επομένως t=0.

Σημείο Β(2;-2;3)αντιστοιχεί στην παράμετρο t, ίσο: επομένως, t=1.

Κατά τη μετακίνηση από ΕΝΑΠρος την ΣΕ, παράμετρος tαλλάζει από 0 σε 1.

1.3. Η φόρμουλα του Γκριν. Λ) συμπερ. M(x;y;z)με άξονες Ox, Oy, Oz

16.3.2.1. Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους.Αφήστε το διάστημα των μεταβλητών x,y,z δίνεται μια τμηματικά ομαλή καμπύλη στην οποία ορίζεται η συνάρτηση φά (Χ ,y ,z Ας χωρίσουμε την καμπύλη σε μέρη με σημεία, να επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο σε κάθε τόξο, να βρούμε το μήκος του τόξου και να συνθέσουμε το αναπόσπαστο άθροισμα. Εάν υπάρχει ένα όριο στην ακολουθία των ολοκληρωτικών αθροισμάτων στο , ανεξάρτητα είτε από τη μέθοδο διαίρεσης της καμπύλης σε τόξα είτε από την επιλογή των σημείων, τότε η συνάρτηση φά (Χ ,y ,z ) ονομάζεται ολοκληρωμένη καμπύλη και η τιμή αυτού του ορίου ονομάζεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πρώτου είδους ή καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα σε όλο το μήκος του τόξου της συνάρτησης φά (Χ ,y ,z ) κατά μήκος της καμπύλης, και συμβολίζεται (ή).

Θεώρημα ύπαρξης.Εάν η συνάρτηση φά (Χ ,y ,z ) είναι συνεχής σε μια τμηματικά ομαλή καμπύλη, τότε μπορεί να ενσωματωθεί κατά μήκος αυτής της καμπύλης.

Η περίπτωση μιας κλειστής καμπύλης.Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να πάρετε ένα αυθαίρετο σημείο στην καμπύλη ως σημείο έναρξης και λήξης. Στη συνέχεια θα ονομάσουμε κλειστή καμπύλη περίγραμμακαι σημειώνεται με ένα γράμμα ΜΕ . Το γεγονός ότι η καμπύλη κατά μήκος της οποίας υπολογίζεται το ολοκλήρωμα είναι κλειστή συνήθως συμβολίζεται με έναν κύκλο στο πρόσημο του ολοκληρώματος: .

16.3.2.2. Ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους.Για αυτό το ολοκλήρωμα, και οι έξι ιδιότητες που ισχύουν για ένα ορισμένο, διπλό, τριπλό ολοκλήρωμα, από γραμμικότηταπριν θεωρήματα μέσης τιμής. Να τα διατυπώσετε και να τα αποδείξετε μόνος του. Ωστόσο, η έβδομη, προσωπική ιδιοκτησία ισχύει και για αυτό το ακέραιο:

Ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του πρώτου είδους από τη διεύθυνση της καμπύλης:.

Απόδειξη.Τα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τα ολοκληρώματα στη δεξιά και την αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας συμπίπτουν για οποιοδήποτε διαμέρισμα της καμπύλης και επιλογή σημείων (πάντα το μήκος του τόξου), επομένως τα όριά τους είναι ίσα για .

16.3.2.3. Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Παραδείγματα.Αφήστε την καμπύλη να οριστεί με παραμετρικές εξισώσεις, όπου υπάρχουν συνεχώς διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, και αφήστε τα σημεία που ορίζουν το διαμέρισμα της καμπύλης να αντιστοιχούν στις τιμές της παραμέτρου, δηλ. . Στη συνέχεια (βλ. ενότητα 13.3. Υπολογισμός των μηκών των καμπυλών) . Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής, υπάρχει ένα σημείο τέτοιο που . Ας επιλέξουμε τα σημεία που λαμβάνονται με αυτήν την τιμή παραμέτρου: . Τότε το ολοκληρωτικό άθροισμα για το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με το ολοκληρωτικό άθροισμα για το οριστικό ολοκλήρωμα. Αφού, λοιπόν, περνώντας στο όριο στο στην ισότητα, παίρνουμε

Έτσι, ο υπολογισμός ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του πρώτου είδους ανάγεται στον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος επί μιας παραμέτρου. Εάν η καμπύλη δίνεται παραμετρικά, τότε αυτή η μετάβαση δεν προκαλεί δυσκολίες. Εάν δοθεί μια ποιοτική λεκτική περιγραφή της καμπύλης, τότε η κύρια δυσκολία μπορεί να είναι η εισαγωγή μιας παραμέτρου στην καμπύλη. Ας το τονίσουμε για άλλη μια φορά Η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάντα προς την κατεύθυνση της αύξησης της παραμέτρου.

Παραδείγματα. 1. Υπολογίστε πού βρίσκεται η μία στροφή της σπείρας

Εδώ η μετάβαση στο οριστικό ολοκλήρωμα δεν προκαλεί προβλήματα: βρίσκουμε , και .

2. Υπολογίστε το ίδιο ολοκλήρωμα στο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία και .

Δεν υπάρχει άμεσος παραμετρικός ορισμός της καμπύλης εδώ, έτσι ΑΒ πρέπει να εισαγάγετε μια παράμετρο. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας έχουν τη μορφή όπου είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης και είναι το σημείο της ευθείας. Παίρνουμε το σημείο ως σημείο και το διάνυσμα: ως διάνυσμα κατεύθυνσης. Είναι εύκολο να δούμε ότι το σημείο αντιστοιχεί στην τιμή, το σημείο αντιστοιχεί στην τιμή, επομένως.

3. Να βρείτε πού βρίσκεται το τμήμα του τμήματος του κυλίνδρου από το επίπεδο z =Χ +1, ξαπλωμένος στο πρώτο οκτάντ.

Λύση:Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου - ο οδηγός του κυλίνδρου έχουν τη μορφή Χ =2cosj, y =2sinj, και από τότε z=x +1 τότε z = 2cosj+1. Ετσι,

Να γιατί

16.3.2.3.1. Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Επίπεδη θήκη.Εάν η καμπύλη βρίσκεται σε οποιοδήποτε επίπεδο συντεταγμένων, για παράδειγμα, στο επίπεδο Ωχού , και δίνεται από τη συνάρτηση , στη συνέχεια, θεωρώντας Χ ως παράμετρος, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος: . Ομοίως, εάν η καμπύλη δίνεται από την εξίσωση, τότε .

Παράδειγμα.Υπολογίστε πού βρίσκεται το τέταρτο του κύκλου που βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο.

Λύση. 1. Λαμβάνοντας υπόψη Χ Ως παράμετρος, παίρνουμε, επομένως

2. Αν πάρουμε ως παράμετρο μια μεταβλητή στο , τότε και .

3. Φυσικά, μπορείτε να πάρετε τις συνήθεις παραμετρικές εξισώσεις ενός κύκλου: .

Εάν η καμπύλη δίνεται σε πολικές συντεταγμένες, τότε , και .

Ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 1ου είδους με αναγωγή στο οριστικό. Για να γίνει αυτό, όλες οι μεταβλητές κάτω από το πρόσημο του ολοκληρώματος εκφράζονται μέσω μιας μεταβλητής, χρησιμοποιώντας την εξίσωση της γραμμής κατά μήκος της οποίας εκτελείται η ολοκλήρωση.

α) Αν η γραμμή ΑΒδίνεται από ένα σύστημα εξισώσεων τότε

(10.3)

Για την επίπεδη περίπτωση, όταν η καμπύλη δίνεται από την εξίσωση το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: . (10.4)

Αν η γραμμή ΑΒδίνεται με παραμετρικές εξισώσεις τότε

(10.5)

Για μια επίπεδη θήκη, αν η γραμμή ΑΒδίνονται με παραμετρικές εξισώσεις , το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τον τύπο:

, (10.6)

όπου είναι οι τιμές των παραμέτρων t,που αντιστοιχεί στα σημεία έναρξης και λήξης της διαδρομής ολοκλήρωσης.

Αν η γραμμή ΑΒτμηματικά ομαλή, τότε θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της προσθετικότητας του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος με διάσπαση ΑΒσε λεία τόξα.

Παράδειγμα 10.1Ας υπολογίσουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα κατά μήκος ενός περιγράμματος που αποτελείται από μέρος μιας καμπύλης από σημείο πριν και τόξα έλλειψης από σημείο πριν .

Δεδομένου ότι το περίγραμμα αποτελείται από δύο μέρη, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα προσθετικότητας του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος: . Ας ανάγουμε και τα δύο ολοκληρώματα σε οριστικά. Μέρος του περιγράμματος δίνεται από μια εξίσωση σε σχέση με τη μεταβλητή . Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (10.4 ), στο οποίο αλλάζουμε τους ρόλους των μεταβλητών. Εκείνοι.

. Μετά τον υπολογισμό παίρνουμε .

Για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα περιγράμματος ΉλιοςΑς περάσουμε στην παραμετρική μορφή γραφής της εξίσωσης έλλειψης και ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (10.6).

Δώστε προσοχή στα όρια της ολοκλήρωσης. Σημείο αντιστοιχεί στην τιμή και στο σημείο αντιστοιχεί Απάντηση:
.

Παράδειγμα 10.2.Ας υπολογίσουμε κατά μήκος ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, Οπου Α(1,2,3), Β(2,5,8).

Λύση. Δίνεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους. Για να το υπολογίσετε, πρέπει να το μετατρέψετε σε συγκεκριμένο. Ας συνθέσουμε τις εξισώσεις της ευθείας. Το διάνυσμα κατεύθυνσής του έχει συντεταγμένες .

Κανονικές εξισώσεις της γραμμής ΑΒ: .

Παραμετρικές εξισώσεις αυτής της γραμμής: ,

Στο
.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (10.5) :

Έχοντας υπολογίσει το ολοκλήρωμα, παίρνουμε την απάντηση: .

5. Έργο δύναμης κατά τη μετακίνηση υλικού σημείου μονάδας μάζας από σημείο σε σημείο κατά μήκος μιας καμπύλης .

Αφήστε σε κάθε σημείο μιας τμηματικά λεία καμπύλη δίνεται ένα διάνυσμα που έχει συνεχείς συντεταγμένες: . Ας σπάσουμε αυτή την καμπύλη σε μικρά μέρη με σημεία ώστε στα σημεία κάθε μέρους έννοια των συναρτήσεων
θα μπορούσε να θεωρηθεί σταθερό και το ίδιο το τμήμα μπορεί να θεωρηθεί εσφαλμένα ως ευθύ τμήμα (βλ. Εικ. 10.1). Επειτα . Το κλιμακωτό γινόμενο μιας σταθερής δύναμης, το ρόλο της οποίας παίζει ένα διάνυσμα , ανά διάνυσμα ευθύγραμμης μετατόπισης είναι αριθμητικά ίσο με το έργο που εκτελείται από τη δύναμη όταν μετακινείται ένα υλικό σημείο κατά μήκος . Ας κάνουμε ένα αναπόσπαστο άθροισμα . Στο όριο, με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των διαμερισμάτων, λαμβάνουμε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους

. (10.7) Έτσι, η φυσική έννοια του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 2ου είδους - αυτό είναι δουλειά που γίνεται με τη βία όταν μετακινείτε ένα υλικό σημείο από ΕΝΑΠρος την ΣΕκατά μήκος του περιγράμματος μεγάλο.

Παράδειγμα 10.3.Ας υπολογίσουμε την εργασία που κάνει το διάνυσμα όταν μετακινείτε ένα σημείο κατά μήκος ενός τμήματος μιας καμπύλης Viviani που ορίζεται ως η τομή ενός ημισφαιρίου και κύλινδρος , που τρέχει αριστερόστροφα όταν το βλέπει κανείς από το θετικό τμήμα του άξονα ΒΟΔΙ.

Λύση. Ας κατασκευάσουμε τη δεδομένη καμπύλη ως γραμμή τομής δύο επιφανειών (βλ. Εικ. 10.3).

.

Για να μειώσουμε το ολοκλήρωμα σε μία μεταβλητή, ας προχωρήσουμε σε ένα κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων: .

Επειδή ένα σημείο κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης , τότε είναι βολικό να επιλέξετε ως παράμετρο μια μεταβλητή που αλλάζει κατά μήκος του περιγράμματος έτσι ώστε . Στη συνέχεια λαμβάνουμε τις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις αυτής της καμπύλης:

.Εν
.

Ας αντικαταστήσουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν στον τύπο για τον υπολογισμό της κυκλοφορίας:

( - το σύμβολο + δείχνει ότι το σημείο κινείται κατά μήκος του περιγράμματος αριστερόστροφα)

Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα και ας πάρουμε την απάντηση: .

Μάθημα 11.

Ο τύπος του Green για μια απλά συνδεδεμένη περιοχή. Ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος από το μονοπάτι της ολοκλήρωσης. Τύπος Newton-Leibniz. Εύρεση συνάρτησης από το ολικό διαφορικό της με χρήση καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος (επίπεδο και χωρικές περιπτώσεις).

OL-1 κεφάλαιο 5, OL-2 κεφάλαιο 3, OL-4 κεφάλαιο 3 § 10, ενότητα 10.3, 10.4.

Πρακτική : OL-6 Αρ. 2318 (a, b, d), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 ή OL-5 No. 10.79, 82, 133, 135, 139.

Κτίριο σπιτιού για το μάθημα 11: OL-6 No. 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 or OL-5 No. 10.80, 134, 136, 140

Η φόρμουλα του Γκριν.

Αφήστε στο αεροπλάνο δίνεται ένας απλά συνδεδεμένος τομέας που οριοθετείται από ένα τμηματικά ομαλό κλειστό περίγραμμα. (Μια περιοχή ονομάζεται απλά συνδεδεμένη εάν οποιοδήποτε κλειστό περίγραμμα σε αυτήν μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο αυτής της περιοχής).

Θεώρημα. Εάν οι λειτουργίες και τα επιμέρους παράγωγά τους σολ, Οτι

Εικόνα 11.1

- Η φόρμουλα του Γκριν . (11.1)

Υποδεικνύει θετική κατεύθυνση παράκαμψης (αριστερόστροφα).

Παράδειγμα 11.1.Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Green υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα κατά μήκος ενός περιγράμματος που αποτελείται από τμήματα Ο.Α., Ο.Β.και μεγαλύτερο τόξο κύκλου , συνδέοντας τα σημεία ΕΝΑΚαι ΣΙ,Αν , , .

Λύση. Ας φτιάξουμε ένα περίγραμμα (βλ. Εικ. 11.2). Ας υπολογίσουμε τις απαραίτητες παραγώγους.

Εικόνα 11.2

, ; , . Οι συναρτήσεις και οι παράγωγοί τους είναι συνεχείς σε μια κλειστή περιοχή που οριοθετείται από ένα δεδομένο περίγραμμα. Σύμφωνα με τον τύπο του Green, αυτό το ολοκλήρωμα είναι .

Αφού αντικαταστήσουμε τις υπολογιζόμενες παραγώγους παίρνουμε

. Υπολογίζουμε το διπλό ολοκλήρωμα μεταβαίνοντας σε πολικές συντεταγμένες:
.

Ας ελέγξουμε την απάντηση υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα απευθείας κατά μήκος του περιγράμματος ως καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους.
.

Απάντηση:
.

2. Ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος από το μονοπάτι της ολοκλήρωσης.

Αφήνω Και - αυθαίρετα σημεία μιας απλώς συνδεδεμένης περιοχής πλ. . Τα ολοκληρώματα που υπολογίζονται από διαφορετικές καμπύλες που συνδέουν αυτά τα σημεία έχουν γενικά διαφορετικές σημασίες. Αλλά εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις, όλες αυτές οι τιμές μπορεί να αποδειχθούν ίδιες. Τότε το ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής, αλλά εξαρτάται μόνο από τα σημεία έναρξης και λήξης.

Ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα.

Θεώρημα 1. Προκειμένου για το αναπόσπαστο
δεν εξαρτιόταν από το σχήμα της διαδρομής που συνδέει τα σημεία και, είναι απαραίτητο και επαρκές αυτό το ολοκλήρωμα κατά μήκος οποιουδήποτε κλειστού περιγράμματος να είναι ίσο με μηδέν.

Θεώρημα 2.. Προκειμένου για το αναπόσπαστο
κατά μήκος οποιουδήποτε κλειστού περιγράμματος ισούται με μηδέν, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι η συνάρτηση και τα επιμέρους παράγωγά τους ήταν συνεχείς σε κλειστή περιοχή σολκαι έτσι ώστε να ικανοποιείται η προϋπόθεση (11.2)

Έτσι, εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις για το ολοκλήρωμα να είναι ανεξάρτητο από το σχήμα της διαδρομής (11.2) , τότε αρκεί να καθορίσετε μόνο τα σημεία έναρξης και λήξης: (11.3)

Θεώρημα 3.Εάν η συνθήκη ικανοποιείται σε μια απλώς συνδεδεμένη περιοχή , τότε υπάρχει μια συνάρτηση τέτοια που . (11.4)

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος Newton–Leibnizγια το ολοκλήρωμα γραμμής.

Σχόλιο.Θυμηθείτε ότι η ισότητα είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για το γεγονός ότι η έκφραση
.

Τότε από τα παραπάνω θεωρήματα προκύπτει ότι αν οι συναρτήσεις και τα επιμέρους παράγωγά τους συνεχής σε κλειστή περιοχή σολ, στο οποίο δίνονται οι βαθμοί Και , Και , Οτι

α) υπάρχει συνάρτηση , έτσι ώστε,

δεν εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής,

γ) ισχύει ο τύπος Newton–Leibniz .

Παράδειγμα 11.2. Ας βεβαιωθούμε ότι το ολοκλήρωμα
δεν εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής, και ας το υπολογίσουμε.

Λύση. .

Εικόνα 11.3

Ας ελέγξουμε ότι η συνθήκη (11.2) ικανοποιείται.
. Όπως βλέπουμε, η προϋπόθεση πληρούται. Η τιμή του ολοκληρώματος δεν εξαρτάται από την πορεία της ολοκλήρωσης. Ας επιλέξουμε το μονοπάτι της ολοκλήρωσης. Πλέον

ένας απλός τρόπος υπολογισμού είναι μια διακεκομμένη γραμμή DIA, συνδέοντας τα σημεία έναρξης και λήξης μιας διαδρομής. (Βλέπε Εικ. 11.3)

Επειτα .

3. Εύρεση συνάρτησης από το ολικό διαφορικό της.

Χρησιμοποιώντας ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα, το οποίο δεν εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής, μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση , γνωρίζοντας την πλήρη διαφορά του. Αυτό το πρόβλημα επιλύεται ως εξής.

Εάν οι λειτουργίες και τα επιμέρους παράγωγά τους συνεχής σε κλειστή περιοχή σολΚαι , τότε η έκφραση είναι το συνολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης . Επιπλέον, το αναπόσπαστο
, πρώτον, δεν εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής και, δεύτερον, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton–Leibniz.

Ας υπολογίσουμε
δύο τρόποι.

Εικόνα 11.4

α) Επιλέξτε ένα σημείο στην περιοχή με συγκεκριμένες συντεταγμένες και σημείο με αυθαίρετες συντεταγμένες. Ας υπολογίσουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα κατά μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής που αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν αυτά τα σημεία, το ένα από τα τμήματα είναι παράλληλο με τον άξονα και το άλλο με τον άξονα. Επειτα . (Βλέπε Εικ. 11.4)

Η εξίσωση.

Η εξίσωση.

Παίρνουμε: Έχοντας υπολογίσει και τα δύο ολοκληρώματα, παίρνουμε μια συγκεκριμένη συνάρτηση στην απάντηση .

β) Τώρα υπολογίζουμε το ίδιο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton–Leibniz.

Τώρα ας συγκρίνουμε δύο αποτελέσματα υπολογισμού του ίδιου ολοκληρώματος. Λειτουργικό μέρος η απάντηση στο σημείο α) είναι η απαιτούμενη συνάρτηση , και το αριθμητικό μέρος είναι η τιμή του στο σημείο .

Παράδειγμα 11.3.Ας βεβαιωθούμε ότι η έκφραση
είναι το συνολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης και θα την βρούμε. Ας ελέγξουμε τα αποτελέσματα του υπολογισμού του παραδείγματος 11.2 χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.

Λύση.Προϋπόθεση ύπαρξης συνάρτησης (11.2) ελέγχθηκε στο προηγούμενο παράδειγμα. Ας βρούμε αυτή τη συνάρτηση, για την οποία θα χρησιμοποιήσουμε την Εικόνα 11.4, και ας πάρουμε για σημείο . Ας συνθέσουμε και ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα κατά μήκος της διακεκομμένης γραμμής DIA,Οπου :

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το λειτουργικό μέρος της έκφρασης που προκύπτει είναι η επιθυμητή συνάρτηση
.

Ας ελέγξουμε το αποτέλεσμα των υπολογισμών από το Παράδειγμα 11.2 χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton–Leibniz:

Τα αποτελέσματα ήταν τα ίδια.

Σχόλιο.Όλες οι δηλώσεις που εξετάστηκαν ισχύουν και για τη χωρική υπόθεση, αλλά με μεγαλύτερο αριθμό προϋποθέσεων.

Αφήστε μια τμηματικά ομαλή καμπύλη να ανήκει σε μια περιοχή του χώρου . Τότε, αν οι συναρτήσεις και οι μερικές παράγωγοί τους είναι συνεχείς στην κλειστή περιοχή στην οποία δίνονται τα σημεία Και , Και
(11.5 ), Οτι

α) η έκφραση είναι το συνολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης ,

β) καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του συνολικού διαφορικού κάποιας συνάρτησης δεν εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής και,

γ) ισχύει ο τύπος Newton–Leibniz .(11.6 )

Παράδειγμα 11.4. Ας βεβαιωθούμε ότι η έκφραση είναι το πλήρες διαφορικό κάποιας συνάρτησης και θα τη βρούμε.

Λύση.Για να απαντήσετε στο ερώτημα εάν μια δεδομένη έκφραση είναι ένα πλήρες διαφορικό κάποιας συνάρτησης , ας υπολογίσουμε τις μερικές παραγώγους των συναρτήσεων, ,
. (Εκ. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Αυτές οι συναρτήσεις είναι συνεχείς μαζί με τις μερικές παράγωγές τους σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου .

Βλέπουμε ότι ικανοποιούνται οι απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις ύπαρξης : , , , και τα λοιπά.

Για να υπολογίσετε μια συνάρτηση Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το γραμμικό ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από τη διαδρομή ολοκλήρωσης και μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz. Αφήστε το θέμα - η αρχή του μονοπατιού, και κάποιο σημείο - τέλος του δρόμου . Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

κατά μήκος ενός περιγράμματος που αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα προς τους άξονες συντεταγμένων. (βλ. Εικ. 11.5).

.

Εικόνα 11.5

Εξισώσεις των τμημάτων περιγράμματος: , ,
.

Επειτα

, Χδιορθώθηκε εδώ, έτσι ,

, καταγράφηκε εδώ y, Να γιατί .

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε: .

Τώρα ας υπολογίσουμε το ίδιο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα: .

Από την προκύπτουσα ισότητα προκύπτει ότι, και

Μάθημα 12.

Επιφανειακό ολοκλήρωμα πρώτου είδους: ορισμός, βασικές ιδιότητες. Κανόνες για τον υπολογισμό ενός επιφανειακού ολοκληρώματος του πρώτου είδους χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα. Εφαρμογές του επιφανειακού ολοκληρώματος του πρώτου είδους: εμβαδόν επιφάνειας, μάζα υλικού επιφάνειας, στατικές ροπές για επίπεδα συντεταγμένων, ροπές αδράνειας και συντεταγμένες του κέντρου βάρους. OL-1 κεφ.6, OL 2 κεφ.3, OL-4§ 11.

Πρακτική: OL-6 No. 2347, 2352, 2353 or OL-5 No. 10.62, 65, 67.

Εργασία για το μάθημα 12:

OL-6 No. 2348, 2354 ή OL-5 No. 10.63, 64, 68.

Για την περίπτωση που το πεδίο ολοκλήρωσης είναι ένα τμήμα μιας ορισμένης καμπύλης που βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Η γενική σημείωση για ένα ολοκλήρωμα γραμμής είναι η εξής:

Οπου φά(Χ, y) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, και μεγάλο- καμπύλη, κατά μήκος τμήματος ΑΒη οποία ολοκλήρωση λαμβάνει χώρα. Αν το ολοκλήρωμα είναι ίσο με ένα, τότε το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα είναι ίσο με το μήκος του τόξου ΑΒ .

Όπως πάντα στον ολοκληρωτικό λογισμό, ένα ευθύγραμμο ολοκλήρωμα νοείται ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων ορισμένων πολύ μικρών τμημάτων ενός πολύ μεγάλου. Τι συνοψίζεται στην περίπτωση των καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων;

Αφήστε να υπάρχει ένα τμήμα στο επίπεδο ΑΒκάποια καμπύλη μεγάλο, και συνάρτηση δύο μεταβλητών φά(Χ, y) που ορίζεται στα σημεία της καμπύλης μεγάλο. Ας εκτελέσουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο με αυτό το τμήμα της καμπύλης.

1. Διαίρεση καμπύλης ΑΒσε μέρη με τελείες (εικόνες παρακάτω).
2. Επιλέξτε ελεύθερα ένα σημείο σε κάθε μέρος Μ.
3. Βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε επιλεγμένα σημεία.
4. Οι τιμές των συναρτήσεων πολλαπλασιάζονται επί
   • μήκη εξαρτημάτων σε περίπτωση καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πρώτου είδους ;
   • προβολές μερών στον άξονα συντεταγμένων της θήκης καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους .
5. Βρείτε το άθροισμα όλων των προϊόντων.
6. Βρείτε το όριο του ακέραιου αθροίσματος που βρέθηκε με την προϋπόθεση ότι το μήκος του μεγαλύτερου μέρους της καμπύλης τείνει στο μηδέν.

Εάν υπάρχει το αναφερόμενο όριο, τότε αυτό το όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος και ονομάζεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα της συνάρτησης φά(Χ, y) κατά μήκος της καμπύλης ΑΒ .

πρώτο είδος

Περίπτωση καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος
δεύτερο είδος

Ας εισάγουμε την ακόλουθη σημειογραφία.

ΜΕγώ ( ζ Εγώ; η Εγώ)- ένα σημείο με συντεταγμένες επιλεγμένες σε κάθε τοποθεσία.

φάΕγώ ( ζ Εγώ; η Εγώ)- τιμή συνάρτησης φά(Χ, y) στο επιλεγμένο σημείο.

Δ μικρόΕγώ- μήκος τμήματος τμήματος καμπύλης (στην περίπτωση καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους).

Δ ΧΕγώ- προβολή μέρους του τμήματος καμπύλης στον άξονα Βόδι(στην περίπτωση καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος δεύτερου είδους).

ρε= maxΔ μικρόΕγώ- το μήκος του μακρύτερου τμήματος του τμήματος καμπύλης.

Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα πρώτου είδους

Με βάση τα παραπάνω σχετικά με το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων, ένα ολοκλήρωμα ευθείας πρώτου είδους γράφεται ως εξής:

.

Ένα ολοκλήρωμα γραμμής του πρώτου είδους έχει όλες τις ιδιότητες που έχει οριστικό ολοκλήρωμα. Ωστόσο, υπάρχει μια σημαντική διαφορά. Για ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, όταν τα όρια της ολοκλήρωσης ανταλλάσσονται, το πρόσημο αλλάζει στο αντίθετο:

Στην περίπτωση ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του πρώτου είδους, δεν έχει σημασία ποιο σημείο της καμπύλης ΑΒ (ΕΝΑή σι) θεωρείται η αρχή του τμήματος, και ποιο είναι το τέλος, δηλαδή

.

Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα δεύτερου είδους

Με βάση όσα έχουν ειπωθεί για το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων, ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους γράφεται ως εξής:

.

Στην περίπτωση ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του δεύτερου είδους, όταν η αρχή και το τέλος ενός τμήματος καμπύλης ανταλλάσσονται, το πρόσημο του ολοκληρώματος αλλάζει:

.

Κατά τη σύνταξη του ολοκληρωτικού αθροίσματος ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του δεύτερου είδους, οι τιμές της συνάρτησης φάΕγώ ( ζ Εγώ; η Εγώ)μπορεί επίσης να πολλαπλασιαστεί με την προβολή τμημάτων ενός τμήματος καμπύλης στον άξονα Oy. Τότε παίρνουμε το ολοκλήρωμα

.

Στην πράξη, συνήθως χρησιμοποιείται η ένωση καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους, δηλαδή δύο συναρτήσεις φά = Π(Χ, y) Και φά = Q(Χ, y) και ολοκληρώματα

,

και το άθροισμα αυτών των ολοκληρωμάτων

που ονομάζεται γενικό καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους .

Υπολογισμός καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου είδους

Ο υπολογισμός των καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του πρώτου είδους ανάγεται στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων. Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις.

Αφήστε μια καμπύλη να δοθεί στο επίπεδο y = y(Χ) και ένα τμήμα καμπύλης ΑΒαντιστοιχεί σε αλλαγή μεταβλητής Χαπό έναπριν σι. Στη συνέχεια στα σημεία της καμπύλης η συνάρτηση ολοκλήρωσης φά(Χ, y) = φά(Χ, y(Χ)) (Το "Y" πρέπει να εκφράζεται μέσω του "X"), και το διαφορικό του τόξου και το ολοκλήρωμα γραμμής μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

Εάν το ολοκλήρωμα είναι ευκολότερο να ενσωματωθεί y, τότε από την εξίσωση της καμπύλης πρέπει να εκφράσουμε Χ = Χ(y) («x» έως «y»), όπου υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

Παράδειγμα 1.

Οπου ΑΒ- ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ σημείων ΕΝΑ(1; −1) και σι(2; 1) .

Λύση. Ας φτιάξουμε μια εξίσωση ευθείας ΑΒ, χρησιμοποιώντας τον τύπο (εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία ΕΝΑ(Χ1 ; y 1 ) Και σι(Χ2 ; y 2 ) ):

Από την ευθύγραμμη εξίσωση εκφράζουμε yδιά μέσου Χ :

Τότε και τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα, αφού μας απομένουν μόνο «Χ»:

Αφήστε μια καμπύλη να δοθεί στο διάστημα

Στη συνέχεια στα σημεία της καμπύλης η συνάρτηση πρέπει να εκφραστεί μέσω της παραμέτρου t() και διαφορικό τόξου , επομένως το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Ομοίως, εάν δοθεί μια καμπύλη στο επίπεδο

,

τότε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τον τύπο

.

Παράδειγμα 2.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα της γραμμής

Οπου μεγάλο- μέρος μιας κυκλικής γραμμής

που βρίσκεται στην πρώτη οκτάδα.

Λύση. Αυτή η καμπύλη είναι το ένα τέταρτο μιας κυκλικής γραμμής που βρίσκεται στο επίπεδο z= 3. Αντιστοιχεί στις τιμές των παραμέτρων. Επειδή

τότε το διαφορικό τόξου

Ας εκφράσουμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης μέσω της παραμέτρου t :

Τώρα που τα έχουμε όλα εκφρασμένα μέσω μιας παραμέτρου t, μπορούμε να μειώσουμε τον υπολογισμό αυτού του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος σε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα:

Υπολογισμός καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους

Ακριβώς όπως στην περίπτωση των καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του πρώτου είδους, ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους ανάγεται στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Η καμπύλη δίνεται σε καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες

Έστω μια καμπύλη σε ένα επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση της συνάρτησης "Y", που εκφράζεται μέσω "Χ": y = y(Χ) και το τόξο της καμπύλης ΑΒαντιστοιχεί στην αλλαγή Χαπό έναπριν σι. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την έκφραση του «y» έως το «x» στο ολοκλήρωμα και προσδιορίζουμε τη διαφορά αυτής της παράστασης του «y» ως προς το «x»: . Τώρα που όλα εκφράζονται με όρους "x", το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους υπολογίζεται ως οριστικό ολοκλήρωμα:

Ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους υπολογίζεται παρομοίως όταν η καμπύλη δίνεται από την εξίσωση της συνάρτησης "x" που εκφράζεται μέσω του "y": Χ = Χ(y) , . Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος έχει ως εξής:

Παράδειγμα 3.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα της γραμμής

, Αν

ΕΝΑ) μεγάλο- ευθύ τμήμα Ο Ο.Α., Οπου ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0; 0) , ΕΝΑ(1; −1) ;

σι) μεγάλο- τόξο παραβολής y = Χ² από ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0; 0) έως ΕΝΑ(1; −1) .

α) Ας υπολογίσουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα σε ένα ευθύγραμμο τμήμα (μπλε στο σχήμα). Ας γράψουμε την εξίσωση της ευθείας γραμμής και ας εκφράσουμε το «Y» έως το «X»:

.

Παίρνουμε dy = dx. Επιλύουμε αυτό το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα:

β) εάν μεγάλο- τόξο παραβολής y = Χ² , παίρνουμε dy = 2xdx. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

Στο παράδειγμα που μόλις λύθηκε, πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα σε δύο περιπτώσεις. Και αυτό δεν είναι τυχαίο, αλλά αποτέλεσμα ενός σχεδίου, αφού αυτό το ολοκλήρωμα ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του παρακάτω θεωρήματος.

Θεώρημα. Εάν οι λειτουργίες Π(Χ,y) , Q(Χ,y) και οι επιμέρους παράγωγοί τους είναι συνεχείς στην περιοχή ρεσυναρτήσεις και σε σημεία αυτής της περιοχής οι μερικές παράγωγοι είναι ίσες, τότε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από την πορεία ολοκλήρωσης κατά μήκος της ευθείας μεγάλοπου βρίσκεται στην περιοχή ρε .

Η καμπύλη δίνεται σε παραμετρική μορφή

Αφήστε μια καμπύλη να δοθεί στο διάστημα

.

και στα ολοκληρώματα που αντικαθιστούμε

εκφράζοντας αυτές τις συναρτήσεις μέσω μιας παραμέτρου t. Παίρνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος:

Παράδειγμα 4.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα της γραμμής

,

Αν μεγάλο- μέρος μιας έλλειψης

πληρούν την προϋπόθεση y ≥ 0 .

Λύση. Αυτή η καμπύλη είναι το τμήμα της έλλειψης που βρίσκεται στο επίπεδο z= 2. Αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου.

μπορούμε να αναπαραστήσουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα με τη μορφή ορισμένου ολοκληρώματος και να το υπολογίσουμε:

Αν δοθεί ολοκλήρωμα καμπύλης και μεγάλοείναι μια κλειστή γραμμή, τότε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα ονομάζεται ολοκλήρωμα κλειστού βρόχου και είναι ευκολότερο να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας Η φόρμουλα του Γκριν .

Περισσότερα παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων γραμμής

Παράδειγμα 5.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα της γραμμής

Οπου μεγάλο- ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ των σημείων τομής του με τους άξονες συντεταγμένων.

Λύση. Ας προσδιορίσουμε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων. Αντικατάσταση ευθείας γραμμής στην εξίσωση y= 0, παίρνουμε ,. Αντικατάσταση Χ= 0, παίρνουμε ,. Έτσι, το σημείο τομής με τον άξονα Βόδι - ΕΝΑ(2; 0) , με άξονα Oy - σι(0; −3) .

Από την ευθύγραμμη εξίσωση εκφράζουμε y :

.

, .

Τώρα μπορούμε να αναπαραστήσουμε το ολοκλήρωμα ευθείας ως καθορισμένο ολοκλήρωμα και να αρχίσουμε να το υπολογίζουμε:

Στο ολοκλήρωμα επιλέγουμε τον παράγοντα , και τον μετακινούμε εκτός του ολοκληρώματος. Στο ολοκλήρωμα που προκύπτει χρησιμοποιούμε προσυπογράφοντας το διαφορικό πρόσημοκαι τελικά το καταλαβαίνουμε.